SZABÓ JÓZSEF

IMUllER GYÖilll

KÖNYVKÖTÉSZET E 1 BUDAPEST

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

ÉRTEKEZÉSEK

A MATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL.

A III. OSZTÁLY RENDELETÉBŐL

SZERXEBZTI

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR.

XIV. KÖTET. 3. SZÁM. 1889.

AZ ORTHOGONÁLIS SUBSTITUTIÓ

EGYÜTTHATÓINAK PARAMÉTERES ÉRTÉKEI.

HUNYADY JEN Ö

R. TAGTÓL.

(Mint az á.pril 15. tartott székfoglalójának folytatását e1öadta a ill. osztály ülésén, 1889. október 21.)

Ára 10 kr.

BUDAPEST.

KIADJA A MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA.

1889.

„.„„-.„ . . „„„ •. „. ^{„. ~ . ...} "'l" .„.„. „.„„.„„„ '"' .„. „„„.„.„.„„„„.„„ .„„„„„„„.„„.„.„.„„„„„„„„„ •.. „.„„„.„„.„

ERTEKEZÉSEK

a mathemat ika i tudományok

^.

E kötet. - Második kötet. - Harmadik kötet. - Negyedik kötet. Ötödik kötet.

Hatodik kötet.

I. Konkoly Miklós. Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területénI.rész. 1871-1873.Án20 kr. - II. Konkoly Miklós. Hulló csil- lagok megfigyelése a magyar korona területén. II. rész. 1874-1876. Ára 20 kr. - III. Az 1874. V. (Borelly-féle) Üstökös definitív pályaszámitása. Közlik dr. Gruber Lajosés Kurlander Ignáczkir. observatorok. 10 kr. - IV. Schenzl Guido. Lehajlás meghatározások Budapesten és Magyarország délkeleti részé- ben. 20 kr. - V. Gruber Lajos.A november-havi hullócsillagokról 20 kr. - VI. Konkoly Miklós. Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területén 1877-ik évben. III. Rész. Ára 20 kr. - VII. Konkoly Miklós. A napfoltok és a napfelületének kinézése 1877-ben. Ára 20 kr. - VIII. Konkoly Miklós. Mercur átvonulás a nap . Megfigyeltetett az ó-gyallai csillagdán 1878. május 6-án 10 kr.

Hetedik kötet.

I. Konkoly Miklós. Mars felületének megfigyelése az ó-gyallai csillag- dán az 1877-iki oppositió után. Egy táblával. 10 kr. - Konkoly Miklós. Álló csillagok színképének mappirozása. 10 kr. - III. Konkoly Miklós. Hullócsil- lagok megfigyelése a magyar korona területén 1878-ban IV. rész. Ára 10 kr. - IV. Konkoly Miklós. A nap felületének megfigyelése 1878-ban ó-gyallai csillagdán. 10 kr. - VI. Hwnyady . A Möbius-féle kritériumokról a kúp- szeletek elméletében 10 kr. - VI. Konkoly Miklós. Spectroscopicus megfigye- lések az Ó·gyallai csillagvizsgálón .10 kr. - VIII. Dr. Weinek László. Az instrumentális fényhajlás szerepe és Vénus-átvouulás photographiai felvételénél 20 kr. - IX:. Sitppan Vilmos. Kúp- és hengerfelületek. önálló ferde vetítés- ben. (Két táblával.) 10 kr. - X. Dr. Konek Sándor.Emlékbeszéd Weninger Vincze1. t. fölött. 10 kr. - XL Konkoly Miklós. Hullócsillagok megfigyelése a magyar korona területén 1879-ben. 10 kr. - XII. Konkoly Miklós. Hulló·

csillagok radiatio pontjai, levezetve a magyar korona területén tett megfigye- 1871-1878. végéig 20 kr. - XIII. Konkoly Miklós. Napfoltok meg- figyelése az ó-gyallai csillagvizsgálón 1879-ben. (Egy tábla rajzzal.) 30 kr. - XIV. Konkoly Miklós. Adatok Jupiter és Mars physikájához, 1879. (Három tábla rajzzal.) 30 kr. - XV. Réthy Mór. A fénytörése és visszaverése homo·

gén isotrop átlátszó testek határán. Neumann módszerének általánosításával és . (Székf. ért.) 10 kr. - XVI. Réthy Mór. A sarkított fényrezgés elhajlitó rács által való forgatásának magyarázata, különös tekintettel Fröhlich észleteire. 10 kr. - XVII. Szily Kálmán. A telített nyomásának tórvé-

. 10 kr. - XVIII. Hunyadi . Másodfoku görbék és felületek meg·

határozásáról. 20 kr. - XIX. Hunyady ^. Tételek azon determinánsokról, melyek elemei adjungált rendszerek vannak componálva. 20 kr. - XX. Dr. Frölich Iz01'.Az állandó elektromos áramlások elméletéhez. 20 kr.

, ,

ERTEKEZESEK

A MATHEMATIKAI TUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL.

KlAllJA A MA.GYAlt TUIJ.K DÉ~ .

A III. OSZTÁLY RENDELETÉBŐL

SZERKE:SZTC

SZABÓ JÓZSEF

OSZTÁLYTITKÁR.

AZ ORTHOGONÁL IS SUBSTITUTIÓ

EGYüTTHATÓINAK PARAMÉTERES ÉRTÉ~E .

HUNYA.DY ENŐ r. tagtól.

{Mint az áptil 15. tartottszékfoglalójának folytatását a III. osztály ülésén, 1 9. október 21.)

