Az általánosított hiperbolikus oktonióalgebrákról

IX. kötet, 2021

doi:10.20312/dim.2021.02

Az általánosított hiperbolikus oktonióalgebrákról

Péntek Kálmán ELTE SEK TTMK Savaria Matematikai Tanszék

pentek.kalman@sek.elte.hu

ÖSSZEFOGLALÓ. A dolgozatban általánosítjuk Macfarlane M klasszikus hiperbolikus kvaternióit és megkonstruáljuk az általánosított hiperbolikus kvaternióinak 𝕄_𝛼𝛽 struktúráját. Az általánosított Cayley-Dickson eljárás felhasználásával e struktúrából megalkotjuk az általánosított hiperbolikus oktoniók 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 nem kommutatív és nem asszociatív algebráját. Az utolsó fejezetben megkonstruáljuk az általánosított hiperbolikus oktoniók vektor-mátrix reprezentációját.

ABSTRACT. In the paper we generalize Macfarlane’s classical hyperbolic quaterninons M, and we construct the structure of generalized hyperbolic quaternions 𝕄_𝛼𝛽. Based of the generalized Cayley-Dickson process of this structure we yield the non-commutative and non-associative algebras of generalized hyperbolic octonions 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 . In the last section we construct the vector-matrix representation of generalized hyperbolic octonions.

1. Bevezetés

Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ír matematikus, fizikus és csillagász a komplex számok struktúrájának általánosításaként alkotta meg a kvaterniókat. A kvaterniók képzetes egységei közötti, áttörést jelentő

𝑖² = 𝑗² = 𝑘² = 𝑖 ∙ 𝑗 ∙ 𝑘 = −1

összefüggést 1843. október 16-án ismerte fel. Dublinban az Ír Tudományos Akadémia ülésére tartott gyalogosan, ahol aznap éppen ő elnökölt. A Királyi Csatorna hidjához érve naplója bejegyzése szerint villámcsapásként érte a felismerés. A pillanat hevületében zsebkésével a híd korlátjába véste a felfedezett összefüggést, amely egyértelműen a probléma megoldását jelentette. Hamilton ezután teljes hátralevő életét a kvaterniók elmélete minél teljesebb kidolgozásának szentelte. (HAMILTON, 1844,1847)

Nem sokkal Hamilton felfedezése után John Thomas Graves (1806 – 1870) ír, majd Arthur Cayley (1821 – 1895) angol jogász és matematikus egymástól függetlenül megalkották az oktoniók struktúráját. A XIX. század második felében jónéhány más, a számfogalom általánosításaként felépített rendszer is napvilágot látott. Ezek egyike volt az Alexander Macfarlane (1851 – 1913) skót származású amerikai matematikus és fizikus által 1891-ben megalkotott hiperbolikus kvaterniók algebrája. Ezeket a matematikai struktúrákat egészen a XX. század harmincas éveinek végéig hiperkomplex rendszereknek nevezték utalva arra, hogy a komplex számok általánosításaiként alakultak ki. Manapság ezekre a struktúrákra inkább a

(test feletti) algebrák elnevezést használják. (CAYLEY, 1889), (MACFARLANE, 1900), (KANTOR – SZOLODOVNYIKOV, 1985), (ROSENFELD, 1997).

Ebben a dolgozatban először általánosítjuk az általánosított kvaternióalgebrák mintájára Macfarlane hiperbolikus kvaternióit és áttekintjük e struktúrák legfontosabb tulajdonságait. A témát magyar nyelven részletesen tárgyalja pl. PÉNTEK (2020) dolgozata. Ezután az általánosított hiperbolikus kvaterniók struktúrájának Cayley-Dickson-féle megkettőzési eljárásával építjük fel az általánosított hiperbolikus oktoniók algebráját. Ez az algebra nem kommutatív és nem is asszociatív, de reprezentálható alkalmas Zorn-féle vektor-mátrixok segítségével. Ezen reprezentációs tétel bizonyítása jelenti dolgozatunk fő eredményét.

2. Az általánosított komplex számok és az általánosított hiperbolikus kvaterniók

Ebben a fejezetben összefoglaljuk azokat a legfontosabb előzetes ismereteket, amelyek feltétlenül szükségesek a dolgozat fő részét képező általánosított hiperbolikus oktoniók tárgyalásához.

Jelölje {ℝ, +,∙} a valós számok testét a 0 összeadási és 1 szorzási neutrális elemmel. Ekkor a (1) ℂ_𝛾 ∶= {𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 ∶ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑖 ∉ ℝ}

alakú kifejezéseket az általánosított komplex számok halmazának nevezzük akkor és csakis akkor, ha az {1, 𝑖} komplex egységek eleget tesznek az alábbi szorzási szabályoknak:

(2) 1 ∙ 1 = 1, 1 ∙ 𝑖 = 𝑖 ∙ 1 = 𝑖, 𝑖² = −𝛾, ahol 𝛾 ∈ ℝ egy tetszőleges rögzített valós paraméter.

A ℂ_𝛾 halmazban egy skalárral való szorzás, összeadás, valamint a (2) alapján az algebrák szokásos konstruálási szabályai szerint még egy szorzás művelet is értelmezhető az alábbi módon. Tetszőleges 𝑟 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖, 𝑎′ + 𝑏′ ∙ 𝑖 ∈ ℂ_𝛾 esetén legyen

(3) 𝑟 ∙ (𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖) ∶= (𝑟 ∙ 𝑎) + (𝑟 ∙ 𝑏) ∙ 𝑖 a skalárral való szorzás, (4) (𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖) + (𝑎′ + 𝑏′ ∙ 𝑖) ∶= (𝑎 + 𝑎′) + (𝑏 + 𝑏′) ∙ 𝑖 az összeadás,

(5) (𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖) ∙ (𝑎′ + 𝑏′ ∙ 𝑖) ∶= (𝑎 ∙ 𝑎′ − 𝛾 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏′) + (𝑎 ∙ 𝑏′ + 𝑎′ ∙ 𝑏) ∙ 𝑖 a szorzás.

1. Tétel. Az általánosított komplex számok ℂ_𝛾 halmaza a (3), (4) és (5) műveletekkel egy 2- dimenziós, neutrális elemes, kommutatív és asszociatív algebrát alkot a valós számok ℝ teste felett.

