Vajda, S.: A játékelmélet és a lineáris programozás

1052 ^{ammsz'rnw mmm, nem}

Statisztikai Hivatalnak 1930-ban a Gosz—

Dlanba történt beolvasztását. A beolvasz—

tás előnyös vonásai a tervezés és a sta—

tisztika kapcsolatainak a szorosra fűző- déséből adódtak, negatív vonásai azon- ban egyre inkább éreztették hatá- suket. ,,Arról van szó, hogy a kormány nem minden szükséges esetben kapta meg azokat a statisztikai adatokat, ame—

lyek lehetővé tették volna a tervjavasla- tok és a népgazdasági terv teljesítése menetének kritikai értékelését." (13. ol—

dal). Ezért 1948-ban a kormány határo—

zatára a Központi Statisztikai Hivatal kivált a Goszplanból és a Miniszterta—

nács mellett működő önnálló, szervvé vált.

Szerző rámutat, hogy az elmúlt negy—

ven év elemzése nem könnyű feladat, Különösen vonatkozik ez az utolsó évti- zed fejleményeire, amelyek tapasztala- latainak feldolgozása fontos feladat.

A kötet egyéb tanulmányai közül Sz.

M. Gurevics dolgozata Lenin és a fiatal szovjet statisztika kapcsolatáról ad rész—

letes áttekintést. A. I. Jezsov cikke a szovjet statisztika szervezeti fejlődését elemzi, bevezetőben ismertetve a statisz—

tika szervezetet a cári Oroszországban.

A. I. Jezsov cikke befejező részében is—

merteti a Szovjetunió Központi Statiszti—

kai Hivatala jelenlegi szervezeti felépí—

tését. D. V. Szavinszkij a szovjet iparsta- tisztika, A. M. Borjanszkij a mezőgazda—

sági statisztika, Sz. P. Partigul és szerző- társai a kereskedelmi statisztika, F. D.

Livsic és Ja." Sz. Belenkij a pénzügyi statisztika, E. K. Vvedenszkij a lakás— és kommunális statisztika, A. M. Vosztri- kova a népességi és egészségüwi statisz—

tika, I. M. Bogdanov és K. N. Buhman a kulturstatisztika, A. P. Kazanszkij a munkaügyi statisztika, 1. Ja. Matjuha és szerzőtársai a háztartásstatisztika, I. A.

Morozova és szerzőtársai a népgazdasági mérlegek történetét elemzik a szovjet- hatalom éveiben.

N. Ja. Vorobjev cikkében a forradalom előtti Oroszországban és a Szovjetunió—

ban rendezett statisztikai kongresszusok és tanácskozások értékelését adja meg, V. Sz. Novikov a statisztikai képzés és D. K. Zsak a statisztikai munkák gépe- sítése kérdéseivel foglalkozik. 'A kötet két befejező tanulmányában M. Markin Szovjet—Ukrajna, N. Szuncov Szovjet-Tad- zsikisztán statisztikájának történetét dol- gozta fel. A jelentős kötetet névmu- tató egészíti ki.

(Ism.: Kenessey Zoltán)

VW, __s.: _

A játékelmélet és a lineáris Wmi:

(The theory of games and nneár * weg—

ramming.) London—New York. 1957! 106 p..'

A játékelmélet a matematika egyik leg-—

újabb ága. Bár Borel 1927—ben megjelent egyik dolgozatában bizonyítás nélkül ki—

mond egy tételt, amely speciális esete a játékelmélet ún. alaptételének és. ezt a tételt Neumann János —- a nemrég el- hunyt, magyar származású kiváló mate—

matikus —— 1928—ban be is bizonyítja, a játékelmélet igazi fejlődése csak 1944 után indul meg. Ebben az évben jelent meg J. von Neumann—O. Morgenstern hatalmas munkája ,,Theory of games and economic behaviour" címen, amely az első rendszeres munka ebben a tárgy- körben. Ez a könyv világított rá először arra, hogy a játékelmélet problematikája hogyan tükröződik a gazdasági életben és egy játék megoldásának milyen fon- tos közgazdasági jelentősége lehet. Ez a felismerés adott ösztönzést a játékmeg—

oldások általános módszerének kutatásá—

ra és ez vezetett el a lineáris programo- zási feladatok megoldásának különböző eredményeihez.

