156 2003-2004/4 3. Fürt-ábra (Ötletháló)
A tanulók az ötletbörze módsze- rével gy'jtik össze ismereteiket egy megadott témával kapcsolatban. A bemutatott példa az el bbi fogalom- térkép ismereteit foglalja össze.
Könyvészet
1] Leisen, J. (Szerk. 1999): Methoden-Handbuch DFU. Varus Verlag, Bonn
2] Kovács Zoltán (2002/2003) Aktív és csoportos oktatási eljárások. Firka (1, 2, 3, 4, 5, 6) 3] Peterßen, W.H. (2001.): Kleines Methoden-Lexikon. Oldenbourg, Schulverlag. München 4] Kovács Zoltán, Rend Erzsébet (2002, kézirat) Aktív oktatási módszerek példatára
Kovács Zoltán
A fényvisszaver dés
és a fénytörés törvénye vektorosan
II. rész
2. A fényvisszaver1dés és fénytörés törvényének vektoros alakjai
A bees , a visszavert, és a megtört sugarakra, a sugarak irányítottságának megfelel - en, helyezzünk egységvektorokat! Ezek sorra e0,e1,e2. Továbbá jelölje
N
, a beesési mer legesen, a második közegt l az els felé mutató egységvektort (lásd a 2. ábrán).2 1
1
0 =e = e = N =
e
2003-2004/4 157 Feltételezzük, hogy a két közeg törésmutatója, valamint az elválasztófelület normá-
lisvektora ismertek, és célul t'zzük ki a fénysugarakhoz rendelt egységvektorok közötti összefüggések – a törvények – felírását!
a) A törvények explicit-vektoros alakja Fejezzük ki az N,e0,e1,e2 egységvekto- rokat a fénysugár beesési pontjába helye- zett derékszög' koordináta-rendszer
k j
i, , egységvektoraival! Ezután számít- suk ki a felírt egységvektorok skalár- összetev it, igazodva a 2. ábra elrendezé- séhez, alkalmazva a fényvisszaver dés és a fénytörés (1) valamint (2) törvényét.
n
2n
1 xy
0
S2
N
e2
e0 0
S0
2
S1
ir rj
e1
k
1
2. ábra
( ) ( )
[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
(
n n)( )
i(
n n) ( )
jk j i
k e j e i e e
j i
k j i
k e j e i e e
k j i
k e j e i e e
j k j i N
z y x
z y x
z y x
r r
r r r
r r
r r r
r r r
r r
r r r r
r r
=
= +
= + +
=
+
= + +
= + +
=
+
= + +
=
= + +
=
2 0 2 2 1 0
2 1
2 2
2 2 2 2
0 0
1 1
1 1 1 1
0 0
0 0 0 0
1
0 0 0 0
1 0
sin sin
cos sin
cos sin
cos sin
cos sin
Mivel rj=Nr, és a bees sugár – normálishoz viszonyított – irányát meghatározó cos 0 kifejezhet a nekik megfelel egységvekorok skaláris szorzatával,
( )
e !Nr= 0
cos 0 ,
írhatjuk, hogy:
(3) (4)
( ) ( ) ( ) ( )
(n n)
( )
e N i (n n)( )
e N Ne
N N e i N e e
N N e i N e e
r r r
r r r r r
r r r r
"
#$
!
= !
!
= !
+ !
= ! !
2 0 2 2 1 2
0 2 1 2
0 2 0 1
0 2 0 0
1 1
1 1 1
(5) Azonnal látható, hogy a bees , a normális, valamint a továbbhaladó fénysugarak egységvektorai közötti összefüggéseket az
i r
kiejtésével kapjuk meg.
K A fényvisszaver dés törvénye:
Az
i r
kiejthet ha a (4) egyenletb l kivonjuk a (3) egyenletet:
( )
e N Ne
e r r
= 0!
0
1 2
( )
e N Ne
e1= 0 2 0! r r (6)
K A fénytörés törvénye:
Az
i r
kiküszöbölhet még, ha a (5) egyenletb l a (3) egyenlet n1 n2 -szeresét kivonjuk:
158 2003-2004/4
(
n n)
e(
n n) ( )e N N (
n n ) ( )e N N
e r r r r
" !
#$
= ! 1 2 0
2 0 2 2 1 0
2 1
2 1 1
(
n n) (
e n n) (
n n) ( ) ( )
e N e N Ne r r r
+ ! + !