Nagyon köze l gondo la t , hogy az or thogoná l is he lye t te- s í tés á l ta lános fe lada ta nem-e tárgya lha tó ugyanazon e lvek sze - r in t , m in t szék fog la ló ér tekezésemben annak azon kü lönös ese te tárgya l ta to t t , me lyben egy térbe l i or thogoná l is koord iná tarend-

egy más ik sz in tén or thogoná l is rendszerre té rünk á t . E sorok czé l ja k imu ta tn i , hogy a már tüze tesen tárgya l t ese ten k ívü l a prob léma még a s íkban is ugyanazon e lvek sze - r in t tárgya lha tó , de m ihe ly t a vá l tozók száma a hárma t fe lü l - mu l ja , akkor a k ife j te t t e lvek a lap ján a prob léma többé nem tárgya lha tó , m i t kü lönösen négy vá l tozó ese tében teszünk be -

lá tha tóvá . . .

1 . Ha ugyan is a s ík P pon t jának or thogo. náhs · koord iná ta i t az XOY és X 'OY ' koord iná tarendszerekben x , y ; és x ' , y '-na l je lö l jük , akkor ha az á tmene te t az koord iná tarendszerrö l a

ruás ikra a he lye t tes í tések eszk (?z l ik :

x=a

¹

x '+b

¹

y '}

^(l)

· y '

a':! x'

+ b

2

y'

M. T UD. AK, ÉRT. A MATH, TUD. KÖH.ÉBÖL.1889.UV. K.3.SZ.

a azonosság á l l fen :

x2 + ^y2 = ^{x '2 + y '2 ,}

^{. . . . ·. (2)}

az (1 ) a la t t i he lye t tes í tés együ t tha tó ira nézve a köve t - egyen le tek fo lynak :

ai + ai ^{= 1} l

bi + bi ⁼

^{1 . . . . • . (3)}

a

1

b

1

+ ^a

²

^{b'i! = 0}

a még továbbá ezek erednek :

ai

^~

+ ~

^~

^{= =}

^{11 .}

l

^{. . . . . (4)}

a

1a'!I

+ ^b

¹

^b

²

^{= 0}

Am in t ismere tes a (3) a la t t i rendszer egyen le te i egymás tó l függe t lenek , a (4) a la t t iak ped ig azok köve tkezménye i . M iu tán továbbá a

~

a la t t i rendszerben az a

1,b_1,a_2,b<J.

menny iségek közö t t három egyen le t á l l fenn , abbó l azon köve tkez te tésre ju tunk , hogy az (1) a la t t i or thogoná l he lye t tes í tés együ t tha tó i egy vá l- tozó paramé ter függvénye ikén t

^.

2 . A prob léma mego ldása czé l jábó l a fe l - ada to t o ld juk meg :

Az egészen

~ =

al

~

₁

+ fJ1 r/ } _fJ

_{1 • • • • • • ( )}

⁵

~

+ ²¹

he lye t tes í tésekben , me lynek de term inánsa e l nem ha

~

11 =m y }

~ ⁼ l 'x ' , 11 '= m 'y ' · · · · · (

6)

té te t ik , lehe tséges-e az l , m , l ' , m ' menny iségeke t úgy megha- tározn i , hogy x , y és x ' , y ' ké t or thogoná l is rendszer t cons t i tuá l jon .

Az (5 ) a la t t i egyen le tek a (6 ) a la t t i he lye t tes í tések á l ta l a mennek á t :

l ' m ' x = - -a1 z x ' + ^{- -fi1 z y '}

l ' m ' Y = - a2x m '+- fJ2Y m

¹

(7)

AZ ORTH. SUllSTITUTIÓ EGYÜTTHATÓINAK PARAMÉTERES ÉRTÉKEI.

3 hogy ped ig az x , y és x ' , y ' ké t or thogoná l is rendszer t á l lap í tsa- nak meg a

(3)

és (4 ) a la t t i egyen le tekné l fogva a fe l- té te lek á l lanak :

l ''!. m '

²

ai ^T + fJ'i ^T

^{= 1}

l''!.

m '

² • • (9)

~

m2

+ ^P":

^{m'!. =1}

a₁a₂

l '

²

+ ^{J

1{J'l. m''l. =

0

A

(&)

a la t t i fe l té te lek és :3-ik va lam in t 3-d ik és 2-d ik ta lá l juk , ha

hogy l ' 'l. _fl2

l ' ' - p, 1

T ^-

a1J ' m2 - - a2L1

m'2 _a2 m'2 _ai

.

⁽¹⁰⁾

T =

- fl1J' m2

=

^fl2J

Végre a (7) és

(1)

a la t t i egyen le tek összehason l í tása á l ta l , ha még a (10 ) a la t t i egyen le teke t tek in te tbe veszszük , ta lá l- juk , hogy:

-a^R a'!. = - 2_1J_1

'1.

J '

b

²₁^{= -a2fJ1}

_{J .} b2

= a1

fl2

2

J

. • . (11)

me ly lá t juk , hogy az

⁽¹⁾

a la t t i or thogoná l is be lye t- tes í tés

av

b

1,a_2,

b

2

együ t tha tó i a í l egészen

a_{1 ,}

{Jp

~

fl2 menny iségek á l ta l vannak k i fe jezve , me ly sa já tságos kö - rü lmény az szám azon k imondásáva l lá tsz ik e l len té tben

1*

lenn i , me lyné l fogva az or thogoná l is he lye t tes í tés

^~

egy vá l tozó paramé ter függvénye iben

.

