CALCULUS
ORGYAE C IV IL IS ,
EJUSQUE PARTIUM ALIQUOTARUM,
A
JOANNE BAPT. HORVÁ TH,
Presbytero Archi-Dioecesis Strigoniensis, in Regia Scientiarum Universitate Budensi Theoriae Physic ae Sublimioris , Physic ae item Experimentalis, & Me
chanicae Professore Publico, Ordinario
Facilior Redditus,
E T OCCASIONE
SOLENNIS INAUGURATIONIS
EJUSDEM REGIAE SCIENTIARUM
UNIVERSITATIS
BUDENSIS
V ULGATUS.
B U D A E,
Typis Regiae Universitatis.
M. D C C. L X X X.
CALCULUS
ORGYAE CIVILIS,
EJUSQVE PARTIUM
ALIQUOTARUM.
§. I.
O
r g y a civilis est mensura sex pedibus civilibus constans: quapropter etiam hexapeda nuncupatur. Quilibet pes constat 12 digitis, seu pollicibus: pariter quili
bet digitus in 12 lineas; linea in ia puncta prima ; punctum primum in 12 puncta ada (& sic porro) dividitur. Signum orgyarum est exponens 0, pedum', digitorum ", linearum"', punctorum primorum 1V, &
lic porro. E. g. 5°, 3 ', 2", 4 "', 6IV si gnificat 5 or- gyas, 3 pedes, 2 digitos, 4 lineas, 6 puncta prima.
Porro pes, digitus &c, vocantur partes aliquotae or
gyae civilis : quia generatim pars aliquota cujuspiam totius ea vocatur, qua: aliquoties accepta id totum ada: quat.
§ . I I .
M e n s u r ae
nunc commemorata? vocantur sim plices , solique longitudini metienda: deserviunt.A
Quodsi eae inter se multiplicentur, factum enascens dabit mensuras quadratas, e. g. Orgya simplex in se ipsam ducta producit orgyam quadratam; pes sim
plex in se ipsum ductus, pedem quadratum, & sic porro. Atque hujus generis mensura: vocantur men
surae quadratae civiles, deserviuntque metiendis su
perficiebus. Porro orgya quadrata continet in se 3 6 pedes quadratos : nam orgya simplex sex pedibus constat; est vero 6 x 6 = 36. At pes quadratus 144 digitos quadratos complectitur: nam pes simplex 12 digitis constat, est vero 12 x 1 2 = 144. Pari de causa digitus quadratus 144 lineis quadratis constat;
linea quadrata 144 punctis primis quadratis, & sic porro. Nihilominus in hoc quoque mensurarum ge
nere ( liti & in reliquis omnibus , deinceps descri
bendis ) signum orgyarum est exponens0, pedum digitorum " &c. Hinc ut hoc mensurarum genus a reliquis discernatur; ei semper in fine adjiciemus si
gnum □ . E. g. 4°, 3 ', 2"D designabit 4 orgyas quadratas, 3 pedes quadratos, 2 digitos quadratos.
§. I I 1.
S i
mensurae quadratae per simplices multiplicentur; factum enascens dabit mensuras cubicas, e. g. Si cubilis cujuspiam , parallelepipedi formam habentis pavimentum fit = 14° □ , altitudo autem — 2°, a';
factum e mutua harum quantitatum multiplicatione oriundum indicabit, quotnam orgyas cubicas, pe
des c ubicos &c. capacitas dicti cubilis in fe comple
ctatur. Hoc mensu rarum genus signo IS ab aliis difi.
cernemus, e. g. Factum in adsumpto exemplo , uti e sequentibus patebit, est = 320, 144' £3: id quod tantundern significat , ac capacitatem dicti cubilis sequalem esse ^2 orgyis cubicis, & pneterea 144 pe
dibus cubicis. Porro orgya cubica in fe continet 2i6 pedes cubicos. Cum enim orgva simplex fex pedibus sequetur, orgya cubica acquiritur, si 6 pedes ad cu
bum eleventur ; est autem 6 x 6ix 6 = 2i6. At pes cubicus est = 1728 digitis cubicis ; quia pes sim
plex 12 digitos continet in fe, est autem I 2 x H X I 2-
= 1728. Pariter in digito cubico 1728 lineas cubica:
continentur. &c.
