SZABÓ JÓZSEF

IMUllER GYÖilll

KÖNYVKÖTÉSZET E 1 BUDAPEST

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

I I

ERTEKEZESEK

A MATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL.

A III. O S ZT Á LY R E N DELETÉBŐL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTI TKÁR.

XIV. KÖTET. 5. SZÁM.

EGYUTTESEN

LENGŐ . ELEMI MÁGNESEK KÖLCSÖNÖS VONZÁSA! ÉS TASZÍTÁSA!.

FRÖHLICH IZIDOR

L. TAGTÓL.

Ára 40 kr.

BUDAPEST.

KIADJA A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA.

1891.

„„ „„ . • „„„.„„„„.„„„„„„„.„„.„„„„„„.„.„„„„„„„.„.„„.„„„„.„„„„„„„.„„„„„„.„„„„„„„„ .. „„„„„„„„„„„„„„.„„„„„„„.„„„„„„„.„„„„„„„.„„„„„„„„.„„„„„„„ .• „„„„„„„„„„„„„„.'

ÉRT E l{ EZ I t S E l (

a ma thema t ika i tudományok

^.

E kötet . - Második kötet.- Har=adik kötet. - Negyedik kötet. Ötödik kötet.

Hatodik kötet.

I.Konkoly Miklós. Hulló csillagok . a magyar korona területén I. rész. 1 71-1873. Ára 20 kr. - II.Konkoly Miklos. Hulló csil· tagok megfigyelése a magyar korona területén. II. rész. 1 74--1 76.

Ara

20 kr. - III. Az 1874. V. (Borelly·féle) Üstökös definifü pályaszámitása. I\özlikdr. Gruber Lajos ésKurlünder Ignacz kir. observatorok. 10 kr. - IV.Schenzl Guido. LehRjlás meghatározások Budapesten és Magyarország ilélkeleti részé. ben. 20 kr. - V.Gruber Lajos. A november·havi hullóc illagokról 20 kr. - VI. Konkoly Miklós. Hulló csillag<>k megfigyelése a magyar korona területén 1877-ik évben. III. Rész . .Ára 20 kr. - VII. Ko11koly MiklOs. A napfoltok és a napfelületének kinézése 1 77-ben. Ára 20 kr.- VIII. Konkoly . Mercur átvonulás a nap . l\!egfigyeltetett az ó-gyallai csillngdán 187 . május 6-án 10 kr.

Hetedik kötet.

I.Konkoly Miklos. Mars felületének az ó-gyallai e illag- dáu az 1877-iki oppositió után. Egy táblával. 11> kr. - Konkoly Miklus. Álló csillagok szinképének mappirozása. 10 kr. - III.Konkoly Mikltis. Hullócsil- lagok megfigyelése a magyar korona területén 1878-ban IV. rész.

Ara

10 kr. - IV.Konkoly Miklós. A nap felületének megfigyelése 1 7 ·ban ó-gyallai csillagdán. 10 kr. - VI. Hitnyady . A Möbius-féle kritériumokról a kúp- szeletek elméletében 10 kr. - VI. Konkoly Miklos. Spectn>scopicus megfigye- lések az ó-gyallai csillag\'izsgálón 10 kr. - VIII. Dr. ffeinek Laszló. Az instrumentális fényhajlás szernpe és Vénus-áb-onulás photographiai fel\'ételénél 20 kr. - IX. Suppan Vilmos. Kúp- és henge1feliiletek önálló ferde vetítés- ben. (Két táblával.) 10 kr. - X. Dr. Konek Sándor. Emlékbeszéd Weninger Vincze1. t. fölött. 10 kr. - XI. Konkoly Miklós. Hullócsillagok megfigyelése a magyar korona területén 1879-ben. 10 k.r.- X!I. Konkoly Miklós. Hulló· csillagok radiatio pontjai, levezetve a magyar korona területén tett megfigye· 1871-1878. végéig 20 kr. - XIII.Konkoly Miklm. Napfoltok meg·

figyelése az ó-gyallai csillagvizsgálónJ879-ben. (Egy tábla rajzzal.) 30 kr. - XIV. Konkoly Miklós. Adatok Jupiter és Mars physikájáboz, 1879. (Három tábla rajzzal.) 30 kr.- XV.RéthyMór.A fény törése és visszaverése homo gén isotrop átlátszó testek határán. Neumann módszerének általánositásával és . (Székf. ért.) JO kr. - XVI.RéthyMór. A sarkított fényrezgés elhajlitó rács által való forgatásának magyarázata, különös tekintettel Fröhlich észleteire. 10 k.r.- XVII. Szily Kálman. A telitett nyomásának törvé-

. 10 kr. - XVIII. Hunyadi . Másodfoku görbék és feliiletek meg·

határozásáról. 20 kr. - XIX. Hitnyady . Tételek azon determinánsokról, melyek elemei adjungált rnndszerek vannak componálva. 20 kr. - X X. Dr. Frölich lzor. Az állan<ló elektromos áramlások elméletéhez. 20 kr·

' '

ERTEKEZESEK

A MATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL.

KIADJA A MAGYAR TUD. AKADÉMIA.

A III. OSZTÁLY RENDELETÉBŐL

SZERKESZTI

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR.

EGYÜTTESEN LENGŐ ELEM I MÁGNESEK KÖLCSÖNÖS VONZÁSA! ÉS TASZÍT ÁSAI .

FRÖHLICH IzrnoR

1. tagtól

E az osztályülésen 1891 márczius 16.)

BEVEZE'rÉS.

1 . § . A prob léma erede te. Á l ta lános foga lmazása.

Körü lbe lü l másfé l évve l néha i Dr . Regéczy Nagy lm re á l la torvos in téze t i tanár az izom összehúzódása czé l jábó l néha i D1·. Jenc lráss ik az tud . egye tem i ny . r . tanára és sa já t maga fe lá l l í to t t hypo thes is t közö l t ve lem

(l.

a lább) és k ifo lyó lag o ly kérdés t in téze t t hozzám , me ly mágnesek rendszerének va lam in t e lec tromos áramok á tfo ly ta

tekercsek rendszerének együ t tes lengése ire és e lengések á l ta l ne tán módos í to t t trans la tór ius (az egyes mágneseke t vagy tekercseke t önmagukhoz párhuzamosan e l to ln i

vona tkozo t t .

a)

Ugyan is , ha az mozogha tó tekercsek o ly rendszeré t veszszük fe l , me lyek középpon t ja i egy egyenesben fekszenek , geo - me tr ia i tenge lye ik ped ig egyensú ly i he lyze tükben ezen egyenesre akkor a tekercsek m indadd ig maradha tnak egyen- sú lyban , m íg ra j tuk s ta t ionárus áramok áthaladnak; de m ihe ly t ezek egy ike is , bárm i ly okná l fogva egyensú ly i k imoz-

M. T. AK. KRT. A MA'l'm:M. TUD.KÖRÉBŐL 1891.XIV. K,5. sz,

dú l , az egyensú ly a több i tekercsek is mozgásba jönnek s ha fe lfüggesz tésük megenged i , kö lcsönös ha tásuk befo lyása a la t t lengéseke t lé tes í tenek és az induká l t áramok rendszeré t ge i jesz t ik .

b) Hason lóan á l l a do log , ha e tekercseke t o ly á l landó mágne- sekke l he lye t tezzük , me lyek mágnes i nyoma téka inak iránya i az a) a la t t i tekercsek tenge lye ive l megegyeznek , s me lyek s tab i l is egyen- sú ly i he lyze te fe lfüggesz tésük mód ja szer in t a középpon t ja ika t egybekapcso ló egyenesre

R.

