SZÁMOK n-EDIK GYÖKÉNEK FOGALMÁRÓL
JÁROSI ANDRÁS (Közlésre é r k e z e t t : 1973. j a n u á r 15.)
Bevezetés
Hazánkban a középiskolai oktatási r e f o r m során módosult a valós szám négyzetgyökének és általában n-edik gyökének történetileg kialakult és azóta változatlan, sőt megváltozhatatlannak, elévülhetetlennek vélt fo- galma. A módosítás lényege — mint ismeretes — az, hogy megszüntette a szám n-edik gyökének többértelműségét, s ezzel egyértelművé tette a gyökvonás műveletét a valós számok halmazában. Az ú j gyökfogalom bevezetésekor a komplex számokat figyelmen kívül hagyták. Értesülé- s ü n k van hasonló külföldi próbálkozásokról is.
A fogalomváltozás a matematika oktatásában nem ment végbe zök- kenőmentesen, s ez várható is volt. Az ú j fogalom azonban a reméltnél nehezebben honosodik meg iskoláinkban. ,,A matematika tanítása" c.
folyóirat „még mindig a négyzetgyökvonásról" c. cikkének megállapítása szerint az 1970—71. tanévben „még mindig sok a zavaró körülmény, amely szükségessé teszi a címben jelzett téma felelevenítését". Felrója, hogy „még mindig sok az elavult, helytelen fogalomhasználat. A hallga- tóknak több mint a fele nem ismeri a négyzetgyök definícióját. Többen...
hangsúlyozták a négyzetgyök kétértékűségét". Majd később leszögezi:
„A négyzetgyök definiálásának tisztázása helyes és fontos volt, azonban kevésnek bizonyult ez az első radikális lépés. Mindaddig felszínen kell t a r t a n u n k a témát, míg fel nem számoltunk minden téves n é z e t e t . .
A módosítás ténye önmagában is arra utal, hogy a korábbi gyök- fogalom nem volt kielégítő. Vajon a módosítás után a szám n-edik gyö- kének fogalma tekintetében minden rendben van-e a matematika tudo- mányában, s csupán a tanulók f e j é b e n kell rendet t e r e m t e n ü n k ? Ha meg- s z ü n t e t j ü k a tanárok részéről az ú j t ó l való esetleges idegenkedést, jobb, hatásosabb módszereket alkalmazunk az oktatásban, s a t é m á t felszínen t a r t j u k , problémamentes lesz-e a szám n-edik gyökének fogalma? Ha a kérdést mélyebben elemezzük, azt kell mondanunk, hogy a matematika tudománya a módosítás után is adós maradt az n-edik gyök ellentmondás- mentes definíciójával.
A dolgozatban r á m u t a t o k a régi gyökfogalomban rejlő, illetve a mó- dosításból származó ellentmondásokra, m a j d megkísérlem a meglevő gyök- fogalmakat egy általam definiált, általánosabb gyökfogalomnak aláren- delve megközelíteni a probléma megoldását, az ellentmondásmentes gyök- fogalom kialakítását.
A gyökvonás és az n-edik gyök történetileg kialakult fogalma A gyökvonás a hatványozás inverz műveleteként alakult ki a mate- matikában. Az
(1) xn = a (n = 1, 2, 3 ...)
egyenlet megoldását, t ö b b megoldás létezése esetén megoldásait t e k i n t e t - ték az a szám n-edik gyökének, illetve gyökeinek az elmúlt évtizedig nemzetközileg is egységesen és általánosan. A legtöbb országban t u d o - másom szerint jelenleg is így értelmezik egy szám n-edik gyökét, s érte- sülésem szerint h a z á n k felsőfokú Oktatási intézményeiben is többnyire ez a helyzet.
A definíciók megfogalmazása m i a t t idézek n é h á n y értelmezést: „Va- lamely a szám n-edik gyöke alatt azt a b számot é r t j ü k , amelyre bn = a"2.
„Valamely z — r (cos cp -j- i. sin cp) komplex szám n-edik gyökén olyan u> komplex számot é r t ü n k , amelyre wn = z teljesül. Más szóval az xn = z
n
egyenlet megoldásait nevezzük a z szám n-edik gyökeinek. Jele w — JAT^
Ez a jel, m i n t l á t n i fogjuk, többértékű."3 „Feladatunk, hogy az a = r (COS99 -f- i. shKp) a l a k ú számból n-edik gyököt vonjunk. Tegyük fel, hogy ez lehetséges, és hogy a gyökvonás e r e d m é n y e Q (cos # + i. sin #), azaz
[o (cos 0 ~f- i s in — r (c o s <P + i sin 99)."
