M e g e m líth e tü n k a k á r p o n tm e g fe le lte té sRa la p ú ± p é ld á u l a D L T a lg o ritm u s [1

(1)

B a rá th D á n ie l

M T A S Z T A K I

G eo m etria i M o d ellez és é s S z ám ító g ép e s L á tá s L ab o rató riu m

b a r a th @ sz ta k i.h u

Absztrakt. $KRPRJUiILDEHFVOpVRO\DQIHODGDWDPHO\DV]iPtWyJpSHVOiWiVVRN WHUOHWpQ DODSYHWĘ IRQWRVViJ~ DNiU UHNRQVWUXNFLyV DOJRULWPXVRNUyO EHV]pOQN DNiUNDPHUDNDOLEUiFLyUyO6]iPWDODQMyOPĦN|GĘDOJRULWPXVpUKHWĘHOHEEHQD WpPDN|UEHQ D]RQEDQ pQ ~M LUiQ\EyO N|]HOtWHP PHJ D SUREOpPiW $] D IHOWHYpVHPKRJ\DKDJ\RPiQ\RVDOJRULWPXVRNQiOMREEPLQĘVpJEHQEHFVOKHWĘ DKRPRJUiILDD]HSLSROiULVJHRPHWULiEyOLVPHUWIXQGDPHQWiOLVPiWUL[pVD]DIILQ WUDQV]IRUPiFLy LVPHUHWpEHQ 7DQXOPiQ\RPEDQ PHJPXWDWRP KRJ\DQ OHKHW KRPRJUiILiW EHFVOQL WHOMHVHQ LVPHUW LOOHWYH FVDN IpOLJ LVPHUW DIILQ WUDQV]IRUPiFLyHVHWpQ

K u lcssz av a k : H o m o g rá fia , A ffin tra n szfo rm ác ió ,b ec slés,p o n tm eg fe le lte té s

A h o m o g rá fia b e c slé sé re sz á m o s k iv á ló k u ta tó p u b lik á lt m á r m ó d sz e re k e t.

M e g e m líth e tü n k a k á r p o n tm e g fe le lte té sRa la p ú

±

^p ^é ^l^d ^á û ^l â ^D ^L ^T â ^l^g ô ^rⁱ^t^m û ^s ^[¹^]

±

ré g ió Ra la p ú , p é ld á u l N é m e th é s m t sa i. m ó d sz e re [4 ] , a k á r e m líth e tü n k k o n tú r Ra la p ú ,

v a g y e g y e n e sm e g fe le lte té si e ljá rá so k a t [2 ]

$SRQWPHJIHOHOWHWpVEĘOGROJR]yHOMiUiVRN

k ö z ü l a D ire c t L in e a r T ra n sfo rm (D L T ) a z e g y ik le g e lte rje d te b b , a m e ly n é g y a z o n o s

sík o n

IHNYĘ SRQWPHJIHOHOWHWpVEĘO NLV]iPROMD

â ^s^í^k ^h ô ^m ô ^g ^r^á ^fⁱ^á ^t^, ⁱ^l^lê ^t^v ê ^t^ú ^l^h â ^t^á ^rô ^z ô ^t^t

p ro b lé m á ra is fe lírh a tó , íg y z ajo s p o n tm e g fe le lte té se k

EĘO UREXV]WXVDEEDQ OHKHW

sz á m o ln i. E z a m ó d sz e r is fe lírh a tó te rm é sz e te se n fu n d a m e n tá lis m á trix se g ítsé g é v e l,

e k k o r h á ro m p o n t

PHJIHOHOWHWpVEĘ

^l ^lê ^h ê ^t ^m ^á ^r ^s^z ^á ^m ô ^lⁿ ⁱ^. Ê ^z ê ⁿ â ^l^g ô ^rⁱ^t^m û ^s^râ ^,

e lg o n d o lá sra is é p ít e z a z e lm é le ti c ik k , a z o n b a n k ih a sz n á lja a z t a sajá to ssá g o t, h o g y

h a a d o tt p o n t k ö rn y e z e té re ism e rj ü k a z a ffin tra n sz fo rm á c ió t, a k k o r a z t fe l tu d ju k

h a sz n á ln i a rra , h o g y k i sz á m o lju k a h o m o g rá fiá t [1] .

2 .1 . G e o m e tr ia i h á tté r

A sz ín té r a h á ro m d im e n z ió s e u k lid e sz i té r :

Թ

^, â ^m ⁱⁿ ê ^k ⁱ^,j ^,^k ^lê ^g ^y ê ⁿ â ^z

HJ\PiVUD N|OFV|Q|VHQ PHUĘOHJHV VWDQGDUG Ei]LVD pV ܻǡ ܼ

^R^v ê ^l ^jê ^l^ö ^l^j^ü ^k â

1 K u b a A ttila d íjra p á ly á z ó ta n u lm á n y

(2)

té rk o o rd in á tá k a t. A z o b je k tu m o k le g y e n e k h a tá ro ló fe lü le te ik k e l re p re z e n tá lv a .

(]HNUĘO

^p â ^râ ^m ê ^t^rⁱ^k û ^s ^fô ^r^m ^á ^b â ⁿ ^b ê ^s^z ^é ^l^ü ⁿ ^k ^.

ܺǡ ܻǡ ܼǣ Թ ^ଶ ՜ Թ ^ଷ ǡ ݑǡ ݒǣ Թ

⁽¹ ⁾

ܵሺݑǡ ݒሻ ൌ ܺሺݑǡ ݒሻ כ ࢏ ൅ ܻሺݑǡ ݒሻ כ ࢐ ൅ ܼሺݑǡ ݒሻ כ ࢑

⁽² ⁾

Itt a z

ܺǡ ܻǡ ܼ IJJYpQ\HN D PHJIHOHOĘ WpUNRRUGLQiWiNUD NpS]LN OH D] ݑǡ ݒ

p a ra m é te re k e t.

)HOVĘ LQGH[V]HO MHO|OMN LQQHQWĘO

^k ê ^z ^d ^v ê â ^z ^t^, ^h ô ^g ^y ^h ^á ⁿ ^y â ^d ⁱ^k ^k ^é ^p ^rê

v o n a tk o z ik a z a d o tt v á lto z ó . A m e g fig y e lt p o n t k ö rü li d iffe re n c iá lo k e k k o r :

݀ݔ ^ሺ௜ሻ ൌ ݔ ^ሺ௜ሻ ሺݑ ൅ ݀ݑǡ ݒ ൅ ݀ݒሻ െ ݔ ^ሺ௜ሻ ሺݑǡ ݒሻ

݀ݕ ^ሺ௜ሻ ൌ ݔ ^ሺ௝ሻ ሺݑ ൅ ݀ݑǡ ݒ ൅ ݀ݒሻ െ ݔ ^ሺ௝ሻ ሺݑǡ ݒሻ

⁽³ ⁾

E b b e n a z e se tb e n ,

KDHOVĘ

^rê ⁿ ^d ^b ê ⁿ ^k ^ö ^z ê ^l^í^t^j^ü ^k â ^d ⁱ^f^fê ^rê ⁿ ^c ⁱ^á ^lô ^k â ^t^, ^m ê ^g ^k â ^p ^jû ^k â

൤݀ݔ ݀ݕ ^ሺ௜ሻ ^ሺ௜ሻ ൨ ൎ ۏ ێ ێ ۍߜݔ ^ሺ௜ሻ

ߜݑ ߜݔ ^ሺ௜ሻ ߜݕ ^ሺ௜ሻ ߜݒ

ߜݑ ߜݕ ^ሺ௜ሻ ߜݒ ے ۑ ۑ ې

ቂ݀ݑ ݀ݒቃ ൌ ܬ ^ሺ௜ሻ ቂ݀ݑ ݀ݒቃ

⁽⁴ ⁾

e g y e n le te t (

ܬ א Թ ^ଶൈଶ

â ^J â ^k ô ^b ⁱ ^m ^á ^t^rⁱ^x ⁾ ^[⁵ ^]^. ^K ⁱ^fê^jê ^z ^v ê ⁱⁿ ⁿ ê ⁿ

ሾ݀ݑ ݀ݒሿ ^்

^t ^a ^d ^ó ^d ⁱ^k ^, ^h ^o ^g ^y

ቂ݀ݑ ݀ݒቃ ൌ ܬ ^{ሺ௜ሻିଵ} ൤݀ݔ ݀ݕ ^௜ ௜ ൨

⁽⁵ ⁾

E z t b e h e ly e tte sítv e a m á so d ik v e tü le th e z ta rto z ó e g y e n le tb e a z t k a p ju k ,h o g y

൤ ݀ݔ ௝

݀ݕ ௝ ൨ ൌ ܬ ^ሺ௝ሻ ܬ ^{ሺ௜ሻିଵ} ൤݀ݔ ݀ݕ ^௜ ௜ ൨

(6 )

$ PHJMHOHQĘ ܣ ^{ሺ௜ǡ௝ሻ} ሺൌ ܬ ^ሺ௝ሻ ܬ ^{ሺ௜ሻିଵ} ሻ א Թ ^ʹൈʹ

^m ^á ^t^rⁱ^x ô ^t ⁿ ê ^v ê ^z ^z ^ü ^k ê ^z ê ⁿ ^t^ú ^l â ^f^fⁱⁿ

tra n sz fo rm á c ió n a k . T e h á t a

൤ ݀ݔ ௝

݀ݕ ௝ ൨ ൌ ܣ ^{ሺ௜ǡ௝ሻ} ൤݀ݔ ݀ݕ ^௜ ௜ ൨

(7 )

e g y e n le t a d ó d ik [6 ] .