TABULA
Exhibens valores mensurarum civilium.
§. I V.
Jam hujusmodi mensurarum additio, & subtractio iisdem legibus est peragenda, quibus peragi solet ad
ditio & subtractio numerorum , ut vocant, mixto
rum heterogeneorum reducibilium , quales sunt e. g.
floreni eum adnexis cruciferis. Multiplicatio quoque
ac divisio dictarum mensurarum, si multiplicator, vel divisor sit numerus abstractus, e. g. 2, vel 3, diffi
cultate caret: satis enim est , si ngulos datae mensuras terminos per abstractum illum numerum multiplicare, vel dividere. E. g. 30 , 2' per 2 multiplicatum , est
— 6 , 4 .
At si partes aliquotae per partes aliquotas multi
plicari vel dividi debeant ; tunc enimvero admodum molestae sunt operationes, nisi peculiares praxes vo
centur in subsidium. Ego in Dissertatione, quam nu
per de Ponte, unico arcu constante, typis Budensi
bus edideram, vulgavi etiam calculum aliquem dicta
rum mensurarum , facilem fane, & accuratum : eun
dem tamen faciliorem adhuc reddi posse, deinde de
prehendi. Itaque haud abs re futurum existimavi, si has quoque posteriores cogitationes meas vulgarem, fequentemque dictarum mensurarum calculum, ab eo, quem in commemorata Dissertatione attuleram, qui
busdam e capitibus discrepantem proponerem : ut nempe ii, quibus hujusmodi calculi sunt necessarii , e pluribus eum, qui commodissimus esse videbitur, eligere queant.
§. V.
P o r r o calculus nunc proponendus eo collinea
bit, i) ut mensurae simplices per alias si mplices mul
tiplicentur : quo casu facium enascens praebebit men
suras quadratas. 2) Ut mensurae quadratae dividantur per simplices: quo casu pro quoto obvenient men
surae simplices. 3) Ut mensurae quadrata: multiplicen
tur per mensuras simplices: hoc casu constabit facium mensuris cubicis. 4) Ut mensuras cubicas per quadra
tas , vel simplices dividantur. Quas quidem si per quadratas dividantur , quotas dabit mensuras simpli
ces ; quadratas autem, si divisio fiat per mensuras simpl ices. Ut autem calculi hujus natura generatim pateat; jam nunc hasc notanda sunt.
1m0’ Hoc in calculo vocabulo quidem orgyae , sive simplicis , sive quadrata , seu denique cubias idem intelligetur, quod in usu civ ili/ I , H, &:
III exposito; at non item vocabulo pedis, d ig iti, reliquarumque partium aliquotarum: nam hoc in cal
culo orgya sive simplex, sive quadrata, seu denique cubica in 12 pedes dividetur: in quovis mensura
rum nunc dictarum genere pes constabit 12 digitis ^ digitus t 2 lineis, & sic porro. Pedes illos, in quos orgya quadrata hoc in calculo dividetur, vocabimus pedes orgyce quadratce , ut nimirum discernantur a pedibus quadratis civilibus, quorum 36 continentur in orgya quadrata: pariter digitos, in quos divide
tur pes orgyae quadrata: , vocabimus digitos orgyce.
quadratce &c. Eodem modo partes orgya: cubicas nun- cupabimus, pedes, digitos &c. orgyce cubicce\
2do. T ametsi partes aliquotas, ut pedes, digiti &C*
in quas orgya, sive simplex, sive quadrata, seu de
nique cubica in calculo hoc dividitur , discrepent a partibus aliquotis , in usu civili usitatis ; eas tamen iisdem exponentibus, quibus has, designabimus. Ita
que alia erunt adsurnenda ligna* e quibus discerni
queat, an haec vel illa mensurarum expressio sit me
thodo calculi, an usui civili accommodata. Quare i) si mensuris nullum in sine signum fuerit adjectum;
ex designabunt mensuras simplices, in usu civili re
ceptas: si aurem in fine adjectum habuerint signum
— ; erunt mensurae simplices, methodo calculi ex
pressio. E. g. 2°, 3' significat 2 orgyas, & 3 pedes civiles: at 2°, 3 '— < significat 2 orgyas, 3 pedes simplices in calculo usurpari solitos. 2) Signum □ designabit mensuras quadratas civiles, & signum £3 cubicas civiles : at niensurae quadratae, in calculo usurpari solitae signo I.----J, cubicae autem signo ££<2»
in fine adjiciendo designabuntur.
