Gazd. Mat II Gyakorlatok
1. gyakorlat
Vektorok és mátrixok
Az n-dimenziós valós vektortér
Rn:={(x1, . . . ,xn)| x1∈R, . . . ,xn∈R}. Rn-t n dimenziós valós vektortérnek nevezzük.
A későbbiekben egy kicsit eltérünk ettől a jelöléstől, a gömbölyű zárójel helyett szögletes zárójelet írunk, illetve megkülönböztetjük asorvektorokat és az oszlopvektorokat. A sorvektorokból a transzponálással (jele. T) oszlopvektort, oszlopvektorból sorvektort kapunk. Ha mást nem mondunk, mindig arra gondolunk, hogy az Rn elemei oszlopvektorok.
Az n-dimenziós valós vektortér
Rn:={(x1, . . . ,xn)| x1∈R, . . . ,xn∈R}. Rn-t n dimenziós valós vektortérnek nevezzük.
A későbbiekben egy kicsit eltérünk ettől a jelöléstől, a gömbölyű zárójel helyett szögletes zárójelet írunk, illetve megkülönböztetjük asorvektorokat és az oszlopvektorokat. A sorvektorokból a transzponálással (jele. T) oszlopvektort, oszlopvektorból sorvektort kapunk. Ha mást nem mondunk, mindig arra gondolunk, hogy az Rn elemei oszlopvektorok.
Az n-dimenziós valós vektortér
Rn:={(x1, . . . ,xn)| x1∈R, . . . ,xn∈R}. Rn-t n dimenziós valós vektortérnek nevezzük.
A későbbiekben egy kicsit eltérünk ettől a jelöléstől, a gömbölyű zárójel helyett szögletes zárójelet írunk, illetve megkülönböztetjük asorvektorokat és az oszlopvektorokat.
A sorvektorokból a transzponálással (jele. T) oszlopvektort, oszlopvektorból sorvektort kapunk. Ha mást nem mondunk, mindig arra gondolunk, hogy az Rn elemei oszlopvektorok.
Az n-dimenziós valós vektortér
Rn:={(x1, . . . ,xn)| x1∈R, . . . ,xn∈R}. Rn-t n dimenziós valós vektortérnek nevezzük.
A későbbiekben egy kicsit eltérünk ettől a jelöléstől, a gömbölyű zárójel helyett szögletes zárójelet írunk, illetve megkülönböztetjük asorvektorokat és az oszlopvektorokat.
A sorvektorokból a transzponálással (jele. T) oszlopvektort, oszlopvektorból sorvektort kapunk. Ha mást nem mondunk, mindig arra gondolunk, hogy az Rn elemei oszlopvektorok.
Jelölések
AzRn elemeit, azaz a vektorokat nyomtatásban félkövér kis latin betűkkel, példáula∈R3, írásban aláhúzással például a∈R3. A skalárokat gyakran görög betűkkel jelöljük, példáulλ∈R A vektor komponenseit kis latin betűkkel jelöljük, például
a=
1 3 2
.
A transzponálássorvektorból oszlopvektort, oszlopvektorból oszlopvektort állít elő.
1 3 2
T
= [1,3,2], [1,3,2]T =
1 3 2
.
Jelölések
AzRn elemeit, azaz a vektorokat nyomtatásban félkövér kis latin betűkkel, példáula∈R3, írásban aláhúzással például a∈R3.
A skalárokat gyakran görög betűkkel jelöljük, példáulλ∈R A vektor komponenseit kis latin betűkkel jelöljük, például
a=
1 3 2
.
A transzponálássorvektorból oszlopvektort, oszlopvektorból oszlopvektort állít elő.
1 3 2
T
= [1,3,2], [1,3,2]T =
1 3 2
.
Jelölések
AzRn elemeit, azaz a vektorokat nyomtatásban félkövér kis latin betűkkel, példáula∈R3, írásban aláhúzással például a∈R3. A skalárokat gyakran görög betűkkel jelöljük, példáulλ∈R
A vektor komponenseit kis latin betűkkel jelöljük, például
a=
1 3 2
.
A transzponálássorvektorból oszlopvektort, oszlopvektorból oszlopvektort állít elő.
1 3 2
T
= [1,3,2], [1,3,2]T =
1 3 2
.
Jelölések
AzRn elemeit, azaz a vektorokat nyomtatásban félkövér kis latin betűkkel, példáula∈R3, írásban aláhúzással például a∈R3. A skalárokat gyakran görög betűkkel jelöljük, példáulλ∈R A vektor komponenseit kis latin betűkkel jelöljük, például
a=
1 3 2
.
A transzponálássorvektorból oszlopvektort, oszlopvektorból oszlopvektort állít elő.
1 3 2
T
= [1,3,2], [1,3,2]T =
1 3 2
.
Jelölések
AzRn elemeit, azaz a vektorokat nyomtatásban félkövér kis latin betűkkel, példáula∈R3, írásban aláhúzással például a∈R3. A skalárokat gyakran görög betűkkel jelöljük, példáulλ∈R A vektor komponenseit kis latin betűkkel jelöljük, például
a=
1 3 2
.
A transzponálássorvektorból oszlopvektort, oszlopvektorból oszlopvektort állít elő.
1 3 2
T
= [1,3,2], [1,3,2]T =
1 3 2
.
Jelölések
AzRn elemeit, azaz a vektorokat nyomtatásban félkövér kis latin betűkkel, példáula∈R3, írásban aláhúzással például a∈R3. A skalárokat gyakran görög betűkkel jelöljük, példáulλ∈R A vektor komponenseit kis latin betűkkel jelöljük, például
a=
1 3 2
.
A transzponálássorvektorból oszlopvektort, oszlopvektorból oszlopvektort állít elő.
1 3 2
T
= [1,3,2], [1,3,2]T =
1 3 2
.
Műveletek R
n-en
Összeadás, skalárral történő szorzás komponensenként történik. A vektorok összeadását, illetve szorzását konkrét példák segítségével illusztráljuk.
1 Összeadás:
1 3 2
+
−1 2 4
=
0 5 6
2 Skalárral történő szorzás:
3·
1 3 2
=
3 9 6
Műveletek R
n-en
Összeadás, skalárral történő szorzás komponensenként történik. A vektorok összeadását, illetve szorzását konkrét példák segítségével illusztráljuk.
1 Összeadás:
1 3 2
+
−1 2 4
=
0 5 6
2 Skalárral történő szorzás:
3·
1 3 2
=
3 9 6
Műveletek R
n-en
Összeadás, skalárral történő szorzás komponensenként történik. A vektorok összeadását, illetve szorzását konkrét példák segítségével illusztráljuk.