Megjegyezzük, hogy a ℂ_𝛾 a 𝛾 = 1 esetben a klasszikus Gauss-féle komplex számok ℂ algebráját állítja elő.

A 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 ∈ ℂ_𝛾 elem konjugáltján a 𝑧̅ ∶= 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑖 ∈ ℂ_𝛾 általánosított komplex számot értjük.

A 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 ∈ ℂ_𝛾 általánosított komplex szám normájának a 𝑁(𝑧) ∶= 𝑧 ∙ 𝑧̅ = 𝑧̅ ∙ 𝑧 = 𝑎²+ 𝛾 ∙ 𝑏² ∈ ℝ valós számot nevezzük.

A 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖, 𝑧′ = 𝑎′ + 𝑏′ ∙ 𝑖 ∈ ℂ_𝛾 elempár skaláris szorzatán a

〈𝑧, 𝑧′〉 ∶= 𝑎 ∙ 𝑎′ + 𝛾 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏′ ∈ ℝ valós számot értjük.

Jelölje ezután 𝑀₂(ℝ) a valós test feletti másodrendű négyzetes mátrixok 4-dimenziós teljes mátrixalgebráját. Az

(6) 𝑀₂^ℂ(ℝ) ∶= {( 𝑎 𝑏

−𝛾 ∙ 𝑏 𝑎) ∶ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} ⊂ 𝑀₂(ℝ)

alakú mátrixok halmaza a szokásos mátrixműveletekkel az 𝑀₂(ℝ) teljes mátrixalgebrában egy részalgebrát alkot.

2. Tétel. Az 𝑓: ℂ_𝛾 → 𝑀₂^ℂ(ℝ), 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 ↦ ( 𝑎 𝑏

−𝛾 ∙ 𝑏 𝑎) leképezés egy algebra-izomorfizmus, így 𝑀₂^ℂ(ℝ) a ℂ_𝛾 struktúra mátrixreprezentációja.

Az általánosított komplex számok részletes tárgyalása megtalálható magyarul pl. PÉNTEK (2018) dolgozatában.

Az

(7) 𝕄_𝛼𝛽∶= {𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘 ∶ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∉ ℝ}

alakú kifejezéseket az általánosított hiperbolikus kvaterniók halmazának nevezzük akkor és csakis akkor, ha az {1, 𝑖, 𝑗, 𝑘} általánosított kvaternió-egységek között teljesülnek a következő szorzási összefüggések:

(8) 1 ∙ 1 = 1, 1 ∙ 𝑖 = 𝑖 ∙ 1 = 𝑖, 1 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 1 = 𝑗, 1 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 1 = 𝑘 𝑖²= 𝛼, 𝑗² = 𝛽, 𝑘² = 𝛼 ∙ 𝛽

𝑖 ∙ 𝑗 = −𝑗 ∙ 𝑖 = 𝑘, 𝑗 ∙ 𝑘 = −𝑘 ∙ 𝑗 = 𝛽 ∙ 𝑖, 𝑘 ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝑘 = 𝛼 ∙ 𝑗, ahol 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ tetszőlegesen rögzített valós számok.

Az 𝕄_𝛼𝛽 halmazban a skalárral való szorzás, az összeadás, valamint a (8) alapján az algebrák szokásos konstruálási szabályai szerint még a szorzás művelet értelmezhető az alábbi módon. Tetszőleges 𝑟 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘, 𝑎′ + 𝑏′ ∙ 𝑖 + 𝑐′ ∙ 𝑗 + 𝑑′ ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 esetén legyen

(9) 𝑟 ∙ (𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘) ∶= (𝑟 ∙ 𝑎) + (𝑟 ∙ 𝑏) ∙ 𝑖 + (𝑟 ∙ 𝑐) ∙ 𝑗 + (𝑟 ∙ 𝑑) ∙ 𝑘 a skalárral való szorzás,

(10) (𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘) + (𝑎′ + 𝑏′ ∙ 𝑖 + 𝑐′ ∙ 𝑗 + 𝑑′ ∙ 𝑘) ∶=

∶= (𝑎 + 𝑎′) + (𝑏 + 𝑏′) ∙ 𝑖 + (𝑐 + 𝑐′) ∙ 𝑗 + (𝑑 + 𝑑′) ∙ 𝑘 az összeadás,

(11) (𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘) ∙ (𝑎′ + 𝑏′ ∙ 𝑖 + 𝑐′ ∙ 𝑗 + 𝑑′ ∙ 𝑘) ∶=

∶= (𝑎 ∙ 𝑎′ + 𝛼 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏′ + 𝛽 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐′ + 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑑 ∙ 𝑑′) + +(𝑎 ∙ 𝑏′ + 𝑏 ∙ 𝑎′ + 𝛽 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑′ − 𝛽 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐′) ∙ 𝑖 + +(𝑎 ∙ 𝑐′ − 𝛼 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑′ + 𝑐 ∙ 𝑎′ + 𝛼 ∙ 𝑑 ∙ 𝑏′) ∙ 𝑗 +

+(𝑎 ∙ 𝑑′ + 𝑏 ∙ 𝑐′ − 𝑐 ∙ 𝑏′ + 𝑑 ∙ 𝑎′) ∙ 𝑘 a szorzás.

3. Tétel. Az általánosított hiperbolikus kvaterniók 𝕄_𝛼𝛽 halmaza a rajta értelmezett (9), (10) és (11) műveletekkel egy 4-dimenziós, neutrális elemes, de nem kommutatív és nem is asszociatív algebrát alkot a valós számok ℝ teste felett.

Ebben a struktúrában 0_𝕄 ∶= 0 + 0 ∙ 𝑖 + 0 ∙ 𝑗 + 0 ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 az összeadás neutrális eleme és egyben a szorzás zéruseleme is, 1_𝕄∶= 1 + 0 ∙ 𝑖 + 0 ∙ 𝑗 + 0 ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 pedig a szorzás neutrális eleme.

Megmutatható, hogy az 𝕄_𝛼𝛽 egy olyan kvadratikus algebra, amelyik nem alternáló.

Megjegyezzük továbbá, hogy az 𝛼 = 𝛽 = 1 esetben az 𝕄_𝛼𝛽 struktúra speciálisan a Macfarlane-féle klasszikus hiperbolikus kvaterniók algebrája lesz.

