Egy speciális mátrix és néhány tulajdonsága

EGY SPECIÁLIS MÁTRIX ÉS NÉHÁNY TULAJDONSÁGA

DR. TÓTH JÓZSEF

Egy korábbi dolgozatban foglalkoztam egy speciális elrendezésű modellel.1 amely a mezőgazdaságban igen hatékonyan alkalmazható a vállalatok komplex tervezése és elemzése során. E modell jelentősége a jövőben valószinűleg—növe- kedni fog. amit a számítógépek kapacitásának bővülése s egyidejűleg terjedelmük és áruk csökkenése. hatékonyan alkalmazható adatbázis—kezelő, adattervező és modellszerkesztő rendszerek2 létrejötte nagymértékben elősegit. Egyre közelebb kerül tehát a nemrég még álomnak tűnő modellezési elképzelések gyakorlati al- kalmazása, amikor a mezőgazdasági vállalatoknál a termelési szerkezet. a terme—

lési technológiák. a fajlagos hozamok és a termelési források egyidejű, egymás—

sal kölcsönhatásban történő optimalizálása végezhető el, s talán még az is be—

következhet. hogy ennek során több évet átfogó. nem lineáris. vegyes egészértékű modellrendszerek szimultán megoldására is lehetőségünk lesz. Nem kizárt az sem.

hogy hasonló modellek a népgazdaság más ágazataiban is alkalmazhatók.

A modellszerkesztés és modellezés jelenleg használatos módszerei e modellek

nagy mérete és számításigényessége miatt nem teszik lehetővé ilyen komplex mo—

dellrendszerek széles körű gyakorlati alkalmazását. Éppen ezért célszerű" megra- gadni a modell speciális elrendezésében rejlő lehetőségeket, amelyek a számitás- igényesség csökkenését. a modell széles körű alkalmazását segitik elő.

Ennek során jutottunk el egy speciális mátrixhoz, amely néhány érdekes és valószínűleg nemcsak tudományos. hanem gyakorlati alkalmazási szempontból is hasznosítható tulajdonsággal rendelkezik. E mátrixból kiindulva jutottunk el egy speciális. széleskörűen alkalmazható modellhez.

Legyen T egy speciális kvadratikus, reguláris és nem szinguláris szalagmát—

rix3 a következők szerint:

1—1 0 o o o

0 1—1 0 0 o

o 0 1—1 0 0

T: N

0 o o o . . . 1—1 0 o o o . . . 0 1

* Dr. Tóth lózsef: Egy speciális elrendezésű modell költségmegtakarító megoldása. Statisztikai SzemA le. 1978. évi 10. sz. 997—1003. ola.

? Dr. Tóth József: Mezőgazdasági vállalatok automatizált tervezése. Mezőgazdasági Kiadó. Budd—

pest. 1981. 117 old.

3 Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. Műszaki Könyvkiadó. Budapest. 1976. M old.

DR. TÓTH: EGYÉTSKPECIALIS MATRlX 161

Könnyű belátni, hogy T előállítható a(

Tzsűo, o'p ——Er , ; ' [2]

(min) (m-n) (m-1) (1-n—1) (m—1-n—1)

formában is, így például, ha m : n : 4. akkor

0 0 -1 0 1—1 0 1

ooo- ooo—— oo-no' o-noo Aooo oooo —— 0 0

l ul

l 0 0]

a T mótrix inverze 'egy olyan felső triangulóris mátrix. amelynek zérustól különböző elemei egységek. Példánknól maradva. tehát:

OOO—i

—-1 1 0 O

1 1 1 1

1-4: 0 1 1 1 .,!4/

_, O 0 1 1

O 0 0 1

Jelöljük ezt a felső triangulóris mátrixot, melynek a fődiogonólis és e feletti elemei 69Ységek Gw szimbólummal. Eszerint T"1 :?

Képezzük a T mátrix transzponóltját. Feladatunkban ez a következő:

'r*———

o o 1 o

_1 1 15!

o _1

6000

1 -—1 0 0

Ennek inverzeYU-nek a transzponóltjo, azaz '. illetve B.Ennek alapján a T. illetve T' mátrixok invertólósóvol elő tudjuk állitani (] es L vagy másként W mótrixokat.