0ROQiUpVPWVDLFLNNpEĘO>@OiWKDWMXNKRJ\D

^d ^o ^t^t

ܪ

^h ô ^m ô ^g ^r^á ^fⁱâ ê ^sê ^t^é ⁿ â ^z

HOĘ]ĘOHJEHYH]HWHWW ܣ

â ^f^fⁱⁿ ^t^râ ⁿ ^s^z ^fô ^r^m ^á ^c ⁱ^ó ^fê ^l^í^r^h â ^t^ó â ^z â ^l^á ^b ^b ⁱ ^m ^ó ^d ô ⁿ

ܽ ଵଵ ൌ ^ப୶ _ப୶ ^ሺమሻ ሺభሻ ൌ ^ଵ _௦ כ ሺ݄ ଵଵ െ ݄ ଷଵ כ ݔ ^ሺଶሻ ሻ

^,

ܽ ଵଶ ൌ ^ப୶ _ப୷ ^ሺమሻ ሺభሻ ൌ ^ଵ _௦ כ ሺ݄ ଵଶ െ ݄ ଷଵ כ ݔ ^ሺଶሻ ሻ

^,

ܽ ଶଵ ൌ ^ப୷ _ப୶ ^ሺమሻ ሺభሻ ൌ ^ଵ _௦ כ ሺ݄ ଶଵ െ ݄ ଷଵ כ ݕ ^ሺଶሻ ሻ

^,

ܽ ଶଶ ൌ ^ப୷ _ப୷ ^ሺమሻ ሺభሻ ൌ ^ଵ _௦ כ ሺ݄ ଶଶ െ ݄ ଷଵ כ ݕ ^ሺଶሻ ሻ

(8 )

(3)

2 .2 . M e g o ld a n d ó fe la d a t

A c ik k a la p ö tle te , h o g y

D] HOĘ]ĘHNEHQ IHOYi]ROW DIILQ WUDQV

^z ^f^o ^r^m ^á ^c ⁱ^ó ^t

±

a m e n n y ib e n ré sz b e n v a g y te lje se n ism e rjü k

±

^fê ^l^h â ^s^z ⁿ ^á ^l^h â ^t^jû ^k â ^h ô ^m ô ^g ^r^á ^fⁱâ

b e c slé sé re . A ta n u lm á n y so rá n tö b b irá n y b ó l k ö z e lítjü k m e g a p ro b lé m á t.

(OĘV]|U HJ\ RO\DQ HVHWHW YL]VJiOXQN DPLNRU QHP LVPHUW D V]WH

^r^e ^o ^k ^é ^p ^p ^á ^r

k ö z ö tti fu n d a m e n tá lis m á trix . E rre a z e se tre k ie g é sz ítjü k a h a g y o m á n y a lg o ritm u st

e g y sta b ila b b e re d m é n y t n y újtó v á lto z a tra .

M e g v iz sg á lju k m é g a p ro b lé m á t ism e rt fu n d a m e n tá lis m á trix e se té re is. E rre

k é t le h e tsé g e s irá n y a d ó d ik

±

ê ^g ^y ^r^é ^s^z ^t â ^z ^, ^h ô ^g ^y â ^m ê ⁿ ⁿ ^y ⁱ^b ê ⁿ ^tê ^l^jê ^sê ⁿ ⁱ ^s^m ê ^r^j^ü ^k â ^d ô ^t^t

p o n tb a n a z a ffin tra n sz fo rm á c ió t, lé n y e g e se n jo b b , ro b u sz tu sa b b e re d m é n y t tu d u n k

e lé rn i a b e c slé s so rá n , m in t a h a g y o m á n y o s a lg o ritm u so k ; ille tv e a m e n n y ib e n n e m

ism e rü n k m in d e n a ffin p a ra m e te r , a k k o r is k i sz á m o lh a tó a h o m o g rá fia . E z m á r a k á r

ism e rt fu n d a m e n tá lis m á trix , k é t p o n tm e g fe le lte té s é s le g a lá b b a z e g y ik p o n tb a n

ism e rt v íz sz in te s sk á lá z á s e se té n e g z a k t e re d m é n y t a d .

A p ro b lé m a a z e p ip o lá ris g e o m e triá b ó l jó l ism e rt fu n d a m e n tá lis m a trix

n é lk ü l is fe lh a sz n á lh a tó a h o m o g rá fia b e c slé s p o n to sítá sá ra . A z a lá b b i feje z e tb e n e z t

a z e ljá rá st v á z o lju k fe l . E z e n tú l is

MHO|OMN IHOVĘ LQGH[V]HO MHO ݌ ^ሺ ^݅ ^ሻ

⁾ ^a ^k ^é ^p ⁱⁿ ^d ^e ^x ^é ^t^,

h á ro m , ille tv e k é td im e n z ió s p o n to k e se té n p e d ig a z a lsó in d e x (j e l.:

݌ _݅

⁾ ^jê ^l^ö ^l^jê â ^p ô ⁿ ^t

in d e x é t a z a d o tt k é p e n .

3 .1 . H o m o g r á fia k ife je z é se a z a ffin tr a n sz fo r m á c ió b ó l

F e lh a sz n á lv a a M o ln á r é s m tsa i. [6 ] á lta l b e v e z e te tt a ffin tra n sz fo rm á c ió ra é s

h o m o g rá fiá ra v o n a tk o z ó e g y e n le te k e t k ifeje z h e tj ü k a h o m o g rá fiá b ó l a z a ffin

tra n sz fo rm á c ió t a z e g y e n le te k

HJ\V]HUĦiWUHQGH]pVpYHO

Â ^d ô ^t^t ê ^g ^y

(9 )

a ffin tra n sz fo rm á c ió , ille tv e

SRQWD]HOVĘNpSUĘOpV

^p ^o ⁿ ^t ^a

PHJIHOHOĘMHD

m á so d ik k é p e n , (1 0 )

A k k o r a z a ffin tra n sz fo rm á c ió k o m p o n e n se i

ܽ

(1 1)

(4)

A la k ítsu k á t a z e g y e n le tre n d sz e rt ú g y , h o g y re n d e z z ü k b a l o ld a lra , ille tv e e m e ljü k k i

a z ism e re tle n e k e t. (1 2 )

(1 3)

(1 4 )

(1 5)

3 .2 . H o m o g r á fia b e c slé se a z a ffin tr a n sz fo r m á c ió v a l

$] HOĘ]Ę IHMH]HWEHQ OHtUW HJ\HQOHWHNEĘO

⁽¹ ² ¹ ⁵ ⁾ ^l^á ^t^s^z ⁱ^k ^, ^h ô ^g ^y â ^tê ^l^jê ^s

h o m o g rá fia n e m írh a tó fe l ily e n m ó d o n , h isz e n e g y ik e g y e n le t se m v o n a tk o z ik a

k o m p o n e n se k re . T e h á t k iz á ró la g a z a ffin tra n sz fo rm á c ió ra v o n a tk o z ó

e g y e n le te k fe lh a sz n á lá sá v a l n e m sz á m o lh a tó k i a h o m o g rá fia . E n n e k e lle n é re a d ó d ik

D] D PHJROGiV KRJ\ KD PDJiEDQ QHP LV HOHJHQGĘ D] LQIRUPiFLy D IHODGD

^t

m e g o ld á sá ra , d e m e g tá m o g a th a tu n k a fe lírt e g y e n le te k k e l m á s h o m o g rá fia

EHFVOĘ

e ljá rá st. A h a g y o m á n y o s D L T p o n tm e g fe le lte té se k e t [1] h a sz n á ló e g y e n le te i k ö n n y e n

NLHJpV]tWKHWĘHN D IHQWL HJ\HQOHWUHQGV]HUUHO

⁽¹ ² ¹ ⁵ ⁾ ^, â ^m ê ⁿ ⁿ ^y ⁱ^b ê ⁿ ⁱ^s^m ê ^r^j^ü ^k â ^d ô ^t^t

p o n to k b a n a z a ffin tra n sz fo rm á c ió t.

L e g y e n e k

ࢄ _࢏ ൌ ሾݔ ௜ ݕ _௜ ݖ _௜ ሿ ^் ሺ݅ א ሾͳǡ ܰሿǡ ܰ ൒ Ͷሻ

^p ô ⁿ ^tô ^k â ^h ^á ^rô ^m ^d ⁱ^m ê ⁿ ^z ⁱ^ó ^s

té rb e n e u k lid e sz i k o o rd in á ta re n d sz e rb e n m e g a d v a , ille tv e

ࡼ _૚ ǡ ࡼ _૛

^p ^e ^r ^s^p ^e ^k ^t^í^v

k a m e ra m á trix o k . L e g y e n e k , (1 6)

a z

ࢄ ࢏

p o n t v e tü le te i sz te re o k é p p á ro n . E k k o r a h a g y o m á n y o s D L T a lg o ritm u s a z

a lá b b i h o m o g é n lin e á ris e g y e n le tre n d sz e rt o ld ja m e g a h o m o g rá fia k isz á m o lá sá ra .