A 𝑞 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 konjugáltján a (12) 𝑞̅ ∶= 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑖 − 𝑐 ∙ 𝑗 − 𝑑 ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽

elemet értjük.

A 𝑞 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 normájának a

(13) 𝑁(𝑞) ∶= 𝑞 ∙ 𝑞̅ = 𝑞̅ ∙ 𝑞 = 𝑎²− 𝛼 ∙ 𝑏² − 𝛽 ∙ 𝑐²− 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑑² ∈ ℝ valós számot nevezzük.

Ha 𝑞 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘, 𝑞′ = 𝑎′ + 𝑏′ ∙ 𝑖 + 𝑐′ ∙ 𝑗 + 𝑑′ ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽, akkor e két elem skaláris szorzatán a

(14) 〈𝑞, 𝑞′〉 ∶= 𝑎 ∙ 𝑎′ − 𝛼 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏′ − 𝛽 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐′ − 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑑 ∙ 𝑑′ ∈ ℝ valós számot értjük.

A 𝑞 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 valós részének (skalár rész) a (15) 𝑆(𝑞) ∶= 𝑎 ∈ ℝ

valós számot, képzetes részének (vektor rész) a (16) 𝑉(𝑞) ∶= 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘 ∈ ℝ³ vektort nevezzük. Az

(17) 𝐼𝑚(𝕄_𝛼𝛽) ∶= {0 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽} ⊂ 𝕄_𝛼𝛽

alakú általánosított hiperbolikus kvaterniókat pedig tiszta képzetes kvaternióknak hívjuk.

Ha 𝑞 = 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘, 𝑞′ = 𝑏′ ∙ 𝑖 + 𝑐′ ∙ 𝑗 + 𝑑′ ∙ 𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝕄_𝛼𝛽), akkor

(18) 𝑞 ∙ 𝑞^′ = −[−𝛼 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏^′− 𝛽 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐^′− 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑑 ∙ 𝑑^′] + [(𝑐 ∙ 𝑑′ − 𝑑 ∙ 𝑐′) ∙ 𝛽 ∙ 𝑖 + +(𝑑 ∙ 𝑏′ − 𝑏 ∙ 𝑑′) ∙ 𝛼 ∙ 𝑗 + (𝑏 ∙ 𝑐′ − 𝑐 ∙ 𝑏′) ∙ 𝑘]

Az első szögletes zárójelben szereplő mennyiséget 𝑞 ∘ 𝑞′ jelöli és e két elem skaláris szorzatának, a második szögletes zárójelben szereplő mennyiséget 𝑞 × 𝑞′ jelöli és e két elem vektoriális szorzatának nevezzük. Ekkor tehát a 𝑞 ∙ 𝑞′ = −𝑞 ∘ 𝑞′ + 𝑞 × 𝑞′ összefüggés teljesül.

A

(19) 𝑍(ℝ) ∶= {(𝐴₁₁ 𝐴₁₂

𝐴₂₁ 𝐴₂₂): 𝐴₁₁, 𝐴₂₂ ∈ ℝ, 𝐴₁₂, 𝐴₂₁ ∈ ℝ³} alakú hipermátrixok halmazát valós Zorn-féle vektor-mátrixoknak nevezzük.

4. Tétel. A 𝑍(ℝ) halmaz egy 8-dimenziós, neutrális elemes, de nem kommutatív és nem is asszociatív algebrát alkot a valós számok ℝ teste felett.

Jelölje 𝑍_𝕄(ℝ) azon speciális valós Zorn-féle vektor-mátrixok halmazát, amelyre teljesülnek az

(20) 𝐴₁₁ = 𝐴₂₂∶= 𝑎 ∈ ℝ, 𝐴₁₂ = −𝐴₂₁ ∶= (𝑏, 𝑐, 𝑑) ∈ ℝ³ feltételek.

5. Tétel. A 𝑍_𝕄(ℝ) halmaz egy 4-dimenziós, neutrális elemes, de nem kommutatív és nem is asszociatív részalgebrát alkot a 𝑍(ℝ) algebrában. Az

(21) 𝐹: 𝕄_𝛼𝛽 → 𝑍_𝕄(ℝ) , 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑖 + 𝑐 ∙ 𝑗 + 𝑑 ∙ 𝑘 ↦ ( 𝑎 (𝑏, 𝑐, 𝑑)

−(𝑏, 𝑐, 𝑑) 𝑎 ) leképezés egy algebra-izomorfizmus, így 𝑍_𝕄(ℝ) az 𝕄_𝛼𝛽 struktúra vektor-mátrix reprezentációja.

Az általánosított hiperbolikus kvaterniók részletes tárgyalása magyarul megtalálható pl.

PÉNTEK (2020) dolgozatában.

3. Az általánosított hiperbolikus oktoniók

Az általánosított hiperbolikus kvaterniók 𝕄_𝛼𝛽 algebrájából kiindulva az általánosított Cayley-Dickson-féle eljárással származtatjuk az általánosított hiperbolikus oktoniókat.

Az 𝕄_𝛼𝛽× 𝕄_𝛼𝛽 ∶= {(𝑞₀, 𝑞₁): 𝑞₀, 𝑞₁ ∈ 𝕄_𝛼𝛽} direktszorzatban értelmezzünk műveleteket a következő módon

(22) skalárral való szorzás: 𝑟 ∙ (𝑞₀, 𝑞₁) ∶= (𝑟 ∙ 𝑞₀, 𝑟 ∙ 𝑞₁), (23) összeadás: (𝑝₀, 𝑝₁) + (𝑞₀, 𝑞₁) ∶= (𝑝₀ + 𝑞₀, 𝑝₁+ 𝑞₁),

(24) szorzás: (𝑝₀, 𝑝₁) ∙ (𝑞₀, 𝑞₁) ∶= (𝑝₀ ∙ 𝑞₀ − 𝛾 ∙ 𝑞̅̅̅ ∙ 𝑝_{1 1}, 𝑝₁∙ 𝑞̅̅̅ + 𝑞_{0 1}∙ 𝑝₀), ahol 𝛾 ∈ ℝ egy rögzített valós paraméter, 𝑟 ∈ ℝ, (𝑝₀, 𝑝₁), (𝑞₀, 𝑞₁) ∈ 𝕄_𝛼𝛽 × 𝕄_𝛼𝛽.

