A változó idényszerűség meghatározása analitikus módszerrel

MODSZERTANI TANULMÁNYOK

A VÁLTOZÓ lDÉNYSZERÚSÉG MEGHATÁROZÁSA ANALITIKUS MODSZERREL

HERMAN SÁNDOR

Számos idősor vizsgálatánál tapasztalható idényszerű ingadozás. Az idényszerű-

séget kiváltó okok két fő csoportra oszthatók. Az elsőbe a természeti jelenségek tar-

toznak. Az évszakok és a napszakok. a hőmérséklet és a megvilágítottság változása társadalmi—gazdasági életünk számos jelenségének alakulását befolyásolja. Emel- lett a társadalmi—gazdasági tényezők, például a pénzeszközök áramlásának szaka—

szossága. a divat. a hagyományok, ünnepek hatása a kereskedelmi forgalomra stb.

okként is szerepelhetnek.

A kiváltó okok viszonylagos stabilitása miatt az idényszerűség vizsgálatoknál általában az idényszerűség állandóságát a priori feltételként kezelik. Figyelembe kell venni azonban azt a lehetőséget is, hogy az előidéző elsődleges ok stabilitása mel- lett az arra reagáló emberi tevékenység megváltozása az idényszerűség állandósá—

gát is megszüntetheti. Néhány kiragadott példa a tompító hatásra: az építőipar kialakíthat olyan technológiákat. melyek kevésbé függvényei a hőmérséklet alaku—

lásának, így az építőipari termelés szezonalitása csökkenhet; gondot okoz a mező—

gazdasági termelés ciklikussóga az élelmiszeriparban, de a mezőgazdasági termé—

keknek a feldolgozás kezdeti stádiumában történő tartósítása csökkenthet ezen a gondon; a ruházati cikkek és cipőipari termékek kiskereskedelmi forgalmának őszi

és tavaszi csúcsértékei is csökkenthetők megfelelő intézkedésekkel.

Egy másik reagálási mód. amely erősíti az idényszerűséget, az alkalmazkodás:

a hőmérséklet adott értékeit figyelembe vevő. de kevésbé költséges technológia be- vezetése az építőanyag—iparban; összkomfortos szállodák helyett jóval olcsóbb, csak nyáron üzemeltetett szálláshelyek rendszeresítése a vízparti üdülőterületeken.

A differenciáltabb elemzés, amely előfeltétele a hatékonyabb beavatkozásnak,

megköveteli, hogy az eddig általában abszolúte vagy relatíve stabilnak vett idény-

szerűség állandóságát a módszertani elemzés feltételként kezelje, melynek elvetése esetén a vizsgálati modellben változó idényszerűség szerepeltetendő.

A továbbiakban egy analitikus modellt ismertetek. E módszer mellett szól, hogy a változások tendenciáinak felismerése nagyon fontos cél, hiszen ez a megfelelő reagálás. az idősor alapján hozott döntés elengedhetetlen feltétele. Ez pedig a ten—

dencia határozott, tömör leírásával valósítható meg. A téma aktualitását az adja, hogy jelenleg az erőforrások hatékonyságának vizsgálata központi kérdés, ennek javítása egyes területeken az idényszerűség csökkentését, más területeken a hozzá

való alkalmazkodást teszi szükségessé.

Számos olyan módszer ismeretes, amely alkalmas változó idényszerűséget tar- talmazó idősorok elemzésére.

1230 HERMAN SÁNDOR A BLS1 és a Census ll. fejlett gépi mozgóátlagolásos módszerek (1), amelyek

azonban nem szolgáltatnak rekurzív generáló formulát, ezért segítségükkel közvet-

lenül előrebecslés nem végezhető.

Az idősorkutatás egyes módszerei együttesen, sztochasztikus modellekkel vizs-

gálják az idősor különböző tényezőit. A már eddig is ismert modelleket G. E. F. Box

és G. M. Jenkins egységes rendszerbe foglalta.2 E módszerek előnye, hogy generáló formulát adnak. ezért a vizsgált intervallum könnyen bővíthető. A becslések pontos- ságát is egzakt formulákkal írják le. így a sztochasztikus modellek az előrejelzé- seknél különösen jól használhatók.

Ide tartozik az autoregresszív AR, a mozgóátlagolásos MA, a vegyes tipusú

ARMA és ennek nem stacionárius idősorra kidolgozott ARlMA modellje. Az ARIMA modellt ARIMA (p, cl, a)-val is szokás jelölni, ahol p az autoregresszivitás rendjét, cl a differenciaképzés fokát, a pedig a mozgóátlagolás fokozatát jelöli. Az egységes

rendszer szerinti jelölés így alakul a többi modellnél:

AR (p. 0, o)

MA (o, o, a) ARMA (p, a. a)

Az idényszerűséget tartalmazó idősorokat két egymásra épülő — egy ARIMA (P. D.

(D)-ból és egy ARIMA (p. d. (y)—ból álló — összetett modell írja le.

A modellek magyarországi idősorokon történő alkalmazása és kritikai elemzése

értékes megállapításokra adott lehetőséget (2). A modell kutatói kiemelték, hogy

,,... e modellek nem különítik el az idősoron belül a különböző komponenseket, előrejelzést sem külön az egyes tényezőkre szolgáltatnak, hanem a teljes idősort jelzik előre a maga változó (növekvő, csökkenő, szabályosan vagy szabály—talanul ingadozó) jellegében. Ez az előrejelzési képesség az előrejelzések folyamatos javí- tásának lehetőségével párosulva, indokolja az ARlMA modellek széles körű gya—

korlati felhasználását." (70. old.)

Sokszor előfordul azonban mind a leíró elemzésnél, mind az előrebecslésnél, hogy igen fontos a különböző komponensek számszerűsítése. Egészen más jellegű beavatkozást követelhet módszereiben és eszközeiben is az alapirányzat hatását befolyásoló tényező, mint az idényszerűség mértékét és jellegét megváltoztató tö—

rekvés. Ez az oka annak, hogy a gyakorlatban sokszor célszerű lehet az idősort

komponenseire bontó elemzést választani még akkor is, ha a többletinformációból

adódóan kevésbé hatásos.

Az idényszerűséget számszerűsítő módszerrel szemben támaszott követelmé- nyek a következőkben fogalmazhatók meg:

a) a módszer feleljen meg (: hatásosság kritériumának;

b) lehetőleg kevés számú, jól értelmezhető paraméterrel jellemezze az idősort;

c) közvetlenül legyen alkalmas extra- és interpolációra, és ezzel segítse elő a vizsgált folyamat előrejelzését;

d) az egyes hatótényezők szerepének kimutatása, változó hatásuk előrejelzése külön-kü- lön is lehetséges legyen;

e) olyan logikai sorrendet kell alkalmazni a vizsgálatnál, amely az egyszerűbb vizsgálati módszertől a bonyolultabb felé haladva az idősor összetettségének és a vizsgálati célnak meg- felelően szolgáltat információt.

* Az olvasó a módszer algoritmusát (1) mellett megtalálhatja az R 22 szómtíóge'p FORTRAN nyelvű programkönyvtárának ESZ 1012 BPSS jelzésű kötetében.

? Box, G. E. P. —- Jenkins, G. M. - Bacon. D. W.: Models for forecasting seasonal and nomseasonal time series. Advanced Seminar on Spectral Analysis of Time Series. John Wiley. New York. 1967.; Box, G.

