DIE AM SCHWACHEN

EIN MATHEMATISCHES MODELL FÜR DIE AM SCHWACHEN NETZ ARBEITENDE GESTEUERTE

DREHSTROMBRÜCKE

A. KARPATI, 1. IpSITs, 1. HERMANN und P. MAGYAR Lehrstuhl für Automatisierung.

Technische Universität. H-1521 Budapesl

Summary

The paper deals with the mathematical modelling of three-phase bridge-controlled converters operated on weak nets. A procedure is given to set up thc equations of state. After determining the periodical steady state, the state transmission matrix ofthe system linearized for small changes is sct up, and thereby a method is established to analyse the dynamic prapcrties of the system. The serviceableness of the method is demonstrated on same numerical examples.

Einführung

Die Regel zur Einstellung des Stromregelkreises der netzkommutierten Stromrichter sind seit langem bekannt, aber sie berücksichtigen nicht die Größe der frequenzabhängigen Netzimpedanz. Bei Einrichtungen von verhältnismäßig kleiner Leistung ist es auch nicht notwendig. Die Lage ändert sich, wenn die Leistung Pd des Stromrichters gemessen an die Kurzschlußleistung Sz des Netzes groß ist, die sich an das Speisenetz anschließenden Kondensatoren (Siebkreise) die Netzimpedanz ungünstig beeinflussen, und für die SichersteBung der guten Regeleigcnschaften im Regelkreis eine hohe Schnittfrequenz, w ^c' einzustellen ist. Im folgenden wird ein mathematisches Modell gezeigt, was für die Untersuchung von solchen Fällen geeignet ist. Die ausführlichen Ableitungen werden im Anhang angegeben.

Die Beschreibung des untersuchten Systems

Das Schaltbild des Hauptstromkreises des untersuchten Systems ist in der Abb. 1.a zu sehen. An das Speisenetz, das aus Spannungsgenerator und in Reihe geschaltenen Widerstand und Induktivität besteht, schließen sich n Siebkreise und eine Drehstrombrücke an. Der Synchronsignalfilter des Stromrichters wird durch den Stromkreis Rsz - Csz ersetzt.

7*

268 A. J\,4RPATI el a/.

L

h Rh

^L

e Re

---:-- i_S1 i

sn

^{- iE}

I h L_S1 L

sn Rsz

p ^1,2,3

a,b,c

Rs1

^{Th Th}

..

uL fCs~cL lC~eLTCsz

S1··· Sn

al

Die OJsgewöhlten .

.G":

".nc·"-Zustönde

a b c N

tl::: :

- U g 1

1

2 3 ^p bl

In .. C"-Zustand Th1 ist stromführend und Thb-Thc Kommutatio In .• nc·':.Zustand Th1 und The sind stomführend

Abb.l

In der Abb. l.b wurden die "c" und "ne" Zustände des ausgewählten Taktes dargestellt. In der Abb. 2 sind die für die Arbeit des Stromrichters kennzeichnenden Funktionen zu sehen. Abb. 2.a zeigt die Spannung Ud'

Abb. 2.b die aus dem Netz fließenden Ströme, Abb. 2.c die aus den Aus- gangspannungen des Synchronsignalfilters gebildeten Komparationssignale k(t) und das v(t) Ausgangssignal des Reglers.

In Abb. 3 ist der Aufbau des Regelkreises zu sehen. Das dem Strom i_d proportionales Signal wird durch ein Verzögerungsglied I-ster Ordnung gesiebt.

.WATHt:MATISCHES MODELL FÜR DIE DREHSTROMBRÜCKE 269

ol

-I_d ""t ' - - - + - -

bl

u csz 3 -U csz 2 U csz ' -U csz 3 U csz 2 -U csz'

v {t l

"'0

^{0(3 .cb I .c, .cc cC2 cl}

k {tl Abb. 2

A_pi ~

~

^{v Zündg Stromr. Rd+sL d id}

u_b

U,dv

1 +TsS R s

Abb.3

270 A. K..jRPiTi cl 0/.

Kurze Besprechung der angewandten Theorie 11, 2, 3]

Im Laufe der Untersuchungen werden die folgenden Berechnungen durchgeführt:

- Die Bestimmung des stationären Zustandes.