I t t is egye t len egy mágnesnek egyensú ly i tör tén t k imozdu lása a több ieke t is fog ja mozgásba hozn i s az egész rendszer , ha fe lfüggesz tésének mód ja megenged i , lengésbe

.

e ) A tekercsekben ha ladó s ta t ionár ius áramok , i l le tve a per- manens mágnesek , rendszerük em l í te t t egyensú ly i he lyze tében egymásra többek közö t t a középpon t ja ika t egybekapcso ló egye - nes men tén traus la tór ius fe j tenek k i , n :e lyek (m iu tán e he lyze tben a rendszer t a lko tó egyes e lemek [ mágnesek vagy tekercsek] ge ome tr ia i teng elye i egymáshoz párhuzamosak s a középpon t ja ika t egybekapcso ló egyenesre lasz í tók, azaz ezen törekvése az e lemek középpon t ja i t egymás tó l el- távo l í tan i .

d ) Ezeke t bocsá tva , i l le tve fe lvéve , a fen t nevezet t phys io log ia i buvárok kérdése a vo l t :

Megvá l toznak-e a

e.

a la t t em l í te t t tram ; la tór ius ha a rendszer e leme i lengésben vannak ezen lengés köve tkez tében? s ha vá l toznak , vonzó-e az ezen vá l tozása? Ha a kérdés m ind- ké t részére vo lna a vá lasz , akkor a neveze t t é le t tan i ku ta- tók néze te szer in t az izmok öszszehuzódása i ly a lapon vo lna ma- gyarázha tó vagy lega lább

.

e.

Még á l ta lánosabb i ly rendszer is fe l , ugyan is o lyan , me lynek e leme i sorokban és osz lopokban vannak e lhe lyezve ; így pé ldáú l egy

nrn

számú á l ló rendszer , me lynek az

a.

vagy

b.

pont szer in t szerkesz te t t egyes osz lopa i t

n

számú e lem , e l lenben ezen osz lopokra egyes sora i t (me lyek e leme inek geo - me tr ia i tenge lye i a középpon t ja ika t egybekapcso ló egyenesen fek - szenek)

rn

számú e lem a lko t ja .

E sorok egyébkén t még köröke t is a lko tha tnak , úgy , hogy

az e lemek egy hengerfe lü le ten lehe tnek e loszo lva , középpon t ja ik

ped ig a hengernek tenge lyekörü l i symme tr ikus genera tr ix vona la i

EGYÜTTESEN LENGŐ MÁGNESEK VONZÁSAI ÉS TASZÍTÁSAI.

3 men tén és egymás tó l távo lságban párhuzamos körök mentén (e vona lak és körök fekszenek , fe lfüggesz tésük vagy a lá támasz tásuk ped ig o lyan legyen , hogy s tab i l is egyensú ly i he lyze tben m inden e lem geome tr ia i tenge lye

a nenger tenge lyére és ér in t i a párhuzamos kör t , me- lyen középpon t ja feksz ik .

I t t a kérdés ana log , m in t a d. alatti ese tben , ugyan is , va j jon a rnndszer egyes e leme i á l ta l egymásra a henger tenge lye mentén k ife j te t t trans la tór ius a rendszer e leme inek lengése i fo ly tán más m in t á l landó egyensú ly a lka lmá- va l és hogy e vá l tozás vonzó -e

?

2 . § . A je len ér tekezésben fe lkaro l t fe lada t . Az ez t .i

J .:or lá tozó fe l tevések . Az e lér t eredmények .

1 . Je len do lgoza tban e kérdésse l m in t k izáró lagosan phys ika i prob lemáva l fog la lkozom és i t t egye lé í re ennek csak b.

és d. alatt rész le teze t t , de b izonyos módos í tásokka l megvá l toz ta- tott ese té t karo lom fö l .

Cl.

Fe lveszem ugyan is , hogy a permanens mágnesek mére te i középpon t ja iknak egymás tó l va ló távo lsága ihoz képes t k ics inyek , azaz , hogy e lem i mágneseknek (vagy mágnese lemeknek) lehe t tek in ten i .

E fe lvé té l azér t szükséges , m ive l véges permanens mágnesek egymásra ha tásá t csak akkor ha tározha t juk meg , ha a mágnesség e losz lásá t e tes tekben de ez t nem ismer·

jük és így erre nézve hypo thes ishez ke l lene fo lyamodnunk . E l len- ben e lem i mágneseknek véges távo lságban mágnessé- gekre va ló ha tásn . te l jesen függe t len a mágnességnek az egyes e lem i mágnesekben va ló e losz lásá tó l , es csak ezeknek mágnes i nyoma téka i tó l és ezek iránya i tó l függ .

b. Fe lveszem továbbá , hogy az e lem i mágnesek , me lyek kö - zéppon t ja i egy egyenesben fekszenek , ha több e lem van je len , o lyformán legyenek fe l függesz tve , hogy á l landó egyensu ly i he lyze t i ikben párhuzamosak legyenek és így ekkor va lamenny ien a középpon t ja ika t egybekapcso ló egyenesse l egy és ugyanaz t a

6₀

szöge t képezzenek.

E fe lvé te l t kedveér t és azon okná l fogva is ho- zom be , m ive l akkor a rendszernek m ind az az e lrendezése , me ly- né l s tab i l is egyensú ly a lka lmáva l az e lemek tenge lye i a közép-

1

*

pon toka t egybekapcso ló egyenesre

(J=

t ^{n ) , m ind}

ped ig az az e lrendezés , me lyné l á l landó egyensú ly a lka lmáva l e tenge lyek a neveze t t egyenesbe esnek

^(a₀=

0) ezen á l ta lánosabb e lrendezésnek csak specá l is ese te i .

e . Fe lveszem továbbá , hogy az e lem i mágnesek lengése inek amp l i túdó i igen k ics inyek . Ez t a suppos i t ió t azon ana ly t ika i comp l icá t iók e lkerü lése czé l jábó l teszszük , me lyekke l a véges nagyságú amp l i tudókka l i ly lengések ma thema t ika i tár- gya lása jár .·

d . Fe lveszem vég re , hogy az egyes e lemek mozgásá- nak per iodusa i igen k ics inyek a közönséges ké - pes t és hogy e szer in t az egyes lengések igen sok per iodusa mú- l ik e l a közben , a m i a la t t középpon t ja ik távo lsága (a trans la tór ius

vá l tozá l : la fo ly tán ) vá l tozás t szenved .