Majd megállapítja, hogy „k bármely pozitív vagy negatív egész értéke mellett"
7 j——: r 'iV f rp-j-2kJZ . . . cp + 2 kn ) ...
y r (cos 97 + 1 s m 9o) = \ r cos — 1. sin — (4)
A komplex számokra megadott gyökfogalmat idéztük, mivel ez a szám- fogalom valamennyi korábbi számfogalom általánosítása, s a komplex szám n-edik gyökének fogalma a korábbi számfogalmakra kialakult gyök- fogalom általánosításaként jött létre. A definíciók megfogalmazásában érezhető, hogy a többértelmű gyök az egyértelmű gyöknek az általáno- sítása. Több (páronként különböző) gyök létezése esetén is „gyököt" és
n
nem „gyököket" v o n u n k . A különböző gyököket ugyanazzal az f z szim- bólummal jelölték, s ez a jelölésmód mindmáig megmaradt. A problémát éppen a jelölés okozza, emiatt ellentmondás lép fel a fogalomban. Te-
a Va
kintsük pl. az a valós szám n-edik gyökét páros n esetén. Ennek jelölésére
n n
általánosan elfogadott volt az ]/ a = ± b forma. Nyilvánvaló, hogy ha ]fa — b
n
és \a=— b, akkor b =—b = 0. Következésképpen az x" — a egyenlet megoldása tetszőleges pozitív a esetén 0, így 0n= 0 = a és a p6 0 egyidejű- leg fennállna. Ugyanezzel az okoskodással k a p h a t j u k , hogy egy zérustól különböző komplex szám valamennyi, egymástól páronként különböző gyöke zérussal egyenlő. A későbbiek miatt megjegyezzük, hogy a foga- lomban jelentkező ellentmondás nem a fogalom tartalmából, hanem a jelölésből, tehát a f o r m á j á b ó l adódik, azonban a tartalom és a f o r m a dia- lektikus egysége folytán a fogalom egészére kihat.
Az iskolai oktatásban sok problémát okozott a gyök ellentmondásos jelölése, mindenekelőtt a gyököket tartalmazó kifejezések azonos átala- kításainál5. Ismeretes, hogy a n e m negatív valós számok halmazában, valamint ennek részhalmazaiban, ahol a gyök egyértelmű, érvényesek a következő azonosságok:
n n n
(a) Ya~b = ][a )!b
(2) (b) /-=- = - ( M 0)
Vb
n n
(c) ]fa™ — (J/a )m
Ezeknek a bizonyítása a definíció alapján egyszerűen úgy történik, hogy a jobb oldali kifejezéseket n-edik h a t v á n y r a emeljük, és eredményül r e n d r e a bal oldalon levő gyökök alatti számokat kapjuk. Többértelmű gyök esetén ez a bizonyítás hamis lenne, m e r t az an = bn egyenlőségből nem következik az a — b egyenlőség. Pl. {—5)2 = 52, de •—5 ^ 5.
A gyökök ellentmondásos jelölése egyéb problémákat is okoz6. Emiatt
n
nem tekinthető f ü g g v é n y n e k az y — \x leképezés páros gyökkitevőre.
A trigonometrikus függvények értékeinek kifejezésében nem enged- hető meg a négyzetgyök jelének alkalmazása, h a az kétértékű. Például:
tg 60° = V3 nem igaz, ha f 3 kétértékű.
Az ismertetett ellentmondás t e h á t önmagában és következményeiben is sürgeti a jelölés többértékűségének a megszüntetését. Csodálkoznunk kell azon, hogy a t ö b b é r t é k ű gyököknek ez a jelölésmódja ily hosszú ideig f e n n m a r a d h a t o t t . Talán azzal lehet magyarázni, hogy a gyökvonás ú j számfogalomhoz, az irracionális számhoz vezetett, amelynek a t a r t a l m á t matematikailag szabatosan megadni a matematikusok számára sokkal fon- tosabb és izgalmasabb feladatot jelentett, m i n t a szám n-edik gyökének a fogalmát tisztázni, amelynek t a r t a l m a egyébként is világos, és csupán
a jelölése okoz problémát. Csak a közelmúltban jelentkezett az igény a gyök fogalmával kapcsolatos ellentmondás megszüntetésére, mégpedig el- sősorban oktatási nehézségekből kifolyólag.
A valós szám egyértelmű n-edik gyökének definíciói
Kétféle próbálkozásról van tudomásom. Az egyiket (I. definíció) hazai t a n k ö n y v ' alapján ismertetem, de megtalálható a svédeknél is10, a másikat (II. definíció) egy n é m e t nyelvű tankönyvből idézem8.
I. definíció
„Négyzetgyök a-nak nevezzük és ]/a-val jelöljük azt a nem negatív számot, amelynek négyzete a." ,.Tehát | a ^ O és (jía)2 = a." (17. old.).
Látható, hogy a tankönyv a 0 négyzetgyökét a definíció értelmében tekinti 0-nak.
n
Az n-edik gyök fogalmát így adja meg: ,,a > 0 esetben] a azt a po-
ri
zitív számot jelenti, amelynek n-edik hatványa a, azaz (l''o)n =
(250. oldal.) Páratlan n gyökkitevőre a t a n k ö n y v a következő kiegészítő megjegy- zést teszi: „Páratlan gvökkitevő esetében a gyök definíciójából elhagy- ható az a kikötés, hogy a gyök alatti szám pozitív legyen. P á r a t l a n gyök- kitevő esetében, ha a gyök alatti szám negatív, a gyök értéke is negatív."
