Közösségek keresése nagy gráfokban

university-logo

Közösségek keresése nagy gráfokban

Katona Gyula Y.

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

2011. április 14.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 1 / 66

university-logo

Tartalom

1 Alapkérdés

2 k-klikk perkoláció Alkalmazások

3 Súlyozottk-klikk perkoláció Alkalmazás

4 Normált klikk perkoláció

5 Szigorú klikk perkoláció

6 Osztályozás véletlen sétákkal

university-logo

Tartalom

1 Alapkérdés

2 k-klikk perkoláció Alkalmazások

3 Súlyozottk-klikk perkoláció Alkalmazás

4 Normált klikk perkoláció

5 Szigorú klikk perkoláció

6 Osztályozás véletlen sétákkal

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 3 / 66

university-logo

Alapkérdés

Kérdés

Adott egy irányítatlan (súlyozott vagy súlyozatlan) G gráf. Keressünk benneösszetartozóponthalmazokat!

university-logo

Triviális ötletek

Vegyük az összefügg ˝o komponenseket.

Vegyük a 2-szeresen összefügg ˝o blokkokat. Ezek legtöbbször nem sokat mutatnak.

Néhány példa nagy gráfokra:

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 5 / 66

university-logo

Triviális ötletek

Vegyük az összefügg ˝o komponenseket.

Vegyük a 2-szeresen összefügg ˝o blokkokat.

Ezek legtöbbször nem sokat mutatnak. Néhány példa nagy gráfokra:

university-logo

Triviális ötletek

Vegyük az összefügg ˝o komponenseket.

Vegyük a 2-szeresen összefügg ˝o blokkokat.

Ezek legtöbbször nem sokat mutatnak.

Néhány példa nagy gráfokra:

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 5 / 66

university-logo

Triviális ötletek

Vegyük az összefügg ˝o komponenseket.

Vegyük a 2-szeresen összefügg ˝o blokkokat.

Ezek legtöbbször nem sokat mutatnak.

Néhány példa nagy gráfokra:

university-logo

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 6 / 66

university-logo

university-logo

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 8 / 66

university-logo

university-logo

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 10 / 66

university-logo

university-logo

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 12 / 66

university-logo

university-logo

Definíciók

teljes részgráf: K_k

Klikk:teljes részgráf (ugyanaz, mint az el ˝oz ˝o) k-klikk: ha ez éppk méret ˝u

Maximális klikk(maximal clique): nem b ˝ovíthet ˝o teljes részgráf Maximális méret ˝u klikk: (maximum size clique)a legnagyobb méret ˝u klikk (ezt ugyse használjuk)

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 14 / 66

university-logo

Definíciók

teljes részgráf: K_k

Klikk:teljes részgráf (ugyanaz, mint az el ˝oz ˝o)

k-klikk: ha ez éppk méret ˝u

Maximális klikk(maximal clique): nem b ˝ovíthet ˝o teljes részgráf Maximális méret ˝u klikk: (maximum size clique)a legnagyobb méret ˝u klikk (ezt ugyse használjuk)

university-logo

Definíciók

teljes részgráf: K_k

Klikk:teljes részgráf (ugyanaz, mint az el ˝oz ˝o) k-klikk: ha ez éppk méret ˝u

Maximális klikk(maximal clique): nem b ˝ovíthet ˝o teljes részgráf Maximális méret ˝u klikk: (maximum size clique)a legnagyobb méret ˝u klikk (ezt ugyse használjuk)

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 14 / 66

university-logo

Definíciók

teljes részgráf: K_k

Klikk:teljes részgráf (ugyanaz, mint az el ˝oz ˝o) k-klikk: ha ez éppk méret ˝u

Maximális klikk(maximal clique): nem b ˝ovíthet ˝o teljes részgráf

Maximális méret ˝u klikk: (maximum size clique)a legnagyobb méret ˝u klikk (ezt ugyse használjuk)

university-logo

Definíciók

teljes részgráf: K_k

Klikk:teljes részgráf (ugyanaz, mint az el ˝oz ˝o) k-klikk: ha ez éppk méret ˝u

Maximális klikk(maximal clique): nem b ˝ovíthet ˝o teljes részgráf Maximális méret ˝u klikk: (maximum size clique)a legnagyobb méret ˝u klikk (ezt ugyse használjuk)

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 14 / 66

university-logo

Tartalom

1 Alapkérdés

2 k-klikk perkoláció Alkalmazások

3 Súlyozottk-klikk perkoláció Alkalmazás

4 Normált klikk perkoláció

5 Szigorú klikk perkoláció

6 Osztályozás véletlen sétákkal

university-logo

Alapötlet

A gráfot úgy tekintsük, mintha az éleken keresztül infomáció jutna el az egyik pontból a másikba. De az információ csak akkor terjed el, ha elég meggy ˝oz ˝o.

Egy új ember csak akkor hiszi el, ha márk ismer ˝osét ˝ol hallotta.

