A tökéletes gáz állapotegyenletéből következik, hogy állandó nyomáson és hőmérsékleten a gáz térfogata a molekulák számával arányos

(1)

9.1.1 A tökéletes gáz állapotváltozásai

A tökéletes gáz alatt olyan képzeletbeli rendszert értünk, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

- a gáz halmazállapotú rendszer igen nagyszámú részecskéből áll,

- a molekulákat, vagy atomokat kiterjedés nélküli anyagi pontoknak tekintjük, - a részecskék között nem hat semmiféle kölcsönhatás,

- a molekulák olyan rendezetlen mozgást végeznek, amely a klasszikus mechanika törvényeivel írható le,

- a részecskék minden ütközése tökéletesen rugalmas.

A tökéletes gáz állapotegyenletéből következik, hogy állandó nyomáson és hőmérsékleten a gáz térfogata a molekulák számával arányos. Ebből következik Avogadro tétele is, amely szerint ugyanazon a hőmérsékleten és nyomáson, azonos térfogatban azonos számú molekula van.

Fontos még Dalton törvényének ismerete. Ez kimondja, hogy tökéletes gázok keveréke által kifejtett nyomás egyenlő azon nyomások összegével, amelyet az egyes komponensek akkor fejtenének ki, ha egyedül töltenék ki a rendelkezésre álló térfogatot. Ha a gázkeverék többféle komponenst tartalmaz különböző mennyiségben, akkor a teljes nyomás:

^p^ ^p¹^ ^p²^^...^^



^pⁱ ^ ^RT_V ^



ⁿⁱ (9.1)

ahol piés niaz i-edik komponens parciális nyomását és mennyiségét jelöli. A parciális nyomás megadható a teljes nyomás és a komponensekxi móltörtjének ismeretében:

^pi ^xi^p (9.2) Izoterm állapotváltozás

Izoterm állapotváltozás során a nyomás és a térfogat változik. E két mennyiség kapcsolata kiolvasható a tökéletes gáz (1.5)-ös állapotegyenletéből:

^pV ^ állandó (9.3)

A fenti összefüggés Boyle-Mariott törvény néven ismert. Eszerint zárt rendszerben a tökéletes gáz izotermikus változását a p-V síkon egyenlőszárú hiperbola ábrázolja. Mivel az állandó értéke függ a hőmérséklettől, ezért különböző hőmérsékleteknek különböző hiperbola felel meg.

A Boyle-Mariott törvény könnyen értelmezhető molekuláris szinten is. Ha például a gáz térfogatát a felére csökkentjük, akkor a részecskék sűrűsége kétszeresére nő. Időegység

(2)

alatt tehát kétszer annyi részecske ütközik a falnak, az általuk kifejtett erő pedig, ami a nyomást adja, megkétszereződik. A pV szorzat értéke tehát állandó.

x. ábra: A tökéletes gáz izotermái három különböző hőmérsékleten.

Mivel a tökéletes gáz belső energiája csak a hőmérséklettől függ, ezért izoterm folyamatok során a gáz belső energiája sem változik meg.

Vizsgáljunk egy olyan állapotváltozást, amely során a gáz a kezdeti p1,V1 állapotból állandó hőmérsékleten kitágulva jut el a végső p2,V2 állapotba. Természetesen ez a folyamat önként csak akkor játszódik le, ha p1 p2. A gáz tágulása során a környezetén munkát végez. Ennek értéke:

1

ln 2

2

1

2

1 V

nRT V V

nRT dV pdV

W

V



 

(9.4)

Mivel az izoterm expanzió során a belső energia nem változik, ezért a gáz által végzett munkát a környezetből felvett^Q ^^W nagyságú hőnek kell fedezni.

Izobár állapotváltozás

Izobár folyamatoknál a gáz nyomása nem változik. A gáz térfogata és hőmérséklete közötti kapcsolat az állapotegyenlet segítségével határozhatjuk meg. Eszerint állandó nyomáson a térfogat arányos a hőmérséklettel.

^ T

V állandó (9.5)

Ezt az arányosságot konkrét formában fejezi ki a Gay-Lussac törvény:

V V0



¹



T ²⁷³^,¹⁵

 

(9.6)

ahol V0 a T=273 K-hez tartozó térfogatot,



pedig az izobár hőtágulási együtthatót jelöli. A reciprok hőmérséklet dimenziójú hőtágulási együttható értéke^ ^¹^/²⁷³^,¹⁵.

x. ábra: Tökéletes gáz izobár állapotváltozása

(3)

A térfogat a hőmérséklet függvényében ábrázolva egyenest ad, amelynek meredekségét V0értéke határozza meg.

Állandó nyomáson kitáguló gáz (11.5)-szerint felmelegszik. Legyen a kezdeti állapot

1 1,T

V , a végső pedig V2,T2. A tágulás során végzett térfogati munka

W  p⁽V2 V1⁾ (9.7)

A T2 hőmérséklet eléréséhez szükséges energiát a környezetnek kell fedezni. A környezetből felvett

Q C_P(T₂ T₁) (9.8)

nagyságú hő most - az állandó nyomás miatt - a gáz entalpiáját növeli, azaz egyrészt fedezi a gáz által végzett munkát, másrészt a fennmaradó rész a belső energiát növeli.

