MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK
AZ lNDEXELMÉLET
ÉS A KOZGAZDASÁGI VALÓSÁG (II.)
DR. KUVES PÁL
Az indexelmélet és a közgazdasági elmélet kapcsolatát vizsgálva. tanulmá-
nyom első részében (lásd: Statisztikai Szemle 1977. évi 2. sz. 175—195. old.) azindexformulák közgazdasági tartalmának elemzéséből kiindulva a Divisia—indexnek.
az atomisztikus és funkcionális indexelméletnek, továbbá az indexprobl'éma elosz—
lás szemléletű megközelítésének ismertetése után részletesen foglalkoztam az in-, dexpróbákkal. Tanulmányom második részében az inditterencia—görbék alapján tör- ténő és más. főleg a nemzetközix—összehasonlítások gyakorlatában alkalmazott in—
dexszámítási módszereket mutatok be.
6. lNDEXSZÁMíTÁS lNDlFFERENClA—GURBÉK ALAPJÁN
A 3. pontban már érintettem az indiferrencia- (közömbösségi) görbék (felüle-
tek) fogalmát és szerepüket az indexelméletben. Most — az indexelmélet eloszlásszemléletű és próba szemléletű megközelítésének felvázolása után —- részletesebben
is kitérek az indifferencia-görbéken alapuló ..közgazdasági" indexelmélet kritikai vizsgálatára.A marxista elméleti közgazdászok jó ideig nem foglalkoztak konkréten a kö-
zömbösségi görbék elméletével, mondhatni: bizonyos fokú közömbösséget tanúsí—tottak iránta. Tudomásom szerint nemcsak hazai viszonylatban tekinthetjük úttö-
rőnek Hoch Róbert ilyen tárgyú. 1960—ban és 1962—ben megjelent munkáit.32 valamint Mátyás Antal részéről a polgári elméletek olyan áttekintését. amelyben az indiffe-
rencia—görbék szerepét is megvilágítja.33 lndexszámítási vonatkozásban a lengyel W. Welfe foglalkozott a marxista kritika szándékával a közömbösségi görbékkel, és meg kell említeni M. Dobb cambridge-i professzor munkásságát is.34A közömbösségi görbék rendszere a polgári közgazdaságtanon belül a határ-
haszon-elmélet bírálata és az ebben felvetett hiányosságok kiküszöbölésére irá—
nyuló törekvések nyomán alakult ki, a racionális cselekvés szabályainak feltárásá-
V 32 Hoch Róbert: Az indifferencia-felületek elméletének kritikai ismertetése. Közgazdasági Szemle. 1960.
évi 11. sz. 1305—1324. old.: Hoch Róbert: Az indifferencia—felületekről szóló tanitás elméleti alapjának biró- lata (Megjelent: Az MTA Közgazdaságtudományi Intézetének Évkönyve lil. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó.
Budapest. 1962. 333-360. old.).
33 Mátyás Antal: A modern polgári közgazdaságtan története. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Buda- pest. 1973. A korábbi évekből lásd még: Mátyás Antal: Az ökonometriai kutatások alapjául szolgáló polgári közgazdasági elméletek főbb sajátosságai. (Megjelent: Ian Tinbergen: Ukonometria. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1957.); Mátyás Antal: A polgári közgazdaságtan története. Közgazdasági és Jogi
Könyvkiadó. Budapest. 1963. _
34 Welle, W.: lndeksy produkcji Panstwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. 1966.; Dobb. M.:L A jóléti gazdaságtan és a szocializmus gazdaságtana. Kossuth Könyvkiadó —- Közgazdasági és Jogi Könyv- kiadó. Budapest. 1973.
DR. KUVES: AZ lNDEXELMÉLET 261
hoz felhasznált egyik technikai apparátusként, mint arra Mátyás Antal 1973—ban megjelent idézett művében (130. old.) rámutat. Edgeworth és Pareto rakták le az alapokat, a modern változatot pedig Hicks hozta létre.
A közömbösségi görbék rendszere — Mátyás Antal szerint —— .. szellemes ki—
sérlet arra. hogy a helyzetét optimalizálni kivánó fogyasztó magatartását elemezv
zék, s a fogyasztói magatartás vizsgálata révén az egyéni, illetve összegzés útján a társadalmi keresleti görbét levezessék." (144. old.) Mátyás Antal (Hoch Róbert elemzéseivel összhangban) úgy véli, hogy az ordinális értelmezés .,. .. a kereslet-elméletet semmivel sem viszi előbbre, mint a hasznosság kardinális értelmezése
révén való levezetése." ,,A közömbösségi görbék rendszerének képviselői, miközben úgy tesznek, mintha mellőznék a hasznosság kardinális értelmezését, a valóságban visszacsempészik azt az elméletbe." (145. old.) Hoch Róbert szerint pedig az indiffe—rencia—felületek elmélete .,. .. kísérlet a csődöt mondott határhaszon-elmélet meg—
mentésére". (Közgazdasági Szemle. 1960. évi 11. sz. 1324. old.)
Másik emlitett tanulmányában Hoch bírálja a közömbösségi görbék által tükrö- zött ama felfogást. amely szerint a fogyasztási cikkek közötti alapvető viszony a he-
lyettesithetőség, és kifejti. hogy az összfogyasztás egymástól független szükséglete—
ket kielégítő jószágcsoportokból tevődik össze. A fogyasztó elsősorban átfogó, füg- getlen szükségleteit (élelmiszer-, ruházati, lakás- és lakberendezési, kulturális stb.
szükségleteit) rangsorolja, elsősorban az átfogó, független jószágcsoportok szerint határozza meg kiadásainak szerkezetét: a helyettesek keresleti arányainak megha- tározása általában másodlagos. A független jószágcsoportok rangsorolása aszerint
történik, hogy milyen intenzívek ezek a szükségletek. Az átfogó csoportokon belüli
árarányokban bekövetkezett változások az ,.igazi" helyettesek közötti keresleti ará-nyokat befolyásolja.
Egyetértek Hoch Róbertnak és Mátyás Antalnak az általános szubsztitúció képzetével szembeni bírálatával és a bírálat indokaival. A továbbiakban azonban még figyelembe kell vennünk a homotetikus és nem homotetikus haszonfüggvények megkülönböztetését is.
9. ábra. A homotetikus és nem homotetikus függvényekből származó közömbösségi görbék
. _. . %t e? . ., , r'? ??
Hamu/eMU; fl/nyEf/y 7— 7 lila/77 bpma/ef/Á'z/s fagyva/gy 7 744- 7
77 72 77 72
52
47
A homotetikus függvények érvényesülése esetén minden cikk jövedelemrugal—
mássága 1. vagyis az árak változatlansága mellett a jövedelem adott arányú növe-
kedésével minden cikk fogyasztása ugyanolyan arányban növekszik. Egy adott idő-252 DR. KUVES PAL
szakban a szegények és a gazdagok fogyasztásának szerkezete azonos. Ha adott árak mellett a gazdagok jövedelme például tízszerese a szegényekének. akkor —- a
homotetikus függvény értelmében —- tízszer annyi kenyeret és tízszer annyi nerc-bundát vásárolnak. mint a szegények. A nem homotetikus függvényeknél a jövede—
lemrugalmasság cikkenként eltérő. miként a valóságban is. (Lásd a 9. ábrát.)
A nem homotetikus haszonfüggvények esetében a fogyasztás szerkezete nem—
csak az árarányok változásától függően változik, hanem a haszonszinttől, az élet- színvonaltól függően is. Ezért a valóság élethű leírására a nem homotetikus függ- vények látszanak alkalmasabbaknak. A későbbiekben még foglalkozunk a függ—
vények e két típúsával, de már itt megjegyezzük, hogy a nem homotetikus függvé—
nyek az életszínvonal fogyasztási struktúrát befolyásoló szerepét csakis a helyette- sithetőség általános sémáján belül képesek érvényesíteni. Különböző haszonszinte-
ken másképpen alakul az ún. helyettesítési határarány. így a nem homotetikusá
függvények esetében sem jellemző egy adott életszínvonalra valamilyen fogyasz—Z tási struktúra. Ugyanaz az összetétel kialakulhat alacsonyabb és magasabb élet—színvonalon is az árarányoktól függően.
