A Fourier-inverz tétel, mérsékelt
disztribúciók és Fourier-transzformációjuk
Dr. Keresztes Zoltán, egyetemi docens Szegedi Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék,
Tisza Lajos krt. 84-86, Szeged 6720 E-mail: zkeresztes@titan.physx.u-szeged.hu
Olvasási idő kb. 60 perc. Formai szempontból lektorálta: Dr. Majorosi Szilárd
I. A FOURIER-INVERZ TÉTEL Állítás:Haϕ∈S(Rn)⇒ Fϕ∈S(Rn).
Bizonyítás: Az előző olvasóleckében már beláttuk, hogy Fϕ∈ C∞. Ezért elegendő bizonyítani azt, hogy létezik olyan végesMα,β, amire
kαDβFϕ
≤Mα,β . (1)
Ittαésβmulti-indexek, amelyek aDβ jelöléssel együtt az előző olvasóleckében lettek bevezetve. Azonban a parciális deriválásokDβ-ban most akkomponensei szerint történnek. Mivel
kαDβFϕ=iPFDα xβϕ
, (2)
aholP =α1+..+αn+β1+..+βn, ezért kαDβFϕ
= 1 (2π)n/2
Z
Rn
e−ikxDα xβϕ dnx
≤ 1 (2π)n/2
Z
Rn
Dα xβϕ
dnx<∞. (3) Az utolsó relációnál felhasználtuk, hogyDα xβϕ
∈S(Rn).
Tétel: A Fourier-traszformáció invertálható és az inverz leképezés:
F−1ϕ
(x) = 1
(2π)n/2
R
Rndnkeik·xϕ(k) , (4)
aholϕ(k)∈S(Rn). A tétel állítása tehát:
F−1Fϕ=ϕ . (5)
Megjegyzés: Erről a leképezésről belátható, hogy olyan S(Rn) → S(Rn) leképezés, ami folytonos és lineáris.
A bizonyítás egyszerű analógja annak a bizonyításnak, amit a Fourier-traszformáció esetén az előző olvasóleckében láttunk. Következmény: A Fourier-transzformáció azS(Rn)-t egy-egy értelmű módon képezi önmagára.
A tétel bizonyítása: Fel fogjuk használni a következő mellékszámolást:
Z
Rn
dnkeikxe−ε|k|
2
2 = e−x
2 2ε
Z
Rn
dnke−ε2(k−εix)2
= (2π)n/2 εn/2 e−x
2 2ε
Z
Rn
dnk0e−ε2k02= (2π)n/2 εn/2 e−|x|
2
2ε , (6)
ahol az alábbi átalakítást
−ε 2
k− i
εx 2
=−ε 2
k−i
εx k− i εx
=−ε 2
k2− 1
ε2x2−2i εkx
=−ε 2k2+ 1
2εx2+ikx, (7) és ak0=k−ix/εváltozó cserét alkalmaztuk. Számoljuk a következő határértéket
F−1Fϕ
(x) = lim
ε→0
1 (2π)n/2
Z
Rn
dnkeik·xe−εk
2
2 (Fϕ) (k) = lim
ε→0
1 (2π)n/2
Z
Rn
dnkeik·xe−εk
2
2 1
(2π)n/2 Z
Rn
dnye−ik·yϕ(y)
= lim
ε→0
1 (2π)n
Z
Rn
dnyϕ(y) Z
Rn
dnkeik·(x−y)e−εk
2 2 = lim
ε→0
1 (2π)n
Z
Rn
dnyϕ(y)(2π)n/2
εn/2 e−2ε1(x−y)2
= lim
ε→0
1 (2π)n/2
Z
Rn
dnhϕ √
εh+x
e−12h2 ,
ahol a harmadik sor elején a h= (y−x)/√
ε változó cserét hajtottunk végre. Most alkalmazzuk a Lebesgue-féle dominált konvergencia tételt az
fε(h) =ϕ √
εh+x
e−12h2 (8)
függvény sorozatra. A sorozat teljesíti, hogy ϕ √
εh+x e−12h2
≤Ce−12h2 , (9) ahol
C= sup
Rn
ϕ(x)<∞. (10)
Így kapjuk, hogy
F−1Fϕ
(x) =ϕ(x) 1 (2π)n/2
Z
Rn
dnhe−12h2 =ϕ(x) , (11) ami a tétel állítása volt.