Ͷ

^p ô ⁿ ^t^m ê ^g ^fê ^lê ^l^tê ^t^é ^s^rê ^m ê ^g ô ^l^d ^h â ^t^ó â ^z ê ^g ^y ê ⁿ ^lê ^t^rê ⁿ ^d ^s^z ê ^r ^, ^é ^s

ܰ ൐ Ͷ

^rê ^p ê ^d ⁱ^g ê ^g ^y

tú lh a tá ro z o tt e g y e n le tre n d sz e rt k a p u n k . (1 7)

a h o l (1 8)

a z ism e re tle n v á lto z ó k a t ta rta lm a z ó v e k to r é s

(5)

(1 9)

a v á lto z ó k e g y ü tth a tó it ta rta lm a z ó m á trix . E g é sz ítsü k k i a z m á trix o t a z a ffin

tra n sz fo rm á c ió ra v o n a tk o z ó e g y e n le te k k e l (12 1 5) . E k k o r a z (2 0 )

h o m o g é n lin e á ris e g y e n le tre n d sz e rt m e g o ld v a a d ó d n a k a h o m o g rá fia p a ra m é te re i.

A z a lá b b i feje z e tb e n a z t m u ta to m m e g , h o g y ism e rt fu n d a m e n tá lis m á trix

HVHWpQDSUREOpPDQpPLNpSSHJ\V]HUĦV|GLN

4 .1 . H o m o g r á fia k ife je z é se a fu n d a m e n tá lis m á tr ix s e g ítsé g é v é l.

A z e p ip o lá ris g e o m e triá b ó l jó l ism e rt [1 ] ö s sz e fü g g é s a la p já n (2 1)

a h o l, (je lö ljü k m o st c sa k

ࢋ

Î^v ê ^l⁾ â ^s^z ^tê ^rê ô ^k ^é ^p ^p ^á ^r ^m ^á ^sô ^d ⁱ^k

k é p é n a z e p ip ó lu s,

ࡴ ሻ

â ^h ô ^m ô ^g ^r^á ^fⁱâ ^,

ࡲሺא Թ ^ଷൈଷ ሻ

^p ^e ^d ⁱ^g ^a ^k ^é ^t ^k ^é ^p ^k ^ö ^z ^ö ^t^tⁱ

fu n d a m e n tá lis m á trix , ille tv e

Թሻ

ê ^g ^y ^s^k ^á ^lâ ^fâ ^k ^tô ^r ^. Â ^z

ሾࢋሿ _ൈ

^p ê ^d ⁱ^g ^fê ^l^í^r^h â ^t^ó â ^z

a lá b b i m ó d o n (2 2 )

.LIHMWYHD]HOĘ]ĘHNHW

(2 3)

(2 4 )

M iv e l a z

HOĘiOOtWKDWy

^é ^s ^lⁱⁿ ê ^á ^rⁱ^s ^k ô ^m ^b ⁱⁿ ^á ^c ⁱ^ó ^jâ ^k ^é ⁿ ^t^,^tê ^h ^á ^t

(2 5)

(6)

e z é rt a z m á trix u to lsó so rá n a k e ltá v o lítá sá v a l n e m v e sz tü n k in fo rm á c ió t. Íg y

DGyGLNDN|YHWNH]Ę|V

^s^z ^e ^f^ü ^g ^g ^é ^s

(2 6)

E lv é g e z v e a b a l o ld a li m á trix o k ö ssz e sz o rz á sá t. (2 7)

K ifeje z v e a h o m o g rá fia p a ra m é te re it a z e g y e

QOHWHLQNEĘO

, , ,

, , (2 8)

E g y é rt

HOPĦHQOiWV]LNDIHQWLKDWHJ\HQOHWEĘO

⁽² ⁸ ⁾ ^, ^h ô ^g ^y â ^h ô ^m ô ^g ^r^á ^fⁱâ ⁱ^s^m ê ^r^t

fu n d a m e n tá lis m á trix e se té n fe lírh a tó a z u to lsó so r ( ) , é s

e g y sk á la fa k to r (

ߣ Թ

⁾ ⁱ^s^m ê ^rê ^t^é ^b ê ⁿ ^, ^í^g ^y ⁿ ^é ^g ^y ^rê ^c ^s^ö ^k ^k ê ⁿ ^tê ^t^t^ü ^k â ^s^z â ^b â ^d ^s^á ^g ^fô ^k ô ^k â ^t^.

4 .2 . H o m o g r á fia k isz á m o lá sa e g y e tle n p o n tm e g fe le lte té s, é s a h o z z á

ta r to z ó a ffin tr a n s z fo r m á c ió is m e r e té b e n

A h o m o g rá fiá ra v o n a tk o z ó e

OĘ]Ę IHMH]HWEHQ OHtUW HJ\HQOHWH

^t^e ^k ^e ^t ⁽² ⁸ ⁾

fe lh a sz n á lh a tju k a rra , h o g y a M o ln á r é s m tsa i. á lta l le v e z e te tt a ffin tra n sz fo rm á c ió ra

v o n a tk o z ó e g y e n le

WHNEĘONLIHMH]KHVVNDKRPRJUiILiW ±

^ú ^g ^y ^m ⁱⁿ ^t â ³ ^. ^fê^jê ^z ê ^t^b ê ⁿ ⁽¹ ¹⁾ ^,

c sa k m o st lé n y e g e se n k e v e se b b ism e re tle n p a ra m é te rü n k m a ra d .

ܽ

(2 9)

E k k o r b e h e ly e tte sítv e a z e g y e n le te k b e a

]HOĘ]ĘIHMH]

^e ^t

YpJpQPHJMHOHQĘNLIHMH]pVHNHW DN|YHWNH]Ę|VV]HIJJpV

ê ^k â ^d ^ó ^d ⁿ â ^k

, ,

, (3 0 )

R e n d e z z ü k b a l o ld a lra a z e g y e n le te k e t, ille tv e e m e ljü k k i a z ism e re tle n

p a ra m é te re k e t. (3 1)

(7)

(3 2 )

(3 3)

(3 4 )

E k k o r h a v e sz ü n k e g y a v á lto z ó k e g y ü tth a tó it ta rta lm a z ó m á trix o t (3 5)

ille tv e a z

࢞

^v ê ^k ^tô ^r^t^, â ^m ê ^l^y â ^z ⁱ^s^m ê ^rê ^t^lê ⁿ ^v ^á ^l^tô ^z ^ó ^k â ^t ^tâ ^r^tâ ^l^m â ^z ^z â

(3 6)

a k k o r e g y h o m o g é n lin e á ris e g y e n le tre n d sz e r k a p u n k . E n n e k le g k i se b b n é g y z e te s

é rte le m b e n o p tim á lis m e g o ld á sa

ܣ ^் כ ܣ

^lê ^g ^k ⁱ^sê ^b ^b ^sâ^j ^á ^t^é ^r^t^é ^k ^é ^h ê ^z ^tâ ^r^tô ^z ^ó ^sâ^j^á ^t^v ê ^k ^tô ^râ

le sz .E k k o r a k isz á m o lt

ݔ

^v ê ^k ^tô ^r^t â

, , ,

, , (3 7)

e g y e n le te k b e b e h e ly e tte sítv e m e g k a p ju k a h o m o g rá fiá t. E z te rm é sz e te se n fe lírh a tó

tú lh a tá ro z o tt e g y e n le tre n d sz e rk é n t is

ܰ ൐ ͳ

^p ô ⁿ ^t^m ê ^g ^fê ^lê ^l^tê ^t^é ^s^rê ^, ê ^k ^k ô ^r

EĘYtWVND]࡭

PiWUL[RW D W|EEL SRQWSiUQDN PHJIHOHOĘ HJ\HQOHWHNNHO pV

^ú ^g ^y ô ^l^d ^jû ^k ^m ê ^g â ^z

e g y e n le tre n d sz e rt.

4 .3 . T e s z te k

A z e lm é le ti e re d m é n y e k te rm é sz e te se n te sz te lv e le tte k sz in te tik u s

N|UQ\H]HWEHQ NO|QE|]Ę ]DMV]LQWHNHQ *HQHUiOWXQN NpW YpOHWOHQV]HUĦ SHUVSHNWtY NDPHUDPiWUL[RW HJ\ D] RULJyWyO HJ\VpJ WiYROViJUD OHYĘ VtNODS

ô ⁿ ^ú ^g ^y ^, ^h ô ^g ^y â

k a m e rá k m in d ig a z o rig ó t n é z ik . G e n e rá ltu n k 2 0 0 ra n d o m p o n to t a h á ro m d im e n z ió s

VtNRQ DPHO\ iWKDODG D] RULJyQ (]HNHW D SRQWRNDW YHWtWHWWN Ui D] HOVĘ LOOHWYH D

m á so d ik k a m e rá ra .