1 Összeadás:
1 3 2
+
−1 2 4
=
0 5 6
2 Skalárral történő szorzás:
3·
1 3 2
=
3 9 6
Műveletek R
n-en
Összeadás, skalárral történő szorzás komponensenként történik. A vektorok összeadását, illetve szorzását konkrét példák segítségével illusztráljuk.
1 Összeadás:
1 3 2
+
−1 2 4
=
0 5 6
2 Skalárral történő szorzás:
3·
1 3 2
=
3 9 6
3. Skaláris szorzat: Ha a,b∈Rn, akkor
a·b:=a1b1+a2b2+· · ·+anbn.
4. A skaláris szorzatból könnyen származtatható a vektornorma: kak:=√
a·a, illetve részletesebben kiírva:
kak= q
a12+a22+· · ·+a2n.
5. Az ortogonalitás(merőlegesség) két vektor pontosan akkor ortogonális egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.
3. Skaláris szorzat: Ha a,b∈Rn, akkor
a·b:=a1b1+a2b2+· · ·+anbn.
4. A skaláris szorzatból könnyen származtatható a vektornorma:
kak:=√ a·a, illetve részletesebben kiírva:
kak= q
a21+a22+· · ·+a2n.
5. Az ortogonalitás(merőlegesség) két vektor pontosan akkor ortogonális egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.
3. Skaláris szorzat: Ha a,b∈Rn, akkor
a·b:=a1b1+a2b2+· · ·+anbn.
4. A skaláris szorzatból könnyen származtatható a vektornorma:
kak:=√ a·a, illetve részletesebben kiírva:
kak= q
a21+a22+· · ·+a2n.
5. Az ortogonalitás(merőlegesség) két vektor pontosan akkor ortogonális egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.
Speciális vektorok
1 Zérusvektor:
0:=
0
... 0
az a vektor, amelynek minden komponense 0.
A zérusvektornak ugyanaz a szerepe a vektorok között, mint a nullának a valós számok között.
2 Összegzővektor:
1=
1
... 1
Az a vektor, amelynek minden komponense 1. (Hogy miért hívják így, azt majd látni fogjuk.)
Speciális vektorok
1 Zérusvektor:
0:=
0
... 0
az a vektor, amelynek minden komponense 0.
A zérusvektornak ugyanaz a szerepe a vektorok között, mint a nullának a valós számok között.
2 Összegzővektor:
1=
1
... 1
Az a vektor, amelynek minden komponense 1. (Hogy miért hívják így, azt majd látni fogjuk.)
Speciális vektorok
1 Zérusvektor:
0:=
0
... 0
az a vektor, amelynek minden komponense 0.
A zérusvektornak ugyanaz a szerepe a vektorok között, mint a nullának a valós számok között.
2 Összegzővektor:
1=
1
... 1
Az a vektor, amelynek minden komponense 1. (Hogy miért hívják így, azt majd látni fogjuk.)
Speciális vektorok
1 Zérusvektor:
0:=
0
... 0
az a vektor, amelynek minden komponense 0.
A zérusvektornak ugyanaz a szerepe a vektorok között, mint a nullának a valós számok között.
2 Összegzővektor:
1=
1
... 1
Az a vektor, amelynek minden komponense 1. (Hogy miért hívják így, azt majd látni fogjuk.)
Speciális vektorok
1 Zérusvektor:
0:=
0
... 0
az a vektor, amelynek minden komponense 0.
A zérusvektornak ugyanaz a szerepe a vektorok között, mint a nullának a valós számok között.
2 Összegzővektor:
1=
1
... 1
Az a vektor, amelynek minden komponense 1. (Hogy miért hívják így, azt majd látni fogjuk.)
3. A standard bázis elemei:
e1=
1 0 ... 0
, e2=
0 1 ... 0
, . . . , en=
0 0 ... 1
.
Lineáris kombináció
az összeadás és a skalárral történő szorzás véges sokszori alkalmazása.
Kicsit részletesebben, legyenekx,y1,y2 . . .,yk∈Rn,λ1,λ2,. . ., λk ∈Rúgy, hogy
x=λ1y1+λ2y2+· · ·+λkyk
Ekkor azt mondjuk, hogy azx vektor azy1,y2,. . .,ykvektorok lineáris kombinációja.
Lineáris kombináció
az összeadás és a skalárral történő szorzás véges sokszori alkalmazása.
Kicsit részletesebben, legyenekx,y1,y2 . . .,yk∈Rn,λ1,λ2,. . ., λk ∈Rúgy, hogy
x=λ1y1+λ2y2+· · ·+λkyk
Ekkor azt mondjuk, hogy azx vektor azy1,y2,. . .,ykvektorok lineáris kombinációja.
Lineáris kombináció
az összeadás és a skalárral történő szorzás véges sokszori alkalmazása.
Kicsit részletesebben, legyenekx,y1,y2 . . .,yk∈Rn,λ1,λ2,. . ., λk ∈Rúgy, hogy
x=λ1y1+λ2y2+· · ·+λkyk
Ekkor azt mondjuk, hogy azx vektor azy1,y2,. . .,ykvektorok lineáris kombinációja.
Példa
Könnyű látni, hogy
3
1 0 2
+2
2 1 3
−5
3 2 1
=
−8
−8 7
, így az
x:=
−8
−8 7
vektor lineáris kombinációja az
y1:=
1 0 2
, y2:=
2 1 3
, y3 :=
3 2 1
vektoroknak.
Példa
Könnyű látni, hogy
3
1 0 2
+2
2 1 3
−5
3 2 1
=
−8
−8 7
,
így az
x:=
−8
−8 7
vektor lineáris kombinációja az
y1:=
1 0 2
, y2:=
2 1 3
, y3 :=
3 2 1
vektoroknak.
Példa
Könnyű látni, hogy
3
1 0 2
+2
2 1 3
−5
3 2 1
=
−8
−8 7
, így az
x:=
−8
−8 7
vektor
lineáris kombinációja az
y1:=
1 0 2
, y2:=
2 1 3
, y3 :=
3 2 1
vektoroknak.
Példa
Könnyű látni, hogy
3
1 0 2
+2
2 1 3
−5
3 2 1
=
−8
−8 7
, így az
x:=
−8
−8 7
vektor lineáris kombinációja az
y1:=
1 0 2
, y2:=
2 1 3
, y3:=
3 2 1
vektoroknak.