Palla G., Derényi I., Farkas I., Vicsek T.:

Uncovering the Overlapping Community Structure of Complex Networks in Nature and Society.

Nature.435,814-818. (2005)

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 16 / 66

university-logo

Alapötlet

A gráfot úgy tekintsük, mintha az éleken keresztül infomáció jutna el az egyik pontból a másikba. De az információ csak akkor terjed el, ha elég meggy ˝oz ˝o.

Egy új ember csak akkor hiszi el, ha márk ismer ˝osét ˝ol hallotta.

Palla G., Derényi I., Farkas I., Vicsek T.:

Uncovering the Overlapping Community Structure of Complex Networks in Nature and Society.

Nature.435,814-818. (2005)

university-logo

Alapötlet

A gráfot úgy tekintsük, mintha az éleken keresztül infomáció jutna el az egyik pontból a másikba. De az információ csak akkor terjed el, ha elég meggy ˝oz ˝o.

Egy új ember csak akkor hiszi el, ha márk ismer ˝osét ˝ol hallotta.

Palla G., Derényi I., Farkas I., Vicsek T.:

Uncovering the Overlapping Community Structure of Complex Networks in Nature and Society.

Nature. 435,814-818. (2005)

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 16 / 66

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van.

Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒

az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek. Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. (Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van. Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van. Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒

az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek. Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. (Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van. Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 17 / 66

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van. Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból.

Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒ az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek.

Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. (Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van. Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van. Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒

az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek. Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. (Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van. Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 17 / 66

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van. Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒

az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek.

Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. (Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van. Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van. Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒

az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek.

Ez megad egy klaszterezést a pontok között is.

(Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van. Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 17 / 66

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van. Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒

az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek.

Ez megad egy klaszterezést a pontok között is.

(Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van. Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van. Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒

az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek.

Ez megad egy klaszterezést a pontok között is.

(Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van.

Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 17 / 66

university-logo

Klikk görgetés

Definíció

Két k -klikkszomszédos, ha k−1közös pontjuk van. Egy c₁klikkb ˝ol elérhet ˝o egy c_m klikk, ha van olyan c₁,c₂, . . . ,c_m klikksorozat, hogy bármely c_i és c_i+1szomszédos.

Definíció

k -klikk közösség: Két klikk akkor van egy k -klikk közösségben, ha az egyik elérhet ˝o a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció =⇒

az ekvivalencia osztályok a k -klikk közösségek.

Ez megad egy klaszterezést a pontok között is.

(Egy pont több halmazban is benne lehet.)

Azaz: Legyen aH gráf pontjai aGgráfk-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknekk −1 közös pontja van. Ak-klikk közösségek aH összefügg ˝o komponensei.

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 18 / 66

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 18 / 66

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 18 / 66

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 18 / 66

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 18 / 66

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 18 / 66

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 18 / 66

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 18 / 66

university-logo

Példa k = 3:

Nem ugyanaz, mint a 2-összefügg ˝o komponensek.

university-logo

Példa k = 4:

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 19 / 66

university-logo

Példa

k = 4:

university-logo

Példa k = 4:

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 19 / 66

university-logo

Példa

k = 4:

university-logo

Példa k = 4:

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 19 / 66

university-logo

university-logo

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 21 / 66

university-logo

university-logo

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 23 / 66

university-logo

Algoritmikus kérdések

Input: npontú,eél ˝uGgráf(esetleg eredetileg súlyozott),k szám

Output: A közösségek.

Algoritmus:

k-klikkek felsorolása Segédgráf generálása Komponensek megkeresése

Ezk =3-ra még egész gyors,de már 10-re lassú lehet.

university-logo

Algoritmikus kérdések

Input: npontú,eél ˝uGgráf(esetleg eredetileg súlyozott),k szám

Output: A közösségek.

Algoritmus:

k-klikkek felsorolása Segédgráf generálása Komponensek megkeresése

Ezk =3-ra még egész gyors,de már 10-re lassú lehet.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 24 / 66

university-logo

Algoritmikus kérdések

Input: npontú,eél ˝uGgráf(esetleg eredetileg súlyozott),k szám

Output: A közösségek.

Algoritmus:

k-klikkek felsorolása

Segédgráf generálása Komponensek megkeresése

Ezk =3-ra még egész gyors,de már 10-re lassú lehet.

university-logo

Algoritmikus kérdések

Input: npontú,eél ˝uGgráf(esetleg eredetileg súlyozott),k szám

Output: A közösségek.

Algoritmus:

k-klikkek felsorolása Segédgráf generálása

Komponensek megkeresése

Ezk =3-ra még egész gyors,de már 10-re lassú lehet.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 24 / 66

university-logo

Algoritmikus kérdések

Input: npontú,eél ˝uGgráf(esetleg eredetileg súlyozott),k szám

Output: A közösségek.

Algoritmus:

k-klikkek felsorolása Segédgráf generálása Komponensek megkeresése

Ezk =3-ra még egész gyors,de már 10-re lassú lehet.

university-logo

Algoritmikus kérdések

Input: npontú,eél ˝uGgráf(esetleg eredetileg súlyozott),k szám

Output: A közösségek.