E lá tszó lagos e l lenmondás rög tön meg van magyarázva , ha a (11 ) a la t t i kép le tekben ész reveszszük , hogy az

^ap

{J

_1,

a

_2,

{J

₂

menny iségek csak a . z

a₁

1 1

2

és

u.₂

/3

1

összekö t te tésekben fordu lnak

úgy hogy ha

a1

/12 - p }

~

q

a (11 ) a la t t i kép le tek a a lako t vesz ik fe l

a2 =

_ l!__

1

p+q

a2=_q_

2

p+q

b2=_ q _

1

p+q

b2

=

_lJ_

2

p+q

(12)

(13 )

me ly v i lágosan hogy az or thogoná l is sub - s t i tu t ió együ t tha tó i a p és q paramé terek v iszonya á t ta l vannak megha tározva .

3 . A ( 11 ) a la t t i nyer jük az edd ig ismere tes pa- a) A ( 13 ) a la t t i egyen ha le tekben

té te t ik , akkor

z> =

cos

²

1J q

⁼

s in

² {)

a;= ^cos

^{2 {),}

bi ^{= s in}

²

^iJ

~ =

s in

^{2 (),} ~ =

cos

^{2 {)} b)

Ha ped ig a (13 ) a la t t i egyen le tekben :

p

= 0-),2)2

q ⁼

4;.2

té te t ik , akkor

1 (1-),2)2

... .. ~ 1 ' (1 +).2)2 '

4;_2

.~ ~

2 - (1+).2)2'

(14 )

*

(15)

. *

^{Cayley: «Sur quelques propriétés des déterminants gaucÍi.es•,}

Czelle Journalf.r. u. a. Mathematik XXXII. köt. 119-12311. vagy Baltzei: ~T níul An wendring derD ~ .5: ·kiadásának

193. lapját. ·

AZ ORTH. SUBSTITUTIÓ EGYÜTTHATÓINAK PARAMÉTERES ÉRTÉKEI. 5 .e)

Ha vég re a (11 ) a la t t i kép le tekben

a1= J.3-J.1, a 2= ),3 - ),2 '

té te t ik , akkor m iu tán

hogy akkor :

(J.3-J.1) ().4-J.2)

a'1. -

_{1 -}

-

U1 - ;,2) (J.3 - ;,4)

a2-

'!- ^{{}.4 - ),1) ().3 - J.2)}

U1 - J.2) {}.3 - J.4)

' '

f31 =

^{),4 - ),1} f32= J.4-J.2

().4-J.1) {}.3-J.2)

b2

_1-

-_

V1 -

^{.~ {}.3 - J.2)}

b"I.-

_'i!- ^{().3-J.1) (J.4 -),2)}

U1 -

^{J.2) ().3 - J.4)}

*

(16)

4 . A számokban az or thogoná l is subst i tu t ió prn- b lémá já t a s íkban , va lam in t szék fog la ló ér tekezésemben ugyan- azon prob lémá t a térben , sa já tságos úton o ldo t tuk meg , i t t tehá t okve t lenü l azon, kérdés táru l fe l hogy az or thogoná l is subs t i tu t ió á l ta lános prob lémá ja nem vo lna-e sz in tén ugyano lyan úton mego ldha tó .

Hogy az or thogoná l is subs t i tu t ió á ta lános prob lémá ja , azaz n vá l tozó ese tében ezen az ú ton meg nem o ldha tó , az t a legköze - lebb i ese ten , azaz azon , a me lyben a vá l tozók sz lÍ .ma 4 , fog juk k imu ta tn i .

Ismere tes ugyan is , hogy ha a he lye t tes í tések : x

=

a

1

x '+ b

1

y '+ c

1

z '+ d

1

p '

y

=

a

2

x ' +

^~

^{y '} + ^c

²

^{z '} + ^d

²

^{p '}

z ⁼ a

3

x ' + ^b

³

^{y '} +

^C3z'

+ ^{dsp '}

p =

a4x'

+ ^{b4y '} +

^C4Z'

+ ^{d1. P '}

a azonosságo t :

. . . . (17}

x2 + ^y2 + ^z2 + ^p2 = ^{x '2 + y '2 + z '2 + p '2 . .}

^(18}

'" Höesse : Vorlesungen aus der analitischen Geometrie der geraden Linie etc. etc. 2. kiadásában 119-123.11.

k ie lég í t ik , hogy akkor a

(17)

a la t t i

~

or thogoná l ianak nevez te t ik , a

(17)

a la t t i or thogoná l is he lye t tes í tés együ t tha tó i ped ig a fe l té te leknek vannak a láve tve :

a i +

^~

+

^~

+

^~

^{= 1}

b2

₁

+ ^b2

₂

+ ^b2

₃

+ ^b2

₄

=

¹

c i+

^{~ ~ ~}

d

²¹

+ ^d

^{'2 2}

+ ^d

²³

+ ^d

⁴²

^{= 1}

• • • • (19)

a1 b1 + ^a

²

^b

²

+ ^a

³

^b

³

+ ^a

⁴

^b

⁴

= ⁰ l

a

1

c

1

+ ^a

²

^c

²

+ ^a

³

^c

³

+ ^a

⁴

^c

⁴

^{= 0}

a

¹

d

¹

+ ^a

²

^d

²

+ ^a

³

de + ^{a4 d4 =}

^{0 • . •} (20)

b

^1C1

+ ^b

^2C2

+ ^b3

^C3

+ ^b

^4C4

⁼

^Ü

j

b1 d1 + ^b'ld2 + ^b3

^~

+ ^{b4d4 = 0}

C1

d1 +

^~

^d2 +

^{C3 ~}

+

^C4

^{d„ =}

^Ü

5 . I t t is azon kérdést ve t jük fe l , hogy ha a f ,

"1),

(é s rr menny iségek a e '

^{"1)1, "}

^és

^7'1

^{menny iségeknek l ine-}

ár is függvénye i , azaz ha

~

= a1 f ' + ^fl1

^·fj'

+ ^{r i ;} + ^{al rr '}

"1)

'= = ^aa

^a2f

^e+

¹

+ ^{J3

^fl2"1)"1)11

⁺

^{+ r}

^r

²ⁱ

^{3 "+}

^:'+a

^J3

^'lr

^7!

