Egy középiskolai geometriaoktatási kísérletről. III. rész.

- 7 1 -

C S E R V E N Y Á K J Á N O S

EGY K Ö Z É P I S K O L A I G E O M E T R I A O K T A T Á S I K Í S É R L E T R Ő L I I I . R É S Z

A B S T R A K T O : CPri eks per imént o de mezi eme ja geometrioinstruado. Ill-a pártol.

Tiu ci laborajo esi as prezentado de tiu eksper imént o, kiu r o í a s en la titolo de teksto pri mezi eme ja geometrio, kaj gi donas resuomon pri la par to de la studmaterio de la lll-a klano. Unue prezentas la akribajo tiun instrumateriojn, kiujn oni ellaboris d u m

la lernojaro.

InBtrumaterioj: komparo inter la angulofunkciój de la pintanguloj, s k a l a r a produktado de vektoroj kaj praktikaj aplikadoj de tiuj. Flue eséas en teksto la koordinatogeometrio de la linio, la cirklo, ia elipto, hiperbolo kaj parabolo kaj iliaj praktikaj aplikadoj.

Duaparte-nature en la lemo okazas int ertempe met odaj kaj simpligataj provoj por tiu celo, ke la gelernantoj alproprigu pl ej efike kaj pl ej facile tiun priskribitan s tudmaterion.

Ebben a d o l g o z a t b a n a III. o s z t á l y b a n t a n í t o t t g e o m e t r i a i t a n a n y a g o t , annak t a n í t á s á n a k egy m ó d j á t é s a t a n í t á s e s e t l e g e s e r e d m é n y e i t s z e r e t n é n k m e g i s m e r t e t n i . A II.

o s z t á l y b a n i s m e r t e t t ü k a négy s z ö g T ü g g v é n y é r t e l m e z é s é t t e t s z ő l e g e s s z ö g r e , v i z s g á l t u k t u l a j d o n s á g a i k a t , á l t a l a m

s z e r e n c s é s n e k tartott á b r a ö s s z e s s é g e k s e g í t s é g é v e l v i z s g á l t u k k a p c s o l a t u k a t . Külön f i g y e l m e t s z e n t e l t ü n k a n e g a t í v s z ö g e k , az a ° ± 1 8 0 ° — o s , a 1 8 0 ° - a ° - o s , a 9 0 ° - a ° - o s s z ö g e k s z ö g f ü g g v é n y e i r e , é s a k ö n n y e b b t a n u l á s é s m e g j e g y e z h e t ő s é g é r d e k é b e n k e r e s t ü k a k a p c s o l a t u k a t az e g y b e v á g ó s á g i t r a n s z f o r m á c iókkal.

A III. o s z t á l y e l s ő t a n a n y a g r é s z e a h e g y e s s z ö g e k s z ö g f ü g g v é n y e i k ö z ö t t i k a p c s o l a t o k f e l i s m e r t e t é s e volt.

A 0 ° < a < 9 0 ° t a r t o m á n y b a n m i n d e g y i k s z ö g f ü g g v é n y é r t é k e p o z i t i v . A z 1. ábrán l á t h a t ó k a l a p j á n a sin2ct + cos2cx = 1 ö s s z e f ü g g é s é s a tga, v a l a m i n t a c t g a é r t e l m e z é s e a l a p j á n h a m a r f e l i s m e r t é k a tanulók, hogy b á r m e l y i k szög s z ö g f ü g g v é n y é n e k m e g a d á s á v a l a szög t o v á b b i három s z ö g f ü g g v é n y é r t é k e meghat.ározható. Sőt é r d e k e s v o l t t a p a s z t a l n i azon fel i s m e r é s ü k e t is, hogy a s z ö g f ü g g v é n y é r t é k m e g o l d á s á v a l (még ha i r r a c i o n á l i s is a

szám, pl: j ^ a

m e g s z e r k e s z t h e t ő is.

Pl. :

tg a = I

s z ö g f ü g g v é n y é r t é k h e z t a r t o z ó szög

ctg a s i n a =

c o s a = v T

1

EL

2. ábra 3. á b r a 4,. á b r a

- 7 3 -

A k ö v e t k e z ő a n y a g r é s z két, s z ö g ö s s z e g e , k ü l ö n b s é g e , adott- szög k é t s z e r e s e é s fele s z ö g f ü g g v é n y é r t é k e i n e k m e g h a t á r o z á s a volt az adott s z ö g e k s z ö g f ü g g v é n y é r t é k e i t ő l . T e r m é s z e t e s e n az é r t e l m e z é s h e z k a p c s o l ó d v a az a + (3 s z ö g h ö z t a r t o z ó e g y s é g v e k t o r k o o r d i n á t á i t h a t á r o z t u k meg c o s C a + ß ) —t é s s i n C a + ft~) —t, m a j d a már i s m e r t ö s s z e f ü g g é s e k i s m e r e t é b e n a t ö b b i ö s s z e g z é s i tételt is. A f é l s z ö g e k s z ö g f ü g g v é n y e i t a z é r t e m e l t ü k ki m é g i n k á b b , m e r t g y a k o r l a t i t a p a s z t a l a t u n k , hogy igen sok f e l a d a t m e g o l d á s á b a n van rá s z ü k s é g , s i n k á b b a k i s z á m í t á s m ó d j á t a j á n l o t t u k m e g j e g y e z n i a

c o s2 j + s i n2 j = 1; c o s2 ~ s i n2 ^ = c o s cu ö s s z e f ü g g é s e k ö s s z e v o n á s a i v a l .

