1.1 Az R1, R2, R3 ellenállásokat az alábbi ábra alapján elsőként sorosan majd párhuzamosan kötjük. Adja meg mindkét esetben az eredő ellenállásra vonatkozó formulát!
3 2
1 cd
bc
ab U U I R I R I R
U + + = + +
ad = U
mivel az I áramerősség ugyanaz minden ellenállásra vonatkozóan. I-vel osztva:
3 2
1 R R
R + + I =
Uad
vagy Re=R1+R2+R3, ugyanis
I Uad
definíció szerint a kapcsolás Re eredő ellenállása.
A második esetben: A potenciálkülönbség mindhárom ellenálláson azonos, így
1 ab
R
=U I1 ,
2 ab
R
=U I2 ,
3 ab
R
=U I3
Mivel a főág áramerőssége a mellékágak összegeként kapható meg, így
3 ab 2 ab 1 ab
R U R U R
U + +
= + +
=I1 I2 I3 I
ezt elosztva Uab-vel.
3 2 1
ab R
1 R
1 R
1
UI = + +
, vagy
3 2 1
e R
1 R
1 R
1
R1 = + +
1.2 Határozza meg az eredő ellenállást az alábbi három párhuzamosan kapcsolt ellenállás esetén:
12
R1= , R2 =12 , R3 =6! Az eredő ellenállás
3 2 1
e R
1 R
1 R
1
R1 = + +
12
4 6
1 12
1 12
1
R1e = + + =
tehát
e = =3
4
R 12 .
1.3 Határozza meg az ábrán látható ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A és B pontokra nézve! R=50
A kört az alábbi módon átrajzolva könnyen számítható a bejelölt két eredő ellenállás értéke. Először a két felső párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredőjét számítjuk ki:
1 = 25 +
=
50 1 50
R2R 1 vagy
=25 +
=
50 50
50 R2R 50
Az alsó 3 ellenállás esetén:
6 , 1 16
1 = = =
+ +
= 3
50 50
3 50
1 50
1 50
R3R 1 vagy
16,6
75 1250 25
25 R
R = =
+
= +
=
50 50 R
R R
2R 2R 3R
És a végeredő:
22,7272
6 , 91 6 , 41 50
6 , 16 25
50 ) 6 , 16
25 = =
+ +
= +
50
REredő (
1.4 Határozza meg az ábrán látható ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A és B pontokra nézve!
Jól látható, hogy a két 5 -os ellenállás párhuzamosan van kötve. Illetve a 4 és a 6 -os ellenállások párhuzamos eredője is számítható:
=2,5 +
=
5 5
5 R55 5
6 =2,4 +
=
6 4 R46 4
Az R55 és az R46 sorosan van kötve és vele párhuzamosan van egy 10-os:
3,2886
9 , 14
49 10
4 , 2 5 , 2
10 ) 4 , 2 5 ,
2 = =
+ +
=( + REredő
1.5 Határozza meg az ábrán látható ellenállás-hálózat eredő ellenállását az A és B pontokra nézve!
A 10-os és a 40 -os párhuzamosan van kötve és az eredőjükkel sorba van a 14-os és ezekkel
párhuzamosan van a 1,5 -os és a 4,5 -os eredője.
18 4 72 5
, 4 5 , 1 40 4
10 40
) 5 , 4 5 , 1 )(
40 4 10
( 40
=
= +
+ + +
+ + +
= 10 10 R4,10,40,6
A 4 -os eredővel van sorosan kötve az 5 -os és velük párhuzamosan van a 18-os és ezekkel sorosan van egy 14-os.
4 ) 18 5
( + + =
= R
1.6 Valamely áramkör tápláló feszültsége 500V . Ha 25 -al megnöveljük a kör ellenállását, az áram 1A-el csökken. Mekkora az eredeti ellenállás és áramerősség?