Ez t a fe l tevés t a körü lmény köve te l i : Ha a trans- la tór ius a lengések fo ly tán vá l toznék (a m i á l ta lánosságban tény leg beköve tkez ik ) , akkor ez m inden p i l lana tban a rendszer e leme i m indenkor i he lyze tének függvénye , azaz az vá l tozó menyny iség és így az e vá l tozó részének is vá l tozha t ik az

^.

Ha mos t e lengések per iodusa i o ly nagyok vo lnának, hogy egy i ly per iodus tar tama a la t t az e lemek középpon t ja inak he lyze te vá l toznék , akkor a középpon tok he lyze té- nek ezen vá l tozha tásá t a lengések egyen le te inek fe lá l l í tásáná l ok - ve te t lenü l tek in te tbe ke l lene venn i . De ez á l ta l a ma thema t ika i tárgya lás t anyny ira comp l icá l juk , hogy a ana ly t ika i nehézségek a v izsgá la to t ma jdnem lehe te t lenné tesz ik . E l lenben , ha a lengések per iodusa i igen k ics inyek , akkor véges (de nagy) számú i ly per iodus lefo lyása közben az e lemek középpon t ja inak he lye i t vá l toza t lanoknak lehe t tek in ten i és a lengések egyen le te i t ezen az a lapon fe lá l l í tan i .

2 . M iu tán a phys ikusra nézve a spec iá l is , az

ese tek rész le tes megv izsgá lása rendszer in t már csak azon okná l

fogva nagyon é rdekes , m ive l számos v iszony és kapcso la t sokszor

á t lá tszóbban és domborod ik k i , m in t az á l ta lános

ese t v izsgá la táná l és m ive l az a leg több ese tben az .

u tóbb inak igen jó képez ik : azér t je len do lgoza tom-

ban a ké t és a három e lem i á l ló rendszer lengése inek

és trans la tór ius rész le tes tá1gya lása a

EGYÜTTESENLENGŐ MÁGNESEK VONZÁSAI ÉS TASZÍTÁSA!.

5.

ges számú á l ló rendszer ide tar tozó v iszonya inak á l ta lá- nos tárgya lásá t .

Az ér tekezésben nyer t eredmények közü l e he lyen fe lem l í t- he t jük azoka t , me lyek az 1 . § . d. pontjában fe lve te t t kérdésre megad ják a fe le le te t .

a .

K

ugyan is , hogy a 2 . § . 1 . a ,

b,

e ,

d,

pon t ja iban megha tározo t t bárhány , n számú á l ló rendszerre nézve az egyes e lemek lengése i n számú harmon ikus ( inga-

lengések á l lanak , hogy a rendszer középpon t·

já tó l távo lságban (e középpon thoz symme tr ikusan e lemek lengése i nem ugyan , hanem symme tr ikus hogy az n

²

számú lengés i amp l i túdók közü l csak n függe t len egymás tó l ; végre , hogy a rendszer m inden o ly ké t e lemére nézve , me ly a rendszer középpon t já tó l távo lság- ban van , az ezen e lemekre a középpon t ja ika t egybekapcso ló egyenes men tén trans la tór ius középér téke i ér tékre

nézve de nézve e l len te t tek .

b . Ennek ér te lmében a lengések n számú függe t len amp l i- túdóit m indenkor úgy vá lasz tha t juk , hogy azok azon számú (pára t lan n-ekné l n ₂ ¹ számú) feltételeket kielégítsék, melyek fenná l lanak , m ikor a neveze t t trans la tór ius a

része i a rendszer középpon t ja fe lé tar tók , azaz vonzók; ha e szerint az á l landó egyensú ly a lka lmáva l trans la tór ius

compensá lva vannak , akkor ezen ese tben a lengések az egész rendszer összehúzódásá t fog ják lé tes í ten i .

e. De hogy e függe t len amp l i túdóka t más- kén t , még ped ig úgy is vá lasz tha t juk , hogy ezek azon ; számú {pára t lan n-ekné l n ₂ ¹ számú) feltételeket kielégítsék, melyek fenná l lanak , m ikor a neveze t t trans la tór ius a lengések- része i a rendszer középpon t já tó l e l vannak fordu lva , azaz tasz í tók; ha itt is a s tab i l is egyensú ly i he lyze tben

trans la tór ius compensá lvák , akkor ezen ese tben a lengések

az egész rendszer k i tágu lásá t fog ják eredményezn i .

I . Ké t e lem i álló rendszer lengése i és t rans la tó r ius

.

3 . § .Jelö lések . Az a forga tó nyoma tékok és az r men t i tra ns la tór ins á l ta lános

^.

Legyen a

m

·

1

az , d 'k e } em1

_{1 .}

magnes

,

magnes1

, .

nyoma te

,

a k .

m'l

a maso

¹

s

1

az } mágnes i nyoma téknak pos i t ív iránya men tén szá-

s2

a másod ik m í to t t hoszszak .

r

a ké t mágnes középpon t ja inak egymás tó l va ló távo lsága .

{}1

az

^{m1 }} 't' · , , 'tí · '

' l t

1 b '

t

^„

{} pas i iv iranya es az

r

pos1 v iranya a a ezar szag .

'l

az

^{m 'l}

<p

a -81 ^{és a} -82 ^{szögek s ík ja i á l ta l bezár t szög .}

U a ké t á l ló rendszer (mágnes i

.

R az egy ik á l ta l a más ikra k ife j te t t

r

men t i

.

F

₁

l , ,

J

a másod ik mágnes az l

v

f a fo rga to nyoma tek , me lye t

1 1^{„ , /}

d 'kr f '

P 2 ^{„ , • •. „ {}}

I . : so a maso i „a kozeppon tJa koru l a { f S lkJaban feJ t

^ki.

K

1

az l , t h t l , . t , k K , d 'k f magnes e e te enseg t nyoma e a .

11

a maso

^l

K

1

8

1

az l mágnes szerkeze te (sodronya i}

K

₂

8

₂

a másod ik f csavarodásának együ t tha tó ja .

{}1

+

^e1

az } mágnes szerkeze tének tors ió -

·{}2

+

^e2

a másod ik szöge i ;

e₁

és

e₂

az függe t lenek .

{}{}10

a

^fl

ér téke á l landó egyensú ly a lka lmáva l .

'lO

a · cr'l!-ne

a

₁

az } mágnes szögk i térése a s tab i l is egy imsú ly i he lyze-

a2

a másod ik e szer in t

{)1=

-810 + at} , ^{k ' .}

^„

^k

_0 _ {} ;

a

1

es

o.₂

icsmy szoge .

-crc2- 2o+a2

L - m1m2 _!_

t -

rs K i

röv id í tések .