E. F. — Jenkins, 6. M.: Some recent advances in forecasting and control. Applied Statistics. 1968. évi 2. sz.

91—109- old.: Box, G. E. F. — Jenkins, G. M.: Time series analysis forecasting and control. Holden—Day series in time series analysis. Holden—Day. San Francisco. 1970. XIX. 553 old. '

A VÁLTOZÓ lDÉNYSZERÚSÉG

1231

KlSÉRLET A VÁLTOZÓ IDÉNYSZERÚSÉG MEGHATÁROZÁSÁRA

Az analitikus módszerrel alkotott görberendszerből álló modell a b), c), d) és e) követelményeknek egyaránt megfelel. A kevés számú paraméternek, amely a görbe-

rendszert meghatározza, logikai értelmezése biztosított; a függvényszerű megfelel—

tetés közvetlen extra— és interpolációra ad lehetőséget. Az összetett modell külön- külön vizsgálja a hatótényezőket. A paraméterek meghatározása — tehát a szüksé—

ges információ megszerzése az adott időintervallumban — szükségessé teszi. hogy

a leíró görbék folytonosak és differenciálhatók legyenek.

Természetesen az a priori görbe folytonos és differenciálható, az idősor tagjai pedig megfeleltethetők az értelmezési tartomány egyes pontjainak. A görbe diffe- renciálhatósága az esetek többségében összhangban van az idősor jellegével, de figyelmet kell fordítani a strukturális törések vizsgálatára.

Az idényszerűség vizsgálatának többlépcsős mozgóátlagolásos módszere a BLS- módszer, és az idényszerűség az állandó szezonindexek alapján képzett változó sze—

zonindexek módszerével is jellemezhető (1). E módszerek közös vonása, hogy az idényszerűség változását is figyelemmel kísérik. Egy átlagos hosszúságú. például 12

éves, havi bontásos idősor e módszerekkel 144 paraméterrel jellemezhető. igy az idő-

sor leírása körülményes. Analitikus vizsgálattal ugyanezen információ hatod ennyi paraméterrel is megadható úgy, hogy a hatékonyság számottevően nem csökken.

Ez az oka annak. hogy a modell elkészítésénél az analitikus szemlélet tért hódított.

Mivel az ismertetni kivánt módszer többlépcsős összetett modell, az egyes lépcsők- ben esetenként a mozgóátlagolásos vizsgálat is alkalmazásra kerül. A végső ered—

mény azonban mindig egy összetett analitikus modell.

1. A változó idényszerűséget leíró függvény

A kiindulás az idősor alkotóelemeinek additív kapcsolódását feltételező modell—

ből történik:

Yi] : Yrjlsjlvij Yi; : Vig—H:_;

Yü -— a megfigyelt érték, yi,- — a trendérték.

sj — az idénytényező, vi,— —- a véletlen hatás.

yi]— — a véletlentől tisztított érték.

í —— az időszakok száma (í : 1, ,.., n).

i —— az idények száma (i : 1. ..., m).

A szezonalitás megváltozását feltételező modell a következő:

A A

Yi] : Yíj—l'sijlvij Yi," : Vig—" sif A

ahol:

55 —- a változó szezonalitást jellemző paraméter.

Tehát az idényhatás nemcsak a különböző idényeknek, hanem az idősor ciklu- sainak, az időnek is függvénye.

1232 HERMAN SÁNDOR

A feladat s,,- elkülönítése v,—,— -től. Analitikus modellel jellemezve a folyamatot, si,- leírható egy konstanssal, amely számértékben azonos, értelmezésében hasonló si

tényezővel, és szisztematikus változását feltételezve lj(i) hatást kell hozzáadni:

sű :: (kj: Ij(í))

ahol:

ki — a különböző idényeket jellemző konstans,

' l — az idényszerűség megváltozását kifejező paraméter, (ii) — a ciklusokat leiró független változó,

Az sü- alakulását leíró függvény:

fjw : (kn; lam)

Multiplikatív kapcsolódás, esetén a gondolatmenet hasonló. Az általános mo- dell 1 számú (z :: m-n) megfigyelés esetén a következőképpen vázolható fel:

Y,, : (f(t); ki; [!(i); vö) yü : (f(t); kj: lj(l))

ahol:

t -- a megfigyelések száma (t : 1, ..., 1)

Ennek megfelelően a modellspecifikáció feladatai:

a) döntés az alkotóelemek kapcsolódási módjáról (additív, multiplikatív), b) f(t) függvénytípusáról hozott döntés,

c) i (i) függvénytipusáról hozott döntés.

a) Állandó idényszerűség esetén az idősor jellege meghatározza a modell

elemeinek kapcsolódási formáját. Megjegyzendő, hogy az idényszerűség relatív ál- landósága abszolút értelemben növekedés vagy csökkenés, az alapirónyzat alaku-

lásának megfelelően. Az idényszerűség abszolút állandósága pedig az alapirőnyzat növekedése esetén relatíve csökkenő, fordított esetben relative növekvő irányzatú.

Az általános modell speciális esetként kezeli mind az abszolúte, mind a relatíve állandó idényszerűséget, akár additív. akár multiplikatív kapcsolódási formáját vá—

lasztjuk az alkotóelemeknek. lgy tetszőlegesen választhatunk a két modell közül a könnyebb kezelhetőség. a világosabb értelmezhe'tőség szempontjai szerint.

b) Az irodalom ((4), (7), (B)) részletesen foglalkozik az alapirányzat függvény-

tipusa meghatározásának elméletével.

c) Elegendőnek látszik az abszolút, illetve a relatív változás állandóságának

feltételezése. Bonyolultabb függvénykapcsolatok felismerését nehezíti az idényt jel-

lemző részidősorok viszonylagos rövidsége, hiszen ezek az eredeti idősor hosszá—

nak m-ed részét teszik ki. Logikailag is nehéz lenne más függvényformót értelmezni.

Természetesen elképzelhető. hogy idősorok vizsgálatánál akad ellenpélda. Ezen a területen alapelveket megfogalmazni csak több. az idősorkutatós különböző terüle- teit jól reprezentáló idősor vizsgálata után lehetséges.

A módszer alkalmazásának logikai menete (: következő:

1. döntés f(t) függvénytipusáról,

2. előzetes döntés a modell alkalmazásáról, az alapirányzattól tisztított idősor alapján.

A VÁLTOZÓ iDENYSZERÚSÉG

1233

3. döntés az alkotóelemek kapcsolódási módjáról, . Mi) függvénytípusónak kiválasztása.

a paraméterek becslése.

. hatósossógi vizsgálatok, döntés a modell felhasználásáról, . paraméterelemzés, értékelés, lnter— és extrapoláció.

wage

2. A változó idényszerűséget leíró modell paramétereinek becslése

Az alapirónyzattól tisztított kü idősor a kiindulási alap, tehát az idényhatós és

a véletlen hatás összege alkotja k'] értékeket. Az 1. ábra egy négyéves, négy idényt

tartalmazó ki,- sort illusztról az idő függvényében.

1. ábra. Négy idény négyéves sora

,

Apy

l

l !

fém ; ;

l l

1

! l

l

! I

T,— — a megfigyelés évei (i : 1. .... 4), 50) — a i—edlk idény görbéje (i : 1, ..., 4), a — az intervallum.

Az idényhatás természetéből adódik, hogy az alakulását jellemző ifj-(i) görbékre a következő összefüggésnek kell fennállnia:

_a!

Mazo

E M :

!

Gondolni kell azonban arra is, hogy az extropolőlós kilép a [—a; a] interval—

lumból. és ebben az esetben egy [—a; a'] (a' ) a) intervallumra kell igaznak lennie

az előző feltételnek. Ez logikailag is igazolható elvárás, nemcsak paraméterbecs- lési indokok szólnak mellette. Az idényenkénti változások tendenciáit leíró függvé—

nyekre tehat általánosabb feltételt kell kikötni, hogy minden tekintetben megfelel—

jenek az idényhatós természetének:

;

n

i : 0

31 mi)

Jelöljük ij(i) segítségével i : 1, ..., n időértékeknél képzett pontokat zü—vel.

5 Statisztikai Szemle

1234

HERMAN SÁNDOR:

Mivel az m számú függvénynek jól kell közelítenie a megfelelő ki, pontokat, igy 22 (kü— zü) minimalizálása a cél.

