Az optimum-számítás egy új

M A G Y A R T U D O M Á N Y O S A K A D É M I A

S Z Á M Í T Á S T E C H N I K A I ÉS A U T O M A T I Z Á L Á S I K U T A T Ó I NT É Z E T E

Az o p tim u m -szám ítás eg y új

Irta :

M A T O L C S I T A M A S

L e k to r á lta : d r. K O S A A N D R A S

TANULMÁNYOK 11/1973

736357 MTA KÉSZ Sokszorosító. F. v.: Szabó Gyula

- 3 -

BEVEZETÉS

A s z é l s ő é r t é k - p r o b l é m á k i g e n k o r á n m e g j e l e n t e k a m a t e m a t i k a i k u t a t á s o k b a n . Az i d ő k f o ly a m á n m e g l e h e t ő s e n v á l t o z a t o s f e l a ­ d a t o k b u k k a n ta k e l ő ; e z e k n e k e g y - e g y c s o p o r t j á t a m a t e m a t ik a f e j l ő d é s e s o r á n s i k e r ü l t k ö z ö s e l v a l a p j á n t á r g y a l n i . í g y s z ü l e t e t t meg, m in t a m a te m a tik a t ö b b é - k e v é s b é ö n á l l ó á g a , a z e g y v á l t o z ó s f ü g g v é n y e k s z é l s ő é r t é k - f e l a d a t a i u t á n a v a r i á c i ó - s z á m i t á s , a nem l i n e á r i s p r o g r a m o z á s é s a z o p t i m á l i s i r á n y í ­ t á s . Csak a z u t ó b b i é v ek b e n s i k e r ü l t , a f u n k c i o n á l a n a l í z i s e s z k ö z e i n e k f e l h a s z n á l á s á v a l , e g y s é g e s e n t á r g y a l n i e z e k e t a k ü l ö n á l l ó t e r ü l e t e k e t . E n a g y s z i n t é z i s a l a p j a A . J . D u b o v i c k i j é s A . A . M i l j u t y i n t é t e l e [ l ] f u n k c i o n á l o k extrém um ának s z ü k s é ­ g e s f e l t é t e l é r ő l .

S z e m in á r iu m i ö s s z e f o g l a l ó n k b a n b e b i z o n y í t j u k a D u b o v i c k i j - M i l j u t y i n - f é l e t é t e l t , majd e g y - e g y f e l a d a t o n k e r e s z t ü l bemu­

t a t j u k , h o g y a n a l k a l m a z h a t ó e z a t é t e l a k ü l ö n f é l e k l a s s z i k u s p r o b lé m á r a . M indehhez e g y k i v é t e l l e l c s a k e g y s z e r ű e s z k ö z ö k r e l e s z s z ü k s é g ü n k , a m e ly e k s z i n t e m inden b e v e z e t ő j e l l e g ű f u n k ­ c i o n á l a n a l í z i s k ö n y v é b e n m e g t a l á l h a t ó k .

A d o l g o z a t a V a l Ó B z i n ü s é g s z á m i t á s i é s M a t e m a t ik a i S t a t i s z t i k a O s z t á l y o n , a 3» 1 1 « 7 * " I r á n y i t á s e l m é l e t " c . i n t é z e t i a l a p k u t a ­ t á s i tém áb an k é s z ü l t .

C

- 4 -

J e l ö l é s e k

3

V

о

V ф R, IR çf

H, H, <H>

H j \H 2

d f

F :X—>Y F G X ^ Y

< £ /X ,Y /

X»

< ,>

с / п / С т ) i Æ / C T )

l é t e z i k

d e f i n i á l ó e g y e n l ő s é g ú g y , h o g y

/ e b b ő l / k ö v e t k e z i k m in d e n

m é r t é k t é r e n "majdnem minden"

a k o m p le x számok t e s t j e

a z n d i m e n z ió s e u k l i d e s z i t é r (Rl

a z ü r e s halm az

a H halm az b e l s e j e , l e z á r t j a é s k o n v ex burka a Hj é s a h a lm a z " h a l m a z e l m é l e t i " k ü l ö n b s é g e a z F l e k é p e z é s é r t e l m e z é s i t a r to m á n y a

F l e k é p e z é s az X h a l m a z r ó l a z Y halm a zb a F: X o ü p - ^ Y

a z X t o p o l ó g i k u s v e k t o r t é r r ő l a z Y t o p o l ó g i - ku s v e k t o r t é r b e h a t ó f o l y t o n o s l i n e á r i s l e k é p e ­ z é s e k h a lm a za

o C /X ,C /, az X d u á l i s a

l e k é p e z é s a d u á l i s e l e m e i á l t a l ; a z a z , ha x £ X é s f £ X ’ , akkor < f , x > = f / х / . Ha h a n g s ú l y o z n i a k a r j u k , m ely t é r r ő l v a n s z ó , i n d e x s z e l j e l ö l j ü k ,

T = T c R , X f o l y t o n o s )

T e R, IIu /t/|| R á c u V t € T ) ш

P1: < , > o Rn {X í T->IRn , ( u : T->IRm,

- 5 -

F e l h í v j u k a f i g y e l m e t még e g y j e l ö l é s r e : x /* / é s u / * / j e ­ l ö l i а С^п ^ ( т ) t i l l e t v e a z l / < S / (t) e l e m e i t , ha h a n g s ú l y o z n i a k a r j u k , h o g y f ü g g v é n y e k r ő l v a n s z ó , vag y meg a k a r j u k ő k e t k ü l ö n b ö z t e t n i Rn , i l l e t v e e l e m e i t ő l ; х / t / é s u / t / a z a d o t t f ü g g v é n y n e k a t £ T p o n tb a n f e l v e t t é r t é k e . V i s z o n t a v a r i á c i ó s z á m i t á s n á l a s e g é d v á l t o z ó у e s e t é b e n у / t / magát a f ü g g v é n y t j e l ö l i .