§ . V I.
Cum in calculo hoc quaelibet pars aliquota fit pars duodecima mensurae proxime superioris; patet in hujus calculi mensuris , tam simplicibus , quam etiam quadratis, aut cubicis, pedes ad orgyas, digi
tos ad pedes &c. reduci posse divisione per 12; item orgyas in pedes, pedes in digitos &c. resolvi posse multiplicatione per 12.
§ . V I I .
P r o b le m a I. Mensuras simplices civiles redu
cere ad expressionem calculi ; & vicissim mens uras simplices methodo calculi expressas reducere ad ex
pressionem in usu civili receptam.
Re s o l. Si in mensuris civilibus simplicibus , in
tactis orgyis, partes aliquotae per 2 multiplicentur; eo ipso mensurae illae reducuntur ad expressionem calculi:
fi autem in mensuris simplicibus calculi , intactis or gvis partes aliquot# per 2 dividantur ; eo ipso men surae illae ad expressionem usus civilis reducuntur, e. g.
2°, 3', 4" est = 2 ° , 6', 8'' — ; & 2°, 4', 6" —
# est = 2 ° 5 2 ', 3". Item i ° , 5' — • est = i ° , 2 —
2
= i ° , 6".
Cum enim hoc m calculo eadem orgya in 12 pe
pedes dividatur, quas in usu civili sex pedibus con
stat; clarum est, pedem hujus calculi esse dimidiam par
tem pedis civilis: hinc eum utrobique pes in 12 di
gitos dividatur; id quoque clarum est, quemlibet di
gitum simplicem calculi esse partem dimidiam digiti civilis : idem eodem modo patet de reliquis partibus aliquotis. Eo ipso autem veritas Res olutionis patet»
§. V I I I .
P r o b le m a II. Menjuras s implices in calculo usitatas inter s e multiplicare.
R e s o l u t . Sit Multiplicandus 4 °, 4' — Multiplicator 30, 4' —- Erit facium = 14°, 5% 4/< CHZJ.
Id est, si 4 orgyx & 4 pedes, in calculo usur
pari soliti multiplicentur per 3 orgyas, & 4 pedes in calculo usurpari solitos; facium erit se quale j4 orgyis quadratis, 5 pedibus orgyse quadrat# , & 4 digitis orgyx quadrat#,, in calculo usurpari solitis.
Nempe i™0, inchoata a sinistris operatione, sin
gulos multiplicandi terminos multiplica per singulou A 4
terminos multiplicatoris: cuilibet autem facio par
tiali pro exponente adpone summam exponentium termini multiplicandi, & multiplicatoris.
Itaque si in adsumpto exemplo multiplicandum totum multiplicemus per 30 ; est 4 ° x 3° = n 0 + 0
= 12°, & 4 x 3° — I‘+"° — i2 /. Si deinde eun
dem multiplicandum multiplicemus per 4'; e s t4 ° x V 16% & 4 'x 4 ' = i6'/.
i -x
2^°* Hujusmodi facta partialia ita scribantur, ut homogenei termini infra homogeneos veniant; adeo que in adsumpto exemplo sic:
12°, 12' 16', 16".
3ti0' Facta partialia homogenea addantur sibi invi
cem, tum inferiores species ( si per 12 dividi queant) ad fpecies superiores reducantur ( §. V I ) . Sic in ad
sumpto exemplo facta partialia dant hanc summam : 12°, 28', 1 6", & facta reductione hanc: 14°, 5', 4";
cui demum adjiciatur signum L__J , seu id factum hoc modo scribatur: 14°^ 5', 4" □ .
§ . I X.
Q u o d ad demonstrationem operationis attinet, htte eidem praemittere juvat, i " 10* Cum hoc in calculo orgya adsurnatur pro unitate; certum est, numerum orgyarum semper constare meris unitatibus integris, numerum autem partium aliquotarum exprimi posse fractione , cujus numerator exprimat numerum id ge
nus partium aliquotarum , denominator autem indi
cet, cujusnam denominationis sint ex partes aliquot*.