Vektortér, altér fogalma
AzRn halmaz (ellátva az összeadással és a skalárral történő szorzással) vektortér. LegyenY ⊆Rn egy olyan nemüres halmaz, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal.
1 x1+x2∈Y mindenx1,x2∈Y esetén.
2 λx∈Y minden λ∈R,x∈Y esetén.
Ekkor azt mondjuk, hogy azY halmaz (azRn-ből örökölt összeadással és skalárral történő szorzással) egy altereRn-nek.
Vektortér, altér fogalma
AzRn halmaz (ellátva az összeadással és a skalárral történő szorzással) vektortér. LegyenY ⊆Rn egy olyan nemüres halmaz, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal.
1 x1+x2∈Y mindenx1,x2∈Y esetén.
2 λx∈Y minden λ∈R,x∈Y esetén.
Ekkor azt mondjuk, hogy azY halmaz (azRn-ből örökölt összeadással és skalárral történő szorzással) egy altereRn-nek.
Vektortér, altér fogalma
AzRn halmaz (ellátva az összeadással és a skalárral történő szorzással) vektortér. LegyenY ⊆Rn egy olyan nemüres halmaz, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal.
1 x1+x2∈Y mindenx1,x2∈Y esetén.
2 λx∈Y minden λ∈R,x∈Y esetén.
Ekkor azt mondjuk, hogy azY halmaz (azRn-ből örökölt összeadással és skalárral történő szorzással) egy altereRn-nek.
Vektortér, altér fogalma
AzRn halmaz (ellátva az összeadással és a skalárral történő szorzással) vektortér. LegyenY ⊆Rn egy olyan nemüres halmaz, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal.
1 x1+x2∈Y mindenx1,x2∈Y esetén.
2 λx∈Y minden λ∈R,x∈Y esetén.
Ekkor azt mondjuk, hogy azY halmaz (azRn-ből örökölt összeadással és skalárral történő szorzással) egy altereRn-nek.
Vektortér, altér fogalma
AzRn halmaz (ellátva az összeadással és a skalárral történő szorzással) vektortér. LegyenY ⊆Rn egy olyan nemüres halmaz, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal.
1 x1+x2∈Y mindenx1,x2∈Y esetén.
2 λx∈Y minden λ∈R,x∈Y esetén.
Ekkor azt mondjuk, hogy azY halmaz (az Rn-ből örökölt összeadással és skalárral történő szorzással) egy altereRn-nek.
Megjegyzés
A fenti 1. és 2. tulajdonság teljesülése ekvivalens az alábbi tulajdonsággal
3. αx+βy∈Y mindenα,β∈R,x,y∈Y esetén.
A továbbiakban, ha azt mondjuk, hogyX egy vektortér, akkor mindig arra gondolunk, hogyX =Rnvalamely n∈Z+ esetén, vagy X azRn-nek egy altere.
Megjegyzés
A fenti 1. és 2. tulajdonság teljesülése ekvivalens az alábbi tulajdonsággal
3. αx+βy∈Y mindenα,β∈R,x,y∈Y esetén.
A továbbiakban, ha azt mondjuk, hogyX egy vektortér, akkor mindig arra gondolunk, hogyX =Rnvalamely n∈Z+ esetén, vagy X azRn-nek egy altere.
Megjegyzés
A fenti 1. és 2. tulajdonság teljesülése ekvivalens az alábbi tulajdonsággal
3. αx+βy∈Y mindenα,β∈R,x,y∈Y esetén.
A továbbiakban, ha azt mondjuk, hogyX egy vektortér, akkor mindig arra gondolunk, hogyX =Rnvalamely n∈Z+ esetén, vagy X azRn-nek egy altere.
Megjegyzés
A fenti 1. és 2. tulajdonság teljesülése ekvivalens az alábbi tulajdonsággal
3. αx+βy∈Y mindenα,β∈R,x,y∈Y esetén.
A továbbiakban, ha azt mondjuk, hogyX egy vektortér, akkor mindig arra gondolunk, hogyX =Rnvalamely n∈Z+ esetén, vagy X azRn-nek egy altere.
Generátorrendszer, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió
LegyenX egy vektortér
1 Azt mondjuk, hogy azY ⊆X halmaz generátorrendszereaz X vektortérnek, ha azX vektortér mindenx∈X vektora előáll Y-beli vektorok lineáris kombinációjaként.
2 Azt mondjuk, hogy az{y1,. . .,yk} ⊆X vektorrendszer lineárisan független, ha belőlük a zérusvektor csak triviális lineáris kombinációval állítható elő,
azaz minden λ1,. . .,λk ∈Resetén
λ1y1+· · ·+λkyk=0 =⇒ λ1 =0, . . . , λk =0.
3 Egy B ⊆X halmazt a vektortérbázisánaknevezzük, ha az X vektortér egy lineárisan független generátorrendszere.
Generátorrendszer, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió
LegyenX egy vektortér
1 Azt mondjuk, hogy azY ⊆X halmaz generátorrendszereaz X vektortérnek, ha azX vektortér mindenx∈X vektora előáll Y-beli vektorok lineáris kombinációjaként.
2 Azt mondjuk, hogy az{y1,. . .,yk} ⊆X vektorrendszer lineárisan független, ha belőlük a zérusvektor csak triviális lineáris kombinációval állítható elő,
azaz minden λ1,. . .,λk ∈Resetén
λ1y1+· · ·+λkyk=0 =⇒ λ1 =0, . . . , λk =0.
3 Egy B ⊆X halmazt a vektortérbázisánaknevezzük, ha az X vektortér egy lineárisan független generátorrendszere.
Generátorrendszer, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió
LegyenX egy vektortér
1 Azt mondjuk, hogy azY ⊆X halmaz generátorrendszereaz X vektortérnek, ha azX vektortér mindenx∈X vektora előáll Y-beli vektorok lineáris kombinációjaként.
2 Azt mondjuk, hogy az{y1,. . .,yk} ⊆X vektorrendszer lineárisan független, ha belőlük a zérusvektor csak triviális lineáris kombinációval állítható elő,
azaz minden λ1,. . .,λk ∈Resetén
λ1y1+· · ·+λkyk=0 =⇒ λ1 =0, . . . , λk =0.
3 Egy B ⊆X halmazt a vektortérbázisánaknevezzük, ha az X vektortér egy lineárisan független generátorrendszere.
Generátorrendszer, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió
LegyenX egy vektortér
1 Azt mondjuk, hogy azY ⊆X halmaz generátorrendszereaz X vektortérnek, ha azX vektortér mindenx∈X vektora előáll Y-beli vektorok lineáris kombinációjaként.
