Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Szilárd testek rugalmas alakváltozásai

Kontin mok mechanikája Kontin mok mechanikája Kontinuumok mechanikája Kontinuumok mechanikája

Szabó Gábor egyetemi tanár Szabó Gábor egyetemi tanár Szabó Gábor egyetemi tanár Szabó Gábor egyetemi tanár

SZTE Optikai Tanszék

SZTE Optikai Tanszék

Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Szilárd testek rugalmas alakváltozásai

Nyújtás

Nyújtásy jy j ^l

A F l E

l = 1

∆

Hooke törvény, E Young modulus Hooke törvény, E Young modulus

A E

y, g

y, g

= F

σ

σ A

∆ l

E l

l ₌ σ

∆

Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Szilárd testek rugalmas alakváltozásai

l l d

d = − ∆

∆ µ

µµ Poisson szám (0,25 Poisson szám (0,25 –– 0,5)0,5)

l d

µµ ( ,( , , ), )

Szilárd testek rugalmas alakváltozásai Szilárd testek rugalmas alakváltozásai

Nyírás Nyírásyy

tg γ = 1 F = σ G A

tg γ G

G nyírási modulus,

G nyírási modulus, σσ nyírófeszültségnyírófeszültség

Folyadékok és gázok modellje Folyadékok és gázok modellje

Nyugvó folyadékban vagy gázban nyírófeszültségek nincsenek Nyugvó folyadékban vagy gázban nyírófeszültségek nincsenek Következmény: nyugvó folyadék szabad felszíne merőleges a rá Következmény: nyugvó folyadék szabad felszíne merőleges a rá ható erők eredőjére.

ható erők eredőjére.

Ideális folyadék: összenyomhatatlan és súrlódásmentes Ideális folyadék: összenyomhatatlan és súrlódásmentes

Pascal törvény Pascal törvény

Tekintsünk súlytalan, nyugvó folyadékot Tekintsünk súlytalan, nyugvó folyadékotyy , y g, y g yy

A ők k úl b k ll

A ők k úl b k ll

z

y

Az erőknek egyensúlyban kell Az erőknek egyensúlyban kell lenniük.

lenniük. ^{1 2}

∆z

∆x x

a

∆y 3

∆z

∆ α α

α ^{p z xtg} y x

p y

z

p ∆ = ∆ ∆

∆

=

∆

∆ _{2 2}

1 )sin

( cos

tgα=∆z/∆x

∆y

∆

∆

∆

∆ x

x y z p y

z

p₁∆ ∆ = ₂∆ ∆ ∆ _⇒

p

= p

Pascal törvény Pascal törvény

∆ α

α ^cos

2 cos

3

z x p

z x

p ∆ ∆ = ∆ ∆ ⇒

p

= p

Súlytalan, nyugvó folyadékban a nyomás mindenütt Súlytalan, nyugvó folyadékban a nyomás mindenütt

kk fü tl ül f lül t l i á tá ától kk fü tl ül f lül t l i á tá ától ugyanakkora, függetlenül a felületelem iránytásától.

ugyanakkora, függetlenül a felületelem iránytásától.

F₁

Hidraulikus prés Hidraulikus prés

A₁ A₂

Hidraulikus prés Hidraulikus prés

1 1 2

2

A

F A F =

F₂

Hidrosztatikai nyomás Hidrosztatikai nyomás

Tekintsünk a nyugvó Tekintsünk a nyugvó y gy g

folyadékban egy henger alakú, folyadékban egy henger alakú, q keresztmetszetű részt.

q keresztmetszetű részt.

