- J L -
CSERVENYÄK JÁNOS
EGY KÖZÉPISKOLAI GEtWElRiAI KÍSÉRLET ÜSSZEI UGLALÄSA. I I . RÉSZ.
A IIASONLÚSAGI TRANSZFORMÁCIÓK. A VEKIOROK FELÜONIAGA.
A TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK.
ABSTRACT: (A g e o m e t r i c e x p e r i m e n t made i n secondary s e l i o o l , 2nti p a r t . S i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s . B r e a k i n g up o f v e c t o r s . T r i g o n o m e t r i c a l f u n c t i o n s ) T h i s a r t i c l e i s t h e second p a r t o f a summary w r i t t e n on a secondary s c h o o l e x p e r i m e n t . As no summary was w r i t t e n on the f i r s t p a r t i t i s n e c e s s a r y t o say some words about i t . We d e a l t w i t h the a x i a l r e f l e c t i n g and w i t h i t s c o n s t i t u e n t s the o t h e r c o n g r u e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n s . Then w i t h the h e l p o f t h e s e v/e examined the f e a t u r e s o f g e o m e t r i c f o r m a t i o n s . F i n a l l y we e x p l a i n e d t h e v e c t o r as t h e sum t o t a l o f the d e r i v a t i o n a l a r r o w s o f s h i f t i n g , and the p o s s i b l e o p e r a t i o n s as w e l l . We examine t h e m a t e r i a l o f the second year i n t h i s a r t i c l e . We e x p l a i n e d Ute c e n t r a l e l o n g a t i o n , t h e s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n as the p r o d u c t of mul t i p l i c a t i u n o f t h e c o n g r u e n t i t y and c e n t r a l e l o n g a t i o n , and we examined the c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e s o f t h e f o r m a t i o n s as w e l l . We g e n e r a l l y examinded the c i r c u l a r f u n c t i o n s by the h e l p o f t h e c o o r d i n a t e s of t h e v e c t o r s .
We t h o u g h t i t was i m p o r t a n t to g i v e the c i r c u l a r f u n c t i o n s o f the n e g a t i v e , the ct± 1 8 0 ° , t h e 100° and the 9 0 ° - n a n g l e s as e a s i l y as p o s s i b l e by the h e l p o f t h e c o n g r u e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n s .
A k ö z é p i s k o l a i g e o m e t r i a I I . o s z t á l y o s tananyagának t á r g y a l á s á t a címben fel. nem t ü n t e t e t t P y t h a g o r a s t é t e l l e l k e z d t ü k . F e l h í v t u k a ü g y e i - met a r r a , hogy a tanév során a d e r é k s z ö g ű háromszögek v i z s g á l a t a k ö z é p - p o n t i k é r d é s l e s z .
szögek egybevágóságát f e l h a s z n á l a b i z o n y í t o t t u k i s . Részben g y a k o r l á s c é l j á b ó l , részben p e d i g , iiogy ne k e l l j e n örökké t á b l á z a t u t á n n y ú l n i a négyzet ipldala és á t l ó j a , v a l a m i n t a szabályos háromszög o l d a l a és magas- sága k ö z ö t t i k a p c s o l a t o t r ö g z í t e t t ü k . Később ez igen sok haszonnal j á r t . Nem k ö t e l e z ő t a n a n y a g k é n t , inkább csak g y a k o r l á s k é n t meghatároztuk a há- romszög o l d a l a i b ó l a háromszög magasságait és a i e r ü a ü l e t é t i s .