2 Azt mondjuk, hogy az{y1,. . .,yk} ⊆X vektorrendszer lineárisan független, ha belőlük a zérusvektor csak triviális lineáris kombinációval állítható elő,
azaz minden λ1,. . .,λk ∈Resetén
λ1y1+· · ·+λkyk=0 =⇒ λ1 =0, . . . , λk =0.
3 Egy B ⊆X halmazt a vektortérbázisánaknevezzük, ha az X vektortér egy lineárisan független generátorrendszere.
Generátorrendszer, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió
LegyenX egy vektortér
1 Azt mondjuk, hogy azY ⊆X halmaz generátorrendszereaz X vektortérnek, ha azX vektortér mindenx∈X vektora előáll Y-beli vektorok lineáris kombinációjaként.
2 Azt mondjuk, hogy az{y1,. . .,yk} ⊆X vektorrendszer lineárisan független, ha belőlük a zérusvektor csak triviális lineáris kombinációval állítható elő,
azaz minden λ1,. . .,λk ∈Resetén
λ1y1+· · ·+λkyk=0 =⇒ λ1 =0, . . . , λk =0.
3 Egy B ⊆X halmazt a vektortérbázisánaknevezzük, ha az X vektortér egy lineárisan független generátorrendszere.
Generátorrendszer, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió
LegyenX egy vektortér
1 Azt mondjuk, hogy azY ⊆X halmaz generátorrendszereaz X vektortérnek, ha azX vektortér mindenx∈X vektora előáll Y-beli vektorok lineáris kombinációjaként.
2 Azt mondjuk, hogy az{y1,. . .,yk} ⊆X vektorrendszer lineárisan független, ha belőlük a zérusvektor csak triviális lineáris kombinációval állítható elő,
azaz minden λ1,. . .,λk ∈Resetén
λ1y1+· · ·+λkyk=0 =⇒ λ1 =0, . . . , λk =0.
3 Egy B ⊆X halmazt a vektortérbázisánaknevezzük, ha az X vektortér egy lineárisan független generátorrendszere.
4. Adimenzió tételkimondja, hogy egyX vektortér bármely két bázisa azonos számosságú. Ezt a közös számosságot és
vektortér dimenziójának nevezzük.
5. Mivel Rn standard bázisa (az{e1,. . .,en}vektorrendszer) bázisa Rnvektortérnek, így az Rn egyn-dimenziós vektortér. 6. Ha Y ⊆Rn és Y 6={0}, akkor Y-nak van bázisa, továbbá Y
minden bázisa kiegészíthető az Rn egy bázisává, így azRn minden altere legfeljebbn-dimenziós.
7. Ha B={b1, . . . ,bk} ⊂X egy bázisa az X vektortérnek, akkor az X vektortér mindenx∈X vektora egyértelműen írható fel a B-beli vektorok lineáris kombinációjaként, azaz
∀x∈X∃!λ1, . . . , λk ∈R:x=λ1b1+· · ·+λkbk. Ekkor a (λ1,. . .,λk) számokat az x vektorB bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
4. Adimenzió tételkimondja, hogy egyX vektortér bármely két bázisa azonos számosságú. Ezt a közös számosságot és
vektortér dimenziójának nevezzük.
5. Mivel Rn standard bázisa (az{e1,. . .,en}vektorrendszer) bázisa Rnvektortérnek, így az Rn egyn-dimenziós vektortér.
6. Ha Y ⊆Rn és Y 6={0}, akkor Y-nak van bázisa, továbbá Y minden bázisa kiegészíthető az Rn egy bázisává, így azRn minden altere legfeljebbn-dimenziós.
7. Ha B={b1, . . . ,bk} ⊂X egy bázisa az X vektortérnek, akkor az X vektortér mindenx∈X vektora egyértelműen írható fel a B-beli vektorok lineáris kombinációjaként, azaz
∀x∈X∃!λ1, . . . , λk ∈R:x=λ1b1+· · ·+λkbk. Ekkor a (λ1,. . .,λk) számokat az x vektorB bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
4. Adimenzió tételkimondja, hogy egyX vektortér bármely két bázisa azonos számosságú. Ezt a közös számosságot és
vektortér dimenziójának nevezzük.
5. Mivel Rn standard bázisa (az{e1,. . .,en}vektorrendszer) bázisa Rnvektortérnek, így az Rn egyn-dimenziós vektortér.
6. Ha Y ⊆Rn és Y 6={0}, akkor Y-nak van bázisa, továbbáY minden bázisa kiegészíthető az Rnegy bázisává, így az Rn minden altere legfeljebbn-dimenziós.
7. Ha B={b1, . . . ,bk} ⊂X egy bázisa az X vektortérnek, akkor az X vektortér mindenx∈X vektora egyértelműen írható fel a B-beli vektorok lineáris kombinációjaként, azaz
∀x∈X∃!λ1, . . . , λk ∈R:x=λ1b1+· · ·+λkbk. Ekkor a (λ1,. . .,λk) számokat az x vektorB bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
4. Adimenzió tételkimondja, hogy egyX vektortér bármely két bázisa azonos számosságú. Ezt a közös számosságot és
vektortér dimenziójának nevezzük.
5. Mivel Rn standard bázisa (az{e1,. . .,en}vektorrendszer) bázisa Rnvektortérnek, így az Rn egyn-dimenziós vektortér.
6. Ha Y ⊆Rn és Y 6={0}, akkor Y-nak van bázisa, továbbáY minden bázisa kiegészíthető az Rnegy bázisává, így az Rn minden altere legfeljebbn-dimenziós.
7. Ha B={b1, . . . ,bk} ⊂X egy bázisa az X vektortérnek, akkor az X vektortér mindenx∈X vektora egyértelműen írható fel a B-beli vektorok lineáris kombinációjaként,
azaz
∀x∈X∃!λ1, . . . , λk ∈R:x=λ1b1+· · ·+λkbk. Ekkor a (λ1,. . .,λk) számokat az x vektorB bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
4. Adimenzió tételkimondja, hogy egyX vektortér bármely két bázisa azonos számosságú. Ezt a közös számosságot és
vektortér dimenziójának nevezzük.
5. Mivel Rn standard bázisa (az{e1,. . .,en}vektorrendszer) bázisa Rnvektortérnek, így az Rn egyn-dimenziós vektortér.
6. Ha Y ⊆Rn és Y 6={0}, akkor Y-nak van bázisa, továbbáY minden bázisa kiegészíthető az Rnegy bázisává, így az Rn minden altere legfeljebbn-dimenziós.
