A binomiális eloszláson alapuló próbák

A binomiális eloszláson alapuló próbák

• Binomiális próba: Hipotézisvizsgálat az előfordulások arányára, egy minta esetén

• Két arány összehasonlítása

9. példa

Az újszülöttek között a tapasztalatok szerint a fiúk aránya 50/100.

Egy kórházban egy napon 8 fiú és 4 lány születik. Jelent-e ez bármi szokatlant?

Előfordulhat ilyen? Milyen valószínűséggel?

5 . 0 :

H₀  ₀  H₁ :  ₀

Binomiális próba

Hipotézisvizsgálat az előfordulások arányára, egy minta esetén

5 . 0 :

H₀   ₀  H₁ :  ₀  0.5

Kismintás (egzakt) eljárás

A próbastatisztika a mintában a lányok k₀ száma.

 

k k n

P   ^



 



   (1  )





P

Annak vsz-e, hogy 4 vagy kevesebb lány legyen 12 közül, 0.194 Döntés?

Mekkora annak vsz-e, hogy 1 vagy kevesebb lány legyen 12 közül, ha p=0.5? (H₀: p=0.5)

Elhiggyük?

a nullhipotézis igazsága esetén annak valószínűsége, hogy a talált vagy még szélsőségesebb adódjék p

Ha p0.05, elutasítjuk a nullhipotézist.

Pontosabban, ha p, elutasítjuk a nullhipotézist.

 a szignifikanciaszint

Hogy döntünk, ha = 0.05, 0.01, 0.001?

Nagymintás eljárás

) 1

(

0 0









 

n

n

u k  nem ismert

Wald:   ^ˆ

0

 

ˆ) 1 ˆ(

0

0  





 

n

n u k

score

) 1

( ₀

0

0

0  





 

n

n u k

n

 k

^ˆ

Wald:   ^ˆ

5 .

0  0

  score 

333 .

12 0 ˆ   4 

n

 k

225 .

667 1 .

0 333 .

0 12

5 . 0 12 4

ˆ) 1 ˆ(

0

0 0  







 



 





 n

n u k

155 .

) 1 5 . 0 1 ( 5 . 0 12

5 . 0 12 4

) 1

( ₀

0

0

0 0  









 



 





 n

n u k

11 . 0 89

. 0

1 

 p

124 .

0 876

. 0

1 

 p

Wald:   ^ˆ

score

919 .

667 0 .

0 333 .

0 12

5 . 0 12 5

. 0 4 ˆ)

1 ˆ(

5 .

0 ₀

0 0  









 





 





 n

n u k

A folytonossági (Yates-) korrekcióval

4 vagy kevesebb → 4.5 vagy kevesebb : +0.5

-1.155 ill. p0.124 helyett 867

. ) 0

5 . 0 1 ( 5 . 0 12

5 . 0 12 5

. 0 4 )

1 (

5 . 0

0 0

0

0 0  











 





 





 n

n u k

-1.225 ill. p=0.11 helyett

konzervatív (a nullhipotézist megtartó) irányban változott 18

. 0 82

. 0

1 

 p

193 .

0 807

. 0

1 

 p

Döntés?

333 .

0 120

40 12

4  

10. példa

Az illető kórházban egy napon 80 fiú és 40 lány születik.

Jelent-e ez bármi szokatlant?

11. példa

Mekkora minta szükséges ahhoz, hogy 90% biztonsággal

észrevegyük, ha 0.5 helyett 0.4 (0.45, 0.49) a lányok születésének valószínűsége?