E je lö lésekke l :

EGYÜTTESEN LENGŐ MÁGNESEK VONZÁSAI ÉS 'l'ASZÍTÁSAI. 7

. . (2)

(3)

r

1. ábra. 2. ábra.

4 .

§.

A ké t mágnes egy s íkban f eksz ik. A mozgás és az egyensú ly egyenl e te i , ha a ké t mágnes és ha

.

Ha a ké t mágnes egy s íkban feksz ik, a kko r sc>=Ü . Ezen esetben a

§.

(1) és (2 ) egyen le tei :

(4)

(5)

A tovább iakra nézve a

^('81

+ {}

²⁾

^és

^{('81 -}

^{s inu-}

sai t fe j t jük k i az (a

₁

+

^a!'l)

^{és (a}

^{1 -}

^{k icsiny menyny iségek nö -}

ha tványa i szer in t :

-cos (81± 192) =cos (810±

8

₂₀₊ a1 ±a2) =cos⁽⁸10

±

820) [1-t(a1

+

a2)2+ ... ] - -sin(810 ± 1920)[(a1 ± a2) -₂ 3 (cx1 ± a2)⁸+ ...] sin (81

+8

₂₎=sin (810±

8

20

+a

1

+

a'!l)=sin

(8

_10±

8

₂₀₎[1-t(a1±a2)2+ ...J+

(6)

+cos(8₁₀±

8

₂₀)[(o.1 ± a2) -₂ 3 (a1 ± a2)³

± · · · J ho l m inden egyen le tben egyszerre csak va lamenyny i vagy egyszerre va lamenny i a lsó

.

Röv idség kedvéér t legyen .

COS (810 + 820) = C1;

COS (8_{10 -}

8

₂₀₎=C2;

s in

(810

+ ^{8 '10)}

⁼

^s

¹

^l

s in (8

_{10 -}

· 8

₂₀₎=S2

f ^{(7 )}

Az (5) egyen le tek az e lemek középpon t ja ik körü l i lengé se i- nek egyen le te i ; k ics iny lengésekre nézve a (6) k ife j tések csak az

tagok ig bezáró lag a lka lmazandók ; e szer in t az a 3 . § . L

₁

és L

₂

röv id í tése i tek in te tbe vé te léve l :

= - L1

( i s

1+ts'!.!}- l91(81o+e1)-[L1(fc1

L

a . E ké t egyen le t azonban te temesen egyszerüsböd ik azon körü lmény tek in te tbe vé te le fo ly tán , hogy a

₁=

0 ,

_r12 =

0 ér té- keknek a s tab i l is egyensú ly i helyze t fe le l meg , me lyrn nézve az egyes szöggyorsu lásoknak zérusoknak kel l lenn iök .

E szer in t :

L1

(f

s1 + + 81(1910 + e1) ⁼

0}

L1 (f

^{S1 - ts2)}

+

^82(1920

+

^{e2) =}

⁰

a s tab i l is egyensú ly fe l té te l i egyen le te i . Írva röv idség kedvéér t az á l landóka t : L1 (f

^C1

+

^{t C2)}

+

^{81= au}

^{1 .}

L

₂

(f ^c

1

+ t ^c

²⁾

+ ⁸

²⁼

^{f '}

a mozgás (8) egyen le te i irha tók _ :

aí'

+

^{a11 ai}

+

^{a12 a'l.=}

^{0 }}

a2

+

^a21ai

+

^w,i=

⁰

(9)

(11) (8)

EGYÜT'fESENLENGŐ MÁGNESEK VONZÁSA! ÉS TASZÍTÁSA!.

9 me lyek az á l landó együ t tha tó jú l ineár d ifferen t iá l-

egyen le tek s imu l tán rendszerét képez ik .

b. Legyen kedvéér t a ké t mágnes fe lfüggesz tés i vagy a lá támasz tás i mód ja m inden tek in te tben akkor :

K K

f3

1=&2=f3;

L

1

=L

₂

=L ;

m₁=rn!l=m(12)

Ekkor a (9)- ( 11) egyen le tek :

: L

(3s1

+

^S2)

+ e

⁽⁸¹⁰

+

^{e1) - 0}}

L ^- s2)

+

^f3(1920

+

^{e'l)- 0}

a11

⁼

tL ( 3c

1 f3 =

a22

^J

a

12

= tL (3c

1 -

c

2)

= a

21

f

"+ + ⁰

r1

1 a11

ai ^a"l.

= \

a2

+

^{a12 a1}

+

^aua2=

^{0 f}

5 . § . A lengések expl i c i t k i fe jezése i.

(13)

(14 ) ( 15) a . A (15) rendszer egyen le te i t öszszegezve , i l le tve egymás- bó l levonva, n yer jük :

(a¹

(a

11

+ ^ci

^12)(a1

+

^r1.2)=

^{0} . (} _l6)

(a1 - a2)"

+

^{(a11 - a}1g)(a_{1 -} . =

0 '

azaz , az a

₁

+ ^a

2

és az a

_{1 -}o.₂

az harmon ikus mozgás .egyen le tének fe le lnek meg.

Je le l jék a (14 ) szer in t :

a11

+

^arn=

^3Lc1 + e

⁼

J .i }

au - a12

= ^{LÚ ' l} +

^f3

= ^{. '}

akkor a (16) te l jes mego ldása i :

r1.1

+ ^a

²⁼

^2A

¹¹

^{cos ().}

¹

^t + o

1)1

a1 -

a

2=

2A

12

cos

^().'!t

+

^og)

^f

ho l Aw ó\ és A

12,

3

2

az in tegrá t iók á l landó i .

( 17 )

(18)

A J.i ^és J.i ^{pos i t iv ér tékeke t je len the tnek csak , ha a}

1,

a

₂

a mágneseknek a s tab i l is egyensú ly i va ló szög-e longá- t ió i t je len t ik ; ezenk ivü l a

f3

pos i t iv lévén , ér téké t m ind ig úgy vá lasz tha t juk , hogy a J.

²

-ek e fe l té te l t k ie lég í tsék . [ V . ö . a (17)-e t ] . Negativ J.i és

.

az t je lzené , hogy a (16 ) mego ldása iTeá l is

exponensekke l b író k ife jezések és így a

₁

és

^a₂

az m ind ig

növekednének , azaz , hogy az egyensú ly lab i l is vo lna , a m i fe l te-

vésünkke l e l lenkez ik .

A (18 ) szer in t :

a1 =

A

₁₁

cos ().