- 6 -

I . A D u b o v ic k ij - M i l j u t y i n - f é l e t é t e l

Legyen X l o k á l i s a n k o n v e x t o p o l ó g i k u s v e k t o r t é r é s F € X-^

—>ÍR f u n k c i o n á l ; l e g y e n a d o t t t o v á b b á e g y Qc.Dp halm az é s k e ­ r e s s ü k a f u n k c i o n á l minimumát / m i n i m u m a i t / e z e n a h a lm a z o n .

T együk f e l , h o g y x Q£ Q m in im u m -h e ly , a z a z l é t e z i k x Q- n a k e g y U k ö r n y e z e t e ú g y , h o g y

F /x q/ ^ F /x/ (x £ U H q) .

K é r d é s , m i ly e n f e l t é t e l e k n e k k e l l t e l j e s ü l n i e eh h ez?

N y i l v á n v a l ó a n m e g k ö v e t e lü n k a f u n k c i o n á l t ó l é s a k o r l á ­ t o z ó h a l m a z t ó l b i z o n y o s j ó t u l a j d o n s á g o k a t , h ogy m e l y e k e t , a z t a z a l á b b i v i z s g á l ó d á s o k a l a p j á n n y e r t m e g h a t á r o z á s o k b ó l f o g j u k l á t n i .

1 . -i D e f i n i c i ó ; h o £ X (h0 ^ o ) a z F f u n k c i o n á l c s ö k k e n é s i i r á ­ n y a a z x Q£ Dp p o n t b a n , ha 3 hQ- n a k U k ö r n y e z e t e , to v á b b á cC= c ó / F , x 0 , h o / < 0 é s £0 =6o / F , x o , h o / > 0 szám s-* V 0 < £ < £ . 0 é s

h & U e s e t é n

F /x q + £ h / é F / x Q/ í d .

1 , 2 Á l l i t á s ; az F f u n k c i o n á l e g y a d o t t p o n t b e l i c s ö k k e n é s i i r á n y a i n u l l a - c s u c s u n y i l t k ú p o t a l k o t n a k / c s ö k k e n é s i k ú p / .

^ T e r m é s z e t e s e n e l ő f o r d u l h a t , hogy e z a "kúp” az ü r e s h a l m a z .

- 7 -

B i z o n y í t á s : a z 1 . 1 d e f i n í c i ó j e l ö l é s e i t a l k a l m a z v a :

a / A hQ i s c s ö k k e n é s i i r á n y , h a ^ > 0 , m ert Л и, "Xoi é s £Q/Ä m eny- n y i s é g e k k e l k i e l é g í t i a d e f i n í c i ó k ö v e t e l m é n y e i t ; k ö v e t k e z é s ­ képp a s z ó b a n f o r g ó h a lm a z n u l l a - c s u c s u k ú p .

Ъ/ V h £ U c s ö k k e n é s i i r á n y , m er t U, ob , C Q m e n n y i s é g e k k e l ma­

ga i s e l e g e t t e s z a d e f i n í c i ó f e l t é t e l e i n e k ; t e h á t a h a lm a z n y i l t .

B i z o n y o s é r t e l e m b e n h a s o n l ó f o g a lm a k a t c é l s z e r ű b e v e ­ z e t n i a Q " k o r l á t o z ó " h a l m a z z a l k a p c s o l a t b c m i s .

1.3 D e f i n í c i ó : hc £ X ( h o ^ o) a z x Q£ Q p o n t b a n l e h e t s é g e s i r á n y a Q h a lm a z r a v o n a t k o z ó a n , ha 3 h Q-n a k U k ö r n y e z e t e é s £ 0- £ 0 /Q, x Q, h o / > 0 szám ^ V h ^ U é s 0 < £ ^ É Q e s e t é n

x Q + £ h 6 Q.

1 . 4 Á l l í t á s ; a Q h a lm a z r a v o n a t k o z ó a n e g y a d o t t p o n t b e l i l e ­ h e t s é g e s i r á n y o k n u l l a - c s u c s u n y i l t k ú p o t a l k o t n a k / l e h e t s é ­ g e s i r á n y o k k ú p j a / .

B i z o n y í t á s : t e l j e s e n h a s o n l ó a n , m in t 1 . 2 - n é l .

o

N y i l v á n v a l ó a n , ha Q = 0 , a l e h e t s é g e s i r á n y o k k ú p ja

ü r e s . A k ö v e t k e z ő f o g a lm a k már t a r t a l m a s a k e r r e a z e s e t r e i s . 1 . 5 D e f i n í c i ó : hQe X az x Q6 Q p o n tb a n a Q h a lm a z é r i n t ő j e , ha

3 £o> 0 V 0 < £ 41 £0 e s e t é n 3 x/ e/g Q. ^ x / £ / = X0 + £ h 0 * г / £ / ;

- 8 -

a h o l r / £ / £ X o l y a n , h o g y a z o r i g ó n a k V U k ö r n y e z e t é h e z

3 £ц > 0 —я t ( i ) / í É U ) ha 0 < £ < £ ц .

1 . 6 Á l l i t á s : a Q h a lm a z e g y - a d o t t - p o n t b e l i é r i n t ő i n u l l a - c s u - c s u k ú p o t a l k o t n a k / é r i n t é s i k ú p / .

Me£Ó£gKzá s i a / a z é r i n t é s i kúp már nem f e l t é t l e n ü l n y i l t ; Ъ/ m in d e n l e h e t s é g e s i r á n y e g y b e n é r i n t ő i s , de

a f o r d i t o t t á l l i t á s nem i g a z .

A c s ö k k e n é s i i r á n y o k é s a l e h e t s é g e s i r á n y o k i g e n sz e m ­ l é l e t e s e n , t e r m é s z e t e s módon k a p c s o l ó d n a k a f u n k c i o n á l m i n i ­ mumának k e r e s é s é h e z ; a z i s l á t s z i k , h o g y a minimum l é t e z é s é ­ n e k s z ü k s é g e s f e l t é t e l e a z , h o g y a c s ö k k e n é s i kúp é s a l e h e t ­ s é g e s ir á n y o k k ú p j a d i s z j u n k t l e g y e n , s e z s z e m l é l t e t i , m i é r t f o g l a l k o z i k majd a z 1 . 1 0 lemma kúpos k ö z ö s r é s z é v e l .