A henger súlyával az alaplapnál A henger súlyával az alaplapnál uralkodó nyomásból származó erő

uralkodó nyomásból származó erő yy ^h kell, hogy egyensúlyt tartson.

kell, hogy egyensúlyt tartson.

g q

qh g

V mg

F_s = =

ρ

ρ g

qh pq

F

= pq = q ρ ρ g gh p = ρ

⇒

hidrosztatikai nyomás hidrosztatikai nyomás

Hidrosztatikai paradoxon Hidrosztatikai paradoxon

A B C

h h

q

Archimedes törvénye Archimedes törvénye

A hengerre a fedő és az A hengerre a fedő és az

alaplapnál uralkodó nyomásból alaplapnál uralkodó nyomásból alaplapnál uralkodó nyomásból alaplapnál uralkodó nyomásból származó erők különbsége hat származó erők különbsége hat azaz:

azaz:

q

l

azaz:

azaz:

gq h

l

F

= ( + ) ρ

h

gq l

F_f =

ρ

l h

l F

F

F F F ( l h ) gq l gq F

−

=

= ( + ) ρ − ρ

g V F

V hq

gq h

F_e =

ρ

ρ

Archimedes törvénye

Archimedes törvénye

Archimedes törvénye

Archimedes törvénye

Gázok sztatikája, légnyomás Gázok sztatikája, légnyomás

Torricelli kísérlet Torricelli kísérlet

Magdeburgi féltekék Magdeburgi féltekék

Nyomásmérők Nyomásmérők

Torricelli cső Torricelli cső

Bourdon cső Bourdon cső

Nyomásmérők Nyomásmérők

Elektromos Elektromos

Változtatható ellenállás

- ^s +

Gázok nyomása és térfogata közötti Gázok nyomása és térfogata közötti

összefüggés összefüggés összefüggés összefüggés

Boyle

Boyle--Mariotte törvényMariotte törvény

Állandó hőmérsékleten Állandó hőmérsékleten Állandó hőmérsékleten Állandó hőmérsékleten tartott, állandó tömegű tartott, állandó tömegű gáz nyomásának és tér gáz nyomásának és tér-- fogatának szorzata

fogatának szorzata állandó.

állandó.

Barometrikus magasságképlet Barometrikus magasságképlet

Osszuk fel a légoszlopot elegendően vékony (

Osszuk fel a légoszlopot elegendően vékony (∆∆h) rétegekre úgy, h) rétegekre úgy, hogy egy ilyen rétegen belül a sűrűség már állandónak legyen hogy egy ilyen rétegen belül a sűrűség már állandónak legyen hogy egy ilyen rétegen belül a sűrűség már állandónak legyen hogy egy ilyen rétegen belül a sűrűség már állandónak legyen tekinthető. Ekkor a nyomásváltozásra írhatjuk:

tekinthető. Ekkor a nyomásváltozásra írhatjuk:

∆ h

∆

O k át

O k át ∆∆hh l é t tl é t t k 0k 0 hh EkkEkk lábbilábbi

h g p = − ∆

∆ ρ

Osszunk át

Osszunk át ∆∆hh--val és tartassuk 0val és tartassuk 0--hoz. Ekkor az alábbi, hoz. Ekkor az alábbi, egyszerű differenciálegyenlethez jutunk.

egyszerű differenciálegyenlethez jutunk.

g h p

p ( )

d

d = −

ρ

Az egyenlet megoldásához ismerni kellene a sűrűség Az egyenlet megoldásához ismerni kellene a sűrűség nyomásfüggését. Ezt a Boyle

nyomásfüggését. Ezt a Boyle--Mariotte törvényből kaphatjuk meg.yy gggg yy Mariotte törvényből kaphatjuk meg.yy pp jj gg

Barometrikus magasságképlet Barometrikus magasságképlet

Helyettesítsük be a B

Helyettesítsük be a B--M törvénybe a térfogatot a sűrűség M törvénybe a térfogatot a sűrűség definíciójából (V=m/

definíciójából (V=m/ρρ).).

m C p

Mivel m állandó ezért:

Mivel m állandó ezért:

C p =

ρ

Mivel m állandó ezért:

Mivel m állandó ezért:

C' p == C ρ

Tegyük fel, hogy a kiindulási szinten (h=0) a nyomás p

Tegyük fel, hogy a kiindulási szinten (h=0) a nyomás p₀₀, a sűrűség , a sűrűség ρρ₀₀. Ekkor:. Ekkor:

ρρ₀₀

Barometrikus magasságképlet Barometrikus magasságképlet

p p

=

0 ⇒

ρ = ρ

p

Helyettesítsük ezt be a korábbi diff. Egyenletbe:

Helyettesítsük ezt be a korábbi diff. Egyenletbe:

ρ

ρ

p

e ye es sü e be o bb d gye e be e ye es sü e be o bb d gye e be

g h h p

p ( )

d

d _{= −} ρ

Ezek szerint megoldásként olyan függvényt keresünk, Ezek szerint megoldásként olyan függvényt keresünk,

g p p

h ( )

d

Ezek szerint megoldásként olyan függvényt keresünk, Ezek szerint megoldásként olyan függvényt keresünk,

amelynek deriváltja, önmagának negatív konstansszorosa.

amelynek deriváltja, önmagának negatív konstansszorosa.

Ilyenek a negatív kitevőjű exponenciális függvények. Keressük Ilyenek a negatív kitevőjű exponenciális függvények. Keressük tehát a megoldást a következő alakban:

tehát a megoldást a következő alakban:

h

c

h

p ( h ) c e

p ( ) =

e

Barometrikus magasságképlet Barometrikus magasságképlet

A c

A c₁₁ és cés c₂₂ konstansokat a diff. egyenletbe való behelyettesítéssel konstansokat a diff. egyenletbe való behelyettesítéssel határozhatjuk meg.

határozhatjuk meg.

h c h

c ^h

ρ

ρ

c gc

e p c

c ² ₁e ²

0 1 0

2

−

− = −

−

ρ

p g c

0 0 2

= ρ

⇒ h=0 esetén, a nyomásnak p

h=0 esetén, a nyomásnak p₀₀--nak kell lennie, ezért cnak kell lennie, ezért c₁₁=p=p₀₀. Ezzel a . Ezzel a keresett megoldás:

keresett megoldás:

p gh

p

p

0

0

e

−ρ

=

Ezt nevezzük barometrikus magasságképletnek.

Ezt nevezzük barometrikus magasságképletnek.

Molekuláris jelenségek Molekuláris jelenségek

Kísérlet Kísérlet

Molekuláris jelenségek Molekuláris jelenségek

Kísérlet Kísérlet

ϑ

Illeszkedési szög Illeszkedési szög

ϑ

Molekuláris jelenségek Molekuláris jelenségek

∆d

Felületi feszültség Felületi feszültség

l F_f

l F

= 2 σ

A végzett munka A végzett munka

d l

W = ∆

∆ 2 σ

Vegyük észre, hogy 2l

Vegyük észre, hogy 2l∆∆d éppen a d éppen a ∆∆A felület növekedés, tehát:A felület növekedés, tehát:

∆W = σ

∆

∆

A

W

Görbületi nyomás Görbületi nyomás

Kísérlet Kísérlet

Növeljük meg az R sugarú gömb sugarát

Növeljük meg az R sugarú gömb sugarát ∆∆RR el Írjuk fel ael Írjuk fel a Növeljük meg az R sugarú gömb sugarát

Növeljük meg az R sugarú gömb sugarát ∆∆RR--el. Írjuk fel a el. Írjuk fel a felületi feszültség ellenében végzett munkát.

felületi feszültség ellenében végzett munkát.

σ π

f

16 R R

W = ∆

∆

Görbületi nyomás Görbületi nyomás

Másfelől a gömb belsejében uralkodó nyomás a következő Másfelől a gömb belsejében uralkodó nyomás a következő Másfelől a gömb belsejében uralkodó nyomás a következő Másfelől a gömb belsejében uralkodó nyomás a következő nagyságú munkát végzi:

nagyságú munkát végzi:

R p R

W

= ∆

∆ 4

π

A két munkának nyilván egyenlőnek kell lennie, azaz:

A két munkának nyilván egyenlőnek kell lennie, azaz:

σ

π 16

π

4 R

π p ∆ R 16 R ∆ R π σ

4 R p ∆ R = R ∆ R

Ebből a görbületi nyomás:

Ebből a görbületi nyomás:

Ebből a görbületi nyomás:

Ebből a görbületi nyomás:

p = 4 σ

p R

Kapillaritás Kapillaritás

Tekintsünk egy r sugarú csövet Tekintsünk egy r sugarú csövet

R r

Tekintsünk egy r sugarú csövet, Tekintsünk egy r sugarú csövet, benne egy

benne egy θθ illeszkedési szögű illeszkedési szögű

folyadékkal. A kialakuló R görbületű folyadékkal. A kialakuló R görbületű

ϑ

h

y g

y g

felület p görbületi nyomást hoz létre, felület p görbületi nyomást hoz létre, amellyel az alatta levő folyadékoszlop amellyel az alatta levő folyadékoszlop

úl úl

tart egyensúlyt, azaz:

tart egyensúlyt, azaz:

ρ gh ϑ

σ cos ₌ 2

Ebből folyadékoszlop magassága (kapilláris emelkedés):

Ebből folyadékoszlop magassága (kapilláris emelkedés):

r = ρ gh

Ebből folyadékoszlop magassága (kapilláris emelkedés):

Ebből folyadékoszlop magassága (kapilláris emelkedés):

h = 2 σ cos ϑ

g h r

= ρ

Folyadékok áramlása Folyadékok áramlása

Alapfogalmak: sebességtér, áramvonal, áramlási cső.

Alapfogalmak: sebességtér, áramvonal, áramlási cső.

D

Kontinuitási egyenlet.

Kontinuitási egyenlet.

A₂,ρ₂

A tömegmegmaradás miatt:

A tömegmegmaradás miatt:

B

C A_1,,ρ₁

2 2 2 1

1

1

v ρ A v ρ

A =

g g

g g

A

Ha a folyadék összenyomhatatlan (

Ha a folyadék összenyomhatatlan (ρρ=áll) akkor=áll) akkor Ha a folyadék összenyomhatatlan (

Ha a folyadék összenyomhatatlan (ρρ=áll), akkor=áll), akkor

áll

Av =

Bernoulli egyenlet Bernoulli egyenlet

Tekintsünk egy vékony csövet, amelyben ideális folyadék Tekintsünk egy vékony csövet, amelyben ideális folyadék áramlik

áramlik áramlik.

áramlik.

A csőben levő folyadékra A csőben levő folyadékra hat a cső végein levő

hat a cső végein levő

á ból á ó ő

á ból á ó ő

α

nyomásból származó erő, nyomásból származó erő, valamint saját súlyának valamint saját súlyának lejtő irányú komponense.

lejtő irányú komponense.

lejtő irányú komponense.

lejtő irányú komponense.

h q h

p q

p

F

=

−

L h g h

V mg

F

∆

= −

= sin α ρ

Ezekkel fel tudjuk írni a csőben levő folyadék mozgásegyenletét:

Ezekkel fel tudjuk írni a csőben levő folyadék mozgásegyenletét:

Bernoulli egyenlet Bernoulli egyenlet

h h

−

a L V

h g h

V q

p q

p ρ = ρ

+ ∆

−

1

Tegyük fel, hogy a vizsgált időintervallumban a gyorsulás Tegyük fel, hogy a vizsgált időintervallumban a gyorsulás állandó. Ekkor írhatjuk:

állandó. Ekkor írhatjuk:

t v a v

∆

=

−

∆

∆t kiszámítható a mozgás átlagsebességéből:t kiszámítható a mozgás átlagsebességéből:

∆ t

g g g

g g g

Bernoulli egyenlet Bernoulli egyenlet

2 L t = ∆

∆

1

2

v

t v

= +

∆

Azaz a gyorsulás:

Azaz a gyorsulás:

2 2

L v v

L

v v

v a v

∆

= −

∆

+

= −

2 2

) )(

(

Ezt beírva az előbbi mozgásegyenletbe:

Ezt beírva az előbbi mozgásegyenletbe:gg gygy

v V v

h g h

V q

p q

p

−

+ ρ

−

= ρ

−

V L

g L V q

p q

p + ∆ ∆

2

2

1

ρ ρ

Bernoulli egyenlet Bernoulli egyenlet

Szorozzunk át

Szorozzunk át ∆∆LL--el, és vegyük észre, hogy el, és vegyük észre, hogy ,, gygy ,, gygy ∆∆Lq=V, kapjuk Lq=V, kapjuk qq ,, pjpj

2

2

1

1 v v

gh gh

p

p

+ ρ

ρ

ρ

ρ

2

2 v v

gh gh

p

p − + ρ − ρ = ρ − ρ

Azaz:

Azaz:

2 2 2

2 2

1 1

1

2

1 2

1 v p gh v

gh

p + ρ + ρ = + ρ + ρ

Azaz:

Azaz:

Vagy más alakban:

Vagy más alakban:

2 2

2 1

1

1

g 2 p g 2

p ρ ρ ρ ρ

Vagy más alakban:

Vagy más alakban:

áll v

gh

p + +

=

2 1 ρ ρ

Ez a Bernoulli egyenlet.

Ez a Bernoulli egyenlet.

2

Bernoulli egyenlet Bernoulli egyenlet

Alkalmazás: Pitot

Alkalmazás: Pitot--cső.cső.

B

B

A

Írjuk fel a Bernoulli egyen Írjuk fel a Bernoulli egyen-- l t t (h áll)

l t t (h áll)

A

letet (h=áll).

letet (h=áll).

p_A

p_B

2 h

0 B

2

A 2

0 1 2

1 p v

p +

ρ

ρ

1

∆

^{v 2 ∆ p} 2 v

p p

p = − = ρ

∆

^v

⁼ ρ

A Pitot

A Pitot--csővel az áramlási sebesség mérhető.csővel az áramlási sebesség mérhető.

Newton

Newton--féle viszkozitási törvény féle viszkozitási törvény

A súrlódó folyadékban az egymáson elcsúszó folyadékrétegek A súrlódó folyadékban az egymáson elcsúszó folyadékrétegek erőt fejtenek ki egymásra A legegyszerűbb esetben ez az erő erőt fejtenek ki egymásra A legegyszerűbb esetben ez az erő erőt fejtenek ki egymásra. A legegyszerűbb esetben ez az erő erőt fejtenek ki egymásra. A legegyszerűbb esetben ez az erő a következőképpen írható fel:

a következőképpen írható fel:

F A

A

v

A F η d

Ah l

Ah l d /dd /d í á i bí á i b éé i k itái k itá A f lül tt l átA f lül tt l át tt

A z F = η d

Ahol

Ahol dv/dzdv/dz a nyírási sebesség, a nyírási sebesség, ηη a viszkozitása viszkozitás. A felülettel átoszt. A felülettel átoszt-- va a bal oldalon a nyírófeszültség jelenik meg, azaz:

va a bal oldalon a nyírófeszültség jelenik meg, azaz:

z v A

F

d

η

σ

törvény.yy

Newton

Newton--féle viszkozitási törvény féle viszkozitási törvény

Azokat a folyadékokat, amelyek az előző egyszerű törvénynek Azokat a folyadékokat, amelyek az előző egyszerű törvénynek engedelmeskenek newtoni folyadékoknak nevezzük A

engedelmeskenek newtoni folyadékoknak nevezzük A engedelmeskenek, newtoni folyadékoknak nevezzük. A engedelmeskenek, newtoni folyadékoknak nevezzük. A valóságban azonban a viszkozitás általában függ a nyírási valóságban azonban a viszkozitás általában függ a nyírási sebességtől.

sebességtől. Ideális BinghamIdeális Bingham

σ

Dilatáns

Newtoni

Pszeudoplasztikus

írófeszültségNyí

0 Sebességgradiens

z v d d