Az f,(í) függvények adott modellen belül vagy csak lineáris. vagy csak exponen-

ciális görbék, ezért fenti követelménynek megfelelő függvényhalmaz egy feltételes.

szélsőérték-feladattal viszonylag egyszerűen meghatározható lenne. A modellalko-

tásnál azonban (: hatásosság kritériumát is figyelembe kell venni. Ez a kritérium

megköveteli. hogy a kij-ket közelítő f,(i) függvények ne térjenek el jelentősen a leg- kisebb négyzetek módszerével illesztett függvényektől. E módszer jelentőségét in—

dokolja. hogy ezt tekinthetjük a legszorosabb illeszkedés kritériumának. A legkisebb

négyzetek módszerének alkalmazását az is előnyössé teszi, hogy ezzel a paramé-—

terek torzítatlan becslését nyerjük (7).

Ezek után a modellalkotás a következő módon történik:

— a kij értékekből idényenként külön-külön meg kell határozni az Mi) függvényeket;

-- meg kell vizsgálni, hogy az Mi) függvények eleget tesznek-e a következő feltételnek:

§ mm : o

::1 *

Ha a statisztikai próbával történő tesztelés során a függvényparaméterek e feltételnek eleget tesznek. akkor a próba szignifikanciaszintjén a modell elfogad—

ható. —

Ha a függvényparaméterek nem tesznek eleget a fenti feltételnek. akkor két

eset lehetséges: *

— a modell nem használható az idősor jellemzésére;

— (1 kg értékek közötti kölcsönhatások figyelmen kívül hagyása miatt nem kaptunk meg- felelő értékeket; nyilvánvaló, hogy kü és kiüt!) adatok között. ahol 1 (t : 1. .... m/2)- csökkenésével nőnek a kapcsolatot jellemző kovarianciák értékei, és e sztochasztikus kapcso-

latot figyelembe véve a modell hatékonysága jelentősen megnövelhető.

A modell a szezonalitás változásának mérésekor tulajdonképpen trendhatástólí és állandó idényhatástól tisztított adatokkal dolgozik, ahol a véletlen hatás jelentő——

sége. súlya már számottevő. Ezért az idények kölcsönös függőségének figyelmen kí-

vül hagyására csak viszonylag nagy tagszámú, magas aggregáltságú, az idénysze—

rűség megváltozásábon határozott tendenciát mutató idősorok esetében van lehe——

tőség.

A modell idényszerűséget jellemző paramétereinek becslésére különböző alap—x adatokból kerülhet sor.

— A ku tisztított idősorból kiinduló becslés a Wald-féle módszer logikáját kö—

veti. (A módszer ismertetését lásd (7)—ben és (B)-bon.) Az idényhatás változása mi- att két paraméterrel jellemez. Az fiú) függvények - lineáris esetben sírj : kj-HJU),

exponenciális esetben s,;j : kj-lj. — kj és ,; paraméterei a legkisebb négyzetek módszerével határozandók meg. A későbbiekben meg kell vizsgálni, hogy ti (í) függ- vények összességükben megfelelnek-e az idényhatás természetének. A már említett nehézségek miatt ez a módszer ritkán célravezető. Lehetőség van a kö adatok elő—

zetes korrekciójára. A szélsőségesen kiugró adatok, melyeket egyedi okok váltottak

ki, és nem tekinthetők tendenciaszerűeknek. helyettesíthetők becsült adatokkal. A korrigált ku adatok sok esetben már megfelelő becslési alapok lehetnek. Alkalmazni lehet a paraméterbecslésnél a legkisebb négyzetek módszerének továbbfejlesztett változatait is.

—- A becslés hatásosabb lesz. ha figyelembe vesszük kü-k egymásra hatását.

Ekkor a j-edik idény alakulását leíró függvény nemcsak egy idény kü (j rögzített in—

A VÁLTOZÓ iDÉNYSZERűSÉG

1235

dex) értékeitől. hanem a többi idény ku értékeitől is függ. Ezen hatások az időtenge—

lyen mért távolságuk nagyságával súlyozva szerepeltethetők. Ezért kü-k helyett ki— ' indulási alap lehet:

a) az állandó szezonindexek alapján képzett változó szezonindexek.

b) a BLS—tényezők módszerével kapott indexek,

c) a változó idényszerűség spektrálelemzése során a ciklusok adott értékeihez (amelyek egy adott idényt jelentenek) tartozó függvényértékek n tagú m számú sora (11).

Az első esetben előny a kisebb számításígény. Az idényhatás konstans jellemzői

közvetlenül rendelkezésre állnak. Hátróny viszont ebben az esetben, hogy csak

hosszabb idősorok vizsgálatánál alkalmazható. Elvárás, hogy n érték jelentősen na—

gyobb legyen m-nél.

A másik két módszer sok lépésből áll. jelentős szómítástechnikai apparátust igé—

nyel, de nagyon hatásos. Előnyük, hogy a k! paramétereket nem kell utólag korri—

gálni. Viszonylag rövid időszakokat is lehet akár havi bontásban is (m : 12) vizs—

gálni.

Ha az idényszerűség lineárisan változik. a szezonalitás megváltozása

sű : kj—j—Ijo) ():. : 0)

függvényekkel írható le.

2. ábra. A lineáris változás illusztrálása négy idény esetében

gy" j/ ( y!

l I

Az 50) függvények. az i tengely, valamint y' és y" által határolt részterületek összege a

%a

f(i):0

a m

]

] D

feltételből adódóan nullával egyenlő. ha az i tengely feletti területek pozitív elője—

let, az i tengely alatti területek negativ előjelet kapnak.

5—

1236 HERMAN SÁNDOR

Ebből kj-re a következő könnyen bizonyítható összefüggés adódik:

Ezen összefüggés összhangban áll az idényszerűség természetével.

Az fj(i) függvényeknek a

§ mm : 0

::1

feltételnek is meg kell felelniök. Ebből következik az

m

2 l ::0

i-—-c1 j

összefüggés a függvények ! paraméterére vonatkozóan. A legkisebb négyzetek mód—

szerével illesztett f,.(i) függvények kj és I, paramétereire tehát a következő össze- függéseknek kell igaznak lenniök: M

Bizonyítható, hogy M1 és Mg valószínűségi változó nulla várható érték körül normális eloszlást mutatva szóródik. Statisztikai próbával vizsgálható, hogy szigni- fikáns—e a várható értéktől való eltérés. Ha az eltérés nem szignifikáns, korrekciót

kell végezni, hogy a paraméterek a fenti feltételnek megfeleljenek.

Az eddigiek additív kapcsolódásra vonatkoznak. Multiplikatív kapcsolódósnál az Mi valószínűségi változó f(k -—100) lesz. ha a ki értékei százalékos formában

adottak. ' A

Ha az idényszerűség exponenciálisan változik, az idényszerűség megváltozása _ .:

síi_kjli

függvényekkel írható le. A görbék jellegéből következik, hogy nem metszhetik az i

tengelyt. E tulajdonságuk ennek a modellnek jelentős hátránya. hiszen előfordulhat.

hogy például multiplikativ modellnél az idényszerűség változása olyan jellegű, hogy

az idényenkénti sü—k (i konstans) 5ú"*1 értékről 5114 1 értékre változnak, vagy for—

dítva.

Az idényszerűség jellegéből adódik, hogy i : 0 esetben a görbék y tengelyt metsző pontjára fennáll a következő összefüggés:

Ezt a feltételt az állandó idényszerűséget leíró jellemzőknél is ki kellett kötni, és a

kj-k itt hasonló jelentésűek.

E modellnél lj paraméterekre nem adható olyan könnyen tesztelhető formula.

mint a lineáris változás esetében. Az f (i)-k — f(i) :: kj-lg— logaritmizálásával —

A VÁLTOZÓ IDENYSZERÚSEG

1237

N

ln f(i) : ln kj-l-ln lj— és ezen görberenclszernek szemilogarltmikus koordinátarend-

szerben történő ábrázolásával is kitűnik. hogy nem igaz 0

(In l :0

1 ;

T I M E

kézenfekvőnek tűnő összefüggés.