Példaként hozza, hogy az x~' = —32 egyenlet megoldása —2, ezért
5
1 —32 = —2. A 0 n-edik gyökét pedig külön adja meg: „Megállapodás szerint a 0 tetszőleges pozitív egész kitevőjű gyöke 0." (251, 252. oldal.)
II. definíció
,,Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist die positive Zahl b, deren Quadrat gleich a ist." (176. oldal.)
„Bei positiven Zahlen ist das Radizieren die Umkehrung des Quad- rierens." (177. oldal.)
„Die Kubikwurzel (dritte Wurzel) aus einer positiven Zahl a ist die
3 _
•positive Zahl, deren dritte Potenz gleich a ist. Man schreibt d a f ü r : j/a
3 _
(lies: 3. Wurzel aus a). Ist a = 0. so schreibt m a n | 0 = 0 . F ü r n e g a -
3 _ 3
t i v e a i s t | f a n i c h t d e f i n i e r t . " (253. oldal.) „Das Zeichen ]/ — 8 verwenden wir nicht." (255. oldal.)
„Die n-te Wurzel aus einer positiven Zahl a ist die positive Zahl b,
n
deren n-te Potenz gleich a ist. Man schreibt d a f ü r \a. Dabei ist n =
n n
= 2, 3, 4, . . . F ü r a = 0 ist fl) = 0. F ü r n e g a t i v e a i s t \'a n i c h t d e f i n i e r t." (256. oldal.)
Elnézést kérek az olvasótól a sok idézetért, de legyen szabad még az utolsó definícióhoz fűzött megjegyzést is szó szerint hoznom, hogy világosan láthassuk a törekvést és a módszert a gyök fogalmának meg- alkotásakor, illetve módosításakor: „Ist in y — xn die Hochzahl n und der Potenzwert y > 0 gegeben u n d ist x > 0, so erhält man die G r u n d -
n
zahl x durch Radizieren: x = ][y- Wie auf S. 177 sagen w i r : »Das Ra- dizieren ist die Umkehrung des Potenzierens, also eine Rechenart 3. Stu- fe«/' (258. oldal.)
Elemezve a definíciókat, mindenekelőtt el kell ismernünk, hogy el- érték a kitűzött célt: a valós számok halmazában egyértelművé tették a szám n-edik gyökét és a gyökvonás műveletét.
A két definíció között azonban jelentős eltérés mutatkozik a negatív számok gyökeinek az értelmezésében. Az I. definíció a valós számok hal- mazában a régi értelemben vett gyökök közül páros n gyökkitevőre ki- zárta, páratlanra pedig lényegében meghagyta a negatív gyököket. A for- mális definíció ugyan nem tartalmazza a negatív számok páratlan kitevőjű gyökeit, de a definíciót követő magyarázó szövegből félreérthetetlenül következik, hogy páratlan n esetén a negatív számok n-edik gyökét a régi módon értelmezi. A II. definíció ezzel szemben negatív valós szá- mokra semmilyen n esetében n e m értelmezi az n-edik gyököt. Külön
n
hangsúlyozza, hogy negatív a-ra [ a nincs definiálva, s nem alkalmazza
3 n
a ][ — 8 típusú jelet, vagyis az ][ — a jelet pozitív a esetében. Az xn = —a
n n
(a > 0) egyenlet megoldását sem f — a - v a l , hanem - j / a - v a l jelöli.
Az előbbi eltérés ellenére a két definíciónak van egy igen lényeges közös vonása, hogy tudniillik a gyökvonás a n e m negatív valós számok halmazán művelet, éspedig unér művelet, amely a hatványozás inverz műveletének tekinthető. De semmiképpen sem t e k i n t h e t ő az így definiált gyökvonás az összes valós számok halmazában értelmezett műveletnek
— hiszen ebben a halmazban csak parciális művelet volna —, s így még kevésbé beszélhetünk a n n a k inverz voltáról. Igaz, hogy a II. definíció a pozitív számok négyzetgyökének, m a j d n-edik gyökének az értelme- zésekor egyaránt hangsúlyozza: a gyökvonás a pozitív valós számok hal- mazában a hatványozás megfordítása. A valós számok teljes halmazára azonban nem terjeszthető ki ez a megállapítás, hiszen negatív valós szá- mokra az n-edik gyököt a definíció n e m értelmezte. Végeredményben tehát mindkét definícióval megadott gyökvonás a valós számok teljes halmazában elveszti a nem negatív valós számok halmazában meglevő inverz művelet jellegét.