1

t

⁺

o

1) +

A

₁^"l

cos

(A2

t

⁺

^{apj }}

o.₂

= A

₁₁

cos

(J.₁

t + o

^{1) -}

^A

¹²

^cos

^(J.01

^t + o

²⁾

^{. (18a )}

Az egyes harmon ikus mozgások per iodusa i :

(19)

6 . §. A trans la tór ius középér téke . Spec iá l is ese tek . a . Az r menti trans la tór ius erö (me ly m indké t mágnesre nézve egyen !ö , de e l len te t t e lö jeH í .) a (3)-bó l :

l

^'J

_'--Dr

^-

a u _- - _{- 7} ^3m

^2f_\2³_COS(i^.a_f1

_{+ if0}

^.a

₊

₂¹ _COS(i^.a _{f1 - u}^{.a \}_{2)1 •} (20}

K ife j tve a { } je lekben k ife jezés t a

(6)

séma a lap ján az az

(a₁

+

^a2)

és az

(a_{1 -} a0

ha tványa i szer in t és é lve a (7) röv i - d í tésekke l , a rendezés u tán :

R-

--7

^3m

,(2C1²¹³ +2CPJ-2S1(a1^{1 3} +a2)-2S2(a1¹ -a2)

(21}

me ly k i fe jezés az R-nek az

a_1,

a'l. ^{e longá t iók tó l va ló függésé t}

exp l ic i te tün te t i e lö . Ha R nega t iv , akkor a középpon tok vonzá- sá t , ha pos i t ív , tasz í tásá t je len t i .

b. A 2 . §. d. pontjának megfon to lása i ér te lmében ezen középér téké t k iván juk ismern i .

Egy per iodusra vona tkozó lag a (18 ) k ife jezések vagy négy- ze te ik középér téke sema t ikusan :

lfT[COS T

₀ ^(27!"

T ^{t +} a)]'l.nclt =

1. 3

2

•

.4

•

.

•(2n

.

- 1)

2n

•!

2

!_

l

1JT[ (2 )]2n+1 I

T

0

cos ; t + ^{a d t}

⁼

⁰

^(22}

E szer in t a (21)-nek R-e l akárhány per iodusra

vona tkozó középér téke a (18 ) és (22 ) szer in t :

EGYÜTTESENLENGŐ MÁGNESEK VONZÁSA! ÉS TASZÍTÁSA!.

11 (23}

ho l a negyed-és tagok e lhanyago lvák ; az A

11

és A

₁₂

az egységhez képes t k ics iny á l landók .

M iu tán cos (7) szer in t C

1

=cos(8-

10

+8

20),

C ; i=cos(8

10

- 8

20),

továbbá a 8

₁₀

és 8

20

ér téke ped ig 0 és t7l' közö t t van : c

1

nega t iv is lehe t , m íg pos i t iv .

Ezér t a (23 )-nak az A

₁₁

és A

₁₂

amp l i túc lók tó l függö része úgy ér tékre , m in t e lö je lre nézve nagyon lehe t .

Ha n incs lengés , akkor :

3m²

Bo

= -

r4 (-f

^G1

+ ^{t cq), (24}}

a s tab i l is egyensú lyban érvényes trans la tór ius erö . Az ese tben , m ikor A

₁₁

= A

₁₂

=A , a (23 )-bó l:

(25}

e. A tovább iakra nézve spec iál is egyensúly i indu l junk

ki.

1 . Legyen 8

₁₀

= {}

₂₀

= /}

_0,

m i t a (13 ) ér telm ében az

e_1,

e

2

és a e a lka lmas vá lasz tása á l ta l érhe t i e l ; ekkor a (23 )- bó l :

R = - 7

3m2

\

^{1 3}2

cos"

^0(}

'

0

+

2ⁱ - 2³ 11

Ar t cos ...

^0(} 0 --2 1ⁱ

A2 \

21 ("03'

a}

2 . Legyen 8

₁₀

=

(}'1₀=

0 , azaz a ké t mágnes egyensú ly a lka lmáva l a középpon t ja ika t egybekapcso ló egyenesen van és- mágnes i nyoma tékuk e vona lba es ik . (Ekkor a () a (17 ) és (13 ) szer in t zérusnak is vá lasz tha tó , azaz ez ver t iká l is tühegyeken forogha tó ké t mágnes tü s tab i l is egyens lüy i he lyze te , ha p l . a . fö ld mágnességének ha tása compensá lva van .)

Ezen ese tben (23)-bó l :

ho l R

₀

a (24 ) ér téke · 8

₁₀

=8 '1

₀

=0 ese tben .

E szer in t a trans la tór im erönek a lengés amp l i tuc ló i tó l

függö része i t t m ind ig tasz í tó .

3.

Ha !J

₁₀

= {}

₂₀

= f;;- ^{(és ez az}

^1.

^§.

^b.

^{pon t jában em l í te t t}

be lyze t) akkor

f3

nem lehe t zérus , m íg az erö : R- --

^3m2

7 ,

^,

- ^{1 3A2}

^{+2 11-}

^iA2

²¹²¹

^{' -R11}

^--"ot

^3A2

^{-211 2}

^{+ iA2}

^12p

^'

hol Ro ^a

⁽²⁴⁾

^{er téke a !J}

10

= '8

₂₀

=trr ese tben .

. (23c )

Ezen

3.

ese tben az R

₀

erö tasz i tó; ha az t akar juk , hogy a lengések fo ly tán része a trans la tór ius vonzás legyen , akkor az amp l i túdók a fe l té te lnek tar toznak e lege t tenni :

2 \! .í-

3

A11 -A12 > ^{0 vagy A}

11

v

³

> ^A

12 • . (24)

E fe l té te lnek az edd ig egészen te tszö legesnek hagyo t t A

₁₁

- és A

12

amp l i túdók a lka lmas vá lasz tása á l ta l m indenkor meg fe le l - he tünk ; a fe l tevés : A

₁₁

= A

₁₂

sz in tén k ie lég í t i e fe l té te l t .

E szer in t a beveze tés 1 . §. cl. pontjában fe lve te t t kérdésre azt fe le lhe t jük , hogy

két

e lem i mágnes ese tében a lengés okoz ta vonzás tény leg fe l léphe t s ha az amp l i tudók a

(24)

fe l té te l szer in t vá lasz tvák , m ind ig fe l is fog lépn i .

I I . Három e lem i á l ló rendsze r lengése i és t rans la tó r ius

^.

7.

§. J e lö lések; fe l té te lek .

Az

a forga tó nyoma tékok és az r men t i trans la tór ius

^.

A

3.

§-ban megá l lap í to t t je lö lések i t t is a lka lmazandók , a fe lmer i i lö menyny iségek száma i t t egygyel nagyobb , m in t o t t , a hozzá járu lóka t a

3

indexxe l jelöljük; ezenk ívü l meg -

hogy az eröfüggvény három á l l s hogy i t t a mágnesek középpon t ja inak távo lsága i r

_23,

r

_31,

r12, melyek il:ányai általában kü lönbözök , és hogy végre m indegy ik mágnesre á l ta- lánosságban véve nagyságú és irán yú r menti trans la- tór ius erök

.

E szer in t i t t :

l l= m2 ;ia a ^{cos (82+83 )+ t cos (8 -2 - !Ja )+ m}

³

; i

¹

^{(- i cos ( !J8+1J ) + )}

+ t cos (8 -3 -81 )} + m

_r¹_i2

;n ² a ^{cos(!J1 + cos ( !J1 - !J2 ) :}

j

EGYÜTTESEN LENGŐ MÁGNESEK VONZÁSAI ÉS TASZÍTÁSAI. 13

r

r

;):

0,

3. ábra.

