Árváltozások kétféle hatása

(1)

MIKROÖKONÓMIA I.

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Mikroökonómia I.

8. hét

ÁRVÁLTOZÁS HELYETTESÍTÉSI ÉS JÖVEDELMI HATÁSA Készítette:

K®hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel®s:

K®hegyi Gergely

2010. június

(5)

8. hét K®hegyi - Horn

Helyettesítési és jövedelmi hatás A Szluckij-tétel Alkalmazások

A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely

Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.

http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.

(6)

Vázlat

1 Helyettesítési és jövedelmi hatás

2 A Szluckij-tétel

3 Alkalmazások

(7)

Jövedelemkompenzációs megközelítések

Ha a kormányzat bizonyos társadalmi csoportoknál egyösszeg¶

támogatással kompenzálni szeretné azt az árnövekedés okozta hatást, amelynek következtében a fogyasztók rosszabb helyzetbe kerültek, akkor mit tegyen?

(8)

Árváltozások kétféle hatása

Az árváltozások fogyasztói keresletre gyakorolt hatása két összetev®re bontható:

A Px csökkenése növeli a reáljövedelmet. A fogyasztó megveheti ugyanazt a jószágkosarat, amelyet az árváltozás el®tt vásárolt, és még marad valamennyi jövedelme. Ha az X magasabb rend¶ jószág, a fogyasztó a többletjövedelem egy részét több X jószág vásárlására fogja fordítani. Ezt nevezzük a P_x csökkenés jövedelmi hatásának.

Ezenkívül alacsonyabb Px mellett a helyettesítési egyensúlyi egyenl®ségb®l az következik, hogy a fogyasztó akkor is több X jószágot vásárolna, ha a reáljövedelem vagy a hasznosság ugyanaz maradna. Ezt nevezzük az árváltozás tiszta helyettesítési hatásának.

(9)

Árváltozások kétféle hatása (folyt.)

(10)

Hicks-féle felbontás

(11)

Hicks-féle felbontás (folyt.)

A jövedelem és a Py ár változatlansága mellett a Px ár csökkenése miatt a költsegvetési egyenes a KL helyzetb®l a KL⁰ helyzetbe tolódik. Mivel S magasabb közömbösségi görbén fekszik, a reáljövedelem n®. Létrehozunk egy olyan mesterséges MN költsegvetési egyenest, amely párhuzamos a KL⁰-vel és érinti az eredeti U₀ közömbösségi görbét. Az árváltozás jövedelmi hatása tehat x_S−x_R, és az árváltozás tiszta helyettesitesi hatása x_R−x_Q.

(12)

Hogyan lehetséges Gien-eset?

Egy Gien-jószágnak rendelkeznie kell a következ®

tulajdonságokkal

Alacsonyabb rend¶nek kell lennie, hogy az árváltozás jövedelmi hatása negatív legyen.

A jövedelmünk nagy hányadát kell a jószágra költenünk. Ez teszi a szokatlan jövedelmi hatást nagymérték¶vé. (Nagynak kell lennie, hogy túlsúlyba kerüljön a tiszta helyettesítési hatással szemben.)

(13)

Hogyan lehetséges Gien-eset? (folyt.)

Az eredeti magas kenyérár mellett a költségvetési egyenes KL, és a fogyasztói optimum a Q pontban van. A kenyér árának csökkenése a költségvetési egyenest aKL⁰ helyzetbe fordítja el. Ekkor a fogyasztó elegend®en gazdag ahhoz, hogy kevesebb kenyeret és több húst válasszon az S pontbeli optimumban. A Q-ból S-be történ® elmozdulás egy kicsiny (a Q-ból R-be történ®

elmozdulással egyenl®) helyettesítési hatásból, valamint egy nagymérték¶ negatív jövedelmi hatásból (az R-b®l S-be történ®

elmozdulás) adódik össze. Ehhez a Gien-jelenséghez a kenyérnek igen er®sen alacsonyabb rend¶ jószágnak kell lennie.

(14)

Hogyan lehetséges Gien-eset? (folyt.)