Az I. és II. definíció által v é g r e h a j t o t t gyökfogalom-módosítást a fo- galom t a r t a l m á n a k és f o r m á j á n a k vonatkozásában a következőképpen é r - t é k e l h e t j ü k :
A formában (jelölésben) meglevő ellentmondást mindkét definíció olyan módon s z ü n t e t t e meg, hogy az ellentmondásos f o r m a (jelölés) hibá- jának kiküszöbölése helyett a fogalom t a r t a l m á t módosította. A helyes tartalmat vetette el az ellentmondásos jelölés helyett. Az t ö r t é n t ugyanis, hogy a valós számok halmazában mindkét definíció tartalmilag ú j fogal- mat vezetett be, a régi fogalom alakjában, a régi fogalom nevével és jelével ellátva. Ezzel a valós számok halmazában megszűnt a régi gyök- fogalom. Azonban a komplex számok halmazában változatlan maradt az n-edik gyök fogalma t a r t a l m á b a n é s f o r m á j á b a n is, hiszen a módosítások a komplex számok halmazát figyelmen kívül hagyták. Ennélfogva a valós számok régi n-edik gyökfogalma mégsem s z ű n t meg, következésképpen létezik is meg n e m is. Az ú j definíciók t e h á t megszüntettek egy ellent- mondást a valós számok halmazában, s ugyanakkor létrehoztak egy ú j a b b ellentmondást a komplex számok halmazában, s most m á r n e m formai, hanem tartalmi ellentmondást. Lássuk ezt k é t egyszerű p é l d á n :
1. A 25 nyilvánvalóan v a l ó s szám is és k o m p l e x szám is. Ha c s a k v a l ó s számnak t e k i n t j ü k , akkor e g y e t l e n n é g y z e t g y ö k e van: -f-5. Ha k o m p l e x számnak tekintjük, akkor k é t n é g y z e t - g y ö k e van, 4-5 és —5, és m i n d k e t t ő valós. Kérdés: mit tekintsünk a 25 v a l ó s k o m p l e x szám négyzetgyökének?
2. A —8-nak m i n t v a l ó s számnak n i n c s valós köbgyöke a II. de- níció szerint. A —8^nak mint k o m p l e x számnak v a n valós köbgyöke.
A —8-nak mint v a l ó s k o m p l e x számnak v a n - e valós köbgyöke?
Az ellentmondás nyilvánvaló. Az okát röviden úgy f e j e z h e t j ü k ki, hogy a fogalomalkotásban n e m érvényesül a Hankel-féle permanencia- elv, amelyet első megfogalmazásában így t a l á l u n k az irodalomban9: „Die rein formale M a t h e m a t i k . . . b e s t e h t . . . nicht in einer Verallgemeinerung der gewöhnlichen Arithmetik; sie ist eine durchaus neue Wissenschaft, deren Regeln d u r c h letzere nicht b e w i e s e n , sondern e x e m p l i f i - z i r t werden, i n d e m die formalen Operationen, auf actuelle Zahlen an- gewandt, dieselben Resultate geben, als die anschaulichen Operationen der gemeinen Arithmetik." (12. o.) Az azonosságokra vonatkozóan pedig ezt m o n d j a : „ . . . d a s P r i n z i p d e r P e r m a n e n z d e r f o r - m a l e n G e s e t z e . . . besteht d a r i n : Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der Arithmetica universalis ausgedrückte F o r m e n einander gleich sind, so sollen sie a u c h gleich bleiben, wenn die Zeichen a u f h ö r e n einfache Grössen zu bezeichnen, und d a h e r auch die Operationen einen irgend Welchen anderen I n h a l t b e k o m m e n . " (11. o.)
Az elmondottakból nyilvánvalóan következik, hogy a valós számok halmazában bevezetett ú j egyértelmű gyökfogalom egyik változata sem fogadható el mindaddig, amíg a kimutatott ellentmondásokhoz vezetnek.
Szükség van t e h á t a gyökfogalom további kimunkálásra.
278-
A teljes n-edik gyök fogalma
Abból indulunk ki, hogy a történetileg kialakult eredeti gyckfogalom tartalmilag helyes és félreérthetetlen volt, tehát a t a r t a l m á t nem szabad elvetni, hanem bele kell építeni az ú j gyökfogalomba. Módosítani kell viszont ellentmondásos f o r m á j á t . A megváltozott formához természetesen új módon kapcsolódik a régi tartalom, s így a fogalom is megváltozik a forma módosításakor.