A tovább iakra nézve a mágnesek te l jes k ívü l még a 2 . §.

b.

pon t jában te t t azon hozzuk be , hogy a három mágnes középpon t ja egy egyenesen , egymás tól r távo lságban feksz ik és hogy s tab i l is egyensúly a lka lmáva l a mágnesek tenge lye i az r irányáva l {}

₀

szögeke t képez- nek (3 . ábra) .

Ekkor:

K

1=^f{2=

I{_.'!

=J(;

8

_{1 =} (:)2=

8

_{3 =}

e ;

rn₁=m_{2 =}mfl= m ; r12= r23

=

^tr13 = r;

L L

₁

=

^i!

= L =

^J(r3

m

²

= _, · 1 ·

ho l

a_1,a_2,ri.₃

az egyes mágnesek szög- e longá t ió i . A (26 )

1'

^'1=-:

au

^(}:i(}.J

^{- 1}

^{T_T (}

^{\ tJ öo+a1+-=1}

^{' )}

^{= .c\-z T.Tcl}

^(2rJ.1

^{t2 ;} l

}

_'

'

_'

ac

_!=-;:;---^(J{}.'1

^{1 · .}

_\(:j⁽⁹

_{'o+ a ' l+e '!}

⁾

_{= _} ^„.d _{\-_}

⁽ⁱ

₁

²

_{_ 12--} o_, _; j

F.

^íj

e -

^T.'

_ 3= -0a:„^{- Í\f:J(19}

0+ a3+ e;i)=1 \

(

- z t

2 ;

8 . §. Az egyensú ly é8 a mozgás egyen le te i.

. (28)

. (31 )

a.

Képez>e a (31 ) egyen le trendszer t a (:-30)-bó l , meg jegyezve , hogy

a₁

=0 ,

a₂=0, afl=O, a

s tab i l is egyensú lynak fe le lnek meg , -és hogy ekkor m ind a három mágnes szöggyorsu lása zérus ,

nyer jük az egyensú ly egyen le te i t :

tL(1 2{}-0

+

f3(80

+

e1)

= 0 )

í ^L

⁽¹

+

¹⁾

^{s in}

^2H0

+e

⁽⁸⁰

+

^e2)

=

⁰

t ^{L (1 +-§-)s in}

^2{}-0

+e ( (}

⁰

⁺

²³⁾

^{= 0}

még közye te t lenü l fo ly ik :

€1

=

^E3

l

16 ({}-

₀

+

²¹⁾

^{= 9}

⁽⁸⁰

+

²²⁾

^{f ·}

- (32)

. (32a) b.

Képezve mos t a (31 ) egyenle teke t (30)-bó l

a1, r;.2,

a

₃

ér tékek me l le t t , továbbá a (16 ) séma szer in t k ife j tve (30)

argumentumai s inusa i t az

a_1,a_2,

a

₃

ha tványa i ig bezáró lag ,

végre ped ig a röv id í téseke t veze tve be :

EGYÜTTESENLENGŐ l\IÁGNESEK YONZÁSAI ÉS TASZÍTÁSA!. 1

f ^{L(+ 1+3 cos 2 /J}

⁰⁾

^{+ (-) = aul}

2L(-

1+3 cos

28₀₎=

a

₁₂

L ( -

1

+

³

^cos

^280)=an

f

T ^{L ( + 1 + 3 cos 2 H}

⁰⁾

^{+ (-)}

⁼

15

(33 )

nyer jük a rendszerét a mozgásegyen le teknek :

+ ^a

^{11 a1}

+a

^H(J.q_

+ ^a

^13a3

^{= 0} l

a2

+

^aH.

a

1

+

^a;i2 a2

+

a12 r1.3=

0 . (34 )

a₁₃a1

+

^{al'l u.'1.}

+

^cilla3=

0 9 .

'il·

A rends::::er együ t tes le11gése inek

^.

Ezen (34) rendszer á l landó együ t tha tó jú l ineár s imul tán d ifferen tiá l á l lván , meg fej t ése az i l y egyenle tek el- mé le tének e lemei szer in t közve te t lenü l tör ténhe t ik .

Ha

a1

=A

1

cos

().t

+

J),a\!=A₂

cos

(J.t

+ o),

a₃=A:-i

cos

(U

+

^J';l)

^{(35 )}

a par t iku láris mego ldások egy rendszere , ho l A

_1,

A:;i, A

_3,

a ^az

in tegrá t ió ál l andó i , akkor ezeke t a (34 )-be he lye t tezve , az A

_1,

A

2,

A

3,J.

a rendszer t tar toznak k ie lég í ten i

(a_a,\11_! -

_r1

J.²)A1

+

^a1

^'1A

²

+

^aL:'lA3=0

l

1

+ ^(a

^{22 - ).2)}

^A

2

+

^a,'l.

^A

3=

0

1 .

a13A1

+

^aH

^A

²

+

^{(a11 - ),2)}

^{A : i =}

^{0 (36)}

a . E szer in t az A

1,

Ai, ^{A : i} együ t tha tó ibó l képeze t t de ter- m ináns ; azaz :

\a11-J.2 at'1. arn

D

= / Cl12 a'!!:'2 - ;,2 at2

a13 a12 a11 -

;.2

^{=Ü, .}

^{(37 )} me ly az ) ,

²

megha tározására szolgá ló egyen le t .

észreveszszük , hogy a D irha tó * :

Cl11 - ;.2

+

^{CLrn 2a12}

D

= arn a22 - ;.2 Cl13 Cl12

E szer in t a (37) egyen le t szé tbom l ik a :

*

^{V.ö.a 27. lap utolsó kikeznését, a 28. és a 30. lapokat.}

(a11

+

^{a13 -J.2)}

^{(a ; i}

^{2 - J.2) -}

^{2a i ; _ 0}}

a_{11 -} avi - ;. -

0 me lyek gyöke i rendre :

. (37a}

b. A. (36) egyen le t-rendszerhez ér te lmében az A

1,

A

2,

A : i á l landók közü l k i a harmad ik á l ta l , me ly u tóbb i

.

Ha röv idség kedvéér t a (36 )-bó l :

A3 -B A -

₁ ^3,

aJJ - },

²

. + a'12 BJ. .+ av i B

³

= 0)

ai2

+ ^{(a:i2 -}

^;.2)

B2 +

^a12

B3 = ⁰

a₁₃

+

^aBB2

+

^{(a11 -}

^J.