A képzeletbeli vitát felfüggesztve nézzük meg azt, hogy a homotetikus és a
nem homotetikus függvények megkülönböztetése milyen szerepet játszik az index- elméletben.
Samuelson és Swamy közös cikkiikben35 az invariáns közgazdasági índexszó- mok és a kanonikus dualitás kapcsolatának vizsgálatát ígérik a címben. A cikkben
fontos szerepet játszik a homotetikus és a nem homotetikus függvények megkülön—böztetése. Az említett fogalmak közül foglalkoztunk már a ,,közgazdasági index"
és az ,.invariancia" fogalmával. Láttuk. hogy az index akkor ,,közgazdasági", ha
indifferencia-görbék alapján számították, és akkor ,,invariáns", ha a közgazda—sági volumen-, illetve árindex számításánál a rögzített árszínvonal, illetve haszon- szint megválasztása nem befolyásolja az indexszámítás eredményét.
A szerzők az u(G) : a(G) haszonfüggvény
G(G) : 140100) /7/
formáját nevezik kanonikusnak, melyben tulajdonképpen az arányossági próba ér- vényesülése van kimondva. (A O vektornak megfelelő haszonszintA-szorosa egyen—
lő a A-val megszorzott vektornak megfelelő haszonszinttel.) Dualitásról több vonat-
kozásban van szó. ltt csak azt említjük meg, hogy a a(G) duálisa
P(Pl : I'HPWJ) IS/
amit
p(P) : "Én P-Ola(G) /9/
definiál. (A p(P) függvényt a P árvektor és a G mennyiségi vektor skaláris szor—
zatának, Zap-nek O-tól függő minimuma határozza meg egy adott a(O) haszon-
szintnek megfelelően, mint ahogy ezt az 5. ábrán már láttuk.)A szerzők kimutatják. hogy invariáns index csakis akkor adódik, ha a haszon-
függvény homotetikus, kanonikus formájú, elsőrendű függvény. A különböző pozí- ciókra vonatkozó a(G). illetve p(P) függvények hányadosai:
a(Oi. 00) : mm)/MO") , l10/
* Lásd a 16. jegyzetben hivatkozott cikket.
AZ INDEXELMELET
263
plPi- Po) : MW)/MPG) 4/11//
adják az invariáns volumen-. illetve árindexeket.
Kimutatják, hogy az invariáns indexek eleget tesznek a következő Fisher-féle
teszteknek: !. átlagpróba. ll. időpróba. Ill. körpróba. lV. meghatározottsági próba,
V. ,.gyenge" tényezőpróba.Az átlagpróbát a kanonikus alak garantálja, az idő- és körprábát pedig az a körülmény, hogy minden pozícióra rendelkezünk egy függvényértékkel. és ezek há—
nyadosa az index. A tényezőpróbának általánosságban csak a gyengített változata érvényesülhet, mert a ..közgazdasági" volumen- és árindexek definíciójuknál fogva aszimmetrikusak. Az idézett szerzők felhívják a figyelmet arra, hogy néhány eset- ben, mint például a Caleb—Douglas formájú haszonfüggvény esetében az erős té-
nyezőpróba is érvényesül. mert ebben az esetben p( . ) és a( . ) azonos függvé—
nyek. Ugyanis
a(a) : nm [í ari pm : rni/2171 p'p' Ek 21 /12/
és ezekből az indexek:
(!(01, 00) : 51 (a:/o,?)k pw. PO) : [111 (p)/p?)ki /13/
Minthogy k időben állandó az egyes cikkeknél. itt az egyedi értékindexek sú-
lyozott mértani átlaga egyenlő a ..valódi" (additív) értékindexszel:
. a . . a ' 0 _ .
—
]]
n 11 ki
"'p' : /14/
;:1 4pr
F M : F M :
.. 5.5 17 _"O..a
eltérően az ..önkényesen" (például az adott hasznossági függvénynek nem en-
gedelmeskedő valóság ,,önkénye" által) választott p és a adatokból számított érték—
index viselkedésétől.
Megjegyezzük, hogy itt a ..közgazdasági" index szemmel láthatóan azonos az ..atomisztikus" G indexszel: k,— állandóságára való tekintettel a GO, G1 és G formu- lák bármelyikével; a [14/ értékindexes egyenlőség miatt a G* formulával is, továbbá D-vel; de nem egyenlő az L, a P és az F formulákkal. Más haszonfüggvények rész- ben más ,,atomisztikus" formuláknak kedveznek. Például Samuelson és Swamy meg-
jegyzik, hogy a homotetikus kvadratikus haszonfüggvény esetén az ,..ideális" F
formula egzakt.
A szerzőpáros szerint számtalan homotetikus haszonfüggvény képezhető, de mit mondanak a nem homotetikus függvényekről. amelyeket — mint láttuk — a való—
ság élethűbb megközelítőjének is lehet tekinteni?
Ami a próbákat illeti, a helyzet változik a homotetikus esethez képest. Az ará- nyossági próba csak az árindexre nézve teljesül. a volumenindexre nem. A többi teszt azonban teljesül. Azt már említettük, hogy a nem homotetikus függvények in- dexei nem invariánsak. Elvész a Divisia—indexnek is a végpontok közötti útra vonat—
kozó invarianciája.
A felemás eredmény nagyon megszokott az .,atomisztikus" indexdzsungelben.
Az ,,egzakt" índexelméletben azonban kissé dísszonánsan hangzik az a tétel. hogy
az árindex az egyedi indexek átlaga. de a volumenindexre ez nem érvényes.
264 , DR. KUVES PAL
Már láttuk a 3. pontban — ahol a haszonfüggvények két típusáról nem tettünk említést. s így általánosan kellett fogalmaznunk —-, hogy az L és a P közötti különb-
séghez képest az invariancia számszerű hatása általában lényegesen kisebb. Ez akörülmény egyrészt segíthet felszámolni az olyan illúziókat, hogy az L és a P formu—
lának önálló mondanivalója van. másrészt az invariancia megmaradása — kisebb drámaisággal — a közgazdasági indexelméletbe beviszi ugyanazokat a problémá-
kat. mint amelyekkel a statisztikai indexelmélet találja magát szemben.Ne felejtsük el, hogy a statisztikai indexelmélet egyelőre azzal a nehezen be—
hozható előnnyel rendelkezik, hogy mind ez ideig csakis ennek alapján lehetett a
gyakorlatban használható indexeket számítani. lgy a közgazdasági elméletnek fan?—
tos tartozéka annak vizsgálata. hogy milyen statisztikai formulával lehet az elméleti?
leg helyes közgazdasági indexet megközelíteni. Samuelson és Swamy is kitér a közelítés kérdésére. Megállapítják, hogy homotetikus esetben L és P ,.szimmetrikus
átlagai". köztük F igen jó közelítést adnak. Miután a szerzők -— a közgazdasági in-v
dexelmélet művelőinek hagyományai szerint —- több epés megjegyzést helyeztek elFishernek címezve, most ezt írják: ..Végre, egy fél évszázad múltán egy kicsit iga—
zolhatjuk Fishert az .,ideális" indexszám választásában ..." (581. old.) Egyelőre
úgy látszik, hogy a közgazdasági elmélet gyakorlati végkövetkeztetése azlehet.
hogy az elméletileg helyes index legjobb megközelítése érdekében olyan formulákat kell alkalmazni, amilyeneket a statisztikai indexelmélet is a legjobbaknak tart.