= 0
2 0 2
1 2 2 1 0 2 1
2 1 (7)
Megjegyzés:
Mind a két vektoregyenlet, a keresett egységvektorokat, explicit alakban adja meg.
Mindkett jükben csak a skaláris szorzat vektorm'velet használatos.
b) A törvények implicit-vektoros alakja
Mi sem természetesebb annál, hogy egy vektoregyenlet felírásánál használjuk a vekto- ri szorzás m'veletét is! Ezért keressünk ilyen összefüggéseket az e e e Nr
, , , 1 2
0 egységvek-
torok között!
K A fényvisszaver dés törvénye:
Azonnal látható, hogy az
e
1 kielégíti az( ) ( )
e1×Nr = e0×Nrvektoregyenletet. Mind a két oldal szorzatvektora
k r
irányú, és nagyságuk egyenl (2.
ábra):
( )
(
180)
sin .sin 1 1 e
, sin sin
1 1
0 0 0 0
0 1 1
&
&
&
&
=
!
= !
×
=
!
= !
× N N e
r
r és
Vektoregyenletünknek, az e1vektoron kívül, nyilvánvalóan megoldása még az e0 is!
Továbbá még észrevesszük azt is, hogy az
( ) ( )
e1!Nr = e0!Nregyenletet az
e
1 kielégíti, viszont aze
0 nem! Tényleg:( )
( )( )
ee10!!NNr ==11!!11!!coscos(
18010=cos0)
=0 cosés0r
Mivel mindkét egyenletnek az
e
1 megoldása a fényvisszaver dés törvénye vektoro- san egy egyenletrendszerrel is megadható:( ) ( ) ( ) ( )
e N e Nr
r = ×
× 0
1 (8a)
( ) ( )
e1!Nr = e0!Nr (8b)K A fénytörés törvénye:
Járjunk el az el z esethez hasonlóan, és vizsgáljuk meg az
( )
e2×Nr , valamint az(
e0×Nr)
szorzatvektorokat! Mindkett iránya ak r
irányával azonos, moduluszuk:
( )
(
0 0)
00
2 2 0 2
180 1 1
180 1 1 N e
N e
sin sin
sin sin
=
!
= !
×
=
!
= !
×
A fénytörés törvénye a (2) szerint pedig:
0 1 2
2 n
n sin = sin ,
2003-2004/4 159 amely alapján rögtön felírhatjuk, hogy:
( ) ( )
e N n e N .n r r
×
=
× 1 0
2 2
Tehát a megtört fénysugár egységvektora kielégíti ezt a vektoregyenletet. Azonban ezt az egyenletet még az
e
2-nek az Ox tengelyre vonatkoztatott szimmetrikus vektora is kielégíti! Ezt a megoldást kizárhatjuk, ha megadjuk az( )
e2!Nr kifejezését( )
e0!Nr segít-ségével:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ]
=( ) ( )
!=
=
=
=
=
!
= !
!
2 0 2 2 1 2
0 2
2 1
2 0 2 2 1 2
2 2
2 0 2
1 1
1 1
1 1
180 1 1
N e n n n
n
n n N
e
r r
cos
sin sin
cos cos
amely még az n2
( )
e2!N = n1(
n2 n1)
2 1+( )
e0!N 2 alakra hozható.Tehát a fénytörés törvényét vektorosan, szintén egy egyenletrendszer adja meg:
( ) ( )
e N n e Nn r r
×
=
× 1 0
2
2 (9a)
( )
2 1(
2 1)
2( )
0 22e N n n n 1 e N
n ! r = + ! r (9b)
Megjegyzés:
Mind a két törvény vektoregyenlet-rendszere a keresett e1 és e2 egységvektorokat implicit alakban tartalmazza!
Bíró Tibor
f irk csk á a
Alfa-fizikusok versenye
2001-2002 VII. osztály – III. forduló
1. Gondolkozz és válaszolj! (8 pont)
a). Miért nem találja el a fegyvergolyó azt az embert, aki hallja a repül lövedék hangját?
b). Miért úgy vágunk kenyeret vagy húst, hogy a kést el re-hátra mozgatjuk? Miért úgy vágunk sajtot, hogy a kést egyszer'en rányomjuk, s nem mozgatjuk el re- hátra?
c). Miért káros a természetben a vizek olajszennyezése?
d). Miért kötelezik a bukósisak viselésére a motorkerékpáron utazókat?
2. Kísérlet: (3 pont)
Eszközök: 2 különböz anyagú merev fémhuzal, üveglap, 2 varrót', 2 szívószál, 2 állvány, gyufa, bor- szeszég .