Az alábbi két egyenlet írható fel a peremfeltételek alapján:
i det
Rere
V
= 500
I és a
25 R
V 500
i det
ere +
=
−1 I tehát:
I 25
V 500
V I 500
+
=
−1 vagy
V 500 ) I 25
V I 500
( −1)( + = 500 I 25
I 500 25
500+ − − = /•I
0 500 I 25 I
25 2− − = 0
20 I I2− − =
25 R
V 500 R
V 500
i det ere i
det
ere −1= +
25 R
R R 500
500 +
=
−
25 R
R R 500
500
( +
= +
− )(R 25)
0 R 500 R 25 R 12500 R
500 + − 2− − =
0 12500 R
25
R2− + =
−
0 12500 R
25
R2+ − =
A kapott egyenletre alkalmazva a másodfokú egyenlet megoldó képletét:
A 4 I
A 5 I
2 80 1 1 a
2
ac 4 b I b
2 1
2 2
, 1
−
=
=
+
=
−
= −
125 R
100 2 R
225 25
2
12500 4
25 25 a
2
ac 4 b R b
2 1
2 2
2 , 1
−
=
=
= −
= +
= −
−
= −
A kapott két megoldás közül csak a pozitív képzelhető el. Ez alapján számítható az eredeti ellenállás.
100 A
5 V
Reredeti =500 = 5A
100 V I = 500 =
1.7 Mekkora az eredő ellenállás az alábbi ábra szerinti kapcsolásban az A és a B pontok között?
Vegyük figyelembe, hogy a felső vezeték feszültsége végig megegyezik az A pont feszültségével.
A 60-os és a 40 -os párhuzamosan van
kapcsolva és az eredőjükkel sorba van a 16 -os és ezekkel párhuzamosan van a 60-os.
24 60
40 16 60
40 60
) 60 ( 40 16
60 40 60
R40,60,16,60 =
+ + +
+
+
=
A 24 -os eredővel van sorosan kötve az 6 -os és velük párhuzamosan van a 30 -os.
Ezek eredője mivel két egyforma ellenállás van párhuzamosan kötve 15 .
15
30 6
24
30 ) 6 24
( =
+ +
= +
Eredő
R
1.8 Mekkora az eredő ellenállás az alábbi ábra szerinti kapcsolásban az A és a B pontok között?
A 2-os és a 3 -os sorosan van kötve velük párhuzamosan van kapcsolva az 5 - os és ezekkel sorosan van az 1 -os.
1 3,5
5 3 2
5 )
3 + =
+ +
=(2 + R2,3,5,1
Ezen eredővel sorosan van kapcsolva a 4 -
os és 6 -os párhuzamos eredője. Ezzel az egésszel van mér párhuzamosan egy 7 -os.
2015 , 3 6 7
4 6 5 4
, 3
7 6 ) 4
6 5 4
, 3 (
= + +
+ + +
Eredő = R
1.9 Két párhuzamosan kapcsolt anódtelep adatai U1=110V és U2 =100V . A telepek belső ellenállásai R1 =100 és R2 =200. Számítsa ki az egyes telepek áramát és az Uk kapocsfeszültséget.
a.,) I3 =0A esetén b.,) I3 =100mA esetén a, üresjárás esetén:
I. U1−I1(R1+R2)−U2 =0 0 V 100 ) 300 ( I V
110 − 1 − =
10 ) 300 (
I1 = A 033 , 300 0 I1 = 10 =
A kapocsfeszültség üresjárás esetén: Uk =I1R2 +U2 =2000,033A+100V =106,6V
b, I3 =100mA terhelőáram esetén. A feladatot a Kirchhoff egyenletrendszer felírásával tudjuk formálisan megoldani a feladatot:
I. U1−I1R1−I2R2−U2 =0 II. I2R2 +U2 −0,1Rt =0
A. I1−I2−0,1=0
Az ismert értékeket behelyettesítve és rendezve a következőket kapjuk:
I. −100I1−200I2 =−110V +100V II. 200I2−0,1Rt =−100V
A. I1−I2 =0,1 I1=I2 +0,1 A második egyenlet alapján:
I. −100(I +0,1)−200I =−10
1.10 Mekkora áramot vesz fel a hálózatból egy U =440V és egy P=7kW -os egyenáramú motor, melynek a hatásfoka =84%?
=U I
P 15,909A
V 440 7000 U
Iideális = P = W =
De mivel van a készüléknek hatásfoka is ezért a végeredményt ez alapján számíthatjuk:
A 939 , 84 18
, 0
A 090909 , 15
I = Iideális = =
1.11 Számítsuk ki az R ellenállás pontos értékét volt-amperes ellenállás mérésnél az a., ábra alapján, ha a voltmérő által mért feszültség U =180V , és az ampermérő által mutatott áramerősség I =2A. A voltmérő ellenállása RV =2000 és az ampermérő ellenállása
01 ,
=0
RA .