7. Ha B={b1, . . . ,bk} ⊂X egy bázisa az X vektortérnek, akkor az X vektortér mindenx∈X vektora egyértelműen írható fel a B-beli vektorok lineáris kombinációjaként, azaz
∀x∈X∃!λ1, . . . , λk ∈R:x=λ1b1+· · ·+λkbk.
Ekkor a (λ1,. . .,λk) számokat az x vektorB bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
4. Adimenzió tételkimondja, hogy egyX vektortér bármely két bázisa azonos számosságú. Ezt a közös számosságot és
vektortér dimenziójának nevezzük.
5. Mivel Rn standard bázisa (az{e1,. . .,en}vektorrendszer) bázisa Rnvektortérnek, így az Rn egyn-dimenziós vektortér.
6. Ha Y ⊆Rn és Y 6={0}, akkor Y-nak van bázisa, továbbáY minden bázisa kiegészíthető az Rnegy bázisává, így az Rn minden altere legfeljebbn-dimenziós.
7. Ha B={b1, . . . ,bk} ⊂X egy bázisa az X vektortérnek, akkor az X vektortér mindenx∈X vektora egyértelműen írható fel a B-beli vektorok lineáris kombinációjaként, azaz
∀x∈X∃!λ1, . . . , λk ∈R:x=λ1b1+· · ·+λkbk. Ekkor a (λ1,. . .,λk) számokat az x vektorB bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
Példa
Legyen
x:=
3 5 7
∈R3. Határozza meg azx vektor
b1:=
1 0 0
, b2:=
1 1 0
, b3=
1 1 1
bázisra vonatkozó koordinátáit.
Példa
Legyen
x:=
3 5 7
∈R3. Határozza meg azx vektor
b1:=
1 0 0
, b2:=
1 1 0
, b3=
1 1 1
bázisra vonatkozó koordinátáit.
Mo.: Érdemes észrevenni, hogy aB :={b1,b2,b3}valóban bázisa azR3 vektortérnek, bár a bizonyítástól eltekintünk. Jelölje azx vektor koordinátáit a B bázisban λ1,λ2,λ3. Ekkor
λ1
1 0 0
+λ2
1 1 0
+λ3
1 1 1
=
3 5 7
, amiből kapjuk, hogy
λ1+λ2+λ3=3 λ2+λ3=5 λ3=7
A kapott (LER)-t könnyü megoldani, λ3 =7, λ2=−2 , λ1 =−2.
Tehát azx vektor koordinátái a B bázisban {−2,−2,7}.
Mo.: Érdemes észrevenni, hogy aB :={b1,b2,b3} valóban bázisa azR3 vektortérnek, bár a bizonyítástól eltekintünk.
Jelölje azx vektor koordinátáit a B bázisban λ1,λ2,λ3. Ekkor
λ1
1 0 0
+λ2
1 1 0
+λ3
1 1 1
=
3 5 7
, amiből kapjuk, hogy
λ1+λ2+λ3=3 λ2+λ3=5 λ3=7
A kapott (LER)-t könnyü megoldani, λ3 =7, λ2=−2 , λ1 =−2.
Tehát azx vektor koordinátái a B bázisban {−2,−2,7}.
Mo.: Érdemes észrevenni, hogy aB :={b1,b2,b3} valóban bázisa azR3 vektortérnek, bár a bizonyítástól eltekintünk.
Jelölje azx vektor koordinátáit a B bázisban λ1,λ2,λ3.
Ekkor
λ1
1 0 0
+λ2
1 1 0
+λ3
1 1 1
=
3 5 7
, amiből kapjuk, hogy
λ1+λ2+λ3=3 λ2+λ3=5 λ3=7
A kapott (LER)-t könnyü megoldani, λ3 =7, λ2=−2 , λ1 =−2.
Tehát azx vektor koordinátái a B bázisban {−2,−2,7}.
Mo.: Érdemes észrevenni, hogy aB :={b1,b2,b3} valóban bázisa azR3 vektortérnek, bár a bizonyítástól eltekintünk.
Jelölje azx vektor koordinátáit a B bázisban λ1,λ2,λ3. Ekkor
λ1
1 0 0
+λ2
1 1 0
+λ3
1 1 1
=
3 5 7
,
amiből kapjuk, hogy
λ1+λ2+λ3=3 λ2+λ3=5 λ3=7
A kapott (LER)-t könnyü megoldani, λ3 =7, λ2=−2 , λ1 =−2.
Tehát azx vektor koordinátái a B bázisban {−2,−2,7}.
Mo.: Érdemes észrevenni, hogy aB :={b1,b2,b3} valóban bázisa azR3 vektortérnek, bár a bizonyítástól eltekintünk.
Jelölje azx vektor koordinátáit a B bázisban λ1,λ2,λ3. Ekkor
λ1
1 0 0
+λ2
1 1 0
+λ3
1 1 1
=
3 5 7
, amiből kapjuk, hogy
λ1+λ2+λ3=3 λ2+λ3=5 λ3=7
A kapott (LER)-t könnyü megoldani, λ3 =7, λ2=−2 , λ1 =−2.
Tehát azx vektor koordinátái a B bázisban {−2,−2,7}.
Mo.: Érdemes észrevenni, hogy aB :={b1,b2,b3} valóban bázisa azR3 vektortérnek, bár a bizonyítástól eltekintünk.
Jelölje azx vektor koordinátáit a B bázisban λ1,λ2,λ3. Ekkor
λ1
1 0 0
+λ2
1 1 0
+λ3
1 1 1
=
3 5 7
, amiből kapjuk, hogy
λ1+λ2+λ3=3 λ2+λ3=5 λ3=7
A kapott (LER)-t könnyü megoldani, λ3 =7, λ2=−2 , λ1 =−2.
Tehát azx vektor koordinátái a B bázisban {−2,−2,7}.
Mo.: Érdemes észrevenni, hogy aB :={b1,b2,b3} valóban bázisa azR3 vektortérnek, bár a bizonyítástól eltekintünk.
Jelölje azx vektor koordinátáit a B bázisban λ1,λ2,λ3. Ekkor
λ1
1 0 0
+λ2
1 1 0
+λ3
1 1 1
=
3 5 7
, amiből kapjuk, hogy
λ1+λ2+λ3=3 λ2+λ3=5 λ3=7
A kapott (LER)-t könnyü megoldani, λ3 =7, λ2=−2 , λ1 =−2.