3. ábra. Az exponenciális változás íllusztrálása négy idény esetében

y::

^{Mi) '}

N

l

% M

l l

összefüggést kapva meghatározható olyan C konstans (C)1—nél; (C—1)—— min),

amely a( O-nál k,.) 0 esetén C-l; :: lí: kj) 0 esetén pedig 1/C-lj: Ijr-vel biztosítja,

hogy

m

2 ffgmzo

iz1 —a

ahol f; (i) függvény a megváltozott I, paramétert tartalmazza.

A már említett problémák miatt a korrigált Ig—k sem tesznek eleget a m a'

3, _f_, em: e: i) : 0

feltételnek, a' az extrapolálás mértékét jelöli (a' : a—l-T):

m a—l—r

'2 [ fÁkjng; c,; i) : 0 ::1—4

1238

HERMAN SÁNDOR

csak 1 növekedéseivel növekvő CT korrekciós tényezővel biztosítható. Cvnövekedése

egyben az extrapoláció korlátja is.

3. A paraméterek értelmezése, extrapolálós

Kiindulási alap az ;, : (f(t); k,: l,(i)) becslőfüggvény. Feltételezve mind az

alapirányzat. mind az idénytényező lineáris változását. az alkotóelemek additív'kap—

csalódása esetén a becslőfüggvény — az előzőekben bevezetett jelöléseket alkal—

mazva -- a következő formát ölti:

yü :: bO—l—Lblt—l—kj—l—Iji _ A függvény ?g értékei YU tényleges értékeit becsülik:

Y,] : Bo—l—BIt—l—Kj—l—Lj-i—l—Vü

A bo és bí értékek közvetlenül behelyettesíthetők a függvénybe, kj és íj értékeit

egy-egy m elemű vektor tartalmazza. és az idénynek megfelelő j-edik érték helyet-

tesítendő be. *

A paraméterek jelentése:

bo — 27 t : 0 esetén az összes megfigyelés átlagos értékét jelenti;

bi —- 2 t :: 0 esetén. ha 1 páratlan, akkor az átlagos abszolút változást, ha 1 páros, akkor az átlagos abszolút változás felét jelenti (t alkalmas egész számú értékei

mellett);

ki — a i-edik idényre vonatkozóan 2; :: 0 esetén az idényszerűség alapirányzattól mért átlagos eltérése;

Ij — a i-edik idényre vonatkozó alapirányzattól mért átlagos eltérés átlagos változása egy időszak alatt n páratlan értéke mellett 24 : 0 (ha m páros. akkor ezen vál-

tozás fele. í alkalmas megválasztása és 24 : 0 mellett). '

Természetesen az additív kapcsolódás mellett az alapirányzat bármely más trendtipus lehet, és az idényszerűség megváltozásának leírására más függvénytí-

pus is alkalmas.

Az alkotóelemek multiplikatív kapcsolódása esetén

i,. : (bo-l-bltl'lkj-l—ljll .

a függvényforma. Ekkor Y:; becslőfüggvény

YU : (Bo-l—Blt)-(Kj—l—Lji) v.,;

értékeket becsli.

A paraméterelemzés az additív kapcsolódásnál leírtak szerint történik, értelem—

szerű módosításokkal. Az alapirányzat vagy az idénytényező exponenciális függvény- nyel való becslésénél természetesen az átlagos abszolút változások helyett átlagos

relatív változások szerepelnek.

Az additív és a multiplikativ kapcsolódási forma közötti választás itt nem jelent olyan szigorú a priori feltételezést. mint az állandó szezonalitást feltételező Wald-

módszer esetében.

Extra— és interpoláció esetén a megfelelő i és ] értéket felvéve megkaphatók a becsült értékek. A trendextrapoláciá irodalma részletesen foglalkozik az extrapolá- ció lehetséges mértékének meghatározásával. vagyis azzal, hogy milyen mértékben

lehet kivetíteni a meglevő irányzatot más időszakokra.

A VÁLTOZÓ IDÉNYSZEROSÉG 1239 Ezt befolyásolja a vizsgált idősor

— hossza,

—— jellege.

— a megkívánt pontosság,

— az időszakra ható főbb tényezők alakulása.

.Az általános irányelvek és a hatásossági vizsgálatok segitségével kitűzhető a még hatásos és érdemben felhasználható adatokat adó becslési távolság.

Megjegyzendő, hogy be és k] mint átlagos értékek az irányzatot meghatározó intervallumot jellemzik. Új időszak elteltével, ennek tényleges adatait figyelembe véve esetenként újra meghatározhatók a paraméterértékek, és ezek eltérők lehet- nek a régi időszakot jellemző értékektől.

Az ismertetett függvénnyel történő előrebecslésnél nemcsak az alapirányzat, ha- nem az idényszerűség változását leíró irányzat állandóságát is fel kell tételezni.

4. Az analitikus vizsgálati modell alkalmazása

Az ún. szezonkorridor módszere a szezonindexek relativ megbízhatóságát tesz- teli. A módszer változó idényszerűség esetén, multiplikativ modellt vizsgálva a kö—

vetkezőképpen módosul: yu/Yü hányadosok és sű változó szezonindexek között kü—

lönbségeket kell képezni. lgy m-n számú hü-vel jelzett (] konstans) különbség adó-

dik. ldényenként átlagolva ezeket

h HM: ii

1 ly: "

m számú, az idényre jellemző átlagos értéket kapunk. Képezve

szórásmutatókat a különböző idényekhez tartozó mutatókat összehasonlíthatjuk ha- tásosság szempontjából.

Lehetőség nyilik a szezonindexek periódusonkénti összehasonlító elemzésére is, és ez az a priori feltételezett tendenciák érvényességét igazolhatja. Például ha az időszak végén megnő a szórás, az előrejelzésnél ezt figyelembe kell venni. E mód-

szernél periódusonként kell átlagolni (i konstans):

""

2 ha

— iz1

he: m

és így a különböző periódusokra jellemző n számú érték adódik. Képezve

"" _

. 2 (hic—ht)?!

ah; : fi?

szórásmutatókat, a különböző periódusokhoz tartozó mutatók hatásosság szempont- jából összehasonlithatók.

1240 HERMAN SÁNDOR Az idősor tényezőinek additív, illetve multiplikativ kapcsolódósára vonatkozó elemzésnél a modell fenti szempont szerinti tesztelésének (mivel az idényszerűséget két paraméterrel jellemzi) nincs akkora jelentősége, mint az állandó idényszerűséget tartalmazó hasonló vizsgálatoknál. Ha mégis (i)-ben leírt módon tesztelni kell, ak- kor az a véletlen v,j tényező kapcsolódása miatt szükséges. A véletlen hatásra — ter—

mészetéből adódóan -—— igaznak kell lennie (C konstans):

MW") : 0, V(vü) : C

Ezért instacioner alapirányzat esetén az idősor alkotóelemeinek kapcsolódósónál a

v,, relatív állandósága indokoltabb. E szempont a multiplikatív modell mellett szól.

Az idényszerűséget jellemző paraméterek hatósossőgi tesztelésénél kiindulási alap, hogy

m A m

zkao 2 lja—0

j:1 ie:1

A k! és l, paraméterek a legkisebb négyzetek módszerével számitott gés 7; értékek—

kel becsülhetők. *

Legyen

llM?- ^{A m}

ki 772: _2

1 , !:

771:_

!

Könnyen belátható, hogy m és 772 normális eloszlású valószínűségi változóként ke—

zelhető, melyre fennáll:

M(771) : 0 Műk) * 0

, "71 , "72 771 : —' 77 2 : **

m m

A valószínűségi vál'tozókra -— melyek

"' A m A

2 ki .2 ';

):.L_—__ , Lil—_,zn'

m 771 m 2

módon is képezhetők — értelemszerűen szintén fennáll a következő feltétel:

M(77,1) : 0 MW'z) : 0

A statisztikai próbával való tesztelés során a várható értékként n'j-e't és n'g-t kellene szerepeltetni. Ennek ellenére 171 és 772 szerepel a próbák Sorón. és ezért az u és a t próba elnevezéseket ezen módositásokkal kell érteni. amely módosítás tulaj- donképpen a próbafüggvény értékének a próbafüggvény szabadságfokóval való szorzását jelenti. Erre lehetőséget a várható érték speciális 0 értéke ad.