A h a s o n l ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó k
A s í k önmagára t ö r t é n ő újabb leképezésének e l ő k é s z í t é s e c é l j á b ó l az a l á b b i t é t e l e k e t i g a z o l t u k :
1. Egy szög s z á r a i t metsző g^ és g^ párhuzamos egyenesek és azok e l - t o l á s s a l n y e r t g t g1, és g ' o képei a szög ugyanazon s z á r a i b ó l egyenlő szakaszokat metszenek k i . Az á l l í t á s igazolása az e l t o l á s t u - l a j d o n s á g a i n a k f e l h a s z n á l á s á v a l t ö r t é n t . Na p l : a g , - e t a szög c s ú - c s á r a i l l e s z t e t t ü k és o l y a n e l t o l á s t a l k a l m a z t u n k , amely g ^ - e t g ^ - be v i t t e — s e z t véges sokszor a l k a l m a z t u k — akkor szakasz egyenlő és arányos r é s z e k r e t ö r t é n ő o s z t á s á r a n y e r t ü n k e l j á r á s t .
2. Ha egy szög s z á r a i t párhuzamos egyenespárokkal metsszük, akkor az e g y i k száron k e l e t k e z e t t szakaszok aránya egyenlő a másik száron k e - l e t k e z ő m e g f e l e l ő szakaszok a r á n y á v a l . (Párhuzams szelők t é t e l e ) . A b i z o n y í t á s n á l l e s z ö g e z t ü k , hogy elegendő az á l l í t á s t k é t párhuzamos egyenespárra e l v é g e z n i . A b i z o n y í t á s t egyébként a minden szakember á l - t a l j ó l i s m e r t módon v é g e z t ü k . Csak a b i z o n y í t á s u t o l s ó g o n d o l a t á n á l k e l l e t t e l f o g a d h a t ó i n d o k l á s t t a l á l n i . Természetesen néhány lépés u t á n e l k é s z í t e t t ü k k é t - k é t szakasz aránya különbségének a b s z o l u t é r t é k é t , a m i r ő l k i d e r ü l t , hogy — - n é l k i s e b b . I t t azt mondtuk, hogy n minden h a t á r o n t ú l v a l ó n ö v e l é s é v e l a k á r m i l y e n k i c s i n y - számok jönnek l é t - r e , amelyeknél k i s e b b nem n e g a t í v szám csak a n u l l a l e h e t .
- 33 -
így adódott a k é t - k é t m e g f e l e l ő szakasz arányának egyenlősége, i l l e t v e a t é t e l b e n kimondott á l l í t á s .
A t é t e l egyszerűbb alakban t ö r t é n ő kimondását s e g í t e t t e az, bogy r á - j ö t t ü n k , ha az e g y i k egyenest a szög csúcsára i l l e s z t j ü k és a k é t p á r b ó l e g y e t - e g y e t egybeesőnek v á l a s z t u n k , akkor a b i z o n y í t á s b a n s z e r e p l ő k é t párhuzamos egyenespár h e l y e t t k é t párhuzamos egyenest i s mondhatunk.
Vagyis, ha egy szög s z á r a i t k é t párhuzamos egyenessel metsszük, akkor az egyik száron k e l e t k e z e t t szakaszok aránya a másik száron k e l e t k e z e t t meg- f e l e l ő szakaszok arányával egyenlő. Ekkor az í g y kimondott, t é t e l m e g r n r - d í t á s á t könnyű v o l t megfogalmazni ( 3 . t é t e l ) . A b i z o n y í t á s t i n d i r e k t módszerrel a legegyszerűbb esetben e l i s v é g e z t ü k , a t ö b b i e s e t e t szorgalmi f e l a d a t n a k m e g j e l ö l v e b e s z é l t ü k meg az é r d e k l ő d ő k k e l ó r á n k í v ü l .
A témakör 4. á l l í t á s a a következő v o l t . Ha egy szög s z á r a i t p á r h u z a - mos egyenesekkel metsszük, akkor a párhuzamosokból a szárak közé eső s z a - kaszok aránya egyenlő a párhuzamos egyeneseknek a szög s z á r a i b ó l k i m e t - s z e t t m e g f e l e l ő szakaszainak a r á n y á v a l .