Tehát azx vektor koordinátái a B bázisban {−2,−2,7}.
Feladat
1 Mutassuk meg, hogy azRn standard bázisa valóban bázisa Rn-nek.
2 Mutassuk meg, hogy azRn tetszőleges xvektorának a standard bázisra vonatkozó koordinátái éppen a komponensei.
Feladat
1 Mutassuk meg, hogy azRn standard bázisa valóban bázisa Rn-nek.
2 Mutassuk meg, hogy azRn tetszőleges xvektorának a standard bázisra vonatkozó koordinátái éppen a komponensei.
Feladat
1 Mutassuk meg, hogy azRn standard bázisa valóban bázisa Rn-nek.
2 Mutassuk meg, hogy azRn tetszőleges xvektorának a standard bázisra vonatkozó koordinátái éppen a komponensei.
A bázistranszformációazt jelenti, hogy áttérünk egy másik bázisra és megmondjuk, hogy egy adott vektor koordinátái hogyan változnak. Ez az áttérés a továbbiakban úgy fog történni, hogy egyesével cseréljük ki a bázis elemei más elemekre, azaz minden lépésben egy báziselemet eltávolítunk a bázisból és helyette egy másik vektort beveszünk a bázisba. Ennek az eljárásnak a kivitelezését hívjákpivotálásnak. A pivotálás lényeges lépése a téglalap szabály, (vagy négyszögszabály), azonban nekünk kényelmesebb lesz a pivotálát (illetve a téglalap szabályt) a megengedett sorműveletek segítségével bevezetni.
Mátrixok
Sorokba és oszlopokba rendezett valós számokatmátrixoknak nevezzük.
Például:
M :=
1 3 2 0 1 3
∈R2×3
Látható hogy ennek a mátrixnak 2 sora 3 oszlopa van. Ez azt jelenti, hogy ez a mátrix egy 2×3 típusú mátrix, amit úgy jelölünk, hogyM ∈R2×3.
Mátrixok
Sorokba és oszlopokba rendezett valós számokatmátrixoknak nevezzük.
Például:
M :=
1 3 2 0 1 3
∈R2×3
Látható hogy ennek a mátrixnak 2 sora 3 oszlopa van. Ez azt jelenti, hogy ez a mátrix egy 2×3 típusú mátrix, amit úgy jelölünk, hogyM ∈R2×3.
Mátrixok
Sorokba és oszlopokba rendezett valós számokatmátrixoknak nevezzük.
Például:
M :=
1 3 2 0 1 3
∈R2×3
Látható hogy ennek a mátrixnak 2 sora 3 oszlopa van. Ez azt jelenti, hogy ez a mátrix egy 2×3 típusú mátrix, amit úgy jelölünk, hogyM ∈R2×3.
Mátrixok
Sorokba és oszlopokba rendezett valós számokatmátrixoknak nevezzük.
Például:
M :=
1 3 2 0 1 3
∈R2×3
Látható hogy ennek a mátrixnak 2 sora 3 oszlopa van. Ez azt jelenti, hogy ez a mátrix egy 2×3 típusú mátrix, amit úgy jelölünk, hogyM ∈R2×3.
Mátrixkomponensek, kvadratikus mátrixok, sor és oszlopvektorok, mint mátrixok
Ahogy egy vektornak vannak komponensei, úgy a mátrixoknak is vannak komponensei. Ha a mátrixotM betűvel jelöltük, akkor a komponenseket érdemes megfelelően indexeltm betűkkel jelölni. Kettős indexelést használunk, ami azt jelenti, hogy az első index a sort, a második az oszlopot jelöli. Például: m12=3.
M :=
1 3 2 0 1 3
∈R2×3
Mátrixkomponensek, kvadratikus mátrixok, sor és oszlopvektorok, mint mátrixok
Ahogy egy vektornak vannak komponensei, úgy a mátrixoknak is vannak komponensei. Ha a mátrixotM betűvel jelöltük, akkor a komponenseket érdemes megfelelően indexeltm betűkkel jelölni.
Kettős indexelést használunk, ami azt jelenti, hogy az első index a sort, a második az oszlopot jelöli. Például: m12=3.
M :=
1 3 2 0 1 3
∈R2×3
Kvadratikus mátrixok, sor és oszlopvektorok, mint mátrixok
Azokat a mátrixokat, amelyeknek ugyanannyi soruk van, mint ahány oszlopuk,kvadratikus mátrixoknak nevezzük.
A vektorokra is úgy gondolunk, mint speciális mátrixokra. például 1 3
0 1
∈R2×2,
1 3 2
∈R1×3,
1 3 2
∈R3×1.
Kvadratikus mátrixok, sor és oszlopvektorok, mint mátrixok
Azokat a mátrixokat, amelyeknek ugyanannyi soruk van, mint ahány oszlopuk,kvadratikus mátrixoknak nevezzük.
A vektorokra is úgy gondolunk, mint speciális mátrixokra. például 1 3
0 1
∈R2×2,
1 3 2
∈R1×3,
1 3 2
∈R3×1.
Kvadratikus mátrixok, sor és oszlopvektorok, mint mátrixok
Azokat a mátrixokat, amelyeknek ugyanannyi soruk van, mint ahány oszlopuk,kvadratikus mátrixoknak nevezzük.
A vektorokra is úgy gondolunk, mint speciális mátrixokra.
például 1 3
0 1
∈R2×2,
1 3 2
∈R1×3,
1 3 2
∈R3×1.
Kvadratikus mátrixok, sor és oszlopvektorok, mint mátrixok
Azokat a mátrixokat, amelyeknek ugyanannyi soruk van, mint ahány oszlopuk,kvadratikus mátrixoknak nevezzük.
A vektorokra is úgy gondolunk, mint speciális mátrixokra. például 1 3
0 1
∈R2×2,
1 3 2
∈R1×3,
1 3 2
∈R3×1.
Mátrixok körében is értelmezünk műveleteket: értelmezzük a transzponálást, az összeadást és a szorzást.
1 Transzponálás: Megcseréli az oszlopok és a sorok szerepét, egy (m×n) típusú mátrixból egy(n×m) típusú mátrixot. Érthetővé válik a következő példa alapján:
1 3 2 0 1 3
T
=
1 0 3 1 2 3
∈R3×2
Tehát a transzponálás során a mátrixot tükrözzük a főátlójára. (A főátlóban azok a komponensek állnak, amelyek első és második indexe megegyezik.)