(8)

$] HOVĘ GLDJUDPPRQ D PiVRGLN NpSUH YHWtWHWW SRQWRNDW ]DMRVtW

ô ^t^tû ^k â ^d ô ^t^t

sz ó rá sú G a u ss z ajja l. A d ia g ra m m o n a v íz sz in te s te n g e ly a k o n tú rp o n th o z h o z z á a d o tt

]DM V]yUiVD $ IJJĘOHJHV WHQJHO\ SHGLJ D] HUHGPpQ\EHQ NHOHWNH]Ę KLED (] D KLED V]i]DOpNEDQ pUWHQGĘ pV ~J\ NHOHWNH]LN KRJ\ PLXWiQ PHJEHFVOWN D KRPRJUiILiW

k

LYiODV]WXQN HJ\ UDQGRP SRQWRW D] HOVĘ NDPHUD NpSpUĘO PDMG D EHFVOW ࡴ

h o m o g rá fiá v a l k isz á m o lju k a m á so d ik k é p e n a p o n t v e tü le té n e k b e c sü lt p o z íc iójá t. A

h ib a a g ro u n d tru th (a z h á ro m d im e n z ió s p o n t v e títé s u tá n i p o z íc ió ja a m á so d ik k é p e n )

pUWpNWĘO YDO

^ó ê ^l^t^é ^r^é ^sê â ^b ê ^c ^s^ü ^l^t ^h ô ^m ô ^g ^r^á ^fⁱ^á ^v â ^l ^s^z ^á ^m ô ^l^t ^p ô ⁿ ^tⁿ â ^k ^. ^M â^j^d ê ^z ^t â ^z ^é ^r^t^é ^k ê ^t

le o sz to ttu k

±

ⁿ ô ^r^m â ^lⁱ^z ^á ^l^v â â ^z ^t

±

â ^p ô ⁿ ^t ô ^rⁱ^g ^ó ^t^ó ^l ^v ê ^t^t ^t^á ^v ô ^l^s^á ^g ^á ^v â ^l^.

1 . H ib a a z aj fü g g v é n y é b e n

A d ia g ra m m o n a z t lá tju k , h o g y a m e n n y ib e n ism e rjü k a v a ló d i a ffin

tra n sz fo rm á c ió t a p o n to k b a n , é s a p o n tm e g fe le lte té se k e t z ajo sítju k , a k k o r a

h a g y o m á n y o s p o n tm e g fe le lte té s a la p ú D L T a lg o ritm u sh o z k é p e st a z a ffin

tra n sz fo rm á c ió t is h a sz n á ló a lg o ritm u s k ö rü lb e lü l 10 sz e r k e v é sb é é rz é k e n y e rre a

z ajra . A k é k g ö rb e a D L T

EHQ NHOHWNH]Ę KLED PtJ D S

ⁱ^rô ^s ^g ^ö ^r^b ê â ^fê^jê ^z ê ^t^b ê ⁿ

EHPXWDWRWWDOJRULWPXVEDQNHOHWNH]ĘKLED

0 ,0 0 %

0 ,1 0 %

0 ,2 0 %

0 ,3 0 %

0 ,4 0 %

0 ,5 0 % 0 ,

00 1 ,

00 2 ,

00 3 ,

00 4 ,

00 5 ,

00 6 ,

00 7 ,

00 8 ,

00 9 ,

00 10 ,

00

H

iba Z aj D LT (% )

A ffin (% )

(9)

2 . H ib a a z aj fü g g v é n y é b e n

E z e n a m á so d ik d ia g ra m m o n a z o k a t a p o n tm e g fe le lte té se k is z ajo síto ttu k ,

DPHO\EĘOD]DIILQWUDQV]IRUPiFLyV]iPROyGLN$GLDJUDPWHQJHO\HLXJ\DQD]RNPLQW D] HOĘ]Ęp

^. Â ^k ^é ^k ^v ô ⁿ â ^l ^s^z ⁱⁿ ^t^ú ^g ^y â ^D ^L ^T â ^l^g ô ^rⁱ^t^m û ^s ^h ⁱ^b ^á^jâ

±

ê ^z ^t ^tê ^r^m ^é ^s^z ê ^tê ^sê ⁿ ⁿ ê ^m

EHIRO\iVROMDD]DIILQWUDQV]IRUPiFLyEDQOHYĘ]DM$]|OGYRQDOD]WPXWDWMDKRJ\KDD]

a ffin tra n sz fo rm á c ió p o n tm e g fe le lte té se ih e z 0 .5 sz ó rá sú G a u ss z aj v a n h o z z á a d v a

(p ix e lb e n ), a k k o r h o g y a n re a g á l a z e ljá rá s. A lila v o n a l 1 .0 p ix e ln y i sz ó rá sra , a p iro s

g ö rb e p e d ig 2 .0 p ix e ln y i sz ó rá sra m u ta tja u g y a n e z t. A z t lá tju k , h o g y n e m lin e á risa n

QĘ]DMRVDIILQWUDQV]IRUPiFLyUDDKLEDD]HOMiUiVDODSYHWĘHQMyOWHOMHVtWGHEL]RQ\RV

e se te k re in sta b il.

$ VWDELOLWiV PHJĘU]pVpUH WULYLiOLVDQ DGyGLN D] D PyGV]HU KRJ\ D

p o n tm e g fe le lte té se k e t n o rm a liz á lj u k , é s e z e n a d a to k o n sz á m o lju n k .

LVPHUWDIILQWUDQV]IRUPiFLyEyOpVNpWSRQWPHJIHOHOWHWpVEĘO

A h o m o g rá fiá ra v o n a tk o z ó e g y e n le te k fe lírh a tó a k ú g y is, h o g y c sa k a z a ffin

tra n sz fo rm á c ió e g y ré sz é t ism e rjü k

±

â ⁿ ^y ^í^r^á ^s^t^; ê ^l^fô ^r^g â ^t^á ^s^t^;

ܺǡ ܻ

^tê ⁿ ^g ê ^l^y ê ^k ^m ê ⁿ ^tⁱ

sk á lá t.

,VPHUW IXQGDPHQWiOLV PiWUL[ HVHWpQ D] HOIRUJDWiV HJ\pUWHOPĦHQ DGyGLN D NpVĘEEOHtUW PyGRQ(

^z ê ⁿ ^fê ^l^ü ^l â ⁿ ^y ^í^r^á ^s ^v â ^g ^y â ^z

ܺ

^tê ⁿ ^g ê ^l^y ^m ê ⁿ ^tⁱ ^s^k ^á ^lâ ⁱ^s^m ê ^rê ^t^é ^b ê ⁿ

m á r k isz á m o lh a tó a z e g z a k t h o m o g rá fia .

0 ,0 %

0 ,1 %

0 ,2 %

0 ,3 %

0 ,3 % 0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 4 4 ,5 5

H

iba Zaj D LT

A ffin (0 .5 p x )

A ffin (1 .0 p x )

A ffin (2 .0 p x )

(10)

5 .1 . A ffin tr a n s z fo r m á c ió s m o d e l

E z t a feje z e te t a z a z e lg o n d o lá s ih le tte , h o g y ism e rt fu n d a m e n tá lis m á trix

e se té n a z a d o tt p o n t k ö rn y e z e té re v o n a tk o z ó a ffin tra n sz fo rm á c ió e g y ré sz é t ism e rjü k

±

â ^z ê ^l^fô ^r^g â ^t^á ^s ^s^z ^ö ^g ê

HJ\pUWHOPĦHQDGyGLN(]~J\NpS]HOKHWĘHOJHRPHWULDLODJKRJ\

v e s sz ü k a p o n t v e tü le té t a z e g y ik k é p e n é s a v e tü le té t a m á sik k é p e n , e k k o r a z

e p ip o lá ris g e o m e triá b ó l jó l ism e rt tu laj d o n sá g m ia tt a m á so d ik v e tü le t

QHN D] HOVĘ

v e tü le t á lta l m e g h a tá ro z o tt e p ip o lá ris e g y e n e s p á rjá n k e ll e lh e ly e z k e d n ie . Íg y a z a ffin

tra n sz fo rm á c ió sz ö g e a k é t e p ip o lá ri s e g y e n e s á lta l b e z á rt sz ö g e k é n t a d ó d ik .

E k k o r fe lírh a tu n k e g y a ffin tra n sz fo rm á c ió s m o d e lt, a m e ly k ie lé g íti e z e k e t a

g e o m e tria i k ö v e te lm é n y e k e t. (3 8)

A h o l A z e p ip o lá ri s e g y e n e se k á lta l b e z á rt sz ö g

± $PiVRGLNNpSHQOHYĘHSLSROiULVHJ

^y ê ⁿ ê ^s ^m ê ^rê ^d ê ^k ^s^é ^g ê

±

^F ^o ^r^g ^a ^t^á ^sⁱ ^m ^á ^t^rⁱ^x

±

^N ^y ^í^r^á ^sⁱ ^m ^á ^t^rⁱ^x

±

Â ^k ^é ^p ^sⁱ^k ^X ^tê ⁿ ^g ê ^l^y ê ^m ê ⁿ ^tⁱ ^s^k ^á ^l^á ^z ^á ^sⁱ ^m ^á ^t^rⁱ^x

±

Â ^k ^é ^p ^sⁱ^k ^Y ^tê ⁿ ^g ê ^l^y ê ^m ê ⁿ ^tⁱ ^s^k ^á ^l^á ^z ^á ^sⁱ ^m ^á ^t^rⁱ^x

T e h á t e z a m o d e l (3 8 ) ú g y írja le a z

HOVĘ

^é ^s â ^m ^á ^sô ^d ⁱ^k ^p ô ⁿ ^t^k ^ö ^rⁿ ^y ê ^z ê ^t ^k ^ö ^z ^ö ^t^tⁱ â ^f^fⁱⁿ

WUDQV]IRUPiFLyW KRJ\ HOĘV]|U D] HOVĘ N|UQ\H]HW iWIRUJDWMXN D PiVRGLN N|UQ\H]HWEH

(

ࡾ _ࢻ

⁾ ^. ^M ^á ^sô ^d ⁱ^k ^t^râ ⁿ ^s^z ^fô ^r^m ^á ^c ⁱ^ó ^k ^é ⁿ ^t ^fô ^r^g â ^tû ⁿ ^k â ^m ^á ^sô ^d ⁱ^k ê ^p ⁱ^p ô ^l^á ^rⁱ^s ê ^g ^y ê ⁿ ê ^s

m e re d e k sé g é v e l (

ࡾ ࢼ

) , íg y a v íz sz in te s te n g e lly e l p á rh u z a m o ssá té v e a z e p ip o lá ris

e g y e n e st. M ajd e lv é g e z z ü k a z e g y e n e s m e n ti (

ࡿ _࢛ pV D] HJ\HQHVUH PHUĘOHJHV ࡿ ሻ

sk á lá z á so k a t, ille tv e a n y írá st (

ࢃ

⁾ ^. ^L ê ^g ^v ^é ^g ^ü ^l ^v ⁱ^s^s^z â ^fô ^r^g â ^t^jû ^k â ^z ê ^rê ^d ê ^tⁱ ^s^z ^ö ^g ^é ^b ê â

m in tá t (

ࡾ _ିࢼ

⁾^. ^M ⁱ^v ^e ^l

ߙ

^,^é ^s

ߚ

^s^z ^ö ^g ê ^k ê ^t ⁱ^s^m ê ^r^j ^ü ^k ^,^m ^ó ^d ô ^s^í^t^sû ^k â ^z ê ^g ^y ê ⁿ ^lê ^tê ^t ⁽³ ⁸ ⁾ ^.