(15)

Hasznosságmaximalizálás

Célfüggvény: U(x,y)→max_x,y

Korl. felt: pxx+pyy=I Lagrange-függvény

L(x,y, λ) =U(x,y)−λ(p_xx+p_yy−I)

∂L

∂x = ^∂_∂^U_x −λpx =0

∂L

∂y = ^∂_∂^U_y −λpy =0

∂L

∂λ =P_xx+P_yy−I =0

Marshall-féle keresleti függvények

x^M(p_x,p_y,I) y^M(p_x,p_y,I)

(16)

Kiadásminimalizálás

Célfüggvény: p_xx+p_yy →min_x,y

Korl. felt: U(x,y) = ¯U =U(x0,y0) Lagrange-függvény

L(x,y, λ) =p_xx+p_yy−λ(U(x,y)−U¯)

∂L

∂x =px−λ^∂_∂^U_x =0

∂L

∂y =py−λ^∂_∂^U_y =0

∂L

∂λ =U(x,y)−U¯ =0

Hicks-féle keresleti függvények:

x^H(p_x,p_y,U¯) y^H(p_x,p_y,U¯)

(17)

Kiadásminimalizálás

Célfüggvény: p_xx+p_yy →min_x,y

Korl. felt: U(x,y) = ¯U =U(x0,y0) Lagrange-függvény

L(x,y, λ) =p_xx+p_yy−λ(U(x,y)−U¯)

∂L

∂x =px−λ^∂_∂^U_x =0

∂L

∂y =py−λ^∂_∂^U_y =0

∂L

∂λ =U(x,y)−U¯ =0

Hicks-féle keresleti függvények:

x^H(p_x,p_y,U¯) y^H(p_x,p_y,U¯)

(18)

Kiadási függvény és indirekt hasznosság

Deníció

A hasznomaximalizálási feladat célfüggvényének értékét az optimumban, amely függ a döntés során exogén p_x,p_y,I változóktól és amely megmutatja, hogy adott árak és adott jövedelem mellett milyen maximális hasznossági szintet érhet el a fogyasztó, indirekt hasznossági függvénynek nevezzük

v(px,py,I) ={max(U(x,y))|pxx+pyy=I}

Deníció

A kiadásminimalizálási feladat célfüggvényének értékét az optimumban, amely függ a döntés során exogén px,py,U¯ változóktól és amely megmutatja, hogy adott árak mellett adott hasznossági szintet milyen minimális összkiadással érhet el a fogyasztó, kiadási függvénynek nevezzük

e(p_x,p_y,U¯) ={min(p_xx+p_yy)|U(x,y) = ¯U}

(19)

Dualitás

Állítás

SHEPHARD-LEMMA

∂e(px,py,U¯)

∂px =x^H(px,py,U¯)

∂e(p_x,p_y,U¯)

∂p_y =y^H(p_x,p_y,U¯)

(20)

Dualitás (folyt.)

Bizonyítás

Legyenek(p⁰_x,p_y⁰)tetsz®leges árak,U pedig tetsz®leges¯ hasznossági szint,(x⁰,y0)pedig a paraméterhármashoz tartozó kiadásminimalizáslási feladat megoldása.

Deniáljuk az

f(p_x,p_y)≡p_xx⁰+p_yy⁰−e(p_x,p_y,U¯) függvényt tetsz®leges(p_x,p_y)esetén. Mivel e(p_x,p_y,U¯)a (p_x,p_y,U¯)-hoz tartozó minimális lehetséges kiadás, ezért

f(p_x,p_y)≥0

mindig teljesül és ha (px,py) = (p_x⁰,p⁰_y), akkor f(p⁰_x,p_y⁰) =0 felveszi a minimumát. Ekkor

(21)

Dualitás (folyt.)

∂f(px,py)

∂p_x =x⁰−∂e(px,py,U¯)

∂p_x =0

∂f(p_x,p_y)

∂py =y⁰−∂e(p_x,p_y,U¯)

∂py =0

Mivel(p⁰_x,p_y⁰)tetsz®leges árak voltak, ezért a fenti összefüggés bármilyen árakra igaz

∂e(px,py,U¯)

∂p_x =x^H(p_x,p_y,U¯)

∂e(px,py,U¯)

∂py =y^H(px,py,U¯)

(22)

Dualitás (folyt.)