a., b.,
Hány voltot jelez a voltmérő, a b., ábra szerinti kapcsolásban, ha az ampermérőn ismét A
=2
I -t állítunk be?
a., esetben ismert, hogy a voltmérőn mekkora feszültség esik és mekkora a belső ellenállása, így számítható a rajta folyó áram:
mA 90 A 09 , 2000 0
V 180 R
I U
V
F = = = =
Tehát így ismert a voltmérő felé elfolyó áram értéke amit levonva a beállított 2A-es értékből megkapjuk az ellenállásra jutó áramot. Mivel a keresett ellenállásra ugyanaz a feszültség jut mint ami a voltmérő mutat, így Ohm törvény alapján számítható az ellenállás értéke.
2408 , A 94 09 , 0 A 2
V 180 I
I R U
F
− =
− =
=
A feladat nem kérdezi, de könnyen kiszámítható a mérésre kapcsolt feszültség nagysága is:
Elsőként számítható az árammérőn eső feszültség: UA=RAI =0,012A=0,02V =20mV Ehhez hozzáadva a voltmérő feszültségét megkaphatjuk a kapocsfeszültséget:
V 2 , 180 V 180 V 02 , 0 U U
Uk = A+ = + =
b, esetben ismert az ampermérő belső ellenállásán és a terhelésen átfolyó áram. Ami feszültséget ejt a két elemen, amik összege a keresett mutatott feszültség.
V 50167 , 188 A 2 ) 01 , 0 2408 , 94 ( I ) R R (
Ub = + A = + =
Thevenin - tétel: A tetszőleges bonyolultságú hálózatot helyettesíthetjük egy ideális feszgenerátorral, melynek forrásfeszültsége az eredeti kétpólus üresjárási feszültségével egyenlő, és egy soros belső ellenállással, melynek értéke a kétpólus kapcsai közt mérhető ellenállással egyezik meg, ha a feszültséggenerátorokat rövidzárnak, az áramgenerátorokat szakadásnak vesszük.
2.1 Helyettesítsük az ábrán adott hálózat A-B pontjai között lévő összetett kétpólust egy olyan legegyszerűbb kétpólussal, amely az Rt külső terhelés szempontjából egyenértékű az összetett kétpólussal!
Az Rt ellenállás áramát a Thevenin tételével számolva:
Az üresjárási feszültség az A-B pontok között (a hálózat legkülső ágaiban összegezve a részfeszültségeket):
A felíráshoz szükség van a 20 ellenállás áramára. Ezt hurok törvény segítségével
határozhatjuk meg: 2A
20 20
V
I 80 =
= +
V 40 20
A 2 R I
UAB 3
0 = = =
A hálózat belső ellenállása az A-B pontok között:
) 40
20 20
20 30 20
(
RAB =
+ +
=
Az Rt terhelő ellenállás árama Thevenin képletével:
t AB
AB
t R R
I U 0
= +
2.2 Határozza meg az ábrán látható kapcsolás A-B ágában folyó áramot a Thevenin tétel segítségével!
) 5 j 5 ( Z
) 10 j 10 ( Z
) 10 j 10 ( Z
) 20 j 10 ( Z
) 10 j 20 ( Z
V 110 U
5 4 3 2 1
−
= +
= +
=
−
= +
=
=
Az áramkörben az AB pontok között üresjárást biztosítva számítható az RAB belső ellenállás.
=
−
+ +
=
=
−
+ +
+
+
+
= +
= +
=
10 ) 5 j 5 ) ( 20 j 20 (
j 200
) 5 j 5 ) ( 10 j 10 ( ) 10 j 10 (
) 10 j 10 ( ) 10 j 10 (
Z ) Z Z (
ZAB 3 4 5
Ezen ábra alapján látható, hogy egy zárt hurokban a 110V-os feszültség forrás két azonos impedanciával terhelődik. Így a keresett Thevenin feszültség a teljes feszültség fele.