G y a k o r l á s u l és ö s s z e f o g l a l á s u l egy szög s z á r a i t k é t párhuzamos egyenessel m e t s z e t t ü n k és tanulmányoztuk a f e l í r h a t ó a r á n y o k a t . I t t f o g l a l k o z t u n k a z z a l a t é t e l l e l , hogy a háromszög b e l s ő s z ö g f e l e l ő j e a szemközti o l d a l t a szöget bezáró k é t o l d a l á n a k arányában o s z t j a k e t t é .
Az i t t f e l v á z o l t anyag u t á n é r t e l m e z t ü k a c e n t r á l i s n y ú j t á s t , m i n t a síknak a z t az önmagára t ö r t é n ő l e k é p e z é s é t , amelynél egy 0 pont f i x p o n t , és a s í k t e t s z ő l e g e s 0 - t ó l különböző P p o n t j á h o z azt a P' p o n t j á t r e n d e l i az 0P f é l e g y e n e s e n , amelyre OP' = m ' 0P, ahol m > 0 v a l ó s szám. S z ó l - tunk i t t a k i c s i n y í t é s r ő l , a n a g y í t á s r ó l , és alkalom n y í l t a t r a n s z f o r m á - c i ó , az azonos leképezés, v a l a m i n t az i n v a r i á n s egyenes fogalmának m é l y í - t é s é r e . B e l á t t u k , hogy e g y e n e s t a r t ó és hogy ha egy egyenes nem i l l e s z k e - d i k az 0 p o n t r a , akkor a képével párhuzamos az egyenes.
Megmutattuk, hogy a c e n t r á l i s n y ú j t á s t a centruma és egy m e g f e l e l ő p o n t j á r a egyértelműen meghatározta. (Abban az esetben i s , amelyben a t e t s z ő l e g e s pont i l l e s z k e d i k a centrum és a m e g f e l e l ő pontpár egyenesé- r e . ) K i m u t a t t u k a c e n t r á l i s n y ú j t á s s z ö g t a r t ó ós a r á n y t a r t ó t u l a j d o n s á g á t s megmutattuk a z t i s , hogy ha az AB szakasz párhuzamos és e g y i r á n y ú az A ' B ' s z a k a s s z a l , akkor l é t e z i k o l y a n c e n t r á l i s n y ú j t á s , amely e g y i k s z a -
F o g l a l k o z t u n k kör c e n t r á l i s n y ú j t á s s a l n y e r t képével ( k ö r ) , s c e n t r á - l i s n y ú j t á s o k s z o r z a t á v a l i s ( c e n t r á l i s n y ú j t á s vagy e l t o l á s ) .
Az elmondott á l l í t á s o k a t a c e n t r á l i s n y ú j t á s t regelőző t é t e l e k s e g í t - ségével mind b i z o n y í t o t t u k .
A következő f e j e z e t b e n é r t e l m e z t ü k a h a s o n l ó s á g i t r a n s z f o r m á c i ó t . A s í k minden o l y a n önmagára t ö r t é n ő l e k é p e z é s é t , amely egybevágóságuk és c e n t r á l i s n y ú j t á s o k ö s s z e t é t e l é b ő l á l ] hasonlósági leképezésnek vagy ha- sonlóságnak n e v e z t ü k .
Ez az értelmezés a z é r t i s b i z o n y u l t szerencsésnek, mert a t a n u l ó k az egybevágóság és a c e n t r á l i s n y ú j t á s közös t u l a j d o n s á g a i t f e l i d é z t é k és e l ő á l l t a k a hasonlóság t u l a j d o n s á g a i .
Ezek: 1. A hasonlóság t r a n s z f o r m á c i ó , van i n v e r z e és az i s h a s o n l ó s á g . 2. Egyenes képe egyenes, f é l e g y e n e s képe f é l e g y e n e s , szakasz képe
szakasz.