Algoritmus:

k-klikkek felsorolása Segédgráf generálása Komponensek megkeresése

Ezk =3-ra még egész gyors,de már 10-re lassú lehet.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 24 / 66

university-logo

Klikkek felsorolása

Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van.

Helyette keressük meg a maximális klikkeket. Ebb ˝ol is lehet sok:

3ⁿ³ =⇒Tⁿ

3,3Turán gráf (ⁿ₃ osztály, mindegyikben 3 pont.)

De a szóbajöv ˝o, gyakorlati alkalmazásokban ebb ˝ol már rendszerint nincs sok.

Megfigyelés

Egy maximális klikk megkeresése gyors: mohó algoritmus

university-logo

Klikkek felsorolása

Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van.

Helyette keressük meg a maximális klikkeket.

Ebb ˝ol is lehet sok: 3ⁿ³ =⇒Tⁿ

3,3Turán gráf (ⁿ₃ osztály, mindegyikben 3 pont.)

De a szóbajöv ˝o, gyakorlati alkalmazásokban ebb ˝ol már rendszerint nincs sok.

Megfigyelés

Egy maximális klikk megkeresése gyors: mohó algoritmus

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 25 / 66

university-logo

Klikkek felsorolása

Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van.

Helyette keressük meg a maximális klikkeket.

Ebb ˝ol is lehet sok:

3ⁿ³ =⇒Tⁿ

3,3Turán gráf (ⁿ₃ osztály, mindegyikben 3 pont.)

De a szóbajöv ˝o, gyakorlati alkalmazásokban ebb ˝ol már rendszerint nincs sok.

Megfigyelés

Egy maximális klikk megkeresése gyors: mohó algoritmus

university-logo

Klikkek felsorolása

Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van.

Helyette keressük meg a maximális klikkeket.

Ebb ˝ol is lehet sok:

3ⁿ³ =⇒Tⁿ

3,3Turán gráf (ⁿ₃ osztály, mindegyikben 3 pont.)

De a szóbajöv ˝o, gyakorlati alkalmazásokban ebb ˝ol már rendszerint nincs sok.

Megfigyelés

Egy maximális klikk megkeresése gyors: mohó algoritmus

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 25 / 66

university-logo

Klikkek felsorolása

Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van.

Helyette keressük meg a maximális klikkeket.

Ebb ˝ol is lehet sok:

3ⁿ³ =⇒Tⁿ

3,3Turán gráf (ⁿ₃ osztály, mindegyikben 3 pont.)

De a szóbajöv ˝o, gyakorlati alkalmazásokban ebb ˝ol már rendszerint nincs sok.

Megfigyelés

Egy maximális klikk megkeresése gyors: mohó algoritmus

university-logo

Algorimus maximális klikkek felsorolására

Tétel (Makino, Uno (2004))

Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n^2.376µ)id ˝oben, aholµa maximális klikkek száma.

Bizonyítás vázlat:

Definíció

Legyen V ={v₁, . . . ,v_n}. Ha S⊆V , akkor S_≤i =S∩ {v₁, . . . ,v_i}. Ha X,Y ⊆V és az(X−Y)∪(Y −X)-ben lev ˝o legkisebb sorszámú pont X -ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y .

Ha K egy klikk, akkor legyenC(K)a K -t tartalmazó maximális klikkek közül a lexikografikusan legnagyobb.

Világos, hogyC(K)≥_lex K.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 26 / 66

university-logo

Algorimus maximális klikkek felsorolására

Tétel (Makino, Uno (2004))

Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n^2.376µ)id ˝oben, aholµa maximális klikkek száma.

Bizonyítás vázlat:

Definíció

Legyen V ={v₁, . . . ,v_n}.

Ha S ⊆V , akkor S_≤i =S∩ {v₁, . . . ,v_i}. Ha X,Y ⊆V és az(X−Y)∪(Y −X)-ben lev ˝o legkisebb sorszámú pont X -ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y .

Ha K egy klikk, akkor legyenC(K)a K -t tartalmazó maximális klikkek közül a lexikografikusan legnagyobb.

Világos, hogyC(K)≥_lex K.

university-logo

Algorimus maximális klikkek felsorolására

Tétel (Makino, Uno (2004))

Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n^2.376µ)id ˝oben, aholµa maximális klikkek száma.

Bizonyítás vázlat:

Definíció

Legyen V ={v₁, . . . ,v_n}. Ha S⊆V , akkor S_≤i =S∩ {v₁, . . . ,v_i}.

Ha X,Y ⊆V és az(X−Y)∪(Y −X)-ben lev ˝o legkisebb sorszámú pont X -ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y .

Ha K egy klikk, akkor legyenC(K)a K -t tartalmazó maximális klikkek közül a lexikografikusan legnagyobb.

Világos, hogyC(K)≥_lex K.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 26 / 66

university-logo

Algorimus maximális klikkek felsorolására

Tétel (Makino, Uno (2004))

Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n^2.376µ)id ˝oben, aholµa maximális klikkek száma.