^.:

^'

¹

7r

= a„ t + ^{J„

^"1)1

+ ^{r„C '} + ^J47!

¹

me ly he lye t tes í tésnek :

L1

= ^a1 _a2 ^fJ1

_{~ r 2}

^{r1 a1} _a'l

a 3 {33

r:i

^{iJ ::)}

a4 (3„ r4 J4

¹

• (21)

(22)

de term inánsa e l nem tud juk-e az l , m , n , u; l ' , m ' , n ' , u ' szorzóka t úgy megha tározn i , hogy ha

f = l x ,

"fi

= my ,

('=

nz , rr = ^{up '}

~

= l 'x ' 1l = ^{m 'y '}

('=

n 'z ' 7! '= u 'p '

. • • • • (23)

ié te t ik , hogy akkor az x , y, z , p; és x ' , y ' , z' , p ' ké t or thogoná l is

rendszer t cons t i tuá l janak .

AZ ORTH. SUBSTITUTIÓ EGYÜTTHATÓINAK PARAMÉTERES ÉRTÉKEI. 7

A (21 ) és (23 ) a la t t i egyen le tekbö l ezek erednek : l ' m ' n ' u ' x

=

a i - z - x ' + f31- z - Y

¹

+ r i -z - z ' + o i- z -P '

. (24)

l ' , m ' , u ' , " u ' ,

p

=

a4- x _u + ^{{34- y} _u + ^{r4- z} _u ^{+o . i .- P} _u

és így annak a fe l té te le i , hogy x ,y ,z ,p; és x ' ,y ' ,z ' ,p 'ké t or tho- goná l is rendszerhez tar tozók legyenek a (19 ) és (20 ) a la t t i egyen - le tekné l fogva ezek :

. . (25)

1 1 1 1

ai

fl1 l2 +

^a2

fJ2 m2 +

^{a 3}

{33 n2 +

^a4{3,

U ,2 = 0

1 1 1 1

ll1 r t l2 +

^a'l

r'l. rn2 + U 3 / 3 n2 ⁺

^a4

^{r4 U ,2 = 0}

1 1 1

^~

1

a1

o

¹

l2 +

a2

iJ2 m2 +

^a

3 iJ3 n2 +

a4o

4 U ,2 = 0

1 1 1 1

fl1 r1 l2 + f32 r2 m2 + {33 rs n2 + fJ4 /4 1 i f

=

O

(26)

1 1

~

1 1

f31 iJ1 l 2 + fJ2 02 m2 + {J3

^os

n2 + {34 04 "U2 ^{= O}

1 1

1

1

r i iJ1 l2+r202 m2 +r3iJs n2+ r404 U ,2=0

~. ^Az ~ __;.., __;.., _{m n n} ^{~ és homogén ~ a la t t i}

1 1 1 ' ha t kö. ve tkez ik , hogy ezek , ha az 71", ^m

2 ,

1 i2 , U2 0-ér téke i tö l e l tek in tünk , ha a ha t soros és négy osz lo- pos ma tr ix

~

de term inánsa m i t így akarunk je lö ln i :

a.1 f31 a;z f3LJ. ^(/3{J'f! 114(34

a.1 rl '12 r2 ^a.s

r3

¹¹⁴ r4

a.1 ° 1 ^{a.2'~ a.a}

0a

^{f14 0 4} _=Ü,

(27)

fl1 rl

fJ2.r 2 fJ3 rs

^{{14 r4}

fl1 , ;1 fJ2 °2

^fJ:-i

^{, ;8 {J4 04}

r1 ° 1 r2rJ2

r 3 r13

r4

a4

me ly symbo l ikus egyen le t tag jában ma tr ixbó l 15 negyedfokú de term ináns lé vén a (27) a la t t i sym - bo l ikus egyen le t ezen 15 negyedfokú de term ináns

fe jez i k i .

A kérdéses 15 negyedfokú de term ináns ugyan- anny i megszor í tás t á l lap í t meg a (21 ) a la t t i he lyet tes í tés 16 a

_1,

{1

_1, ••••

o

4

együ t tha tó ira nézve ezek közü l t e há t csak egy lesz szabadon vá lasz tha tó .

Fe l téve tehá t , hogy a

(9l

1) a la t t i he lye t tes í tés 1 G együ t tha tója az em l í te t t 15 fe l té te l t k ie lég í t i , a (25 ) és (26) alatti egyen le tek-

képesek vagyunk

z,2 _{m '2 n '2 u '2} 7F ^' --z2 ^' --z2 ^{' z2}

l '2 m '2 n '2 u '2 m2 ' m2 ' m2 ' m2

z,2 _{m '2 n '2 u'2}

n2 ' 1 l2 ^{' n2} ' ⁿ² l '2 m '2 n '2 u

¹ⁱ

U2 ' U2

^J

^u2 ' u2

megha tározn i , ' tehát a (17 ) a la t t i or thogoná l is he lye t tes í tés együ t t- ha tó i t is , de m indnyá juka t csak egy függe t len paramé ter á l ta l , a . m i magában véve absurdum .