6. Tétel. Az 𝕄_𝛼𝛽 × 𝕄_𝛼𝛽 direktszorzat a (22), (23) és (24) műveletekkel egy 8-dimenziós, nem kommutatív és nem is asszociatív, de neutrális elemes algebrát alkot az ℝ test felett.

E struktúrában 0_𝕆∶= (0_𝕄, 0_𝕄) az összeadás, 1_𝕆∶= (1_𝕄, 0_𝕄) a szorzás neutrális eleme, továbbá mint 8-dimenziós vektortérben természetes bázist alkot az alábbi elemrendszer:

1_𝕆, (𝑖, 0_𝕄), (𝑗, 0_𝕄), (𝑘, 0_𝕄), 𝐸 ∶= (0_𝕄, 1_𝕄), (0_𝕄, 𝑖), (0_𝕄, 𝑗), (0_𝕄, 𝑘).

7. Tétel. Az 𝑈 ∶= {(𝑞₀, 0_𝕄): 𝑞₀ ∈ 𝕄_𝛼𝛽} ⊂ 𝕄_𝛼𝛽× 𝕄_𝛼𝛽 részalgebrát alkot az előző tételben szereplő

𝑓_𝕆: 𝕄_𝛼𝛽 → 𝑈, 𝑞₀ ↦ (𝑞₀, 0_𝕄) leképezés egy algebra-izomorfizmus, s ezért az

𝑓_𝕆^∗: 𝕄_𝛼𝛽 → 𝕄_𝛼𝛽 × 𝕄_𝛼𝛽, 𝑞₀ ↦ (𝑞₀, 0_𝕄) egy beágyazási algebra-monomorfizmus.

Definíció. A beágyazás eredményeként kapott struktúrát 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 szimbólummal jelöljük és az általánosított hiperbolikus oktoniók algebrájának nevezzük.

8. Tétel. Az 𝐸 = (0_𝕄, 1_𝕄) ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 elemre teljesülnek a következők:

(a) 𝐸² = −𝛾 ,

(b) bármely 𝑞₁ ∈ 𝕄_𝛼𝛽 elemre (0_𝕄, 𝑞₁) = 𝑞₁∙ 𝐸 ,

(c) minden (𝑞₀, 𝑞₁) ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 elem előállítható 𝑞₀+ 𝑞₁∙ 𝐸 alakban.

A (c) pontban szereplő előállítást az általánosított hiperbolikus oktonió kvaternió-algebrai alakjának nevezzük. Az ezen alakkal történő számolás szabályait mutatja a következő

9. Tétel. Ha 𝑟 ∈ ℝ, 𝑝₀+ 𝑝₁∙ 𝐸, 𝑞₀+ 𝑞₁∙ 𝐸 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , akkor

(a) skalárral való szorzás: 𝑟 ∙ (𝑞₀+ 𝑞₁∙ 𝐸) = (𝑟 ∙ 𝑞₀) + (𝑟 ∙ 𝑞₁) ∙ 𝐸, (b) összeadás: (𝑝₀+ 𝑝₁ ∙ 𝐸) + (𝑞₀+ 𝑞₁∙ 𝐸) = (𝑝₀+ 𝑞₀) + (𝑝₁+ 𝑞₁) ∙ 𝐸, (c) szorzás: (𝑝₀+ 𝑝₁ ∙ 𝐸) ∙ (𝑞₀+ 𝑞₁∙ 𝐸) =

= (𝑝₀∙ 𝑞₀− 𝛾 ∙ 𝑞̅̅̅ ∙ 𝑝_{1 1}) + (𝑝₁∙ 𝑞̅̅̅ + 𝑞_{0 1} ∙ 𝑝₀) ∙ 𝐸.

Speciálisan a 𝑝₀∶= 0_𝕄, 𝑝₁∶= 1_𝕄, 𝑞₀∶= 𝑞, 𝑞₁∶= 0_𝕄 értékadással az előző tétel (c) része alapján érvényes a

10. Következmény. Bármely 𝑞 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 elemre érvényes: 𝐸 ∙ 𝑞 = 𝑞̅ ∙ 𝐸.

Megjegyzés. Ha 𝑞 értéke 𝑖, 𝑗 vagy 𝑘, akkor a fenti következmény alapján 𝐸 ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝐸, 𝐸 ∙ 𝑗 = −𝑗 ∙ 𝐸, 𝐸 ∙ 𝑘 = −𝑘 ∙ 𝐸.

Egyszerű direkt számolással igazolható a következő 11. Lemma.

(a) Ha 𝑓 ∈ ℝ, 𝑖 ∈ 𝕄_𝛼𝛽, 𝐸 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , akkor (𝑓 ∙ 𝑖) ∙ 𝐸 = 𝑓 ∙ (𝑖 ∙ 𝐸), (b) ha 𝑔 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ 𝕄_𝛼𝛽, 𝐸 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , akkor (𝑔 ∙ 𝑗) ∙ 𝐸 = 𝑔 ∙ (𝑗 ∙ 𝐸), (c) ha ℎ ∈ ℝ, 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽, 𝐸 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , akkor (ℎ ∙ 𝑘) ∙ 𝐸 = ℎ ∙ (𝑘 ∙ 𝐸).

A 8. Tétel és a 11. Lemma alapján közvetlenül adódik a

12. Tétel. Ha 𝑞₀ = 𝑎₀+ 𝑎₁∙ 𝑖 + 𝑎₂∙ 𝑗 + 𝑎₃∙ 𝑘, 𝑞₁ = 𝑎₄+ 𝑎₅∙ 𝑖 + 𝑎₆∙ 𝑗 + 𝑎₇∙ 𝑘 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 akkor a

𝑜 ∶= 𝑞₀+ 𝑞₁ ∙ 𝐸 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 általánosított hiperbolikus oktonió felírható

𝑜 = 𝑎₀+ 𝑎₁∙ 𝑖 + 𝑎₂∙ 𝑗 + 𝑎₃∙ 𝑘 + 𝑎₄∙ 𝐸 + 𝑎₅∙ (𝑖 ∙ 𝐸) + 𝑎₆∙ (𝑗 ∙ 𝐸) + 𝑎₇∙ (𝑘 ∙ 𝐸) alakban.