Bizonyítás vázlat:

Definíció

Legyen V ={v₁, . . . ,v_n}. Ha S⊆V , akkor S_≤i =S∩ {v₁, . . . ,v_i}.

Ha X,Y ⊆V és az(X−Y)∪(Y −X)-ben lev ˝o legkisebb sorszámú pont X -ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y .

Ha K egy klikk, akkor legyenC(K)a K -t tartalmazó maximális klikkek közül a lexikografikusan legnagyobb.

Világos, hogyC(K)≥_lex K.

university-logo

Algorimus maximális klikkek felsorolására

Tétel (Makino, Uno (2004))

Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n^2.376µ)id ˝oben, aholµa maximális klikkek száma.

Bizonyítás vázlat:

Definíció

Legyen V ={v₁, . . . ,v_n}. Ha S⊆V , akkor S_≤i =S∩ {v₁, . . . ,v_i}.

Ha X,Y ⊆V és az(X−Y)∪(Y −X)-ben lev ˝o legkisebb sorszámú pont X -ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y .

Ha K egy klikk, akkor legyenC(K)a K -t tartalmazó maximális klikkek közül a lexikografikusan legnagyobb.

Világos, hogyC(K)≥_lex K.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 26 / 66

university-logo

Algorimus maximális klikkek felsorolására

Tétel (Makino, Uno (2004))

Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n^2.376µ)id ˝oben, aholµa maximális klikkek száma.

Bizonyítás vázlat:

Definíció

Legyen V ={v₁, . . . ,v_n}. Ha S⊆V , akkor S_≤i =S∩ {v₁, . . . ,v_i}.

Ha X,Y ⊆V és az(X−Y)∪(Y −X)-ben lev ˝o legkisebb sorszámú pont X -ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y .

Ha K egy klikk, akkor legyenC(K)a K -t tartalmazó maximális klikkek közül a lexikografikusan legnagyobb.

Világos, hogyC(K)≥_lex K.

university-logo

A maximális klikkek fája

LegyenK₀a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk.

Definíció

Egy K 6=K₀maximális klikk P(K)szül ˝oje legyen C(K≤i−1), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K≤i−1)6=K . Az ilyen i legyen a K szül ˝o indexe: i(K).

EzK₀-t kivéve mindenre definiál egyértelm ˝uen egy szül ˝ot (K 6=C(K_≤0)).

Mivel a szül ˝o lexikografikusan nagyobb, mint a gyerek, ezért ez egy gyökeres fa lesz.

Az összes algoritmus ezt a fát járja be valamilyen sorrendben.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 27 / 66

university-logo

A maximális klikkek fája

LegyenK₀a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk.

Definíció

Egy K 6=K₀maximális klikk P(K)szül ˝oje legyen C(K≤i−1), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K≤i−1)6=K . Az ilyen i legyen a K szül ˝o indexe: i(K).

EzK₀-t kivéve mindenre definiál egyértelm ˝uen egy szül ˝ot (K 6=C(K_≤0)).

Mivel a szül ˝o lexikografikusan nagyobb, mint a gyerek, ezért ez egy gyökeres fa lesz.

Az összes algoritmus ezt a fát járja be valamilyen sorrendben.

university-logo

A maximális klikkek fája

LegyenK₀a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk.

Definíció

Egy K 6=K₀maximális klikk P(K)szül ˝oje legyen C(K≤i−1), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K≤i−1)6=K . Az ilyen i legyen a K szül ˝o indexe: i(K).

EzK₀-t kivéve mindenre definiál egyértelm ˝uen egy szül ˝ot (K 6=C(K_≤0)).

Mivel a szül ˝o lexikografikusan nagyobb, mint a gyerek, ezért ez egy gyökeres fa lesz.

Az összes algoritmus ezt a fát járja be valamilyen sorrendben.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 27 / 66

university-logo

A maximális klikkek fája

LegyenK₀a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk.

Definíció

Egy K 6=K₀maximális klikk P(K)szül ˝oje legyen C(K≤i−1), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K≤i−1)6=K . Az ilyen i legyen a K szül ˝o indexe: i(K).

EzK₀-t kivéve mindenre definiál egyértelm ˝uen egy szül ˝ot (K 6=C(K_≤0)).

Mivel a szül ˝o lexikografikusan nagyobb, mint a gyerek, ezért ez egy gyökeres fa lesz.

Az összes algoritmus ezt a fát járja be valamilyen sorrendben.

university-logo

A maximális klikkek fája

LegyenK₀a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk.

Definíció

Egy K 6=K₀maximális klikk P(K)szül ˝oje legyen C(K≤i−1), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K≤i−1)6=K . Az ilyen i legyen a K szül ˝o indexe: i(K).

EzK₀-t kivéve mindenre definiál egyértelm ˝uen egy szül ˝ot (K 6=C(K_≤0)).

Mivel a szül ˝o lexikografikusan nagyobb, mint a gyerek, ezért ez egy gyökeres fa lesz.

