Doktori értekezés tézisei
Fullér Róbert
Többkritériumú döntési modellek pontatlan információk esetén
Budapest
2014
1. Bevezetés
A fuzzy halmazokat Lotfi A. Zadeh vezette be 1965-ben [44] mint a pontatla- nul rendelkezésre álló adatok reprezentálási és a manipulálási eszközeit. A fuzzy rendszerek jól használhatóak olyan esetekben, amikor a rendelkezésre álló infor- mációk emberi becslésekb˝ol származnak és ezért a rendszer pontos matematikai modellje nehezen származtatható. A fuzzy halmazok és rendszerek kutatásának az id˝oszer˝uségét és jelent˝oségét a matematika tudományokban jól mutatja, hogy 2014 február 19-én a MathSci adatbázisban 24636 cikk címében szerepelt afuzzy szó. Az ipari alkalmazások hatalmas száma [11, 14, 17, 31] pedig azt bizonyítja, hogy az elmélet a gyakorlatban is megállja a helyét.
A dolgozat a többkritériumu döntések, a fuzzy rendszerek stabilitása, a lehet˝oség- eloszlások mennyiségi jellemz˝oi és a fuzzy aritmetika területén 1989 és 2013 kö- zött elért eredményeimet ismerteti. Christer Carlssonnal (Åbo Akademi Univer- sity, Turku, Finnország) 20 évig dolgoztam együtt finn és EU kutatás-fejlesztési projektekben és a tudományos eredményeim nagy részét az ezekben a projektben felmerült gyakorlati problémák matematikai modellezése alapozta meg. A stabili- tási tételek egyrésze pedig akkor születtek amikor az Aacheni M˝uszaki Egyetemen Hans-Jürgen Zimmermann professzorral dolgoztam. Az általa vezetett kutatócso- port egy fuzzy szabálybázis által vezérelt modell autót épített fel [37] és ennek a sima és ütközésmentes mozgását a fenti stabilitási tételek alapozták meg elmé- letileg. További elméleti eredményeimet hatékonyan használtam finn és európai uniós ipari kutatás-fejlesztési projektekben. Ezeknek a projekteknek a részletes leírása a [4, 8, 11, 13, 14, 17] munkákban található.
Tudományos munkáimra 2909 független MTMT hivatkozás ismert. Google Scho- lar hivatkozások száma: 4536.
A fuzzy halmazok olyan tulajdonságok leírására szolgálnak amelyeket nem lehet karakterizálni a klasszikus elemerelációval, azaz a kétérték˝u logika - igen/nem - segítségével. A fuzzy logikában az elemek halmazhoz való tartozásának a mér- téke az egységintervallumból bármi lehet és azt mutatja meg, hogy az adott elem mennyire rendelkezik a fuzzy halmaz által leírt tulajdonsággal.
1.1. Definíció. EgyX 6=∅halmaz egy Afuzzy részhalmazát aµA-val jelölt tar- talmazási függvényével karakterizálhatjuk, ahol µA: X → [0,1], és µA(x) úgy interpretáljuk mint az xelemnek az A-hoz való tartozásának a mértéke, minden x ∈X esetén. Úgy is lehet mondani, hogyµA(x)azt mutatja meg, hogy az adott
x∈Xpont mennyire rendelkezik azAáltal leírt tulajdonsággal.
Az egyszer˝uség kedvéértµA(x)helyett legtöbbször csakA(x)-et fogunk írni. Ha valamilyenx1 ∈ X elemreA(x1) = 1, akkor azt mondjuk, hogy azx1 elem tel- jes mértékben rendelkezik azAáltal leírt tulajdonsággal, továbbá, ha valamilyen x2 ∈ X elemre A(x2) = 0, akkor x2 semmilyen mértékben nem teljesíti az A által leírt tulajdonságot, ha pedig ha valamilyenx3 ∈ X elemre0 < A(x3) < 1, akkorx3valamilyen közbüls˝o mértékkel teljesíti azAáltal leírt tulajdonságot. Az X halmaz fuzzy (rész)halmazainak a családját F(X)-el jelöljük. A valós szá- mok egy A fuzzy halmazát fuzzy számnak nevezzük, ha a tartalmazási függvé- nye normális (azaz A(x) = 1 valamilyen x ∈ R esetén), kvázikonkáv, felülr˝ol félig folytonos és korlátos tartójú. A fuzzy számok halmazát F-el jelöljük. A továbbiakban, hacsak másként nem mondjuk, azX =Rn-beli fuzzy halmazokról lesz szó.