Die Bestimmung der Zustandsübergangsmatrix für kleine Änderun- gen.

- Stabilitätsuntersuchung.

Bes/immung des stationären Zustandes (2)

Der stationäre Zustand wird unter den folgenden Annahmen und in den folgenden Schritten bestimmt:

Wegen der zyklischen Symmetrie der Schaltung ist es genügend nur einen Takt zu untersuchen.

-- Der untersuchte Takt wird in zwei Teile geteilt. Diese sind: "c"- Zustand, wo bei der negativen Brückenhälfte (N) Thb und Thc kommutieren, bei der positiven Brückenhalfte (P) führt Thl den Strom. "nc"-Zustand, wo bei der negativen Brückenhälfte Thc, bei der positiven aber Thl stromführend sind.

- Der x~ Anfangswert des x* Zustandsvektors und der Überlappungs- winkel (tl = wT_{c )} im stationären Zustand des Systems nach Abb. 1.a ergänzt durch den id Filter nach Abb. 3 wird aufgrund der Zustandsgleichung des Systems (s. Anhang) bestimmt. Bei den Berechnungen werden die

( T\

Periodizitätsbedingung x*, t +

"6 )

⁼ x*(t) und die Löschbedingung kT'x*(p)=0 benutzt.

Das fehlende Element des x~* Anfangsvektors der vollständigen Zustandsgleichung, in der auch der Regler berücksich:igt ist, wird mit Hilfe der Komparationsbedingung bestimmt, d. h. mit Hilfe der folgenden Gleichung: ko

=Ucvo+(Uida+Uidvo)Ap, wobei Uida=IdRs geschrieben werden kann, weil wegen des PI-Reglers der Mittelwert der stationären Regelabweichung null ist.

Bestimmung der sich auf kleine Änderungen beziehenden Zustandsübergangsmatrix (1, 2, 3)

Zwischen den auf den gleichen Takt transformierten Änderungen xf*

und xf:1 kann der folgende Zusammenhang geschrieben werden:

MA TIfEMA TfSCIIl,'S MODELL FÜR DIE IJREllSTRO.\fBRCCI\E 271

wobei ist.

Außerdem

xt* -

ist die Abweichung der Zustandsvariablen im Vergleich zum stationären Zustand am Anfang des i-ten Taktes.

eA**T^{c -} ist das Maß der Änderung während des dem "c"-Zustand entsprechenden Zeitintervalls, Tc = f1/w.

V** - ist die die Beständigkeit von Tc sichernde Transformation beim Ende des Zustandes "c".

e V*'A"T nc - ist das Maß der Änderung während des "nc"-Zustandes F x - ist die die Beständigkeit der Taktzeit sichernde Transformations-

wobei

matrix beim Ende des "nc"-Zustandes, die folgenderweise bestimmt werden kann:

CT CT

F E (f' P"''''j') v - k x

= +.

ncv - . . co' • (T ^,'1'

Ck -cJfncv

1, = -x~>':: ^d

"I

ncy d t ..- ^{t = t nc ...} (Ende des "nc"-Zustandes)

f'

₌ ^d x"" ^.

"'I

~ co dt'- ^{t=tC ()} (Anfang des "c"-Zustandes)

cJ

= [0, 0, 0, 0, 0, 0, ... , 0, 0, 0, 0, ... , 0, 0, 1, 0, 0, 0J

- . , - ~ 10..-.., I """""-=====> • ____

---

^{----. ~ , ~}

^.

^.---..

cJ

=[0,0,0,0,0,0, ... ,0,0,0,0, ... ,0,0,0,0, -Ap,lJ

sind, weil k(t) = uc5zl (t) das Komparationssignal, d. h. L1k(t) ⁼ L1ucszl (t) und L1v(t)

=L1ucv-~pL1UidV sind. Durch die Multiplikation mit p**-l wird gesichert, daß die Anderungen des folgenden Taktes mit Hilfe der Formel des ursprünglichen Taktes berechnet werden können.