A s z ö g f ü g g v é n y e k t r a n s z f o r m á c i ó i című a n y a g r é s z a d o t t ú j a b b a l k a l m a t a g e o m e t r i a i t r a n s z f o r m á c i ó k i s m é t l é s é r e , ö s s z e f o g l a l á s á r a . Innentől k e z d v e a s z ö g e k e t r a d i á n o k b a n mértük.

T e r m é s z e t e s e n m i n d e g y i k s z ö g f ü g g v é n y e s e t é n e l v é g e z t ü k az alábbi t r a n s z f o r m á c i ó k a t :

I. 1. y = - f C x ) ; x t e n g e l y r e v a l ó t ü k r ö z é s ;

2. y = a ' f C x ) , "a" v a l ó s s z á m ; y t e n g e l y irányú n y ú j t á s ; Cha 0<a<l, " z s u g o r í t á s " , ha a>l n y ú j t á s , ha a < 0 , a k k o r

még x t e n g e l y r e v o n a t k o z ó t ü k r ö z é s is);

3. y = f C x ) + b • y tengely irányú e l t o l á s ;

Cha b>0, a k k o r az y t e n g e l y p o z i t í v ; ha b<0, a k k o r az y t e n g e l y negativ ága irányú az eltolás).

Az 1. é s 2. e s e t é b e n a f i x p o n t o k r a ü g y e l t ü n k , míg a 3 - b a n a b=0 e s e t é n az a z o n o s l e k é p e z é s fogalmát, e m e l t ü k ki.

E h á r o m t r a n s z f o r m á c i ó t ért éh vagy függvénytranezjormációnak n e v e z tük.

II. 1. y — f ( — x ) , y t e n g e l y r e v a l ó t ü k r ö z é s ;

2. y = f ( c x ) , " c " v a l ó s s z á m ; x t e n g e l y i r á n y ú n y ú j t á s ; Cha c > i " z s u g o r í t á s " , ha 0 < c < l n y ú j t á s , az x = 0 - h o z

t a r t o z ó p o n t f i x p o n t ) ;

3. y = f C x + m ) , x t e n g e l y i r á n y ú e l t o l á s ;

(ha m > 0 a z x t e n g e l y n e g a t í v , ha m < 0 az x t e n g e l y p o z i t í v á g a i r á n y ú az e l t o l á s ) .

E h á r o m t r a n s z f o r m á c i ó t változó tranazformációnak h í v t u k . P e r s z e o l d o t t u n k m e g k e v é s b é é s igen b o n y o l u l t f e l a d a t o k a t is, a z u t ó b b i a k a t a t o v á b b t a n u l n i k é s z ü l ő k k e l f ő l e g k ü l ö n f o g l a l k o z á s o k o n (pl.: s z a k k ö r ö n ) .

A t r i g o n o m e t r i k u s e g y e n l e t e k m e g o l d á s á b a n újat a v e k t o r o k k a l v a l ó i n t e n z í v e b b f o g l a l k o z á s a d o t t .

Á l l j o n itt e r r e e g y n a g y o n e g y s z e r ű p é l d a . O l d j u k meg a c o s x — s i n x — 0 e g y e n l e t e t !

M E G O L D Á S : L e g y e n e k az e e g y s é g v e k t o r k o o r d i n á t á i c o s x é s s i n x. Az e g y e n l e t s z e r i n t c o s x = s i n x, v a g y i s e e g y á l l á s ú a v = a C i + j ) v e k t o r r a l ( a h o l "a" t e t s z ő l e g e s ) , h i s z e n a v v e k t o r az i_ é s e g y s é g v e k t o r o k á l t a l m e g h a t á r o z o t t s z ö g f e l e z ő j é r e ( r o m b u s z — n é g y z e t ) i l l e s z k e d i k . T e h á t az e v e k t o r az i v e k t o r 4 5 ° - o s v a g y 2 2 5 ° - o s e l f o r g a t á s á v a l áll e l ő ,

p á r o s , 2k+l p á r a t l a n e g é s z , a k é t f a j t a g y ö k e g y ü t t írva 5 . dLII d

v a g y i s

xt = jj + k'2íl , v a g y

x² = | U + k * 211, a h o l k e Z

M i v e l + k* 2 n 1} + H ( 2 k + 1 ) , é s m i v e l 2 k

x = J + i n , a h o l 1 € Z.

F e l a d a t o k a t h a g y o m á n y o s ú t o n is o l d o t t u n k meg.

- 75 -

Nagy Figyelmet- s z e n t e l t ü n k a F e l a d a t o k m e g o l d á s a u t á n az e l l e n ő r z é s r e , i l l e t v e az á l 1 á s F o g l a l á s r a a b b a n az é r t e l e m b e n , hogy a k a p o t t e r e d m é n y e k v a l ó b a n m e g o l d á s a i a F e l a d a t o k n a k . O l d o t t u n k meg p e r s z e t r i g o n o m e t r i k u s e g y e n l e t r e n d s z e r e k e t is, az ö s s z e F ü g g é s e k a l k a l m a z á s á r a p e d i g i g a z o l t u n k t r i g o n o m e t r i k u s a z o n o s s á g o k a t is.