2. OWA operátorok optimális súlyainak meghatározása
Az intelligens rendszerekben nagyon fontos szerepe van az információ aggregá- lásának. A fuzzy logika lehet˝ové teszi az információ aggregálását és a döntés- hozást olyan esetekben is, amikor csak emberi becslésekb˝ol származó pontatlan információ áll a rendelkezésünkre. 1988-ban Yager [43] egy új információ agg- regálási teknikát vezetett be, a Rendezett Súlyozott Közepek - Ordered Weighted Averaging - (OWA) operátorát. Az OWA operátor egy alternatíva globális tel- jesítményét nem a részteljesítmények súlyozott összegeként definiálja, hanem a monoton csökken˝o sorrendbe rendezett részteljesítmények súlyozott összegeként definiálja: az els˝o súly tehát az a legjobb részteljesítmény súlya, a második súly a második legjobb részteljesítmény súlya, végül az utolsó súly a legrosszabb rész- teljesítmény súlya. A W = (w1, . . . , wn)T súlyvektorral definiált OWA operátor kompenzációs szintjére Yager 1988-ban [43] a következ˝o mértéket vezette be,
orness(W) = 1 n−1
n
X
i=1
(n−i)wi
ami mutatja meg, hogy bizonyos kritériumokon mért rossz teljesítményeket mi- lyen mértékben lehet kompenzálni más kritériumokon elért jobb teljesítmények- kel. Az OWA operátorok entrópiája (vagy diszperziója), azt mutatja, hogy mennyire
használjuk egyforma mértékben a részteljesítményeket az összteljesítmény kiszámí- tásánál. 2001-ben Majlenderrel közösen [32] az adott kompenzációs szinttel ren- delkez˝o és maximális entrópiájú súlyvektor el˝oállítására mutatottunk egy anali- tikus módszert, amelyben a Lagrange-szorzók segítségével visszavezették a fel- lép˝o matematikai programozási feladatot egy egy valós gyökkel rendelkez˝on-ed fokú polinomiális egyenlet megoldására. Az OWA operátorok súlyainak a vari- anciája azt mutatja, hogy mennyire nem használjuk a részteljesítményeket egy- forma mértékben az összteljesítmény kiszámításánál. Az adott kompenzációs szint melletti minimális varianciájú súlyvektor meghatározása a következ˝o kvad- ratikus programozási feladathoz vezet,
minimize D2(W) = 1 n·
n
X
i=1
wi2− 1 n2 subject to orness(w) =
n
X
i=1
n−i
n−1·wi =α, 0≤α≤1, w1 +· · ·+wn = 1, 0≤wi, i= 1, . . . , n.
amit 2003-ban Majlenderrel közösen [34] oldottunk meg analitikusan a a Karush- Kuhn-Tucker tétel segítségével.
A fenti eredmények azért jelent˝osek, mert a (döntéstámogató) információs rend- szerekben azok az aggregáló operátorok, amelyek a rendelkezésre álló informá- ciót a lehet˝o legnagyobb mértékben veszik figyelembe az aggregálási folyamat során nagyon fontos szerepet játszanak. Az MTMT-ben olvasható, hogy a java- solt optimális súlyvektor meghatározó módszereinket többek között alkalmazzák a döntéstámogatásban, az anyagtudományokban, a szakért˝oi rendszerekben, a ve- zeték nélküli szenzor hálózatokban, információ biztonság kockázatainak model- lezésében, szélturbinák hibadiagnózisában, hulladékgazdákodásban, ivóvíz min˝o- ség meghatározásában, és ipari beszállítók kiválasztási problémáiban.
A témakörben publikált [3, 13, 32, 34] cikkeinkre 350 független MTMT hivatko- zás ismert.