Vajda fenti című munkája e témakör—

nek csak az elemeit és alapvető problé—

máit ismerteti.

A könyv ll fejezetre oszlik. Az első ,,A játékelmélet körvonalazása" c. fe—

jezetben szerző konkrét játékokon ke—

resztül lépésről—lépésre haladva definiálja a játékelmélet legfontosabb alapfogal—

mait. Az alapfogalmaknak definiciőit azonban nem rögzíti le matematikai for- mulákkal, csak verbálisan -— de példák- kal alátámasztva —— adja meg jelenté—

süket. Tekintettel arra, hogy a játékel- mélet legfontosabb fogalmai nem igen ismeretesek, szükségesnek látszik e feje—

zet részletesebb ismertetése.

Elsőként a játékelmélet tárgyát: magát a játékot definiálja. Eszerint a játék (game) bizonyos szabályok összessége (collection of rules), amelyek meghatároz—

zák a játékban résztvevők cselekvését oly módon, hogy a játék lejátszásának a végeredménye (tehát a játékosok nyére—

sége vagy vesztesége) függ attól, hogy a játékosok a szabályok által megengedett különböző lehetőségek közül melyeket választották. Minden játék egy vagy több lépésből (move) áll, ez a lépés függhet a véletlentől is. Az ilyen lépés a véletlen lépés (chance move). Egy konkrét játék lejátszása a játszma (play). A játékban résthevők száma szerint meg szokás kü—

lönböztetni két— és n—személyes játékokat.

Az olyan kétszemélyes játékokat, me-

$TATISZTM menet—m nem

lyekben az egyik résztvevő annyit nyer, amennyit a másik veszit, zeró összegű já- tékoknak hivjuk (zero sum games). Ezek—

után definiálja a játékelmélet egyik, leg—

fontosabb fogalmát a stratégiát. A straté—

gia a döntések, illetve választások olyan összessége, amely megszabja a játékos cselekvését a játékban felmerülő összes lehetséges szituáció esetére. Ha tehát egy játéknál ismert a játékosok stratégiája, akkor ha bármelyik játékos közli stratéf giáját valakivel, ez utóbbi képes lenne a megbízó játékos helyett, annak távollé—

tében a játékot ugyanúgy lejátszani, ahogyan azt maga a megbízó játékos játszaná le.

Szerző könyvében kizárólag a kétsze—

mélyes, zéró összegű, véges sok stratégiá—

jú játékokkal foglalkozik. A játékoknak slratégiákra való visszavezetését a játék normalizálásának nevezik. A normalizált zero összegű kétszemélyes játékokat szo—

kásos az ún. kifizetési matrixszal (pay—

off matrix) jellemezni. Ha az egyik já- tékos stratégiáinak száma m, a másiké n, akkor ez a játék egy 111 X n—es matrixszal adható meg, melynél az i—edik sor, és j—edik oszlop találkozásánál szereplő a,]

elem azt az összeget adja meg, amit az első nyer (vagy veszit), ha az az i—edik, a második játékos pedig a j—edik straté—

giát választja. Azt a játékost nevezik első vagy maximalizáló játékosnak, akinek nyereményét pozitiv, veszteségét pedig negatív előjellel veszik figyelembe a ki- fizetési matrix konstruálásánál. Ellenfele a második vagy minimalizáló játékos. A játék lejátszása ebben a formájában azt jelenti, hogy mindkét játékos egyszerre és egymástól függetlenül választ lehetsé—

ges stratégiái közül egyet és a második játékos a választott stratégia-párhoz tar- tozó kifizetési összeget fizeti az első játé—

kosnak. A játékelmélet feltételezi, hogy mindkét játékos stratégiájának megvá—

lasztásakor a következőképpen érvel:

,,attól kell tartanom, hogy bármelyik stratégiámat is választom ki a lehetséges stratégia-im közül, ellenfelem saját stra—

tégiái közül azt fogja választani, amely mellett a nyereményem a lehető legkisebb lesz. Ezért nekem azt a stratégiát ésszerű választanom, amely ezt a minimális nye- reséget maximalizálja." Ez az érvelése az első, azaz maximalizáló játékosnak (innen az elnevezés is). A második játé- kos lényegében ugyanígy érvel, de mivel azőnyereménye negatív előjellel van fel—

tüntetve a kifizetési matrixban, ezért ez az érvelés az ő számára úgy fogalmaz—

ható, hogy azt a stratégiáját fogja válasz- tani, amely a maximális veszteségét mi—

nimalizálni fogja.