Felmerül a kérdés. hogyan tudnánk V és A, másként Vá mátrixo- kat előállítani.

A Vmótrix lényegében a % tükörképe. és előállítható a T mátrix tü- körképének invertólósóvol:

—1

0 0—1 1 1 1 1 1

0—1 1 o 1 1 1 o

—1 1 o o "* 1 1 o o /6/

1 o o o 1 o o 0

Ezen mátrix jellemző tulajdonsága, hogy transzponóltja egyenlő önmagával.

például:

4 Statisztikai Szemle

162 DR. Ton-1 JÓZSEF

Eszerint V transzponóltjaként nem óMítható elő a A móttix. de a bili-'!—

körképeként előállítható. vagy másként:

—1

0001 0001

0014 0011

01—10 a30111 l7í

1—100 1111

A további tárgyalás egyszerűsítése céljából különböztessük megT mét-rin—

négyféle lehetséges változatát T1.T2,T3.T4 szimbólumokkal, melyeket -— példán—

ka't felhasználva - a következőképpen értelmezünk:

1—1 0 o 0 1—1 0

T :

' o 0 1-1 fel

0 o 0 1 1 o o o

—1 1 0 0

T ::

2 0—1 1 0 M

0 0—1 1 0 0—1 1 0—1 1 0

T : A

3 —1 1 o. 0 Mi

1 o o o o o o 1 o o 1-.1

T :

4 0 1—1 o l"!

1—-1 o o

Különböztessük meg a fentebb már tárgyalt triangulóris mátrixokot (három- szögmótríxokat) a következőképpen:

1111 0111

Ha

' 0011 "2,

0001 1000 1100

Hz:

21110 "3;

1111

EGY SPECIÁLIS MATRlX

163

1111

Ha 1110 14

31100 ll

1000 0001

Ha

⁴

0011

^0111, _//

15

1111

A fenti mátrixok között az alábbi kapcsolatokat találjuk: T1 és Tz, illetve H1

és Hz egymós tronszponóltjai;

T1 : T;

T2 : T;

* /16/

H, a H2

T1 és Hi. illetve Tzés Hz egymás inverzei:

T1 :: H?!

H' : Tf /17/

Hz : TEJ

Ta. illetve Hau T1-nek. illetve :: H1-nek vízszintes tengelyre vagy T4-nek, illet-

ve H4-nek a függőleges tengelyre való tükröződése. T4, illetve H4 a Tz-nek.

illetve a Hz-nek vízszintes tengelyre vagy T3—nok, illetve Ha-nak a függőleges ten- gelyre való tükröződése. Te és Ha, illetve T4 és H4 egymás inverzei:

T3 : Ha—1 Ha : Ta—1

T4 : H;1 /18/

H4 : T;1 További tulajdonságok: egy tetszőleges _

($):[a1,02,...,a,,]

[19/

mátrixot H1 mótrixszcl szorozva

AH1:[a1, arroz, d1—l-02—t-a3, . . ., a1 laz—l— . . . lan] /20/

megoldáshoz jutunk. azaz az eredménymótrix i-edik oszlopvektora az A mátrix oszlopvektorainak kumulólósót eredményezi ] oszlopvektoróval bezárólag.

4:

,, 164 r * 'en. Tom-riozsgi:

Könnyű belátni, hogy :: AT1 oiycn mátrixot állít elő, melynek i—edik oszlop-

vektorót a,— — a;__1 művelet eredményeként kapjuk:

AT1 : [uveg—auaS—a,"man—ah!] /21/

Ugyanakkor:

AH2:[a1-i-az-i-...-i—a".a7_i—...ia,,,....an] [22/

AT; :[01—02' 02—03" - "án—1 —a,,]

AH; : [au—024w inhuman—k %d,,_1,...,a1] ]231'

A'ra:[an_,éa,;.a;,i;...a11 ! A , " _,-/24/

mi : WWW",,,MMMHH Mia—zi ian] /25/

AT4: [a",an—1—an,....a1—02] [26/

Ragodjuk ki most — (: terjedelmesség elkerülése érdekében —— aT1 és H, mát- rixokot.