Vezessük be a következő skaláris szorzatot:
(ψ, ϕ) =hψ, ϕ∗i= Z
Rn
dnxψ(x)ϕ∗(x) . (12)
Ekkor
(Fϕ)∗(k) = 1 (2π)n/2
Z
Rn
dnxe−ik·xϕ(x) = 1 (2π)n/2
Z
Rn
dnxeik·xϕ∗(x) = F−1ϕ∗ (k) ,
így
(Fψ,Fϕ) =
Fψ,(Fϕ)∗
=
Fψ,F−1ϕ∗
=hψ, ϕ∗i= (ψ, ϕ) . (13) Ez az úgynevezettParseval-formula.
II. A MÉRSÉKELT DISZTRIBÚCIÓK ÉS FOURIER-TRANSZFORMÁLTJUK
Definíció (mérsékelt disztribúció): A Schwartz-tér folytonos lineáris funkcionáljait mérsékelt disztribúci- óknak nevezzük, amelyek a szokásos összeadás és skalárral szorzás szabállyal vektorteret alkotnak. A mérsékelt disztribúciók terétS0(Rn)jelöli. Azt a számot amit egyf disztribúció hozzárendel egy Schwartz-térbeli függvényhez f(ϕ) ≡ hf, ϕi ∈ C-vel jelöljük. Azokat a disztribúciókat, amelyek az összes ϕ ∈ S(Rn) függvényhez ugyanazt a számot rendelik egyenlőknek tekintjük.
Tegyük fel, hogyf egy olyan Lebesgue-mérhető függvény, amelyre
|f(x)| ≤g(x)
1 +|x|2d/2
(14) teljesül Rn-ben egy nemnegatív egész d ≥ 0-val és egy nemnegatív, integrálható g : Rn → R függvénnyel. Ekkor belátható, hogy
f(ϕ)≡ hf, ϕi=R
f(x)ϕ(x)dnx, (15)
ahol az integrálás a teljesRn-en történik, egy mérsékelt disztribúciót definiál. Az ilyen alakban megadható disztribú- ciókatreguláris disztribúcióknak nevezzük. A nemreguláris disztribúciókat pedigszinguláris disztribúcióknak hívjuk.
Tipikus szinguláris disztribúció aDirac-δ, amelynek definíciója:
hδ, ϕi=ϕ(0) . (16)
Illetve általánosabban
hδy, ϕi=ϕ(y) , (17)
ahol a
δ0=δ (18)
jelölés azonosítással éltünk.
Történeti okokból, illetve számítások során áttekinthetőség miatt hasznos bevezetni az alábbi jelöléseket egy tetszőlegesf disztribúció hatásának kifejezésére:
f(ϕ)≡ hf, ϕi ≡R
f(x)ϕ(x)dnx. (19)
Ez reguláris diszutribúciók esetén egyszerűen azf disztribúciónak azf(x)Lebesgue-mérhető (közönséges) függvénnyel történő azonosítását jelenti. Szinguláris disztribúciók esetén az integrál kifejezésben megjelenőf(x)-etáltalánosított függvénynek, vagyszimbolikus függvénynek nevezzük. Az integrál értékét ez esetben a baloldali hf, ϕidefiniálja.
Jelöljeτhf egy közönséges függvényh-val való eltoltját:
τhf =f(x−h) . (20)
Ekkor reguláris disztribúciókra
hτhf, ϕi = Z
τhf(x)ϕ(x)dnx= Z
f(x−h)ϕ(x)dnx
= Z
f(y)ϕ(y+h)dny=hf, τ−hϕi . (21) A (16)-(18) egyenletek alapján világos, hogy
δy=τ−yδ , (22)
ezért
hδy, ϕi=R
δ(x−y)ϕ(x)dnx. (23)
A. Mérsékelt disztribúciók deriváltja
Egyszerűség kedvéért tekintsük azn= 1 esetet, vagyis azS(R) ésS0(R) tereket. A deriváltat vesszővel jelöljük.
Ekkor reguláris disztribúciókra fennáll az alábbi:
f0(ϕ) ≡ hf0, ϕi= Z ∞
−∞
f0(x)ϕ(x)dx= [f(x)ϕ(x)]x=∞x=−∞− Z ∞
−∞
f(x)ϕ0(x)dx
= − Z ∞
−∞
f(x)ϕ0(x)dx=− hf, ϕ0i ≡ −f(ϕ0) . (24) Az elsősorban egy parciális integrálás történt és felhasználtuk, hogy ϕ(x=±∞) = 0. Az m-szeres derivált esetén pedigm-szeres parciális integrálással, a derivált rendjét felső indexben jelölve kapjuk, hogy
f(m)(ϕ)≡D
f(m), ϕE
= (−1)mD
f, ϕ(m)E
≡(−1)mf ϕ(m)
. (25)
Továbbán >1 esetére hasonlóan következik, hogy
Dαf(ϕ)≡ hDαf, ϕi= (−1)|α|hf, Dαϕi ≡(−1)|α|f(Dαϕ) , (26) ahol|α|=α1+...+αn.
