1.Bevezetés NEMKOLLINEÁRISTERAHERTZ-KELTÉSGERJESZT˝OOPTIKAIIMPULZUSATERJEDÉSÉNEKPARAXIÁLISHULLÁMOPTIKAIMODELLJEWAVEOPTICALMODELOFTHEPROPAGATIONOFTHEOPTICALPULSEINANONCOLLINEARTERAHERTZ-GENERATION

(1)

NEMKOLLINEÁRIS TERAHERTZ-KELTÉS GERJESZT ˝ O OPTIKAI IMPULZUSA TERJEDÉSÉNEK PARAXIÁLIS

HULLÁMOPTIKAI MODELLJE

WAVEOPTICAL MODEL OF THE PROPAGATION OF THE OPTICAL PULSE IN A NONCOLLINEAR

TERAHERTZ-GENERATION

K ˝oházi-Kis Ambrus^∗

Természet- és M ˝uszaki Alaptudományi Tanszék, GAMF M ˝uszaki és Informatikai Kar, Neumann János Egyetem, Magyarország

Kulcsszavak:

hullámoptika

ultrarövid lézerimpulzus impulzus terjedés impulzusfront d ˝olés terahertz-keltés Keywords:

wave-optics

ultrashort laser pulses pulse propagation pulse front tilt terahertz-generation Cikktörténet:

Beérkezett 2018. augusztus 01.

Átdolgozva 2018. szeptember 04.

Elfogadva 2018. október 01.

Összefoglalás

Az általam vizsgált paraxiális hullámoptikai modell egyszer ˝usí- tett változata az egy lencsét tartalmazó döntött impulzusfronttú terahertz-keltés kísérleti elrendezésének [4] : a fényimpulzus le- képez ˝odésében viszgálom a szögdiszperzió és a lencse együt- tes hatását. A hullámoptikai modell meger ˝osíti, hogy ha a rácsra bees ˝o impulzus sávhatárolt, akkor a lencse mögött a rács képe helyén visszakapjuk a sávhatárolt impulzust. Viszont a hullámop- tikai modell azt is adja, hogy ha a rácsra bees ˝o impulzus nem sávhatárolt, vagy ha a terjedés során a lencsében, vagy a kö- zegben lineáris fázismodulációt szed össze, akkor a sávhatárolt impulzus nem a rács képe helyén, hanem a fázismoduláció el ˝o- jelét ˝ol függ ˝oen a rács képe el ˝ott, vagy mögött valósul meg.

Abstract

Simplified wave-optical model of the propagation of an ultrashort optical pulse in a terahertz-generation sheme utilizing pulse front tilt pahse matching[4] is investigated. I concentrate on the propagation of the pulse after diffracted by an optical grating and imag- ed by a lense. The model reinforce the widely used theorem that the transform-limited pulse is built at the image position of the grating if the incident pulse on grating is transform limited. The wave-optical model yields also that the transform-imited pulse is also built but not at the image position of the garting if the incident pulse on the grating is phase-modulated, or the pulse gather an appreciate amount of dispersion in its propagation.

1. Bevezetés

Terahertzes (10¹²Hz-es) frekvenciájú elektromágneses sugárzás széles, folyamatosan b ˝ovül ˝o al- kalmazási területekkel rendelkezik [1] a csillagászattól az orvosi alkalmazásokig. Ultrarövid, csupán egyciklusú terahertz-keltésre is mód nyílt a piko-, illetve femtoszekundumos optikai impulzusok nem- lineáris közegekben történ ˝o egyenirányításával. A hatékony terahertz-keltéshez, mint jellemz ˝oen a

∗Kapcsolattartó szerz ˝o. Tel. : +36 20 4640787 ; fax : +36 76 516 299 E-mail cím : kohazi-kis.ambrus@gamf.uni-neumann.hu

374

(2)

nemlineáris optikai folyamatok fázisillesztése, amely a célra legmegfelel ˝obb LiN bO₃ (lítiumniobát) kristályban az optikai és a terahertzes sugárzás terjedési sebességeinek több mint kétszeres há- nyadosa miatt hatékonyan csupán a gerjeszt ˝o optikai impulzus impulzusfrontjának megdöntésével érhet ˝o el [2]. Az impulzusfont megdöntését szögdiszperzó keltésére szolgáló prizmákkal, illetve optikai rácsokkal valósítható meg [3]. A jellemz ˝oen optikai ráccsal megdöntött impulzusfrontot egy- vagy kétlencsés optikai leképezéssel tovább döntik [4], hogy a lítiumniobát kristályban megvalósulhasson a hatékony terahertz-keltés.