Az eddigiekben feltételeztük. hogy

:" ——t,2 o . . . o ' o

0 tn —t23 . . . O 0

71: . /27l

0 0 0 . - .—tm_1n_1 tm"

0 0 0 . . . 0 tm"

ha ha —h13 -' - - hin—1 hin 0 "22 "23 - - - hln—i h2n

H1.—_— : ' l28/

0 0 0 . . . hm_1n_1 hm—h'!

0 0 0 . . . 0 hm"

A mátrixok zérustól különböző eiemei egységek. Legyen )) egy tetszőleges szóm.

Ebben az esetben:

ny':———H. /29/

2"

így például ha

2—2 0 0

0 2—2 0

71-1— 0 0 2_2 l30/

0 0, 0,2

EGY—SPECIALls.—MATRIX

165

akkor

, 0.5 0.5 0.5 0.5

71-12lH1: 0 0.5 0.5 0.5

7 o 0 0.5 0.5

0 o 0 0.5

l31/

Fentiek értelemszerűen alkalmazhatók Tz, T3, T4-re is másrészt a /16/—-/25/

formulákra. Gondolatmenetünket követve számos összefüggés tárható még fel a

/2/ felhasználásával, illetve továbbfejlesztésével, például:

T: evi-[o, o' ,a — E ]

(mm) V1(m.n) (m-1) (1-n_1) r'2 (m—1,n——1) /32/

esetében, amennyiben y1 ;5 yz. másrészt az [1/ mátrix különböző átalakításával.

Az /1/ mátrix például egy olyan szalagmátrix, amikor csak (: diagonális ele—

mek és a diagonális feletti elemek különböznek zérustól. Erdekes összefüggéseket kapunk. amennyiben az igy képzett szalagmátrixban a ,.szalagot" felfelé vastagít- juk, vagy csak a diagonális és az az alatti elemek különböznek zérustól, illetve ezt lefelé vastagítjuk. vagy mind a felfelé, mind a lefelé történő vastagítást elvé—

gezzük egészen a mátrix teljes megtöltéséig. Közben a szalagok előjelét is válto-

gathatjuk, hézagos szalagrendszert képezhetünk stb. E kérdések részletesebb ki—

bontására és a kimutatható törvényszerűség leírására e helyütt nincs lehetőségünk, ezért, csupán azt jegyezzük meg, (hogy egyrészt mód van annak vizsgálatára, mi történikegy olyan mátrix invertálása esetén. ha csupán a diagonális elemek azo—

nosak (speciális esetben egységek). a mátrix többi elemei tetszőlegesek, másrészt.

hogy bármely tetszőleges (A) mátrix kibővíthető zérus elemekkel úgy, hogy egy

m—n '

egységmátrixhoz adva olyan trianguláris mátrixot hozunk létre, melynek diagoná—

lis elemei egységek. (: diagonális felett pedig az adott (A) mátrixot és zérus

, r ; m'll

elemeket találunk. Legyen például A mátrix és abból B, továbbá B'1 mátrix:

253

Az4'17 [33/

8341 100253 010417

52'0018134 /34I

' 000100

000010 _000001

100—2—5—3 010—4—1—7 _1001—8—3—4

B"000100 [35/

000010 _000001

Mindössze annyi történt. hogy az A mátrix elemei ellenkező előjelet vettek fel.

166

DR. TÓTH JÓZSEF

Az eddigiekből az is kitűnik, hogy a leírtak ismeretében az inverz mátrix sok esetben minden számítás nélkül felírható. és a T. illetve a H fajtájú mátrixokkal végzendő szorzások (lásd: /20/—-/26/) eredménye is egyszerűen nyerhető.

Fenti ismeretek gyakorlati alkalmazására e helyütt a mezőgazdaságban alkal-

mazható már hivatkozott speciális elrendezésű modell megoldását mutatjuk be.