Legyen a továbbiakban

𝑒₀∶= 1, 𝑒₁∶= 𝑖, 𝑒₂∶= 𝑗, 𝑒₃∶= 𝑘, 𝑒₄∶= 𝐸, 𝑒₅∶= 𝑖 ∙ 𝐸, 𝑒₆∶= 𝑗 ∙ 𝐸, 𝑒₇∶= 𝑘 ∙ 𝐸, amellyel az általánosított hiperbolikus oktoniók fenti előállítása lényegesen tömörebb és könnyebben kezelhető

(25) 𝑜 = ∑⁷_𝑖=0𝑎_𝑖 ∙ 𝑒_𝑖

alakban állíthatók elő. A (25) alakot az 𝑜 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 oktonió valós-algebrai alakjának nevezzük, az {𝑒_𝑖}_𝑖=0⁷ elemeket általánosított hiperbolikus oktonióegységeknek nevezzük.

A 11. Lemma folytatásaként egyszerű direkt számítással igazolható, hogy az általánosított hiperbolikus oktoniók körében is érvényesek (EBBINGHAUS ET AL, 1991) mintájára az alábbi összefüggések:

13. Tétel. Tetszőleges 𝑢, 𝑣 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 és az 𝑒₄ = 𝐸 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 esetén:

(a) (𝑢 + 0_𝕄 ∙ 𝑒₄) ∙ (𝑣 + 0_𝕄∙ 𝑒₄) = 𝑢 ∙ 𝑣 + 0_𝕄∙ 𝑒₄ = 𝑢 ∙ 𝑣 ,

(b) (𝑢 + 0_𝕄 ∙ 𝑒₄) ∙ (0_𝕄+ 𝑣 ∙ 𝑒₄) = 𝑢 ∙ (𝑣 ∙ 𝑒₄) = (𝑣 ∙ 𝑢) ∙ 𝑒₄ , (c) (0_𝕄+ 𝑢 ∙ 𝑒₄) ∙ (𝑣 + 0_𝕄∙ 𝑒₄) = (𝑢 ∙ 𝑒₄) ∙ 𝑣 = (𝑢 ∙ 𝑣̅) ∙ 𝑒₄ , (d) (0_𝕄+ 𝑢 ∙ 𝑒₄) ∙ (0_𝕄+ 𝑣 ∙ 𝑒₄) = (𝑢 ∙ 𝑒₄) ∙ (𝑣 ∙ 𝑒₄) = 𝑒₄²∙ (𝑣̅ ∙ 𝑢) .

Megjegyzés. Vegyük észre, hogy az (a) rész szerint az olyan általánosított hiperbolikus oktoniókkal, amelyek „képzetes része” 0, úgy számolhatunk, mint az általánosított hiperbolikus kvaterniókkal.

14. Tétel. Az általánosított hiperbolikus oktonióegységek Cayley-féle szorzótáblájának belső tartománya:

𝑒₀ 𝑒₁ 𝑒₂ 𝑒₃ 𝑒₄ 𝑒₅ 𝑒₆ 𝑒₇

𝑒₁ 𝛼𝑒₀ 𝑒₃ −𝛼𝑒₂ 𝑒₅ 𝛼𝑒₄ −𝑒₇ 𝛼𝑒₆ 𝑒₂ −𝑒₃ 𝛽𝑒₀ 𝛽𝑒₁ 𝑒₆ 𝑒₇ 𝛽𝑒₄ −𝛽𝑒₅ 𝑒₃ 𝛼𝑒₂ −𝛽𝑒₁ 𝛼𝛽𝑒₀ 𝑒₇ −𝛼𝑒₆ 𝛽𝑒₅ 𝛼𝛽𝑒₄ 𝑒₄ −𝑒₅ −𝑒₆ −𝑒₇ −𝛾𝑒₀ 𝛾𝑒₁ 𝛾𝑒₂ 𝛾𝑒₃ 𝑒₅ −𝛼𝑒₄ −𝑒₇ 𝛼𝑒₆ −𝛾𝑒₁ 𝛾𝛼𝑒₀ −𝛾𝑒₃ 𝛾𝛼𝑒₂ 𝑒₆ 𝑒₇ −𝛽𝑒₄ −𝛽𝑒₅ −𝛾𝑒₂ 𝛾𝑒₃ 𝛾𝛽𝑒₀ −𝛾𝛽𝑒₁ 𝑒₇ −𝛼𝑒₆ 𝛽𝑒₅ −𝛼𝛽𝑒₄ −𝛾𝑒₃ −𝛾𝛼𝑒₂ 𝛾𝛽𝑒₁ 𝛾𝛼𝛽𝑒₀

Bizonyítás. A 13. tétel (a) része szerint a műveleti táblázat bal felső 4 × 4–es parcellája azonos az 𝕄_𝛼𝛽 általánosított hiperbolikus kvaterniók egységeinek szorzótáblájával. A 13. tétel (b) részének felhasználásával egyszerű közvetlen számítással igazolhatjuk a műveleti táblázat jobb felső 4 × 4–es parcellájának helyességét. Ezután a 13. tétel (c) részét alkalmazva igazolhatjuk a műveleti táblázat bal alsó 4 × 4–es parcella kitöltésének helyességét. Végül pedig a műveleti táblázat jobb alsó 4 × 4–es parcellájának helyessége a 13. tétel (d) része alapján látható be. □

Hosszadalmas, bár nem nehéz számításokkal a 14. tétel, valamint a szorzás összeadásra való disztributív tulajdonságát felhasználva adódik a következő

15. Tétel. Legyen 𝑟 ∈ ℝ, 𝑎 = ∑⁷_𝑖=0𝑎_𝑖 ∙ 𝑒_𝑖, 𝑏 = ∑⁷_𝑖=0𝑏_𝑖 ∙ 𝑒_𝑖 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , akkor érvényesek a következő számolási szabályok:

(a) skalárral való szorzás:

𝑟 ∙ (∑⁷_𝑖=0𝑎_𝑖 ∙ 𝑒_𝑖) = ∑⁷_𝑖=0(𝑟 ∙ 𝑎_𝑖)∙ 𝑒_𝑖 , (b) összeadás:

𝑎 + 𝑏 = ∑⁷_𝑖=0𝑎_𝑖∙ 𝑒_𝑖 + ∑⁷_𝑖=0𝑏_𝑖 ∙ 𝑒_𝑖 = ∑⁷_𝑖=0(𝑎_𝑖 + 𝑏_𝑖) ∙ 𝑒_𝑖 , (c) szorzás:

𝑎 ∙ 𝑏 = (∑ 𝑎_𝑖

7 𝑖=0

∙ 𝑒_𝑖) ∙ (∑ 𝑏_𝑗

7 𝑗=0

∙ 𝑒_𝑗) = ∑ (𝑎_𝑖 ∙ 𝑏_𝑗)

7 𝑖,𝑗=0

∙ (𝑒_𝑖∙ 𝑒_𝑗) =

= (𝑎₀𝑏₀+ 𝛼𝑎₁𝑏₁+ 𝛽𝑎₂𝑏₂+ 𝛼𝛽𝑎₃𝑏₃− 𝛾𝑎₄𝑏₄+ 𝛾𝛼𝑎₅𝑏₅ + 𝛾𝛽𝑎₆𝑏₆+ 𝛾𝛼𝛽𝑎₇𝑏₇) ∙ 𝑒₀+ +(𝑎₀𝑏₁ + 𝑎₁𝑏₀+ 𝛽𝑎₂𝑏₃− 𝛽𝑎₃𝑏₂ + 𝛾𝑎₄𝑏₅ − 𝛾𝑎₅𝑏₄− 𝛾𝛽𝑎₆𝑏₇+ 𝛾𝛽𝑎₇𝑏₆) ∙ 𝑒₁+ +(𝑎₀𝑏₂− 𝛼𝑎₁𝑏₃+ 𝑎₂𝑏₀ + 𝛼𝑎₃𝑏₁ + 𝛾𝑎₄𝑏₆+ 𝛾𝛼𝑎₅𝑏₇− 𝛾𝑎₆𝑏₄ − 𝛾𝛼𝑎₇𝑏₅) ∙ 𝑒₂+

+(𝑎₀𝑏₃+ 𝑎₁𝑏₂ − 𝑎₂𝑏₁+ 𝑎₃𝑏₀+ 𝛾𝑎₄𝑏₇− 𝛾𝑎₅𝑏₆ + 𝛾𝑎₆𝑏₅ − 𝛾𝑎₇𝑏₄) ∙ 𝑒₃+ +(𝑎₀𝑏₄+ 𝛼𝑎₁𝑏₅+ 𝛽𝑎₂𝑏₆+ 𝛼𝛽𝑎₃𝑏₇ + 𝑎₄𝑏₀− 𝛼𝑎₅𝑏₁− 𝛽𝑎₆𝑏₂ − 𝛼𝛽𝑎₇𝑏₃) ∙ 𝑒₄+

+(𝑎₀𝑏₅+ 𝑎₁𝑏₄ − 𝛽𝑎₂𝑏₇+ 𝛽𝑎₃𝑏₆ − 𝑎₄𝑏₁ + 𝑎₅𝑏₀ − 𝛽𝑎₆𝑏₃+ 𝛽𝑎₇𝑏₂) ∙ 𝑒₅+ +(𝑎₀𝑏₆+ 𝛼𝑎₁𝑏₇+ 𝑎₂𝑏₄− 𝛼𝑎₃𝑏₅− 𝑎₄𝑏₂+ 𝛼𝑎₅𝑏₃+ 𝑎₆𝑏₀− 𝛼𝑎₇𝑏₀) ∙ 𝑒₆+

+(𝑎₀𝑏₇− 𝑎₁𝑏₆+ 𝑎₂𝑏₅+ 𝑎₃𝑏₄− 𝑎₄𝑏₃− 𝑎₅𝑏₂+ 𝑎₆𝑏₁+ 𝑎₇𝑏₀) ∙ 𝑒₇

Definíció. Az 𝑜 = 𝑞₀+ 𝑞₁ ∙ 𝑒₄ ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 konjugáltján az 𝑜̅ ∶= 𝑞̅̅̅ − 𝑞_{0 1} ∙ 𝑒₄∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 általánosított hiperbolikus oktoniót értjük. Ha 𝑞₀ = ∑³_𝑖=0𝑎_𝑖 ∙ 𝑒_𝑖 és 𝑞₁ = ∑³_𝑖=0𝑎_𝑖+4∙ 𝑒_𝑖 ∈ 𝕄_𝛼𝛽 , akkor egyszerűen látható, hogy 𝑜̅ = 𝑎₀∙ 𝑒₀− ∑⁷_𝑖=1𝑎_𝑖∙ 𝑒_𝑖.

A konjugált képzésére érvényesek az alábbi összefüggések:

16. Tétel. Ha 𝑟 ∈ ℝ és 𝑜, 𝑜′ ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 tetszőleges elemek, akkor (a) 𝑜̿ = 𝑜 involutív,

(b) 𝑟 ∙ 𝑜̅̅̅̅̅ = 𝑟 ∙ 𝑜̅ homogén, (c) 𝑜 + 𝑜′̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑜̅ + 𝑜′̅ additív,

(d) 𝑜 ∙ 𝑜′̅̅̅̅̅̅ = 𝑜′̅ ∙ 𝑜̅ anti-multiplikatív.

17. Tétel. Ha 𝑜 = 𝑞₀+ 𝑞₁∙ 𝑒₄ ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , 𝑞₀ = ∑³_𝑖=0𝑎_𝑖 ∙ 𝑒_𝑖, 𝑞₁ = ∑³_𝑖=0𝑎_𝑖+4 ∙ 𝑒_𝑖 ∈ 𝕄_𝛼𝛽, akkor teljesül az 𝑜 ∙ 𝑜̅ = 𝑜̅ ∙ 𝑜 = 𝑎₀²− 𝛼 ∙ 𝑎₁² − 𝛽 ∙ 𝑎₂²− 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑎₃²+ 𝛾 ∙ 𝑎₄²− 𝛼𝛾 ∙ 𝑎₅²− 𝛽𝛾 ∙ 𝑎₆²− 𝛼𝛽𝛾 ∙ 𝑎₇² ∈ ℝ.

Definíció:

Definíció. Az 𝑜 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 általánosított hiperbolikus oktonió normáján a 17. tételben szereplő 𝑁(𝑜) ∶= 𝑜 ∙ 𝑜̅ = 𝑜̅ ∙ 𝑜 ∈ ℝ

valós számot értjük.