E. g. 4 pedes exprimi possiunt hac fractione, -— : cum4 12 enim hoc in calculo orgya sit unitas integra , ea demque orgya in 12 pedes dividi foleat; 4 pedes re ips sunt quatuor duodecima? partes unitatis.
2f7°* Hoc in calculo si pars aliquota instar fractio
nis exprimenda sit ; ejus denominatorem constituere debet numerus 1 2 , multiplicatione toties positus , quot unitatibus constat exponens ejusdem partis ali- quotar.
Ratio inde facile patet, quod hoc in calculo quaslibet pars aliquota sit duodecima pars mensura? proxime superioris , lexque bsec pro
pria sit non tantum mensuris simplicibus , sed etiam mensuris tam superficierum, quam solidorum ( §.V ) .
3ii0. Ex his autem hanc generalem legem licet pro hoc calculo statuere. Nempe quilibet datus partium aliquotarum numerus exprimi potest fractione , cujus denominator constet numero 12 , multiplicatione to
ties posito , quot unitatibus constiterit ejusdem ex
ponens; & vicissim numerus partium aliquotarum, ope fractionis modo nunc dicto expressius , reduci potest ad expressionem in calculo usitatam, si omisso ejus denominatote , numeratori tot unitates adpo nantur pro exponente, quoties multiplicatione fuit
positus in ejusdem denominatote numerus 12. e. g. Est
His notatis jam ratio regulas 1mae, §pho prasc.
adnotata; facile intelligi potest. Ac i ) quidem sint orgya; multiplicanda; per orgyas , e. g. 4° per 3°*
Factum fore — i2 ° , ac proinde fore = n 0 + 0 >
clarum est , quin ulla peculiari , huic nostras ope
randi methodo propria demonstratione sit opus.
2) Sint orgyas multiplicanda; per partes ahquotas, c. g, 4° per 3A Hi duo factores juxta ea , qux de
monstrationi praemiss a sunt, possunt in hos converti:
4, & ---— - Porro si factores hi juxta communes I2 X i i .
fractionum leges inter se multiplicentur; erit facium
4 X 3 12
— --- — — --- Hoc est, facium erit fra- i 2 X Ia 1 2 X 12»
ctio , cujus numerator est factum duorum illorum nu
merorum , qui pro mutua multiplicatione fuerant pro
positi , denominator autem continet numerum 12 , toties multiplicatione politum , quot unitatibus con
stat summa exponentium utriusque simul factoris. Cum ergo juxta ea , quas demonstrationi praemiss a sunt„
id genus fractio converti possit in expressionem, huic calculo propriam, si omissio denominatore tot unita
tes numeratori adponantur pro exponente , quoties numerus 12 in eo denominatote multiplicatione fuit positus; clarum est , in adsumpto casu rite peragi multiplicationem , si dati factores inter fe multipli
centur, & facio adponatur pro exponente summa ex
ponentium factoris utriusque.
3) Sint partes aliquotae multiplicandae per partes aliquotas, e. g. 3' per 3". Factum erit — f". Per
inde enim fe res habet, ac si tiplicaretur: ergo facium est =
Regula 2da & 3tia demonstratione haud egent;
hoc unico excepto , quod facto signum i. in fine adjiciendum praescribatur. Hujus autem ratio est; quia si linea ducatur in lineam, superficiem generari no
tum est. Porro quoniam in facio, juxta regulas adla
tas obtento , quaelibet pars aliquota est duodecima pars mensurae proxime superioris ; ideo hujusmodi facio id genus signum est adjiciendum, ex quo in
telligatur, per id facium designari superficiem, alia methodo, quam quae in usu civili recepta sit, ex
pressem.
X.
P ro b le m a I II. Partes ali quot as orgyae qua
dratae , hoc in calculo usurpari solitas, reducere ad expressiones in usu civili usitatas, seu ad pedes qua
dratos, digitos quadratos civiles &c.
R e s o lu t . Pro hoc usu sequentes formulae ser
vient.
Et sic porro, ita ut in columna media pro primo binario exponens fit ' , pro 2 d o " , pro 3 tio /" , pro quarto IV &c.
Quod ad usum formularum attinet: sit i4°, 5', 4"' C D reducendum ad mensuras usus civilis. Primus exempli terminus 14°, etiam in usu civili idem signi
ficat, quod in calculo, scilicet 14 orgyas quadratas:
at 5' L__ 1 est juxta formulam imam = 15' □ # /
& 4" CUD juxta formulam 2dam est = ~ Q i = i /Q , 4
Totum ergo exemplum est = 14°, 16' Q .