A termelési szerkezet, a termelési technológiák. az átlaghozamok és a terme- lési erőforrások egyidejű, egymással kölcsönhatásban történő optimalizálására alkalmazható lineáris programozási modell megfelelően elrendezve a következő:

ahol:

AB

u; B' B" § O

/36I

, ,, i

.,; D a a ( l b

" " MTI "(TNM——

p 9 c

— a termelési és műveleti változók vektora. mely vektort az x' és az :" vekto- rokra particionáltuk, ahol x" vektorhoz rendeljünk valamennyi művelet esetében a legolcsóbbnál drágább műveleteket és x' vektorhoz a termelési változókat és minden szükséges műveletből a legkedvezőbbnek tűnő műve—

leti változókat rendeljük (a ..legkedvezőbb" jelző ekkor még csupán műve—

leti szintű és a műveleteket összefüggésükbői kiragadó megitélés alapján adható meg. azaz a modellbeli célfüggvény koefficien-sek alapján; ezt a meg—

ítélést a c* költségvektor objektiv költségelosztása módosíthatja);

a termelési tevékenységek és munkaműveletek kapcsolatait előirá mátrix, az előző értelemben A' és A" mátrixokra particionálva;

a termelési tevékenységek és a munkaműveletek fajlagos erőforrásige'nyei-

nek mátrixa (EEG): '

az egyéb feltételekre (takarmányme'rlegek, termelési, anyagi-. pénzügyi és

(

beruházási korlátok stb.) vonatkozó fajlagos tényezők mátrixa (D,Gí0);

a forrásváltozók fajlagos kapacitására vonatkozó mátrix (Fé-o);

az egyéb feltételekre vonatkozó korlátok (1530);

a termelési és műveleti változók vektora;

a forrásvóltozók vektora.

és a D mátrixokat, valamint a p' vektort az x vektomak megfelelően

particionáltuk. mint ahogyan azt A mátrixnál is tettük. Az A' mátrix nagyméretű. és kvázidiagonálisan elhelyezkedő T1 fajtájú mátrixblokkokból épül fel:

131

. /37/

EGY SPECIÁLIS MÁTRIX

167

Válasszuk generáló blokként A' mátrixot. határozzuk meg ennek inverzét:

A'—1 .——(H111.H32...Hgn) : H, [38/

ahol A' inverzét H—val jelöltük. mely olyan mátrixot jelent. amely kvázidíagonáli- san elhelyezkedő felső trianguláris mátrixblokkokból áll, melyek zérustól külön- böző elemei egységek. Az A' inverze tehát minden számolás nélkül egyszerűen felírható. Végrehajtva a bázistranszformációt A' generáló blokkal:

[ uj : x" y

x' H H A' 0 0

u; — B' H 8" — B' H A" F 0 [39/

u; —D'H D"—D'HA" G b

[ ——p"H p"'—p"HA" c' 0

Ismerjük a [38/ alapján. hogy H mátrixot minden számolás nélkül felírhatjuk.

a /20/ és [21/ formulát alkalmazva—B'H. —D'Hés——p"'H csupán elemeik soron—

kénti kumulációját kivánja. azaz az ki;—hoz tartozó mátrixblokkok meghatározása

alig kíván számolási munkát. Ez egyúttal jelentős segitséget nyújt az x"-hoz tar—

tozó mátrixblokkok meghatározásához is. Az y-hoz tartozó mátrixblokkok és a feltételrendszer jobb oldali vektora nem változott. Szerencsés esetben p" -—p" H A',

negatív, és a továbbiakban egyetlen eleme sem vált előjelet. Ez esetben az ' elemeit vonjuk be a bázisba. amíg el nem jutunk az optimális megoldáshoz.

Amennyiben viszont a bázistranszformációk során p"'—p"HA"bármely eleme

előjelet vált. úgy x" megfelelő elemét vonjuk be a bázisba. esetleg x' va—

lamely elemének helyébe.