E tekintetben a helyzet nem változik lényegesen, ha áttérünk a nem homotetikus esetre. Itt a szerzőpár ,.Az ideális index nem optimális volta nem homotetikus esetben" alcím alatt egy példával is illusztrálja, és pedig az
um) : (1 *l- (1002 /15/
függvény példáján, hogy nem homotetikus függvény érvényesülése esetén az .,igazi" index nem feltétlenül esik L és P közé. A példa az átlagpróba nem érvénye- sülésére épít. A két egyedi indexet egyformának véve, L, P és F is ezekkel egyen—
lő. igy az egyedi indexek nulla terjedelmű intervallumán ,,belül" elhelyezkedő - szintén terjedelem nélküli — L—P intervallumból az átlagpróba által nem kötött index kilépett. Az idézett alcím a cikket átfutó "konzervatív" olvasó számára is (nem kis örömére) újfent hírdeti F ,,lebukását" de nyilvánvaló, hogy L és F is ..le- bukott". Jobb közelítő formulát a szerzők nem ajánlanak.
A közgazdasági indexelmélet művelőinek azzal a problémával is szembe kel- lett nézniök. hogy a fogyasztási preferenciák, ,,ízlések" időben változnak, tehát az u(G) haszonfüggvény maga is módosul. A szerzők erre is kitérnek. Végső gyakorlati következtetéseik középpontjában a láncolt F formula, illetve Divisia-szerűindexek
ajánlása áll. Ez sem ,.újság" a statisztikai indexelmélet szempontjából.
!
Egyszerű. két ,termékes példán bemutatom az indifferencimgörbék alapján történő índexszámítást. A példát felhasználom a Divisia-índex számításának illusztrálására is.
Legyen a haszonfüggvény a Cobb—Douglas típusú, homotetikus
um): cif/34115 [iő/
melyet a t: 0, 1, 2. 3, 4 időpontokban vizSgálunk. A /16/ képletből — a /2/ és /3/ képletek—
hez hasonlóan -— a közömbösségi görbe képlete, ha aj a független változó, és ha az a(G) függvény helyettesítési értéke az egyes időszakokban uo, u,, . . ., m,:
___:L. ' . [17]
AZ INDEXELMÉLET 265 Annak érdekében. hogy Divisia-indexeket is szómíthassunk. a tényleges adatokat ! függvényében adjuk meg. Legyen az 1. termék mennyisége: (kzt—H, tehát a 1520. ..., 4 időszakokban (7121. 2, 3, 4, 5. Ha ezenkívül megadjuk az egyes időszakokban elért ha—
szonszinteket, akkor ezzel közvetve a 2. cikk mennyiségeit, továbbá az órarc'myokat is meg- határozzuk. Legyen
3 3 __ 3 __ 3 a
u(, : V1—6, ul : VZS, uz : V36, u3 : 1517), u4 : m A /17/ képlet szerint a 2. cikkből fogyasztott mennyiségek:
25 36
egz—7216, 413726)? "% :
49 64
._._. 3 : _— : 4 : ——
9 1' "2 16 3'0625' 92 25
ll
: 2,56
d' A pz/pl órarónyokat (negatív előjellel) az indifferencia-görbe ch szerinti első deriváltja
a 10 meg: -
21002)? P;
':_—_——_—_W_ 18
92 ('13 P1 [ l
A derivált értékei: —32, -—-ó,25. —2,666. ..., 1.53125, 1,024.
Megadjuk még a 2. cikk egységórait. Az idő függvényében
102 :115(t_1_1)r
és akkor pi : ——c;2'p2.
A kiindulóadatokat az 1. tábla tartalmazza. Ezekből (és a haszonfüggvényekből) az ..atomisztikus" és a "funkcionális" indexeket egyaránt kiszómíthatjuk. A 2. tóblóban megadom az L, a P és az F formulával (: közvetlen bazísindexeket és a lóncindexek szorzataként elő—
állított indexeket is, továbbá az itt egymassal megegyező 9 típusú és D indexet, végül a minden viszonylatban kiszámított F indexekből létrehozható F számszerű értékeit.
1. tábla
Kííndulóadatok és számítások
Mennyi?: Élskfgiglségór Fogyasztás értéke U(G) ::
t Értékindex 1/3 1/3
v : 91 92—
Cli Clz P1 Pz mm 01sz 4- CIP
' TWá
D 1 1 16 48 1.5 48 24 V 72 100.00 2.51984
1 2 6.25 18.75 3 37.5 _, 18.75 56.25 78.13 292402
2 3 4 12 4,5 36 18 54 75.00 330193
3 4 3.0625 9.1875 6 36.75 18,375 55.125 76.56 3.65930
4 5 ! 2.56 7,68 7,5 38.11 19.12 57.6 80.00 4.00000
2. tábla
Volumenindexsorok többféle formulával
! Közvetlen bózisindexek Lóncindexek szorzata " Gazogz ! ? _
t , , , a
La Pc Fa La _ Pa Fa _ 450
100,00 100.00 100,00 100.00 100.00 100.00 100.00 100,00 146,35 84.27 111,06 146,35 84.27 111,0ő _116.04 103,7O 208,33 64.29 115.73 177,58 87.30 124.51 131 .04 113.20
273.05 52.41 119,62 203,16 93,33 137.70 14522 12284
338.67 45,11 123.61 225.91 100.13 150.40 158.74 131,78
boom-JO
266 DR. KUVES PAL Minthogy a két termék közötti értékarányok nem változnak (lásd az 1. tábla ap osz—
lopait), mindegy. hogy G kiszámításánál melyik időszak értékeivel súlyozunk. Az u(G) függ—
vény megfelelő paramétereiből következik. hogy az értékarány állandóan 2: 1. G—re nézve nemcsak az közömbös, hogy milyen időszak értékeivel súlyozunk. hanem az is. hogy a bázis- indexet közvetlenül vagy láncindexek szorzataként állítjuk elő. A G formula eredménye egybeesik a D-ével, sőt az ,,igazi" közgazdasági indexével is. _
Ebben az erősen kiélezett példában a közvetlen L és a P között meglehetősen nagy az eltérés. A két igen eltérő eredmény mértani átlagaként számított F is jelentősen eltér az ..igazi" indextől. A láncindexek szorzatát képezve L' és F' között már lényegesen kisebb az eltérés. mint a közvetlen L és P között. és F' lényegesen jobban megközelíti az ,,igazi" in- dexet. mint F. Ha a láncszemek számát szaporítanánk, tehát 120 és t:4 között egyre több ..megfigyelőállomást" létesitenénk. akkor F'-vel egyre közelebb jutnánk D-hez, vagyis egyúttal az invariáns közgazdasági indexhez. A
A többpozíciós keresztezéssel létrehozott F formuláról azt mondhatjuk. hogy jobban kö- zelíti az igazi indexet, mint a közvetlen F, de kevésbé, mint a láncolt F'.
A D kiszámítása jelen esetben nemcsak a tapasztalt egybeesés vagy a láncszemek növelésével számítandó F' segitségével történhet. hanem az eredeti definíció szerint is. hi- szen a kiinduló (; és p adatok ! függvényben fejezhetők ki. A 3. táblában megadjuk a a:f(t) stb. függvények és azok deriváltjainak, valamint az ezekből képzett összegek kép—
leteit. E tábla segítségével meghatározhatjuk a D; és a D,, kiszámításához szükséges aggre—
gátumok számszerű értékét. Mi most a D., volumeninclexet fogjuk kiszámítani.
3. tábla
Alapadatok és deriváltiaik az idő függvényében
Adat Adatok az idő függvényeként idő szerinti első derivált
91 f'l'l 1
02 (t—l—lin/(t—l-i)2 —6(t—%—4)/(t—l—1)3
pt 3(t-l-4)2/(!—l-1)2 —18(t—l-4)/(t-i—1)3
Pz 1.5(f—l'1) 1.5
Zap 4.5(t-l—4)2/(H—1) [11.5ít-l-1)2—40.5]/(t—l-1)2
Za'p [3(PHP—9(t—l—11)]/(t—l—1)2
Ea D* [1.5(t—l-4)2-—18(t—l—4)1/(H—1)2
A 4. tábla 1. oszlopában t értékeit az eredetinél részletesebb beosztásban adtam meg.