A c o s i n u s t é t e l v a l a m i n t a k o o r d i n á t a g e o m e t r i á b a n az e g y e n e s e k k ö l c s ö n ö s h e l y z e t é n e k m e g h a t á r o z á s a i g é n y e l h e t i k é t v e k t o r s k a l á r i s s z o r z a t á n a k F o g a l m á t .

D E F I N Í C I Ó : Két v e k t o r s k a l á r i s s z o r z a t á n a k é t v e k t o r h o s s z á n a k é s a k ö r b e z á r t s z ö g ü k c o s i n u s á n a k s z o r z a t á t é r t e t t ü k . J e l e p l . : a ' b a,n:®- a z lül ' I ki *c o s a - v al e g y e n l ő , s m i v e l m i n d h á r o m t é n y e z ő v a l ó s s z á m a ' b is az.

Ha a k é t v e k t o r k ö z ü l az e g y i k 0, a s z ö g ü k , igy c o s i n u s a sem e g y é r t e l m ű , a s k a l á r i s s z o r z a t m é g i s e g y é r t e l m ű , m é g p e d i g n u l l a . B e b i z o n y í t o t t u k t u l a j d o n s á g a i t , s n é h á n y m e g j e g y z é s t t e t t ü n k :

1. a ' b = b*a , < kommut.ativ) ; 2. \a e s e t é n ( X a ) ' b = A ( a ' b ) :

3. § C b+c ) = a ' b + a'c C d i s z t r i b u t i v ) ;

E n n e k b i z o n y í t á s á t is m e g m u t a t t u k k é t f é l e F e l v é t e l e s e t é n is.

T e k i n t e t t ü k az a, b é s c, v a l a m i n t az a i r á n y á b a e s ő a ° e g y s é g v e k t o r t .

cCb

a

af • b

6. á b r a 7. á b r a

N y i l v á n v a l ó , h o g y - m i n t a z ábra is m u t a t j a — p l : az a°'b, a b v e k t o r a vagy a ° v e k t o r i r á n y á b a e s ő m e r ő l e g e s v e t ü l e t é n e k h o s s z a k é n t is f e l f o g h a t ó .

Igy az á b r á r ó l

a°'C b + c ) = a ° * b + a°'c a d ó d o t t . Ha az e g y e n l ő s é g e t |a|>0 s z á m m a l m e g s z o r o z t u k , az

I a I ' a ° * C b+c ) = !a|*a°'b + | a | * a ° * c e g y e n l ő s é g e t kaptuk, ami az |a|*§° = a m i a t t az

a ' C b + c ) = a *b + a ' c b i z o n y í t a n d ó á l l í t á s t j e l e n t e t t e .

A s k a l á r i s s z o r z á s k o m m u t a t í v t u l a j d o n s á g a m i a t t ( b + c ) ' a = b'a + c ' a is f e n n á l l .

M e g j e g y z é s : Az e l j á r á s i s m é t l é s é v e l b e l á t h a t ó , az (a +a + a + ... +a ) • b = a *b+a *b+ . . .+a *b — i — 2 —3 —ti — —1 — —2 — —n — ö s s z e f ü g g é s is.

A k é s ő b b i e k é r d e k é b e n m é g m e g j e g y e z t ü k , hogy ha a/^ü é s b*0 a k k o r a'b>0, ha s z ö g ü k C o ) 0 ° S ct < 90°, a'b = 0 ha a = 9 0 ° é s a - b < 0, ha 9 0 ° < a * 1 8 0 ° .

E g y é b k é n t a ' b = 0 akkor, ha v a l a m e l y i k v e k t o r 0 vagy a=90°.

Két nem n u l l v e k t o r e s e t é n t e h á t a * b a k k o r é s c s a k a k k o r 0, ha a két v e k t o r m e r ő l e g e s e g y m á s r a .

T o v á b b á a * a = |a|2 é s jaf £ 0 • C a + b ) * C a + b ) = a2+ 2 a b + b2 :

C a - b ) ' C a - b ) = a2- 2 a b + b2 .

M i v e l s k a l á r i s s z o r z a t n á l két t é n y e z ő v e k t o r r ó l van szó, e z é r t a s s z o c i v i t á s r ó l szó sem lehet.

Nem é r t e l m e z h e t ő k 2 - n é l m a g a s a b b f o k ú h a t v á n y a i sem.

Ez utóbbiak is inkább a t o v á b b t a n u l ó k k e d v é é r t k e r ü l t e k belátásra.

E z u t á n mivel i2 = é s i/ jr-0 ,

két vektor s k a l á r i s s z o r z a t á t m e g f e l e l ő k o o r d i n á t á i k s z o r z a t ö s s z e g e k é n t , e g y v e k t o r ö n m a g á v a l a l k o t o t t

- 7 7 -

s k a l á r s z o r z a t á t k o o r d i n á t á i hosszát pedig g y ö k v o n á s s a l .

a - b = x 1x2+ y1y2;

n é g y z e t ö s s z e g e k é n t n y e r t ü k ,

|a| = / x2 + y2 é s |b| = / x2 + y2 .