M iu tán a (27 ) a la t t i má tr ix 15 negyedfokú de te rm inánsa ._

AZ

ORTH. SUBSTITU 'l' IÓ EGYÜTTHATÓINAK PARAMÉTERES ÉRTEKEr . 9 ' sem függe t len egymás tó l , hanem amint a STERN-fé le *té te l mu-·

tatja 9-bö l a ha t meg van ha tározva , úgy ha j landók vo lnánk h inn i , hogy az e löbb em l í te t t 15 fe l té te l , sz in tén már köve tkez ik , de ez tény leg n incs úgy , miután azon ha t.

egyen le t , me ly STERN úr té te le szer in t , a hat ne- gyedfokú de term ináns t 9 á l ta l megha tározza , fe lmond ja a szo l - gá la to t , azaz iden t ikussá vá l ik , m ihe lyes t a 9 negyed

~

deter- m ináns

^.

7 . Végre fe lhaszná lom az a lka lma t , hogy szék fog la ló ér te- kezésem néme ly pontjára nézve még egye t mást

~

Szék fogla ló ér tekezésem II . fe jeze tében ( lásd a 20 -26 11.) térbe l i prom léma tárgya lásáná l e lér t

~

a

fogla lha tó össze .

Ha

ai fl1 ri

arp, fl2 r2 a 3 {13 r 3

o lyan menny iségeke t ér tünk , me lyek a fe l tételt:

arp, 113 fl2{13 r2r 3 ala3 f11fl3 rir3 =Ü a1a2 fl1fl2 rir'l.

(2 8 )

k ie lég í t ik , akkor az or thogoná l is subs t i tu t ió a

_3,

b

_1, ^•••

c

3

együ t t- ha tó i a vannak megha tározva :

2 - aiÁ1

b i t_

fl1 B1 c2

=

^ri01

a i

--.:1- , _1-

L1 '

1

L1

2 a2

Aq _{b2 _}

_{fl2B 2} 2 - r'J.0 2 (29}

a2 = ----;r-=-'

^2-

^{L1 '}

^C2--LJ-

2 - agÁ3

b2 =

^{{J3B3 c2}

=

^r303

a3- - LJ- , ₃

L1 '

³

L1

*

^{L.STERN : •Über die} Bestimmung der Constanten incler Variations- rechnung» czímü értekezésében a 4. számot és tovább. [Abhandlungen der kön. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen Bd.XIII].STERN

tétele a kimondható aznsor_oszlos _opos éskosz_soroslopos ~ hogy n

>

k) mátrix (~ k-dik fokú cleterminánsaib61 k (n -k)

+

a többi meghatározható.

ho l

a1 fl1 r i a2 fl2 r2 a3

{13 r3

(30 )

Áp

B

_1, ^••••

0

2

a la t t ped ig a

L1

de term inánsban az

~

flt> ••• r

3

e lemeknek az együ t tha tó i t ér t jük .

A ' L1 de term inánsró l i t t még kü lönösen k ieme l jük , hogy annak e l tünn ie nem szabad , a m i t szék fog la ló ér tekezésünkben ha l lga tva té te lez tünk fe l , m iu tán k i indu ló pon tunka t a 11 . sz .

(1)

a la t t i vona los he lye t tes í tés képez te .

A 26 . 1. (24 ) a la t t i egyen le thez tar tozó jegyze tben ped ig meg jegyez tük , hogy m inden fé lreér tés k ikerü lése m ia t t k ieme l- jük , hogy az

^llt'

f l1 ' • • . • r:i paramé terek három függe t len para- mé te lTe l requ iva lensek , a né lkü l , hogy ezen á l l í tásunka t beb izo - ny í to t tuk vo lna ; e hézagpó t ló be b izony í tás t a

közö l jük .

8 . Ha ugyan is a (29 ) a la t t i egyen le tekben a szám lá lóka t k ife j te t t a lak jukban ír juk , akkor azok még így is írha tók :

a2

_1-

-

^{a1 fJ2}

r3-a1 fls r2 b ' l .- ^{fl1 r2}

^a3-{J13

^{r a2}

L1

'

^{1 -}

^L1

c1 -2-

r i

~ (!_3-r1a.3

fl2

L1

a '

₂

l

_-

-a,,, (33 r i-a , , , fl1 r3 b2 - ^fJ'l.

^{r 3}

^{a1- f lr t r i}

^a3

L1

' ^{' l . -}

^L1

c ' ' l l . -r2 -

^a3

f11-r2

_L1 a.2

fla

(31) a'₃!_--a3

f31

r2-a3

flrt

ri

b2 -

^fJ3

^r

^{1 a.2-f33}

^{r2 a1}

L1 '

^{3- L1}

c2-r3

a.1

fJ2-r3a.2 fl1 3- L1

a (30 ) a la t t i de term ináns t ped ig sz in tén k ife j tve így :

L1

= a1

fJ2 r3-

a.1 {33 r'l. )

+

^a.2

^{fJ3 r i -}

^{a.2 fl1}

^{r3 . ·}

+ ^{a.3 fl1 r ' l . -}

^{a.3 fJ2}

^r1

⁽³²⁾

AZ ORTH. SUBSTITUTIÓ EGYÜTTHATÓINAK PARAMÉTERES ÉRTÉKEI. 11

már mos t hogy a (31) a la t t i egyen le tek szám lá ló i-

ban és közös az a

_1,

{J1, •••• r

3

menny iségeknek csak a ha t összekö t te tése fo rdu l :

al

fl2 r3 '

a2 {J3

r i ,

a 3 {Jl

r'l.,

al

{J3 r'l.

a'l.

fl1 r3

rl:3 fl2

r i

azér t tehá t , ha a je lö l éseke t \ezetjük be:

a1fJ"J.

rs ^{= P1}

a:g_

fla r i

⁼

P'l.

a3 fl1

r2

⁼

p;{

a1 {J3

r'l. ⁼ q i )

a'l.