Definíció:Az előzőeknek megfelelően egy tetszőlegesf ∈S0(Rn)disztribúció deriváltját az alábbi formulával de- finiáljuk:
hDαf, ϕi= (−1)|α|hf, Dαϕi . (27)
MivelDαϕ∈S(Rn)ígyDαf jól definiált. A formulából következik az is, hogy tetszőleges disztribúció akárhányszor deriválható.
Példa: A
Θ =
0, x <0
1, 0< x (28)
Heaviside-függvényx-szerinti deriváltja:
hΘ0, ϕi = − hΘ, ϕ0i=− Z ∞
−∞
Θ (x)ϕ0(x)dx=− Z ∞
0
ϕ0(x)dx
= ϕ(0) =hδ, ϕi . (29)
Tehát disztribúcionális értelemben:
Θ0=δ . (30)
B. Mérsékelt disztribúciók Fourier-transzformáltja
A reguláris disztribúciókra:
hf,Fϕi = Z
Rn
dnkf(k) (Fϕ) (k) = Z
Rn
dnkf(k) 1 (2π)n/2
Z
Rn
dnxe−ik·xϕ(x)
= Z
Rn
dnxϕ(x) 1 (2π)n/2
Z
Rn
dnkf(k)e−ik·x=hFf, ϕi (31) teljesül. Ennek megfelelően amérsékelt disztribúciók Fourier-transzformáltjáta következőképpen definiáljuk:
hFf, ϕi=hf,Fϕi . (32)
Hasonlóan definiáljuk az inverz Fourier-transzformációt is. A Fourier-transzformált jelölésére szokás még a disztribúció fölé helyezett tilde-t is alkalmazni, ahogy azt az előző olvasóleckében láttuk.
Példák:
1) A Dirac-δFourier-transzformáltja:
hFδ, ϕi=hδ,Fϕi= (Fϕ) (0) = 1 (2π)n/2
Z
Rn
dnxϕ(x) = 1
(2π)n/2h1, ϕi , (33) így
Fδ= 1
(2π)n/2 . (34)
2) A Dirac-δderiváltjának Fourier-transzformáltja egyváltozós (n= 1) esetben:
hFδ0, ϕi=hδ0,Fϕi=−
δ,(Fϕ)0
=ihδ,F(kϕ)i=hFδ, ikϕi=hikFδ, ϕi=
* ik (2π)n/2
, ϕ +
, (35) így
Fδ0= ik
(2π)n/2 . (36)
3) A Dirac-δ xj-koordináta szerinti parciális deriváltjának Fourier-transzformáltja:
F
∂
∂xj
f
, ϕ
=hikjFf, ϕi . (37)
4) A konvolúció Fourier-transzformáltja:
1 (2π)n/2
hF(f∗g), ϕi=h(Ff) (Fg), ϕi . (38)
5) A Fourier-transzformáció és inverzének alkalmazásával nyerjük, hogy ϕ(x) = F−1Fϕ
(x) = 1 (2π)n/2
Z
Rn
dnkeik·x 1 (2π)n/2
Z
Rn
dnye−ik·yϕ(y)
= Z
Rn
dnyϕ(y) 1 (2π)n
Z
Rn
dnkeik·(x−y). (39)
Ezt összevetve a Dirac-δ disztribúció hatásának (23) kifejezésével az alábbi fontos azonossághoz jutunk:
δ(y−x) = 1 (2π)n
Z
Rn
dnkeik·(x−y) . (40)
6) A sin (ax)Fourier-transzformáltja:
sin (ax) =^ 1
√2π Z ∞
−∞
dxe−ikxsin (ax) = 1
√2π Z ∞
−∞
dxe−ikxeiax−e−iax 2i
= 1
2i√ 2π
Z ∞
−∞
dxe−i(k−a)x− 1 2i√
2π Z ∞
−∞
dxe−i(k+a)x
=
√2π
2i [δ(k−a)−δ(k+a)] . (41)
7) A cos (ax)Fourier-transzformáltja:
cos (ax) =^ 1
√2π Z ∞
−∞
dxe−ikxcos (ax) = 1
√2π Z ∞
−∞
dxe−ikxeiax+e−iax 2
= 1
2√ 2π
Z ∞
−∞
dxe−i(k−a)x+ 1 2√
2π Z ∞
−∞
dxe−i(k+a)x
= rπ
2 [δ(k−a) +δ(k+a)] . (42)
8) A
Θ =
0 , x <0
1 , 0< x (43)
Heaviside-függvényre a Fourier-transzformációs formula egyenes alkalmazása adja, hogy Θ =e 1
√2π Z ∞
0
dxe−ikx. (44)
A jobboldali integrál azonban nem jól definiált. Viszont Θolyan disztribúció, amely az fa(x) =