90% (0.9) a próba ereje (Power) p=0.5 a nullhipotézis

Sample Size Calculation

One Proportion, Z, Chi-Square Test H0: Pi >= Pi0

Value Null Proportion (Pi0)

Population Proportion (Pi) Alpha (Nominal)

Actual Alpha (Exact) Power Goal

Actual Power (Normal Approx.) Actual Power (Exact)

Required Sample Size (N) 0.5000 0.4000 0.0500 0.0544 0.9000 0.8945 0.9017 206.0000

One Proportion: Sample Size Calculation Test on One Proportion (H0: Pi >= Pi0) N vs. Pi (Alpha = 0.05, Pi0 = 0.5, Power = 0.9)

0.38 0.40 0.42 0.44 0.46

Population Proportion (Pi) 100

200 300 400 500 600 700 800 900

Sample Size (Exact)

One Proportion: Sample Size Calculation Test on One Proportion (H0: Pi >= Pi0) N vs. Pi (Alpha = 0.05, Pi0 = 0.5, Power = 0.9)

0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52

Population Proportion (Pi) -2500

2500 7500 12500 17500 22500

Sample Size (Exact)

A binomiális eloszláson alapuló kétmintás próbák A binomiális eloszláson alapuló kétmintás próbák

12. példa

(M.J. Campbell, D. Manchin, Medical Statistics. A commonsense approach, 2^nd edition, J. Wiley & Sons, 1993, p. 71)

A páciensek kétféle gyógyszert kaptak, kisorsolva, hogy ki melyiket. Kettős vak vizsgálatot végeztek: az orvos és a páciens sem tudja, hogy ki melyik gyógyszert kapja.

Van-e a két gyógyszer között különbség a tekintetben, hogy egyforma arányban gyógyultak-e tőlük a betegek?

₁ annak valószínűsége, hogy a beteg az A gyógyszertől meggyógyul

₂ annak valószínűsége, hogy a beteg a B gyógyszertől meggyógyul

2 1

0 :

H   H₁ :₁   ₂

Az A és B gyógyszernél a gyógyulás relatív gyakorisága külön- külön binomiális eloszlást követ ₁ és ₁ paraméterrel

7667 .

30 0 ˆ₁  23 

 0.5806

31 ˆ₂  18 



   

ˆ ) ( ˆ )

( ˆ ˆ

ˆ ) ( ˆ

ˆ ˆ

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

























Var Var

u Var







 







 

Elég nagy minták esetén

Nagymintás eljárás

ˆ ) ( ˆ )

(

ˆ ˆ

2 1

2 1

0  





Var u Var



 

Var (1n ) ˆ)

(   ^

2 2 2

1 1 1

2 1

) 1

( )

1 ) (

( ˆ ˆ )

( Var n n

Var    



   ^





2 2 2

1 1 1

2 1

0 (1 ) (1 )

ˆ ˆ

n n

u    





 



 

2 2 2

1 1 1

2 1

2 1

0 (1 ) (1 )

1 1

2 ˆ 1

ˆ

n n

n u n













 





 



 





 A folytonossági korrekcióval

₁ és ₂ nem ismert

2 2 2

1 1 1

2 1

0 (1 ) (1 )

ˆ ˆ

n n

u    





 



 

Wald 1  ˆ1 ₂  ˆ₂

2 2 2

1 1 1

2 1

0 ˆ (1 ˆ ) ˆ (1 ˆ )

ˆ ˆ

n n

u    





 



 

583 .

1 31

) 5806 .

0 1 ( 5806 .

0 30

) 7667 .

0 1 ( 7667 .

0

5806 .

0 7667 .

0 



 





 





1 F    p  20.057  0.114

₁ és ₂ nem ismert

2 2 2

1 1 1

2 1

0 (1 ) (1 )

ˆ ˆ

n n

u    





 



 

score 0.672

61 18 ˆ 23

ˆ ˆ

2 1

2 2

` 1

1  

 

 

n n

n n  



547 .

1 31

1 30

) 1 672 .

0 1 ( 672 .

0

31 18 30

23 1

) 1 1 ˆ

ˆ(

ˆ ˆ

2 1

2 1

0 



 



 







 



 



 



 

n n

u













1 F    p  2 0.061  0.122

Wald

 

 



 



 







2 2 2

1 1 1

2 1

2 1

0 ˆ (1 ˆ ) ˆ (1 ˆ )

1 1

2 ˆ 1

ˆ

n n

n u n













folytonossági korrekcióval

304 .