{ll r3 ⁼ q"J.

a3

fl2 ri ^{= q3 . ( 33)}

akkor a

(31)

és (31)a la t t iegyen le tek a mennek á t :

a , , ,=P1-q1

1 L1 '

b2= p3-q '1

1 L1 '

a2

~ ~

2 L1 '

b

²

_P1- q s

2 - L1 '

. (34 )

b2

= ~ 3 L1 '

a ho l már mos t

. (35)

Így tehá t , ha a (29) és (30) a la t t i egyen le teke t a (34 ) és (35 ) a la t t i a lakban ír juk , t isz tán lá t juk , hogy az or thogoná l is he lye t - tes í tés a

_1,

b

_1, ^•••

c

₃

együ t tha tó i pusz tán csak a p

1,

p

_2,

p

_3,

q

1,

q

2,

qa

tehá t ha t függenek . De m iu tán a ( 34) a la t t i egyen le tek szám lá ló iban és közös a p és q paraméterek homogénen lépnek fe l azoka t ö t egymás tó l függe t - len paramé ternek ke l l tek in tenünk . A (33 ) a la t t i je lö lésekbö l ped ig v i lágos , hogy a p és q paramé terek a megszo r í - tásnak vannak a láve tve :

• • (36)

A p és q paramé terek végre még egy megszor í tásnak van-

nak a láve tve , me ly az egész prob léma megfe j tésének a lapfö l-

t é te lé t képez i , t . i . a (28 ) a la t t i fe l téte lnek , me lyben a de term i-

náns t k ife j tve és ·a (33 ) a la t t i je lö léseke t tek in te tbe véve ,

a,

szóban forgó fe l té te l t a a lakban nyer jük :

P1P2 + ^P1Ps + ^{P'!,P3 = qt q'l} + ^{qi qg} + ^{q'lq3 (37)}

így tehá t ö t függe t len paramé terre l requ iva lensnek beb izony í to t t ha t p és q paramé ter még ké t tovább i t . i . a (36 ) és (37 ) a la t t i megszor í tásnak lévén a láve tve , v i lágos , hogy a ha t p és q para- méter csak három paramé terre l requ iva lensnek és így székfog la ló ér tekezésünknek 26 . lap jának jegyze tében

azon á l l í tásunk , hogy az ugyanazon lap (24 ) a la t t i egyen le te iben

a

11

fJv . . . . r

₃

paramé terek három paramé terre l requ iva lensnek be van b izony í tva .

9 . Székfog la ló ér tekezésem egy más ik pon t jára nézve ped ig . a jegyzem meg .

Az o t tan haszná l t je lö lések meg tar tásáva l az or thogoná l is.

he lye t tes í tés a

1,

bu . . .

^Cs

^{együ t tha tó i közö t t a egyen--} le tek á l lanak :

b1

^C1

+ ^b2

^C2

+ ^bs

^C3

⁼

^{Ü )}

G1 C1

+

^a'lC2

+

^{ag C3}

= ⁰

a

1

b

1

+ ^a

²

^b

²

+ ^a

³

^{bs = 0} ar + b; + ^~ =

¹⁾

a; + bi + ci

^{==1 . . :}

a

²3

+

^b<J. 3

+ ^c

²3

^{= 1}

a

²

as + ^b

²

^bs + ^c

²

^c

^3-

=

^{0 )}

a

1as

+ ^b

²

^b

³

+ ^c

^1Cs

^{= 0 .}

a

1

a

2

+ ^b

¹

^b

²

+ ^c

¹

^c

²

^{= 0}

at

b1

^C1

a

2

b

2

c

2

= 1 a

3.

ba

Cs

(38}

(39}

(40}

(41}

(42}

AZ ORTH. SUBSTITUTIÓ EGYÜTTHATÓINAK. PARAMÉTERES ÉRTÉKEI.13

továbbá fe l téve , · hogy

a t b1

^{C1 1}

02 b„ t; = + ¹

a3 b: ^{Cs \}

még a

a

1

=b-J. c

3

- b

3~

b

1

=c2 a

³

- c

3

a

2,

c

1_

0

2

b

3

- a

3

b

2,)

a

2

=b

3

c

₁

- b

₁

c

_3,

b

2

=c

₃

ac..:..c

₁

a

_3,

c

2

- a

₃

b

1

- a

1 ~ (43)

< la= b1 C2-b2

^C1'

b3=C1 02 -C2 a l . , C3=a1 b2-02 b1 '

10 . Az i . h . 11 . számában ,

.

o_ t t az (5 ) , (6 ) , (7 ) és (8 ) a la t t i egyen le teke t fe lá l l í to t tuk pusz tán csak az

~

fe lso ro l t

(38)-(41)

a la t t i egyen le tekre vo l tunk tek in te t te l , ho lo t t a

(43)

a la t t iaka t egészen f igye lmen k ívü l hagy tuk. Az i . h . (6 ) és (8 ) alatti egyen le te i a (9) és (10 ) a la t t i fe l té te lekre veze t tek , me lyek -'

k i le t t mu ta tva , hogy e ké t fe l té te l tu la jdonképen csak egy . Kérdés már mos t , hogy ha a

(43)

a la t t i egyen le teke t is a lka lmazzuk az i . h. (3 ) a la t t i egyen le te iben együ t t- ha tókra , hogy nem veze t te tünk az

a_1,{11, •••

ril menny iségek

ú j megszor í tása ira .