(3 9)

a h o l (4 0 )

F ej e z z ü k k i

࡭

^m ^á ^t^rⁱ^x ê ^lê ^m ê ⁱ^t â ^m ^á ^t^rⁱ^x ^s^z ô ^r^z ^á ^sô ^k â ^t ê ^l^v ^é ^g ê ^z ^v ê ^.

(4 1)

(4 2 )

(4 3)

(11)

a h o l (4 4 )

(4 5)

(4 6)

(4 7)

(4 8)

V e z e s sü n k b e se g é d v á l

WR]yNDWD]HJ\V]HUĦVpJNHGYppUW

,

ݏ ଶ ൌ ݎ ିఉǡଵଵ כ ݉ ଶଵ

^,

ݏ ଷ ൌ ݎ ିఉǡଵଶ כ ݉ ଶଵ

^, ^,

, , , ,

݉

^,

ݏ ଵ଴ ൌ ݎ ିఉǡଶଵ כ ݉ ଵଶ

^,

ݏ ଵଵ ൌ ݎ ିఉǡଶଵ כ ݉ ଶଶ

^,

ݏ

(4 9)

H

HO\HWWHVtWVNEHĘNHWDPHJIHOHOĘHJ\HQOHWHNEH

⁽⁴ ⁵ ⁴ ⁸ ⁾ ^.

ݐ

^,

ݐ

^,

ݐ

^,

(5 0 )

M o st, h o g y úja b b e g y e n le te in k a d ó d ta k a z a ffin tra n sz fo rm á c ió p a ra m é te re ir e ,

h a sz n á lju k fe l a z e

OĘ]Ę IHMH]HWEHQ D KRPRJUiILiEyO

^é ^s â ^fû ⁿ ^d â ^m ê ⁿ ^t^á ^lⁱ^s ^m ^á ^t^rⁱ^x ^b ^ó ^l

k ifeje z e tt fo rm u lá k a t (3 0 ) , ille tv e v e z e ssü n k b e e g y a lsó in d e x e t

± PLQW D] HOĘ]Ę

fej e z e tb e n

±

â ^m ê ^l^l^y ê ^l â ^z ^t ^jê ^l^ö ^l^j^ü ^k

KDQ\DGLN LQGH[Ħ SRQWSiUUyO

^, ⁱ^l^lê ^t^v ê â ^f^fⁱⁿ

tra n sz fo rm á c ió ró l v a n sz ó . (5 1)

(5 2 )

(5 3)

(5 4 )

Íg y k é t p o n tm e g fe le lte té s e se té n d a ra b e g y e n le tü n k v a n , é s 10

ism e re tle n p a ra m é te rü n k (

ߣǡ ݄

⁾ ^. ^F ê ^l^í^r^h â ^t^jû ^k â ^z ô ⁿ ^b â ⁿ â

h a g y o m á n y o s p o n tm e g fe le lte té s a la p ú D L T a lg o ritm u sb ó l sz á rm a z ó e g y e n le te k e t is.

5 .2 . H a g y o m á n y o s a lg o r itm u s (D L T ) e g y e n le te i (5 5)

(12)

(5 6)

E lv é g e z v e a m á trix v e k to r sz o rz á st é s a fu n d a m e n tá lis m á trix b ó l k ifeje z e tt

h o m o g rá fiá ra v o n a tk o z ó e g y e n le te k e t b e h e ly e tte sítv e (3 4 ) (v é g e s so k e k v iv a le n s

iWDODNtWiVXWiQDGyGLNDN|YHWNH]ĘHJ\HQOHWUHQG

^s^z ^e ^r ^.

(5 7)

B a lra re n d e z v e a z e g y e n le te k e t é s k ie m e lv e a v á lto z ó k a t: (5 8)

(5 9)

E k k o r k é t p o n t e se té n e g y a lu lh a tá ro z o tt in h o m o g é n lin e á ris e g y e n le tre n d sz e r k a p u n k .

V e g y ü n k e g y , a k é t p o n tm e g fe le lte té sre v o n a tk o z ó e g y e n le te k v á lto z ó in a k

e g y ü tth a tó it tá ro ló m á trix o t : (6 0 )

L e g y e n

࢞

â ^z ⁱ ^s^m ê ^rê ^t^lê ⁿ ê ^k ê ^t ^tâ ^r^tâ ^l^m â ^z ^ó ^v ê ^k ^tô ^r ^.

(6 1)

M iv e l a z e g y e n le tre n d sz e rü n k

OLQHiULVDQ |VV]HIJJĘ ࡭ ^ࢀ כ ࡭

^m ^á ^t^rⁱ^x ⁿ ^a ^k ^k ^é ^t ^z ^é ^r^u ^s

sajá té rté k e le sz . Íg y a z

࢞

^v ê ^k ^tô ^r â ^k ^é ^t ⁿ û ^l^lâ ^sâ^j^á ^t^é ^r^t^é ^k ^h ê ^z ^tâ ^r^tô ^z ^ó ^sâ^j^á ^t^v ê ^k ^tô ^r ^lⁱⁿ ê ^á ^rⁱ^s

NRPELQiFLyMDNpQWiOOHOĘ

(6 2 )

(13)

ߙ כ ൦ ݒ ଵଵ

ݒ ଵଶ

ݒ ଵଷ

ݒ ଵସ

൪ ൅ ߚ כ ൦ ݒ ଶଵ

ݒ ଶଶ

ݒ ଶଷ

ݒ ଶସ

൪ ൌ ൦

݄ ߣ ଷଵ

݄ ଷଶ

݄ ଷଷ

൪

⁽⁶ ³⁾

ߙǡ ߚ א Թǡ ࢜ ૚ ǡ ࢜ ૛ א Թ ^ସ

Itt

࢜ _૚

^e ^t ^é ^s

࢜ _૛

^t ⁱ^s^m ^e ^r^j^ü ^k

±

ê ^z ê ^k â ^k ^é ^t ⁿ û ^l^lâ ^sâ^j^á ^t^é ^r^t^é ^k ^h ê ^z ^tâ ^r^tô ^z ^ó ^sâ^j^á ^t^v ê ^k ^tô ^rô ^k ^. ^K ^é ^t

LVPHUHWOHQSDUDPpWHUUHV]ĦNOWWHKiWD]HJ\HQO

ê ^t^rê ⁿ ^d ^s^z ê ^r^ü ⁿ ^k ^:

ߙ

^r^a ^é ^s

ߚ

^r^a ^.

5 .3 . A k é t e g y e n le tr e n d s z e r e g y e síté se

A d ó d o tt a 5 .1 e s fej e z e tb e n a ffin tra n sz fo rm á c ió k b ó l k in y e rt

e g y e n le tre n d sz e rü n k (5 1 5 4 ) , ille tv e a 5 .2

HV IHMH]HWEHQ SRQWPHJIHOHOWHWpVHNEĘO

k in y e rt (6 3) . E z e k e t e g y e sítsü k , h e ly e tte sítsü k b e a 5 .1

HV IHMH]HWEHQ OHYĘ

e g y e n le tre n d sz e r b a l o ld a lá b a

D]HOĘ]ĘIHMH]HWEHQOHYĘ|VV]HIJJp

^sê ^k ê ^t^. Â ^z ^í^g ^y â ^d ^ó ^d ^ó

e g y e n le te in k v é g e s so k e k v iv a le n s á ta la k ítá s u tá n k é t p o n tm e g fe le lte té sre :

ቀݒ ଵଵ כ ݂ ଶଵ ൅ ቀ݁ ௫ െ ݑ _௜ ^ሺଶሻ ቁ כ ݒ ଵଶ ቁ כ ߙ ൅ ቀݒ ଶଵ כ ݂ ଶଵ ൅ ቀ݁ ௫ െ ݑ _௜ ^ሺଶሻ ቁ כ ݒ ଶଶ ቁ כ ߚ ሺݒ ଵଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵସ ሻ כ ߙ ൅ ቀݒ ଶଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶସ ቁ כ ߚ ൌ