1 31

) 5806 .

0 1 ( 5806 .

0 30

) 7667 .

0 1 ( 7667 .

0

31 1 30

1 2

5806 1 .

0 7667 .

0

0 



 







 



 





 u

konzervatívabb 1.583 ill. p=0.114 helyett p=0.904

Módosított kérdés:

Az A (új) gyógyszer jobb-e a B (elfogadott jelenlegi) gyógyszernél?

2 1

0 :

H   H₁ :₁  ₂





1   

 F

p

547 .

1 31

1 30

) 1 672 .

0 1 ( 672 .

0

31 18 30

23 1

) 1 1 ˆ

ˆ(

ˆ ˆ

2 1

2 1

0 



 



 













 



 



 

n n

u









Gyógyszer típusa

Gyógyult Nem

gyógyult 

A 23 7 30

B 18 13 31

 41 20 61

Statistics>Nonparametrics

2 x 2 Table (creditscoring) Column 1Column 2 Row

Totals Frequencies, row 1

Percent of total Frequencies, row 2 Percent of total Column totals Percent of total Chi-square (df=1) V-square (df=1)

Yates corrected Chi-square Phi-square

Fisher exact p, one-tailed two-tailed

McNemar Chi-square (A/D) Chi-square (B/C)

23 7 30

37.705% 11.475%49.180%

18 13 31

29.508% 21.311%50.820%

41 20 61

67.213% 32.787%

2.39 p= .1218 2.35 p= .1249 1.62 p= .2025 .03925

p= .1009 p= .1737 2.25 p= .1336 4.00 p= .0455

 











N    

 

2 2

0











bc N ad

N    



 



  



2

2 0

 2

(folytonossági korrekcióval)

Gyógyszer típusa

Gyógyult Nem

gyógyult 

A 23 7 30

B 18 13 31

 41 20 61

A szükséges minta-elemszám meghatározása A szükséges minta-elemszám meghatározása

2 1

0 :

H  

   

n n

u

2 2

1 1

2 1

0 1 1

ˆ ˆ













 



 

u

u₀  elfogadjuk, ha





Az elsőfajú hiba valószínűsége: P

2 1

1 :

H  

A szükséges minta-elemszám meghatározása A szükséges minta-elemszám meghatározása

   

n n

u

2 2

1 1

2 1

0 1 1

ˆ ˆ













 



 

u

u₀  elfogadjuk, ha

2 1

0 :

H  

13. példa

Mekkora mintákra van szükség, ha 80% biztonsággal észre akarjuk venni, hogy az egyik gyógyszerrel a betegek 20%-a, a másikkal

30%-a gyógyul meg?

Az elsőfajú hiba valószínűsége: P





2 1

1 :

H  











n n

u

2 2

1 1

2 1

0 1 1

ˆ ˆ













 

       

n n

n n

2 2

1 1

2 1

2 2

1 1

2 1

2 1

1 1

1 1

ˆ ˆ





























 



 

 







 

u

u₀  elfogadjuk, ha

   















 

 

 

 ₁

2 2

2 1

2

1 H

1

1    ^





  u

n n

u P





  P u  u

 

    



    



  P u u

n n

u u

P   

















 



 





2 2

2 2

2 H 1

1 1

1

 

   

n n

u

u ^H

1 1

2 2

2 1

1 1

1















 

 

 



 

       

1 1

2 H 2

1 2 1

2 H 1

2

1

1   

 





   



 u  u n

Példa n₁  n₂  n  ?

 =0.05, =0.2, _A=0.2, _B=0.3 645

.