A s k a l á r s z o r z a t b ó l igy l e h e t e t t k ö n n y e n nyerni két v e k t o r szögét. Ha at C x ^ y ^ é s ( x2; y2) , s z ö g ü k

a, 'a, = la l*|a„|*cos cu - b ó l

—1 —2 1 —1 1 ' — 2

a k k o r az

c o s a =

a * a

—1 — 2

m á s k é p p e n c o s a =

la, I ' M .

XlX2+ yiy2

nyerhető.

T e r m é s z e t e s e n k é t e g y e n e s s z ö g é t n y e r h e t t ü k . A c o s i n u s t é t e l az ábra

s t á b l á z a t t a l a s z ö g

i r á n y v e k t o r a i k s z ö g é b ő l a l a p j á n é s v e k t o r o k . ö n m a g u k k a l a l k o t o t t s k a l á r s z o r z a t á b ó l a d ó d i k :

A

c2 — a2- 2 a b + b2; s ha

a2= | a |2= a2; b2= | b |2= b2, I a I- a, IbI= b, akkor c2= az+ bz- 2 a b * c o s ? .

A Y —ról az e l ő b b e l m o n d o t t a k m i a t t m á r f ö l ö s l e g e s szólni.

Az a l á b b i á b r a a l a p j á n a s i n u s t é t e l is igen k ö n n y e n a d ó d o t t . Az AG m á s o d i k k o o r d i n á t á j a

J b I 'sin a,

A E?G m á s o d i k k o o r d i n á t á j a I a I * s i n 13

De e z e k e g y e n l ő k , é s |a|=a, c

»

i / y

/ / I

0

9. á b r a v a g y i s a _ sin «

E sin (3

á l t a l á n o s a b b a n a : b : c = sin a : s i n (1 : sin y . A k ö v e t k e z ő f e j e z e t az a n a l i t i k u s g e o m e t r i a volt.

E f e j e z e t b e n a g e o m e t r i a i a l a k z a t o k p o n t j a i n a k k ö l c s ö n ö s e n e g y é r t e l m ű módon r e n d e z e t t s z á m p á r o k a t f e l e l t e t t ü n k meg. A g e o m e t r i a i f e l a d a t o k m e g o l d á s a során a l g e b r a i f o g a l m a k k a l d o l g o z t u n k , s a k a p o t t e r e d m é n y e k e t ismét a g e o m e t r i a n y e l v é n f o g a l m a z t u k meg. M i v e l a sík a n a l i t i k u s g e o m e t r i á j á r ó l volt szó, a l a k z a t a i n k az e g y e n e s , a k ö r , az e l l i p s z i s , a h i p e r b o l a és a p a r a b o l a v o l t a k . Ezek t u l a j d o n s á g a i t , k ö l c s ö n ö s h e l y z e t e i t v i z s g á l t u k . A f e l s o r o l t a l a k z a t o k n a k e g y e n l e t e k e t f e l e l t e t t ü n k meg. E g y a l a k z a t e g y e n l e t é n o l y a n ö s s z e f ü g g é s t é r t e t t ü n k , a m e l y e t az a l a k z a t p o n t j a i n a k k o o r d i n á t á i e l é g í t e t t e k ki, m á s p o n t o k k o o r d i n á t á i nem. M á s s z a v a k k a l : az a l a k z a t m i n d e n p o n t j a kielégíti a s z ó b a n f o r g ó e g y e n l e t e t , s ha egy p o n t k o o r d i n á t á i k i e l é g í t i k az e g y e n l e t e t , a k k o r ez a pont i l l e s z k e d i k az a l a k z a t r a .

Persze mi a p o n t o k a t p o n t o k h o z t a r t o z ó h e l y v e k t o r o k k a l is m e g a d t u k , így b e s z é l h e t t ü n k a p o n t o k b ó l álló a l a k z a t v e k t o r e g y e n l e t é r ő l is. A v e k t o r e g y e n l e t o l y a n ö s s z e f ü g g é s , a m e l y e t az a l a k z a t p o n t j a i n a k h e l y v e k t o r a i k i e l é g í t e t t e k , m á s pontok h e l y v e k t o r a i a z o n b a n n e m . A z a l a k z a t v e k t o r e g y e n l e t é b e n v á l t o z ó k é n t s z e r e p l ő h e l y v e k t o r t a f u t ó p o n t h e l y v e k t o r á n a k n e v e z z ü k . Az e g y e n e s k o o r d i n á t a g e o m e t r i á j á t az a l á b b i m ó d o n t á r g y a l t u k . F e l í r t u k egy adott rQ h e l y v e k t o r ú p o n t o n á t m e n ő ado.tt v i r á n y v e k t o r ú e g y e n e s p a r a m é t e r e s v e k t o r e g y e n l e t é t :

v = r + tv ; t p a r a m é t e r .