A kérdéses áram a Thevenin helyettesítő kép alapján számítható:
A 45 94 , 1 A ) 375 , 1 j 375 , 1 ) ( 20 j 20 (
V 55
10 ) 20 j 10 (
V 55 Z
Z 2 U I
AB 2 AB
= +
=
= −
= +
= −
= +
2.3 Helyettesítsük az ábrán adott hálózat A-B pontjai között lévő összetett kétpólust egy olyan legegyszerűbb kétpólussal, amely az Rt külső terhelés szempontjából egyenértékű az összetett kétpólussal (Thevenin és Norton tétele alapján)!
Az Rt ellenállás áramát a Thevenin tételével számolva:
Az üresjárási feszültség az A-B pontok között (a hálózat legkülső ágaiban összegezve a részfeszültségeket):
A felíráshoz szükség van a 2 ellenállás áramára. Ezt hurok törvény segítségével határozhatjuk meg:
3 2
V 5 V I 3 0 I 2 I 3 V 3 V
5 +
= −
=
+
+
−
V 2 , 1 V 5 ) 2
2 3 (
V 5 V V 3 3 V 5 2 I V 3
UAB0 + =+
+ + −
−
= +
+
−
=
A hálózat belső ellenállása az A-B pontok között:
) (5 1,2 ) 6,2 2
3 2 5 3
(
RAB = + =
+ +
=
Az Rt terhelő ellenállás árama Thevenin képletével:
t AB
AB
t R R
I U 0
= +
Norton - tétel: A tetszőleges bonyolultságú hálózatot helyettesíthetjük egy ideális áramgenerátorral, mely forrásárama egyenlő a kétpólus rövidzárási áramával, és egy párhuzamosan kapcsolódó vezetéssel, mely értéke megegyezik a kétpólus kapcsai közt mérhető vezetéssel, ha a feszültséggenerátorokat rövidzárnak, az áramgenerátorokat szakadásnak vesszük.
Az Rt ellenállás feszültségét Norton tételével számolva:
A rövidzárási áram az A-B pontok között hurok áramok módszerével számolva:
V 2 ) V 3 V 5 ( ) 3 ( I ) 3 2 (
I1 + + II − =− − =− 0
) 3 5 ( I ) 3 (
I1 − + II + = 31 9 8 40
3 3
D 5 = − =
−
= − , 6
0 3
2
DII 5 =
−
= − ,
Z II
II 0,1936A I
31 6 D
I = D = = =
A hálózat belső admittanciája az A-B pontok között:
S 1613 , 2 0 , 6
1 R
Y 1
AB
AB = = =
Az Y terhelési admittancia feszültsége Norton
Szuperpozíció tétele: Ha egy hálózat több generátort tartalmaz, akkor mindegyik generátor a hálózat bármely ágában a többitől függetlenül hozza létre a maga részáramát. Minden generátor hatását külön-külön vizsgáljuk, majd ezeket előjelesen összegezzük. A részáramok számításánál a többi generátort belső ellenállásával helyettesítjük (áramgenerátorokat megszakítjuk, feszültség generátorokat rövidrezárjuk).
2.4 A szuperpozíció tételének felhasználásával határozza meg az ábrán bejelölt I2 áramot, ha
=4
R1 , R2 =8, R3 =10!
a.,) Csak a feszültség generátor hatását számolva:
10 12,6 4
8 4 R 8
R R
Re 1 2 3 + =
+
= +
=
A 789 , 6 0 , 12
V 10 R
I U
e
e = = =
A 2631 , 3 0
A 789 , 0 R R I R I
2 1
1 e '
2 = =
= +
b.,) Csak az áram generátor hatását számolva:
A 3157 , 1
14 8 40
14 40 A R 5 R R
R I R
I
2 3 1
3 '' 1
2
=
= + + =
=
Az eredmény a két részáram előjeles összegeként adódik:
A 5788 , 1 A 3157 , 1 A 2631 , 0 I I
I2 = 2' + 2'' = + =
2.5 Határozzuk meg egy az ábrán felrajzolt hálózat A-B ágában folyó áramot és az AB pontok között fellépő feszültséget!
A Thevenin tétel szerint kiszámítjuk az AB pont felöl az ellenállás értékét és az üresjárási
feszültség nagyságát:
0,6 1
2 1
RAB 2 =
+
=
Hurok egyenlet: UAB I0 2 12V
0 = +
Az I0 áram meghatározására a rajzon bejelölt körüljárási iránnyal az alábbi egyenlet írható fel:
0 V 10 V 12 ) 1 2 (
I0 + + − = A 6 , 3 0
V
I0 = −2 =−
Vissza helyettesítve az előbb felírt hurok egyenletbe: U 0,6A 2 12V 10,6V
AB0 =− + =
A helyettesítő kép alapján kapjuk a keresett áram és feszültség értékeket:
A 88 , 6 1
, 5
V 6 , 10 5
R I U
AB AB AB
0 = =
= +
V 41 , 9 6 , 0 88 , 1 V 6 , 10 R
I U
UAB AB AB AB
0 − = − =
=
2.6 Határozza meg az ábrán bejelölt áram nagyságát!
A szuperpozíció tételével célszerű dolgozni ilyen áramkör esetén. Mivel a rövidrezárt feszültség generátor söntöli a vele
párhuzamos ellenállást is, így azon sem esik feszültség:
V
' =10 = megegyező irányú
2.7 Határozza meg az ábrán látható hídkapcsolás Rt =25 -os belső ellenállású galvanométerének az áramát Thevenin tételével!
A Thevenin tétel szerint ki kell számolni az AB pontokra a kapcsolás impedanciáját, és az üresjárási feszültséget az alábbiak szerint:
16,6
60 40 20 30
20
RAB =10 + =
A 2V feszültség mind a két ágban 1:2 arányban osztódik el a két ellenállás között.
V 3 , 60 1 V 40 2
U40 = =
és 0,6V 30
V 10 2
U10 = =
Tehát az eredő:
V 6 , 0 V 3 , 1 V 6 , 0 U U
UAB 10 40
0
− =−
=
−
=
És végül a kérdéses áram:
mA 81 , 25 14
20 V 6 , 0 R
R I U
t AB
AB AB
0 =−
+
= −
= +
3.1 Soros R-L-C kört táplálunk U =600V feszültséggel f =50Hz-es szinuszos
feszültségforrásról. R=1,5k, L=2H, C=2,5F. Határozza meg a forrásból felvett áramot és a teljesítménytényezőt! Rajzoljon minőségileg helyes fazorábrát. Számítsa ki az áramkör rezonancia frekvenciáját és a rezonanciában folyó áramot.
A körfrekvencia értéke:
s 15rad , 314 f 2 =
=
Az induktív reaktancia: 2H 628,3
s 15rad , 314 L
XL = = =
A kapacitív reaktancia:
2,5 10 F 1273,277 s
15rad , 314
1 C
X 1
6
C =
=
=
−
Mivel soros körről van szó az egyes tagokat csak össze kell adni.
−
=
=
−
=
−
+
=
− +
=
26 , 23 78 , 1632
) 977 , 644 j 1500 ( 277 , 1273 j 3 , 628 j 1500 jX
jX R
Ze L C
A 26 , 23 367 , 0 A ) 1451 , 0 j 33758 , 0 26 (
, 23 78 , 1632
V 600 )
977 , 644 j 1500 (
V 600 Z
I U
e
e = + =
−
=
= −
=
Mivel a feszültséghez viszonyítunk (tehát az 0º-os), és a teljesítménytényező a kapocsfeszültség és a terhelő áram közti szög értékeként fogjuk megkapni.
919 , 0 ) 26 , 23
cos( =
A fazorábra pontos megrajzolásához szükség van az egyes feszültségesések értékére.
V 26 , 23 2 , 551 V ) 73 , 217 j 377 , 506 ( 1500 A ) 1451 , 0 j 3376 , 0 ( R I
UR = e = + = + =
V 26 , 113 6 , 230 V ) 1 , 212 j 2 , 91 ( 3 , 628 j A ) 1451 , 0 j 3376 , 0 ( jX I
UL = e L = + = − + =
V 74 , 66 292 , 467
) 73 , 498 j 39 , 72 ( ) 277 , 1273 j ( A ) 1451 , 0 j 3376 , 0 ( ) jX ( I
UC e C
−
=
=
−
=
−
+
=
−
=
A kör akkor rezonál, ha a kapacitás és az induktivitás feszültsége egyforma abszolút értékű (csak ellentétes értelmű). Ebben az esetben a kör csak tisztán ohmos jellegű lesz. Ez alapján számítható a keresett frekvencia:
C
L X
X =
C f 2 L 1 f
2 =
Hz 176 , F 71 10 5 , 2 H 2 4
1 C
L 4
f 21 2 6 =
=
= −
A kör árama csak ohmos rezonancia esetén:
A 4 , 1500 0
V 600 Z
I U
e
e = = =
3.2 Mekkora U feszültséget kell az alábbi hálózatra kapcsolni, hogy az I1 =0,2A legyen.
50 Z0 =
) 150 j 100 ( Z1 = +
125 Z2 =
Az egyes ág árama áramosztóval számítható:
A 2 , Z 0 Z I Z I
2 1
2 0
1 =
= +
A 7 , 33 43 , 0 A ) 24 , 0 j 36 , 0 125 (
) 150 j 125 100 ( 2 , 0 Z
) Z Z ( 2 , I 0
1 2 1
0 = + = + + = + =
Ha kiszámítjuk a kör eredő impedanciáját megszorozva a kiszámított árammal megkapjuk a keresett feszültséget.
) 051 , 32 j 923 , 76 22500 (
50625
2812500 4218750
j 1875000 j
2812500
150 j 225
150 j 225 150
j 225
18750 j 12500 125
150 j 100
125 ) 150 j 100 ( Z Z
Z Z Z
2 1
2 1 12
+ + =
+ +
= −
− =
− +
= + + +
= + +
=
(76,923 j32,051) (126,923 j32,051) 50
Ze = + + = +
V 55 , 47 9 , 56 V ) 999 , 41 j 4 , 38 ( 2922 , 7 4615 , 30 j 5383 , 11 j 6922 , 45
) 051 , 32 j 923 , 126 ( A ) 24 , 0 j 36 , 0 ( Z I
U 0 e
= +
=
− +
+
=
= +
+
=
=
A vektorábra megrajzolásához az alábbi vektorokra van még szükség:
U U U0 + 1 =
V 7 , 33 5 , 21 Z I
U0 = 0 0 = V 3 , 56 36 Z I U
U1 = 2 = 1 1=
3.3 Az alábbi három párhuzamos ágat tartalmazó áramkörre a következő feszültséget kapcsoljuk:
V ) t 314 sin(
325 ) t (
u = . A kapcsolásban szereplő elemek a következők: R1 =23,
13
R2 = , L=0,1H , C=90F. Határozza meg, az áramkör i1(t), i2(t), i3(t), i(t) ágáramainak időfüggvényeit!
A feszültség időfüggvényéből látható a körfrekvencia és a feszültség effektív értéke.
s 314 rad f 2 =
=
, tehát a frekvencia: 50Hz
f =2 =
V 41 230 , 1 325 2 U U
U = eff = = =
0,1H 31,4 s
314rad L
XL = = =
90 10 F 35,38 s
314rad 1 C
X 1
6
C =
=
=
−
Az áramok meghatározásához az ohm törvényt használhatjuk.
A 0 23 10
V 0 230 R
I U
1
1 = = =
A A
j j j j
V jX
R I U
L
−
=
−
− =
−
+
=
= + (2,58 6,25) 6,76 75
) 4 , 31 13 (
) 4 , 31 13 ( ) 4 , 31 13 (
0 230
2 2
A A
j j j j
V jX
I U
C
=
=
−
=
= − 6,5 6,5 90
38 , 35
38 , 35 38
, 35
0 230
3
A A
A A
I I I
Ie= 1+ 2 + 3=100 +6,76−75 +6,590 =13,60,81
3.4 Számítsa ki az eredő impedanciát, a kapcsolás különböző pontjaiból nézve:
a.,) A-C pontok felől!
b.,) B-C pontok felől!
c.,) D-B pontok felől!