²

^)B

³

= ⁰

. (39)

. (40}

Ez az egyen le trendszer érvényes a neveze t t A

_1,

A

2,

A

_3,

á l landók- , i l le tve B

_2,

B

3

v iszonya ik azon három rendszerére nézve , me lyek a ;.i,

^{. .}

gyökérték ekhez ta1 - toznak ; e v iszonyo- ka t mos t megha tározzuk .

e. Legyenek Aw Aw A

31

i l le tve B

2

i , B

31,

a J . I -höz - , A

12,

A

_22,

A

_32,

i l le tve B

_22,

B

32

a ; . ; -hoz tar tozó ér t ékrendszerek ; a . és .1.: a (37a ) egyen le tnek fe le l meg :

vagy :

^(a11

+ ^a

^{13 -}

^J.

²⁾

^(a

^{22 -}

^J.

²⁾

= 2aI2 , l

arn

=

^y(a1

+

^{a13 -;.2) (a22 -}

^{J.2) .}

^{• (41)}

E gyökö t je le lve s ezen öszszefüggésse l az;

a₁'!!-t

a (40)-bö l e l im iná lva , ez a rendszer J . i - ra nézve :

EGYÜTTESEN LENGŐ MÁGNESEK VONZÁSAI ÉS TASZÍTÁSA.!.

17

2

1 „r r - . -

au -

J .1+ t f 2

^{y (•••J(•.}

) B21 +a 13B31=0

-v· l ^{t f ( . · . ) ( . . ) +}

^-

^.

^{B 21}

^{+ V (. · . ) ( . . ) B}

³¹

^{= O (4012)}

1

„r 2

a13 + tf2

^{Y (. ·.)(.•) B 21}

+

^{(a11- J.1)B 31}

^{= 0}

ho l a (41 )-nek f ( . . . )( .. ) ^{gyökében J.}

1

}. h elyébe .

E

B - -

^21-

i f

^{2 au}_a

⁺

_{'!2 -}^{ai3 -).'i!} _·1

^J.i

^'

^{B -}

^{:u -}

⁺

¹

Hason lóképen nyer jük a

.

tar tozó v iszonyok ér téke i t :

Tek in te t te l a (41 )-re :

A ₁₃

ai2

a11 +

^ai3-

^{J ,2}

2

a12

j - A11i '_ai.'!! (

au+arn-aw

'

-

„r(Y

a11+a13--aw

12

+ 8

^ai22 \1;

A32

=

A12

cl. Ha A

13,

Aq

3,

A

33,

i l le tve B

_23,

B

₃₃

^a

^.

^{tar tozó ér ték-} rendszer , akkor ) .: = a

11 - a₁₃

ér téké t

(38)-

bó l ( 40)- be he lye t tezve

M. T. A.K. ÉRT. A M.4.THEM. TUD. KÖRRBÖL. . XlV.K.5.SZ. 2

a13 + ^a12

^B23

+ ^{ai3 B33}

⁼

^{D . : . )}

· a

12

+

^(a2

^{2 - a}

¹¹

+ ^a

¹¹

ⁱ⁾ B23 -+: ^É 33

⁼

^{0 .} arn

.

+

^ai2

^B23 + ^{a13 Bs . ,}

⁼

⁰

'

( 40s )

Ézen egyen le tek mego ldása :

B'!.3=0; B33= ·- 1 azaz (39 ) szer in t :

A

₁₃

;

Ezek szer in t a (34 ) rendszer te l jes mego ldása : a1 ^=A

¹¹

^cos (J.1t+a1)+A12 ^cos

^.

^cos

^(J.3

t+o s)

2a12

A

^2arn

A

a2=

^{2 11}

cos 0 .1 t+o1)

^{2 12}

cos (J. '!.t+o2)

a

22

-l1 a '!. '!.-J.2 ^{. (43 )} a

3

=A

11

cos Arn

^{. . .}

ho l A

1

v A

12,

A

13;

o _1, 6

_2,6₃

az in tegrá t ió függe t len ha t . á l landó ja

, ·2a12 , 2a12

' t ' k '

(4q>)' (4CJ>)f

l '"b es az - -

₂

es- -

₂

er e

^ei

a ...

¹

es ormu

^a1

an az

a2'!.-J.1 a2 ' ! . - l2 A11 iletve A12 ^{együ t tha tó i .}

10 .

§.Az

r men t i R

_1;

R.

_2,

R

₃

trans la tór ius

.

Középér tékük .

a . A (27) egyen le teke t a képezve és bennük a (28) behozva , nyer jük '

R 1= -2

^3m?;4² \¹

3 cos (81+· 8"1)+ cos ³ cos (83+'171)+ 16 ¹ cos ( '173 -81)[ ^\

2 '

R _{3cos(81+8

2

)+ cos ( / l -

₁

- 8

₂

) -3co s (8

2

+8a ) -cos(8"1-8a)} (44)

2 1

3 . 1

R.

3

= - - i {3 c 'os (8q i+8

3

)+ cos (0-qi- 8

3

)+ 16 cos (8

3

+-81)+ 16 cos (83- 8

1)}

Tek in te t te l a (29) ér tékekre , a (44 ) egyen le teknek a (6) séma szer in t végze t t k ife j tése és rendezése az a1,

^a2,a3

és va lamenyny i magasabb tag j l!L inak e lhagyásáva l

a összefüggéseke t szo lgá l ta t ja :

bS> _"il-

. íl

}'.:) _ 3m 111 51 2

+

₁₆J (n₃- n1 -)2] 11

s -cos , ,

0

,u

.(l (0¹ri1

+ )2+

a'i! 16t(a1

+ )2J+

a1

\

„1

R2= - l ^{{ - i [ (a}

1

- a

₂

)2- ( a

₂

- a,i)

²

]- j cos M i (a

1

+a ,J

²

- (a ' l+a

³⁾²

J+ . . )

R3= - i {N ²⁸

₀

- f ^{. . }}

(45)

b.

A páratlan hatványú tagoka t azér t hagy tuk el , mer t ezek az középér t éke képzésén é l zérus t adnak (v . ö . a (22 ) k ife jezéseke t) .

továbbá , hogy az

(ai

+ n,i)

^2,

(a

₂

- r i

₃₎

2 stb. öszszegeket vagy különbségeket a (43)-ból képez- zük ; a négyze tre emelésné l t isz ta quadrá tos , cos2( l

11+r)1), •••

és szorza tos , cos U i+o \!) cos

(A3l

+ í ls) , . · .

t agok .kele tk eznek . Az a (22 ) szerin t az H középér tékekhez véges ta ggal já ru lnak ; az . u tóbb iak szé tbon tha tók t ^cos

^[(A'l

+

^l₃^)t

⁺ a

₂

⁺ o

_3]

^{+ {-cos [ ( l}

2 - ls)t

+

^- r)!l]

tago lu·a , me lyek a (22 ) szerin t sz in tén nem képesek a középér téke t befo lyáso ln i .

Ezek érte lmében a (43)-bó l észreveszszük, hogy az

(ri₂

-r1.:

₃₎²

középér t éke az az (r1

2

+as)

²-é

pedig az (a

₁

+ri2)

²

-ével s így végre ta lá l juk, hogy az R.

1

és az R

3

középér t ékei egymással m íg az zérus .