Az új, ellentmondásmentes gyökfogalom kialakításához és definiálá- sához az alapgondolatot az adta, hogy a gyökvonás (2) azonosságainak többértelmű gyök esetében is van értelmük, ha az azonosságokat a lehet- séges gyökök halmazaira vonatkoztatjuk. Ugyanis azt találjuk, s később be is bizonyítjuk, hogy adott a és b számokra a (2) azonosságok m i n d - egyikében a bal- és jobboldali kifejezések lehetséges számértékeit kiszá- mítva a bal oldalon k a p o t t páronként különböző számok halmaza egyenlő a jobb oldalon kapott páronként különböző számok halmazával mind valós, mind komplex számokra. Pl. a \ a b = ]/ a • ]/ b azonosságban legyen a — 4 és b = 25, akkor a baloldali gyök lehetséges számértékei 10 és —10, és ugyanezek lesznek a jobboldali kifejezés lehetséges, páronként külön- böző számértékei is. Önként kínálkozik az a gondolat, hogy célszerű lenne a szám n-edik gyökének ú j fogalmaként az (1) egyenlet lehetséges, pá- ronként különböző megoldásainak a halmazát tekinteni.
Ennek alapján v e z e t j ü k be a következő definíciót:
Az xn = a
egyenlet összes (páronként különböző) megoldásainak a halmazát az a
(n) "
szám teljes n-edik gyökének nevezzük és } a-val jelöljük.
Más szavakkal t e h á t : <n)_
Egy a szám teljes n-edik gyökén értjük és ]'a-val jelöljük azoknak a pá- ronként különböző komplex számoknak a halmazát, amelyeknek n-edik hatványa a:
( i i ) d c f
(3) Ya {z ' — a; n természetes szám}
Az n természetes számot gyökkitevőnek, az a számot gyök alatti számnak, a halmaz x elemeit pedig az a szám n-edik gyökeinek nevezzük. (Az n- edik gyökök egyenkénti jelölésére n e m definiálunk külön jeleket, ezeket esetenként tetszés szerint jelöljük, ha e r r e szükség van.)
Bevezetjük továbbá a következő fogalmat:
Az a szám teljes n-edik gyökének azt az elemét (tehát az a számnak azt az n-edik gyökét), amely valós és am.elynek előjele megegyezik az a
n
szám előjelével, az a szám n-edik főgyökének nevezzük. A jele: ]fa.
T e h á t : (4)
n def
1 a — b, ha bn — a és sgn b — sgn a
A definíció szerint speciálisan [ 0 = 0 , mivel a 0 előjele tetszőlegesen választható.
A bevezetett fogalmakkal kapcsolatban megjegyezzük a következőket:
a) A teljes n-edik gyök fogalmához:
1. A teljes n-edik gyök a korábbi (eredeti) gyökfogalom általáno- * sítása. Mint halmaz elemekként tartalmazza a régi értelemben v e t t és tartalmilag változatlanul meghagyott, de korábbi (ellentmondásos) jelük- től megfosztott n-edik gvököket.
(n) " n _
2. Az ú j }/ a fogalom sohasem egyenlő a régi (eredeti) ]/ a gyök- fogalommal, m e r t az utóbbi mindig számot ill. számokat jelent, az előbbi pedig számoknak egy jói meghatározott halmaza, mégpedig az alapul vett számhalmaztól és abban az (1) egyenlet megoldásainak számától függően az üres halmaz, egyelemű halmaz, ill. többelemű halmaz. Tehát bármely számnak létezik bármely n - r e teljes n-edük gyöke.
3. A t e l j e s négyzetgyök jelölésében a félreértések elkerülése végett
' 2 )
a 2 gyökikitevőt mindig ki kell írni: [ a.
b) A jögyök fogalmához:
1. A főgyök a korábbi (eredeti) többértelmű gyökfogalom speciali- zálása. Ezért a neve természetes, logikusan alkalmazkodik a történetileg kialakult eredeti gyökfogalomhoz, s a nem negatív valós számok halma- zában azonos vele. Nevének kiejtése nem hosszú, s ha most szokatlan is, könnyen m e g lehet szokni.
2. A főgyök fogalma tartalmában és jelében megegyezik a közép- iskoláinkban jelenleg érvényes (az előzőkben az I. definícióval megadott) gyökfogalommal, csak a neve más. A definíciója azonban egyszerűbb, mint a középiskoláinkban jelenleg használatos definíció.
3. A főgyökökire érvényesek a (2) azonosságok, ez következik az előbbi 2. megjegyzésből Az azonosságok közvetlen belátása most a lehető legegyszerűbb, mivel az előjel a főgyök definíciója folytán bármelyik azonosság m i n d k é t oldalán ugvanaz.
3
4. Javasoljuk speciálisan [ a-ra a f ©négyzetgyök, J a-ra a főköbgyök elnevezés használatát
Műveletek teljes n-edik gyökökkel
Egyenlő gyökkitevőjű teljes n-edik gyökökre definiáljuk a szorzást és az osztást, definiáljuk továbbá a teljes n-edik gyök pozitív egész ki- tevőjű hatványát.
280-
( n ) _ (n)
Az a és b számok teljes n-edik gyökeinek f a • f ft szorzatán, illetve (n)
h —fo + OJ hányadosán értjük azoknak a páronként különböző xy szor-
Vi'
X (n)
zatoknak, illetve —(y^O) hányadosoknak a halmazát, amelyekre x£]/a
(n)_ 0
és yÖjb.