ൌ ݏ ௜ǡଵ כ ݍ ௜ ൅ ݏ ௜ǡଶ כ ݓ ௜ כ ݐ ௜ ൅ ݏ ௜ǡଷ כ ݐ ௜

(6 4 )

ቀݒ ଵଵ כ ݂ ଶଶ ൅ ቀ݁ ௫ െ ݑ _௜ ^ሺଶሻ ቁ כ ݒ ଵଷ ቁ כ ߙ ൅ ቀݒ ଶଵ כ ݂ ଶଶ ൅ ቀ݁ ௫ െ ݑ _௜ ^ሺଶሻ ቁ כ ݒ ଶଷ ቁ כ ߚ ሺݒ ଵଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵସ ሻ כ ߙ ൅ ቀݒ ଶଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶସ ቁ כ ߚ ൌ

ൌ ݏ ௜ǡସ כ ݍ ௜ ൅ ݏ ௜ǡହ כ ݓ ௜ כ ݐ ௜ ൅ ݏ ௜ǡ଺ כ ݐ ௜

(6 5)

൬ቀ݁ ௬ െ ݒ _௜ ^ሺଶሻ ቁ כ ݒ ଵଶ െ ݒ ଵଵ כ ݂ ଵଵ ൰ כ ߙ ൅ ൬ቀ݁ ௬ െ ݒ _௜ ^ሺଶሻ ቁ כ ݒ ଶଶ െ ݒ ଶଵ כ ݂ ଵଵ ൰ כ ߚ ሺݒ ଵଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵସ ሻ כ ߙ ൅ ቀݒ ଶଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶସ ቁ כ ߚ ൌ

ൌ ݏ ௜ǡ଻ כ ݍ ௜ ൅ ݏ ௜ǡ଼ כ ݓ ௜ כ ݐ ௜ ൅ݏ ௜ǡଽ כ ݐ ௜

(6 6)

൬ቀ݁ ௬ െ ݒ _௜ ^ሺଶሻ ቁ כ ݒ ଵଷ െ ݒ ଵଵ כ ݂ ଵଶ ൰ כ ߙ ൅ ൬ቀ݁ ௬ െ ݒ _௜ ^ሺଶሻ ቁ כ ݒ ଶଷ െ ݒ ଶଵ כ ݂ ଵଶ ൰ כ ߚ ሺݒ ଵଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵସ ሻ כ ߙ ൅ ቀݒ ଶଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶସ ቁ כ ߚ ൌ

ൌ ݏ ௜ǡଵ଴ כ ݍ ௜ ൅ ݏ ௜ǡଵଵ כ ݓ ௜ כ ݐ ௜ ൅ ݏ ௜ǡଵଶ כ ݐ ௜

(6 7)

M iv e l a z e g y e n le te k n e m lin e á risa k ,

SUyEiOMXNPHJOLQHDUL]iOQLĘNHW(UUHNp]HQIHNYĘ

m e g o ld á s, h o g y

WHJ\QNPHJN|WpVWDEDOROGDOLRV]WiVRNQHYH]ĘMpUH/HJ\HQ

ሺݒ ଵଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵସ ሻ כ ߙ ൅ ൫ݒ ଶଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶସ ൯ כ ߚ ൌ ͳ

⁽⁶ ⁸⁾

F ej e z z ü k k i v a la m e ly ik ism e re tle n p a ra m é te rt

D] HJ\HQOHWEĘO LOOHWYH YHJ\N pV]UH KRJ\H]DPHJN|WpVD]]DOMiUKRJ\PLQGHQNO|QE|]ĘSRQWPHJIHOHOWHWpVUHYRQDWNR]y

n é g

\HJ\HQOHWHQNpQWNO|QE|]ĘHNOHV]QHNLQQHQWĘONH]GYHD] ߙ

^é ^s ^a

ߚ

^p â ^râ ^m ^é ^tê ^rê ^k ^,

e z é rt sz ü k sé g e s

LQQHQWĘONH]GYHH]HNHWLVLQGH[HOQL ߙ ௜ ൌ ͳ െ ቀݒ ଶଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଶସ ቁ כ ߚ ௜

ݒ ଵଶ כ ݑ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵଷ כ ݒ _௜ ^ሺଵሻ ൅ ݒ ଵସ

(6 9)

(14)

E k k o r a z ism e re tle n e in k sz á m a n e m v á lto z ik

±

^h ⁱ^s^z ^e ⁿ ^m ⁱⁿ ^d ^e ⁿ

ߙ _௜ ǡ ߚ _௜

^p ^á ^rô ^s^b ^ó ^l â ^z ê ^g ^y ⁱ^k

NLIHMH]KHWĘ D PiVLNNDO pV D] HJ\HQOHWUHQGV]HUQN LQQHQWĘO HJ\

ê ^t^lê ⁿ ^l^é ^p ^é ^s^rê ^k ê ^r^ü ^l^t

a ttó l,h o g y lin e á ris le g y e n . V e z e ssü n k b e n é h á n y se g é d v á lto z ó t

ݒ

^,

ݏ

⁽⁷ ⁰ ⁾

E z e k e t h e ly e tte sítsü k v issz a a z

ߙ ௜

k re v o n a tk o z ó e g y e n le tb e . (7 1)

E z t h e ly e tte sítsü k b e a z a d o tt e g y e n le te k b e (64 6 7)

LOOHWYHDQHYH]ĘNHWFVHUpOMNNL

re

±

â ^h ô ^g ^y â ^m ê ^g ^k ^ö ^t^é ^s^ü ⁿ ^k ^m ê ^g ^k ^ö ^v ê ^tê ^lⁱ^. Ê ^z ê ⁿ ^fê ^l^ü ^l ^rê ⁿ ^d ê ^z ^z ^ü ^k ^, ^é ^s ê ^m ê ^l^j ^ü ^k ^k ⁱ â ^z

ism e re tle n e k e t a z e g y e n le te k b a l o ld a lá ra , a z in h o m o g é n ré sz t p e d ig a jo b b o ld a lra ,

ille tv e v e z e s sü n k b e ú ja b b

VHJpGYiOWR]yNDW/HJYpJVĘOpSpVNpQWKHO\HWWHVtWVN ݓ

sz o rz a to t e g y ú j

ݓݐ _௜

^v ^á ^l^tô ^z ^ó ^v â ^l^, ê ^z ^z ê ^l ^m ^á ^r ^tê ^l^jê ^sê ⁿ ^lⁱⁿ ê ^á ^rⁱ^s ^s^á ^t^é ^v ê â ^z

e g y e n le tre n d sz e rt. (7 2 )

(7 3)

(7 4 )

(7 5)

E k k o r v é g e s so k e k v iv a le n s á ta la k ítá s u tá n : (7 6)

(7 7)

(7 8)

(7 9)

B e v e z e th e tü n k e g y o ly a n m e g k ö té st, a m i a z t g a ra n tá lja , h o g y m in d k é t p o n t u g y a n a z t

a h o m o g rá fiá t a dja . (8 0 )

E z a m e g k ö té s k é t p o n tm e g fe le lte té s e se té n a z a lá b b i e g y e n le te k e t je le n ti (m á r

b e h e ly e tte sítv e a z

ߙ _௜ KHO\pUHDPHJIHOHOĘHJ\HQOHWHW

⁽⁷ ¹ ⁾⁾^:

(15)

(8 1)

(8 2 )

V e g y ü k é sz re , h o g y m iv e l

࢜ _૚ ǡ ࢜ _૛

^v ê ^k ^tô ^rô ^k ⁿ ^é ^g ^y

QpJ\NRPSRQHQVEĘOiOOQDNH]pUWH]

a z e g y e n le t v a ló já b a n n é g y e g y e n le t, a m e ly e k b e n m in d ig a z a k tu á lis

ݒ

k o o rd in á ta sz e re p e l (

݇ א ሾͳǡͶሿ

⁾ ^. Ê ^k ^k ô ^r ^fê ^l^í^r^h â ^tû ⁿ ^k ê ^g ^y ô ^l^y â ⁿ

࡭

^m ^á ^t^rⁱ^x ô ^t^, â ^m ê ^l^y

ta rta lm a z z a a z e g y e n le tre n d sz e r ö ssz e s e g y e n le té n e k v á lto z ó in a k e g y ü tth a tó it, e g y

࢞

v e k to rt, a m e ly a z ism e re tle n e k tá ro lja é s e g y

࢈

^v ê ^k ^tô ^r^t^, â ^m ⁱ â ^z ⁱⁿ ^h ô ^m ô ^g ^é ⁿ ^r^é ^s^z ^t

ta rta lm a z z a . M iv e l e z e g y tú lh a tá ro z o tt in h o m o g é n e g y e n le tre n d sz e r a le g k ise b b

n é g y z e te s é rte le m b e n o p tim á lis m e g o ld á s a z

࡭ ^ା כ ࢈ ൌ ሺ࡭ ^ࢀ כ ࡭ሻ ^ିଵ כ ࡭ ^ࢀ כ ࢈

^l^e ^s^z ^.