M int l á t t u k , m ind a három e s e t b e n a m i n k e t é r d e k l ő i r á ­ n y o k k ú p o t a l k o t n a k . A t o v á b b i a k b a n l é n y e g e s s z e r e p e t j á t s z a ­ n ak a kúpok é s a z ú g y n e v e z e t t a d j u n g á l t k ú p o k , e z é r t e z e k e l ­ m é l e t é b ő l az i d e v á g ó r é s z t a F ü g g e lé k b e n k ö z ö l j ü k .

M i e l ő t t to v á b b m en n é n k , m e g e m l í t j ü k m ég, ho g y a g y a k o r l a ­ t i a l k a l m a z á s o k b a n á l t a l á b a n t ö b b m e l l é k f e l t é t e l a d j a a meg­

s z o r í t á s t , a z a z

n

Q = П Q, , i = l

- 9 -

é s a z e g y e s Q^-k k ö z ü l n é m e ly e k n e k v a n b e l s ő p o n t j a , ném e­

l y e k n e k n i n c s ; h a = 0 , e g y e n l ő s é g t i p u s u m e l l é k f e l t é t e l ­ r ő l s z o k á s b e s z é l n i , u g y a n i s i l y e n k o r á l t a l á b a n v a l a m e l y G^

f u n k c i o n á l a d j a meg a h a lm a z t Qi = { x ; G^/ х / = 0 } a l a k b a n ; u g y a n i g y , ha / 0 , ak k o r a m e l l é k f e l t é t e l e g y e n l ő t l e n s é g t i p u s u .

I s m e r e t e s e k a k o n v e x h a lm a zo k " jó " t u l a j d o n s á g a i ; e z é r t a t o v á b b ia k b a n m i n d ig m e g k ö v e t e l j ü k , ho g y a z e l ő z ő e k b e n d e f i ­ n i á l t kúpok k o n v e x e k l e g y e n e k ; e z a k i k ö t é s azon b an még m in ­ d i g g y e n g é b b , m in t a k l a s s z i k u s e l m é l e t e k b e n a s z o k á s o s d i f ­ f e r e n c i á l h a t ó s á g i f e l t é t e l e k .

És m ost k ö v e t k e z i k a D u b o v i c k i j - M i i j u t y i n - f é l e t é t e l ­ h e z e g y e n e s u t a t m u ta tó

1 . 7 Lemma; l e g y e n e k K ^ c X ( i = l , 2 , . . . , n + l) n u l l a - c s u c s u

О

k o n v e x кирок, K. 0 0 ( j = 1 , • • • , n ) ; i l y e n f e l t é t e l e k m e l l e t t

J

о

о

n+1 i = 1

D K± = 0

/ “1 Ä

a k k o r é s c s a k a k k o r , ha J f ^ £ nem m ind

n u l l a , m e ly e k r e

n+ 1

/ К * с Х ’ a m e g f e l e l ő a d j u n g á l t k ú p o k , i , . . • , n+ 1/

- 10 -

Bizonyítás ; £züksé£ességj_

n К : = O K,

j = 1 J

a / ha К Ф 0 , l é v é n n y i l t é s k o n v e x , d i s z j u n k t Кд - t ő i , a Hahn - Banach t é t e l s z e r i n t 3 ОФ f £X*

<f , x > é o C x é K é s x € K n + ^

Könnyen b e l á t h a t ó , h o g y oL = 0 v e h e t ő ; s z e m l é l e t e s e n : ha e g y kúp e g y h i p e r s i k e g y i k o l d a l á n v a n , a k k o r u g y a n c s a k e g y i k o l d a l á r a e s i k a c s ú c s á n á tm e n ő , a z a d o t t h i p e r s i k k a l párhuzam os h i p e r s i k n a k i s . T e h á t f £ K * é s i g y P . l l s z e r i n t

n

f = C t y a h o l f ^ G K " , j = 1 , . . . , n . J “* 1

« n + 1

E z u t á n f n+1 : = - f , n y i l v á n f n + 1 £ K * é s YZ f ± = °*

i = 1 m

b / h a К = 0 , a k k o r 3 1 = m ^ n ^ Ф 0 . i = 1

A lk a lm a z z u k a z e l ő z ő g o n d o l a t m e n e t e t n h e l y e t t m - r e , n y erü n k i = 1 , . . ,m +l f u n k c i o n á l o k a t , f Ф 0 ée s

m+ 1

Г"! f^ = 0 . E z u t á n f m+2: = . = f n+ : = 0 , é s e z z e l a i = l

s z ü k s é g e s s é g b i z o n y í t á s á t b e f e j e z t ü k . El_égsé£e£ség^_

n+ 1

Tegyük f e l , h o g y 3 О Ф x Q£ 0 K^; az e r e d e t i f e l t é t e l i = l

s z e r i n t 3 1 4 k * n ^ f , / 0 , m e r t k ü lö n b e n f .

Ili- 1 i s , a z a z mind

- 11 -

n u l l a l e n n e ; i g y , О = ( f j e l l e n t m o n d á s t a d ,

l é v é n Kk n y i l t é s f'k 6 K*, f k / x 0 / > 0 , + f 2 + . . . + f n + | H x 0 >'á f k / x 0 / > 0 t e h á t a f e l t e v é s ü n k : h a m is .

a z a z

1 . 8 T é t e l : / D u b o v i c k i j - M i l j u t y i n / l e g y e n x Q a z X l o k á l i s a n k o n v e x v e k t o r t é r e n é r t e l m e z e t t F f u n k c i o n á l n a k l o k á l i s mini™

n + 1 о

m um helye, a Q = П h a lm a z o n , a h o l Q . Ф 0 ( j = , . . , ,n ) é s

о 1

Qn+1 = 0 . J e l ö l j e K0 a z F c s ö k k e n é s i k ú p j á t x ^ - b a n , К. a Q^- r e v o n a t k o z ó l e h e t s é g e s i r á n y o k a t x Q- b a n ( j = 1 , . . . , n) é s Kn + i a Qn + j é r i n t é s i k ú p j á t x o ~ b a n . L egyen k o n v e x ( i = 0 ,

1 , . . . , n+ 1 .