Az eddig feltüntetett ,.kerek" t értékeket vastag szedéssel emeltem ki. A2. és 3. oszlop adatait az 1. tábla adatainak és a 3. tábla megfelelő képleteinek segítségével számíthattuk ki. Az 5.
oszlopban meghatároztuk a 4. oszlop adatainak integrált értékeit. lgy megkaptuk azt a ki- tevőt, amelynek megfelelő hatványra kell a természetes logaritmus alapszámát emelni, hogy a D., indexet megkapjuk. Ez a hatványozás a 6. és a 7. oszlopban megy végbe. A 7. oszlop- / ban kiemeltük a 2. táblából már ismert indexeket.
Számítsuk ki végül a .,közgazdasági" indexet is valamelyik viszonylatban.
A 10. ábrán bemutatjuk azokat a közömbösségi görbéket, amelyeken az öt időszak tényleges fogyasztási pontjai elhelyezkednek, feltüntetve az öt fogyasztási pontot is. Mint- hogy feltételezésünk szerint az időbeli fejlődés t függvényében a folytonos változás kifejez- hető. az ábrán (vastag vonallal) feltüntettük az időbeli fejlődési utat. Ez az út az ábrán ,,fenn" Gil-nál kezdődik és ,,lenn" O"*—nél végződik, de haszonszint szempontjáláől a fejlő.
dési útvonal egyre magasabb szintre jut el. '
Számítsuk ki a 4/0 viszonylatú volumenindexet. Minthogy függvényünk invariáns, mindegy, hogy melyik árvektor segitségével végezzük el az összehasonlítást. Válasszuk e célra a 4.
időszak árait. lgy azt kell kiszámítani. hogy 04 költségei P4 árakon számolva milyen viszony- ban állnak Oo költségeivel. Ha a Pő-nek megfelelő árarányok érvényesültek volna t:——O időszakban. akkorafogyasztó nem 00, hanem 004 mennyiségeket fogyasztott volna. mert a rendelkezésre álló pénzmennyiséggel ez képviselné számára a legmagasabb életszínvonalat.
Ennek a feltételezett fogyasztási pontnak a meghatározása érdekében először a
20 2—43
—-(1),-_———4——————— :—1oz4
"2 err s! '
AZ INDEXELMELET
267 - a G'hhez tartozó közömbösségi függvény negatív deriváltjónuk számszerű értékét — egyen- lővé tesszük (: OO-hoz tartozó közömbösségi függvény negatív deriváltjóvcl:
—1,oz4:_
Zuo3 043
43)
Ebből az 1. termék feltételezett mennyisége:
aa") : V 32
' 1,oz4
2-16 4
95 )3
: 3,149s
mgjd ezt a 0. időszaki közömbösségi függvénybe helyettesítve, a 2. termék feltételezett meny—
nyisége:
(04) üg 16 1 127
42 zar—972127: '6
A ,.közgozdosógi" volumenindex:
-
(4 _ 04" _
(pm/c) — 459030) *- cup; — 57,6
_ 3.1498-7,68 —f-1.6127-7,5 _ 15874
4. tábla Divisia-index számítása
2 a'p
: ' Z a'p 2 el'/3 expf ":
! Zep Ea p 31—08 - l e- ———-— 2 a p
2 a p [ 2 a p 8 j 2 a p : D
a
1 2 3 4 5 a 7
0.0 72 12 0.1666667 0.00000 0 100.00
0.1 68.76837 11.181818 0.1626011 0.01646 0.0071484 1'01,66
0.2 66.15 10.5 0.1587301 0.03253 0.0141276 103.3O
0.3 64.00368 9.923077 0.1550391 004822 0.0209416 104.94
0.4 62.22888 9. 428571 0,1515143 0.06355 0.0275994 10656
O,5 60.75 9 0,1481481 0.07853 0.0341051 108.17
0.6 59.51232 8.625 0,1449279 0.09318 0,040467ó 109,77
0.7 58. 47354 82941 18 0.1418439 0.10752 0.0466953 1 11.35
0.8 57.6 8 0.1388889 0.12156 0.0527928 112.93
0.9 56.86605 7.736842 0.1360537 0.1 3531 0.0587644 1 1 4.49
1 .0 56.25 7.5 0,1333333 0.14877 _0,064ó100 116,04
1.2 55.30932 7.090909 0.1282045 0,17491 0.0759625 '! 19,1 1
1.4 54.675 6.75 0.1234568 0.20007 0,0868893 122.15
1.6 54,27747 6.461538 0.1190464 0.22431 0,0974166 125.14 1.8 54.06408 6.214286 0.1149429 0.24770 0.1075747 128.10
2.0 54 6 0.1111111 0.27030 0.1173898 131,04
2.5 54.32175 5.571429 0.1025635 0.32368 O,1405724 13822
3.0 55.125 525 0,0952380 0.37309 0.1620309 145,22
3,5 56.25 5 0.0888889 0.41907 0,1819998 152.05
4.0
57.6 4.8 0.0833333 ' 0.46208
0.2006788 158.74
268 DR. KUVES PÁL
10. ábra. Egy Cobb—Dougas-típusú függvényből , származó közömbösségi görbék
iz
aa
75 —
10 —
aá
5..
444
a
l l l l i a 41
7 2 3 11 5
Az eredmény ugyanaz, mint amit az adott függvény szerint viselkedő valóságos adatok—
ból már mint G. illetve D indexet is ki tudtunk számítani. Emlékeztetőül ismét megjegyzem.
hogy ugyanezfaz eredményt kaptuk volna, ha nem a P'*, hanem bármilyen (ténylegesen elő-7 fordult vagy elő nem fordult) árarányokkal végeznénk el a számítást.36 Sőt a homotetikus függvény ismeretében egyáltalán nincs szükség a közgazdasági index fentebbi képletének behelyettesítésére, hiszen a két időszak haszonfüggvényeinek hányadosa, jelen esetben:
"4
"o : a(4/0) /19/
megadja a közgazdasági index értékét. Bór Samuelson és Swamy hangsúlyozzák. hogy a közgazdasági index nem a kardinális hasznók arányát mutatja, hanem csupán ,,az ordínólis hasznok kardinális mérőszáma". ebben az esetben tisztán kardinális gondolatmenettel is célhoz jutottunk. Zavaró mozzanat lehet a közgazdasági indexelmélet művelői számárafha az indexszámításból ,,kiesik" a .,közgazdasági" szertartás. Hoch és Mátyás viszont jogosan mu- tattak rá, hogy a meghatározott kardinális haszonelméulet visszajött a hátsó kiskapun. A hiba azonban nem a kardinális felfogásban van, hanem a haszonelméleti kiindulásbanl Erre még az összefoglalóban visszatérünk.
7. TOVÁBBI ELJÁRÁSOK — NEMZETKÖZI 'O'SSZEHASONLITÁSOK
A közgazdasági tartalomra való nyomatékos hivatkozásnak eddig kétféle .,szint- jével" találkoztunk. Az egyik esetben a szemléletes interpretáció lehetőségének számonkérésében nyilvánult meg a közgazdasági tartalom iránti különleges igény.
a másik esetben a közömbösségi görbék voltak hivatva az indexszámnak közgazda—
sági tartalmat adni. Az irodalomban időnként találkozhatunk olyan esetekkel is, amelyek nem. vagy csak részben sorolhatók az egyik vagy-a mósikemlített kategó- riába; llyen .,közbeeső" elképzelések időbeli és területi összehasonlítások vonat-
kozásában egyaránt adódnak.