§. X I.
D e m o n stra tio
formularum est haec. 1) EstPari argumentandi ratione reliquarum etiam for
mularum veritas facile demonstrari potest.
§. X I I .
P r o b l e m a IV. Datas mensuras simplices, more civili expressas multiplicare inter s e, invenireque ea rundem facium , more civili expressum.
R e s o l . Sit Multiplicandus 4°, 2 ', 3"
Multiplicator 30, 3', 2 Erict Facium = 15°, 15', 90" □ . Nempe 1mo. Factores reducantur ad expressionem, in calculo usurpari solitam , partes ali quotas per x
multiplicando (§. VII): erit multiplicandus 4°, 4 ,6 "
multiplicator 30, 6', 4" •—■ . 2do. Nunc jam factores hi multiplicentur inter se juxta regulas §phi VIII. Haec erunt facta partialia:
12°, 12 ', 18'' 24 , 24 , 36
16", 16"', 241VC Z X
Adeoque facta additione, reductioneque erit facium totale = 1 5 ° , 5', 2", 6 a u .
Itio' Fiat hujus expressionis reductio ad expressio- nem civilem ; feilicet ope formularum §phi X. Erit factum demum = 1 5 ° , 15', 90' □ .
X I I I .
P r o b l e m a V. Superficiem methodo hujus cal
culi expressam dividere per mensuras simplices , pari
ter methodo ejusdem calcule expressas.
R e s o l u t . Quotum fore mensuras simplices, iti
dem methodo calculi expressas, certum essi e. g.
Sit Dividendus 14°, 5', 4" [---- ) c Erit quotus Divis or 30, 4' — ' ( = 4°, 4' — . Nempe i m0• primus dividendi terminus 14° di
vidatur per primum divisoris terminum 30, & quoto pro exponente adponatur disserentia illa, qua: su perest, si divisoris exponens subtrahatur ab exponente dividendi. Erit quotus = 4 ° ~ ° = 4°.
2^°* Quotus hic ducatur in totum divisorem, &
factum enascens = 12°, 16' subtrahatur a dividendo, resi duumque adnotetur. Porro ut hujusmodi subtra
ctio , ulteriorque operatio commodius institui queat;
semper prius in primo dividendi termino excess us su
pra primum facli subtrahendi terminum resoluatur in speciem proxime minorem : adeoque in prassente casu dividendus ^ duabus orgyis in pedes resolutis ) sic scribatur. 12°, 29', 4". Facta jam nunc subtractione, residuum erit = 13 ', 4''.
3<t0' Primus residui hujus terminus dividatur per primum divisoris terminum , seu 1 3 'per 3°: quotus est = 4 I'" ° — 4'. Hic quotus in totum divisorem du
ctus dat factum = 12', 16". Istud subtrahatur e resi duo dividendo, sed tamen per reg. 2dam , nunc ex
positam , sic prius scribendo: 12', 16". Facta subtra
ctione nullum amplius remanet residuum, ac proinde adaequatus quotus est = 4°, 4 — .
4*°- Si peracta hac altera subtractione aliquod ad
huc superesset residuum; quotus adaaquatus hactenus necdum fuisset obtentus: eadem ergo methodo con
tinuanda esset operatio , dum peracta subtractione nul
lum jam superfit residuum, atque ita quotus adaequa
tus obtineatur. Saepe tamen fit, ut adaequatus quotus acquiri nequeat, quantumcunque continuetur opera
tio , nempe quemadmodum in extractione radicis e. g.
quadratae frequentissime accidit. Quo proinde casu per adproximationem duntaxat est progrediendum; seu eousque duntaxat continuanda est operatio, dum quo
tus inventus a vero quoto jam minore disserat quan
titate, quam quae consideratione sit digna.