Ekkor 3 nem mind n u l l a f K * ( i = 0 , 1 , . . . , n+l ) ú g y , h o g y

n+ 1

C f ± = 0 . i = 0

n + 1

B i z o n y í t á s ; a z t l á t j u k b e , h o g y f) K. = 0 , s e z a z 1 . 1 0 l e m - i = 0 1

m ával a z o n n a l a d j a a k i v á n t e r e d m é n y t .

Tegyük f e l , h ogy a kúpok m e t s z e t e nem ü r e s , v a g y i s 3 n+ 1

h £ fl K . ; e k k o r a c s ö k k e n é s i , i l l e t v e a l e h e t s é g e s ir á n y o k i = 0

d e f i n í c i ó j a s z e r i n t 3 h Q- n a k o l y a n U k ö r n y e z e t e é s o l y a n o 6 < 0 ,

£ 0 > 0 sz á m o k , h o g y V h £ U é s 0<£,<£Q e s e t é n

- 12 -

x 0 + £ h £ Q± ( i = 1 , . . . , n) , ® é s

F/ х 0 + £ h / á F / x Q/ + £06

/ a z U k ö r n y e z e t a z e g y e s Q^-k s z e r i n t l e h e t s é g e s i r á n y o k k ö r n y e z e t é n e k é s a z F c s ö k k e n é s i k ú p já h o z t a r t o z ó k ö r n y e z e t n e k m e t s z e t e ; £ Q: = m i n J ^ min £0 / Q i » x 0 »hQ/ , £0 / р »x 0 >h0 / J / «

Lévén hQ a Qn +^j é r i n t ő j e , t u d j u k , h o g y 3 x / £ / = x Q + £ h Q + r / £ / €Qn + j , é s

3

£ U

Ekkor v i s z o n t ф s z e r i n t , h a 0< £ < m in {£q , £ } , x / £ / = x Q + £ h / £ / £Q i ( i = 1 , 2 , . . . , n + i )

n+ 1

v a g y i s x / £ / £ П Q- k i e l é g i t i a m e l l é k f e l t é t e l e k e t , s i = 1 1

e m e l l e t t

F ( x ( £ ) ) é F/ x Q/ + £ ci. < F /xq/ ,

é s e z e ll e n t m o n d a n n a k , h ogy x Q l o k á l i s m inim um hely; i g y a t é t e l á l l í t á s á v a l e l l e n t é t e s f e l t e v é s ü n k h e l y t e l e n n e k b i z o ~ n y ú l t .

13 -

M e g j e ^ z é B e k i ' a / úgy t ű n i k , a t é t e l á l t a l á n o s s á g á t c s ö k k e n t i , h o g y e g y e n l ő s é g - t i p u s u m e l l é k f e l t é t e l t c s a k e g y e t e n g e d t ü n k

m m eg. A zonban, h a Qv к = 1 , . . . , m i l y e n e k , e l é g a f) Q,

* k= l *

h a l m a z t t e k i n t e n ü n k , s a g y a k o r l a t b a n e n n e k a halm aznak a z é r i n t é s i k ú p j á t m e g t a l á l n i á l t a l á b a n nem n e h e z e b b , m in t az

I

e g y e s Qk- é t .

é p p e n f Q / 0 . t e l j e s ü l j ö n .

b / B i z o n y o s a l k a lm a z á s o k b a n f o n t o s t u d n i , h o g y n+1

J ó l l á t h a t ó l a g e h h e z e l e g e n d ő , hogy í \ К. Ф $ i — 1

с / A t é t e l f e l t e v é s e i k i z á r j á k a z t a l e h e t ő s é ­ g e t , h o g y ú g y n e v e z e t t " c s ü c s ö k - p o n t o k a t " i s s z á m í t á s b a v e h e s ­ s ü n k . A > ü c s ö k - p o n t t i p i k u s p é l d á j a : Q k é t k i v ü l r ő l é r i n t k e ­ z ő k ö r b e l s e j é n e k k o m p le m e n t e r e , x Q a k ö z ö s é r i n t k e z é s i p o n t . J e l ö l j e h Q a k é t k ö r k ö z ö s é r i n t ő j é n e k i r á n y v e k t o r á t : e z a z x Q p o n t b a n "majdnem l e h e t s é g e s " i r á n y :

x Q + £ h Q £Q £> 0

de n i n c s a hQ- n a k e g y e t l e n k ö r n y e z e t e s e m , h o g y a z abban l e ­ v ő p o n t o k r a i s t e l j e s ü l n e e z . A t é t e l b i z o n y í t á s á b ó l a z o n b a n k i t ű n i k , hogy ha Qn+( = X / n i n c s e g y e n l ő s é g t i p u s u m e g s z o r í ­ t á s / , a k k o r a z i l y e n "majdnem l e h e t s é g e s " é s a h a s o n l ó a n é r ­ t e l m e z e t t "majdnem c s ö k k e n é s i " i r á n y o k a t i s meg l e h e t e n g e d ­ n i é s i g a z marad a t é t e l .