— — o — '

Mivel e z két s k a l á r e g y e n l e t e t j e l e n t . e l ő á l l t az e g y e n e s p a r a m é t e r e s e g y e n l e t r e n d s z e r e :

x = xo + L vt

y = y

* - *0 y - yn

A t-t k i i k t a t v a — - — — = —— - h o z jutva a t r e n d e z e s utan a

- 79 -

v2x - vty = v 2 x 0~v iy0 — h e z , az ú g y n e v e z e t t p a r a m é t e r m e n t e s e g y e n l e t h e z jutottunk. CA v nem p á r h u z a m o s a t e n g e l y e g y i k é v e l s e m . ) A v =A, a-v =B é s v x -v y = C

2 1 2 o 1 o

h e l y e t t e s í t é s után az e g y e n e s e g y e n l e t e A x + B y = C a l a k b a n volt írható. M i v e l v-vel e g y ü t t Xv is i r á n y v e k t o r a a z e g y e n e s n e k , így egy e g y e n e s n e k v é g t e l e n sok e g y e n l e t e van.

Az x é s y t e n g e l y e k k e l p á r h u z a m o s e g y e n e s e k i r á n y v e k t o r a i t C vt; 0 ) i l l e t v e C 0 ; v2) j e l e n t e t t e , így az e z e k k e l p á r h u z a m o s e g y e n e s e k e g y e n l e t e i a m e n n y i b e n a ^ o ^ o ' ^ o5 p o n t r a i 1 l e s z k e d n e k

y ~ y„ i l l e t v e x = x

J J o o

A k o o r d i n á t a t e n g e l y e k e g y e n l e t e i r e n d r e y = 0, x = 0.

A Pt é s P2 p o n t o k h e l y v e k t o r a i pl.: E^-fi^ h e l y v e k t o r a i n a k k ü l ö n b s é g e lehet e két p o n t r a i l l e s z k e d ő e g y e n e s i r á n y v e k t o r a , Camely pl.: a P - r e i l l e s z k e d i k a f e l í r á s s z e m p o n t j á b ó l ) így

< y2- y1> * - C x2- xl> y = C y2- yt) xi- C x2- x1) y1

a l a k b a n , s ő t á t r e n d e z v e

y ~ y

= • c x - x

)

jól m e g j e g y e z h e t ő a l a k b a n volt irható. Ez t e h á t két a d o t t p o n t o n á t m e n ő e g y e n e s e g y e n l e t e . A m i k o r az x t e n g e l y PjC a ; 0 ) é s az y t e n g e l y P2C 0 ; b ) két p o n t j á n megy át az e g y e n e s , a k k o r az un. t e n g e l y m e t s z e t e s a l a k h o z j u t o t t u n k :

T ö b b f e l a d a t m e g o l d á s á b a n e l ő n y ö s az a l k a l m a z á s a .

A m i k o r idáig j u t o t t u n k e l m é l e t b e n , utána k o n k r é t f e l a d a t o k o n k e r e s z t ü l újra v é g i g g o n d o l t u k , v é g i g c s i n á l t u k , g y a k o r o l t u k az egészet. Majd v e k t o r 9 0 ° - o s el f o r g a t o t t j á n a k k o o r d i n á t á i t h a t á r o z t u k meg azon az a l a p o n , hogy c o s C a + 9 0 ° ) = - s i n a é s

s i n C a + 9 0 ° ) = c o s a Így a v ( c o s a ; s i n a ) + 9 0 ° - o s e1 f o r g a t o t t j a v * C - s i n a ; c o s a ) ,

továbbá a v - 90 - o s e l f o r g a L o t t j a v ( s i n a ; - c o s a ) .

E z e k alapján a z t á n a n o r m á l v e k t o r e 1 ő á 1 1 í t h a t ó s á g a a l a p j á n

— az n ( A ; B ) - az e g y e n e s e g y e n l e t e A x + B y = A xQ+ B yQ.

Két e g y e n e s m e t s z é s p o n t j á t az e g y e n l e t e i k b ő l á l l ó e g y e n l e t r e n d s z e r m e g o l d á s á v a l h a t á r o z t u k meg.

Igen f'ontos volt az e g y e n e s é s az e l s ő f o k ú f ü g g v é n y k a p c s o l a t á n a k v i z s g á l a t a , s b e l á t t u k , hogy az A x + B y = C e g y e n l e t m i n d e n olyan e s e t b e n e g y e n e s e g y e n l e t e , ha A é s B e g y s z e r r e nem nullák. A = B = C = 0 e s e t é n a sík m i n d e n p o n t j a k i e l é g í t i az e g y e n l e t e t .

K ö n n y ű volt k i m u t a t n i , hogy két. e g y e n e s akkor é s c s a k a k k o r p á r h u z a m o s , ha az e g y e n e s e k i r á n y v e k t o r a i m e g f e l e l ő k o o r d i n á t á i n a k h á n y a d o s a e g y m á s s a l e g y e n l ő , é s a k k o r é s c s a k a k k o r m e r ő l e g e s , ha i r á n y v e k t o r a i k m e g f e l e l ő k o o r d i n á t á i n a k s z o r z a t ö s s z e g e nulla. E z utóbbi igy is írható: v v^-*-v2v^=0,

V V ' m á s k é p p e n — * — = -1 .

Az e g y e n e s i r á n y t é n y e z ő s a l a k j a sok f e l a d a t m e g o l d á s a s z e m p o n t j á b ó l e l ő n y ö s . Legyen v e£ y e g y e n e s i r á n y v e k t o r a .