Az összes algoritmus ezt a fát járja be valamilyen sorrendben.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 27 / 66

university-logo

Példa

2

3

4

5 6

7

8

9 10

1

2

3

4

5 6

7

8

9 10

1

1,2,3,4

2,3,4,5 1,3,10

3,4,5,6 2,5,8

5,6,7 3,6,9

university-logo

Példa

2

3

4

5 6

7

8

9 10

1

2

3

4

5 6

7

8

9 10

1

1,2,3,4

2,3,4,5 1,3,10

3,4,5,6 2,5,8

5,6,7 3,6,9

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 28 / 66

university-logo

Szül ˝o-gyerek meghatározása

AdottK-ra könny ˝u megkeresni a szül ˝ot: Vegyük csökken ˝o sorrendben azi-ket.

Egyi-re megnézzük, hogy aK≤i−1-et milyen maximális klikk tartalmazza. Sorra nézzük, hogyv₁,v₂, . . . össze van-e kötve

mindegyikkel.

Az összes gyerek el ˝oállítása: Definíció

K[i] =C((K_≤i∩Γ(v_i))∪ {v_i})

university-logo

Szül ˝o-gyerek meghatározása

AdottK-ra könny ˝u megkeresni a szül ˝ot: Vegyük csökken ˝o sorrendben azi-ket. Egyi-re megnézzük, hogy aK≤i−1-et milyen maximális klikk tartalmazza.

Sorra nézzük, hogyv₁,v₂, . . . össze van-e kötve mindegyikkel.

Az összes gyerek el ˝oállítása: Definíció

K[i] =C((K_≤i∩Γ(v_i))∪ {v_i})

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 29 / 66

university-logo

Szül ˝o-gyerek meghatározása

AdottK-ra könny ˝u megkeresni a szül ˝ot: Vegyük csökken ˝o sorrendben azi-ket. Egyi-re megnézzük, hogy aK≤i−1-et milyen maximális klikk tartalmazza. Sorra nézzük, hogyv₁,v₂, . . . össze van-e kötve

mindegyikkel.

Az összes gyerek el ˝oállítása: Definíció

K[i] =C((K_≤i∩Γ(v_i))∪ {v_i})

university-logo

Szül ˝o-gyerek meghatározása

AdottK-ra könny ˝u megkeresni a szül ˝ot: Vegyük csökken ˝o sorrendben azi-ket. Egyi-re megnézzük, hogy aK≤i−1-et milyen maximális klikk tartalmazza. Sorra nézzük, hogyv₁,v₂, . . . össze van-e kötve

mindegyikkel.

Az összes gyerek el ˝oállítása:

Definíció

K[i] =C((K_≤i∩Γ(v_i))∪ {v_i})

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 29 / 66

university-logo

Lemma

Legyenek K és K⁰ maximális klikkek. K⁰akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K⁰ =K[i], hogy

a) v_i ∈/ K.

b) i >i(K).

c) K[i]≤i−1=K≤i∩Γ(v_i) d) K≤i =C(K≤i∩Γ(v_i))≤i

a) és b) lineáris id ˝oben ellen ˝orizhet ˝o. c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva,O(n^2.376)id ˝oben.

Ebb ˝ol kijön azO(n^2.376µ)futásid ˝o.

university-logo

Lemma

Legyenek K és K⁰ maximális klikkek. K⁰akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K⁰ =K[i], hogy

a) v_i ∈/ K. b) i >i(K).

c) K[i]≤i−1=K≤i∩Γ(v_i) d) K≤i =C(K≤i∩Γ(v_i))≤i

a) és b) lineáris id ˝oben ellen ˝orizhet ˝o. c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva,O(n^2.376)id ˝oben.

Ebb ˝ol kijön azO(n^2.376µ)futásid ˝o.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 30 / 66

university-logo

Lemma

Legyenek K és K⁰ maximális klikkek. K⁰akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K⁰ =K[i], hogy

a) v_i ∈/ K. b) i >i(K).

c) K[i]≤i−1=K≤i∩Γ(v_i)

d) K≤i =C(K≤i∩Γ(v_i))≤i

a) és b) lineáris id ˝oben ellen ˝orizhet ˝o. c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva,O(n^2.376)id ˝oben.

Ebb ˝ol kijön azO(n^2.376µ)futásid ˝o.

university-logo

Lemma

Legyenek K és K⁰ maximális klikkek. K⁰akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K⁰ =K[i], hogy

a) v_i ∈/ K. b) i >i(K).

c) K[i]≤i−1=K≤i∩Γ(v_i) d) K≤i =C(K≤i∩Γ(v_i))≤i

a) és b) lineáris id ˝oben ellen ˝orizhet ˝o. c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva,O(n^2.376)id ˝oben.