I I . S e g é d e s z k ö z ö k a D u b o v i c k i j - M i l j u t y i n - t é t e l a l k a l m a z á ­ s á h o z

Az 1 . 1 1 t é t e l n e k az e g y e s k o n k r é t f e l a d a t o k r a v a l ó a l ­ k a l m a z á s á n á l a k ö v e t k e z ő k e t k e l l t e h á t m e g h a tá r o z n u n k :

1 / a m i n i m a l i z á l a n d ó f u n k c i o n á l c s ö k k e n é s i k ú p j á t a z é r ­ t e l m e z é s i t a r t o m á n y a p o n t j a i b a n ;

2 / a z e g y e n l ő t l e n s é g t i p u s u m e l l é k f e l t é t e l e k e t adó h a l ­ mazok p o n t j a i b a n a l e h e t s é g e s i r á n y o k k ú p j á t ;

3 / a z e g y e n l ő s é g t i p u s u h a lm a zo k p o n t j a i b a n az é r i n t é s i k ú p o t ;

4 / a z 1 - 3 / p o n tb a n l e i r t kúpokhoz a z a d j u n g á l t k ú p o t . A D u b o v i c k i j - M i i j u t y i n - t é t e l a l k a l m a z á s á n a k n agy e l ő ­ n y e , h o g y k ü l ö n l e h e t v i z s g á l n i a z e g y e s m e l l é k f e l t é t e l e k e t

é s a f u n k c i o n á l t : h a e g y b i z o n y o s m e l l é k f e l t é t e l r e , i l l e t v e f u n k c i o n á l r a m e g t a l á l t u k a k i v á n t kúpot é s a z a d j u n g á l t kú­

p o t , e z k ö z v e t l e n ü l a l k a l m a z h a t ó minden o l y a n f e l a d a t b a n , a m e ly b e n u g y a n e z a m e l l é k f e l t é t e l v a g y f u n k c i o n á l s z e r e p e l .

A k ö v e t k e z ő k b e n megadunk n é h á n y ö s s z e f ü g g é s t , a m elyek b i z o n y o s f e l t é t e l e k t e l j e s ü l é s e m e l l e t t l e h e t ő s é g e t n y ú j t a ­ n a k a h h o z , h o g y a v á z o l t f e l a d a t o t m e g o ld j u k .

1 . o k k e r é s i i r á n y o k

B e v e z e t ő b e n e m l é k e z t e t ü n k a G ateaux - é s a F r é c h e t - f é l e d e r i v á l t d e f i n í c i ó j á r a , m er t e z e k a fo g a lm a k a l a p v e t ő e n f o n ­ t o s a k a t o v á b b i a k b a n .

- 15 -

2 . 1 D e f i n í c i ó : l e g y e n X l i n e á r i s v e k t o r t é r , F : X — a z F f u n k c i o n á l d i f f e r e n c i á l h a t ó a h £ X i r á n y m en tén a z x Q€X p o n t ­ b a n , ha l é t e z i k a z

F / x Q + í h / - F / x Q/

F ’ / x , h / : = l i m --- ~

° £-9+0 ^

ú g y n e v e z e t t G a t e a u x - f é l e d e r i v á l t .

2 . 2 D e f i n í c i ó : l e g y e n X é s Y B a n a c h - t é r , P : X —=>Y; a P l e k é ­ p e z é s d i f f e r e n c i á l h a t ó az x 0Gx p o n t b a n , h a l é t e z i k P ! / x o / £

o£ / X , Y / ú g y n e v e z e t t F r é c h e t - f é l e d e r i v á l t ú g y , h o g y V h C X - r e P / x Q + h / = P / x 0 / + P » / x 0 / h + r / x Q, h / ,

a h o l I r / x 0 , h / | | = о/IIh ||/ ( " k i s o r d ó " || h | | ) .

M egjeg^zésj^ h a Y = Ф, a z a z P f u n k c i o n á l , a k k o r t e r m é s z e t e s e n P » / x 0 / G X *

E z u tá n r á t é r h e t ü n k a c s ö k k e n é s i ir á n y o k k ú p já n a k t a n u l ­ m á n y o z á s á r a ; j e l ö l j e К _ a m i n i m a l i z á l a n d ó F f u n k c i o n á l c s ő k -

c s

k e n é s i k ú p j á t a z x Q£ X p o n tb a n .

2 . 3 Á l l i t á s ; ha h £ K c s é s 3 F , / x o , h / , a k k o r F * / x 0 , h / «СО.

B i z o n y í t á s ; a c s ö k k e n é s i i r á n y o k é s a G a t e a u x - d e r i v á l t d e f i ­ n í c i ó j á b ó l k ö z v e t l e n ü l a d ó d i k .

2 . 4 Á l l i t á s : h a X B a n a c h - t é r é s F L i p s c h i t z - f e l t é t e l n e k t e s z e l e g e t x Q£ X e g y k ö r n y e z e t é b e n , a z a z 3 LQ у 0 é s fb> О ''‘-я

| F / x / - F / x 2 / |â i b U Xj - x 2 U V o l y a n Xj é s x 2 G X - r e , h o g y

1*1 - X 0 | | é £ 0 , II

-

- 16 -

Bimen y i t á s :

3 S > О

i : = I'’ A 0 , h 0 / .

Az i r á n y m e n t i d e r i v á l t d e f i n i c i ó j á b ó l k ö v e t k e z i k , h o g y F / x Q + £ h o / ú F / x Q/ - ~ ~ , h a О ^ c £ , .

L egyen h £ X o l y a n , h o g y jj h - h íj á ---

h ou 4 ^ e k k o r , h a

0 ^ 1 ^ m in {£c ,£л } } a k k o r

F / x Q + í h / 4 F / x 0 + £ h o / + ftiU h - 6 h Q|| á

4 F / x / - + íb£ = F / x / - ,

° 2 4fó ° 4

v a g y i s hQ e g y t e l j e s k ö r n y e z e t é r e f e n n á l l a k i v á n t e g y e n l ő t ­ l e n s é g , s i g y h QE KcS i

2 . 5 T é t e l : ha X B a n a c h - t é r , F L i p s o h i t z - f e l t é t e l n e k t e s z e l e ­ g e t xq £ I e g y k ö r n y e z e t é b e n , 3 F * / x 0 , h / V h £ X -r e é s F s / x 0 , h / m..i.nt h f ü g g v é n y e k o n v e x f u n k c i o n á l , a k k o r

Kcs = { h : F 7 x 0 , h / c 0 } . ф

B i z o n y í t á s : a 2 . 3 é s 2 . 4 á l l i t á s b ő l a z o n n a l k ö v e t k e z i k ; t o v á b b á i g e n e g y s z e r ű m e g g y ő z ő d n i a r r ó l , h o g y t e t s z ő l e g e s C k o n v e x f u n k c i o n á l n a az { x : С / х / ^oC)halmaz k o n v e x .