3. Lehet˝oségeloszlások mennyiségi jellemz˝oi
A lehet˝oségeloszlások (amiket fuzzy számokkal reprezentálunk [46]) mennyi- ségi jellemz˝oinek a kutatását 1999-ben kezdtem el, amikor az E-MS Bullwhip
kutatás-fejlesztési projektben felmerült az emberi becslésekb˝ol származó infor- mációk modellezésének és feldolgozásának a problémája. Olyan típusú becslé- sek álltak csak rendelkezésemre, mint "valami értékét azt 20 és 30 közé várom, de semmiképpen sem lehet 10-nél kisebb és 40-nél nagyobb az értéke". Ezt az információt egy trapéz alakú fuzzy számmal jelenítettem meg, amelynek a tar- tója az (10,40) a teteje pedig [20,30] és mivel semmi egyéb adat nem állt ren- delkezésemre arra, hogy egy adott szinthalmaz elemeinek milyen az eloszlása, ezért a szinthalmaz összes elemét egyformán lehetségesnek tartottam, és a Lap- lace’s principle of Insufficient Reason elv alapján az egyformán lehetséges ele- meket egyformán valószín˝unek tekintve, egyenletes eloszlásokat vezettem be rá- juk. Ezek az információk nem-statisztikai jelleg˝u bizonytalanságot hordoznak, mégis az egyenletes eloszlások bevezetésével lehet˝ové vált a lehet˝oségeloszlások mennyiségi jellemz˝oinek és függ˝oségi mértékeinek a szemléletes definiálása is.
Ezekre a fogalmakra azért volt szükségünk, mert sok esetben a lehet˝oségelosz- lásokat egyetlen valós számmal kellett jellemeznünk (várható érték), meg kellett határoznunk, hogy mekkora pontatlanságot hordoznak (variancia) és valahogyan mérnünk kellett azt, hogy milyen mértékben vehetik fel az értékeiket egymás- tól függetlenül (kovariancia és korreláció). A definíciókat 2011-ben tudtam vég- legesíteni. A legnagyobb kihivást az jelentette, hogy olyan definíciókat kellett bevezetnünk, amelyek konzisztensek a Zadeh-féle kiterjesztési elvvel, mert en- nek az elvnek a segitségével terjesszük ki a klasszikus halmazokon értelmezett függvényeket fuzzy halmazokra. Az egyenletes eloszlások segítségével definiált mennyiségi jellemz˝ok teljesítették ezt az elvárást.
Id˝orendi sorrendben, 2001-ben Carlssonnal közösen [7] bevezettük a fuzzy szá- mok (lehet˝oségeloszlások) lehet˝oségi várható értékét és varianciáját. A lehet˝oségi várható értéket (varianciát) úgy definiáltuk, mint a fuzzy szám szinthalmazain de- finiált egyenletes eloszlások várható értékeinek (varianciáinak) a súlyozott köze- pét. A lineáris súlyfüggvény a magasabban szinthalmazokhoz nagyobb súlyt ren- del, mert azok az elemek fontosabbak, amik jobban teljesítik a fuzzy szám által leírt tulajdonságot. 2003-ban Majlenderrel közösen bevezettük [33] a súlyozott lehet˝oségi várható értékét és varianciát, amikor a szinthalmazok súlyfüggvénye nem szükségszer˝uen lineáris, aztán 2004-ben Majlenderrel közösen [35] beve- zettük a lehet˝oségeloszlások peremeloszlásai közötti kovarianciát majd 2005-ben Carlssonnal és Majlenderrel közösen [15] a lehet˝oségi korrelációt amit 2011-ben Mezeivel és Várlakival közösen [36] terjesztettünk ki a lehet˝oségeloszlások teljes családjára.
3.1. Definíció (Carlsson and Fullér, [7]). LegyenekA ∈ F fuzzy szám, [A]γ = [a1(γ), a2(γ)]szinthalmazokkal. Legyenf egy nemnegatív monoton növekv˝o súly- függvény. AzAfuzzy szám lehet˝oségi várható értékét a
E(A) = Z 1
0
(a1(γ) +a2(γ))γdγ, (1) formulával értelmezzük.
3.2. Definíció (Fullér and Majlender, [35]). LegyenekA∈ Ffuzzy szám,[A]γ = [a1(γ), a2(γ)]szinthalmazokkal. Legyenf egy nemnegatív monoton növekv˝o súly- függvény. AzAfuzzy szám súlyozott lehet˝oségi várható értékét és varianciáját a
E(A) = Z 1
0
a1(γ) +a2(γ)
2 f(γ)dγ, Var(A) = Z 1
0
(a2(γ)−a1(γ))2
12 f(γ)dγ formulákkal értelmezzük.
A 2001-ben bevezetett lehet˝oségi várható érték (1) a 2004-ben bevezettett súlyo- zott lehet˝oségi várható érték speciális esetef(γ) = 2γ súlyfüggvénnyel.