$]RQEDQ EL]RQ\RV HJ\HQOHWHN OLQHiULV |VV]HIJJĘVpJH PLDWW D] HUHGPpQ\

ily e n m ó d o n n e m sta b il

±

^b ⁱ^z ô ⁿ ^y ô ^s ê ^sê ^t^b ê ⁿ ^j^ó ^l ^k ^ö ^z ê ^l^í^tⁱ â ^h ô ^m ô ^g ^r^á ^fⁱ^á ^t^, ^d ê ⁿ ê ^m

ro b u sz tu s. A n n a k é rd e k é b e n , h o g y m in d e n e se tb e n a z e g z a k t e re d m é n y t a d ja

ism e rn ü n k k e ll le g a lá b b a z e g y ik p o n tb a n v a g y a v íz sz in te s te n g e lly e l p á rh u z a m o s

sk á lá z á st (

ݍ _௜

⁾^, ^v ^a ^g ^y ^a ⁿ ^y ^í^r^á ^s^t ⁽

ݓ _௜

⁾ ^. Ê ^z ê ⁿ ^b ^á ^r^m ê ^l^y ⁱ^k ^é ⁿ ê ^k ⁱ^s^m ê ^rê ^t^é ^b ê ⁿ â ^z ê ^rê ^d ^m ^é ⁿ ^y

sta b il é s p o n to s .

5 .4 . T e s z te k

E z a m ó d sz e r is le le tt te sz te lv e z aj o síto tt a d a to k o n

±

^tê ^r^m ^é ^s^z ê ^tê ^sê ⁿ ^k ^é ^t

p o n tm e g fe le lte té s e se té n n e m re m é lt e re d m é n y a z , h o g y ro b u sz tu s le g y e n a z ajra . A

sta b ilitá s é rd e k é b e n a z e ljá rá st k i k e ll é s k i le h e t te rje sz te n i

p o n tm e g fe le lte té sre , ille tv e n o rm a liz á ln i k e ll a z a d a to k a t.

3 . P o n tm e g fe le lte té se k z aj o sítá sa

0 ,0 %

0 ,5 %

1 ,0 %

1 ,5 %

2 ,0 %

2 ,5 %

3 ,0 % 0 ,

00 0 ,

08 0 ,

16 0 ,

24 0 ,

32 0 ,

40 0 ,

48 0 ,

56 0 ,

64 0 ,

72 0 ,

80 0 ,

88 0 ,

96

H

iba Zaj H ib a

(16)

A d ia g ra m a z t m u ta tja b e , h o g y a m e n n y ib e n v a n k é t p o n tm e g fe le lte té sü n k ,

é s m in d k é t p o n tb a n ism e rj ü k a z a ffin tra n sz fo rm á c ió b ó l a v íz sz in te s sk á lá t, a k k o r , h a

z ajo sítju k a z e re d m é n y t, a m ó d sz e r h o g y a n re a g á l e rre a z ajra . M in d e n z aj sz in te n 50

fu tta tá s á tla g a k é n t a d ó d ik a d o tt p o n tb a n d ia g ra m é rté k e .

$Yt]V]LQWHVpVDIJJĘOHJHV

te n g e ly

D] HOĘ]Ę GLDJUDPPRNKR] KDVRQOy

Â ^z ^t ^l^á ^t^j û ^k ^, ^h ô ^g ^y ⁰ ^p ⁱ^x ê ^l ^s^z ^ó ^r^á ^s^ú ^z â^j^râ â

h ib a te rm é sz e te se n z é ru s, d e a h o g y n ö v e ljü k a z ajt, a m ó d sz e r in sta b illá v á lik .

E b b e n a c ik k b e n m e g m u ta ttu k , h o g y a ffin tra n sz fo rm á c ió ism e re té b e n

UREXV]WXVDEEDQEHFVOKHWĘDVtNKRPRJUiILD

Ê ^r^rê ^m û ^tâ ^t^tû ⁿ ^k ^h ^á ^rô ^m ^lê ^h ê ^t^s^é ^g ê ^s ⁱ^r^á ⁿ ^y ^t^.

E g y e t a rra a z e se tre , h a n e m ism e rjü k a fu n d a m e n tá lis m á trix o t. A m á so d ik e se tb e n

m in t a te lje s a ffin tra n sz fo rm á c ió t, m in d a fu n d a m e n tá lis m á trix o t ism e rj ü k . A

h a rm a d ik m ó d sz e r e se té n a fu n d a m e n tá lis m á trix m e lle tt e lé g a z a ffin tra n sz fo rm á c ió t

ré sz le te se n ism e rn i a h o m o g rá fia k isz á m o lá sá h o z .

7RYiEEL IHODGDW PpJ D KRPRJUiILDEHFVOĘ HOMiUiVRN J\DNRUODWL DONDOPD]iVD

E rre le h e tsé g e s ú tk é n t a d ó d ik o ly a n p o n tm e g fe le lte té si a lg o ritm u so k h a sz n á la ta ,

a m e ly m e g h a tá ro z z a a z a ffin tra n sz fo rm á c ió b iz o n y o s k o m p o n e n se it is, p é ld á u l a

K L T a lg o ritm u s [7 ] .A sz á m o lt a d a to k b ó l e k k o r m á r k isz á m o lh a tó v a ló s sz ín te re k re is

a sík h o m o g rá fia a ta n u lm á n y b a n v á z o lt m ó d sz e re k k e l.

1 . H a rtley , R . I . a n d Z is s e r m a n , A . (2 0 0 3) . M u ltip le V ie w G e o m e try in

C o m p u te r V is io n . C a m b ridg e U n iv e rs ity P ress

2 . Y u, G . a n d M o r e l, J .WM . (2 0 1 1) . A S IF T : A n A lg o rith m f o rF u lly A ff in e

I n v a ria n t C o m p a ris o n . I m ag e P ro c ess ing O n L in e, 2 0 1 1 .

3 . A S u rv ey of P la n a r H o m og r ap hy E s tim a tio n T e c h n iq u es, A n u b h a v A g a rw a l,

C . V . J a w a h a r, a n d P . J . N a ray a n a n IIIT /T R /2 0 0 5 /12 , 2 0 0 5

4 . J o zs ef N e m e th, C s a b a D o m o k o s, a n d Z o lta n K a to . R e c o v e rin g P la n a r

H o m o g rap h ies B e tw e e n 2 D S h ap es . I n P ro c e e d in g s o f In te rn a tio n a l

C o n fe re n c e o n C o m p u te r V isio n (IC C V), K y o to , J ap a n , p a g es 2 1 7 0 W2 1 7 6 ,

S ep te m b e r 2 0 0 9 .IE E E .

5 . K r ey s z ig , E . (1 9 9 1) . D i ff e re n tia l g e o m e try .D o v e r P u b lic a tio n s .

6. 3D Reconstruction of Planar Surface Patches: A Direct Solution, Jozsef Molnar, Rui Huang, and Zoltan Kato, ACCV IMEV Workshop, 2014 7. B. D. Lucas and T. Kanade (1981), An iterative image registration technique

M e g e m líth e tü n k a k á r p o n tm e g fe le lte té sRa la p ú ± p é ld á u l a D L T a lg o ritm u s [1