Mátrixok körében is értelmezünk műveleteket: értelmezzük a transzponálást, az összeadást és a szorzást.
1 Transzponálás: Megcseréli az oszlopok és a sorok szerepét, egy(m×n) típusú mátrixból egy(n×m) típusú mátrixot.
Érthetővé válik a következő példa alapján:
1 3 2 0 1 3
T
=
1 0 3 1 2 3
∈R3×2
Tehát a transzponálás során a mátrixot tükrözzük a főátlójára. (A főátlóban azok a komponensek állnak, amelyek első és második indexe megegyezik.)
Mátrixok körében is értelmezünk műveleteket: értelmezzük a transzponálást, az összeadást és a szorzást.
1 Transzponálás: Megcseréli az oszlopok és a sorok szerepét, egy(m×n) típusú mátrixból egy(n×m) típusú mátrixot.
Érthetővé válik a következő példa alapján:
1 3 2 0 1 3
T
=
1 0 3 1 2 3
∈R3×2
Tehát a transzponálás során a mátrixot tükrözzük a főátlójára.
(A főátlóban azok a komponensek állnak, amelyek első és második indexe megegyezik.)
2 Összeadás: Csak azonos típusú mátrixokat lehet összeadni.
Összeadás komponensenként történik.
Például: 1 3 2
0 1 3
+
3 −2 5
1 0 2
=
4 1 7 1 1 5
2 Összeadás: Csak azonos típusú mátrixokat lehet összeadni.
Összeadás komponensenként történik. Például:
1 3 2
0 1 3
+
3 −2 5
1 0 2
=
4 1 7 1 1 5
3 Szorzás:
A∈Rm×n,B=Rn×l, akkor C =A·B ∈Rm×l, cij =
n
X
k=1
aik ·bkj
Tehát bármely két mátrixot nem lehet összeszorozni. Az A mátrixit pontosan akkor lehet összeszorozni a B mátrixszal, ha az Amátrixnak annyi oszlopa van, ahány sora aB mátrixnak. A szorzatmátrixnak annyi sora lesz ahány sora azA mátrixnak van, illetve annyi oszlopa lesz, ahány oszlopa aB mátrixnak van.
A szorzás kivitelezése nem olyan bonyolult, mint amilyennek látszik. A szorzatmátrix (i,j)-edik komponensét úgy kapjuk meg, hogy a B mátrix j-edik oszlopát gondolatban ráfektetjük az Amátrix i-edik sorára, az egymást átfedő elemeket
összeszorozzuk, a kapott szorzatokat összeadjuk. Még egyszerűbb lesz a szorzás kivitelezése a Falk séma segítségével.
3 Szorzás: A∈Rm×n,B=Rn×l, akkor C =A·B ∈Rm×l, cij =
n
X
k=1
aik ·bkj
Tehát bármely két mátrixot nem lehet összeszorozni. Az A mátrixit pontosan akkor lehet összeszorozni a B mátrixszal, ha az Amátrixnak annyi oszlopa van, ahány sora aB mátrixnak. A szorzatmátrixnak annyi sora lesz ahány sora azA mátrixnak van, illetve annyi oszlopa lesz, ahány oszlopa aB mátrixnak van.
A szorzás kivitelezése nem olyan bonyolult, mint amilyennek látszik. A szorzatmátrix (i,j)-edik komponensét úgy kapjuk meg, hogy a B mátrix j-edik oszlopát gondolatban ráfektetjük az Amátrix i-edik sorára, az egymást átfedő elemeket
összeszorozzuk, a kapott szorzatokat összeadjuk. Még egyszerűbb lesz a szorzás kivitelezése a Falk séma segítségével.
3 Szorzás: A∈Rm×n,B=Rn×l, akkor C =A·B ∈Rm×l, cij =
n
X
k=1
aik ·bkj
Tehát bármely két mátrixot nem lehet összeszorozni. Az A mátrixit pontosan akkor lehet összeszorozni a B mátrixszal, ha az Amátrixnak annyi oszlopa van, ahány sora aB mátrixnak.
A szorzatmátrixnak annyi sora lesz ahány sora azA mátrixnak van, illetve annyi oszlopa lesz, ahány oszlopa aB mátrixnak van.
A szorzás kivitelezése nem olyan bonyolult, mint amilyennek látszik. A szorzatmátrix (i,j)-edik komponensét úgy kapjuk meg, hogy a B mátrix j-edik oszlopát gondolatban ráfektetjük az Amátrix i-edik sorára, az egymást átfedő elemeket
összeszorozzuk, a kapott szorzatokat összeadjuk. Még egyszerűbb lesz a szorzás kivitelezése a Falk séma segítségével.
3 Szorzás: A∈Rm×n,B=Rn×l, akkor C =A·B ∈Rm×l, cij =
n
X
k=1
aik ·bkj
Tehát bármely két mátrixot nem lehet összeszorozni. Az A mátrixit pontosan akkor lehet összeszorozni a B mátrixszal, ha az Amátrixnak annyi oszlopa van, ahány sora aB mátrixnak.
A szorzatmátrixnak annyi sora lesz ahány sora azA mátrixnak van, illetve annyi oszlopa lesz, ahány oszlopa aB mátrixnak van.
A szorzás kivitelezése nem olyan bonyolult, mint amilyennek látszik. A szorzatmátrix (i,j)-edik komponensét úgy kapjuk meg, hogy a B mátrix j-edik oszlopát gondolatban ráfektetjük az Amátrix i-edik sorára, az egymást átfedő elemeket
összeszorozzuk, a kapott szorzatokat összeadjuk. Még egyszerűbb lesz a szorzás kivitelezése a Falk séma segítségével.
A Falk séma ismertetése előtt tekintsük át az összeadás és a szorzás műveleti tulajdonságait.
Az összeadás tulajdonságai
1 Kommutatív, azazA+B =B+A, ami úgy értendő, hogy amennyiben az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
2 Asszociatív, azazA+ (B+C) = (A+B) +C, ami úgy értendő, hogy amennyiben az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
Az összeadás tulajdonságai
1 Kommutatív, azazA+B =B+A, ami úgy értendő, hogy amennyiben az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
2 Asszociatív, azazA+ (B+C) = (A+B) +C, ami úgy értendő, hogy amennyiben az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
Az összeadás tulajdonságai
1 Kommutatív, azazA+B =B+A, ami úgy értendő, hogy amennyiben az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
2 Asszociatív, azazA+ (B+C) = (A+B) +C, ami úgy értendő, hogy amennyiben az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
A szorzás tulajdonságai
1 Nem kommutatív, ami úgy értendő, hogy ha azAB és aBA közül valamelyik létezik, akkor még nem biztos, hogy a másik is létezik. Ha Aés B azonos típusú kvadratikus mátrixok, akkor AB és BAegyaránt léteznek, de még ekkor sem mindig egyenlőek. Például: legyenek
A:=
0 1 2 3
, B :=
1 0 2 3
,
ekkor
AB=
2 3 8 9
, BA:=
0 1 6 11
, így AB 6=BA.