5/0* Si primus dividendi terminus secundum se (id est, abstrahendo mentem ab ejus exponente) consideratus, minor fuerit primo divisoris termine), itidem secundum se considerato; tunc idem primus dividendi terminus resolvatur in partes speciei mino
ris. e. g. Si 1' s - - i debeat dividi per 40; ob 1 < i4 resolvatur 1' in 12", tum 12" per 4° dividatur. Quo
tus erit = 3''. Idem fiat, si exponens divisoris nequeat
subtrahi ab exponente dividendi, e. g. Si 4° C J per 2 ' dividi debeat; loco 4° sumatur 48': quotus erit
= 241 — 1 = 24°.
i\to• Si eveniat intra operandum, ut quotus in d i' visorem ductus majus factum producat, quam quod a dividendo subtrahi possit; id indicio erit, quotum justo majorem fuisse acceptum , ac proinde eum de
bere imminui: cujusmodi casum etiam in communi numerorum divisione frequenter accidere notum essi
§. X I V .
Q u o d ad Demonstrationem operationis, juxta regulas n unc adlatas instituta: attinet: rite expensa operationis serie, facile adparet, in prima ejusdem parte primum, in 2da 2dum quoti terminum , per totum divisorem multiplicatum subtrahi a dividendo,
& sic porro. Quando ergo peractis hujusmodi subtra
ctionibus nihil amplius remanet e dividendo; clarum est, hoc casu quotum obtentum, per totum diviso
rem multiplicatum , aquari dividendo , ac proinde eum quotum esse omnino legitimum. Quando autem quotus per adproximationem duntaxat est determina
tus ; eo casu quotus in totum divisorem ductus dat quidem factum, dividendo minus; at si idem quotus vel exigua quantitate augeatur, jam tunc is in totum divisorem ductus dat factum, eodem dividendo ma
jus : ut adeo eum a vero quoto admodum parum ab
errare , in confessio si t.
§. X V.
P r o b le m a VI. Superficiem more civili expres
sam reducere ad expressionem, hoc in calculo usi tatam.
R e s o l. Pro reductione hac e formulis §phi X hae formulae erui possunt:
Et sic porro, ita ut in columna dextra exponens fit semper duplo major, quam in sinistra. Demonstratio e formulis §phi X obtutu primo patet.
Quod autem ad usum formularum attinet: sit e. g.
bxc civilis expressio 150, 15 ', 90" □ reducenda ad expressionem hujus calculi. 1) Juxta imam formulam est 1 5' Q = 1 5 " x 4 L .'-J ; 2) est juxta idam formulam 90" □ = 9oIVx 4 L— D . Data ergo civilis expressio est hoc in calculo = 1 5 ° , 60% 3 6o,v L —U , & fa
ctis, divisione per 12 , reductionibus ( §. VI)^ est demum = 1 5 ° , 5', 2", 6"' L _ I .
f, X V L
P r o b l e m a V I L Superficiem more civili ex
pretam dividere per mensuras civiles s implices. e. g.
14°, 16' □ dividere per 3°, 2ct
R e s o l . Quotum fore mensuras simplices inde patet, quia mensurx simplices in alias simplices du
ctae superficiem generant. Nominatim in adsumpto B,
exemplo quotus est = 4 °, 2'. Hoc autem ordine in
stituatur operatio.
jwo. Tam dividendus, quam divisor reducantur ad expressiones calculi: ille per X V, iste per§.VII.
Erit dividendus 14°, 5', 4'' L — U , & divisor 30, 4'-— . Peragatur jam nunc divisio juxta regulas
§phi XIII: erit quotus = 4°, 4 — *•
y i°. ppC qUOtus reducatur ad expressionem civi
lem , partes aliquotas per 2 dividendo ( §. V II): erit demum is quotus = 4°, 2'.
ScHol .
Calculus hactenus traditus jam sufficit iis, qui circa superficies, simplicesque mensuras dun- taxat versantur : ut tamen completa fit totius calculi methodus, eundem etiam ad solida, seu tribus di- mensionibus ( in longum nempe , latum, & profundum) praedita adplicabo. Prius tamen, ut accuratio
nem calculi hactenus traditi confirmem, lubet indi
care methodum , expressionem superficiei , hoc in calculo usurpari solitam reducendi ad ejusdem expres
sionem , eo in calculo usitatam, in quo orgya tam simplex, quam quadrata, aut cubica in sex duntaxat pedes, quilibet fautem pes in 12 digitos dividitur;
qualis est calculus Cl. D. Belidon , item is, quem ego loco, IV. commemorato proposui. Nempe ea
dem argumentandi ratione , qua VII usi fuimus>
facile patet, in expressione superficiei, huic calculo propria, quamlibet partem aliquotam esse duplo mi
norem , ac fit in eo calculo, in quo qusvis orgya in sex duntaxat pedes dividitur; ac proinde quarum-
libet partium aliquotarum numerus in calculo hoe duplo major fit , oportet , ac esset in dicto generis alterius calculo: ergo si in expressione superficiei juxta praesentem calculum facta, partes aliquota* per 2 di
vidantur , acquiretur expressio superficiei, dicto ge
neris alterius calculo propria, e. g. Superficies, quam nos hoc modo exprimimus: 4°, 6', 8" 1 ~ 1 ; in di
cto calculo deberet hoc exprimi m odor4°, 3', 4" L— X
§. X V I I .