8 Statisztikai Szemle

1053

A játékok bizonyos összességére 82—19)- lemző, how létezik olyan- stratégia—pár, amelyhez tartozó matrix elem egyenlő az első? játékos minimális nyereségei közül ::

legnagyobbal és ugyanakkor a másik já—

tékos maximális veszteségei közül a leg- kisebbel; A matrixnak ez az eleme a já—

ték tiszta értéke (pure value) és azahely, ahol ez az elem található, a nutria: nye— '

reapontja (saddle point). Nem minden já—

téknak van tiszta értéke. Annak érdeké—

ben, hogy az ilyen játékoknál is lehetőség nyíljék arra, hogy a játékosok a fenti meggondolás alapján választhassák meg stratégiájukat, vezették be a kevert stra—

tégia (mixed strategy) fogalmát. A já- tékosok eredeti: ún. tiszta stratégiáin ér—

telmezett valószínűségeloszlásoknak az összességét a játék kevert kiterjesztésé—

nek (mixed extension of game) nevezik, ezek közül kiválasztott bármely eloszlás

az ún. kevert stratégia. Ekkor a kifizetési ,, matrix elemei a kevert stratégia—párok—

hoz tartmó nyereményeket (illetve vesz—

teségeket) tüntetik fel. Egy kevert stra- tégiás játékot megoldani annyit jelent, mint megkeresni azt a stratégia-párt, amely az egyik fél számára a valószínű—

ségszámítási értelemben vett várható mi—Á nimális nyereséget maximalizálja és a másik fél számára ugyanakkor a várható maximális veszteséget minimalizálja. En—

nek a feladatnak eleget tevő stratégia—

párt optimálisnak és az ehhez tartozó várható nyereményt pedig a játék értéké—

nek nevezik. A játék értékének és az op- timális stratégia—párnak a megkeresése a játék megoldása. Szerző az itt elmondot- takat számos példával illusztrálja.

Szerző az első fejezetben bemutatott példákhoz grafikus ábrákat közöl és a ki—

fizetési matrixszal jellemezhető játékok analitikus geometriai képét adja. Egy speciális példán intuitiv bizonyítást ad a játékelmélet alaptételére, amely szerint minden véges sok stratégiával bíró játék—

nak van értéke és minden játékosnak van legalább egy optimális stratégiája.

A fenti alaptétel Neumann Jánostól származó egzakt bizonyítását közli a szerző. Ez egzisztencia tétel, amely csak az optimális stratégia-pár létezését bizto—

sitja. Ahhoz hogy egy adott játéknál meg lehessen keresni ezt az optimális straté- gia—párt, szükség van a lineáris progra—

mozási feladatok ismertetésére, mert azok megoldási módszere alkalmas lesz, az előbbi feladat megoldására is. Ezért_,_a szerző definiálja a lineáris programozás feladatát, amelyet matematikai formában is megad. Matematikailag ez a követke- zőképpen fogalmazható meg: adva van egy n ismeretlenből és m egyenletből

21054

álló lineáris inhomogén egyenletrendszer:

A m : b, ahol az A matrix az egyenlet—

rendszer együtthatóiból alkotott an—es matrix. b egy adott n dimenziós vektor.

Kex-esendő olyan nem negatív koordiná- tájú 1: dimenziós cc vektor, amely az A a: : !) egyenletrendszert kielégíti és egy adott lineáris kifejezést minimalizál (il- letve maximalizál). A szerző számos pél—

dával illusztrálja a lineáris programozás alkalmazhatóságát.