1. ábra. Elvi kísérleti elrendezés döntött impulzusfronttal megvalósított terahertz-keltéshez A döntött impulzusfronttú fényimpulzusok terjedése izgalmas tudományos terület, mert az impulzus térbeli alakját, id ˝otartamát nem csupán az alkalmazott szögdiszperzió mértéke, hanem az impulzust alkotó spektrális komponensek terjedés során változó laterális szétcsúszása is befolyásol- ja [5]. Az 1. ábrán látható elrendezésben a lencse utáni terjedést részleteiben még nem vizsgálták.

Ebben a dolgozatban a továbbiakban megmutatom, hogy ha lineáris fázismodulációval bíró impulzus esik akkor is megjelenik az impulzus megdöntött, de sávhatárolt képe a lencse mögött a bees ˝o fényimpulzus fázismodulációjától függ ˝o pozícióban.

2. A hullámoptikai modell

A rácsra bees ˝o fényimpulzus egy id ˝oben és térben Gauss-eloszlású általában lineárisan fázis- modulált fényimpulzus [6, 7] :

E1(x1, y1, z1, ω) =F(ω) q1 0

q₁ exp

−iω c

x²+y² 2q₁

, (1)

aholq1=q1 0+z1 a fényimpulzus komplex görbületi sugara. Az egyszer ˝uség kedvéért olyan fényim- pulzussal számoltam, amely q-paramére frekvenciafüggetlen, mint az üres rezonátorok sajátnyaláb- jai – ekkor a különböz ˝o hullámhosszúságú spektrális összetev ˝ok nyalábderék-vastagsága a hullám- hossz gyökével arányos. (Valódi lézerek kimen ˝onyalábjainak q-paramétere hullámhossz bonyolult függvénye, viszont dolgozatom eredményeit ez a bonyodalom lényegében nem érinti.)

Az (1) képletben szepl ˝oF(ω)határozza meg a fényimpulzus spektrális eloszlását : F(ω) =E1 0T0

√

1 + 2 iaexp

"

−(ω−ω₀)² T₀²

2 (1 + 2 ia)

#

. (2)

AzF(ω)függvény Fourier-transzformáltja egyD= 2a T₀² csoportkésésdiszperzióval rendelkez ˝o impulzust ad, viszont a térben is véges fényimpulzusban a tér külöböz ˝o pontjaiban az impulzusnak eltér ˝o id ˝olefutása alakul ki a térbeli eloszlásban is megjelen ˝o hullámhossz-függés miatt.

A rácsról visszaver ˝od ˝o fényimpulzus térbeli és spektrális eloszlása [8] : E₂(x, y, z, ω) =b₂ exph

iω

c ∆ω β xi

E₁(α x, y, z, ω) , (3) ahol α és β az optikai rácson történ ˝o elhajlás paraméterei (lásd [8] referenciát). Az optikai rács elhajlási jelenségét az úgynevezett rácsegyenlet írja le (maz elhajlás rendje) :

(3)

sinγ+ sinθ= m λ₀

d = 2m π c

d ω , (4)

ahil γ a beesési szög, θ = θ(γ, ω) pedig az elhajlási szög. Azα és a β paramétereket az alábbi módon szokták definiálni :

α= ∂ θ

∂ γ _ω=ω

0

=−cosγ

cosθ , β= ∂ θ

∂ ω _ω=ω

0

=− m λ²₀

2π c dcosθ . (5) A rács után a lencséig történ ˝oz3 távolság (E₂ →E3), illetve a lencsét ˝ol továbiz5 távolság (E₄ → E₅) terjedését a paraxiális Fresnel-integrálok írják le [6] :

E3(x3, y3, z3, ω) = i e⁻ⁱ^ω^c^z³ λ z3

·

· Z +∞

−∞

E2(x2, y2, z2, ω) exp

− i ω 2c z₃

(x3−x2)²+ (y3−y2)²

dx2dy2 . (6) Egy a hullámhossztól független f fókusztávolságú vékony lencse hatását pedig az alábbi képlet írja le [6] :

E₄(x₄=x₃, y₄ =y₃, z₄=z₃, ω) =E₃(x₃, y₃, z₃, ω) exp iω

c

x²₃+y₃² 2f

. (7)

A hosszadalmas, bár jellegében egyszer ˝u számolás végén az alábbi analitikus formulákkal kaphatjuk meg az impulzus térbeli és spektrális eloszlásait. A rács után z3 távolságra az E3 eloszlást, míg a lencse utánz5 távolságra azE5 eloszlást :