1

u u_  0.84

 

  







 

3 . 0 2

. 0

84 . 0 645

. 1

2 2











 

  n

 

       

1 1

2 H 2

1 2 1

2 H 1

2

1

1   

 





   



 u  u n

Comparing 2 Proportions: Sample Size Calculation Two Proportions, Z-Test (H0: Pi1 <= Pi2) N vs. Power (Pi1 = 0.3, Pi2 = 0.2, Alpha = 0.05)

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

Power Goal (No Continuity Correction) 150

200 250 300 350 400 450

Sample Size for Each Group (N1 = N2)

A Statistica Power Analysis eredményei:

A B n (korr. nélkül) n (korrekcióval)

0.2 0.3 231 251

0.3 0.4 281 300

0.3 0.5 71 83

0.1 0.3 49 58

0.4 0.6 77 86

0.4 0.3 281 300

Nagyobb javulás (vagy romlás) kimutatásához kevesebb kísérlet is elég.

A placebóval való kísérletezést egyre többször tiltják.

Kismintás (egzakt) eljárás Kismintás (egzakt) eljárás

2 1

0 :

H    H₁ :₁  ₂

(az előző példához képest fordított) 14. példa

2 1

0 :

H    H₁ :₁  ₂

Annak valószínűsége, hogy r₁ közül (akik az A gyógyszert szedik) a gyógyuljon meg

 

 

a a r

x

P   ^



 



 

 ¹ _{1 1} ¹

1  1 

Annak valószínűsége, hogy r₂ közül (akik a B gyógyszert szedik) c gyógyuljon meg:

 

 

c c r

x

P   ^



 



 

 ² _{2 2} ²

2  1  független események

a b r1

c d r₂

c₁ c₂ N





P

 

 

 

a

c r a

r c

r a

r _{     }

 



 







 



 

 



 



 



 



  ¹  1  ^{1 2}  1  ^{2 1 2}  1  ^{1 2}

p annak valószínűsége, hogy a kapott vagy annál is szélsőségesebb eredmény adódjék, ha a nullhipotézis igaz









x r x

c r x

a x

P

p  ^  ^{  }















 

a b r1

c d r₂ c₁ c₂ N

Hogy a képlettel számolni tudjunk,  számértékére is szükség van

, ami mellett p maximális: =0.3









 P(1,9,3,1) P(0,10,3,1) P(1,9,4,0) P(0,10,4,0) p

0.01249515 0.0091522

0.0021355 0.0009806

0.0002288   



a b r1

c d r₂ c₁ c₂ N

 

 

1

2

2

1 H

,

0 2

2 1

1 0

2 1

x x r x r

a x x

r c

x x

r x

c r x

a x

P

p ^{   }

 

 



 







 



 







 

A nagymintás (közelítő) eljárással:

2857 .

14 0 3

ˆ 1 

 

 N c

 a

   

43 . 2 4

1 10

2857 1 .

0 1 2857 .

0

4 3 10

1 1

ˆ 1 ˆ 1

ˆ ˆ

2 1

2 1

0  



 



 







 



 



 



 

n n

u









p=0.0075

folytonossági korrekcióval p=0.038 0.0125

 p

A hatás nagyságának értelmezése A hatás nagyságának értelmezése

2 1



 

RR kockázati arány (Risk Ratio )

2 1

ˆ ˆ



  RR

1

ˆ1

r

 b



2

ˆ2

r

 c



1 2

cr RR  br

a b r₁ c d r₂ c₁ c₂ N

     

2 1

2

1 ln ˆ

ln ˆ

ln cr

d ar

Var b Var

RR

Var      











 



 











 

2 1

2 1

2 2

1 2

1

2 exp exp

cr d ar

u b cr

RR br cr

d ar

u b cr

br





Konfidencia-intervallum a kockázati arányra

c₁ c₂ N

2 1

2 1

2 2

1 2

1

2 ln ln

ln cr

d ar

u b cr

RR ar cr

d ar

u b cr

ar  _     _ 

41 . 1 24

.

1  RR  A 13. példára

15. példa

(B. Rosner: Fundamentals of Biostatistics, Duxbury Press, 5th ed. 2000, p.

358)

A 40 és 44 év közötti életkorú nőknél a fogamzásgátló tabletta szedése növeli-e a szívinfarktus kockázatát?