QH₂ H₁ U₂ U₁ p(V₂ V₁) (9.9)

Izochor állapotváltozás

Izochor folyamatról akkor beszélünk, amikor zárt rendszer állapotváltozása során a térfogat állandó marad, csak a nyomás és a hőmérséklet változik. Ha a gáz állandó térfogatú edénybe van bezárva, akkor melegítés hatására nő a nyomása, hűtésnél pedig csökken. Ez összhangban van az állapotegyenletből adódó alábbi egyenlettel:

^ T

p állandó (9.10)

A fenti összefüggésből következik, hogy a tökéletes gáz nyomása állandó térfogaton lineárisan nő a hőmérséklettel. Ez a Gay-Lussac-féle második törvény, amit gyakran az alábbi formában írnak fel:

p p0



¹



T ²⁷³^,¹⁵

 

(9.11)

ahol p0 a gáz nyomása T=273,15 K-en és ^ az izochor feszülési együttható. Ennek értéke

15 , 273 /

1

 K^¹.

Mivel állandó térfogaton lejátszódó folyamatoknál munkavégzés nincs, ezért a környezetből felvett Q nagyságú hő teljes egészében a gáz belső energiáját növeli.

QU2 U1 C_V⁽T2 T1⁾ (9.12)

(4)

Adiabatikus állapotváltozás

Adiabatikus állapotváltozás során a rendszer nem cserél hőt a környezetével. Így

0

dQ és dS 0, azaz a rendszer entrópiája a folyamat során nem változik. Zárt adiabatikus rendszerre az első főtétel az alábbi formában írható:

^dU ^^^pdV (9.13) Mivel tökéletes gáznál a belső energia csak a hőmérséklettől függ, ezért

^CV^dT ^^pdV ^⁰ (9.14)

Ebből az egyenletből rögtön kiolvasható, hogy a gáz adiabatikus összenyomásakor )

0

(dV  a hőmérséklet növekszik⁽^dT ^⁰⁾, kitágulásnál pedig csökken. Vegyük azonban észre azt, hogy amennyiben a gáz vákuummal szemben terjed ki, akkor nem végez munkát.

Ekkor a hőmérséklete sem változik.

Az állapotegyenletből kifejezhetjük a nyomást, majd ezt (11.14)-be helyettesítve azt kapjuk, hogy

^ ^⁰ V nRT dV dT

C_V (9.15) Vegyük figyelembe, hogy tökéletes gázoknál

^Cp ^Cv ^nR (9.16) A fenti két egyenlet összevonása, majd ^CV^T -vel való osztása után kapjuk, hogy

^⁽ ^¹⁾ ^⁰ V dV T

dT  (9.17)

ahol  a két hőkapacitás hányadosát jelöli:  Cp/CV. A fenti egyenlet integrálása után kapjuk, hogy

^ln^T ^⁽^ ^¹⁾^ln^V ^állandó (9.18) A bal oldal TV⁽^^¹⁾-nek a logaritmusa, ennélfogva ez is állandó:

TV^(^¹⁾ állandó (9.19)

A fenti összefüggés segítségével megmondhatjuk azt, hogy milyen mértékben változik meg az adiabatikusan kiterjesztett, vagy összenyomott tökéletes gáz hőmérséklete.

(5)

A nyomás és a térfogat közötti összefüggést is meghatározhatjuk az állapotegyenlet felhasználásával:

pV^ ^állandó (9.20) A (9.19)-es és a (9.20)-as egyenleteket az adiabatikus kompresszió Poisson-féle egyenleteinek nevezik. Érdemes összehasonlítani p és V változását adiabatikus és az izoterm állapotváltozásnál. Tekintsünk egy olyan izotermát és adiabatát, amelyek a p0,V0 pontban metszik egymást. Ekkor az izoterma egyenlete

pV  p0V0 (9.21) az adiabatáé pedig

pV^  p₀V₀^ (9.22)

Vizsgáljuk meg, hogy melyik izoterma a meredekebb. A meredekséget a nyomásnak a térfogat szerint vett differenciálhányadosa adja meg. Képezzük ezt a differenciálhányadost a

0 0,V

p pontban.

0 0

V p V

p

izoterma



 



 







 (9.23)

0 0

V p V

p

adiabata





 



 







 (9.24)

Mivel  értéke egynél mindig nagyobb (egyatomos tökéletes gáznál ^ ^⁵^/³), ebből következik, hogy az adiabata meredekebb, mint az izoterma. Ezt mutatja be az x. ábra. Ez a különbség a meredekségben annak a következménye, hogy izoterm expanzió során a rendszerbe hő formájában energiát juttatunk, ami biztosítja a hőmérséklet állandóságát. Ennek következtében a nyomás nem csökken olyan mértékben, mint adiabatikus kiterjedésnél.

x. ábra: A tökéletes gáz izotermája és adiabatája.

Az ábrán látszik, hogy az adiabata mentén a nyomás sokkal gyorsabban csökken, mint az izotermán. Ebből következik, hogy adott térfogatváltozás előidézéséhez szükséges munka adiabatikus expanzió esetén kisebb, mint izoterm kiterjedéskor.

(6)