(23)

Dualitás (folyt.)

e(p_x,p_y,v(p_x,p_y,I)) =I v(p_x,p_y,e(p_x,p_y,U¯)) = ¯U

e(px,py,U¯) =pxx^H(px,py,U¯) +pyy^H(px,py,U¯) v(px,py,I) =U x^M(px,py,I),y^M(px,py,I)

(24)

Szluckij-tétel

Állítás

SZLUCKIJ(Slutsky)-TÉTEL

∂x^M p_x,p_y,e(p_x,p_y,U¯)

∂px = ∂x^H(p_x,p_y,U¯)

∂px −∂x^M

∂e x^M

∂x^M px,py,e(px,py,U¯)

∂py =∂x^H(px,py,U¯)

∂py −∂x^M

∂e y^M

∂y^M px,py,e(px,py,U¯)

∂p_x =∂y^H(px,py,U¯)

∂p_x −∂y^M

∂e x^M

∂y^M p_x,p_y,e(p_x,p_y,U¯)

∂py =∂y^H(p_x,p_y,U¯)

∂py −∂y^M

∂e y^M

(25)

Szluckij-tétel (folytatás)

Bizonyítás

A dualitási összefüggések miatt x^M px,py,e(px,py,U¯)

=x^H(px,py,U¯) y^M px,py,e(px,py,U¯)

=y^H(px,py,U¯)

Parciálisan dierenciálva mindkét egyenletet mindkét ár szerint

∂x^M

∂p_x +∂x^M

∂e

∂p_x =∂x^H

∂p_x

∂x^M

∂p_y +∂x^M

∂e

∂p_y =∂x^H

∂p_y

∂y^M

∂p_x +∂y^M

∂e

∂p_x =∂y^H

∂p_x

∂y^M

∂py +∂y^M

∂e

∂py =∂y^H

∂py

(26)

Szluckij-tétel (folytatás)

Bizonyítás

Felhasználva a Shephard-lemmát és átrendezve az egyenletet

∂x^M

∂p_x = ∂x^H

∂p_x −∂x^M

∂e x^H

∂x^M

∂p_y = ∂x^H

∂p_y −∂x^M

∂e y^H

∂y^M

∂p_x = ∂y^H

∂p_x −∂y^M

∂e x^H

∂y^M

∂py = ∂y^H

∂py −∂y^M

∂e y^H

(27)

Szluckij-tétel (folytatás)

Bizonyítás

Felhasználva a dualitási összefüggéseket éppen a Szluckij-tételt kapjuk

∂x^M

∂px =∂x^H

∂px −∂x^M

∂e x^M

∂x^M

∂p_y = ∂x^H

∂p_y −∂x^M

∂e y^M

∂y^M

∂p_x = ∂y^H

∂p_x −∂y^M

∂e x^M

∂y^M

∂p_y = ∂y^H

∂p_y −∂y^M

∂e y^M

(28)

Matematikailag kicsit precízebben

x^M =





 x₁^M x_i...^M x_n...^M





 ,x^H =





 x₁^H x..._i^H x..._n^H





 ,p=





 p₁ p...i

p..._n







Kiadási függvény

e(p,U¯) ={min(px)|U(x) = ¯U} Shephard-lemma

∇e(p,U¯) =x^H

(29)

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

Marshall-féle helyettesítési mátrix

M=







∂x₁^M

∂p1

∂x₁^M

∂p2 · · · ^∂_∂^x_p¹^M

i . . . ^∂_∂^x_p¹^M

n

∂x₂^M

∂p1

∂x₂^M

∂p2 · · · ^∂_∂^x_p²^M

i . . . ^∂_∂^x_p²^M ... ... n

∂x₁^M

∂pi

∂x_i^M

∂pi ...

... ... ...

∂x₁^M

∂pn · · · ^∂_∂^x_pⁿ^M

n







(30)

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

Hicks-féle helyettesítési mátrix

H=







∂x₁^H

∂p1

∂x₁^H

∂p2 · · · ^∂_∂^x_p¹^H

i . . . ^∂_∂^x_p¹^H

n

∂x₂^H

∂p1

∂x₂^H

∂p2 · · · ^∂_∂^x_p²^H

i . . . ^∂_∂^x_p²^H ... ... n

∂x₁^H

∂pi

∂x_i^H

∂pi ...

... ... ...

∂x₁^H

∂pn · · · ^∂_∂^x_pⁿ^H

n







(31)

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

Szluckij-mátrix

S=







∂x₁^M

∂p1 +^∂_∂^x¹_e^Mx₁^M · · · ^∂_∂^x_p¹^M

n +^∂_∂^x_e¹^Mx_n^M

... ... ...