A következőkben grafikusan ábrázol né- hány egyszerű és konkrét lineáris prog- ramozási feladatot, majd a lineáris prog- ramozási feladat megoldásának egyik módszerével: a szimplex módszerrel fog—

lalkozik. (Ez a fejezet a legkevésbé si- került bonyolult és nehézkes jelölései

miatt.)

* Végül a degeneráció esetét tárgyalja.

Ennek fennállása esetén a szimplex mód—

szert módosí-ani kell.

A —,,Düalitás" c. fejezetben a szerző az alábbi ún. duális feladattal foglalkozik:

keresendő azon N dimenziós nem negatív koordinátájú ac vektorok összeasége, ame—

lyek a

Ni

Zaiixlzbj (ir—1,2,...,m)

í—l

egyenletrendszert kielégítik és

Ne 2 0131

, i———1

kifejezést minimalizálják. Ez lényegében egy lineáris programozási feladat. Ennek duálja: keresendő azon N 4—m dimenziós ,u vektorok összessége, melyeknek első N komponense nem negatív, a többi m komponensük tetszőleges előjelű, továbbá megoldják a

m

2 díj '!!de %— y,— : el (1; : 1, gr.—"N)

fel '

egyenletrendszert és

m

2 (§?le

fel

kifejezést *maximalizálják. A dualitás alaptétele azt mondja ki, hogyha a

N

2 6: wz—

tel

kifejezésnek létezik minimuma, akkor létezik a ' '

m

2; bj yN u'

t.;

?"

s'rmfzsz'mm — morm- * * nem; le

kifejezésnek is a maximuma és ez" két:

optimális érték egyenlő. Ebben; a tejem—

ben bemutatja 'egy konkrét példán, hogy a kétszemélyes zéró összegű játék érté?- kének meghatározása ekvivalens egy "lí—

neáris programozási feladatnak *a meg—

oldásával. *

A ,,Játékok megoldása" cimen szerző részletesebben tér ki arra,

személyes zéró összegű játékoknál a já—

ték megoldása visszavezethető egy lineá- ris programozási feladat és dualjának 'a

megoldására. ' '

Az utolsó fejezetben a szerző vázlata——

san ismerteti a lineáris programozási feladatnak egy másik megoldási ,mód—

szerét, amely Beale nevéhez fűződik—és a szakirodalomban a ,,lényeges változók módszere" (method of leading variables) néven ismeretes. -

Meg kell jegyezni, hogy a könyv címe nem egészen fedi a tartalmát, mert nem a játékelmélettel általában, hanem, en—

nek csak egy speciális esetével, akétsze- mélyes zéró összegű játékokkal foglalko—

zik. A játékelméletnek ez a leszűkítése azonban szerencsésnek mondható abból a szempontból, hogy a témával ismerke- dők számára ezek a speciális játékok a legalkalmasabbak arra, hogy rajtuk ke—

resztül illusztráljuk a legfontosabb játék—

elméleti fogalmakat. A könyv ügyesen vezeti be az olvasót a játékelmélet és a lineáris programozás elemeibe, ezért al—

kalmas arra, hogy a témakör iránt ér—

deklődőknek a szükséges elemi ismerete—

ket megadja. ,

(Ism.: Schnell Lászlóné)

Wright, G. H.: ,

Az indukció logikai problémája

(The Logical Problem of Induction.) -New York. 1957. XII., 249 p.

A könyv célja egyrészt az 'indukcióval kapcsolatos logikai problémák tisztázása abból a szempontból, hogy az induktív következtetések helyességét logikai és valószínűségelméleti meggondolások meny—

nyire támasztják alá, másrészt annak vizsgálata, hogy a szimbolikus logika és a *valószinűségszámitás módszerei milyen eredménnyel alkalmazhatók az induktív következtetések keretében. A legfonto—

sabb induktív következtetések lényege, hogy egy bizonyos fogalom alá tartozó elemekre nézve igaz megállapításból arra következtetünk, hogy az a fogalom alá tartozó egyéb, általunk nem vizsgált ele—

mekre nézve is érvényes. Az induktív következtetés legtöbbször általánosítás, néha azonban csak egyes esetekre vonat—

kozik. A könyv elsősorban az induktív hogy a" két— -