E₃(x₃, y₃, z₃, ω) =b₃e⁻ⁱ^ω^c^z³F(ω) q1 0

√q₃_xq₃_y exp −iω

2c y²₃ q₃_y

×

×exp







−iω 2c

α x₃−^{∆ω β q}_α ¹2

q3x

+iω 2c

∆ω²β²q₁ α²





 , (8)

E5(x5, y5, z5, ω) =b5e⁻ⁱ^ω^c^(z³^+z⁵⁾F(ω) q_{1 0}

√q3xq3y

rq₄_yq₄_x q5yq5x

exp

−iω 2c

y²₅ q5y

·

·exp

"

−iω 2c

(x5−x4 0)² q5x

!#

·exp

+iω 2c

∆ω²β²q1 (f−z3) (f −z3) α²−q1

, (9) ahol

q₃_x=q₁+α²z₃, q₃_y =q₁+z₃, 1 q4x

= α² q3x

−1 f, 1

q4y

= 1 q3y

−1

f, q₅_x =q₄_x+z₅, q₅_y =q₄_y+z₅, (10) továbbáx_{4 0}a nyalábeltolódás egy komplex paramétere :

x4 0= β∆ω q1f (f −z3)−q1

(11) A teljesség érdekében megadom a terahertz-keltés során alkalmazott nemlineáris kristályban történ ˝o extraordinárius nyalábként történ ˝o terjedés leírását is :

E₆(x₆, y₆, z₆, ω) =b₆e⁻ⁱ^ω^c(^z3+z5+^z_n⁶)F(ω) q1 0

√q₃_xq₃_y

rq4yq4x

q₆_yq₆_x×

×exp

"

−iω 2c

y₆² q₆_y −iω

2c

(x₆−x_{4 0})² q₆_x +iω

2c

∆ω²β²q₁ (f−z₃) (f −z₃) α²−q₁

#

, (12)

(4)

ahol q₆_x = q₅_x +z₆, q₆_y = q₅_y +z₆ és n a közeg, általában hullámhossz-függ ˝o extraordinárius törésmutatója.

A továbbiakban f ˝oként az impulzusnak a szabad térben, leveg ˝oben történ ˝o terjedésére koncent- rálok, mert ebben figyelhet ˝ok meg tisztán azok az impulzusdeformációs jelenségek, amelyek alaku- lásában a közeg diszperziója nem avatkozik bele. Valójában az impulzusnak olyan gyors, jelent ˝os átalakulásai valósulnak meg a rács és a leképez ˝o lencse együttes hatására, hogy a nemlineáris közeg (LiNbO3 kristály [4]) diszperziója valóban csak kiegészít ˝o hatással van.

3. Nyalábterjedés nyomonkövetése ábrák segítségével

A (8) és a (9) a (2) képlettel együtt definiálják a lencse el ˝ott, illetve után terjed ˝o impulzus spektru- mát. A tér minden pontjában a spektrum alapján Fourier-transzformáció segítségével számolhatjuk a tér lokális id ˝ofüggését, ezt pedig a paraxiális terjedés modelljében a jó közelítésselc fénysebes- séggel való terjedés miatt kiteríthetjük a terjedés-irányú helyfüggésre. Azω0 körüli spektrumot eltolva nullába az impulzus elektromos tere burkolójának térbeli alakját kaphatjuk meg. Ezek láthatók a 2-4.

ábrákon, ahol az impulzusalak az x-z sík 2,5 mm oldalhosszúságú nyégyzet alakú szelete látható.

A grafikonok el ˝oállításához 200 fs sávhatárolt id ˝otartamra elegend ˝o spektrális sávszélesség ˝u, 800 nm közép-hullámhosszúságú Gauss-impulzusokat vettem példának. A rácsnál párhuzamosított nyalábalakot tételeztem fel (z₁ = 0), nyalábvastagságát w_{1 0} = 0,8 mm érték ˝unek vettem, amelyb ˝ol z₀=π w²_{1 0}/λ= 2,51madódik [6].

A rácsot 1360 1/mm -es vonals ˝ur ˝uség ˝unek választottam (d = 1/1360 mm = 0,735µm), amit Littrow-konfigurációnak [4] megfelel ˝o elrendezésben alkalmazvaγ =θ = 33^o,α = 1és β = 0,551 fs értékekeket kapjuk. A rácsról visszaver ˝odött nyalábunk impulzus-frontjának d ˝olésszögére atanφ=

= 2π c β/λ= 1,378összefüggésb ˝ol [9] aφ= 54^o érték adódik.