... ^∂_∂^x_pⁱ^M_i +^∂_∂^x_eⁱ^Mx_i^M ...

... ... ...

∂x_n^M

∂p1 +^∂_∂^xⁿ_e^Mx₁^M · · · ^∂_∂^x_pⁿ^M

n +^∂_∂^x_eⁿ^Mx_n^M







Szluckij-tétel

S=H

Állítás

A Hicks-féle helyettesítési mátrix szimmetrikus ^∂_∂^x_pⁱ^H_j = ^∂_∂^x_p^j^H

i és a f®diagonálisában nem pozitív elemek állnak, azaz ^∂_∂^x_pⁱ^H_i ≤0.

(32)

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

(33)

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

Bizonyítás (vázlat)

A szimmetria a Young-tételb®l következik.

px≤py qy≤qx (q−p)(y−x)≤0

(q1−p1)(y1−x1) + (q2−p2)(y2−x2)≤0 Tegyük fel, hogy q₂=p₂, ekkor

(q₁−p₁)(y₁−x₁)≤0

∆p_i∆x_i|_U=U0≤0

∆limpi→0

∆xi

∆p_i|_U=U0 ≤0

∂x_i^H

∂pi ≤0

(34)

Matematikailag kicsit precízebben

Következmény

A Szluckij-mátrix f®diagonálisában nem pozitív elemek állnak.

Következmény

KERESLET TÖRVÉNYE: Ha az i-edik jószág normál jószág, akkor ^∂_∂^x_pⁱ^M_i ≤0, azaz a keresleti görbéje negatív meredekség¶.

Bizonyítás

A Hicks-mátrix ^∂_∂^x_pⁱ^H_i ≤0 tulajdonsága miatt a Szluckij mátrixban

∂x_i^M

∂pi +^∂_∂^xⁱ_e^Mx_i^M ≤0. Normál jószágok esetén ^∂_∂^x_eⁱ^M >0, ezért szükségképpen ^∂_∂^x_pⁱ^M_i ≤0.

(35)

Szluckij-féle felbontás

Célfüggvény: U(x,y)→max_x,y

Korl. felt: pxx+pyy=pxx0+pyy0

Lagrange-függvény

L(x,y, λ) =U(x,y)−λ(p_xx+p_yy−p_xx₀−p_yy₀)

∂L

∂x = ^∂_∂^U_x −λpx =0

∂L

∂y = ^∂_∂^U_y −λpy =0

∂L

∂λ =P_xx+P_yy−p_xx₀−p_yy₀=0

Szluckij-féle keresleti függvények

x^S(p_x,p_y,x₀,y₀) y^S(p_x,p_y,x₀,y₀)

(36)

Szluckij-féle felbontás (folyt.)

Állítás

SZLUCKIJ(Slutsky)-TÉTEL[Szluckij-felbontással]

∂x^M(px,py,pxx0+pyy0))

∂px = ∂x^S(px,py,x0,y0)

∂px −∂x^M

∂I x0

∂x^M(px,py,pxx0+pyy0))

∂p_y = ∂x^S(px,py,x0,y0)

∂p_y −∂x^M

∂I y0

∂y^M(px,py,pxx0+pyy0))

∂p_x = ∂y^S(px,py,x0,y0)

∂p_x −∂y^M

∂I x0

∂y^M(px,py,pxx0+pyy0))

∂p_y = ∂y^S(px,py,x0,y0)

∂p_y −∂y^M

∂I y0

(37)

Piaci kereslet

Egyéni keresletek összegzése

X ≡

N

X

i=1

x_i A d1és a d2két egyén keresleti görbéje. Ha az árunak csak ez a két potenciális vev®je van, akkor a teljes piaci kereslet D görbéje d1 és d₂horizontális összege.

(38)

Támogatás versus utalvány

(39)

Támogatás versus utalvány (folyt.)

Utalvány

A kiinduló optimum a K széls® megoldás: a fogyasztó az oktatásból nem vásárol. A KK⁰ nagyságú az oktatási utalvány formájában megvalósított

jövedelemjuttatás a K⁰⁰új optimumhoz vezet. Az utalvány az oktatás nagyobb mérték¶

fogyasztásához vezet, ha az oktatás hasznos.