Ebb ˝ol kijön azO(n^2.376µ)futásid ˝o.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 30 / 66

university-logo

Lemma

Legyenek K és K⁰ maximális klikkek. K⁰akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K⁰ =K[i], hogy

a) v_i ∈/ K. b) i >i(K).

c) K[i]≤i−1=K≤i∩Γ(v_i) d) K≤i =C(K≤i∩Γ(v_i))≤i

a) és b) lineáris id ˝oben ellen ˝orizhet ˝o.

c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva,O(n^2.376)id ˝oben.

Ebb ˝ol kijön azO(n^2.376µ)futásid ˝o.

university-logo

Lemma

Legyenek K és K⁰ maximális klikkek. K⁰akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K⁰ =K[i], hogy

a) v_i ∈/ K. b) i >i(K).

c) K[i]≤i−1=K≤i∩Γ(v_i) d) K≤i =C(K≤i∩Γ(v_i))≤i

a) és b) lineáris id ˝oben ellen ˝orizhet ˝o. c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva,O(n^2.376)id ˝oben.

Ebb ˝ol kijön azO(n^2.376µ)futásid ˝o.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 30 / 66

university-logo

Lemma

Legyenek K és K⁰ maximális klikkek. K⁰akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K⁰ =K[i], hogy

a) v_i ∈/ K. b) i >i(K).

c) K[i]≤i−1=K≤i∩Γ(v_i) d) K≤i =C(K≤i∩Γ(v_i))≤i

a) és b) lineáris id ˝oben ellen ˝orizhet ˝o. c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva,O(n^2.376)id ˝oben.

Ebb ˝ol kijön azO(n^2.376µ)futásid ˝o.

university-logo

Közösségek megkeresése

A maximális klikkekb ˝ol készítünk egy fát, amiben két klikk szomszédos, ha a metszetük≥k −1.

Ez elég ak-klikkek gráfja helyett.

Megkeressük a komponenseket mondjuk szélességi kereséssel. Ha két klikk egy közösségben van, akkor pontjaik is egy

közösségben vannak.Ez persze már nem ekvivalencia reláció.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 31 / 66

university-logo

Közösségek megkeresése

A maximális klikkekb ˝ol készítünk egy fát, amiben két klikk

szomszédos, ha a metszetük≥k −1. Ez elég ak-klikkek gráfja helyett.

Megkeressük a komponenseket mondjuk szélességi kereséssel. Ha két klikk egy közösségben van, akkor pontjaik is egy

közösségben vannak.Ez persze már nem ekvivalencia reláció.

university-logo

Közösségek megkeresése

A maximális klikkekb ˝ol készítünk egy fát, amiben két klikk

szomszédos, ha a metszetük≥k −1. Ez elég ak-klikkek gráfja helyett.

Megkeressük a komponenseket mondjuk szélességi kereséssel.

Ha két klikk egy közösségben van, akkor pontjaik is egy

közösségben vannak.Ez persze már nem ekvivalencia reláció.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 31 / 66

university-logo

Közösségek megkeresése

A maximális klikkekb ˝ol készítünk egy fát, amiben két klikk

szomszédos, ha a metszetük≥k −1. Ez elég ak-klikkek gráfja helyett.

Megkeressük a komponenseket mondjuk szélességi kereséssel.

Ha két klikk egy közösségben van, akkor pontjaik is egy közösségben vannak.

Ez persze már nem ekvivalencia reláció.

university-logo

Közösségek megkeresése

A maximális klikkekb ˝ol készítünk egy fát, amiben két klikk

szomszédos, ha a metszetük≥k −1. Ez elég ak-klikkek gráfja helyett.

Megkeressük a komponenseket mondjuk szélességi kereséssel.

Ha két klikk egy közösségben van, akkor pontjaik is egy

közösségben vannak.Ez persze már nem ekvivalencia reláció.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 31 / 66

university-logo

Mire tudjuk ezt használni?

Lefuttatjukk =3,4, . . .-ra, lerajzoljuk és nézegetjük, hogy látszik-e valami érdekes. Tudunk-e valamit mondani az egy közösségen belül lev ˝o pontokról?

Ez alapján kiválasztunk egy szimpatikusk-t és arról írnunk cikket.

university-logo

Mire tudjuk ezt használni?

Lefuttatjukk =3,4, . . .-ra, lerajzoljuk és nézegetjük, hogy látszik-e valami érdekes. Tudunk-e valamit mondani az egy közösségen belül lev ˝o pontokról?

Ez alapján kiválasztunk egy szimpatikusk-t és arról írnunk cikket.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 32 / 66

university-logo

university-logo

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 34 / 66

university-logo

university-logo

Hogyan rajzoljuk le a gráfot?

Minden él legyen egy rugó, amif(d(u,v)−d₀)er ˝ovel húzza össze a csúcsokat.

(Ad₀azért kell, hogy pl. teljes gráfra ne egy pontba menjen minden.)

Minden nem-élhez pedig egy olyan rugót, amif⁰(d(u,v))er ˝ovel taszítja a két csúcsot.

Van sok egyéb variáció:

http://en.wikipedia.org/wiki/Force-based_algorithms

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 36 / 66

university-logo

Hogyan rajzoljuk le a gráfot?