A lencse fókusztávolságáraf = 8,5 cm-t választottam, a rács és a lencse közé felvettz₃ = 20 cm tárgytávolság a rács képének és a lencse közötti képtávolságraz₅ = 12 cmadódik.

A 2 és 3 ábrákon sávhatárolt, azaz fázismoduláció-mentes bees ˝o impulzusnak a terjedése során kilakuló impulzus alakok figyelhet ˝ok meg.

A 2.a ábrán megfigyelhet ˝o a rácsra bees ˝o fényimpulzus térbeli kiterjedése. Közvetlenül a rács után már megd ˝olt, de még lokálisan rövid id ˝otartammal bíró impulzus látszik a 2.b ábrán. A 2.c-d ábrákon a rács után a terjedés során szétterül ˝o impulzus figyelhet ˝o meg. Észrevehet ˝o a rácstól való távolsággal csökken ˝o d ˝olésszög is [9].

(a) (b) (c) (d)

2. ábra. A fényimpulzus alakja közvetlenül a rács el ˝ott (a), közvetlenül a rács után (b), 10 cm-rel a rács után (c), illetve 20 cm-rel a rács után, közvetlenül a lencse el ˝ott (d)

(Az impulzus további paramétereit lásd a szövegben !)

Külön ábra nem került a dolgozatba a közvetlenül a vékonylencse utáni nyalábalakról, mert az pontosan megegyezik a 2.d ábrán láthatóval, mivel a vékonylencse csupán a fényimpulzus térbe- li fázisát változtatja meg. A 3.a-d ábrákon a lencse után terjed ˝o impulzusalakot figyelhetjük meg a távolság (z₅) növekedésének függvényében. Jól látható, hogy a rács képének pozíciójában ismét a

(5)

bees ˝o impulzusnak megfelel ˝o rövid impulzusalak figyelhet ˝o meg. Távolabb ismét szétfolyik longitudi- nális és tarnszverzális irányokban az impulzus (lásd 3.d ábrát).

(a) 4 cm (b) 8 cm (c) 12 cm (d) 16 cm

3. ábra. A fényimpulzus alakja lencse után 4 cm-rel (a), a lencse után 8 cm-rel (b), a lencse után 12 cm-rel (c), illetve a lencse után 16 cm-rel (d)

A 4.a-e ábrákon a = −2, illetve a 4.f-j ábrákon a = +2 paraméter ˝u fázismodulált bees ˝o impul- zushoz tartozó impulzusalakokat láthatunk a rács képe (z₅ = 12 cm) közelében. A fázismodulációtól eltekintve a rácsra bees ˝o fényimpulzus és a leképez ˝o rendszer paraméterei az el ˝oz ˝oekkel azonos.

Megfigyelhet ˝o, hogy a negatív lineáris fázismodulációval (a = −2) bíró esetben is megfigyelhet ˝o a terjedés során a sávhatárolthoz közeli impulzusalak csak most a rács képéhez képest a lencséhez közelebbi pozícióban (z5 = 11 cm, lásd a 4.c ábrát). A pozitív fázismodulációval rendelkez ˝o bees ˝o impulzus esetén is megfigyelhet ˝o minimális impulzushossz (valahol a 13 cm és a 14 cm-es pozíciók között).

(a) 9 cm (b) 10 cm (c) 11 cm (d) 12 cm (e) 13 cm

(f) 11 cm (g) 12 cm (h) 13 cm (i) 14 cm (j) 15 cm

4. ábra. A fényimpulzus alakja lencse után az ábra alatt megjelölt távolságban. Az (a)-(e) ábrák ese- tén a rácsra bees ˝o impulzus negatívan csörpölt (a=−2), míg az (f)-(j) ábrák esetén a rácsra bees ˝o fényimpulzus pozitívan csörpölt (a= +2). Figyeljük meg, hogy a bees ˝o impulzus fázismoduláltsága esetén a minimális id ˝otartamú impulzus pozíciója eltér a fázismodulálatlan esetben megfigyelhet ˝o pozíciótól (12 cm, lásd az 3. ábrát)

Az analitikus képletek segítségével nyert grafikonok tehát megmutatják, hogy ha a rácsra bees ˝o fényimpulzus lineárisan fázismodulált, akkor a lencse után a sávhatárolt fényimpulzus a bees ˝o fényimpulzus fázismodulációjának el ˝ojelét ˝ol függ ˝oen a lencse által a rácsról alkotott képe el ˝ott, vagy mögött helyezkedik el. Megfigyelhet ˝o továbbá, hogyapozitív értéke esetén az impulzus szétfolyása

(6)

lényegesen mérsékeltebb, mintanegatív értéke esetén.