3.3. Definíció (Fullér és Majlender, [35]). Legyen C egy közös lehet˝oségelosz- lás,A ésB lehet˝oségi peremeloszlásokkal. Legyenf egy monoton növekv˝o súly- függvény. AzAésB közötti súlyozott lehet˝oségi kovarianciát a következ˝o formu- lákkal értelmezzük,
Covf(A, B) = Z 1
0
cov(Xγ, Yγ)f(γ)dγ,
aholXγ ésYγ valószín˝uségi változók amelyeknek a közös eloszlása egyenletes a [C]γhalmazon éscov(Xγ, Yγ)jelöli a kovarianciájukat, mindenγ ∈[0,1]esetén.
3.4. Definíció (Fullér, Mezei és Várlaki, [36]). LegyenCegy közös lehet˝oségel- oszlás, A és B lehet˝oségi peremeloszlásokkal. Legyen f egy monoton növekv˝o súlyfüggvény. AzAésB közötti súlyozott lehet˝oségi korrelációt a következ˝o for- mulákkal értelmezzük,
ρf(A, B) = Z 1
0
ρ(Xγ, Yγ)f(γ)dγ
aholXγ ésYγ valószín˝uségi változók amelyeknek a közös eloszlása egyenletes a [C]γhalmazon ésρ(Xγ, Yγ)jelöli a korrelációs együtthatójukat, mindenγ ∈[0,1]
esetén.
A lehet˝oségi peremeloszlások szinthalmazait a közös lehet˝oségeloszlás szinthal- mazainak a vetületeiként kapjuk. Például kétdimenziós esetben ha a közös el- oszlás egy adottγ magasságú szinthalmaza (rövidenγ-szinthalmaza) az téglalap alakú - mégpedig a két peremeloszlás γ-szinthalmazainak a Descartes szorzata - akkor ez azt jelenti, hogy a közös eloszlás a két szinthalmazból választható összes elempárt tartalmazza. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a két szinthalmaz elemei nem- interaktívak, mert ha választok egy tetsz˝oleges elemet az egyik szinthalmazból, ahhoz bármilyen elemet választhatok hozzá a másikból. Továbbá ilyenkor a kö- zös lehet˝oségeloszlás γ-szinthalmazán definiált egyenletes eloszlás peremerosz- lásai meg függetlenek. A téglalap alakú szinthalmazok tehát a nem-interaktivitás jellemz˝oi. Ha a közös lehet˝oségeloszlás egy γ szinthalmaza az a két peremel- oszlásγ-szinthalmazainak a Descartes szorzatának a f˝oátlója, akkor az egyik pe- remeloszlásγ-szinthalmaza a másik peremeloszlásγ-szinthalmazának pozitív af- fin transzformáltja. Ha a közös lehet˝oségeloszlás egy γ szinthalmaza az a két peremeloszlásγ-szinthalmazainak a Descartes szorzatának a mellékátlója, akkor az egyik peremeloszlásγ-szinthalmaza a másik peremeloszlásγ-szinthalmazának negatív affin transzformáltja. Ebben a két széls˝o esetben a közös lehet˝oségeloszlás γ szinthalmaza csak egy elempárt tartalmaz.
Megjegyzem, hogy 2004-ben eredetileg a [35] cikkben a lehet˝oségi peremeloszlá- sok kovarianciáját pusztán a szinthalmazaik közötti lehet˝oségi függ˝oségi relációk alapján vezettük be, és az egyik bíráló megjegyzése alapján jöttünk rá arra, hogy az általunk adott definició az ugyanaz, mintha a közös lehet˝oségeloszlás szinthal- mazain egyenletes eloszlásokat vezetnénk be. A könnyebb szemléltetés végett a 2005-ben megjelent [15] cikkünk óta csak a fenti formában írjuk fel a lehet˝oség- eloszlások mennyiségi jellemz˝oit és függ˝oségi mértékeit.
A lehet˝oségi várható értékét és varianciát 2002-ben Carlssonnal és Majlender- rel közösen [10] optimális portfólió kiválasztási problémára, 2003-ban Carlson- nal közösen [12] valós opciók értékelésére, 2007-ben Carlssonnal, Heikkilävel és Majlenderrel közösen [16] ipari kutatás-fejlesztési projektek kiértékelésére, il- letve 2013-ban Carlssonnal közösen [18] az AssessGrid projektben alkalmaztuk.