Minden él legyen egy rugó, amif(d(u,v)−d₀)er ˝ovel húzza össze a csúcsokat. (Ad₀azért kell, hogy pl. teljes gráfra ne egy pontba menjen minden.)

Minden nem-élhez pedig egy olyan rugót, amif⁰(d(u,v))er ˝ovel taszítja a két csúcsot.

Van sok egyéb variáció:

http://en.wikipedia.org/wiki/Force-based_algorithms

university-logo

Hogyan rajzoljuk le a gráfot?

Minden él legyen egy rugó, amif(d(u,v)−d₀)er ˝ovel húzza össze a csúcsokat. (Ad₀azért kell, hogy pl. teljes gráfra ne egy pontba menjen minden.)

Minden nem-élhez pedig egy olyan rugót, amif⁰(d(u,v))er ˝ovel taszítja a két csúcsot.

Van sok egyéb variáció:

http://en.wikipedia.org/wiki/Force-based_algorithms

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 36 / 66

university-logo

Hogyan rajzoljuk le a gráfot?

Minden él legyen egy rugó, amif(d(u,v)−d₀)er ˝ovel húzza össze a csúcsokat. (Ad₀azért kell, hogy pl. teljes gráfra ne egy pontba menjen minden.)

Minden nem-élhez pedig egy olyan rugót, amif⁰(d(u,v))er ˝ovel taszítja a két csúcsot.

Van sok egyéb variáció:

http://en.wikipedia.org/wiki/Force-based_algorithms

university-logo

Tartalom

1 Alapkérdés

2 k-klikk perkoláció Alkalmazások

3 Súlyozottk-klikk perkoláció Alkalmazás

4 Normált klikk perkoláció

5 Szigorú klikk perkoláció

6 Osztályozás véletlen sétákkal

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 37 / 66

university-logo

Biológia

Adott egy csomó protein, melyek között kísérletileg igazolt kölcsönhatások vannak =⇒súlyozott gráf

Ebb ˝ol készítünk egy súlyozatlan gráfot, abban megkeressük a közösségeket.

A közösségekr ˝ol észrevesszük, hogy az egy közösségen belül lev ˝oknek hasonló a biológiai funkciója.

Ebb ˝ol következtetni tudunk, hogy az ugyanott lev ˝oknek is valószín ˝uleg hasonló, akkor is, ha eddig nem tudtunk róla.

university-logo

Biológia

Adott egy csomó protein, melyek között kísérletileg igazolt kölcsönhatások vannak =⇒súlyozott gráf

Ebb ˝ol készítünk egy súlyozatlan gráfot, abban megkeressük a közösségeket.

A közösségekr ˝ol észrevesszük, hogy az egy közösségen belül lev ˝oknek hasonló a biológiai funkciója.

Ebb ˝ol következtetni tudunk, hogy az ugyanott lev ˝oknek is valószín ˝uleg hasonló, akkor is, ha eddig nem tudtunk róla.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 38 / 66

university-logo

Biológia

Adott egy csomó protein, melyek között kísérletileg igazolt kölcsönhatások vannak =⇒súlyozott gráf

Ebb ˝ol készítünk egy súlyozatlan gráfot, abban megkeressük a közösségeket.

A közösségekr ˝ol észrevesszük, hogy az egy közösségen belül lev ˝oknek hasonló a biológiai funkciója.

Ebb ˝ol következtetni tudunk, hogy az ugyanott lev ˝oknek is valószín ˝uleg hasonló, akkor is, ha eddig nem tudtunk róla.

university-logo

Biológia

Adott egy csomó protein, melyek között kísérletileg igazolt kölcsönhatások vannak =⇒súlyozott gráf

Ebb ˝ol készítünk egy súlyozatlan gráfot, abban megkeressük a közösségeket.

A közösségekr ˝ol észrevesszük, hogy az egy közösségen belül lev ˝oknek hasonló a biológiai funkciója.

Ebb ˝ol következtetni tudunk, hogy az ugyanott lev ˝oknek is valószín ˝uleg hasonló, akkor is, ha eddig nem tudtunk róla.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 38 / 66

university-logo

university-logo

Súlyozottból súlyozatlan

Kérdés

Hogyan csinálunk súlyozatlan gráfot?

Egy ügyesen meghatározott korlát alatti éleket elhagyjuk.

Kérdés

Mi legyen a korlát?

Úgy érdemes választani, hogy a közösségek ne legyenek se túl nagyok, se túl kicsik.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 40 / 66

university-logo

Súlyozottból súlyozatlan

Kérdés

Hogyan csinálunk súlyozatlan gráfot?

Egy ügyesen meghatározott korlát alatti éleket elhagyjuk.

Kérdés

Mi legyen a korlát?

Úgy érdemes választani, hogy a közösségek ne legyenek se túl nagyok, se túl kicsik.

university-logo

Súlyozottból súlyozatlan

Kérdés

Hogyan csinálunk súlyozatlan gráfot?