Ez a módosítás jelentősen megnöveli a nuilhipotézis elbírálásánál jelentkező ún. elsőfajú hiba bekövetkezési valószínűségét, ugyanakkor minimálisra csökkenti

a másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét. Ennek indoka, hogy a módszer

kontrollja két fázisban történik:

— a paraméterekre vonatkozó hipotézisvizsgálat;

— a kiigazítás hatásosságvizsgólata.

A VÁLTOZÓ IDÉNYSZEROSÉG 1241

A második fázis lényegesen szigorúbb feltételeket támaszt. és összehasonlítha- tatlanul számítósigényesebb. A másodfajú hiba bekövetkezési valószínűségének mi- nimalizálásával kizárható a felesleges többletmunka. Az elsőfajú hiba bekövetkezési

valószínűségének megnövekedése a kontrollálás második fázisának lényegesen szi-

gorúbb feltételei miatt nem okoz problémát.

A hatásos kiigazítás feltételezi a paraméterpróba pozitív eredményét, az állítás megfordítva azonban nem igaz. A próbafüggvény módosításának, pontosabban a

módosítás mértékének helyességét a módszer többszöri alkalmazása igazolhatja.

Megfogalmazható tehát ng771 : 0: illetve Hozm : O hipotézis. Ez általában u próbával tesztelhető. melynek próbafüggvénye ebben az esetben:

"Ha—o

(!

"m

Vn

Mivel U,? 2-t a mintából nyert s77 -del kell helyettesíteni, ezért az u próba he—

1; 1-2

lyett az ún. egymintás t próba alkalmazandó:

! : VnT-M 517 .

1, 2

Az egymintás t-próba alkalmazása miatt a Student-féle t eloszlás eloszlásfügg- vényének táblázatát kell alapul venni a Ho tesztelésénél. Havi bontás esetén a sza—

badságfok m—1, vagyis 11 lesz, és a leggyakrabban alkalmazott 5 százalékos szig- nifikanciaszinten a 1 érték kritikus szintje 2.2.

A Ho elfogadhatósága egyben a modell hatásosságának egy szempontból való-

igazolása is.

A vizsgálati módszer fokozatai közötti választást jelentősen befolyásolja az idő—

sor jellege. A következő szempontok lényegesek itt:

— a megfigyelések számának alakulása,

— az időszakok száma,

—- az idények száma, - az n/m arány,

— az idényhatás relatív súlya.

— a véletlen relatív súlya.

A k]. paraméterek alapján az idényeket csoportosíthatjuk jelentős pozitív hatású- (ki ) 1000/0 4—8), jelentős negatív hatású (k,—( 1000/9—8) és számottevő hatást nem tartalmazó csoportokra. A k,- és az If értékek együttes elemzése megmutatja, hogy adott idényhez tartozó idényszerűség növekvő. csökkenő vagy stagnáló irányzatú.

Itt is s küszöbszint köthető ki ((16) 296. old.), melynek megválasztását a konkrét idő—

sor is befolyásolja.

Ha a különböző i értékekhez tartozó sü-k rangsora megváltozik, akkor az idény- szerűség csúcsponteltolódása lép fel. Ennek illusztrálására f,.(i) függvények grafikus—

ábrázolása a legalkalmasabb.

Ha Ij/kjértékek egy konstans értékkel helyettesíthetők, akkor a modell leegysze—

rűsíthető. Ennek eldöntésére a homogenitásvizsgálat alkalmas. Az idényszerűség megváltozása egy mutatószámmal is kifejezhető. Ha indexek esetén az a.,—100 kü-

lönbségeket, idényszerű eltérésnél az sü-k átlagos eltérését, illetve szóródását idő-

ben egy dinamikus viszonyszámmal összehasonlítjuk, akkor az idényszerűség meg—

változása százalékos értékben kifejezhető. (E mutatók jelölése Va, illetve V,,-)

1242 HERMAN SÁNDOR A megfogalmazott célkitűzések között szerepelt, hogy a módszer

-— feleljen meg a hatásosság kritériumának: ha az idényszerűség változására adható a priori függvény, amely jól jellemzi a változást, akkor a legkisebb négyzetek módszerének al- kalmazása a görbe illesztésénél, valamint az idényszerűség törvényszerűségeinek megfelelést vizsgáló paraméterpróbák együttes alkalmazása hatásos becslést adhat (a végső választerre a kérdésre a módszer többszöri gyakorlati alkalmazása adhatja);

-— kevés számú jól értelmezhető paraméterrel legyen leírható az idősor (a 2m-l—2 számú paraméter, figyelembe véve a paraméterek vizsgálatánál leírt csoportosítási lehetőséget, meg—

felel ennek a célkitűzésnek);

— a rekurzív generáló formulát adó függvényforma közvetlenül alkalmazható extra— és interpolálásra a kiválasztott t érték megfelelő behelyettesitése után;

—- a módszer alkalmazása esetén kiderül. szignifikáns-e idényenként a szezonalitás meg- változása, és ezen változás milyen irányú,

—— megfelel a célkitűzések között felsorolt e) szempontnak a módszer, mert többféle le- hetőség van a függvényparaméterek meghatározására; a módosítás nélküli kij adatoktól egészen a változó idényszerűség spektrálelemzése során nyert részadatokig terjed a skála.

Az analitikus módszer hátrányai:

— idényenként azonos jellegű (ugyanolyan típusú görbével jellemezhető) változást kell feltételeznünk, ellenkező esetben a modell túlságosan bonyolulttá válik (a módszer e hátrá- nyos hatását jelentősen tompítja, hogy ez a feltételezés logikailag általában indokolt, hiszen az idényszerűséget változtató okok hatása idényenként hasonlóan jelentkezik, és kölcsönös

összefüggés tapasztalható köztük);

—- az íj (i) függvénygörbék összessége lineáris esetben nagyon jó illesztést ad, a para- méterpróbák könnyen elvégezhetők; az exponenciális görbékről ugyanez nem mondható el.

becslésük nehézkes, a kontroll csak közvetve végezhető el, a pozitiv—negativ és a negatív- pozitív idényszerű hatásváltozás ezekkel (: görbékkel nem írható le.

A VÁLTOZÓ lDÉNYSZERÚSÉG ANALlTlKUS VlZSGÁLATA A GVAKORLATBAN

Az idényszerűség megváltozásának kimutatása adott időSOron elsősorban attól függ, hogy információként kezelhető-e a számszerűsített változás. Az egész gazda- ságra. a társadalomra, de főképpen az integrációkra és a világgazdaságra vonat—

kozó idősorok esetén az idényszerűség kisebb mértékű, de kimutatható változása is

fontos lehet.

Kisebb aggregáltság mellett a véletlen nagyobb súlya következtében nagyobb

mértékű változások is elhanyagolhatók, és az idényszerűség egy paraméterrel, átla- gos értékkel is jellemezhető. Ebből következik, hogy nem lehet olyan általános kü—

szöbértéket adni (például szezonindex esetében egy időszak alatt történő a változás

százalékos értékben), amely kiindulópont lehetne az állandó és változó idénysze-

rűség elkülönítésénél. Ezért is ajánlható, hogy ahol megvannak a változó idénysze—

rűség vizsgálatának feltételei, ott a változást feltételező modell legyen a kiindulás.

hiszen az esetleges állandó idényszerűség speciális esetként így is kimutatható.

Tehát ahol:

— logikailag feltételezhető az idényszerűség megváltozása,

— a változás meghatározásának nincsenek módszertani akadályai,

— az alapirányzattól megtisztított idősor grafikus elemzése az idényszerűség megválto—

zása hipotézisnek nem mond ellent. ott célszerű alkalmazni a vázolt modellt.