Pr o b l e m a V I II. S u p erficiem more calculi ex
pressam multiplicare per mensuras s implices, itidem more calculi expressas.
Re s o l. Multiplicatio iisdem prorsus legibus per
agatur , quae § VIII sunt adlatae : sed facio adjicia
tur demum si gnum , cujus si gnificatio jam
§pho V exposi ta fuit. e. g. Si fit multiplicandus 1 5 ° , 4 ', 2" i . - J , & multiplicator = 4 ° , 3 ' — ; erunt facta partialia :
6o°, 1 6 ', 8"
45' , 12",
= 6o°, 6 i ' , 20",
A deoque fa- = 6o°, 62', 8", 6" ' S 3 clum totale = 65°, 2 ', 8", 6"' 1
§. X V I I I .
Pr o b l e m a I X. S o lid a , methodo calculi ex- pressa reducere ad mensuras cubicas, in usu civili
receptas.
R es o l. Pro reductione hac sequentes formula?
servient.
Et sic porro, ita ut in columna media termini primi exponens sit', 2di'% 3tii &c.
X I X .
De m o n s t r a t i o harum formularum est hasc, i ) Quoniam in orgya cubica pedes orgyx cubicae tales, quales boc in calculo usurpantur, continentur 12 , pedes autem civiles cubici continentur 216 ( §. III); est I'|
Simili ratiocinandi methodo reliquae etiam sequen
tes formulas facile demonstrari possent.
O R g y ie C i v i l i s . 21
§. X X.
Pr o b l e m a X. M ensuras quadratas civiles
per
mensuras civiles s implices multiplicare.
Res o l. im0• Tam multiplicandus, quam multi
plicator reducantur ad expressionem calculi: ille per
§. X V , iste per §. VIL
2^°- N ovi hi factores multiplicentur inter (e juxta regulas §phi V III, tum facto lignum adjiciatur.
3uo' Hxc facti expressio reducatur per formulas
§phi XVIII ad expressionem mensurarum cubicarum civilium.
§. X X L
Pr o b l e m a X I. Solidum more civili expressum reducere ad expressionem in calculo us itatam.
R e s o l u t. Pro reductione hac e formulis $phi XVIII sequentes formulas erui possiunt.
Et sic porro, hac semper lege servata, ut in dextra columna exponens fit triplo major, quam in sinistra.
Ratio harum formularum consideratis formulis $phi XVIII illico patet. In his enim est e. g. i'" SEE3 = - — 0 : ergo utrumque tequationis membrum per
O
8 multiplicando, est i' S = 8"'
$. X X I I ,
P r o b l e m a X I h Solidum methodo calculi ex- pressum dividere per alias mensuras, pariter methodo calculi expressas.
R e s o l , Divisio peragatur juxta regulas, <$. XIII adlatas:, hoc tamen notato, quod si divisor sit super
ficies , pro quoto obventura; sint mensura; simplices „ methodo calculi expresse; superficies autem, si divi
sio per mensuras simplices fiat.
$. X X I I I .
P r o b l e m a X I I I . Solidum methodo civili ex
pressum dividere per mensuras quadratas, vel per sim
plices, itidem more civili expreffas.
R e s o l. i mu* Reducantur tam dividendus, quam divisor ad expressionem calculi.
a<fo. j am finne peragatur divisio iis legibus, quae
$>pho praxcd. commemorata; sunt.
31!'°' Quotus, quoniam expressionem calculi habe
bit, reducatur ad expressionem civilem.
F I N I S .