Egy ügyesen meghatározott korlát alatti éleket elhagyjuk.

Kérdés

Mi legyen a korlát?

Úgy érdemes választani, hogy a közösségek ne legyenek se túl nagyok, se túl kicsik.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 40 / 66

university-logo

Súlyozottból súlyozatlan

Kérdés

Hogyan csinálunk súlyozatlan gráfot?

Egy ügyesen meghatározott korlát alatti éleket elhagyjuk.

Kérdés

Mi legyen a korlát?

Úgy érdemes választani, hogy a közösségek ne legyenek se túl nagyok, se túl kicsik.

university-logo

Fázisátmenet

Tétel

Ha egy N pontú gráf éleit p_c(k)valószín ˝uséggel vesszük be egy véletlen gráfba, ahol

pc(k)≥ 1 [(k−1)N]^k−11

akkor nagy valószín ˝uséggel egy nagy közösség lesz.

Válasszuk a korlátot úgy, hogy kicsivel ez alatt legyen.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 41 / 66

university-logo

Fázisátmenet

Tétel

Ha egy N pontú gráf éleit p_c(k)valószín ˝uséggel vesszük be egy véletlen gráfba, ahol

pc(k)≥ 1 [(k−1)N]^k−11

akkor nagy valószín ˝uséggel egy nagy közösség lesz.

Válasszuk a korlátot úgy, hogy kicsivel ez alatt legyen.

university-logo

Szociális hálók

M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek

Community structure and ethnic preferences in school friendship networks

Physica A379, (2007) 307-316.

Egy iskola diákjai között kiosztott kérd ˝oíven bejelölik, hogy kik a barátaik.

Ezen a gráfon megkeressük a közösségeket, és érdekeseket mondunk.

Fel lehet rajzolni a közösségek szomszédossági gráfját is. IWIW is hasonló.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 42 / 66

university-logo

Szociális hálók

M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek

Community structure and ethnic preferences in school friendship networks

Physica A379, (2007) 307-316.

Egy iskola diákjai között kiosztott kérd ˝oíven bejelölik, hogy kik a barátaik.

Ezen a gráfon megkeressük a közösségeket, és érdekeseket mondunk.

Fel lehet rajzolni a közösségek szomszédossági gráfját is. IWIW is hasonló.

university-logo

Szociális hálók

M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek

Community structure and ethnic preferences in school friendship networks

Physica A379, (2007) 307-316.

Egy iskola diákjai között kiosztott kérd ˝oíven bejelölik, hogy kik a barátaik.

Ezen a gráfon megkeressük a közösségeket, és érdekeseket mondunk.

Fel lehet rajzolni a közösségek szomszédossági gráfját is. IWIW is hasonló.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 42 / 66

university-logo

Szociális hálók

M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek

Community structure and ethnic preferences in school friendship networks

Physica A379, (2007) 307-316.

Egy iskola diákjai között kiosztott kérd ˝oíven bejelölik, hogy kik a barátaik.

Ezen a gráfon megkeressük a közösségeket, és érdekeseket mondunk.

Fel lehet rajzolni a közösségek szomszédossági gráfját is.

IWIW is hasonló.

university-logo

Szociális hálók

M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek

Community structure and ethnic preferences in school friendship networks

Physica A379, (2007) 307-316.

Egy iskola diákjai között kiosztott kérd ˝oíven bejelölik, hogy kik a barátaik.

Ezen a gráfon megkeressük a közösségeket, és érdekeseket mondunk.

Fel lehet rajzolni a közösségek szomszédossági gráfját is.

IWIW is hasonló.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 42 / 66

university-logo

university-logo

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 44 / 66

university-logo

Új véletlen gráf modell szociális hálókra

R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks

Physica A,371(2), 851-860, (2006)

A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erd ˝os-Rényi modell által kapottaktól. =⇒Új véletlen gráf modell kell. Tétel

Adott egy N₀méret ˝u kezdeti gráf. Egy új pontot veszek hozzá.

Ezt összekötöm m_rN véletlenül kiválasztott ponttal.

Az eddigi szomszédok szomszédaiból is még összekötöm msN darabbal.

Ha egy ilyen gráfra megnézem a közösségeket, akkor olyanok lesznek, mint az igazi szociális hálóknál.

university-logo

Új véletlen gráf modell szociális hálókra

R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks

Physica A,371(2), 851-860, (2006)

A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erd ˝os-Rényi modell által kapottaktól.

=⇒Új véletlen gráf modell kell.

Tétel

Adott egy N₀méret ˝u kezdeti gráf. Egy új pontot veszek hozzá.

Ezt összekötöm m_rN véletlenül kiválasztott ponttal.

Az eddigi szomszédok szomszédaiból is még összekötöm msN darabbal.

Ha egy ilyen gráfra megnézem a közösségeket, akkor olyanok lesznek, mint az igazi szociális hálóknál.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban 2011. április 14. 45 / 66