A szorzás tulajdonságai
1 Nem kommutatív, ami úgy értendő, hogy ha azAB és aBA közül valamelyik létezik, akkor még nem biztos, hogy a másik is létezik. Ha Aés B azonos típusú kvadratikus mátrixok, akkor AB ésBA egyaránt léteznek, de még ekkor sem mindig egyenlőek.
Például: legyenek
A:=
0 1 2 3
, B :=
1 0 2 3
,
ekkor
AB=
2 3 8 9
, BA:=
0 1 6 11
, így AB 6=BA.
A szorzás tulajdonságai
1 Nem kommutatív, ami úgy értendő, hogy ha azAB és aBA közül valamelyik létezik, akkor még nem biztos, hogy a másik is létezik. Ha Aés B azonos típusú kvadratikus mátrixok, akkor AB ésBA egyaránt léteznek, de még ekkor sem mindig egyenlőek. Például: legyenek
A:=
0 1 2 3
, B :=
1 0 2 3
,
ekkor
AB=
2 3 8 9
, BA:=
0 1 6 11
, így AB 6=BA.
2. Asszociatív, azazA(BC) = (AB)C, ami úgy értendő, hogyha az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
3. A szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz A(B+C) =AB+AC (bal disztributivitás) és
(B+C)A=BA+CA(jobb disztributivitás), ami úgy értendő, ha az egyik oldal létezik akkor a másik is ée a két oldal egyenlő. 4. (AB)T =BT ·AT, ami megint csak úgy értendő, hogyha az
egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
2. Asszociatív, azazA(BC) = (AB)C, ami úgy értendő, hogyha az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
3. A szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz A(B+C) =AB+AC (bal disztributivitás) és
(B+C)A=BA+CA(jobb disztributivitás), ami úgy értendő, ha az egyik oldal létezik akkor a másik is ée a két oldal egyenlő.
4. (AB)T =BT ·AT, ami megint csak úgy értendő, hogyha az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
2. Asszociatív, azazA(BC) = (AB)C, ami úgy értendő, hogyha az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
3. A szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz A(B+C) =AB+AC (bal disztributivitás) és
(B+C)A=BA+CA(jobb disztributivitás), ami úgy értendő, ha az egyik oldal létezik akkor a másik is ée a két oldal egyenlő.
4. (AB)T =BT ·AT, ami megint csak úgy értendő, hogyha az egyik oldal létezik, akkor a másik is és a két oldal egyenlő.
A szorzás kivitelezése Falk séma segítségével
A=
1 2 5 3 1 4
B =
1 0 3 2
3 1 4 0
1 0 3 2
3 1 4 0
1 2 7 2 11 2
5 3 14 3 27 10
1 4 13 4 19 2
Mátrix szorzása sorvektorral balról
Ha egy mátrixot szorzunk egy sorvektorral balról, akkor a szorzás a mátrixra nézvesorhatású. Ezt most jobban részletezzük.
a. általános eset,
b. koordináta egységvektorral szorzunk, c. összegzővektorral szorzunk.
Ha egy mátrixot szorzunk egy sorvektorral balról, akkor a szorzás a mátrixra nézvesorhatású. Ezt most jobban részletezzük.
a. általános eset,
b. koordináta egységvektorral szorzunk, c. összegzővektorral szorzunk.
Ha egy mátrixot szorzunk egy sorvektorral balról, akkor a szorzás a mátrixra nézvesorhatású. Ezt most jobban részletezzük.
a. általános eset,
b. koordináta egységvektorral szorzunk,
c. összegzővektorral szorzunk.
Ha egy mátrixot szorzunk egy sorvektorral balról, akkor a szorzás a mátrixra nézvesorhatású. Ezt most jobban részletezzük.
a. általános eset,
b. koordináta egységvektorral szorzunk, c. összegzővektorral szorzunk.
Mátrix szorzása sorvektorokkal balról
a Általános eset:
1, 3, 4, 2
·
1 4 0 0 2 1 2 0 3 5 3 1
=
19, 16, 17
1 1 4 0
3 0 2 1
4 2 0 3
2 5 3 1
19 16 17
A szorzat a sorvektorok lineáris kombinációja, ahol a lineáris kombinációban szereplő együtthatók a szorzat első tényezőjének a komponensei:
1·[1,4,0]+3·[0,2,1]+4·[2,0,3]+2·[5,3,1] = [19,16,17].
Mátrix szorzása sorvektorokkal balról
a Általános eset:
1, 3, 4, 2
·
1 4 0 0 2 1 2 0 3 5 3 1
=
19, 16, 17
1 1 4 0
3 0 2 1
4 2 0 3
2 5 3 1
19 16 17
A szorzat a sorvektorok lineáris kombinációja, ahol a lineáris kombinációban szereplő együtthatók a szorzat első tényezőjének a komponensei:
1·[1,4,0]+3·[0,2,1]+4·[2,0,3]+2·[5,3,1] = [19,16,17].
Mátrix szorzása sorvektorokkal balról
a Általános eset:
1, 3, 4, 2
·
1 4 0 0 2 1 2 0 3 5 3 1
=
19, 16, 17
1 1 4 0
3 0 2 1
4 2 0 3
2 5 3 1
19 16 17
A szorzat a sorvektorok lineáris kombinációja, ahol a lineáris kombinációban szereplő együtthatók a szorzat első tényezőjének a komponensei:
1·[1,4,0]+3·[0,2,1]+4·[2,0,3]+2·[5,3,1] = [19,16,17].
Mátrix szorzása sorvektorokkal balról
a Általános eset:
1, 3, 4, 2
·
1 4 0 0 2 1 2 0 3 5 3 1
=
19, 16, 17
1 1 4 0
3 0 2 1
4 2 0 3
2 5 3 1
19 16 17
A szorzat a sorvektorok lineáris kombinációja, ahol a lineáris kombinációban szereplő együtthatók a szorzat első tényezőjének a komponensei:
1·[1,4,0]+3·[0,2,1]+4·[2,0,3]+2·[5,3,1] = [19,16,17].