4. Az impulzus tengely-menti tér analitikus viszgálata

A fenti eredményeket meger ˝osíthetjük analitikus vizsgálatok segítségével is. A sávhatárolt impulzus megjelenését a tengely menti (x₅ = y₅ = 0) terjedés során vizsgálni lehet a fent kapott (5) összefüggésben :

E5(x5= 0, y5= 0, z5, ω) =b5e⁻ⁱ^ω^c^(z³^+z⁵⁾F(ω) q1 0

√q₃_xq₃_y

rq4yq4x

q₅_yq₅_x·

·exp



+iω 2c

∆ω²β²q₁

1 z3 +_z¹

5 − ¹_f

(f−z5)q1

f z3z5 +α²

1 z3 +_z¹

5 − ¹_f



 . (13) Látható, hogy ha teljesül a lencse leképezési törvénye (_z¹

3 + _z¹

5 = _f¹), akkor a fényimpulzus spekt- ruma nem kap számottev ˝o fázistolást, az impulzus id ˝obeli lefolyását azF(ω)határozza meg : ha az fázismoduláció-mentes, akkor a fényimpulzus is sávhatárolt. Ha viszont azF(ω) fázismodulált, akkor a sávhatárolt fényimpulzus megjelenési helye eltolódik az optikai rács képének pozíciójából, mint ahogyan azt az (5) összefüggés x-z síkbeli ábrázolása esetén az el ˝oz ˝o szakasz ábráin is meg lehet figyelni.

5. Következtetések

A 8-12. képletek a rácson elhajló, a lencsével leképezett, majd a diszperzív közegbe jutott fény- nyaláb terjedésének paraxiális hullámoptikai modelljét adják. A képletek alkalmazásával jól modellez- het ˝o, tervezhet ˝o a 1. ábrán látható kísérleti elrendezést alkalmazó terahertz-keltés megvalósítása.

A hullámoptikai modell hánypótló [4], segítségével vizsgálhatók az elvileg megvalósítható gerjesz- tési jellemz ˝ok, de a konkrét megvalósítás során további nehézségeket támasztanak az alkalmazott optikai elemek leképezési hibái, amelyeket a paraxiális leírás természetéb ˝ol adódóan nem tud leírni.

Köszönetnyilvánítás

Köszönettel tartozunk a kutatás támogatásáért, amely az EFOP-3.6.1-16-2016-00006 „A kutatási potenciál fejlesztése és b ˝ovítése a Neumann János Egyetemen” pályázat keretében valósult meg. A projekt a Magyar Állam és az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszíro- zásával, a Széchenyi 2020 program keretében valósul meg.

Hivatkozások

[1] J. Hebling, G. Almási, „Képalkotás és spektroszkópia THz-es sugárzással : a csillagászattól az orvosi alkalmazásokig”, Magyar Tudomány, 2005/12, 1483. o., 2005.

[2] J. Hebling, G. Almási, I.Z. Kozma, J. Kuhl,„Velocity matching by pulse front tilting for large-area THz-pulse generation”, Opt. Expr., 10, 1161-1166, 2002.

[3] J. Hebling, „Derivation of the pulse ront tilt caused by angular dispersion”, Opt. Quant. Electr., 28, 1759-1763, 1996.

[4] L. Pálfalvi, „Döntött impulzusfrontú gerjesztésen alapuló terahertzes impulzusforrások optimali- zálása”, Akadémiai doktori értekezés, 2017.

[5] S. Akturk, X. Gu, E.Zeek, R. Trebino, „Pulse-front tilt caused by spatial and temporal chirp”, Opt.

Expr., 12, 4399-4410, 2004.

(7)

[6] A.E. Siegman, „Lasers”, University Science Books, 1986.

[7] Z. Wang, Z. Zhang, Z. Xu, Q. Lin, IEEE J. of Quantum Electronics, 33,566-573,1997.

[8] O.E. Martinez, „Grating and prism compressors in the case of finite beam size”, J. Opt. Soc. Am.

B, 3, 929-934, 1986.

[9] O.E. Martinez, „Pulse distrortions in tilted pulse schemes for ultrashort pulses”, Opt. Comm., 59, 229-232, 1986.