18. Tétel. Az általánosított hiperbolikus oktoniók normája rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:

(a) Tetszőleges 𝑜 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 esetén teljesül 𝑁(𝑜) = 𝑁(𝑜̅),

(b) Ha 𝑜, 𝑜′ ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , akkor általában 𝑁(𝑜 ∙ 𝑜′) ≠ 𝑁(𝑜) ∙ 𝑁(𝑜′).

Megjegyzés. A 18. tétel (b) pontját egyszerűen beláthatjuk, hiszen 𝑁(𝑒₁∙ 𝑒₂) = 𝑁(𝑒₃) = −𝛼𝛽, másrészt 𝑁(𝑒₁) = −𝛼 és 𝑁(𝑒₂) = −𝛽, így 𝑁(𝑒₁) ∙ 𝑁(𝑒₂) = (−𝛼) ∙ (−𝛽) = 𝛼𝛽, tehát valóban 𝑁(𝑒₁∙ 𝑒₂) ≠ 𝑁(𝑒₁) ∙ 𝑁(𝑒₂).

Definíció. Ha 𝑜 = ∑⁷_𝑖=0𝑎_𝑖∙ 𝑒_𝑖 és 𝑜′ = ∑⁷_𝑖=0𝑏_𝑖 ∙ 𝑒_𝑖 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , akkor e két általánosított hiperbolikus oktonió skaláris szorzatán az

〈𝑜, 𝑜′〉 ∶= 𝑎_𝑜𝑏₀− 𝛼𝑎₁𝑏₁− 𝛽𝑎₂𝑏₂ − 𝛼𝛽𝑎₃𝑏₃ + 𝛾𝑎₄𝑏₄− 𝛼𝛾𝑎₅𝑏₅− 𝛽𝛾𝑎₆𝑏₆ − 𝛼𝛽𝛾𝑎₇𝑏₇ ∈ ℝ valós számot értjük.

Egyszerű direkt számolással láthatjuk be a következő állítást:

19. Tétel. A ℬ: 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 × 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 → ℝ, (𝑜, 𝑜′) ↦ 〈𝑜, 𝑜′〉 egy szimmetrikus, bilineáris leképezés:

tetszőleges 𝑟 ∈ ℝ, 𝑜, 𝑜^′, 𝑜′′ ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 esetén

(a) 〈𝑜, 𝑜′〉 = 〈𝑜^′, 𝑜〉 kommutatív, (b) 〈𝑟 ∙ 𝑜, 𝑜′〉 = 〈𝑜, 𝑟 ∙ 𝑜′〉 = 𝑟 ∙ 〈𝑜, 𝑜′〉 homogén,

(c) 〈𝑜 + 𝑜^′, 𝑜′′〉 = 〈𝑜, 𝑜′′〉 + 〈𝑜^′, 𝑜′′〉 jobbról disztributív az összeadásra nézve, (d) 〈𝑜, 𝑜′ + 𝑜′′〉 = 〈𝑜, 𝑜′〉 + 〈𝑜, 𝑜′′〉 balról disztributív az összeadásra nézve.

Vegyük észre, hogy ha 𝑜 ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 , akkor 𝑁(𝑜) = 〈𝑜, 𝑜〉, tehát az általánosított hiperbolikus oktoniók normája a skaláris szorzatból származtatható.

4. Az általánosított hiperbolikus oktoniók vektor-mátrix reprezentációja

A 𝛾 ∈ ℝ valós paraméter segítségével konstruáljuk meg a 2. fejezetben látott módon az általánosított komplex számok ℂ_𝛾 algebráját, s vegyük a ℂ_𝛾 elemeiből felépülő

𝑍(ℂ_𝛾) ∶= {(𝐴₁₁ 𝐴₁₂

𝐴₂₁ 𝐴₂₂): 𝐴₁₁, 𝐴₂₂ ∈ ℂ_𝛾, 𝐴₁₂, 𝐴₂₁ ∈ ℂ_𝛾³}

alakú hipermátrixok halmazát! Értelmezzünk ezután ezen hipermátrixok halmazában egy skalárral való szorzást és egy összeadást a következő módon! Ha 𝑟 ∈ ℝ, 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑍(ℂ_𝛾), akkor

𝑟 ∙ 𝐴 = 𝑟 ∙ (𝐴₁₁ 𝐴₁₂

𝐴₂₁ 𝐴₂₂) ∶= (𝑟 ∙ 𝐴₁₁ 𝑟 ∙ 𝐴₁₂

𝑟 ∙ 𝐴₂₁ 𝑟 ∙ 𝐴₂₂) a skalárral történő szorzást, 𝐴 + 𝐵 = (𝐴₁₁ 𝐴₁₂

𝐴₂₁ 𝐴₂₂) + (𝐵₁₁ 𝐵₁₂

𝐵₂₁ 𝐵₂₂) ∶= (𝐴₁₁+ 𝐵₁₁ 𝐴₁₂+ 𝐵₁₂

𝐴₂₁+ 𝐵₂₁ 𝐴₂₂+ 𝐵₂₂) az összeadást értelmezi.

20. Tétel. A 𝑍(ℂ_𝛾) halmaz a rajta értelmezett skalárral való szorzás és összeadás műveletekkel egy 16-dimenziós vektorteret alkot a valós számok ℝ teste felett.

Tekintsük most a 𝑍(ℂ_𝛾) elemei közül azon különleges alakú hipermátrixokat, amelyekre teljesül, hogy 𝐴₂₂ ∈ ℂ_𝛾 az 𝐴₁₁ ∈ ℂ_𝛾 konjugáltja, 𝐴₁₂ ∈ ℂ_𝛾³ komponensei az 𝐴₂₁ ∈ ℂ_𝛾³ komponenseinek negatív konjugáltjai. Ezek halmazát jelölje a továbbiakban 𝑍_∗(ℂ_𝛾)!

21. Tétel. A 𝑍_∗(ℂ_𝛾) halmaz a skalárral való szorzás és összeadás műveletével egy 8-dimenziós alteret alkot 𝑍(ℂ_𝛾) vektortérben.