A gyakorlati alkalmazhatóság igazolása történhetne bármely változó idénysze- rűséget mutató idősoron. A hatásos jellemzés igazolása részben az egyes lépések- nél található kontrollvizsgálat, részben a szezonális kiigazítás helyességére vonat—

kozó próbák eredményei alapján volna lehetséges. Megfelelőbbnek látszik azonban az a megoldás, hogy az idényszerűség vonatkozásában már elemzett idősorok vizs—

A VÁLTOZÓ IDÉNYSZERÚSÉG 1243 gálata döntsön. lgy a hatásosságvizsgálat próbáinak kritikus értékei mellett, ame- lyek önmagukban adott szignifikanciaszinten igen vagy nem választ adnak, mód-

szertani összehasonlító elemzésre is lehetőség nyílik. Ha egy ilyen elemzés igazolja

a változó idényszerűség analitikus vizsgálatának gyakorlati alkalmazhatóságá't, ak- kor lehet maradéktalanul elfogadni a más módszerekkel nem vizsgált ídősorokra kapott eredményeket. (Az összehasonlító vizsgálatra lehetőséget ad az (l)-ben talál—

ható nagyon alapos, minden részletre kiterjedő elemzés.)

Az egyetlen problémát talán az okozza, hogy az itt vizsgált idősorok meglehe- tősen rövidek, az 1957—1962—es időszakot ölelik fel havi bontásban, az analitikus vizsgálat pedig érzékeny az idősorok rövidségére. Korunkban azonban a gazdasági élet ritmusa. és a társadalmi fejlődés is felgyorsult, így gyakori a ri'tmusváltás, ezért megnőtt a rövidebb időszakot is jól jellemző idősorkutató módszerek iránti igény.

A módszer alkalmazhatóságát bizonyítja, ha ilyen rövid időszakra is hatásos jellem—

zést ad.

Azért is célszerű az összehasonlító elemzést választani, mert az analitikus leírás egyes fokozatai részeredményként felhasználnak más módszerek által meghatáro-

zott paramétereket is.

Az általunk kiválasztott idősor a házasságkötések száma Magyarországon, amelyben megfigyelhető a modellszerkesztés minden lehetséges fázisa.

A modellt egyébként főleg a gazdasági élet jelenségeit leíró idősorokon alkal-

maztam. Hogy mégis a magyarországi házasságkötések számának idősorát válasz- tottam. annak az a magyarázata, hogy ezen idősor vizsgálati eredményei a legalkal-

masabbak az illusztrálásra. Egyes idősorok esetében (például a termelőszövetkeze—

tek vágósertés-értékesítése az 1966—1978. években) már az első fázisban a ki,- ada-

tokból meghatározható volt az idényszerűség, más esetben (például a háztáji gaz-

daságok vágósertés-értékesítése az 1966—1978. években) az állandó szezonindex alapján képzett változó szezonindexek adtak megfelelő eredményt. Az állami élel- miszeripar nettó termelésének 1949-es bázisú indexe a kiválasztott idősorhoz ha-

sonlóan szintén csak a BLS-mődszer bekapcsolása révén adott megfelelő eredményt.

de ennél az előrejelzés kontrollja összehasonlíthatósági szempontok miatt körül—

ményes volt.

1. A házasságkötések száma idősorának vizsgálata

Első lépés az analitikus modell meghatározása az alapirányzattól tisztított idő- sorértékekből. Az alapirányzat becslése az illeszkedésvizsgálat alapján lineáris trend-

del a legcélszerűbb.

A házasságkötések száma idősorának trendegyenlete:

yA: 7398,49—4,95 1!

ahol a 7398,49 (: házasságkötések havi átlagos száma a vizsgált időszakban (az

1957—1962. években).

Az idényszerűség igazolására a varianciaanalízis ad tesztelési lehetőséget.

A tisztított idősor havi bontás szerint inhomogén, a Ho hipotézist el kell vetni.

A tisztított értékek elemzése indokolja az idényszerűség megváltozása hipotézis felállítását. Az idősor alkotóelemeinek additív kapcsolódását, az ídényszerűség li—

neáris változását feltételezve (hiszen az időszakok kis száma más, bonyolultabb gör- bék illesztését nem teszi lehetővé) a k és az ! paraméterek kiszámítása következik.

(A paramétereket az 1. tábla mutatja be.)

1244 HERMAN SÁNDOR

1. tábla

A házasságkötések száma idősorainak alapirányzattól megtisztított értékeibó'l a legkisebb négyzetek

módszerével becsült paraméterek

Hónap k, * Korrigólt k; 'j Korrlgólt Ij

Január . . . . . . —2057 -—2052 ——171,9 --

Február . . . *-1512 -1508 —147.1 — Március . . . —-1914 —1909 —-111.5 -—

Április . . . —894 —889 14.0 —

Május . . . . . . 2418 2154 —95.5 —-

Június . . . —1765 —1760 27,3 ——

Július . . . —1996 —1991 182,15 —

Augusztus . . . —-164 -159 113.9 —

Szeptember . . . . —530 —525 120.6 —

Október . . . 3139 3145 —-282.6 -

Novem ber . . . 4022 4028 —521,8 —

December . . . . . 1457 1462 57,7 —

Valamennyi korrigált k, és I; esetében igaz, hogy

valószínűségi változó O—tól mért eltérése szignifikáns—e:

Hzm : M; m :: 66; s : 2064,65; M : o

___1741'X'__—_§É_—_

t" ___s_ " 2064.65 " 0.11

V?!— VW

40.0501) ; 2201? fo,o1(11) : 3306; topomn : 4-437?

f(tomsl tom; toma M

A hipotézis igaz.

A másik feltétel a

valószínűségi változó 0 értéke:

Hozm : M; 772 : 814,8; 5 319029; M : 0:

t :: ————-———— : 14.22

()fops; tom; to.001"——'*

A hipotézist el kell vetni.

A VÁLTOZÓ IDÉNYSZERÚSÉG 1245

Az alapirányzattól tisztított adatokból tehát közvetlenül nem becsülhetők az idényszerűséget jellemző paraméterek.

Az idősor grafikus elemzése, a kiszámított gés Úértékek jelentős mértékű válto-

zó idényszerűséget sejtetnek. Nem lehet tehát lemondani a különböző idényekhez

tartozó értékek függőségének figyelembevételével nyerhető többletinformációról.

A módszer következő fázisában az ml./y:, adatok és a különböző idények s, ada-

tai között kell az állandó szezonindex alapján képzett változó szezonindexek segí-t—

ségével történő paraméterbecslés során ciklusonként regressziót számítani. A kapott eredmények a nyers szezonindexek. Ezek a szezonindexek nem felelnek meg annak

az elvárásnak, hogy á'tlaguk ciklusonkét 100 százalék legyen. Ez lehet az oka an-

nak, hogy (:

§ u,.) : 772

; 1

valószínűségi változó szignifikánsan eltér M :: O értéktől.

H1772 : M: 172 : 9.5; 5 31.42; M : o tz : 9-5'Vl: 22.19

1,42

A kapott t jóval nagyobb bármely szignifikanciaszinthez tartozó határértéknél, még a ki, adatok alapján hasonló elven számított nzt értékénél is. Ezért a szezon-

indexeket módosítani kell. A módosítás után az egy ciklust jellemző szezonindexek átlaga 100 százalék lesz. Az ezekből becsült ki és [; paraméterek a 2. táblában ta—

lálhatók.

2. tábla

A házasságkötések száma idősorainak szezonindexeiből számított paraméterek százalékban

Nyers Módosított

Hónap

kj lj k] '!