Az a• szám teljes n-edik gyökének pozitív egész m kitevőjű m-edik
( n )
hatványán értjük az f a elemeinek m-edik, páronként különböző hatvá- nyaiból álló halmazt.
Matematikai j elekkel:
(r) (n) d e f ín) (n) (a) fa- ][b ={tij f ű és y£ \ b}
n)
1/ def j (n) (ti)
(4) (b) Tn T ~ = - — ! * € ] / « és í / € f f t ; M O
fft 1 1
(n) def (ii)
(c) ( f a )m = {zm x t | a } Érvényesek a következő azonosságok:
( m _ (n) (n)
(a) j/öft = fa • fft
(5) (b)
( n )
a |/ a b ~ (nl
Vb
( b ± 0)
(n) (n)
(c) fa"1 = ( f a )m ha (m, n) = 1
Az azonosságok bizonyításéra m e g m u t a t j u k , hogy minden azonos- ságban a bal és a jobb oldalon levő halmazok egymásnak kölcsönösen részhalmazai. A bizonyításban felhasználjuk a komplex számok szorzá- sára, osztására, hatványozására és a komplex számok gyökeinek kiszámí- tására vonatkozó ismert tételeket. A 0-tól különböző a = r (cos a -f- i. sin «) komplex szám n-edik gyökeit most is f e l í r h a t j u k
" - í
wk = |/ r c ,, , a + 2 kn . . a + 2 k.~i (6) wI- = /r cos - - 4 - 1 . sm
1 n n
281-
alakban, ahol ]fr az a komplex szám r abszolút é r t é k é n e k n-edik főgyöke, k tetszőleges egész szám, és a k = 0, 1 , 2 , . . . , n—1 értékek mellett elő- állnak az a szám összes p á r o n k é n t különböző n-edik gyökei.
Legyen az (5) azonosságokban
a = r (cos a -f- i. sin a)
b — s (cos ß -f- i. sin ß) Az (a) azonosság bizonyítása:
i n)
Ha x Ö l d b , akkor a (3) definíció alapján
xn — ab = rs [cos (a -j- ß) + i. sin (a ß)].
Ezért x a következő a l a k b a n írható:
a + fi+2kn . . . a + ß + 2 kn\
x = rs cos ——-—' h i- sin — ,
V n n J
ahol k valamilyen egész számot jelent. Bevezetve a nyilvánvalóan lehet- séges k = k\ -f~ ko (ki és k-2 egész számok) felbontást, x abszolút értékét, ill. a r g u m e n t u m á t a következő alakban í r h a t j u k :
n n n
| x | = | f r ; = ]/r • j/s illetve
a + ß+2 kn a + 2 k*7t fi + 2 k2n arg x = - = 1-
n n n
'n) (n)
Ezért x(L ][a • [ b , következésképpen
(n) (n) (n)
(7) f ö f t c f a - f ö
(n) (n)
Másrészt, ha zd)Ja - \ b , akkor a (4) definíció jelölését alkalmazva zn = (xy)n = xn yn = ab
(n)
folytán zd Yab, s ezért
(n) (n) (n)
(8) i a - |íb c | ab
A (7) és (8) relációkból következik az (a) azonosság érvényessége.
A (b) azonosság bizonyítása az (a) bizonyításához hasonlóan végez- hető, csak szorzás h e l y e t t osztást, az a r g u m e n t u m o k összeadása helyett 282-
azok megfelelő sorrendben vett kivonását kell végezni, s a k = kí-\- k2
felbontás helyett most a k~ki — k2 felbontást kell alkalmazni, a m i nyil- vánvalóan lehetséges.
A (c) azonosság bizonyítása:
(n)
Ha x6j/am. akkor írható:
ma -j- 2 kn , ma -f- 2 kn
", / ma -j— Z faji . . x — [/ rm I cos — f- í. sin n
ahol k az x előállításához szóba jöhető egész számok egyike. I n n e n
n n
| x | =frm = (j/7)ra és
ma 4- 2 kn m (a 4- 2 7ci rr) ,
arg x = = —-—J — - f 2 k2n .
ö n n
Itt a k egész számot k = m • ki + n • k2 (ki és k2 alkalmas egész számok) alakban állítottuk elő, ez (m. n) = 1 miatt mindig lehetséges. Tehát
ín)
x£(][a)m, e n n é l f o g v a
(n) (n)
(9) ]iam c(}.'a)m .
(n)
Ha pedig ( l Mm, akkor írható:
" ( m (a + 2 kn) , . . m (a 4 - 2 TCJZ) ^
2 = (]/'r)m j cos L + 1. sin — ^ M . Ezért
n 11 12 ; = (]/V)m = \ rm és
m (a 4- 2 krr) ma 4" 2 k'n
arg z = — — = ,
n 11
(n)
ahol k' = mk. Tehát z€ Yam, s ebből következik, hogy (11) (11)
(10) (í a)"1 c I am .