Ezeket a fogalmakat az MTMT szerint többek között használják az optimális rész- vény portfólió kiválasztási problémákban, az optimális kutatás-fejlesztési portfó- lió kiválasztási problémákban amerikai típusú vételi és eladási opciók árazására, valós opciók árazására, a befektetési döntéseknél, az ellátásilánc-menedzsmentben, a robot kinematikában, a készletmodellezésben. A témakörben publikált cikke- inkre [7, 10, 12, 15, 18, 33, 35, 36] 941 független MTMT hivatkozás ismert.
4. Fuzzy rendszerek stabilitási tulajdonságai
1988-ban Kovács [40] cikkével megindult a fuzzy lineáris rendszerek stabilitási tulajdonságainak a vizsgálata. 1989-ben megmutattam [20], hogy a fuzzy lineáris programozási (LP) feladatok háromszög alakú fuzzy szám együtthatókkal korrekt felállításúak, azaz a fuzzy számok középpontjainak kis mérési és kerekítési hi- bái csak kis változást okozhatnak a fuzzy megoldásban. Más szavakkal, a fuzzy LP feladatok fuzzy megoldása folytonosan függ a bemen˝o paraméterekt˝ol. Tehát a fuzzy kiterjesztés azt eredményezi, hogy az általában nemkorrekt felállításu de- terminisztikus LP feladat korrekt felállításúvá válik, természetesen a fuzzy halma- zokon értelmezett metrikában, ami egyben azt is jelenti, hogy pontatlanul rendel- kezésre álló együtthatók esetén a megoldására nem kell használni a Tyihonov-féle regularizációs eljárást. Ezt a tételt 1990-ben általánosítottam Lipschitz tulajdon- ságú fuzzy szám együtthatós posszibilisztikus lineáris egyenletrendszerekre [21], majd 1991-ben tesz˝oleges folytonos fuzzy szám együtthatókos posszibilisztikus lineáris egyenletrendszerekre [25]. A bizonyítás azon alapszik, hogy folytonos fuzzy számok esetén a szinthalmazok közötti maximális különbségb˝ol jó fels˝o korlátot lehet adni a tartalmazási függvényeik közötti eltérésre.
1992-ben Fedrizzivel közösen a stabilitási tételeket sikerült kiterjeszteni posszibi- lisztikus LP-re [19], majd 1994-ben többcélfüggvényü posszibilisztikus LP-re [30]. Továbbá 1996-ban Gioveval és Canestrellivel posszibilisztikus kvadratikus programozási feladatokra [2].
1992-ben Wernerssel közösen [28] és 1993-ban Zimmermannal közösen [29] foly- tonos implikációs operátorral és folytonos fuzzy szám együtthatókkal rendelkez˝o fuzzy következtetési rendszerekre terjesztettük ki ˝oket. Ezek a tételek akkor szü- lettek amikor az Aacheni M˝uszaki Egyetemen Hans-Jürgen Zimmermann pro- fesszorral dolgoztam 1990-t˝ol 1992-ig a Német Akadémiai Csereszolgálat kere- tében. Az általa vezetett team egy fuzzy szabálybázis által vezérelt modell autót épített fel [37] és ennek a sima és ütközésmentes mozgását a fenti stabilitási téte- lek alapozták meg elméletileg.
Végül 2000-ben Carlssonnal közösen [5] súlyozott OWA operátorok stabilitási tulajdonságát bizonyítottuk be folytonos fuzzy szám súlyok esetén.
A témakörben publikált [2, 5, 19, 20, 21, 25, 28, 29, 30] cikkeinkre 128 független MTMT hivatkozás ismert.