Az elmúlt években többször nyilt alkalmam hozzászólni a hazai szakirodalomban felbuk—
kant (időbeli alkalmazásra adott) indexformula-javaslatokhaz, amelyek közgazdasági elméleti indokolással voltak alátámasztva. Ezekre itt most nem térünk ki.37
36 Természetesen az árral együtt a feltételezett mennyiségi vektor is mindig más lenne,
37 Formulajavaslatat tartalmazott például dr. Laci—zó Ferenc: lndexszámitósunk szükséges reformjáról (Statisztikai Szemle. 1972. évi 5. sz. 550—561. old. és 6. sz. 669—681. old.) vagy Radnóti Éva: A kúszó infláció elméleti problémái (Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1974.) c, tanulmánya. Hozzászólásomat a Statisztikai Szemle 1972. évi 7. száma, illetve a Közgazdasági Szemle 1975'. évi 5. száma tartalmozzar
AZ INDEXELMELET 269"
Egy újabb cikkében Laczó Ferenc38 "teljes index" elnevezéssel ugyanazt a formulát propagálja. mint amelyet korábban az indexprobléma tökéletes megoldásaként ajánlott,. Ez nem más. mint a Fishernél is nyilvántartott (általam g"' -tel jelölt) formula. Ha ugyanis az e tanulmányban közölt /29/ képletből, melyet jelen dolgozatunk jelöléseivel így írhatunk fel:
WS"! % ,,_w-i;__., M. j),—MH Tel'es árindex : L " ' _L : 737,
, VLOL VII IPOL (70 La
a Laspeyres—indexeket algebrai egyszerűsítéssel kiejtjük, akkor a
." fái?) ' SV SV _
l/ H ?; "(ffi—777— : l/g 'g; 7-1" §:F
.]!
formulához jutunk. Laczó a ,.teljes indexnek" a ,,hagyományos indexek" melletti felhasználá- sát javasolja. (Az elmélet szempontjából g1L semmivel sem kevésbé tekinthető ,,hagyomáa nyosnak".)
Bár az az út, amelyen Laczó a harmadik generációs F formulától visszakanyarodik a súlyozatlan formulák világába,. közgazdasági ,,fákkal" van szegélyezve. a végén kapott g*
formula sokkal kevésbé mutatja a ,.teljes árváltozást", mint L, P vagy F.
A legújabb képlet —— egyik interpretáció szerint — a Fisher-formulát korrigálja egy szorzó- tényezővel. ami így nyilván egyenlő a g*/F hányadossal. A ,,korrekció" azonban csak azt eredményezi, hogy a súlyozott indexet súlyozatlanná degradálja. A korrekciós tényező — a szerző állításával szemben — semmit sem mondhat arról, hogy a kereslet vagy a kínálat irányitja—e inkább a fogyasztást, hanem csupán a súlyozatlanság torzító hatását méri. Egé- szen pontosan. a súlyozatlanság hatását a g*/G * hányados mérné, de a
4-
gtzpízr ________
felbontásban szereplő G*'/F hányados általában igen közel esik 1—hez.
Laczó indokolása úgy érthető. hogy az L és a P közötti különbséget —- amelyet F érzé- ketlenül elfelez —- a ,,teljes index" (g*") közgazdaságilag értelmesen osztja két részre. Való- jában a súlyozatlan g* indexnek nem sok köze van a súlyozott L és P közötti intervallumhoz, ebből messze kiléphet, de kívül eshet az egyedi indexek intervallumán is.
Itt most visszatérve a területi indexek számitásával kapcsolatos kérdésekre a nemzetközi összehasonlítások gyakorlatából ragadok ki egy indexszámitási el—
járást, amelynek indokolásánál szerepet játszottak bizonyos közgazdasági abszt- rakciók, azt a látszatot keltve. hogy ezt az eljárást alkalmazva a közgazdasági való- ság jobb tükrözésére számíthatunk, mint a ,,tisztán statisztikailag"indokolt indexszá- mitás alkalmazásával. Ehhez kapcsolódva néhány megjegyzést fűzök az ENSZ Sta- tisztikai Hivatala által irányított. tíz országra kiterjedő összehasonlításnál alkalma- zott indexszámítási eljárásokhoz.
Az e folyóirat 1975. évi 12. számában megjelent dolgozatomban említettem.
hogy a tíz ország adatait többféle módszerrel is összehasonlították. lgy alkalmazták az
?formulót (EKS—módszer elnevezéssel), a G formulát (Walsh—módszer néven) és a
K formulát (Geary—Khamis-módszer). Akkor nem tettem említést egy további eljá-
rásról. amelyet ]. van Yzeren holland professzor alkotott. és amelyet már 1955—ben is felhasználtak az Európai Szén- és Acél Közösség országai közötti összehason—lításnál.39 Most ezt az indexszámítási eljárást tesszük vizsgálat tárgyává.
33Laczó Ferenc: Az indexelmélet elégtelen közgazdasági alapjai. Közgazdasági Szemle. 1976. évi
7—8. sz. 864—882. old. *
3" Yzeren, ]. van: Three methods of comporing the purchasing power of currencies. Statistical studies.
Uitgeversmaatschappij W. De Haun N. V. Zeist. 1957.
270 DR. KUVES PÁL
J. van Yzeren tulajdonképpen három egymáshoz kapcsolódó módszert. illetve
három indexformulát hozott létre, ezeket a továbbiakban Y', Y" és Y jelöli.A szerző gondolatmenetét követve először egy sematikus példáját tekintsük meg. Négy országot (A, B, C, D) és két fogyasztási cikket vesz figyelembe. Az egyes
országok valutáját A—, B—, C- és D—franknak nevezi. A példa alapadatait és a ki-számított aggregátumokat az 5. tábla tartalmazza.
5. tábla
A példa alapadatai és aggregátumai
1. cikk 2. cikk Aggregótumok (Z'ap)
Ország
:; ! p :; l p A-frank B-frank l C-frank ! D-frank
A . 10 30 2 30 360 220 280 320
B . 6 20 ( 8 10 420 200 270 260
C . ő 25 8 15 420 200 270 260
D . 4 30 10 10 420 180 250 220
Van Yzeren l. módszere (az általam bevezetett jelöléssel) Y' kiszámításátjcé—
lozza. A szerző ezt az eljárást a heterogén csoportok módszerének nevezi. A mód—
szer megértéséhez személyek négy csoportjára kell gondolni. amelyek mindegyike
egy—egy A. B, C, D országbeli tipikus lakosból áll. A csoportok mindegyike a négyország valamelyikébe költözik. Az egyes személyek fogyasztásának összetétele a
saját országukon belül kialakult eredeti fogyasztásnak felel meg. Az egyes orszá- gokban összetalálkozó négy személy fogyasztása egyenlő, egy bizonyos -- egyelőreismeretlen -—- Y; (i : a, b, c, d) átszámítási kulcsnak megfelelően.4O Saját országá—
ban az A lakos Y:, A-frankot költött. a többiek -— szintén saját hazájukban —Y[,, Y'c Y;. B—, C-, illetve D-frankot. Ha a négytagú csoportok találkoznak, akkor az egyes országokban a csoportok összesen az alábbi pénzösszeget költik el (az s a szerző
szerint egy ismeretlen koefficiens):, 360 r 420 ' 420 , 420 : ,
az A orszagban. ÉÉÖY" *ÉÖYb 4-2—75Yc f—z—z-öYd— sYa A—frankot.
, 220: 2001 2001180r :
a B orszagban. gain—laban, fm Yc-l- —2-——20 Yd— sYb B-frankot.
, 280 : 270 270 , 250 , :
a C orszagban. %Y., líO—ÖY; _l-ÚÖYC *220 Yd — sYc C-frankot,
, 320 ; 260 260 Y' 220 ,
a D orszagban: 3—60 Ya-i- —Y'd-i—2—7—0Y: 4-2—20 de sYd D-frankot.
A feladat: kiszámítani az Y; átszámítási kulcsokat, majd ezeket egymáshoz
viszonyítva megkapjuk a vásárlóerő-arányokat kifejező YLN stb. árindexeket. A szer—
ző bemutat egy iteratív eljárást. amellyel az átszámítási kulcsokat ki lehet számí—
tani. Kimutatja. hogy ha a modell csupán két országból áll. akkor Y' :F.