±

±

$SRQWPHJIHOHOWHWpVEĘOGROJR]yHOMiUiVRN

IHNYĘ SRQWPHJIHOHOWHWpVEĘO NLV]iPROMD

EĘO UREXV]WXVDEEDQ OHKHW

PHJIHOHOWHWpVEĘ

Թ

HJ\PiVUD N|OFV|Q|VHQ PHUĘOHJHV VWDQGDUG Ei]LVD pV ܻǡ ܼ

(]HNUĘO

ܺǡ ܻǡ ܼǣ Թ ଶ ՜ Թ ଷ ǡ ݑǡ ݒǣ Թ

ܵሺݑǡ ݒሻ ൌ ܺሺݑǡ ݒሻ כ ࢏ ൅ ܻሺݑǡ ݒሻ כ ࢐ ൅ ܼሺݑǡ ݒሻ כ ࢑

ܺǡ ܻǡ ܼ IJJYpQ\HN D PHJIHOHOĘ WpUNRRUGLQiWiNUD NpS]LN OH D] ݑǡ ݒ

)HOVĘ LQGH[V]HO MHO|OMN LQQHQWĘO

݀ݔ ሺ௜ሻ ൌ ݔ ሺ௜ሻ ሺݑ ൅ ݀ݑǡ ݒ ൅ ݀ݒሻ െ ݔ ሺ௜ሻ ሺݑǡ ݒሻ

݀ݕ ሺ௜ሻ ൌ ݔ ሺ௝ሻ ሺݑ ൅ ݀ݑǡ ݒ ൅ ݀ݒሻ െ ݔ ሺ௝ሻ ሺݑǡ ݒሻ

KDHOVĘ

൤݀ݔ ݀ݕ ሺ௜ሻ ሺ௜ሻ ൨ ൎ ۏ ێ ێ ۍߜݔ ሺ௜ሻ

ߜݑ ߜݔ ሺ௜ሻ ߜݕ ሺ௜ሻ ߜݒ

ߜݑ ߜݕ ሺ௜ሻ ߜݒ ے ۑ ۑ ې

ቂ݀ݑ ݀ݒቃ ൌ ܬ ሺ௜ሻ ቂ݀ݑ ݀ݒቃ

ܬ א Թ ଶൈଶ

ሾ݀ݑ ݀ݒሿ ்

ቂ݀ݑ ݀ݒቃ ൌ ܬ ሺ௜ሻିଵ ൤݀ݔ ݀ݕ ௜ ௜ ൨

൤ ݀ݔ ௝

݀ݕ ௝ ൨ ൌ ܬ ሺ௝ሻ ܬ ሺ௜ሻିଵ ൤݀ݔ ݀ݕ ௜ ௜ ൨

$ PHJMHOHQĘ ܣ ሺ௜ǡ௝ሻ ሺൌ ܬ ሺ௝ሻ ܬ ሺ௜ሻିଵ ሻ א Թ ʹൈʹ

൤ ݀ݔ ௝

݀ݕ ௝ ൨ ൌ ܣ ሺ௜ǡ௝ሻ ൤݀ݔ ݀ݕ ௜ ௜ ൨

0ROQiUpVPWVDLFLNNpEĘO>@OiWKDWMXNKRJ\D

ܪ

HOĘ]ĘOHJEHYH]HWHWW ܣ

ܽ ଵଵ ൌ ப୶ ப୶ ሺమሻ ሺభሻ ൌ ଵ ௦ כ ሺ݄ ଵଵ െ ݄ ଷଵ כ ݔ ሺଶሻ ሻ

ܽ ଵଶ ൌ ப୶ ப୷ ሺమሻ ሺభሻ ൌ ଵ ௦ כ ሺ݄ ଵଶ െ ݄ ଷଵ כ ݔ ሺଶሻ ሻ

ܽ ଶଵ ൌ ப୷ ப୶ ሺమሻ ሺభሻ ൌ ଵ ௦ כ ሺ݄ ଶଵ െ ݄ ଷଵ כ ݕ ሺଶሻ ሻ

ܽ ଶଶ ൌ ப୷ ப୷ ሺమሻ ሺభሻ ൌ ଵ ௦ כ ሺ݄ ଶଶ െ ݄ ଷଵ כ ݕ ሺଶሻ ሻ

D] HOĘ]ĘHNEHQ IHOYi]ROW DIILQ WUDQV

±

±

(OĘV]|U HJ\ RO\DQ HVHWHW YL]VJiOXQN DPLNRU QHP LVPHUW D V]WH

±

MHO|OMN IHOVĘ LQGH[V]HO MHO ݌ ሺ ݅ ሻ

݌ ݅

HJ\V]HUĦiWUHQGH]pVpYHO

SRQWD]HOVĘNpSUĘOpV

PHJIHOHOĘMHD

ܽ

ܽ

$] HOĘ]Ę IHMH]HWEHQ OHtUW HJ\HQOHWHNEĘO

D] D PHJROGiV KRJ\ KD PDJiEDQ QHP LV HOHJHQGĘ D] LQIRUPiFLy D IHODGD

EHFVOĘ

NLHJpV]tWKHWĘHN D IHQWL HJ\HQOHWUHQGV]HUUHO

ࢄ ࢏ ൌ ሾݔ ௜ ݕ ௜ ݖ ௜ ሿ ் ሺ݅ א ሾͳǡ ܰሿǡ ܰ ൒ Ͷሻ

ࡼ ૚ ǡ ࡼ ૛

ࢄ ࢏

Ͷ

ܰ ൐ Ͷ

HVHWpQDSUREOpPDQpPLNpSSHJ\V]HUĦV|GLN

ࢋ

ࡴ ሻ

ࡲሺא Թ ଷൈଷ ሻ

Թሻ

ሾࢋሿ ൈ

.LIHMWYHD]HOĘ]ĘHNHW

HOĘiOOtWKDWy

DGyGLNDN|YHWNH]Ę|V

QOHWHLQNEĘO

HOPĦHQOiWV]LNDIHQWLKDWHJ\HQOHWEĘO

ߣ Թ

OĘ]Ę IHMH]HWEHQ OHtUW HJ\HQOHWH

WHNEĘONLIHMH]KHVVNDKRPRJUiILiW ±

ܽ

ܽ

]HOĘ]ĘIHMH]

YpJpQPHJMHOHQĘNLIHMH]pVHNHW DN|YHWNH]Ę|VV]HIJJpV

࢞

ܣ ் כ ܣ

ݔ

ܰ ൐ ͳ

EĘYtWVND]࡭

ܺǡ ܻǡ ܼǣ Թ ^ଶ ՜ Թ ^ଷ ǡ ݑǡ ݒǣ Թ

ܺǡ ܻǡ ܼ IJJYpQ\HN D PHJIHOHOĘ WpUNRRUGLQiWiNUD NpS]LN OH D] ݑǡ ݒ

)HOVĘ LQGH[V]HO MHO|OMN LQQHQWĘO

݀ݔ ^ሺ௜ሻ ൌ ݔ ^ሺ௜ሻ ሺݑ ൅ ݀ݑǡ ݒ ൅ ݀ݒሻ െ ݔ ^ሺ௜ሻ ሺݑǡ ݒሻ

݀ݕ ^ሺ௜ሻ ൌ ݔ ^ሺ௝ሻ ሺݑ ൅ ݀ݑǡ ݒ ൅ ݀ݒሻ െ ݔ ^ሺ௝ሻ ሺݑǡ ݒሻ

൤݀ݔ ݀ݕ ^ሺ௜ሻ ^ሺ௜ሻ ൨ ൎ ۏ ێ ێ ۍߜݔ ^ሺ௜ሻ

ߜݑ ߜݔ ^ሺ௜ሻ ߜݕ ^ሺ௜ሻ ߜݒ

ߜݑ ߜݕ ^ሺ௜ሻ ߜݒ ے ۑ ۑ ې

ቂ݀ݑ ݀ݒቃ ൌ ܬ ^ሺ௜ሻ ቂ݀ݑ ݀ݒቃ

ܬ א Թ ^ଶൈଶ

ሾ݀ݑ ݀ݒሿ ^்

ቂ݀ݑ ݀ݒቃ ൌ ܬ ^{ሺ௜ሻିଵ} ൤݀ݔ ݀ݕ ^௜ ௜ ൨

݀ݕ ௝ ൨ ൌ ܬ ^ሺ௝ሻ ܬ ^{ሺ௜ሻିଵ} ൤݀ݔ ݀ݕ ^௜ ௜ ൨

$ PHJMHOHQĘ ܣ ^{ሺ௜ǡ௝ሻ} ሺൌ ܬ ^ሺ௝ሻ ܬ ^{ሺ௜ሻିଵ} ሻ א Թ ^ʹൈʹ

݀ݕ ௝ ൨ ൌ ܣ ^{ሺ௜ǡ௝ሻ} ൤݀ݔ ݀ݕ ^௜ ௜ ൨

ܽ ଵଵ ൌ ^ப୶ _ப୶ ^ሺమሻ ሺభሻ ൌ ^ଵ _௦ כ ሺ݄ ଵଵ െ ݄ ଷଵ כ ݔ ^ሺଶሻ ሻ

ܽ ଵଶ ൌ ^ப୶ _ப୷ ^ሺమሻ ሺభሻ ൌ ^ଵ _௦ כ ሺ݄ ଵଶ െ ݄ ଷଵ כ ݔ ^ሺଶሻ ሻ

ܽ ଶଵ ൌ ^ப୷ _ப୶ ^ሺమሻ ሺభሻ ൌ ^ଵ _௦ כ ሺ݄ ଶଵ െ ݄ ଷଵ כ ݕ ^ሺଶሻ ሻ

ܽ ଶଶ ൌ ^ப୷ _ப୷ ^ሺమሻ ሺభሻ ൌ ^ଵ _௦ כ ሺ݄ ଶଶ െ ݄ ଷଵ כ ݕ ^ሺଶሻ ሻ

MHO|OMN IHOVĘ LQGH[V]HO MHO ݌ ^ሺ ^݅ ^ሻ

݌ _݅

ࢄ _࢏ ൌ ሾݔ ௜ ݕ _௜ ݖ _௜ ሿ ^் ሺ݅ א ሾͳǡ ܰሿǡ ܰ ൒ Ͷሻ

ࡼ _૚ ǡ ࡼ _૛

ࡲሺא Թ ^ଷൈଷ ሻ

ሾࢋሿ _ൈ

WHNEĘONLIHMH]KHVVNDKRPRJUiILiW ±

YpJpQPHJMHOHQĘNLIHMH]pVHNHW DN|YHWNH]Ę|VV]HIJJpV

ܣ ^் כ ܣ

EĘYtWVND]࡭

N|UQ\H]HWEHQ NO|QE|]Ę ]DMV]LQWHNHQ *HQHUiOWXQN NpW YpOHWOHQV]HUĦ SHUVSHNWtY NDPHUDPiWUL[RW HJ\ D] RULJyWyO HJ\VpJ WiYROViJUD OHYĘ VtNODS

VtNRQ DPHO\ iWKDODG D] RULJyQ (]HNHW D SRQWRNDW YHWtWHWWN Ui D] HOVĘ LOOHWYH D

]DM V]yUiVD $ IJJĘOHJHV WHQJHO\ SHGLJ D] HUHGPpQ\EHQ NHOHWNH]Ę KLED (] D KLED V]i]DOpNEDQ pUWHQGĘ pV ~J\ NHOHWNH]LN KRJ\ PLXWiQ PHJEHFVOWN D KRPRJUiILiW

LYiODV]WXQN HJ\ UDQGRP SRQWRW D] HOVĘ NDPHUD NpSpUĘO PDMG D EHFVOW ࡴ

ࡾ _ࢻ

ࡿ _࢛ pV D] HJ\HQHVUH PHUĘOHJHV ࡿ ሻ

ࡾ _ିࢼ

HO\HWWHVtWVNEHĘNHWDPHJIHOHOĘHJ\HQOHWHNEH

OLQHiULVDQ |VV]HIJJĘ ࡭ ^ࢀ כ ࡭