5. Fuzzy aritmetika
A trianguláris normákat (röviden t-norma) Schweizer és Sklar [42] vezették be 1963-ban a probabilisztikus metrikus terekben a távolság modellezésére. A fuzzy halmazok elméletében a t-normákat a logikai "és" m˝uvelet modellezésére használ- juk. A klasszikus függvényeket a Zadeh kiterjesztési elve [45] szerint terjeszthet- jük ki fuzzy terekre. Az LR-típusu fuzzy számokon végzett aritmetikai m˝uveletek nagyon egyszer˝u formát öltenek, ha a Zadeh-féle sup-min kiterjesztési elv szerint értelmezzük ˝oket. Azonban, ha az általánosabb, sup-t-norma kiterjesztési elvet használjuk, akkor az artitmetikai m˝uveletek eredményének a tartalmazási függ- vényét csak egy - általában nemlineáris - programozási feladat egzakt megoldása adja. Ezzel magyarázható, hogy Dubois és Prade 1981-es problémafelvet˝o [38]
cikke után nem foglalkoztak érdemben a t-norma alapú aritmetikai operációkkal, mígnem rájöttem arra, hogy bizonyos típusú fuzzy számok végtelen összegének a kiszámitására a teljes indukció módszere alkalmazható [23, 24]. Az els˝o ered- ményemet a témakörben 1991-ben értem el [23], ahol a szimmetrikus háromszög- alakú fuzzy számok végtelen összegének a határelosztására adtam zárt formulát arra az esetre, amikor az összeadás m˝uveletét a szorzat t-norma segítségével ter- jesztettük ki. Az ilyen típusú tételek azért jelent˝osek, mivel a minimum norma nagyon sokszor nem megfelel˝o a logikai "és" operátor modellezésére, mivel túl nagy, azaz nem szorítja le eléggé a lényegtelen elemek szerepét (a sup-min végte- len összeg határeloszlása az általában az azonosan egy függvény).
5.1. Tétel (Fullér, [23]). Legyenek ˜ai szimmetrikus háromszög alakú fuzzy szá- mok azai centrummal ésα >0szélességgel,i∈ N. HaA :=P∞
i=1ai létezik és véges, akkor
lim
n→∞
A˜n
(z) = exp(−|A−z|/α), z∈R,
aholA˜n:= ˜a1+· · ·+ ˜an, n∈Njelöli az els˝onfuzzy szám szorzat-összegét.
Kiterjesztve a [23] cikkem eredményeit, 1991-ben a [24] cikkben zárt formulákat adtam az ˜a1 + ˜a2 összeg tartalmazási függvényére, abban az esetre, amikor az összeadás m˝uveletét a Hamacher-féle parametrizált t-norma család [39] segítsé-
gével terjesztettük ki, azaz (˜a1+ ˜a2)(y) = sup
x1+x2=y
Hγ(˜a1(x1),˜a2(x2))
= sup
x1+x2=y
˜
a1(x1)˜a2(x2)
γ+ (1−γ)(˜a1(x1) + ˜a2(x2)−˜a1(x1)˜a2(x2)), γ ≥0.
5.2. Tétel (Fullér, [24]). Az (5.1) tétel jelöléseivel aH0 összeg határeloszlása az a
lim
n→∞
A˜n
(z) = 1
1 +|A−z|/α, z ∈R, továbbá aH2 összeg határeloszlása az a
lim
n→∞
A˜n
(z) = 2
1 + exp(2|A−z|/α), z∈R, zárt formulával adható meg.
Archimedeszi t-normák esetén az LR-típusu fuzzy számok sup-t-norma konvolú- cióval definiált összegére 1992-ben Keresztfalvival közösen adtunk zárt formulát [26].
A Zadeh-féle kiterjesztési elv [45] elég bonyolult mivel a képhalmaz tartalmazási függvényének a meghatározása egy nemlineáris matematikai programozási fel- adat megoldását igényli minden egyes pontban. 1978-ban Nguyen azonban [41]
megmutatta, hogy folytonos f esetén a sup-min kiterjesztéssel definiált képhal- mazα-szinthalmazai el˝oállíthatóak a következ˝o alakban:
[f(A, B)]α=f([A]α,[B]α), α∈[0,1],
ahol A ∈ F(X), B ∈ F(Y) és f(A, B) ∈ F(Z)-t a sup-min kiterjesztéssel definiáltuk, ésf([A]α,[B]α) = {f(x, y)|x∈[A]α, y ∈[B]α}.
Nguyen tételét Keresztfalvival közösen terjesztettük ki a sup-t-norma konvolúci- óval definiált függvényekre 1991-ben.
5.3. Tétel (Fullér és Keresztfalvi, [22]). LegyenekX, Y ésZ lokálisan kompakt topologikus terek, legyenT egy felülr˝ol félig folytonos t-norma, és legyenf: X× Y →Z egy folytonos függvény. HaA∈ F(X)ésB ∈ F(Y)kompakt tartójúak, akkor
[f(A, B)]α = [
T(ξ,η)≥α
f([A]ξ,[B]η), α∈(0,1].