Fel kell hívnom a figyelmet a szerző által nem említett néhány összefüggésre.
A fenti négy egyenlőséget s-sel végigosztva szembetűnik. hogy az egyes sorokban átlagolást hajtottunk végre. Például az első sorban az egyenlőség jobb oldalán
" Ebben a pontban a termékek sorszámát nem jelöljük. az alsó indexet : pozíciók (itt országok) jol—
zéséra foglaljuk le.
AZ lNDEXELMELET
271 levő Ya négy Laspeyres—féle L.,/; (l: a, b. c, d) árindex súlyozott átlaga, ahol a
súlyok Y;, YL, Y; és Y;,. A súlyok összege nem más, mint s, az .,ísmeretlen koeffi-
ciens". Y:, tehát egy olyan árindex, amelyik átlagosan mutatja az A-frank árszint—jét a négy valuta együttes árszintjéhez viszonyítva. Általában Y; egy átlagos ór- színvonal bázisán mutatja az egyes országok árszínvonalát.
A négysoros modell i-edik sorának általános képlete a van Yzeren által felírt módon:
d I I
E. Lin : sYi /20/
az átlagként való értelmezésnek megfelelően pedig:
1 d , ,
% Y, ,; YiLi/í : Yi [le
ig.—d i
Tehát négy súlyozott számtani átlagot kell kiszámítani, ahol a súlyok a kiszámítandó átlagokkal azonosak. A számításmód ennek alapján indokoltan bonyolult. (A Geary—
Khamis-féle K és az lklé-féle I index kiszámítása hasonlóan bonyolult.)
A II. módszert a szerző a homogén csoportok módszerének nevezi. Ezúttal négy olyan csoportot képezünk. amelynek tagjai azonos országból származnak. Minden csoport ugyanazt az összeget költi el. A csoport tagjai szétszóródnak CI különböző országokba, ahol ezúttal is saját eredeti fogyasztási szokásaiknak hódolnak. Az át- számítási kulcsoknak azonban most olyanoknak kell lenniök, hogy minden eredeti csoport ugyanazt az összeget költse el.
Van Yzeren újabb négysoros képletrendszerének ezúttal csak az első sorát adom meg:
360 Y; 220 7; 230 Y; 320 Y;
'"T'l' - , * ' , * ' . 360 Ya 360 r.) 360 yc 360 Yd
A j-edik sor képlete előbbi felírás szerint (az általam megfogalmazott .,átlago- lási" gondolatmenetnek megfelelő képletet ezúttal mellőzöm) a következő:
d Yf'
L. .; : :
iga 'I, Y? [22/
A számítás most is iterációs eljárás segítségével történik. Két ország esetén az
!. módszerhez hasonlóan Y" : F.
'A III. módszer az ún. kiegyensúlyozott módszer, ami azon a kívánságon alap—
szik, hogy az l. és a ll. módszerben eltérő módon számított átszámítási kulcsok egyenlők legyenek egymással.
A most is négysoros modellben az első sor:
420 Y,, 420 V: 420 Yd 220 Ya *200 Ya 1L320 Ya
___. 'i'—"_'-l"—_'——"'-—'— —.__ ___...—
200 Ya 270 Ya 220 Ya 360 Yb 360 Yc 360 Yd
A j—edik sor általános képlete:
d Y,. d Y,.
_Z Lin—r : _Z Li/iT 1'23/
Iza " lna _
272 DR. KÓVES PAL
A számításmód hasonló az eddigiekhez. Két ország esetén Y a F.
Jelen tanulmány alapgondolatának megfelelően a közgazdasági tartalomra való hivatkozást ezúttal is szembesíthetjük a ,.statisztikai" indexelmélet korábbi eredményeivel. Felfigyelve arra is, hogy van Yzeren mindhárom módszere két or—
szág esetén az .,ideális" F formulára redukálódik, megvizsgáljuk, hogy Y'Y" és Y nem ,,hasonlítanak--e 'valamilyen ismert formulához.
Ha van Yzeren modelljének egyes soraiban az additív tipusú összesítést(átla- golást) multiplikatív típusúval cseréljük fel, akkor a számszerű eredményekben (mint
később bemutatjuk) jelentéktelen módosulás következik be.
Az l. módszernél a 2 helyett U jelet alkalmazva, az s--sel való szorzás helyé- be hatványozást téve, a i— —edik sor képlete (Y' helyett X') a [20/ helyett:
;" me;— x.5 ,124/
Kézenfekvő gondolat, hogy a konstans s most az országok számával egyenlő és a súlyozott számtani átlag számítása helyébe súlyozatlan mértani átlag számi- táso került:
[j XíLj/í: .]] Xi HLj/i * ; [25]
!:0 lxa
lgy például a bla viszonylatú index:'11
s __a________
, L _ "AM—_
, _ íg_ ina b/'__s ű ZPb'ZL_ F [26/
bla—* XI — d _ i—a Zpagi — b/a ,
" [] La/i
Iz 0
Vagyis van Yzeren heterogén csoportok módszerének nevezett, szemléletes közgaz—
dasági háttérrel rendelkező !. módszere nagyon közel áll a már bevezetőmben em- lített indextanulmányomban is bemutatott (Ginitől származó) többpoziciós formulá- hoz (1198. old.). amely a ,,statisztikoi" indexelmélet tipikus termékének tekinthető.
Lényeges különbség a kettő között, hogy Y' számítása bonyolult iterációs eljárást igényel, F kiszámítására viszont közvetlen képlet áll rendelkezésre. Márpedig ha az egyik indexnek van közgazdasági tartalma. akkor a hozzá szükségszerűen közeleső eredményt adó másiknak is van.
A ll. módszernél a [22/ képletet s-sel osztva, majd a súlyozott számtani átlag számítása helyébe egyszerű mértani átlag számítását téve (Y' '-ről áttérve X' '-re)
s ' ' ' VX?
d .
L..__L__1
/ "—
ÁV,-
adódik. Ha figyelembe vesszük hogy az átlaghoz viszonyított X: indexek átlaga —— és ennek reciproka —1-gyel egyenlő. és hogy X; konstans, akkor 2]] eredménye:
1 S d *
77 : iga Lu,- _ /27/
!
H A /26/-ban, majd a /28/- ban is mellőzöm az L formulákba behelyettesítendő aggregátumokkal végez- hető egyszerű átrendezések és egyszerűsítések részletezését.
AZ INDEXELMELET
273
A bla index:
_:H Lila Zpbgb Vé Z'p. ga : Sv(b/a)
: ZP 9 :— a 2P- fh, F b/
ii Li/b a a r a( 0)
x;,a_ [28/ .
A kapott eredmény nem más. mint F..tényező— antitézise", vagyis az értékindex
(S ) osztva az F(, volumenlndexszel. (Lásd említett indextanulmányomban az 1199.
oldalon. )
A lll. módszernél a ]--edik sor átalakított képlete [23/ helyett:
L x,. — 4 L Xi 9'
H "if—'I] 'n'—_ /2i
Aza ) Iza !
Ebbőh
/3.0/
% "_Ú—
L . 1] L.
X 11 bit. lla ___—___
__ b __ Iza ::a , u * sv(b/a)
Xb/a _ 7; _ ___—d d :VXb/aXb/a_ l/Fb,___—(b!) _ Fb/a /31/
iga Li/b íg Lal:
Van Yzeren három módszere közül az ENSZ— összehasonlításnál csak a harmadi—
kat alkalmazták, amiről most megállapíthattuk, hogy nagyon közeli ,.rokona" az F formulának (EKS-módszer).