Az eljárás előnye akkor tűnik ki igazán. ha meggondoljuk, hogy egy ilyen gyakorlati modell viszonylag nagyméretű, esetleg néhány ezer egyenlőtlenségből és néhány ezer változóból álló rendszert jelent. Ezen belül igen jelentős az A' mat- rix mérete. Az ezzel végzendő bázistranformációk megtakaríthatók, s a számító—

gépre írható olyan program, amely a modell beolvasásával egyidejűleg a blokk-

méretek megadása esetén a [39/ formulában u; és y -hoz tartozó mátrixblok—

kokat egyszerűen felírja. s az x"-hoz tartozó mátrixblokkokat is gyorsan elő—

állítja. Ez az eljárás a modell megoldásához szükséges gépidőt 40—50 százalékra csökkentheti. ami nagyméretű modell esetén igen jelentős. Konkrét példa bemuta- tására éppen a modell nagy mérete miatt technikailag nem vállalkozhatunk. de ehelyütt elsőrendű célunk nem is annyira a modellezésben történő alkalmazás be—

mutatása volt (ez csak egy alkalmazási lehetőség), hanem a speciális T mátrix néhány tulajdonságának vizsgálata. illetve kimutatása. A T mátrix alkalmazásá—

nak szélesebb körben is mutatkozik lehetősége: az ökonometriában felhasználható.

amikor az eredeti változók helyett az első differenciákra kívánunk áttérni. A trian—

gularizálás pedig az ágazati kapcsolatok elemzésének egyik speciális módszere.

A T mátrix tulajdonságainak vizsgálata tehát elméleti-módszertani szempontból

lényeges, s valószinűleg számos területen lehetőség van alkalmazására is.

TÁRGYSZÓ : Gazdaság matematikai módszer.

168 DR. rom; §ey-srscmus MA'rnix

PESlOME

B caoeM npenbigymem ouepke, OHYÖHHKOBBHHOM a mypHane ,,Cramcwuecnoe

0603pei-me" (HOMep 10 aa 1978 ron) anrop nperr'Aoncrpi—iposan HMeIOMYIO cneunanbuoe

crpoeuue monenb, Koropyio attowenrusnsm oőpasoM npuMel—mrs Ha censcxoxoanücraeunux npennpuamxx nna Komnnencnoro nna'Hupoaai—mn " auanuaa. '

B naaonmem ouepxe an'rop nonaauaaer, uto marpnua A mernu [36/ neme-rea cneuuansnoü nemounoü marpnuei T /1/, Koropyio momno nonynmn, cornacna /2/ n unnepc Koropoű npencraanaer coőoü BBICUJYIO rpeyronbuyio manuuy, paanuuubie one-;

mez-m:! Koropoü Ha'—mau c Hynn oőpasylor eAuHuuu.

Paznuuaiorcn ue'rblpe Tuna mafpuuu T, nocpeAcrsom oőpamenua Koropux momno oőpaaoaarb ue'rblpe BuAa Tpeyronbubix marpnu. [4/—/15/, Memny KOTOphIMH Moxmo 06—

Hapymurb pan BsanMoaaaucumocreü [16/—/18/, suauue Koropux /l9/-——/26/ a csoro one—

pem, noaaonner Ham nonyun'rb /39/-yio monenb ua /36/—oü.

BaauMoaasucuMocru non l27/—/35/ yxasmaalor HB soaMomnocru pacnocrpeneunn npoónemsi. Bum-ue npuaenennux caoücra nosaonner anMepHo Ha 40—500/0 ymeubum'rs pacuemue sanpocu pBCCMOTPEHHbIX KPYHHHX mogeneü cneunanworo crpoenun.

SUMMARY

ln an earlier study (Statistical Review 1978. No. 10.) the author presented a model of special structure which can efficiently be used for the complex planning and analysis

of agricultu'ral enterprises. '

In this study the author points out that the matrix A of model /36/ is a special 'l' belt matrix /1/ which can be obtained by [2/ and its ínverse is the upper triangular matrix of

elements which are other than zero. * '

Four types of the matrix T can be distinguished and inverting them provides four triangular matrices /4/—/15/. Among these matrices several—connections can be detected;

/16/—/18/, moreo—ver. relying on these connections /19/-—/26/ model [39] can easily be obtained from model /36/.

The relationships /27/—/35/ show possibilities for the generalization of the problem.

The knowledge of the characteristics presented enables us to reduce by 40—50 per cent the computational reauirement of the large size models of special structure.