Stabilitätsuntersuchung

Die Änderung der vom stationären Zustand ausgeschwenkten Zustands- variablen kann nach dem n-ten Takt folgenderweise geschrieben werden:

,

272 A. !\.-{RP,.{n cl ai.

weil

zn

=TzA~Tz-I,

ist, die Stabilitätsbedingung kann wie folgt geschrieben werden:

il< 1

wenn i

=

1 ... mund m die Anzahl der Eigenwerte ist.

Besprechung einiger Rechenergebnisse

In der Abb. 4 wird die Änderung der Eigenwerte für einen solchen Fall gezeigt, wo an das Netz keine Filterkreise angeschlossen sind. Die Grundwel- lenverschiebung des Synchronsignalfilters ist <Psz

=

1[/3. Aus der Abb. 4 ist gut feststellbar, daß die Erhöhung der Netzimpedanz, der Schittfrequenz und des Laststromes das System labiler macht. Für den Aufbau des Zündgerätes ist kennzeichnend, daß ein Teil der Eigenwerte auch vom Steuerwinkel abhängig sind. Die ungünstigste Situation ergibt sich beim Wechselrichterkippen- Grenzwinkel.

Bei der Berechnung der Abb. 5.b wurde angenommen, daß an das Speisenetz ein Kondensator von solcher Größe angeschlossen ist, daß die Parallelresonanzfrequenz des durch die Netzinduktivität und Kondensator gebildeten Schwingkreises gleich 450 Hz ist (Abb. 5.a). Die Berechnungen wurden in zwei Fällen durchgeführt, bei grundwellen-ohmschen Widerstand und bei einem Netzwiderstand, der dem Skin-Effekt entsprechend vergrößert wurde.

Anhang. (Die ausführlicheren Berechnungen)

Die Zustandsgleichung des Systems nach der Abb. 1.a wird mit Hilfe des in Abb. 6 angegebenen Graphes bestimmt. Die zweckmäßige Reihenordnung der Zweige ist die folgende:

1 - n,,,

=

Zweige der induktiven Zustandsvariablen, (n,,,).

(n", + 1) - (n,,, + n'n" = nl ) = Die übrigen induktiven Zweige, (n'mJ

(n] + 1) - (n] + ne,,) = Die Zweige der kapazitiven Zustandsvariablen, (nei.).

(n, + neil + 1) - (n] + /ne" + nen)) = Die übrigen kapazitiven Zweige, (nentJ.

(n,+nc+1)-(n]+nc+nR_d=Die ohmschen Zweige, (nR-J n - n = Der Zweig des sich löschenden Thyristors, (UTh).

Die Systemparametermatrizes:

La

=

Die Matrix der Zustandsvariablen-Induktivitäten.

lfA THEJfA TISCHES !>fODELL FÜR DIE DREHSTROlfBRUCKt:

1-Lh =Lc=0; Rh=Rc=O 2 - L_h =O,5529mH;R",=28,74 m.!l

Lc = 0,9211. mH; R,,=1.5,48m!1; I_dN 3.-Als 2.,aber 2·l

dN

I.-L_h=L c=O; Rh=R<=O; ]

""SJr6 5- Als 2., aber 1,38 I

dN IIJ =30°)

/',=

0,973 - konstant

/,- 4=

^{O,27!j O,1.7~} konstant

---~---- - - - -

- -

-

--

0+-~----~~~~~---r---~-1-~~C~

125,7 1257 1500 311.1 00

-1

I_dN = 913,1. A

-2

Abb.4

L_na = Die Matrix der übrigen Induktivitäten.

L- [La; 0 _{- 0; L}

J.

na '

2 3 I.

5

273

Ca und C_na sind die Matrizes der Zustandsvariablen- und übrigen Kapazitäten.