Annak igazolására, hogy Y', Y" és Y valóban igen közel állnak az F, az S/F
és az F formulákhoz. a 6. táblában megadom van Yzeren sematikus példájában az indexek számszerű eredményeit (bázis az A-frank).6. tábla
Van Yzeren indexeínek összehasonlítása .,rokonaikkal"
Additív módszerek Multiplikatl'v módszerek
Ország __ _ A
1. (y') ! n. (Y") ] m. (Y) !. (F) [u. (s,/Fa); m. (F)
A . . 1 1 1 1 1 1
B . . . . . 054937 0.5830 0.5364 0.4937 055819 0.5360 C . . . 0.6604 0.7871 0.7210 0.6613 0.7855 0,7208 D . . . . . 0.6540 0.6965 O,6746 0.6499 0.6985 O,6738
! Statiszllkaí Szemle
'274 bR. KUVES m
A sematikus példáról az ENSZ-statisztikára áttérve nézzük meg, hogy milyen
viszonyban állanak egymással a különböző (az Egyesült Államokhoz viszonyított közvetlen F, valamint a többpozíciós Y, F: 6 és K) formulákkal nyert eredmények.Az összehasonlítás egzaktságának növelése érdekében két transzformációt is alkal—
m'aztam. Az Egyesült Államok bázisán megadott indexeket átszámítottam a tiz or-
szág átlagos színvonalához (az indexek mértani átlagához) mint bázishoz viszonyi- tott indexekké, majdminden így kapott eredményt országonként egy kiválasztott formula, éspedig az F eredményeihez viszonyítottam. A 7. táblában az ENSZ által
közölt indexeket és a kétszeres átalakítással kapott indexet láthatjuk. '7; tóblcr
Tíz ország 1970. évi egy főre jutó fogyasztásának indeXeí
333; t Walsh EKS van Yzeren Fisher
Ország ;
K G' F Y F
Az ENSZ—indexek l'
Egyesült Államok . . . 100,0 100.0 100.0 100.0 100,0
Franciaország . . . . 75,0 75,3 77.3 77,6 73,5
Német Szövetségi Köztársaság . . . 74.7 72.4 74.11 74.4 7155
Egyesült Királyság . . . 60,3 63,3 63.8 64.0 64, 0
Japán . . . . . . . . . . 61,5 ' óO.9 62,6 62,7 63,6
Olaszország . . . 45.8 47.1 48,4 48,4 47. 7
Magyarország . . ,. . . 40,3 40,7 40,7 40,8 40,2
Kolumbia . . . . . . . . . . . 15,9 14,5 15,1 15,1 15.0
lndia . . . . . . . . . . . . 7.1 6.2 6.2 * 6.2 6.3
Kenya . . . 5.7 5.1 5.6 5,7 6.0
Az átalakított indexek
Egyesült Államok . . . 99,6 102,5 100,0 999 99,9
Franciaország . . . . . 96,6 99,9 TXOD,O 100.2 95,0
Német Szövetségi Köztársaság ; . . 100,0 99.8 100,0 99,9 98,7 Egyesült Királyság. . . 94.l 101.7 100. 0 1002 1002
Japán . . . . . . . . . . . 97,8 99.8 'lÓO, 0 100.0 101,5
Olaszország . . . 94.13 99,8 100. 0 99,9 98,5
Magyarország . . . 98,6_ 102,5 100,0 7100,1 9.8,7
Kolumbia . . . , 1049 98.11 100,0 999 992
lncliu . . . . . . . . . . . . 1140 102.5 100.0 99,8 101.5'
Kenya . . . 101.4 93.4 1000 101.7 1079"
A legfeltűnőbb eredmény éppen az, hogy az Y és az F közötti eltérések — a többi index közti eltéréshez képest - aránytalanul a legkisebbek, sőt jelentéktele4
nek. Egyedül Kenya esetében látszik viszonylag nagyobb eltérés, de ennek spe- ciális oka van: az alacsony volumenindexnél igen nyersen kerekítettnek számít azUSA- szinvonal egy ezrelékének megfelelő pontossággal (két szignifikáns számjegy—
gyel) megadott eredmény. lgazolhatjuk ezt a feltevést azzal, hogy Kenya három szignifikáns számjegyű árindexénél is elvégezzük az összehasonlítást. Itt Y— 3,,79
F : 3.,80 az eltérés jelentéktelen. * —
Az indexek egybevetése után tehát megállapíthatjuk, hogy 'á' lényegesen köny- nyebben kiszámítható F- hez képest Y semmilyen többletinfOrmációt nemad
A 7. tábla eredményeit — Y elhagyásával —— a 11; ábrán grafikusan is ábrázol—
juk. Az egy főre jutó GDP nagysága szerint rangsorba rendezett Országok adatait az ábrán (némileg önkényesen) folytonos vonallal kötöttük össze.
AZ INDEXELMÉLET 275 11. ábra. Az egy főre jutó fogyasztás indexei az Fiormulához viszonyítva
%
775 ""
7 m i'
_/I 3/
705 l -
,.
A , .
700 'I M / ;4, *.
95
' 90 l l i ! r i
1 2. 3, 4, 5. 6. 7 8.
Ország
l s
m
Sad
Megjegyzés: Az X—tengelyen az országok neve helyett a 7. tábla szerinti sorszámuk szerepel;
Az indexformulákat áttekintő tanulmányomban tárgyalt módszerekkel. illetve az egyes formulák tulajdonságairól ott tett megállapítások alapján vizsgálhatnánk a különböző formulák eredményei közötti eltéréseket. Itt csak a legfeltűnőbb mozza- natot emelem ki: K,, értéke néhány ország. de leginkább lndia esetében nagymér- tékben eltér a többi formula eredményeitől. Korábbi megállapitásainkból követke- zik. hogy a K,, formulával készült volumenindex az alacsony volumenű pozíciók felértékelésére s így a magas szintűek aláértékelésére hajlamos. Jelen esetben va—
lóban a messzemenően legalacsonyabb (a többitől .,leszakadó") egy főre jutó fo- gyasztású három ország: Kolumbia. lndia és Kenya indexét emeli meg legjobban a K,, formula a többiekhez képest. Hogy közülük miért India emelkedik ki legjob—
ban, az tüzetesebb vizsgálatot igényelne. Hasonlóképpen kereshetnénk annak okát is. hogy Ö formulával Kenya indexe miért olyan kirívóan alacsony. Az ENSZ-kiad—
vány azonban nem közli a különböző súlyozású G(z) formulák eredményeit, ezek
nélkül pedig körülményes magyarázatot adni.
8. KÖVETKEZTETÉSEK
Bevezetőmben az indexek közgazdasági tartalma körüli vitákkal foglalkoztam,
és a továbbiakban megállapítottam, hogy a közgazdasági valóság és az index- elmélet viszonyának tisztázása nagyobb igényű feladat. mint azon kérdések meg- válaszolása, amelyek az indexszámítási gyakorlat és az indexszámítás módszerta- nának művelői körében a .,közgazdasági tartalom" fogalma körüli vitákban fel szoktak merülni. Át kellett tekintenünk ezért az indexelmélet különböző irányzatait.Ennek érdekében foglalkoztam az eloszlásszemléletű, a próbaszemléletű és a kö- zömbösségi görbéken alapuló megközelítéssel. Az időbeli indexszámítással párhu—
zamosan a térbeli összehasonlítás speciális szempontjait is figyelembe kellett venni.
41!
276 DR, KUVES PÁL
Témaválasztásomból — és a téma amúgy is sokágú voltából — következik. hogy az indexszámitás számos statisztikai gyakorlati és közgazdasági elemzési vonatko—
zást (például a g és a p adatok megszerzésének módját és pontosságát, a repre- zentativitást, az indexszámítás céljának megfelelő termékek körének meghatározá—
sát._ az átlagárak problémáit. a burkolt árváltozásokat stb.) nem érintettem. Van—
nak azonban az indexszámítás eredményeinek hasznosításával kapcsolatos olyan közgazdasági—statisztikai szempontok, amelyek az általam vizsgált elméleti prob—
lémakörtől el nem választhatók. Befejezésül ilyen értelemben vett gyakorlati szem- pontok figyelembevételét is feladatomnak tekintem. Fő célom. hogy a különböző
megközelítések által felvetett kérdésekben kialakított részvonatkozású álláspont-
jaim szintézisét kialakítsam, és ennek alapján a gyakorlat által hasznosítható aján-lásokat fogalmazzak meg.