a.,) esetben három párhuzamos ágat kapunk aminek az eredője a következő lesz:
= +
+
= +
+
= + 4
5 10 10
5 20 R
R R
) R ( ) R R Z (
2 1 1
2 1 1 10 , 10 , 5
=
+
=
+ =
= +
−
−
= +
−
+
−
=
− +
−
=
6 , 38 1234 , 3 ) 95 , 1 j 439 , 2 (
25 16
80 j 100 5 j 4
5 j 4 5 j 4
20 j 15
j 20 j 4
) 15 j 20 j ( 4 jX jX Z
) jX jX ( Z Z
C L 10 , 10 , 5
C L 10 , 10 , 5 AC
b.,) esetben a két R1-es ellenállás sorosan van kötve és vele párhuzamosan van az R2-es ellenállás, és velük sorosan van az XL induktivitás. Ezen eredővel van párhuzamosan kötve a kapacitás
−
=
−
=
+ =
+
= −
+
+
−
+
= − + +
+
+ +
−
+ + +
+
−
=
6 , 62 77 , 47 ) 44 , 42 j 95 , 21 (
5 j 4
) 300 60 j ( 20
j 4 15 j
) 20 25 j
5 (20 15 j R jX
R R
R ) R R jX (
) R jX
R R
R ) R R (( jX Z
L 2
1 1
2 1 1 C
L 2
1 1
2 1 1 C BC
c.,) esetben az eredő számításhoz delta-csillag átalakítást használhatunk:
25 4 100 R
R R
R Z R
2 1 1
1 1
1 = =
+ +
= ,
25 2 50 R R R
R Z R
2 1 1
2 1
2 = =
+ +
=
−
=
−
=
=
− + + +
−
= +
− + + +
−
= +
46 19 , 50 ) 097 , 36 j 87 , 34 (
15 4 j 2 20 j 2
) 15 j 2 ( ) 20 j 2 Z ( jX
Z jX Z
) jX Z ( ) jX Z
Z ( 1
C 2 L 2
C 2 L 2 DB
3.5 Az alábbi áramkör adatai a következők: U =200V, f =50Hz, L=0,0636H , R=15 , F
159 C= .
a.,) Mekkora az eredő áram és a wattmérőre jutó feszültség?
b.,) Mennyit mutat az ábrán berajzolt wattmérő?
c.,) Rajzoljon léptékhelyes vektorábrát!
Elsőként a két ág admittanciáinak az értékét kell meghatározni. Majd mivel mindkét ágra
ugyan az a feszültség jut számíthatóak az ágáramok.
s 15rad , 314 f 2 =
=
20 98
, 19
H 0636 , s 0 15rad , 314 L XL
=
=
=
=
159 10 F 20 s
15rad , 314
1 C
X 1
6
C =
=
=
−
A 90 10 A 10 20 j
j V 0 200 jX
I U
L
L = = = − = −
A 14 , 53 8 A ) 4 , 6 j 8 , 4 (
) 20 j 15 (
V 0 200 jX
R I U
C RC
= +
=
− =
=
= −
A 86 , 36 6 6 , 3 j 8 , 4 A 1 , 53 8 A 90 10 I
I
Ie= L+ RC = − + = − = − V
14 , 53 120 15
A 1 , 53 8 R I
UR = RC = =
A teljesítmény, mivel nem vektor mennyiség ezért a benne szereplő áram és feszültség értékeket is skalárként (a vektor hosszát) kell behelyettesítenünk. A cos függvénybe beírandó szög a teljesítménymérőre kapcsolt áram és feszültség közti szög
W 0 )) 86 , 36 ( 14 , 53 cos(
A 6 V 200 cos
I U
P= e UI = − − =
3.6 Egy váltakozó áramú generátor, cos()=0,8 teljesítménytényező mellett P=100kW hatásos teljesítményt szolgáltat. Mekkora a látszólagos és meddő teljesítmény?
=
= 0,8 S ) P
cos( 125kVA
8 , 0
W 100000 )
cos(
S= P = =
kVA 8 125
, 0
W 100000 )
cos(
S = P = =
Q S P 125 100 75kVAr
2 2
2
2− = − =
=
3.7 Határozza mag a képen látható hálózatban a C4 kondenzátor áramának és feszültségének időfüggvényét!
F 1060 C
3 R
2 R
mH 7 , 12 L
V ) 4 t 314 sin(
1 , 14 u
A ) t 314 sin(
07 , 7 i
4 3 2 1 0 0
=
=
=
=
+
=
=
Kiszámítva az induktív és kapacitív reaktanciák értékeit:
L 314 12,7 10 H 4 XL = = −3 =
314 1060 10 F 3 1
C
XC 1 6 =
=
= −
A baloldali generátort átalakítva feszültség generátorrá az alábbiakat kapjuk:
V 15 3
A 5 R I
U1 = 0 3 = =
Az eredeti áram iránnyal ellentétes a fesz. iránya!