Január . . . . . . . . . . 73,17 0.36 73.33 1.06

Február . . . 80.83 0.24 80.50 0.73

Március . . . . . . . . . 74.83 0.53 74.33 1.06

Április . . . 89.00 —O,11 88.00 0.49

Május . . . 130,83 —2,13 129,67 —-1,29

Június . . . 76.00 0.23 75,50 O,93

Július . . . 73,17 0.76 72.17 1,1O

Augusztus . . . . . . . . . 98.67 —0,83 98.38 0.1 0

Szeptember . . . 92.50 —-O.24 91.83 0.36

Október . . . 142.17 —3.04 142,33 —1,74 November . . . 154,17 -—3,67 153,83 —2.24 December . . . 119,00 —1,60 118.33 —0.69

A módosított adatok paramétereire vonatkozó próbák eredményei Cl következők:

Hmm : M; 171 : 1.8; sí : 27,76: M : O:

t1 :..1-83l/11 : 0.22

27.76

1246 HERMAN SÁNDOR

Hmm) : M; 772 : 0.12; 52 : 1,13; M : ()

(uz-Vi? _

t2 mM—"W —— Op22

ti; t2 ( tacsi tomi 10.001

Mindkét hipotézis igaz. Ezek alapján ki ésT, értékek felhasználhatók lennének.

A felhasználásnál a következő nehézségek adódnak:

—- a módosított adatok tg próbája ugyan megfelelő, de a nyerseké nem, ezeknél a tg érték szignifikánsan (kiugróan) magas; a periódusonként végzett módosítás mértéke csak az 1958., 1959. és 1960. éveknél marad alatta a megengedhetőnek, az 1957., 1961. és 1962. évi módosítás statisztikai próbával való ellenőrzése szignifikáns különbségekre utal;

— az előzőkből következik, hogy a módosított adatokból számított lj vektor adatai nem feleltethetők meg eredeti értékeinek: egyes I; értékeknél (április, augusztus) erőteljes eltéré- sek is tapasztalhatók, a korrelációs mutató is alacsony:

-— a módosítás során kapott I; értékek a kiindulási adatok nem megfelelő volta miatt csak torzított változását jelzik az idényszerűségnek, (: BLS—módszerrel történő összehasonlítás

ad majd végleges választ e kérdésre.

Megállapítható, hogy csak akkor használhatók fel kiindulási alapként az állandó

szezonindexek alapján képzett változó szezonindexek, ha ezek alkalmazási feltétele megvan. hatásosan jellemzik az idényszerűség változását. Ez ebben az esetben nem

áll fenn. Feltehetően az alkalmazott módszer érzékeny az idősor rövidségére.

A BLS-módszer felhasználása esetén a k,- és l,. paramétereket a negyedik fázi—

sában kapott eredményekből kell meghatározni.

3. tábla

A házasságkötések száma idősorainak BLS-szezonindexeiből számított paraméterek százalékban

Eredeti Korrlgólt

Hónap

ki '1 ki ';

Január . . . . . . 71.40 —0,969 — —0,972

Február . . . 79.28 ——O.507 — —0.510

Március . . . . . 71.13 —O,603 -— —O,606

Április . . . . . . 86.75 0.900 — 0.897

Május . . . 134,00 —1.617 — —1.62D

Június . . . 71.22 0.759 -— 0.756

Július. . . 73.68 1.881 — 1.878

Augusztus . . . 1OD.12 1.084 - 1.081

Szeptember . . . . 93.32 1.423 -— 1.420

Október . . . 143,78 —1,300 — —-1,303 November . . . . . 153.45 -—-2,821 —- ——-2,824

December . . . . . 121,87 1.797 - 1.794

Megjegyzés. A k, paraméter esetében nincs szükség korrekcióra. és az I, paraméter esetében ls hasonló a helyzet, ha két tizedesjegy pontossággal megelégszünk.

A paraméterek próbái közül a k, adatokra vonatkozó 7], változó tí próbáját nem kell elvégezni 771 : M miatt. A módszer második fázisában ugyanis van egy kont-

roll—lépés, amely biztosítja, hogy a kj tényezők átlaga 100 százalék legyen:

Ho-"Wz : M 12 : M 145

^{: 0.09}

A VÁLTOZÓ IDÉNYSZERÚSÉG ; 1247

t24t t t

0.053 0.01 ; 0.001 A hipotézis igaz.

Az analitikus—modell konkrét függvényformája tehát a házasságkötések szá—

mának idősoránál a 3. táblában szereplő paramétereket felhasználva:

% : (739s,49—4,95z) (kH-Min

a h ol :

t —71; —ó9; -—67; ...; —1; ...; 67; 69; 71

i : —5;—3;—1;1;3:5l

2. Hatósosságvizsgálatok az elemzett idősoron

A szezonkorridor az elemzett idősornál. A házasságkötések száma idősorónak

az 1957—1962. évekre vonatkozó Um mutatói rendre:

6.58: 7.83; 9.44; 8.16; 11.28: 11.00:

4.64; 3.39; 3.94; 8.86; 14,05; 5.38.

Ezeket a mutatókat az idények függvényében ábrázolva, szemléletesen össze- hasonlíthatók a különböző idények. Hasonló gondolatmenet alapján képezhetők a GM mutatók. Ezek értéke rendre:

1258; 6.24; 6.70; 6,29; 6,08: 8.45.

Ez esetben az idő függvényében ábrázolhatók (: kapott mutatók a szezonkorri—

dor mintájára. Külön figyelmet csupán a kiugró 1957. évi érték érdemel. Az extrapo—

lálás szempontjából azonban megnyugtató, hogy az idősor végén nincs kiugró érték.

Az idősorok alkotóelemeinek multiplíkatív vagy additív kapcsolódásának vizs-

gálata. Elöljáróban két megjegyzés:

— az idősorok túlnyomó többsége multiplikatív modellel jellemezhető (lásd (1) elemzé—

sei);

— a módszer ismertetésénél leírtak szerint az idényszerűség két paraméterrel történő jel—

lemzése miatt a modellek közötti választás kisebb jelentőségű.

A teljesség kedvéért a vizsgálat eredményei:

yü/Zü értékek átlaga 99.96 (1000/0),

Yij/Yíj értékek szórása 29.98 (300/0).

YA : 0:6 (600/0)

A 40 és 160 százalékos konfidencia intervallumon kívül az értékek 2.8 száza-

léka található. így itt is elfogadható a multiplikativ modell. Az előbbi két megjegy-

zésből az is következik, hogy a multiplikatív modell hipotézisének fenti próba sze—

rinti esetleges elvetése nem jelenti az additív modell hipotézisének elfogadhatósá- gát, tehát nem tekinthető a két hipotézis alternatívnak.

A szezonális hatás számszerűsítésének pontossága az eredeti és a kiigazított ' sor átlagának összehasonlítósával, adatainak illeszkedésével és szórósvizsgála'ttal

ellenőrizhető.

Az eredeti és a kiigazított sor időszakonkénti átlagának összehasonlítósára (1) alapján lehetőség nyílik. Az idősorra vonatkozó próba eredményeit kiigazítási mód- szerenként a 4. tábla tartalmazza.

1248 ( HERMAN SÁNDOR

4. tábla

A házasságkötések száma idősorra vonatkozó próbaéredmények ;

1957. l 1953. ( 1959. [ 1960. ] 1961. [ 1952.

Módszer

években

Az eredeti sor átlaga . . . 8152 l 7619 l 7527 l 7385 l 6923 l 6780

Eltérés az eredeti sor átlagától (százalék)

Mozgó átlagok . . . . . 0,60 -1,20 —o.03 0.93 1,1o 1.95

Analitikus trend . . . . . — —1,76 —O,56 0.34 056 'l,49

Lóncindexek . . . . . . 0.80 -—-1,16 0,08 0.96 1,05 ; 2."

Havi átlagok . . . . . . 0.29 1.53 -0.33 0,54 0.68 1,59

BLS— tényezők . . . 1,54 —1,00 —O.12 0.68 029 0.9?

Spektrálelemzés . . . 2.29 ——0.51 0.85 1.86 1.89 3.26

A vázolt analitikus modell . 1,50 —O.97 0.20 0.72 0.29 1,07

A modell helyezési száma . 5. 2. 4. 4. 1—2. 2.