3. A r á n y t a r t ó . 4. S z ö g t a r t ó .
5. Párhuzamos egyenesek képei párhuzamosak.
6. Hasonlóságok ö s s z e t é t e l e i s hasonlóság.
Nem v o l t nehéz b e l á t n i , hogy az egybevágóságok, a c e n t r á l i s n y ú j t á s o k mind hasonlóságok, s a hasonlóságok halmaza t a r t a l m a z z a az nznnns l e k é p e - zést (ha az egybevágóság és a c e n t r á l i s n y ú j t á s i s azonosság). Ha az egy- bevágóság c e n t r á l i s t ü k r ö z é s , s a c e n t r á l i s n y ú j t á s s z o r z a t á t n e g a t í v t é n y e z ő j ű f i x p o n t t a l rendelkező ( f i x p o n t a centrum) hasonlósági l e k é p e - zésnek nevezzük.
Gondot f o r d í t o t t u n k a hasonlóság és az a l a k z a t o k hasonlósága ( r e l á c i - ó i f e l t ű n ő megkülönböztetésére. Két g e o m e t r i a i a l a k z a t o t akkor neveztünk hasonlónak, ha l é t e z i k o l y a n h a s o n l ó s á g i leképezés, amely e g y i k e t a má- sikba v i s z i .
Ezek u t á n hasonló a l a k z a t o k t u l a j d o n s á g a i v a l f o g l a l k o z t u n k , majd kö- r ö k , négyzetek, t é g l a l a p o k , háromszögek hasonlóságát v i z s g á l t u k . Megmu- t a t t u k , hogy az a d o t t f e l t é t e l e k m e l l e t t l é t e z i k o l y a n hasonlósági l e k é - pezés, amely egyik a l a k z a t o t a másikba á t v i s z i . A háromszögek e s e t é t k ü - lönös gonddal k e z e l t ü k , akár az egybevágóságnál. Ügy é r z é k e l t ü k , hogy a
- 35 -
háromszögek egybevágósága, i l l e t v e hasonlósága k o n k r é t t a r t a l m a t n y e r t minden k o r á b b i t á r g y a l á s m ó d d a l szemben. Csak p é l d a k é n t mutatunk be egy b i z o n y í t á s t a háromszögek hasonlóságának négy a l a p e s e t é b ő l e g y e t .
l é t e i : Két háromszög I t a s o n l ó , ha k é t - k é t o l d a l u k aránya és az ezek á l t a l b e z á r t egy-egy szögük e g y e n l ő .
B i z o n y í t á s : Legyen c0: c , = b0: b . és ,, = . Az A, c e n t - i \ i Í i j i rumé m = C2: C] ( = l ^ t b ^ ) t é n y e z ő j ű c e n t r á l i s n y ú j t á s az A J B J C J
háromszöget o l y a n A.B-jC-j háromszögekre v i s z i , amelynek o l d a l a i
C3=^C2C1= C2 ' = bl ~b2; e " í '
Az A^B-JC-J háromszög egybevágó az háromszöggel, t e h á t van o l y a n egybevágóság, amely az A^B^C^. háromszöget az
háromszögbe v i s z i . A c e n t r á l i s n y ú j t á s és egybevágóság ö s s z e t é t e l é b ő l á l - l ó h a s o n l ó s á g i leképezés az A ^ C , háromszöget az A?B7C9 há-
romszögbe v i s z i , t e h á t h a s o n l ó k .
Minden t o v á b b i esetben m e g a l k o t t u k a h a s o n l ó s á g i l e k é p e z é s e k e t , ame- l y e k e t a t a n u l ó k különösebb probléma n é l k ü l magukévá t e t t e k .
A t r a n s z f o r m á c i ó s s z e m l é l e t e l ő n y e i t t i s fényesen m e g m u t a t k o z o t t . A háromszögek hasonlóságának f e l h a s z n á l á s á v a l b i z o n y í t o t t u k a derékszögű háromszögekre a magasság-; és b e f o g ó t é t e l t és P y t h a g o r a s t é t e l é t , majd ö s s z e h a s o n l í t o t t u k a számtani és m é r t a n i k ö z e p e t , a magasság-; és b e f o g ó - t é t e l l e h e t ő s é g e t a d o t t i r r a c i o n á l i s szám liosszúságú szakasz s z e r k e s z t é - s é r e . "
A h a s o n l ó s á g o t f e l h a s z n á l t u k a háromszög s ú l y v o n a l a i r a v o n a t k o z ó t é - V j . /
t e l b i z o n y í t á s á r a , majd h a s o n l ó sokszögek k e r ü l e t é n e k és t e r ü l e t é n e k a r á n y á t i s m e g v i z s g á l t u k .