e−ax , 0≤x
0 , x <0 , (45)
függvény határértékeként is képezhető:
Θ = lim
a→0fa . (46)
Tekintsük azfa(x)függvény Fourier-transzformáltját:
fea= 1
√2π Z ∞
0
dxe−ikxe−ax=− 1
√2π
e−(a+ik)x a+ik
∞
0
= 1
√2π 1
a+ik . (47)
Ennek határértéke:
a→0limfea = 1
√2π 1
ik . (48)
Kérdés ez valóban megfelel-e a Θ Fourier-transzformáltjának. Ugyanis a k = 0helyen probléma lehet, hiszen ott divergens eredményt kaptunk. Vegyük az inverz Fourier-transzformáltat:
F−1lim
a→0fea = 1 2π
Z ∞
−∞
dkeikx ik = 1
2π Z 0
−∞
dkeikx ik +
Z ∞
0
dkeikx ik
= 1 2π
Z ∞
0
dkeikx−e−ikx ik
= 1 π
Z ∞
0
dksinkx
k = sgn(x) π
Z ∞
0
dωsinω
ω =sgn(x)1 2 , ahol bevezettük azω=kxjelölést és integrál táblázatból felhasználtuk, hogy
Z ∞
0
dωsinω ω = π
2 . (49)
Ami azt jelenti, hogy
r2 π
1
ik =sgn^(x). (50)
Tehát az előjel függvény Fourier-transzformáltját nem pedig a Heaviside-függvényét, vagy annak számszorosáét kaptuk. Viszont a Heaviside-függvény írható úgyis, mint
Θ (x) = 1
2sgn(x) +1
2 , (51)
így
Θ (x) =] sgn^(x) +e1 2 = 1
√ 2π
1 ik+
rπ
2δ(k) . (52)
III. ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK-FELADATOK
1. Jelölje D(Rn)⊂ S(Rn) azokat a függvényeket, amelyek az Rn-ben egy véges sugarú gömbön kívül azonosan nullák. Ez a függvényosztály is egy vektorteret alkot, amelyen szintén értelmezhetünk disztribúciókat, mint folytonos lineáris funkcionálokat. Ezek terét jelölje D0(Rn). Vajon D0(Rn), vagyS0(Rn) a bővebb halmaz és miért?
2. Asinxfüggvény mérsékelt disztribúció-e?
3. A Heaviside-függvény deriváltja ismeretében határozza meg az f(x) =
2x , 0≤x
0 , egy´ebk´ent (53)
függvényx-szerinti kétszeres deriváltját disztribúcionális értelemben!
4. Határozza meg az1/xfüggvény Fourier-transzformáltját!
IV. REFERENCIÁK
Az alábbi referenciák segítik az órai tananyag mélyebb szintű megértését, illetve továbblépési lehetőséget kínálnak a témakörben:
[1] Bartha F., Óravázlatok a Matematikai Módszerek a Fizikában 2. előadásokhoz I. rész: Disztribúcióelmélet (2003). http:
//www.staff.u-szeged.hu/~barthaf/1resz.pdf
[2] J. Kirkwood,Mathematical Physics with Partial Differential Equation, Academic Press, Elsevier, Second Edition (2018).
[3] J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk,Distributions: Theory and Applications, Springer (2010).
[4] W. Rudin,Functional Analysis, McGraw-Hill, Second Edition (1991).
[5] J. K. Hunter, B. Nachtergaele,Applied Analysis, World Scientific (2001).
[6] H. Abels,Pseudodifferential and Singular Integral Operators, An Introduction with Applications, Walter de Gruyter GmbH and Co. KG (2012).