A (9) és (10) relációk a (c) azonosság érvényességét bizonyítják.
Összefoglalás
A dolgozat mondanivalóját a következőkben lehet összegezni:
A szám n-edik gyökének történelmileg kialakult fogalma a jelölés többértékűsége miatt egészen a legutóbbi időkig ellentmondásos volt.
283-
Ez a körülmény elsősorban az oktatásban okozott problémát, de a ma- tematika tudománya számára sem tartható f e n n ellentmondásos fogalom.
Az egyértelmű gyök definiálására eddig végzett próbálkozások megszün- tették ugyan a régi ellentmondást, de létrehoztak egy még súlyosabbat.
A dolgozat r á m u t a t a régi és az ú j ellentmondásra, m a j d a megoldás ú t j á t keresendő megad a komplex számok halmazában egy ú j a b b n-edik gyök- fogalmat.
A dolgozat definiália a szám teljes n-edik gyökét, mint az xn = a egvenlet páronként különböző megoldásainak halmazát, amelyet az j a
(n)
szimbólummal jelöli. Az j a elemeit továbbra is az a szám n - e d i k gyökei- nek nevezi, f e n n t a r t v a ezzel a matematika széles körű irodalmában elter- jedt korábbi elnevezést, de elvetve annak ellentmondásos jelölését.
A dolgozat definiálja a szám n-edik főgyökének fogalmát is. Egy szám n-edik főgyökének nevezi a számnak azt a valós n-edik gyökét, amelynek előjele megegyezik a szám (a gyök alatti szám) előjelével. Az a
n
szám n-edik főgyökét a légi Ya szimbólummal jelöli. A fogyok fogalma tartalmában és jelölésében megegyezik a középiskoláinkban jelenleg elfo- gadott n-edik gyökkel, csak a neve más. A n e v é t azért kellett megváltoz- tatni, hogy a gyökfogalom k ö r ü l megszüntessen minSenféle zavart és homályt.
A dolgozat m e g m u t a t j a , hogy a főgyökökre érvényes ismert azonos- ságok a teljes n-edik gyökökre is igazak.
A két ú j gyökfogalom egyidejűleg bevezetve alkalmas arra, hogy megszüntesse a gyökvonás körüli ellentmondásokat, problémákat.
Az elmondottak egyben sürgetik a matematikának halmazelméleti alapon való oktatását is
I R O D A L O M
1 Bognár Stefánia. Még m i n d i g a n é g v z e t g y ö k v o n á s r ó l . A m a t e m a t i k a t a n í t á s a , 1971.
X V I I I . évf. 5. szám, 152—153.
4 R. Courant—H. Hobbins: Mi a m a t e m a t i k a ? G o n d o l a t K ö n y v k i a d ó , B u d a p e s t , 1966, 115.
3 Dr. Szendrei János: A l g e b r a és s z á m e l m é l e t . Főiskolai jegyzet. (Kézirat.) 7. v á l t o - z a t l a n u t á n n y o m á s . T a n k ö n y v k i a d ó . B u d a p e s t , 1970. 186.
A. G. Kuros: F e l s ő b b a l g e b r a . T a n k ö n y v k i a d ó . B u d a p e s t , 1967. 133—134.
5 V. M. Bragyisz: A középiskolai m a t e m a t i k a t a n í t á s módszertana. K ö z o k t a t á s ü g y i K i a d ó v á l l a l a t , B u d a p e s t , 1951, 111—113.
(1 Horvay—Pálmay: T a n á r i s e g é d k ö n y v a g i m n á z i u m o k és szakközépiskolák II. osz- t á l y a i b a n a m a t e m a t i k a t a n í t á s á h o z . T a n k ö n y v k i a d ó , Budapest, 10.
7 Horvay—Pálmay: M a t e m a t i k a a g i m n á z i u m o k és szakközépiskolák II. osztálya s z á m á r a . T a n k ö n y v k i a d ó , E u d a p e s t .
8 Lambacher—Schweizer: Algebra 2. E r n s t K l e t t V e r l a g S t u t t g a r t , 1967.
9 Dr. Hermann Hankel: T h e o r i e d e r c o m p l e x e n Z a h l e n s y s t e m e . Leipzig, Leopold Voss, 1867.
10 A l g e b r a f ö r g y m n a s i e t del II F ö r s ö k s t e x t , A 10—12 del II version 2S. N o r d i s k a k o m i t t é n f ö r m o a e r n i s e r i n g av m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , Stockholm, 1965, 74—78.