- 8 1 -

E h e l y e t t az v = v' [l ; J = v ' Cl;tga> = v' CljnO írható, ha 4 rn=tga j e l ö l é s t is b e v e z e t t ü k .

Az utóbbi i r á n y v e k t o r r a l felírt Cxt ;yi ) p o n t o n á t m e n ő e g y e n e s e g y e n l e t e m x — y = m xi~ yi , á t r e n d e z v e

y - yt = m C x - x}) ,

az a d o t t p o n t o n á t m e n ő a d o t t i r á n y t é n y e z ő j ű e g y e n e s e g y e n l e t e . Ha a P ^ O j b ) , a k k o r y = m x + b , a z e g y e n e s i r á n y t é n y e z ő s alakja. A k o r á b b a n leírtak a l a p j á n a n n a k s z ü k s é g e s é s e l é g s é g e s f e l t é t e l e , hogy két e g y e n e s e g y á l l á s ú i l l e t v e m e r ő l e g e s legyen

m =m_ i l l e t v e

G y a k r a n f o r d u l t elő, hogy adott e g y e n e s s e l 1. /15 - o s , 2.

3 0 ° — o s , 3. 6 0 ° - o s s z ö g e t b e z á r ó e g y e n e s e k e g y e n l e t é t , i l l e t v e 4. két e g y e n e s s z ö g f e l e z ő i n e k e g y e n l e t é t k e l l e t t felírni.

1. Az á b r á r ó l l e o l v a s h a t ó , hogy a két e g y e n e s

V

e

V ^90*

7jl cß / I I Hy'

i 4

-»-90

i r a n y v e k t o r a a v + v , - 9 0 °

i l l e t v e a v + v , ahol v az e g y e n e s i r á n y v e k t o r a . I

\ ! 11. ábra "k. ^

2. A k ö v e t k e z ő ábráról pedig, hogy a két e g y e n e s i r á n y v e k t o r a -or

v

1 2 . á b r a

i-t r+30' VT-

V + V

~ v T + 9 0

i l l e t v e

— 9 0 v - — v

- / 1

Y3

ahol v az e g y e n e s i r á n y v e k t o r a .

3. A két e g y e n e s i r á n y v e k t o r a :

£ - V3 ^

ü - váT + 9 0

a h o l v az e g y e n e s i r á n y v e k t o r a .

13. á b r a

4. A v é s v2 i r á n y v e k t o r ú m e t s z ő e g y e n e s p á r s z ö g f e l e z ő i n e k

*

í S ) •

1

(*? - 4] •

ahol vc] a v. , v ° a v„

— 1 —t ' —2 — 2 i r á n y v e k t o r o k k a l e g y — i r á n y ú e g y s é g v e k t o r o k CA r o m b u s z átlói f e l e z i k a 14. ábra a r o m b u s z s z ö g e i t ) .

Vektorok s e g í t s é g é v e l e g y e n e s p o n t r a v o n a t k o z ó t ü k ö r k é p é n e k i r á n y v e k t o r a az e r e d e t i i r á n y v e k t o r á v a l e g y á l l á s ú .

T e t s z ő l e g e s P € e Q - r a v o n a t k o z ó t ü k ö r k é p é n e-vel.

p á r h u z a m o s e g y e n e s tükör—

k é p é t f e l í r n i e g y s z e r ű .

1 2 . á b r a

- 8 3 -

Az e g y e n e s x é s y t e n g e l y r e v o n a t k o z ó t ü k ö r z é s k o r a k é p e g y e n e s i r á n y v e k t o r a az ábra a l a p j á n m e g á l l a p í t h a t ó volt.

16. á b r a 17. ábra

Az e g y e n e s y=x t e n g e l y r e t ü k r ö z é s e k o r a kép i r á n y v e k t o r a pedig az a l á b b i á b r á r ó l o l v a s h a t ó le.

18. ábra

E z e k a f e l i s m e r é s e k n a g y o n f e l g y o r s í t h a t j á k a s z ó b a n f o r g ó t u l a j d o n s á g ú e g y e n e s e k e g y e n l e t é n e k f e l í r á s á t , ami a k ö z é p i s k o l á s t a n u l ó k n a k a v e k t o r o k k a l t ö r t é n ő m u n k á t s z i m p a t i k u s s á t e h e t i .

Két e g y e n e s i r á n y v e k t o r á n a k i s m e r e t é b e n a két e g y e n e s á l t a l b e z á r t szög a két v e k t o r s k a l á r s z o r z a t á b ó l k e r ü l t m e g h a t á r o z á s r a

V * v — V * V

c o s a = 1 1 2 1 1 2 2 7 - , amitől y / •

2VV2 1 2- ' 2

/ v +v • v +v T 11 12 > 2 1 22

c o s a = 0 esetén a = 90°, c o s a > 0 e s e t é n a h e g y e s s z ö g , cos a < 0 esetén a tompaszög.

Pont é s e g y e n e s t á v o l s á g á n a p o n t b ó l az e g y e n e s r e b o c s á t o t t m e r ő l e g e s s z a k a s z h o s s z á t értjük. Ezt úgy h a t á r o z t u k meg, mint két pont t á v o l s á g á t ( p e r s z e k o o r d i n á t á k s e g í t s é g é v e l ) .