- 17 -

2 . 6 T é t e l : l e g y e n F k o n v e x é s f o l y t o n o s ; e k k o r 3 F * / x 0>h / V h £ X é s V x QGX ,

F /x q + l / = F / x 0 / + F , /x q , h / ,

Kc s = { h : F ’ / x 0 , h / <■ 0 } é s Kcg k o n v e x h a lm a z . B i z o n y í t á s ; r ö g z í t s ü k a z x Q é s h e l e m e k e t , é s v i z s g á l j u k a

f / £ / : = F / x 0 + í h /

e g y v á l t o z ó s f ü g g v é n y t . F t u l a j d o n s á g a i m i a t t ^ f o l y t o n o s é s k o n v e x ; a k o n v e x s é g b ő l k ö v e t k e z i k , hogy CKXm é s í > 0 e s e t é n

- f / о / 4 / *

U £

A f e n t i e g y e n l ő t l e n s é g b e n J" : = X £ ^ £ m e l l e t t r ö g t ö n l á t h a t ó , h o g y 0 / £ / m onoton c s ö k k e n £ c s ö k k e n é s é v e l . Továbbá a

0 = ' ^ ^ ( - 4 ) + g. ' £ k o m b i n á c i ó v a l k i f e j t v e < p / 0 / - t a k o n v e x i t á s s z e r i n t , a z t k a p j u k , h o g y

y / í l - f / 0 /- > j > / - \ / - y l 0 /

v a g y i s 0 / £ / a l u l r ó l k o r l á t o s , i g y 3 F * / x _ , h / = l i m Ф / а .

0 £ - 7 0

Ha © . - b a n £ = 4 é s Л -7 + 0 , n y e r j ü k : F ’ / x 0 , h / á F / x 0 + h / - F / x 0 / .

- 18 -

A f u n k c i o n á l d i f f e r e n c i á l h a t ó s á g á r a v o n a t k o z ó á l l i t á s o k á t t e h á t b e l á t t u k .

L egyen e g y h £ X - r e P * / x _ , h / ^ 0; e z a d e f i n í c i ó s z e -

О о о

r i n t a z t j e l e n t i , h o g y 3 8 q> 0 , a m e ly r e

-cT Î = P / x Q + 6 Qh o / - P / x Q/ x o .

L é v é n P f o l y t o n o s , 3 h Q- n a k o l y a n U k ö r n y e z e t e , h ogy

+ í o h o / ~ F / x o + £oh / 4 (h £ u ) ,

<Г Ф F / x 0 + í Qh / = P / x 0 / - § .

E z u t á n F k o n v e x s é g é b ó l , ha 0 < í ^ í o , k ö v e t k e z i k , hogy

P / x + £ h / 4 (1 - j ~ ) P f x ) + F / x + U / ü p / x / - , a z a z h 0 Ê K c a ; a 2 , 3 á l l í t á s b ó l már a d ó d ik a z e l l e n t é t e s i r á ­ n y ú t a r t a l m a z á s , v a g y i s v é g ü l К = { h: P s / x n , h / < 0 ) .

V é g e z e t ü l F k o n v e x v o l t á t k i h a s z n á l v a , h a f e l i r j u k az i r á n y m e n t i d e r i v á l t a t a d e f i n í c i ó j a s z e r i n t , a z o n n a l l á t s z i k , h o g y P * / x , h / k o n v e x h - b a n , s i g y a 2 . 5 t é t e l b i z o n y í t á s á b a n s z e r e p l ő i n d o k l á s s a l К _ i s k o n v e x .

2 . 7 T é t e l ; ha X B a n a c h - t é r é s P F r é c h e t - d e r i v á l h a t ó a z x Q6 X p o n t b a n , akkor К a = { h : К F ’ / x / , h > < 0 } é s К k o n v ex h a lm a z .

Cö О Си

B i z o n y í t á s ; a 2 . 3 é s 2 » 4 á l l i t á s k ö v e t k e z m é n y e k é n t a d ó d ik Kc3 a l a k j a , s e z a h a lm a z v a g y f é l t é r , v a g y ü r e s , t e h á t m in d en ­ k é p p e n k o n v ex .

- 19 -

2 . _L e_het£é£e£ i r á n y o k

J e l ö l j e K-, a z x £Q p o n tb a n a Q -ra v o n a ttr o zó a n l e h e t s é -

1 O Q

g e s ir á n y o k k ú p j á t . Mint már m e g j e g y e z t ü k , c s a k a Q / jÜ e s e ­ t e t érdem es v i z s g á l n i , m ert k ü l ö n b e n a s z ó b a n f o r g ó kúp ü r e s t o v á b b á v i l á g o s a z i s , hogy c s a k a z a z e s e t é r d e k e s , a m ik o r x Q a Q h a t á r á n a k e l e m e , e g y é b k é n t u g y a n i s К, = X.

V i z s g á l j u n k e l ő s z ö r o l y a n h a l m a z o k a t , a m ely e k Q = { x : G / x / 4 >s }

a la k b a n vann ak m eg a d v a , a h o l G v a l a m e l y f o l y t o n o s f u n k c i o n á l e k k o r n y i l v á n G /x Q/ = X a h a t á r V x Q e l e m é r e .

J e l ö l j e Kg a f u n k c i o n á l c s ö k k e n é s i k ú p j á t az x Q p o n t b a n 2 . 8 Á l l í t á s : KQ <= Kg.

B i z o n y í t á s : h a hQ£ K g , akk or a d e f i n í c i ó s z e r i n t 3 U k ö r n y e ­ z e t e a hQ- n a k é s 3 £ Q> 0

G/x0 + £ h / < G / x o / ( V h G U é s 0 * l * í Q) , v a g y i s

x Q + £ h £ Q.

2 . 9 Á l l i t á s : ha 3 G V x Q, h / ( V h £ x ) é s k o n v e x h - b a n , t o v á b b á 3 h Q£ X G’ / x o , h Q/ < 0 , a k k o r

Kx c ( h : G»/ x0 , h / < 0 } .