A t é r s z e m l é l e t f e j l e s z t é s e érdekében a t é r b e l i egybevágósági t r a n s z - f o r m á c i ó k s o r á t b ő v í t e t t ü k a t é r b e l i f o r g á s s a l és p o n t r a vonatkozó t ü k r ö - z é s s e l , majd é r t e l m e z t ü k a t é r b e l i c e n t r á l i s n y ú j t á s t . A t é r minden o l y a n önmagára t ö r t é n ő l e k é p e z é s é t , amely t é r b e l i egybevágóságok és t é r b e l i c e n t r á l i s n y ú j t á s o k ö s s z e t é t e l é b ő l á l l e l ő , t é r b e l i h a s o n l ó s á g i l e k é p e - zésnek n e v e z t ü k .
Értelmeztük a t é r b e l i a l a k z a t o k hasonlóságát i s ( h a s o n l ó a n a s í k b e l i - hez) és v i z s g á l t o k a t e s t e k f e l s z í n é n e k , t é r f o g a t á n a k a r á n y á t , végül be- b i z o n y í t o t t u k , hogy a g ú l a a l a p l a p j á v a l párhuzamos s í k m e t s z e t e i n e k t e r ü - l e t e i úgy a r á n y l a n a k egymáshoz, mint c s ú c s t ó l mért t á v o l s á g a i k négyeze- t e i .
i
B i z o n y í t o t t u k , hogy minden kocka, minden gömb hasonló és minden o l y a n t é g l a t e s t hasonló, amelyek m e g f e l e l ő é l p á r j a i n a k aránya e g y e n l ő .
Vektorok f e l b o n t á s a
A továbbiakban i s a r r a t ö r e k e d t ü n k , hogy az ú j ismeretek k ö z l é s é t t é - t e l e k formájában végezzük e l és l e h e t ő l e g b i z o n y í t s u n k . Ekkor már j e l e n t k e z e t t i s a b i z o n y í t á s i i g é n y , igaz inkább a j o b b t a n u l ó k esetében.
Ez azonban a t o v á b b t a n u l n i szándékozók szempontjából ó r i á s i p o z i t í v u m . B e b i z o n y í t o t t u k , hogy ha az £ és tj v e k t o r o k nem k o l l i n e á r i s a k , akkor bármely az £ és tj v e k t o r o k k a l nem k o m p l a n á r i s v^ v e k t o r egyértelműen á l - l í t h a t ó e l ő az £ és b_ v e k t o r s e g í t s é g é v e l v^ = a + / ' b a l a k b a n , ahnl
c! és fi valós számok. Ezt úgy i s k i f e j e z t ü k , houy v_ e l ő á l l í t h a t ó az £ és b l i n e á r i s k o m b i n á c i ó j a k é n t . B e l á t t u k a z t i s , hogy ha az a ^ b és c v e k - t o r o k r a az « £ + fi b_ + } c = Ü á l l f e n n , ahol , fi és > nem mind n u l l á k , síikor az b ^ £ vektorok k o m p l a n á r i s a k .