A kör, e l l i p s z i s , h i p e r b o l a és p a r a b o l a k o o r d i n á t a g e o m e t r i á j a

E l ő s z ö r megadtuk m i n d e g y i k n e k , mint m é r t a n i h e l y n e k a d e f i n í c i ó j á t , é s e z u t á n h a t á r o z t u k meg e g y e n l e t ü k e t , jellemzőiket.

I.

a. A k ö r e g y e n l e t e UT* = p - c icr* M e -

/

/ ( x - u )2+ ( y - v )2 = r, m á s k é p p e n

( x - u )2+ ( y - v )2 = r2, Ha u=v=0, akkor x2+ y2= r2

o r i g ó k ö z é p p o n t ú kör.

X."

19. ábra

K i m u t a t t u k , hogy az

A x2+ B y2+ C x + D y + E x y + F = 0 a k k o r kör e g y e n l e t e , ha A=B, E=0, továbbá teljes n é g y z e t t é kiegészít.és után

( x - u )2+ ( y - v )2= s alakba írható: ahol u.v és s az A , C , D , E s z á m o k b ó l áll e l ő é s s>0. Ha s=ü csak az ( u ; v ) elégíti ki, ha s<0 a k k o r n i n c s az e g y e n l e t e t k i e l é g í t ő pont, tehát e k k o r nem kör e g y e n l e t é r ő l van szó.

- 85 -

Az o l y a n e l l i p s z i s e g y e n l e t é t v e z e t t ü k le, a m e l y n e k s z i m m e t r i a k ö z é p p o n t j a az origó,

k o o r d i n á t a t e n g e l y r e i 1 l e s z k e d n e k .

2 2

E g y e n l e t e : — + = 1.

t e n g e l y e i

V

s

/ a

V ^

/ ^? b y

20. á b r a

T o v á b b á az o l y a n h i p e r b o l a e g y e n l e t é t i s l e v e z e t t ü k , a m e l y n e k k ö z é p p o n t j a az o r i g ó , t e n g e l y e i a k o o r d i n á t a t e n g e l y e k r e I l l e s z k e d n e k .

E g y e n l e t e :

2 2

* y1 = i a2 b2

21. á b r a

d. Végül o l y a n p a r a b o l á k e g y e n l e t e i t v e z e t t ü k le, a m e l y e k c s ú c s a az o r i g ó , s z i m m e t r i a t e n g e l y ü k pedig a z x t e n g e l y p o z i t í v é s n e g a t í v ága, i l l e t v e az y tengely p o z i t í v é s n e g a t í v ága.

E g y e n l e t e i k r e n d r e y2= 2 p x , y2= - 2 p x , x2= 2 p y , x2= - 2 p y .

Aj,

d A

22. ábra

Ezek után k o o r d i n á t a t r a n s z f o r m á c i ó v a l e l k é s z í t e t t ü k a nem o r i g ó k ö z é p p o n t ú 1. e l l i p s z i s , 2. h i p e r b o l a e g y e n l e t é t , a m e l y n e k t e n g e l y e i p á r h u z a m o s a k a k o o r d i n á t a t e n g e l y e k k e l , illetve 3. p a r a b o l á k e g y e n l e t é t . a m e l y e k t e n g e l y e i p á r h u z a m o s a k a k o o r d i n á t a t e n g e l y e k v a l a m e l y i k é v e l .

II.

1. A C ( u ; v ) k ö z é p p o n t ú , x é s y t e n g e l l y e l p á r h u z a m o s 2 a nagy—, é s 2b k i s t e n g e l y ü e l l i p s z i s e g y e n l e t e .

Az x';y-' r e n d s z e r b e n a z e l l i p s z i s o r i g ó k ö z é p - pontú e g y e n l e t e

+ I I = i a2 b2

Az á b r á r ó l l e o l v a s h a t ó , hogy x ' = x - u , y * = y — v , amit a z e l ő b b i e g y e n - letbe írva kaptuk az 23. ábra

ígért e g y e n l e t e t :

( x - u ) 2 + C y - v >2 = j

a2 b2

- 8 7 -

2. Á G C u j v ) k ö z é p p o n t ú , x é s y t e n g e l l y e l p á r h u z a m o s 2 a valós—; é s 2b m e l l é k t e n g e l y ű h i p e r b o l a e g y e n l e t e .

\li_vk

- p — x - -v

AX

xV Mint előbb, az ( x - u )2 _ ( y - v )2 _

2 , 2 a b j u t u n k .

1 - h e z

24. ábra

3. A C ( u ; v ) t e n g e l y p o n t ú y tengely p o z i t í v ágával p á r h u z a m o s t e n g e l y ű p a r a b o l a e g y e n l e t e .

/S

/ K ' i f )2^ ) Az x'=x-u é s

y'-y-v f e l h a s z n á l á - s á v a l az x '2= 2 p y ' — b ő i C x - u )z= 2 p ( y - v ) adódik.

25. ábra

H a s o n l ó a n k a p j u k a t o v á b b i h á r o m f é l e parabola e g y e n l e t é t : ( x - u )2 = — 2 p ( y - v ) ,

( y - v )2 = 2 p ( x - u ) é s

( y — v )2 = — 2 p ( x - u ) alakban.