Ha szék fog la ló ér tekezésem 11 . sz . (3) a la t t i együ t tha tó ira nézve a (

43)

a la t t i egyenl e tek négyze te i t ír juk fe l , akkor azok a

:

z,2 ,2 ,2

^,2

l '2 ,2

2 _ m n

A?

f32m - - . E~

a1

z2 m2n2

1'

t--r2 -

^{~ 1'}

11'2 l '2m ,2 C f ,

r2 -

112- -

m2n2 l '2 m '2n ,2 ,2 z·2 ,2

a2

'!- 2

_m

- z2 2

- _n

2 A2 ' 2 m2

^~

-

^_

- l /n2

ⁿ

R . 2•

2

(44)

n '2 l '2m ,2

r2 - _{2 rn2 -}

_t2n2

02

_2'

z·2 m '2n ,2 ,2 l'2n,2

(.l't

²

.-

¹¹²

=

^t2m2 A2

^a•

^{fJ'f 3112-} m - ^z2m2 m.

12 l '2m ,2

2n

q ,

r3rz2 ⁼ z2m2

z12 m '2 n '2

ha ped ig ezen a ---,;;:-, T , . . . 7 ^{menny isége-}

ke t az i . h . 14.-sz . (23 ) a la t t i egyen le te inek seg í tségéve l k iküszö- bö l jük , m indössze a fe l té te leke t nye1 jük :

a1 fl2 r3

^L1

= ^{A1 B 2} O a , a1 fls r'J.

L1

= ^A1

^{B s}

C2 l

a 2

{Jg r 1

L1

= ^{A 2 B s 01} , a2 fl1 rs

L1

= ^{A 2 B1} O s . ( 45}

.as

fl1 r'J.

L1 = Á 3

B1 0 2 ,

^{a 3}

fl'l. r1

L1 = Á 3

B 2 01

a me ly fe l té te l i egyen le tek egymás tó l a lak i lag ugyan kü lönböznekr

de azér t maguk közö t t , va lam in t az i . h . 11 . számának (9) a la t t i

egyen le téve l azonosak , könnyen é s így

a ( 45) a la t t i k imondha t juk , hogy azok az

a,

fl, r

menny iségekre nézve ú j megszorí tásoka t e gyál ta l ában meg nem

ál lapí tanak .

l

XXI. Hunyady . Tételek a componalt determinánsoknak egy különös . 10 kr. - XXII. König Ü'ljula. A raczionális függvények általános elméletéhez. 10 kr. - XXIII. Silbei·stein Salamon. Vonalgeometriai tanul- mányok 20 kr. - XXIV. Hunyady János. A Steiner-föle kritériumról a kúp- szeletek elméletében. 10 kr. - XXV. Hunyady . A pontokból vagy érin- és a conjugált meghatározott kúpszelet nemének elr1ön- tésére szolgáló kritériumok. 10kr.

Nyolczadik kötet.

I.szám. Astrophysikai megfigyelések az ó-gyallai csillagvizsgálón 1880- ban. Konkoly Miklóstól. Egy tábla rajzzal. - II. szám. Adatok Jupiter physi- ká.jához az 1880-ik . Egy függelékkel. Konkoly Miklóstól. - III. szám. A Bólya.i-féle a.lgorithmus. Dr. Farkas Gyulától. - IV. szám. Napfoltok megfigyelése 1880-ban, és 1382 napfolt micrometricus mérése. Konkoly Miklóstril. Két tábla rajzzal. - V. szám. Hullócsillagok megfigyelése 1880-ban a. magyar korona területén. V-ik rész. Konkoly Miklóstól. - VI. szám. Csil- lagászati megfigyelések az 6-gyallai csillagvizsgálón. Konkoly Miklóstól. - VII. szám. 102 hullócsillag kisugárzási pont, levezetve 518

melyek a magyar korona területén 1879. és 1880-ban tétettek. Konkoly Mik- lóstól. - VIII. szám. Új villámzáró vagy normálórán, és a Jürgenesen-féle óraszerkezet. Konkoly Miklóstól. Egy képtáblával. - IX. szám. Ada.tok Jupiter forgási elemeihez. Dr. Kobold Ármintól. - X. szám. A Ha- milton-féle rendszerek és az partialis differentiálegyenletek általános elmélete. Székfoglaló értekezés. König Gyulától. - XI. szám. A hadtudomány viszonya. a. többi tudományokhoz. Kripolnai Pauer Istvántól. Székfoglaló érte- kezés. - XII. szám. Egy negyedrendü . Hwi,yail;y .

Kilenczedik kötet.

