HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK, STATISZTIKAI PRÓBÁK

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ¹

HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK, STATISZTIKAI PRÓBÁK

µ

µ

0 0 :

µ

µ

Az alapsokaságra vonatkozóan valamilyen feltevéssel élünk (pl.

µ

σ

ellenırizzük.

Jöhetnek-e az adatok olyan eloszlásból …? Pl.:

0 1:

µ

µ

nullhipotézis ellenhipotézis

A sokaságot szeretnénk megismerni, de csak a minta áll rendelkezésünkre.

u-próba

0 0 :

µ

µ

H H₁:

µ

µ

n u x

σ µ

= −

n u x

σ µ0 0

= − próbastatisztika

Ha H₀igaz, u₀ ~ u

Ha u₀ olyan értékeket vesz föl, amilyeneket u szokott, elfogadjuk

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ³ u

α/2

0

elutasítás elutasítás elfogadás

α/2

u_α/2 -u_α/2

(

)

^α

P

σ α

µ _{= −}











 _a2 < − ⁰ ≤u_a2H₀ 1 n

-u x P

n u

x n

u _/2 / _{0 /2} /

0

σ µ σ

µ

n u

x n

u

x− _α/2

σ

µ

σ

µ

u-próba

• kiszámítjuk a próbastatisztika aktuális értékét:

n n

x n u x

σ µ µ σ

µ σ

µ

0

+ −

= −

= −

0 0 :

µ

µ

. :

vagy , :

vagy ,

: _{0 1 0 1 0}

1

µ

µ

µ

µ

µ

µ

H

értéke 0, ha H₀ igaz

u-eloszlású

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ⁵

• kijelöljük az elfogadási tartományt az elıírt α szignifikanciaszinthez

σ α µ σ

µ = −









 − ≤

=











 − ≤

< ⁰ ₂ ⁰ ₂ 1

2 a a

a u

n P x

n u -u x

P

• megvizsgáljuk, hogy a próbastatisztika kiszámított értéke az elfogadási tartományban van-e

• ha igen, elfogadjuk a nullhipotézist

: ₀

1

µ

µ

Pl. H esetén

Els ı - és másodfajú hiba

döntés nullhipotézis a H

hipotézist

elfogadjuk elutasítjuk

H

igaz helyes döntés els ı fajú hiba ( α )

H

nem igaz másodfajú hiba ( β ) helyes döntés

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ⁷

A másodfajú hiba valószín ő sége

α^/2 β

f(u₀^H₀)

f(u₀^H₁)

α/2 (µ1-µ0)/(σ/√n)

M ő ködési jelleggörbe (OC-görbe )

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

5.000 5.005 5.010 5.015 5.020

µ₁ β

µ₀

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ⁹

7. példa

Táramérlegen négy ismételt tömegméréssel határoztuk meg egy tárgy tömegét. A 4 mérésb ı l álló minta számtani középértéke 5.0125 g. Korábbi mérésekb ı l tudjuk, hogy a mérés varianciája σ

^{= 10}

^g

^{. El kell}

döntenünk, hihet ı -e, hogy a várható érték (a tárgy valódi tömege) 5.0000 g.

05 . 0 ,

4 ,

10 ,

5.0125

=

= =

= σ

ⁿ α

x

0000 . 5 : H , 0000 . 5 :

H

µ =

µ ≠

− =

= n

u x

σ µ

2

= u

5 . 2 2

/ 10

0000 . 5 0125 . 5

4

=

−

−

96 . 1

Az elfogadási tartomány: (-1.96; 1.96), a próbastatisztika aktuális értéke (2.5) ezen kívül van, így a H₀hipotézist 0.05-os szignifikanciaszinten elvetjük.

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ¹¹

Egymintás t-próba

t x

s n x

s n s n t

s n

0

0 0 0

= − µ = − + − µ µ µ = + − µ µ H

: µ µ ⁼

P -t x

s n t

a2 a

0

2

1

< −

 ≤

  

  = −

µ α

H

: µ µ ≠

8. példa

Egy analitikai módszer torzítatlanságának vizsgálatára 5 ismételt mérést végeztek. Az eredmények: 3.25, 3.27, 3.24, 3.26 és 3.24. Elfogadva, hogy az adatok

közelít ı leg normális eloszlásúak, ellen ı rizzük 5%-os szignifikanciaszinten a torzítatlanság hipotézisét!

x = 3.252 s = 0 . 013038 ⁿ = 5

t₀

=

=

5

0.342997

^t

( )

2

4 = 2 776 .