₁ annak valószínűsége, hogy aki szedett fogamzásgátló tablettát (exposed), infarktust kapjon

₂ …aki nem szedett (unexposed) …

0026 .

5000 0 ˆ₁  13 

 ^{ˆ2 } ₁₀₀₀₀^{7  0.0007}

71 . 0007 3

. 0

0026 .

0 10000

50007 13 ˆ

ˆ

2

1   

  RR 

 

 

 

 



 7 10000

9993 5000

13 96 4987 .

5000 1 7

10000 ln 4987

ln

2 1

2 1

2

cr d ar

u b cr

br



394 .

0 4685

. 0 96 . 1 312 .

1   



230 .

2 4685

. 0 96 . 1 312 .

1   



A kockázati arány logaritmusára a 95%-os konfidencia- intervallum alsó határa:

fölső határa:

A 95%-os konfidencia-intervallum magára a kockázati arányra:





^

^

Esélyhányados 



  odds 1

Esélyhányados-arány (odds ratio)

2 2

1 1

1 1











  OR

a megbetegedés esélyhányados-aránya (disease odds ratio)

 

 

 

 

ad d

c d

d c

c

b a b

b a a

OR 









 ^{ac bd rr12}

c₁ c₂ N

1 2

1 1







 RR  OR

1 ,

1 ₂

1   



ha OR  RR

A vizsgálatok esetei

Prospektív (prospective)

clinical trial (kisorsolják, hogy ki melyik gyógyszert kapja) cohort study*

Retrospektív (retrospective) case-control*

matched pair (?) cross-sectional*

*observational (/experimental)

16. példa

(A. Agresti: Categorical data analysis, J. Wiley, 2002, p. 41) 709 tüdőrákkal diagnosztizált páciens mellé választottak 709 olyan pácienst, akit ugyanabban a kórházban kezeltek,

ügyelve arra, hogy nem- és kor-eloszlásuk hasonló legyen.

dohányos tüdőrákban szenved igen (T) nem (T) igen (D) 688 650

nem (D) 21 59

 709 709

 

P

   

P

D T RR  P

A dohányzás szerinti két csoportba nem válogathatták véletlenül a pácienseket, mint a szokásos gyógyszer-kísérleteknél,

nem a dohányzás (igen/nem) a rögzített, és a tüdőrák előfordulása a valószínűségi változó, hanem fordítva ezért csak az esély-hányados-arányt számíthatjuk ki:

   

P

T D OR  P

a veszélyeztetettség esélyhányados-aránya (exposure odds ratio)

   

P

D T OR  P

a megbetegedés esélyhányados-aránya (disease odds ratio), ez lenne érdekes, de…

   

P

T D OR  P

a veszélyeztetettség esélyhányados-aránya (exposure odds ratio)

97 . 21 2

650

59

688 



 











 bc

ad

d b

d d b

b c a

c c a

a

OR

a b r₁ c d r₂ c₁ c₂ N

dohányos tüdőrákban szenved igen (T) nem (T) igen (D) 688 650

nem (D) 21 59

 709 709

   

d c

b OR a

Var 1 1 1 1

ln    

   

59 1 21

1 650

1 688

ln OR  1    

Var





0676 .

0 96

. 1 089 .

1 :

lnOR    OR: (1.745, 4.948)

97 . 21 2

650

59

688 



 











 bc

ad

d b

d d b

b c a

c c a

a

OR

A veszélyeztetettség becsült esélyhányados-arányának kifejezése pon- tosan ugyanaz, mint a megbetegedés becsült esélyhányados-arányáé!

97 . 21 2

650

59

688 



 











 bc

ad

d c

d d c

c b a

b b a

a

OR

     

 

 

 

 

P

T P T D D P

T

P  

P(T) prevalencia ismerete szükséges Bayes-tétel:

1 2

1 1







 RR 

OR ha ₁< <1, ₂< <1 ORRR