I g a z o l t u k még, hogy a t é r bármely v e k t o r a egyél- te hunén á l l í t h a t ó e l ő a rtem komplanáris a, b , c v e k t o r o k l i n e á r i s k o m i n á c i ó j a k é n t . B e s z é l t ü n k az egymástól l i n e á r i s a n függő és f ü g g e t l e n v e k t o r o k r ó l . A t é r k é t £ és Ii v e k t o r á t l i n e á r i s a n függőnek nevezzük, ha n £ + / i b = 0, 1 i n e á r i s a n f ü g g e t l e n , ha « £ + / í b = Persze ebből az i s k ö v e t k e z i k , hogy a t é r bármely k é t k o l l i n e á r i s v e k t o r a egymástól l i n e á r i s a n függő, s k é t nem k o l l i n e á r i s v e k t o r a egymástól l i n e á r i s a n f ü g g e t l e n .
A t é r £j_ c vektorhármasát l i n e á r i s a n függőnek nevezzük, ha r x £ + i] b + i c = l i n e á r i s a n f ü g g e t l e n n e k , ha £ + b + } c = 0 . Ebből k ö v e t k e z i k , hogy a t é r bármely k o m p l a n á r i s vektorhármasa egymástól l i n e á r i s a n függő, nem k o m p l a n á r i s vektorhármasa l i n e á r i s a n f ü g g e t l e n , s bármely vektornégyese egymástól l i n e á r i s a n függő.
- 37 -
A vektorok k o o r d i n á t á i
M i v e l a k o m p l a n á r i s v e k t o r o k eyy s í k b e l i r e p r e z e n t á n s a i k k a l megadha- t ó k , s í k b e l i vektoroknak neveztük a z o k a t .
A továbbiakban t e k i n t e t t ü k a s í k k é t nem k o l l i n e á r i s e. és e? l a i
t é r három nem k o m p l a n á r i s e( , o és v e k t o r á t , ezeket a l a p v e k t o - roknak ( b á z i s v e k t o r o k n a k ) n e v e z t ü k .
Ekkor a s í k £3 i l l e t v e a t é r b v e k t o r a egyértelműen á l l í t h a t ó e l ő
£ = , + y • i l l e t v e b = + z a l a k b a n , nhnl x , y, z valós számok.
Az e l ő á l l í t á s b a n s z e r e p l ő x , y , z számokat a v e k t o r k o o r d i n á t á i n a k neveztük az a l a p v e k t o r o k r a nézve.
A v e k t o r v é g t e l e n sok elemű halmaz, t e t s z ő l e g e s p o n t b ó l i n d u l ó r e p r e - sentánsával megadható.
Ha a k o o r d i n á t a r e n d s z e r o r i g ó j á t v á l a s z t j u k a v e k t o r o k k e z d ő p o n t j á - nak, h e l y v e k t o r o k r ó l b e s z é l ü n k . M e g a l k o t t u k a D e s c a r t e s - f é l e k o o r d i n á t a - rendszer f o g a l m á t , és f e l v e t t ü n k a l a p v e k t o r o k n a k a t e n g e l y e k egységpont- j a i b a mutató h e l y v e k t o r o k a t . Ezek után bármely pontba mutató h e l y v e k t o r e l ő á l l í t h a t ó a három a l a p v e k t o r ( s í k b a n k é t a l a p v e k t o r ) l i n e á r i s k o m b i n á c i ó j a k é n t , s m e g á l l a p í t o t t u k , v e k t o r k o o r d i n á t á i n I m l y v e k t o r végpontjának k o o r d i n á t á i v a l e g y e n l ő k .
Ezek a l a p j á n a v e k t o r hossza m i n t egy t é g l a t e s t ( t é g l a l a p ) á t l ó j á n a k hosszaként a d ó d o t t . Ezek u t á n a k o o r d i n á t á k k a l a d o t t v e k t o r o k k a l v é g z e t t műveletekre megfogalmazott t é t e l e k b i z o n y í t á s a s z i n t e ö n á l l ó munkával
t ö r t é n t . A b i z o n y í t á s i igény a tanulók zöménél ekkor már f e l t á m a d t . A k é t pont t á v o l s á g á r a vonatkozó összefüggés, a szakasz a d o t t a r á n y - ban t ö r t é n ő f e l o s z t á s a v a l a m i n t k é t v e k t o r e g y á l l á s ú s á g a szükséges és elégséges f e l t é t e l é n e k megfogalmazása és b i z o n y í t á s a semmilyen nehézséget nem j e l e n t e t t .