I. szám. Astrophisikai megfigyelések az ó-gyallai csillagvizsgálón. (Há- rom táblával.) Konkoly Miklóstól. - II. szám. Az ó-gyallai csillagvizsgáló földrajzi szélessége. Dr. Lakits . - III. szám. A herényi astrophy- sikai observatorium leirása, és az abban tett megfigyelések 1881-ben. (Egy táblával.) Gothard . - IV. szám. Napfoltok és a nap felületének meg- figyelése 1881-ben. Konkoly Miklóstól. - V. szám. Csillagászati megfigyelések az ó-gyallai csillagvizsgálón. Konkoly Miklóstól. - VI. szám. Hullócsillagok megfigyelése 1881-ben. Konkoly Miklóstól. - VII. szám. Adatok Jupiter és Mars physikájához, az 1881. évi . (III. rész. Három táblával.) Konkoly Miklóstól. - VIII. szám. Az üstökösök vegytani alkotása. Konkoly Miklóstól. - IX. szám. Az 1871-1880. években, Magyarországban megfigyelt hullócsillagok pályaelemei. Kövesligethy Radótól. - X. szám. Néhány deter-

. HunyaWij . - XI. Perspectiv alakzatok- ról Dr. Klug Lipóttól. - XII. szám. Az elhajlott fény intenzitásának vizsgá- lata. (A math. és természettudományi .állandó bizottság segélyezésével készült dolgozat. Tizenkét ábrával a szöveg között.) Dr. Fröhlich Izortól. - XIII. szám. Az algebrai egyenletek elméletéhez. König Gyulától.

Tizedik kötet.

I. A nap felületének megfigyelése 1882-ben. Konkoly Miklóstól. - II.Astrophysikai megfigyelések 1882-ben.a)A Wells-üstökös szinképe. b) A szep- temberi nagy üstökös színképe. e)9 Meteor színképe.d)115 állócsillag spec- truma. e) Coloremetricus megfigyelések. Konkoly Miklóstól. - III. Hulló- csillagok megfigyelése a magyar korona területén. 1882. Konkoly Miklóstól. -

lések eredménye. 1882. Konkoly Miklóstól. - VI. Néhány szó az üstökösök vegytani alkotásáról, összehasonlitva a meteoritekkel. Konkoly Miklóstól. - VII. Egy uj szerkezetü spectroscop. (Egy táblával.) Konkoly Miklóstól. - VIII. Astrophysikai megfigyelések a herényi observatoriumon, 1882. (Egy táblával.) Gothard . - IX. Adatok Jupiter és Mars bolygók physiká- jához. (Három táblával.) Gothard Sándortól. - X. Egy uj spectroscop. (Egy táblarajzzal.) Gothard . - XI. Astrophysikai megfigyelések 1883. (Egy táblával.) I. rész.a)y Cassiopejae spectrurna.b)ex Ursae minoris spectrnma. l)A Swift üstökös spectruma. d) A Brooks üstökös spectrnma. e)Colori- metricus megfigyelése 65 állócsillagnak. Konkoly Miklóstól.

Tizenegyedik kötet.

I. Astrophysikai mégfigyelések 1883-ban, az ó-gyallai csillagdán. (II-ik rész, 3 tábla.) Konkoly Miklóstól. - II. A nap felületének megfigyelése 1883-ban, az ó-gyallai csillagdán. Knnkoly Miklóstól. - III. Hullócsillagok megfigyelése a magyar korona területén 1883-ban. Konkoly Miklóstól. - IV. 615 állócsillag spectrurna. A déli öv átkutatásának I. része. Konkoly Miklóstól. -V. Megfigyelések a herényi astrophysikai observatoriumon 1883-ban. (Két táblával.) Gothard . - VI. A Pons-Brooks üstökös spectroscopicus megfigyelése a herényi astrophysikai observatoriuwon. (Két táblával.) Gothard

. - VII. Csillagászati megfigyelések az ó-gyallai csillitgdán 18q3-ban. Konkoly Miklóstól. - VIII.E vizsgálatok néhány szénhydrogén-gáz spectrumán, spectroscoppal és spectralphotometerrel. (3 táblával s 2 fametszet- tel.) Konkoly Miklóstól. - IX. Adatok Bolyai Farkas életrajzához. Szily Kálmántól. - X. A herényi astrophysikai observatorium sarkmagasságának meghatározása. Gothard .

Tizenkettedik kötet.

I. A napfoltok és a nap felületének megfigyelése az ó-gyallai csillag- vizsgálón 1884-ben. (1 fametszettel.) Konkoly Miklóstól. - II. Astrophysikai megfigyelések az ó-gyallai csillagvizsgálón 1884-ben. (4 fametszettel.) Konkoly Miklóstól. - III. Az 1884. évi megfigyelések a herényi astrophysikai obser- vatoriumon. (2 ábra és 3 táblával.) Gothard ^. - IV. Hulló-csillagok megfigyelése a m. korona területén 1884-ben. 26 radiatio ponttal. Konkoly Miklóstól. - V. 615 állócsillag spectrmna. Konkoly Miklóstól. - VI. A nap- foltok gyakoriassága 1884 végéig. (2 táblával.) Konkoly Miklóstól. - VII. Adatok Jupiter physikájához. (2 táblával.) Konkoly Mik- lóstól. - VIII. Tanulmányok az égitestek photographálába terén. (1 táblával.) Gothard . - IX. A Haynald-observatoriumban 1880-1884-ben meg- figyelt napfoltok. Hüninger Adolftól."-X. Az 1873. VII. sz. Coggia-Winnecke- féle üstökös pályaszámitása. Schulhof Lipóttól. - XI. A folytonos spectrumok elmélete. Kövesligethi Radótól.

Tizenharmadik kötet.

I. A földnehézség meghatározása Budapesten 1885-ben (4 táblával). Grube1· Lajostól. - II. Hulló csillagok megfigyelése a magyar korona területén 1885-ben. Konkoly Miklóstól. -III.855 állócsillag spectruma. Konkoly Miklóstól.

Tizennegyedik kötet.

I.A dinamika alapegyenleteinek . König Gyulától. - II. Az orthogonális substitutió együtthatóinak paraméteres értékei. Hunyady .

FRANKLIN·TARSULAT NYOMDAJA.