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ¹³

Statisztikai próba és konfidencia-intervallum

2 0

2 α

α t t

t < <

−

Kétoldali eset

Elfogadási tartomány:

n s t x

n s

-t_a2 < −µ₀ ≤ _a2

n s t x n

s -t

x _a2 <

µ

n s t₀ = x−µ⁰

A µvárható érték 1-αvalószínőségőkonfidencia-intervalluma n

s t x n

s -t

x _a2 < µ ≤ + _a2

Elfogadjuk a nullhipotézist (µ⁼ µ₀), ha a konfidencia- intervallum tartalmazza a µ₀feltételezett várható értéket.

n s t x n

s -t

x _a2 < µ₀ ≤ + _a2

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ¹⁵

χχχχ ²²²² -próba a variancia vizsgálatára

H

: σ

> σ

H

: σ

≤ σ

Ha H₀igaz, akkor a következıkifejezés

χχχχ

( )

χ

σ

2

2

0 2

= s n − 1 _P ^{s n}

( )

0 2

1

− 1

 ≤

  

  = −

σ χ

α

,

9. példa

A 17. példa adatai alapján ellen ı rizzük α =0.05-os szignifikanciaszinten, hogy elfogadható-e az az állítás, mely

szerint a mérési módszer varianciája

( σ

) legfeljebb 10

(%)

.

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ¹⁷

s

= 1.700 10 ⋅

χ

2

4

0 00017 4

= . 10₋ ⋅ = 6.8

H

: σ

≤ 10

H

: σ

> 10

χ σ

σ σ

σ

0 2

2

2 4

2

4 2

0 00017 4

10 10

0 00017 4

= ⋅ . ₋ ⋅ = ₋ ⋅ . ⋅ =

6.8

χ

> 1 , ha H

igaz

( )

2 05 .

0 =

χ

013038 .

= 0 s

Két szórásnégyzet összehasonlítása (F-próba)

H

: σ

= σ

A próbastatisztika: ^{F s} ( )

s n , n

0 1

2

2

2 1

1

1

= ; − −

Egyik oldali ellenhipotézis esetén: H

: σ

> σ

Akkor utasítjuk el a nullhipotézist, ha

s

/ s

> F

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ¹⁹

Kétoldali ellenhipotézis esetén: H

: σ

≠ σ

Akkor utasítjuk el a nullhipotézist, ha

s

s

F

2

2

2

<

s

s

F

2

2

2

<

vagy

s

/ s

≥ 1 elég az elfogadási tartomány föls ı határát ellen ı rizni

95 %-os egyoldali szint = a 90 %-os kétoldali szintnek

Kétmintás t-próba

Adott a két független minta elemszáma (n

és n

), és szórásnégyzetük ( és ). s

^s

Tételezzük fel, hogy a két sokaság varianciája megegyezik. (Ezt F-próbával ellen ı rizni kell!)

d = − x

x

^{E d} ( ) ^{= µ}

^{− µ}

( ) ( )

Var d = Var x

− x

= σ

^/ n

+ σ

^/ n

PARAMÉTERES STATISZTIKAI PRÓBÁK ²¹

s s

n n

d

2 2

1 2

1 1

=  +

  

 

( ) ( )

[ ]

s

n +n - s n s n

1 2

1 2

1 2

2 2

1

2 1 1

= − + −

A következ ı kifejezés t-eloszlású

( ) ( )

t= d E d s

d E d s n n

d

− = −

1 + 1

1 2

ν = + n

n

− 2 ,

H

: µ

= µ

^{, ekkor E d} ( ) ^{= 0}

A próbastatisztika:

t = d- s

d s n n

d 0

1 2

0

1 1

=

+ ^{, ν =} ( ⁿ

^{− + 1} ) ( ⁿ

^{− 1} ) σ

σ

2

2

=

A feltevést F-próbával ellen ı rizzük