C =

[~a; ~nJ

ist die resultierende Kapazitätsmatrix

274 A. K.4.RP.4Tl Ci "I.

R =

[~nR

^l'

~J

ist die resultierende Widerstandsmatrix, wobei R_{nR - 1} die Widerstandsmatrix der ohmschen Zweige, ausgenommen den Zweig _{U Th} ist.

T T T · d

u_g =[u_{g _,} ^U_g=, u_th] 1st der Vektor er Generatorspannungen.

---

^U;nR-I

B = [Bhi , B1mi , Bca , Bena , R_{nR - l '} R_Th] ist die Schleifenmatrix

25

20

15

5

L_h = 0.5529mH; 5, = 225 MYA/5.3kY R_h1=28.71. mfl_j

Cp = 223.7 flr:j

Qc=2.789MYAr

t

^{35,811.50 Hz}

1- Rh1

2 -4.5x R_n1

OL---~---~---~~----~--.

240 300 400 500 f. Hz

Ahh.5.a

-1

5

MATIIE,IfATlSClI/:"S MODEI.L FÜR 011, DRElIS7ROMBRÜCKE

+j

5'

f 2' 3' ,,' f..~ 5'

-..

^{- - - -}

..

- - - -

...

2

5'

'- berechnet mit L.,5 R_h1

Abb.5,b

31L.1/sec-1

~

1257/seC-2

<..Je = 628.3/sec-3 31L.,1/sec-L.

125,7.sec-5

275

+

276 A. KiRP.-iTi el 01.

- - 13'

25' 4 2 28'

1

^Ld

--- -

^-

-

24' 3 1 27' 39'U_Th

- -

23' Ls1 11 6 5 L_sn 12' 8' 7' _Rsz 37' 36' _35' ^26'

(

RS1 31' 30' 34' 33' 32' Csz 22' 19' 18'

0) C_s1 20' 15' 1 4' C_sn 21' 17' 16' ^5Z

S1 Sn

~

R < 0 - -

b) Abb.6

K* = [Km, K~a, Kta, Ktmi, K;R-I, KfhJ ist die modifizierte Knotenpunkt- matrix.

Der Vektor der Zweigspannungen ist:

T [ T T T T T T T TJ

U = Uhi, Ulmi, Ucsi!, Ucsni, Ucsnil, Ucszmi, UnR - I , UTh

Der Vektor der Zweigströme ist der folgende:

Die Zustandsgleichung des Systems wird unter Anwendung der Schlei- fen- und Knotenpunktgleichungen folgenderweise bestimmt:

Die Knotenpunktgleichung ist:

K*i=O

Nach Umordnung der Knotenpunktgleichung erhält man den folgenden Ausdruck:

. K*-lK*'

ll,C,R, = - I,C.R I" lla

MATIII:".HAT/SC/I1;"S A!OIlEU, FÜR Illl;' f)REIlSTROMBRUCKE 277

Die Schleifengleichung ist:

Bu=ü

Nach Umordnung der Schleifengleichung, und bei Berücksichtigung der folgenden Zusammenhänge:

dUca =

[_1 ] ..

d C. lea

t a

ergibt sich die Zustandsgleichung des Systems nach Abb. 1.a und 6 in der folgenden Form:

\ di

hi

l

l ^d;;'

'----v---' dx

l ^B~*[zr -BL'O-'BC* l ^{[~:J + [BL'7} oR },"OR-. ⁺

-

A x B

d!

[

BL* lBTh]

+

0 U Th

wobei

*- * ¹ * ¹ vonderReihek* nR+1

ER - BnR - 1 R^nR 1 [(K _I.C,R K1i,)

J

b' _IS zur el e R'h k'" r._ 1 BC* = B cü

+

^BcnüS

[_1 ] = [_1 ]. [(K* ¹ K>i:)

IJ

von der Reihe nlmi + 1 Cr C_Ü ^1.C.R la bis zur Reihe nln,i + n_cü sind und k* = k - 1 ist, (k = Anzahl der Knotenpunkte).