A t r i g o n o m e t r i á b ó l a szögfüggvények é r t e l m e z é s é t végeztük e l . Az irányszögű e g y s é g h e l y v e k t o r k o o r d i n á t á i t , i l l e t v e azok m e g f e l e l ő hányado- s a i t neveztük az «? szög cosinusának, s i n u s á n a k , tangensének, i l l e t v e cotangensének.
M i v e l a h e l y v e k t o r k o o r d i n á t á i a végpont k o o r d i n á t á v a l e g y e n l ő k , e l ő s z ö r az e l ő j e l e k meghatározását végeztük e l , majd m i v e l a v e k t o r f e l -
nulók a p e r i o d i c i t á s t , meghatároztuk a 30°, 4 5 ° , 60°-os szögek s z ö g f ü g g v é n y é r t é k e i t , egy k ö z e l í t ő g r a f i k o n t k é s z í t e t t ü n k mind a négy függvényhez.
Azonos l é p t é k e k e t használunk a négy függvény g r a f i k o n j á n a k k é s z í t é s é - r e , e g y ü t t e s szemlélése s e g í t e t t az a l a p v e t ő összefüggések r ö g z í t é s é b e n .
A n e g a t í v szögek, az a t l 8 0o- n e k , a 1 8 0 ° - « , i l l e t v e a 9 0 ° - * szögek szögfüggvényeinek meghatározásakor a pontok k o o r d i n á t á i n a k v á l t o - zását v i z s g á l t u k a t e n g e l y e k r e , az o r i g ó r a , i l l e t v e az y = x egyenesre vonatkozó tükrözések e s e t é n .
Nagyon s z e m l é l e t e s e n l e h e t e t t í g y megadni a függvények p a r i t á s á n a k fogalmát i s . A szögfüggvények egyéb t u l a j d o n s á g a i n a k v i z s g á l a t a természe- tesen időben megtárgyalásra k e r ü l t , i t t inkább azt emeltük k i , hogyan l e - h e t e t t a t r a n s z f o r m á c i ó k a t , i l l e t v e a v e k t o r o k a t a szögfüggvények f o g a l - mának k i a l a k í t á s á n á l f e l h a s z n á l n i .
Ezen tananyag t á r g y a l á s a megmutattn, tiogy a t r a n s z f o r m á c i ó s s z e m l é l e - t ű g e o m e t r i a , a fogalmak d e f i n i á l á s a , az á l l í t á s o k t é t e l szerű kimondása, azok b i z o n y í t á s á n a k igénye — l e g a l á b b i s az igény f e l k e l t é s e — kevesebb e n e r g i á t h a s z n á l t e l t a n u l ó t ó l , t a n á r t ó l egyaránt ahhoz, ltogy j ó s z í n v o - nalon s a j á t í t s á k e l a t a n u l ó k a t a n a n y a g o t .
Irodaion)
1. Az érvényben l é v ő á l t a l á n o s i s k o l a i t a n t e r v . 2. Az érvényben l é v ő k ö z é p i s k o l a i t a n t e r v .
3. A forgalomban l é v ő á l t a l á n o s i s k o l a i tankönyvek.
4. A forgalomban l é v ő k ö z é p i s k o l a i tankönyvek.
5. Dr. Hajós György: Bevezetés a g e o m e t r i á b a . Tankönyvkiadó 1960.
6. D r . P e l l e B é l a : Geometria. Tankönyvkiadó 1974.
7. Dr. Cservenyák János: A geometria k ö z é p i s k o l a i s z i n t ű f e l d o l g o z á s a t r a n s z f o r m á c i ó k k a l és v e k t o r o k k a l . Egyetemi d o k t o r i d i s s z e r t á c i ó . 1977.