Ezt a tételt az irodalomban Nguyen-Fullér-Keresztfalvi (NFK) tételként említik [1]. Ez a tétel azért jelent˝os, mert a fuzzy rendszerekben a m˝uveleteket nagyon sokszor a sup-t-norm konvolúciós kiterjesztési elvvel definiáljuk és az (5.3) tétel segítségével ki lehet számolni a m˝uveletek eredményének a tartalmazási függvé- nyét.
A témakörben publikált [22, 23, 24, 26, 27] cikkeinkre 166 független MTMT hivatkozás ismert.
Hivatkozások
[1] A. Bzowski and M.K. Urba´nski, A note on Nguyen-Fullér-Keresztfalvi- theorem and Zadeh’s extension principle,Fuzzy Sets and Systems, 213(2013) 91-101.
[2] E. Canestrelli, S. Giove and R. Fullér, Sensitivity analysis in possibilistic quadratic programming,Fuzzy Sets and Systems, 82(1996) 51-56.
[3] C. Carlsson, R. Fullér and S. Fullér, OWA operators for doctoral student selection problem, in: R.R. Yager and J. Kacprzyk eds.,The ordered weigh- ted averaging operators: Theory, Methodology, and Applications, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1997 167-178.
[4] C. Carlsson, R. Fullér, A fuzzy approach to the bullwhip effect, Cyberne- tics and Systems ’2000, Proceedings of the Fifteenth European Meeting on Cybernetics and Systems Research, Vienna, April 25 - 28, 2000, Austrian Society for Cybernetic Studies, pp. 228-233. (Best Paper Award)
[5] C. Carlsson and R. Fullér, Benchmarking in linguistic importance weighted aggregations,Fuzzy Sets and Systems, 114(2000) 35-41.
[6] C. Carlsson and R. Fullér, Multiobjective linguistic optimization,Fuzzy Sets and Systems, 115(2000) 5-10.
[7] C. Carlsson, R. Fullér, On possibilistic mean value and variance of fuzzy numbers,Fuzzy Sets and Systems, 122(2001) 315-326.
[8] C. Carlsson and R. Fullér, Reducing the bullwhip effect by means of intelli- gent, soft computing methods, in: Proceedings of the 34-th Hawaii Interna- tional Conference on System Sciences (HICSS-34), Island of Maui, Hawaii, USA, January 3-6, 2001, vol. 3, pp. 3027-3036.
[9] C. Carlsson and R. Fullér, Optimization under fuzzy if-then rules,Fuzzy Sets and Systems, 119(2001) 11-120.
[10] C. Carlsson, R.Fullér and P. Majlender, A possibilistic approach to selecting portfolios with highest utility score,Fuzzy Sets and Systems, 131(2002) 13- 21.
[11] C. Carlsson and R. Fullér,Fuzzy Reasoning in Decision Making and Optimi- zation, Studies in Fuzziness and Soft Computing Series, Vol. 82, Springer- Verlag, Berlin/Heildelberg, 2002.
[12] C. Carlsson and R. Fullér, A fuzzy approach to real option valuation,Fuzzy Sets and Systems, 139(2003) 297-312.
[13] C. Carlsson, R. Fullér and P. Majlender, A note on constrained OWA aggre- gations,Fuzzy Sets and Systems, 139(2003) 543-546.
[14] C. Carlsson, M. Fedrizzi and R. FullérFuzzy Logic in Management, Inter- national Series in Operations Research and Management Science, Vol. 66, Kluwer Academic Publishers, Boston, 2004.
[15] C. Carlsson, R. Fullér and P. Majlender, On possibilistic correlation, Fuzzy Sets and Systems, 155(2005) 425-445.
[16] C. Carlsson, R. Fullér, M. Heikkilä and P. Majlender, A fuzzy approach to R&D project portfolio selection, International Journal of Approximate Reasoning44(2007) 93-105.
[17] C. Carlsson and R. Fullér,Possibility for Decision: A Possibilistic Approach to Real Life Decisions, Studies in Fuzziness and Soft Computing Series, vol.
270/2011, Springer, 2011.
[18] C. Carlsson and R. Fullér, Probabilistic versus possibilistic risk assessment models for optimal service level agreements in grid computing,Information Systems and e-Business Management, 11(2013) pp. 13-28.