284-
ÜBER DEN B E G R I F í DER n - T E N W U R Z E L VON Z A H L E N Járosi András
Die A r b e i t b e s c h ä f t i g t sich m i t d e m Begriff d e r n - t e n Wurzel a u s e i n e r Zahl a . Ii
Es ist b e k a n n t , dass das Symbol \ a m e h r d e u t i g ist. D a r a u s folgt e i n W i d e r s p r u c h im W u r z e l b e g r i f f . F ü r m e h r d e u t i g e W u r z e l n gelten f e r n e r die I d e n t i t ä t e n
n n
Vb
nicht. I m v o r i g e n J a h r z e h n t h a t m a n in U n g a r n u n d auch in a n d e r e n L ä n d e r n bei der M o d e r n i s i e r u n g des M & t b e m a t i k u n t e r r i c h t s in der reellen Z a h l e n m e n g e e i n d e u t i g e W u r z e l b e g r i f f e d e f i n i e r t . Zufolge diesen D e f i n i t i o n e n lösten sich die vorigen W i d e r s p r ü c h e in der M e n g e d e r reellen Z a h l e n auf, a b e r es e n s t a n d ein neuer W i d e r s p r u c h in d e r k o m p l e x e n Z a h l e n m e n g e . Die A r b e i t zeigt auf die alten und n e u e r e n W i d e r s p r ü c h e hin. U m alle die b i s h e r i g e n W i d e r s p r ü c h e d e r W u r z e l - ziehung zu beseitigen, f ü h r t der V e r f a s s e r n u n zwei B e g r i f f e ein. Unter der voll- ständigen n-ten Wurzel aus „a" versteht er die Menge aller (paarweise verschiede-
(n)_
nen) Zahlen, deren n-te Polenz gleich ,,a'' ist. Er s c h r e i b t d a f ü r | a . Die E l e m e n t e (n)
der M e n g e }a w e r d e n n - t e W u r z e l n aus a g e n a n n t , f ü r diese d e f i n i e r t m a n einzeln kein gesondertes Zeichen. Die n-te Wurzel aus „a", die reell ist, und deren Vor- zeichen mit dem der Zahl ,,a'' übereinstimmt, wird v o m Verfasser als n-te Haupt-
n
wurzel aus „a" genannt. Er schreibt d a f ü r das alte S y m b o l |<a.In d e r A r b e i t w i r d es zuletzt bewiesen, dass die obigen, f ü r die H a u p t w u r z e l n gültigen I d e n t i t ä t e n auch f ü r die v o l l s t ä n d i g e n n - t e n W u r z e l n [in der d r i t t e n I d e n t i t ä t m i t d e r B e d i n - gung (m, n) — 1] gültig sind. F ü h r t m a n die beiden n e u e n W u r z e l b e g r i f f e gleich- zeitig ein, so w e r d e n sie geeignet, die W i d e r s p r ü c h e der W u r z e l z i e h u n g a u f z u l ö s e n .
ON T H E C O N C E P T O F T H E n - T H R O O T O F N U M B E R S by András Járosi
This p a p e r deals w i t h t h e concept of t h e n - t h root of a n u m b e r „a" As is w e l l - n
k n o w n , t h e s y m b o l ] a is ambiguous. C o n s e q u e n t l y t h e r e is a c o n t r a d i c t i o n in t h e concept of root. F u r t h e r m o r e t h e i d e n t i t i e s
r
ab = 1 a • I b , I a \ a , •— -
= — • I a" = (\ay Mb
are not valid f o r a m b i g u o u s roots. D u r i n g r e c e n t y e a r s u n a m b i g u o u s c o n c e p t s of root h a v e been d e f i n e d in t h e positive mass of n u m b e r s w h i l e m o d e r n i z i n g t h e teaching of m a t h e m a t i c s in H u n g a r y as w e l l as in o t h e r countries. In c o n s e q u e n c e of t h e s e d e f i n i t i o n s t h e f o r m e r c o n t r a d i c t i o n s h a v e b e e n removed, b u t a n e w one has a r i s e n in t h e mass of integers.
T h e a u t h o r points out t h e older and t h e n e w e r c o n t r a d i c t i o n s . In o r d e r to e l i m i - n a t e all t h e s e c o n t r a d i c t i o n s of t h e e x t r a c t i o n of root t h e p a p e r i n t r o d u c e s t w o concepts. By the integral n-th root of „a" he means the mass 0/ all (different
(n) by pairs) numbers of which the power is equally „a". I t is indicated b y ] « . T h e
(n)
e l e m e n t s of t h e m a s s | a w i l l be r e f e r r e d t o as the n - t h roots of „a" a n d no special symbol w i l l b e used f o r t h i s purpose. The n-th root of „a", which is positive and of which the sign is identical with that of the number „a" will be called the main
n
root of „a" by the author. F o r this he u s e s t h e symbol ] a . F i n a l l y t h e p a p e r points out t h a t t h e above i d e n t i t i e s valid f o r t h e m a i n r o o t s a r e valid also f o r t h e i n t e g r a l n - t h roots [on c o n d i t i o n t h a t (m, n) = 1 in t h e t h i r d identity]. I n t r o d u c i n g both n e w concepts of r o o t c o n c u r r e n t l y it becomes possible to e l i m i n a t e t h e c o n t r a - dictions of t h e e x t r a c t i o n of root.