Den Zustandsvektor ausführlicher geschrieben erhält man aufgrund von x^T = [i~,

uJaJ

die folgende Form:

i;~1

, ucsn2 , U csz 1 , U csz2

J

278 A. K.4RP,4T/ c' ^"I.

Weil am Ende der Überlappung ic2

= °

ist, kann der Vektor

kT

in der folgenden Form geschrieben werden:

kT =

[0, 1, 0, 0, 0,0, ... , 0, 0, 0, 0, ... , 0, O,J

Die resultierende P Matrix kann aus den P 2 Matrixen diagonalweise zusammengelegt werden, wobei

P 2

[~- ~

^{] ist.}

Außerdem unter Berücksichtigung von

U~,nR-l = [u_{g1 ,} u_{g2 ,} ^Ug3' 0, 0, 0, 0, 0,0, ... ,0,0,0,0,0,0, UbJ und

kann

BUg. nR - 1 = BUg 1.2

+

CU b geschrieben werden, wobei

ist.

Weil ug1 und ug2 verschobene Sinusfunktionen sind, erhält man endlich die folgende Form:

BUg, nR - 1 = B1g(t)

+

CU_b wobei gT(t)=(cos (wt), sin (wt) ist.

Die Berücksichtigung des id-Filters im Gleichstromkreis

Der Filter ist ein Verzögerungsglied erster Ordnung, dementsprechend ist seine Zustandsgleichung die folgende:

du_idv 1 1 .

Cit

^{= -}

T

^Uidv

+ T

^1dRs

s s

Durch die Ergänzung der ursprünglichen Zustandsgleichung ergeben sich die folgenden Ergebnisse:

X *T - [x^T U

J

0' - 0' , idv

MATHEMATISCHES MODELL FCR DIE DREfiSTROMBRUCKE 279

B*= [B_{1 0 '} ¹J. C*= [CJ. P*= [P; _{0 ' O' 1 ,}

0J

k~T = [k~, OJ; kT* = [kr, 0J

SO ist die, auch den id-Filter berücksichtigende Zustandsgleichung die folgende:

dx* = A * x* + B*g(t) + C*U + k*u dt ^{b U Th}

Die Berücksichtigung des P l-Stromreglers Das Ausgangssignal des Reglers ist:

Die Zustandsgleichung des Reglers ist:

Die modifizierte Zustandsgleichung des Systems ergibt sich m der folgenden Form:

dx**

- - =A**x**+k U. +B**g(t)+C**U +k**u dt . ^{S Ida 1 b U Th} wobei

A**=

[

A*; _-1

0].

_{' 1}

B**= [BIJ.

_{0 '}

0;

T

I

C** [C*J . P"'~= .

~

[p**;

0J

° '

^{0 ; 1}

sind.

Und endlich

k**T u

=

[k*T U " 0J' e** 1

=

[e* I " OJ'

T 1

ks =0, ... ,

O'T

I

k**e**

V** - E ^{U 1 •} t

- - e**k** ^1S.

1 U

280 A. K.4RP,in cl 111.

Zusammenfassung

Der Artikel beschäftigt sich mit der mathematischen ModelIierung der am schwachen Netz arbeitenden Drehstrombrückenschaltung. Eine Methode wird zur Bestimmung der Zustandsgleichungen angegeben. Nach der Bestimmung des stationären Zustandes wird die auf kleine Änderungen linearisierte Zustandsübergangsmatrix des untersuchten Systems aufge- schrieben und so eine Methode zur Untersuchung der dynamischen Eigenschaften des Systems angegeben. Die Anwendbarkeit der Methode wird mit Hilfe einiger Berechnungsbeispiele gezeigt.

Literatur

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2. KARP,\T1 A.: Gyenge halozaton müködö hilromfilzisü ilramirilnyitok illlandosult üzeme.

Elektrotechnika 72, 345, /979.

3. MAGYAR P., LAKATOS L.: Aramiranyitos rendszerek szabillyozasa, Tankönyvkiado, Buda- pest, 1978.

Dr. Attila KARPATI

1

Imre IpSITS

Dr. lmre HERMANN

Dr. Peter MAGYAR

1521 Budapest