- 20 -

B i z o n y í t á s ; l e g y e n h £ ; e k k o r 3 l Q > 0 ^

x Q + £ h G Q ( 0 < 6 < 6Q) s

a z a z

G /x 0 + 6 h / 4 G /x0 / ( 0 < £ < £0) , é s e b b ő l

Gs/ x 0 , h / 4 0 .

Továbbá l é v é n n y i l t , 3 h - n a k U k ö r n y e z e t e ^ U<=K-^;

v á l a s s z u n k o l y a n A > 0 s z á m o t , h o g y h.A : = h - Л / h - h / £ U t e l j e s ü l j ö n . E kkor

G V x 0 , h , / 4 0 ,

é s a z i r á n y m e n t i d e r i v á l t k o n v e x s é g é b ő l : G V x 0 , h / = G> ( x 0> - j h h x + ^ h0 ) S

* т Ь [ ° ’ / х 0 , Ь / + - X j G V x 0 , h 0 / X 0 .

2 ,1 .0 T é t e l ; t e l j e s ü l j ö n a k ö v e t k e z ő három f e l t é t e l k ö z ü l v a ­ l a m e l y i k :

а / X B a n a c h - t é r , G L i p s c h i t z - f e l t é t e l n e k t e s z e l e g e t x Q e g y k ö r n y e z e t é b e n , 3 G * / x 0 , h / ( V h £ x ) é s k o n v e x h - b a n , 3 h Q £ X ú g y , ho g y G»/ xo , h o / < 0 ;

- 21 -

Ъ/ G f o l y t o n o s k o n v e x f u n k c i o n á l é s ] x é X G/ х / < G /x o / ; с / X B a n a c h - t é r , G d i f f e r e n c i á l h a t ó x Q- b a n é s G*/ x Q/ / 0 , e k k o r

Kx = KQ = { h : G »/x0 , h / < 0 } .

B i z o n y í t á s : a z o n n a l k ö v e t k e z i k a z e l ő z ő k é t á l l í t á s b ó l , v a l a ­ m in t a 2 . 5 , 2 . 6 é s 2 . 7 t é t e l e k b ő l .

V é g ü l n é z z ü n k meg e g y e s e t e t , a m ik o r a m e l l é k f e l t é t e l t nem f u n k c i o n á l Í r j a e l ő :

2 . 1 1 T é t e l : l e g y e n Q k o n v e x h a lm a z , e k k o r о

K1 = { h : h = \ / x - x Q/ , x £ Q , * > 0 } . A b i z o n y í t á s m a g á t ó l é r t e t ő d i k .

3 » „ É r i n t é s i i r á n y o k

J e l ö l j e a z x € q p o n tb a n a Q h a lm a z é r i n t é s i k ú p j á t .

c U

B i z o n y í t á s n é l k ü l k ö z lü n k e g y t é t e l t , a m e ly i g e n j ó l h a s z n á l h a t ó a z é r i n t é s i kúp m e g h a t á r o z á s á n á l . A t é t e l b i z o ­ n y í t á s a nem t ú l s á g o s a n e g y s z e r ű : e z a z a p o n t j a a z e l m é l e t ­ n e k , a m ely e l e m i e s z k ö z ö k k e l h o z z á f é r h e t e t l e n . A b i z o n y í t á s ­ s a l k a p c s o l a t b a n a z i r o d a lo m r a u t a l u n k [ 2 ] .

2 . 1 2 T é t e l : l e g y e n X é s Y B a n a c h - t é r , P £ X —?Y, P /x / = 0 ; l e g y e n P f o l y t o n o s a n d i f f e r e n c i á l h a t ó a z x Q e g y k ö r n y e z e t é ­ ben é s l e g y e n P V x Q/ r á k é p e z é s / s z ű r j e k c i ó / . T e k in t s ü k a Q = { x : P / x / = 0 } h a l m a z t . Ekkor

Ké = { h : < P ’ / x 0 / , h > = 0 } .

- 22 -

4 . „ A d j u n t á i t _ k u p o k

Az a d j u n g á l t kúpok á l t a l á n o s t u l a j d o n s á g a i , a m e ly e k e t e b b e n a r é s z b e n i g e n s o k s z o r i d é z ü n k , a z A. F ü g g e lé k b e n t a ­ l á l h a t ó k meg. A t o v á b b i a k t a n u lm á n y o z á s a e l ő t t c é l s z e r ű l e g ­ a l á b b i s á t f u t n i a f ü g g e l é k e t .

2 . 1 3 Á l l i t á s ; L e g y e n К c X l i n e á r i s a l t é r .

E kkor K* = ( f G X ’ : < f , x > = 0 V x € K } /К* а К a n n u l l á t o r a / . B i z o n y í t á s : l e g y e n f G X * é s t e g y ü k f e l , h o g y 3 x £ K ^

< f , x > > 0 ; m i v e l - x G K s z i n t é n , < f , - x > = - < f , x > <0

= > f фк *

2 . 1 4 Á l l i t á s : l e g y e n f G X ’ ;

a / Kj : = { x £ X : < f , x > = 0} , e k k o r K* = { A f ,

b / Kg: = { x G X : < f , x > All 0 •ч e k k o r Kg = { A f , Oá A < <*=>

с / K^: = { x G X : < f , x > > 0} , e k k o r

K* = <

X », Kg,

ha f = 0 ha f 0 0, Bizonyítás :

a / ha g £ K j , a k k o r a 2 . 1 3 á l l i t á s s z e r i n t < g ,x > = 0 (Vx £

=£* g = A f, - < Л <0-^

b / l é v é n K j C K 2 , K2 c K j / I d . F . 4 . / így ha > f £ K 2 é s X < f ,x> > 0 = > A à 0;

с / ha f = 0, a k k o r K^ = 0 é s i g y = X ’ ;

ha f 0 0, akkor = Kg és igy = Kg /Id. F.6./.

- 23

A k o n v e x halm a zo k j e l e n t ő s s z e r e p e t j á t s z a n a k az e g é s z e l m é l e t b e n . A k o n v ex h a lm a z o k k a l k a p c s o l a t o s k ö v e t k e z ő t é t e l i s f o n t o s a l k a l m a z á s t n y e r a k é s ő b b i e k b e n .