Szuperpozíció tételét alkalmazva: Az átszámítás után kapott generátort működtetve másikat (ami most az összes többi) rövidrezárjuk.
A 35 8 , 2 ) 4 j 3 ) (
3 j 2 (
) 3 j ( 2
V
I0' 15 = −
+
+
−
−
=
A 25 , 21 55 , ) 1 3 j 2 ( I 2
I'3 0' =
−
=
A jobboldali generátort működtetve:
A 68 , 84 637 , 68 1
. 39 1 , 6
V 45 10 9
, 3 j 2 7 , 2
V 45 10 1 2
3
) 9 27 j 12 j 36 (
V 45 10
) 2 j 3 (
) j 3 ( ) j 3 (
) 12 9 j (
V 45 10 3 2
j ) 4 j 3 (
) 3 j ( ) 4 j 3 (
V 45 I0'' 10
=
−
=
− +
=
+ +
−
−
−
=
=
− +
−
+
+
−
=
+
−
+
−
+
=
A 38 , 119 58 , ) 2 3 j 4 j 3 (
) 4 j 3 I (
I3'' 0'' =
− +
+
=
A két részeredményt előjelhelyesen összeadva:
A 4 , 86 82 , 2
A 38 , 119 58 , 2 A 25 , 21 55 , 1 I I I3 '3 3''
=
=
+
= +
=
A ) 4 , 86 t 314 sin(
2 82 , 2
i3 = +
V 6 , 3 46 , 8 ) 3 j ( A 4 , 86 82 , 2 Z I
U3 = 3 C = − = − V
) 6 , 3 t 314 sin(
2 46 , 8
u3 = −
3.8 Az ábrán látható kapcsolásra, ug(t)=10 2sin(10t)V feszültséget kapcsolunk. Határozza meg, az i1(t), i2(t), u4(t) értékeinek nagyságát!
= +
=2 j1 2,236 26,6 Z1
−
=
−
=1 j1 1,414 45 Z2
4 Z3 =
=
=
−
= j5 j1 j4 4 90 Z4
= +
=
− + +
=
−
+
+
=
=
− +
+ + =
+
−
+ + −
+ + =
+ + +
=
3 , 5 19 , 3 293 , 0 j 18 , 3 707 , 0 j 18 , 1 1 j 2 S 31 372 , 1 1 j 2
31 831 , 5
45 657 , 5 45 414 , 1 1 j 4 2
j 4 1 j 1
) 4 j 4 )(
1 j 1 1 ( j Z 2
Z Z
) Z Z ( Z Z Z
4 3 2
4 3 2 1 T
A 3 , 5 13 , 3 3
, 5 19 , 3
V 0 10 Z
I U
T g
1 = −
=
=
A ) 3 , 5 t 10 sin(
2 13 , 3 ) t (
i1 = −
Az I1 áramból az I2 áram, áramosztóval számítható:
A 7 , 8 04 , 31 3 831 , 5
45 657 , A 5 3 , 5 13 , ) 3 3 j 5 (
) 4 j 4 A ( 3 , 5 13 , Z 3 Z Z
Z I Z
I
4 3 2
4 3 1
2 =
−
+ =
+
−
+ =
+
+
=
A ) 7 , 8 t 10 sin(
2 04 , 3 ) t (
i2 = +
A 3 , 81 76 , 31 0 831 , 5
45 414 , A 1 3 , 5 13 , ) 3 3 j 5 (
) 1 j 1 A ( 3 , 5 13 , Z 3 Z Z I Z I
4 3 2
2 1
3 = −
−
−
+ =
−
−
+ =
+
=
Az U4 feszültség az Ohm törvény alapján számítható:
V 7 , 8 04 , 3 90 4 A 3 , 81 76 , 0 Z I
U4 = 3 4 = − = V
) 7 , 8 t 10 sin(
2 04 , 3 ) t (
u4 = +