[19] M. Fedrizzi and R. Fullér, Stability in possibilistic linear programming prob- lems with continuous fuzzy number parameters, Fuzzy Sets and Systems, 47(1992) 187-191.
[20] R. Fullér, On stability in fuzzy linear programming problems,Fuzzy Sets and Systems, 30(1989) 339-344.
[21] R. Fullér, On stability in possibilistic linear equality systems with Lipschit- zian fuzzy numbers,Fuzzy Sets and Systems, 34(1990) 347-353.
[22] R. Fullér and T. Keresztfalvi, On Generalization of Nguyen’s theorem,Fuzzy Sets and Systems, 41(1991) 371-374.
[23] R.Fullér, On product-sum of triangular fuzzy numbers,Fuzzy Sets and Sys- tems, 41(1991) 83-87.
[24] R. Fullér, On Hamacher-sum of triangular fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 42(1991) 205-212.
[25] R. Fullér, Well-posed fuzzy extensions of ill-posed linear equality systems, Fuzzy Systems and Mathematics, 5(1991) 43-48.
[26] R. Fullér and T. Keresztfalvi, t-Norm-based addition of fuzzy intervals, Fuzzy Sets and Systems, 51(1992) 155-159.
[27] R. Fullér, A law of large numbers for fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Sys- tems, 45(1992) 299-303.
[28] R. Fullér and B. Werners, The compositional rule of inference with several relations,Tatra Mountains Mathematical Publications, 1(1992) 39-44.
[29] R. Fullér and H.-J. Zimmermann, On Zadeh’s compositional rule of infe- rence, In: R.Lowen and M.Roubens eds.,Fuzzy Logic: State of the Art, The- ory and Decision Library, Series D (Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1993) 193-200.
[30] R. Fullér and M. Fedrizzi, Stability in multiobjective possibilistic linear programs,European Journal of Operational Research, 74(1994) 179-187.
[31] R. Fullér,Introduction to Neuro-Fuzzy Systems, Advances in Intelligent and Soft Computing Series, Vol. 2, Springer, 2000.
[32] R. Fullér and P. Majlender, An analytic approach for obtaining maximal ent- ropy OWA operator weights,Fuzzy Sets and Systems, 124(2001) 53-57.
[33] R. Fullér and P. Majlender, On weighted possibilistic mean and variance of fuzzy numbers,Fuzzy Sets and Systems, 136(2003) 363-374.
[34] R. Fullér and P. Majlender, On obtaining minimal variability OWA operator weights,Fuzzy Sets and Systems, 136(2003) 203-215.
[35] R. Fullér and P. Majlender, On interactive fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 143(2004) 355-369.
[36] R. Fullér, J. Mezei and P. Várlaki, An improved index of interactivity for fuzzy numbers,Fuzzy Sets and Systems, 165(2011) 56-66.
[37] C. von Altrock, B. Krause and H.-J. Zimmermann Advanced fuzzy logic control of a model car in extreme situations,Fuzzy Sets and Systems, 48(992) 41-52.
[38] D. Dubois and H. Prade, Additions of interactive fuzzy numbers,IEEE Tran- sactions on Automatic Control, (26)1981 926-936.
[39] H. Hamacher, Über logische Aggregationen nicht binär explizierter Ent- scheidung-kriterien, Rita G.Fischer Verlag, Frankfurt, 1978.
[40] M. Kovács, Fuzzification of ill-posed linear systems, in: D. Greenspan and P. Rózsa eds.,Colloquia mathematica societatis János Bolyai 50. Numerical methods (Miskolc, 1986), North-Holland, Amsterdam, 1988 521-532.
[41] H.T. Nguyen, A note on the extension principle for fuzzy sets, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 64(1978) 369-380.
[42] B.Schweizer and A.Sklar, Associative functions and abstract semigroups, Publ. Math. Debrecen, 10(1963) 69-81.
[43] R.R.Yager, Ordered weighted averaging aggregation operators in multi- criteria decision making, IEEE Trans. on Systems, Man and Cybernetics, 18(1988) 183-190.
[44] L.A. Zadeh, Fuzzy sets,Information and Control, 8(1965) 338-353.
[45] L.A. Zadeh, The concept of linguistic variable and its applications to app- roximate reasoning, Parts I,II,III, Information Sciences, 8(1975) 199-251;
8(1975) 301-357; 9(1975) 43-80.
[46] L.A. Zadeh, Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility,Fuzzy Sets and Systems, 1(1978) 3-28.