Ezt a struktúrát algebrává fejleszthetjük, ha elemei között értelmezünk egy ∗ szorzás műveletet a következő módon:

𝐴 ∗ 𝐵 = (𝐴₁₁ 𝐴₁₂

𝐴₂₁ 𝐴₂₂) ∗ (𝐵₁₁ 𝐵₁₂ 𝐵₂₁ 𝐵₂₂) ∶=

∶= ( 𝐴₁₁∙ 𝐵₁₁ + 𝐴₁₂ ∘ 𝐵₂₁ 𝐴₁₁ ∙ 𝐵₁₂+ 𝐵₂₂∙ 𝐴₁₂− 𝐴₂₁ × 𝐵₂₁ 𝐵₁₁ ∙ 𝐴₂₁ + 𝐴₂₂∙ 𝐵₂₁+ 𝐴₁₂× 𝐵₁₂ 𝐴₂₂ ∙ 𝐵₂₂ + 𝐴₂₁∘ 𝐵₁₂ ) . Látható, hogy a ∗ szorzás emlékeztet a mátrixok klasszikus szorzására, de itt a ∘ és × műveleteket a következőképpen értelmezzük:

Ha 𝑈 = (𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃), 𝑉 = (𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃) ∈ ℂ_𝛾³, akkor legyen

𝑈 ∘ 𝑉 ∶= −𝛼 ∙ 𝑢₁∙ 𝑣₁− 𝛽 ∙ 𝑢₂∙ 𝑣₂− 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑢₃ ∙ 𝑣₃∈ ℂ_𝛾,

𝑈 × 𝑉 ∶= ((𝑢₂∙ 𝑣₃− 𝑢₃∙ 𝑣₂) ∙ 𝛽, (𝑢₃∙ 𝑣₁− 𝑢₁∙ 𝑣₃) ∙ 𝛼, 𝑢₁∙ 𝑣₂− 𝑢₂∙ 𝑣₁) ∈ ℂ_𝛾³. E skaláris és vektoriális szorzásnak nevezhető művelet teljesen analóg az 𝐼𝑚(𝕄_𝛼𝛽) struktúra 2. fejezet (18) formulájával értelmezett skaláris és vektoriális szorzatával.

22. Tétel. A 𝑍_∗(ℂ_𝛾) vektortér a ∗ szorzási művelettel egy 8-dimenziós nem kommutatív és nem asszociatív algebrát alkot a valós számok ℝ teste felett.

Ezt a struktúrát általánosított komplex hiperbolikus Zorn-féle vektor-mátrixok algebrájának nevezzük, kiterjesztve ZORN (1933) eredményeit.

Tekintsük KARATAS – HALICI (2018) dolgozatában bemutatott mintájára az 𝐹: 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 → 𝑍_∗(ℂ_𝛾) ,

∑ 𝑎_𝑖

7 𝑗=0

𝑒_𝑖 ⟼ ( 𝑎₀+ 𝑎₄𝑖 (−𝑎₁ + 𝑎₅𝑖, −𝑎₂+ 𝑎₆𝑖, −𝑎₃+ 𝑎₇𝑖) (𝑎₁+ 𝑎₅𝑖, 𝑎₂+ 𝑎₆𝑖, 𝑎₃ + 𝑎₇𝑖) 𝑎₀− 𝑎₄𝑖 ) leképezést! Az 𝐹 egy bijektív leképezés, hiszen 𝐹⁻¹ is leképezés. Hosszadalmas direkt számítással igazolható, hogy 𝐹 egy művelettartó leképezés is, mivel érvényesek az alábbi összefüggések: tetszőleges 𝑟 ∈ ℝ, 𝑜, 𝑜₁, 𝑜₂ ∈ 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 esetén

(a) homogén: 𝐹(𝑟 ∙ 𝑜) = 𝑟 ∙ 𝐹(𝑜),

(b) additív: 𝐹(𝑜₁+ 𝑜₂) = 𝐹(𝑜₁) + 𝐹(𝑜₂), (c) multiplikatív: 𝐹(𝑜₁ ∙ 𝑜₂) = 𝐹(𝑜₁) ∗ 𝐹(𝑜₂).

Ezért érvényes a dolgozat fő eredményét összegző

23. Tétel. Az 𝐹: 𝕆_𝛼𝛽𝛾^𝐻 → 𝑍_∗(ℂ_𝛾) leképezés egy algebra-izomorfizmus, így az általánosított komplex hiperbolikus Zorn-féle vektor-mátrixok algebrája az általánosított hiperbolikus oktoniók algebrájának egy reprezentációja.

Irodalomjegyzék

[1] Cayley, A. (1889): On Jacobi’s elliptic function, in reply to the Rev. B. Bronwin; and on quaternions. The collected Mathematical Papers of Arthur Cayley 1: 127.

[2] Ebbinghause, H.D. Hermes, H. Hirzebruch, F. Koecher, M. Mainzer, M. Mainzer, K. Neukirch, J.

Prestel, A. Remmert, R. (1991): Numbers. Springer.

[3] Hamilton, W. R, (1844): On a new Species of Imaginary quantities connected with a Theory of quaternions.

Proceedings of the Royal Irish Academy 2, 424-434.

[4] Hamilton, W. R. (1847): On Quaternions. Proceedings of the Royal Irish Academy 3, 1-16.

[5] Kántor, I. L., Szolodovnyikov, A. Sz. (1985): Hiperkomplex számok. Gondolat, Budapest, 1985.

[6] Karatas, A. Halici, S. (2018): Vector matrix representation of octonions and their geometry. Commun. Fac.

Sci. Univ. Ank. Ser. A1 67(1): 161-167. doi:10.1501/Commua1_0000000839

[7] Macfarlane, A. (2018): Hyperbolic Quaternions. Proceedings of the Royal Society at Edinburgh. vol. 23.

169 – 180 +figures plate. doi:10.1017/S0370164600010385

[8] Péntek, K., (2018): Az általánosított kvaternióalgebrák egy új felépítéséről. Dimenziók. Matematikai Közlemények. VI. 25-30. doi:10.20312/dim.2018.03

[9] Péntek, K., (2020): Az általánosított hiperbolikus kvaternióalgebrákról. Dimenziók. Matematikai Közlemények. VIII. 25-33. doi:10.20312/dim.2020.03

[10] Rosenfeld, B. (1997): Geometry of Lie groups. Kluwer Academic Publisher, Netherlands. doi:10.1007/978- 1-4757-5325-7

[11] Zorn, M. A., (1933): Alternativkörper und quadratische systeme. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg. Springer Berlin/Heidelberg. 395-402.