IIa az 1—3 e g y e n l e t e k e t á t a l a k í t o t t u k , m á s o d f o k ú k é t i s m e r e t l e n e s e g y e n l e t e k h e z j u t o t t u n k . M e g f o r d í t v a : b i z o n y o s f e l t é t e l e k n e k e l e g e t tevő m á s o d f o k ú k é t i s m e r e t l e n e s e g y e n l e t e k e l l i p s z i s t , h i p e r b o l á t , illetve p a r a b o l á t h a t á r o z t a k meg.

T e r m é s z e t e s e n m e g v i z s g á l t u k e g y e n e s e k , k ö r ö k , e l l i p s z i s e k , h i p e r b o l á k , p a r a b o l á k közül b á r m e l y k e t t ő n e k a k ö l c s ö n ö s h e l y z e t é t . E g y e n l e t e i k b ő l e g y e n l e t r e n d s z e r e k e t a l k o t t u n k , a z o k m e g o l d á s a i n a k s z á m a a k é t a l a k z a t k ö z ö s p o n t j a i n a k s z á m á t adta. É r d e k e s volt két a l a k z a t é r i n t é s i p r o b l é m á i n a k v i z s g á l a t a , h i s z e n e k k o r m á s o d f o k ú e g y e n l e t r e n d s z e r t k e l l e t t m e g o l d a n u n k a k é r d é s e k m e g v á l a s z o l á s á h o z , a m á s o d f o k ú e g y e n l e t d i s z k r i m i n á n s á n a k e l ő j e l é t ő l f ü g g ő e n aztán l e v o n t u k a m e g f e l e l ő t a n u l s á g o k a t .

K ü l ö n f o g l a l k o z t u n k az o r i g ó k ö z é p p o n t ú h i p e r b o l a é s az o r i g ó n á t m e n ő e g y e n e s k ö l c s ö n ö s h e l y z e t é v e l .

2 2

O l d j u k meg tehát a z - = 1 és y = m x e g y e n l e t e k b ő l álló a2 b2

e g y e n l e t r e n d s z e r t pl. b e h e l y e t t e s í t ő m ó d s z e r r e l - S j V = .

b2

„21 2 2 2 — _ 2 • 2 x b — a m = a D

a / Ha b2- a2m2 = 0 , a k k o r az e g y e n l e t n e k nincs m e g o l d á s a , u g y a n i s xz ,0 = a2b2. V a g y i s b2= a2m2, amiből lmf=] a | ' e k k o r az o r i g ó n á t m e n ő e g y e n e s és a h i p e r b o l a nem m e t s z i k e g y m á s t .

b / Ha b2- a2m2 < 0, a k k o r s i n c s m e g o l d á s a . Vagyis ha b2< a2m2, a m i b ő l |mI> j^|» e g y e n e s é s a h i p e r b o l a nem m e t s z i k e g y m á s t .

c / Ha b2- azm2 > 0 a k k o r a m e g o l d á s o k

ab ni* ab t

b —a b y b —a m

ab m ' a b

b2- a2b2 / b2- a2m2

- 8 9 -

v a g y i s , ha |mf< - , az e g y e n e s é s a h i p e r b o l a m e t s z i k

A 2 — e s jelzésű e g y e n e s e k nem m e t s z i k a h i p e r b o l á t , a z 1 —esek m e t s z i k , a 3 - a s o k ismét nem. A 2 jelűek az 1 é s 3 j e l ű e k e t e l v á l a s z t j á k , m o n d h a t n á n k h o g y a 2 j e l ű e k az e l s ő nem m e t s z ő k , ezeket az a s z i m p t o t á k n a k n e v e z z ü k , a m e l y e k a h i p e r b o l á t t e t s z ő l e g e s e n m e g k ö z e l í t i k , d e el nem érik. Ezzel a z é r t f o g l a l k o z t u n k , mert ez az út is e l v e z e t h e t a v é g t e l e n t á v o l i e l e m e k é r t e l m e z é s é h e z , a m e l y a t o v á b b t a n u l á s s z e m p o n t j á b ó l é r d e k l ő d é s r e t a r t o t t s z á m o t .

I R O D A L O M

til Az é r v é n y b e n levő á l t a l á n o s i s k o l a i tanterv.

121 Az é r v é n y b e n levő k ö z é p i s k o l a i t a n t e r v .

[31 A f o r g a l o m b a n levő á l t a l á n o s i s k o l a i t a n k ö n y v e k . [4 1 A f o r g a l o m b a n levő k ö z é p i s k o l a i t a n k ö n y v e k . t51 Dr. H a j ó s G y ö r g y : B e v e z e t é s a g e o m e t r i á b a .

T a n k ö n y v k i a d ó , 1960.

[61 Dr. Pelle B é l a : G e o m e t r i a T a n k ö n y v k i a d ó , 1974.

t71 Dr. G s e r v e n y á k János: A g e o m e t r i a k ö z é p i s k o l a i s z i n t ű f e l d o l g o z á s a t r a n s z f o r m á c i ó k k a l é s v e k t o r o k k a l .

Egyetemi d o k t o r i d i s s z e r t á c i ó , 1 9 7 7 .