Próbák és egyéb követelmények
Arra nézve, hogy az indexszámítás gyakorlatának fejlődése az elmélet mely kérdéseinek fontosságát növelheti, menet közben is láttunk példát. Azt is meg—
állapíthatjuk, hogy a népgazdasági mérlegek, nemzetgazdasági elszámolások több időszakra vonatkozó elkészítése" és a nemzetközi összehasonlítások is megkívánják a változatlan áras mérlegek és az indexek összhangját, vagy legalábbis kiélezik az összhang meglétét vagy hiányát.
A nemzetközi összehasonlítások irodalma foglalkozik többek között az ilyen összehasonlításokra szolgáló indexekkel szemben támasztható követelményekkel.
E követelmények között Drechsler László a ,,belső konzisztencia". Szilágyi György az ..additív konzisztencia" követelményét említi.42 A két elnevezés mögött ugyanaz a tartalom húzódik meg. Több egymáshoz kapcsolódva jelentkező követelményt so—
rolnak ide. éspedig az aggregálás—dezaggregálás következetes végrehajtásának lehetőségét, a csoportosítás eredményeképpen számítható részindexek és a főin—
dex közötti összhangot, a változatlan áras adatsorok. a megfelelő egyedi indexek és az összesítő index összhangját. annak lehetőségét, hogy a változatlan áras ada—
tokat az egyedi és az összesítő indexekkel összhangban megoszlási viszonyszámok- kal lehessen elemezni.
Az aggregálás konzisztenciáját — beleértve a részindexek és a főindex össz- hangját — az aggregációs próba teljesülése biztositja. A próbát a tisztán additív és a tisztán multiplikatív felépítésű indexek egyaránt teljesítik. A többi felsorolt kí—
vánság teljesüléséhez az szükséges, hogy additív felépítésű indexet számítsunk, ideértve a családfában feltüntetett additív ág mellett az aszimmetrikus formulá—
kat is, illetve a megfelelő többpozíciós formulákat. Nem lenne azonban helyes — véleményem szerint —- olyan követelményt állítani fel. hogy ,,legyen a formula ad- ditív felépítésű". A tesztek teljesülése annak a jele, hogy az index jól tükrözi a valóságot. Ha egy formula tisztán additív felépítésű, az annak a jele. hogy a for- mula ..nem elég bonyolult" felépítésű ahhoz, hogy a valóság .,igen jó" tükrözője
legyen. ,
A korábbiakból viszont az állapítható meg. hogy a gyakorlat igényli az additív konzisztenciát. De csakugyan a gyakorlat igényéről van szó? A gyakorlat legfőbb
igénye: a valóság hű tükrözése. A gyakorlatot azonban az elemzést készítő szak—
emberek. illetve az egyes részfeladatokat ellátó szakemberek csoportjai képviselik.
*? Dr. Drechsler László: Az indexek súlyozásának kérdései a nemzetközi összehasonlításoknál. $!atisz-_
tikai Szemle. 1973. évi 5. sz, 454—472. old.: Dr. Szilágyi György: Megjegyzések a nemzetközi összehasonli- tások sokoldalú indexrendszeréhez. Statisztikai Szemle. 1975. évi 5. sz. 516—530. old. *
AZ INDEXELMELET
277
lgy a népgazdasági mérleg készítői érthetően követelik meg az additivitást. Sok esetben — számot vetve az indexek pontatlanságával, valamint az additivitás által nyújtott áttekinthetőség gyakorlati hasznával -— bizonyos célra egyszerűbb fel—
építésű indexeket helyes használni. Jó tudni, hogy milyen formulát kell alkalmazni,
ha azt akarjuk, hogy az additív konzisztencia fennálljon, de ez a tulajdonság nem
a formula minőségének jelzője.A nemzetközi összehasonlítások irodalmában további követelményeket is em-
lítenek. llyen a súlyok iellemzősége és semlegessége. A jellemzőség fogalma (an-
golul characteristicity) Drechsler Lászlótól származik. Drechsler fogalmazása sze- rint .. a sűlyoknak jellemzőknek kell lenniök azokra az országokra, amelyeket éppen összehasonlítunk. Ez a követelmény megfelel annak az időbeli összehason—lítások (dinamikus indexek) területéről jól ismert igénynek, amit úgy szoktunk meg- fogalmazni: a súlyok ne avuljanak el."43
Itt ismét Fisherhez kell fordulnunk, aki nemcsak próbákat alkotott, hanem for- mulakonstruáló elveket, illetve megfogalmazott olyan veszélyeket, amelyeket a for- mulák megalkotásánál lehetőség szerint el kell kerülni. Szerinte az indexformulák- nak három rossz tulajdonsága lehet: vannak tévelygő (erratic), torzított (biased) és szeszélyes (freakish) indexszámok. A tévelygő formulák megsértik az idő— és (vagy) a tényezőpróbát, de a tévedés bármilyen irányú lehet. A torzítást Fisher kétfélekép—
pen értelmezi: az átlag típusára (a számtani átlag felfelé, a harmonikus lefelé torzít) és a súlyokra. Szeszélyesnek azokat a formulákat minősítette, amelyeknek tévelygése magas fokú. (llyen például az s formula.)
Fisher .,The making of index numbers" c. művében két alapvető próbát a
,.formulafelfedező" címmel is felruházott. (118. old.) A két próba segítségével ,,antitézis—formulák" hozhatók létre. Az időpróbán és a tényezőpróbán alapulókétféle keresztezés pedig a formulák kiigazításának (rectifying) eszköze.
A Drechsler-féle semlegesség nyilván — fisheri terminológiával — a súlyok tor—
zításmentességét jelenti. Meg kell azonban jegyezni, hogy míg napjainkban az L formulát tipikusan felfelé, a P formulát lefelé torzítottnak tekintjük (ideértve az ér- telemszerűen megfelelő térbeli indexeket is), addig Fisher szerint L és P nem tor- ,zít és nem szeszélyesf14 Éppen az egyedi indexek közötti negatív korrelációból adódó
torzításra hivatkozva szoktuk az F formulát választani. de Fisher inkább csak a ,.té—
velygéstől" kívánta az additív indexformulát keresztezés útján megszabadítani. Már említettük, hogy feltevésünk szerint Fisher egyes állításait példaanyagának sajá—
tosságai is befolyásolták. Itt is erről lehet szó, a negatív korreláció problémája kap- csán erre még vissza is térek.
Fisher említett művében kinyilvánította. hogy az állandó súlyozás elméletileg nem korrekt (27. old.), de a ..jellemzőség" követelményét nem általánosította.
Az indexformulákkal szemben támasztható követelmények szisztematikus át-
tekintésének helyes módját keresve, gondoljunk ismét a családfára. Mint már ko—
rábban kifejtettem, a közgazdasági tartalom iránti igényt úgy is megfogalmazhat- juk, hogy az indexformula adatbázisa minél mélyebben gyökerezzék az indexszá—
mítás tárgyának megfelelő közgazdasági valóság talajában. vagyis a formula ge—
nerációszáma legyen minél nagyobb. Ezt az általános követelményt részekre, fo—
kozatokra is bonthatjuk.
Azt mondhatjuk például, hogy a lehető legegyszerűbb eljárásokhoz (a súlya—
zatlan formulák alkalmazásához) képest felállítható az a követelmény, hogy az
4-3 Statisztikai Szemle. 1973. évi 5. sz. 455—456. old.
" Fisher ebben a kérdésben védekező pozícióból folytat vitát, és elismeri, hogy L és P ..néha kissé torzított". (410. old.)