Az eredmény annál kedvezőbb, minél kisebb a mutató. A tábla utolsó sorában szereplő helyezési számok a mutatók értéke alapján rangsorolják adott évben a be—

mutatott módszert. A próba szempontjából a többi módszerhez hasonlóan a vá—

zolt modell megfelelő kiigazítást ad, hiszen a mutatók értékei meg sem közelítik az irodalom által kritikusnak tartott 10 százalékos értéket.

Az ún. xz vizsgálatot és annak eredményeinek összehasonlítását szintén (1)

alapján végeztük:

Kiigazítási módszer A próba eredménye

Mozgó átlagok . . . 0.50 Analitikus trend . . . 0.11 Láncindexek . . . . . . . . . . . . . O,45 Havi átlagok . . . 0,05 BLS—tényezők . . . 0.82 Spektrálelemzés. . . 321 Jorgenson- féle . . . 0,83 A vázolt analitikus modell. . . 0,01 Ebben az esetben a %a próba a következőképpenszámítható:

(Zi—ÉV

%*s12 %%

_í

Zj kiszámításának lépései:

m

1. 2 tü m tagú sorának képzése (tv a kiigazított idősor);

: :1 -

2. a trendhatás kiszűrése:

z.:

] :!llM

tU—nU—l) K (; : 1. n)

i 1

ahol K értéke a következőképpen adódik:

a) Z tr; -kből a lineáris trend paraméterei számítandók.

! — 1

A VÁLTOZÓ IDÉNYSZERÚSEG

1249

b) a K a b trendparaméter segítségével képezhető (K : b/144):

3. 2] : A_L

Z

Megfelelő a kiigazítás, ha xz-hez tartozó valószínűség nagyobb 0.05—nál. (Lásd:

(5). (8). (13)-)

A 11—es szabadságfoknál (m—1 : 11) a xZ—hez tartozó valószínűségek az ösz-

szes vizsgált módszernél meghaladják a 0.99-os (990/0) valószínűségi értéket. E próba

szempontjából a vázolt modell egyenértékű az összehasonlításba bevont módszerek-

kel.

A kiigazított sor adatainak a szomszédos adatokhoz való illeszkedését az 5. táb-

lába foglalt %adatok alapján vizsgálhatjuk.

5. tábla

A házasságkötések száma ídősoradatainak átlagai

- Anali— ' - _ - , _ _ -_ Spekt- _ A Vám"

Hónap 373351? fikus LÉZÉL'L 0320? 333137; ré! e,!em- 3533; 133):

trend

zes

modell

Január . . . . . 100,2 96,1 100.1 99,1 100.1 999 100,5 10026

Február . . . . . 1 02.11 1009 100,9 100,7 98,8 99,8 99,7 98y33

Március . . . 98.2 100.7 102.4 101.1 103.8 1042 104.3 104.00 Április . . . 102,6 101.4 100.6 101.1 102.5 100.1 99,5 102,50

Május . . . 101.3 1009 99.3 1009 93.3 95.4 973 93.00

Június . . . . . 99,1 100,7 101,4 100,5 96,7 94,8 100.4 110.67

.lúlius . . . . . . 102,3 100.7 101,4 100,5 96,7 94,8 1004 96.83

Augusztus . . . . 99.5 1003 98,4 100,3 .99,9 'lOO.7 99,3 99.83

Szeptember . . . 1020 100,7 1028 1002 100,8 '102,9 103,4 100,83

Október . . . . . 97.9 99,8 98,0 100,5 99,1 96,8 97.0 99,17

November . . . . 98,9 99,1 100.0 99.6 1012 97.4 98.15 10133

December . . . .

100,8 103,8 99,2 100,6 99,8 101,0 101,4

100.00

A tábla utolsó négy oszlopának adatai ugyan kevésbé közelítik a 100 százalé- kot, mint az első három oszlop adatai, a különbség azonban nem olyan jelentős.

hogy annak alapján differenciálni lehetne a módszereket. Ez egyben azt is jelenti, hogy a vázolt analitikus modell eredményei a próba szempontjából megfelelőknek

tekinthetők.

A szórásvizsgálat eredményei összehasonlításának elméleti leírása és az ered- mények részletes elemzése (l)-ben található.

Az idősor ak,- szóráseredményei a vizsgált 1957—1962. években rendre a követ—

kezők:

964,5ól 438.37; 576.56: 565.34: 461.00; 669,58.

A 6. táblában rangsoroljuk a különböző módszereket a próba szempontjából.

Az a kiigazítási módszer, amelyhez a legkisebb szórás tartozik, adott évben 1-es sor- számot kapott, a legnagyobb szórású pedig 8-as sorszámmal szerepel. A sorszám egyben pontszámot is- jelent. A próba szempontjából tehát az alacsony összpont-

szám a kedvező.

Esetünkben a BLS-tényezők módszerének és a vázolt analitikus modellnek az összpontszáma a legkedvezőbb (9, illetve 11), a spektrálelemzés jelentős értéke (43)

viszont a másik véglet. Határozott tendencia azonban nem mutatható ki.

6 Statisztikai Szemle

1250

HERMAN sAwpaa '

6. tábla

A házasságkötések száma idősorának szórásvizsgálata

1957. l 1953. ] 1959. l 1960. ! 1961. [ 1962.

M'd "

195?—

0 szer években 1962

A szórás

Legkisebb érték . . . . . . . 96456 * 436 * 576.5ó 535 457 648 -—

Legnagyobb érték . . . 1305 719 723 758 777 1097 -

Helyezési sorszám

Mozgó átlagok . 4 8 N 4 7 8 4 35

Analitikus trend 3 6 3 5 6 5 28

Láncindexek . 7 5 l 7 6 5 7 37

Havi átlagok . 5 7 l 5 1 3' 4 24

BLS-tényezők . 2 1 l 2 2 'l 1 9

Spektrólelemzés . 8 4 l 8 8 7 8 43

Jorgenson-féle . . . . 6 3 6 4 4 6 29

A vázolt analitikus modell . 1 2 1 3 2 2 11

l

l

A hatásossógvizsgálat eredményeit összefoglalva megállapítható, hogy az idő—

sor leíró elemzésénél a vázolt analitikus modell egyenrangú az összehasonlításban szereplő többi módszerrel.

3. A vizsgálat eredményeinek értékelése, extrapoláció A házasságkötések szóma idősorának függvénye:

% : (7398,49—4.95t)(kj—Hj;)

A házasságkötések száma az 1957—1962. években hónapról hónapra közel 10-zel (2X4,95) esett.

Január hónapot (k1) kiválasztva, amelynek értéke 71.4 százalék, az év első hó—

napjai úgy jellemezhetők, hogy a havi idényszerűség hatása e hónapokban átlago—

san 28,6 százalékos elmaradást hozott az alapirányzattól. Az idényszerűség megvál- tozását kifejező paramétert (li) vizsgálva megállapítható, hogy az elmaradás hó-

napról hónapra 1.84 százalékkal (2X0.92) erősödött.

Az idényszerűség átlagos értékei (lásd a 3. táblát) alapján a hónapok a kö—

vetkező három csoportba sorolhatók:

1. pozitív hatás: május, október, november, december;

2. negativ hatás: január, február, március, április. június, július;

3. nincs számottevő idényszerű hatás: augusztus és szeptember.

A kj és az I, paraméterek együttes elemzése alapján az idények a következő—

képpen csoportosíthatók (e : 0.80/0):

1. az idényszerűség növekvő jelentőségű: december, január;

2. az idényszerűség csökkenő jelentőségű: április, június, július, szeptember, október.

november;

3. nincs számottevő változás: február, március, május.

A 12. — augusztus -— hónap külön figyelmet érdemel. Ebben a hónapban mint azt kJ és ljadott értékei is jelzik. az idényszerűség 1959-ig csökkent, majd 1960-tól

növekedni kezdett.