Exp l ic i te k ife jezve e középér tékeke t :·

R

1=--2-^3m2_r4 ¹¹¹

tw+

⁵¹

i6cosM

₀

- 2

^t

[ (1+

_a22^2arn

_-l1

₂^)2i_A2!! 11+(1+^.-_a22^{2a12 1-A2}

_-l2

2 )2 2

l'll+!I!

^{1-A2 rn+ffi2A213J1-}

3

2

^.G

1

2a10 )2.1.A'i!

+ (1

2a12 )21A!Í 1

A2

^'i! A2

A'll: ) J ' -2co s

_u0l( - ₂ c.i J1 2 \!!'

1 2+2 1s+

₁₆₍

11+ _ a

f

a₂₂-l1 a'i!2- l'i!

R

_{2_}

o

Rs=·R1

t<J 0

r:n t<J

f;; z

00:

.,..

i : .

;g z

N t<J,

..., r:n I>

r:n 1>· r:n

b

-

^<:.Q

Az itt

²

a

^1ei ₂

és

²

a

¹²

ér tékek a

(421)

és

(422)-

a22 -J .1

.

ben az A

₁₁

i l le tve Arn együ t tha tó i .

A (46) a [] záró je lekben két öszszeg m ind ig abso lu te pos i t iv , de m ive l a másod ik öszszeg szorzó ja . cos

^2,(}_0,

ez u tóbb inak lényeges .

S tab i l is egyensú ly a lka lmáva l az A

_11,

A

12,

A

₁₃

amp l i túdók zérusok és a trans la tór ius :

_ 3

m

^{2111 51 , _ )}

R ,o -

^{- 2 - 4}_r ^liii

+ ^{16 cos}

^{2801 -}

^R30

_.

Rio = ⁰ = Rio ^{( 47)}

' M indadd ig , m íg 1 + ^{3 cos}

280

>0 , azaz m íg cos

₂₈₀

>- t ,

vagy 8

0

<54°

44',

az R

10

és R

30

a mágnes középpon t ja . fe lé irány í to t t vonzás t je l ent , ezen tú l tasz i tás t .

1 . Ha , 8

_{0 ._-}

tr., ^{( ho l {}}

0

a s r ,ög , me lye t a mágnesek s tab i l is egyensú ly a lka lmáva l a középpon t ja ika t öszszekapcso ló egyenesse l képeznek 3 . ábra , 13 . 1.), akkor cos

28₀

fe l té t lenü l pos i t iv és a (46) k ife jezések {} záró je le iben az Aw Arn , A

_13,

amp l i túdók tó l tagok öszszege m indenkor e l len te t t m in t az R

_10,

vagy az R

_30;

m ive l ped ig a 8

₀

= t ir ^{ha tár ig ezen a (47) ér te l-}

mében vonzók , a lengések fenná l lása e vonzás csökkenésé t fog ja maga után vonn i .

2 . Ha ín> ^{akkor cos 2{}}

0

nega t iv és az amp l i tudók- tó l tagok öszszegének a 8

₀

- tó l és az A

_11,

A

_12,

A

_13,

függ . Ezen u tóbb iaknak a lka lmas vá lasz tása által te t- szés szer in t e lérhe t jük az t , hogy a trans la tór ius a len- gések fo ly tán vá l tozása vonzás vagy ped ig tasz i tás . 11 . §. Spec iá l is ese tek : a mágnesek tenge lye i a közé ppon t - ja ika t egybekapcso ló egyenesben fekszenek vagy erre

gesek .

a . Legyen a 7 -10 . §§. formu lá iban m indenü t t

{}0

= 0 , azaz a s tab i l is egyensú ly a lka lmáva l a három mágnes mágnes i nyoma téka i a középpon t ja ika t egybekapcso ló egyenes- ben feksz ik .

Ekkor a (33 ) , (38) s a

(421), (422)

a rendre :

EGYÜ'l"l'ESENLENGŐ MÁGNESEK VONZÁSA.! ÉS 'l'ASZÍ1'ÁSA.I.

21

au -av i=

34

16L+e

112L 26

16L

LA

;.i,

^{. .}

ér téke i még akkOT is pos i t ivek , ha e-á t zérusnak

"Yá lasz t juk ; e vá lasz tás (mive l 8

0

=0) , a (32 ) egyenle teke t is k ie lé- g í t i , ekkor a három mágnes t ver t iká l is szabadon forogha tóknak tek in the t jük (a fö ld mágnessége compensá lva lévén ) és s tab i lis egyensú ly i he lyze tük a 8

_{0 ·}

O -nak fe le l meg] . E fo lyó lag , körü lbe lö l

₁

-részny i pon tosságga l nyer jük :

2a

_{12 _}

1

¹³

--a -

^{,2- -}

T6.

22 ¹•2

Ezek a lap ján a trans la tór ius középér téke a (46 )-bó l ném i röv id í tések után

- _

R1 -

3

-2T4 m 4

^{{17 [(}

-

^5516)2-1636]

A

^{211- [}(16\²⁹² -1³⁶6^]

A

²¹²

-16A

^{172131 \ _}- ^-R3(

4 8) E szer in t a trans la tór ius a lengés amp l i túdó i tó l

része i itt m ind ig tasz i tók .

b. A mágnesek s tab i l is egyensú ly i he lyze te legyen a közép- pon t ja ika t egybekapcso ló egyenesre ekkor 8

₀

= trr.

Ekkor ismé t a

(33), (38)

és (421) , (422)

I t t ;.t 1ct

^.

^{csak akkor pos i t ivek , ha}

168 >

^L

^{és 168} > ⁽²⁷ + ^f25 + ^{8 . 256)L) ,}

me ly u tóbb i fe l te te l az e löbbi t is magában fog la l ja .

A fe l írt ér tékek egy ezredrésznél nagyobb pon tosságga l ad ják :

Ezek szer in t a trans la tór ius középér téke a (46) -bó l ném i röv id í tés u tán

I t t az Ar

²

^{együ t tha tó ja nega t ív .}

Ha az t k íván juk , hogy az egyensúly i he lyze tben tasz í tó trans la tór ius a lengések fo ly tán vonzó rész járu l jon , akkor az amp l i túdók fe l té te lnek tar toznak e lege t tenn i :

2 2 m

78A12+7A i3>16A11 ,

^{. (50)}

me lye t az A

_11,

A

_12,

Arn vá lasz tása á l ta l m ind ig k ie lég í t- he t jük .

III . Á l ta lános ese t : T számú , középpon t ja ikka l

közökben egy egyenesen á l landó egyensú ly a lka lmáva l egy- mássa l párhuzamos mágnesek rendszere .

12 . §. Az a forga tó nyoma tékok és a trans la- tór ius á l ta lános k if e jezése i . Az egyensúly fe l té te le i .

A · wegv izsgá landó rnndszerre nézve már

e leve azoka t az fe lvé te leke t hozzuk be , hogy a mág-

nesek: m inden tek in te tben egyen lök , hogy. középpon t jaik egy -