2 . 1 5 T é t e l : X l o k á l i s a n k o n v e x v e k t o r t é r , Q c X z á r t k o n v ex h a lm a z ; j e l ö l j e , m in t k o r á b b a n , i l l e t v e K-^ a z x Q £ Q p o n t ­ ban a h a lm a z é r i n t é s i k ú p j á t , i l l e t v e l e h e t s é g e s i r á n y a i n a k k ú p j á t ; t o v á b b á

Q* := { f £ X* : < f , x > ^ < f , x Q> , V x £ Q } / v a g y i s Q* az x Q- b e l i t á m a s z t ó s i k o k f u n k c i o n á l j a i n a k h a l m a z a / .

„ * о *

Ekkor = Q , é s ha Q / 0 , a k k o r = Q .

B i z o n y í t á s : l e g y e n f £ Q é s h € K ^ ; az é r i n t é s i i r á n y d e f i n í ­ c i ó j a s z e r i n t 3 £,Q> 0 •—

x / £ / : = x Q + £ h + r / £ / £Q (0 < £ . ^ t 0) , a h o l r / 6 / £ X o l y a n , h o g y a n u l l á n a k VU k ö r n y e z e t é h e z

Э£<и> о “V ( L ) /í £ U V 0 < £ . < 6 U e s e t é n , í g y t e h á t , l é v é n

< f , x / ó / > ^ < f , x Q> ,

< f ,h > = < f . x / £ / > - < f , x Q> _ < £ i1 Л Л > _ < f j z Z i Z ) .

£ £ £

Könnyű b e l á t n i r / £ / t u l a j d o n s á g a i b ó l , h ogy l i m ( f , )

£-»+o £

= 0 , s i g y < f,h > к 0 , a z a z f £ K ? .

- 24 - I

V i s z o n t , h a f é K ' * é s x £ Q , akk or h := x - x 0 é r i n t ő

G О

x Q- b a n , mert

x / £ / := x 0 + £ h = (1 - £ ) x Q + £ x £Q a k o n v e x s é g m i a t t ; i g y t e h á t

0 é < f ,h ) = < f ,x> - < f , x o> ,

a m i épp a z t j e l e n t i , h o g y f € Q , s e z z e l b e l á t t u k , ho g y K-=Q . о

Továbbá, h a Q / 0 , a k k o r a 2 . 1 1 t é t e l s z e r i n t о

K-, = { h : h = A / x - x Q/ , 0 , x £ Q }

s i g y , ha f £ K , , a k k o r Л = 1 é r t é k h e z t a r t o z ó é r i n t ő k e t t e ­ft

k i n t v e

< f 5x> к < f , x 0> (x é Q)

~ő

a d ó d i k . M iv e l Q = Q / e z a k o n v e x h a lm a zo k e l e m i t u l a j d o n s á g a / , f f o l y t o n o s s á g á b ó l a z t k a p j u k , hogy

< f , x > > < f , x Q> ( x £ Q ) , a z a z f £Q ; t e h á t b e l á t t u k , h o g y K-^C Q .

V i s z o n t K j C K ^ / l d . 1 . 8 á l l i t á s / , i g y / I d . P . 4 . / , a a t é t e l e l s ő r é s z é b ő l már k ö v e t k e z i k , h o g y K? = Q , i g y Ка =>Q , é s ez a z e l ő z ő v e l e g y ü t t m egad ja a k i v á n t e r e d m é n y t .

- 25 -

I I I . Az á l t a l á n o s e l m é l e t a l k a l m a z á s a a p e c i á l i s e s e t e k r e

l . _ A _ k l a £ s z i k u s f e l t é t £ l £ s _ s z é l s 6 é r t £ k - f £ l a d a t _ é _ s a nem l i n e - á r i s _ p r ° £ r a m o z á s

A p ro b lé m a m e g f o g a lm a z á s a :

a d o t t Rn ~ e n a z F é s a ( i = 1 , m) v a l ó s f ü g g v é n y . Q± : = { X € Rn : G±/ x / i 0 } ( i = 1 , . . . , k) ,

Qi := { X £ R n : G ^ x / = 0 } ( i = k+ 1 , . . . ,m) . m

K e r e s e n d ő az F minimuma a Q : = П Q- h a lm a z o n . i = l 1

Ez a z á l t a l á n o s a b b m e g f o g a lm a z á s к = 0 e s e t é n a f e l t é t e ­ l e s s z é l s ő é r t é k , к = m e s e t é n a nem l i n e á r i s p r o g r a m o z á s f e l ­ a d a t á t ad,ja v i s s z a . A k l a s s z i k u s f e l a d a t o k n a k m e g f e l e l ő e n t e ­ gyük f e l , h o g y F é s G ^ (i = l , . . . , m ) f o l y t o n o s a n d i f f e r e n c i á l ­ h a t o k v a l a m e l y T t a r to m á n y b a n .

Az á l t a l á n o s program s z e r i n t e l ő s z ö r meg k e l l t a l á l n u n k a z F c s ö k k e n é s i k ú p j á t é s ennek a d j u n g á l t j á t V x c £ T p o n t b a n ; e g y e l ő r e z á r j u k k i a z F ’ / x 0 / = 0 e s e t e t . Ekkor

Kc s = { h £ R n : < F ’ / x 0 / , h > < 0 } / l d . 2 . 7 t é t e l / , Kc s = { ^ o F , / X o / , 0 } / l d . 2 . 1 4 t é t e l / . A k ö v e t k e z ő t e e n d ő az e g y e n l ő t l e n s é g - t i p u s u m e l l é k f e l t é ­ t e l e k l e h e t s é g e s i r á n y a i n a k é s a m e g f e l e l ő a d j u n g á l t kúpoknak a m e g h a t á r o z á s a . J e l ö l j e ^ a Qi ( i = l , . . . , k ) halm az l e h e t ­ s é g e s i r á n y a i n a k k ú p j á t az x Q£ Çb 0 T p o n t b a n .

- 26 -

í g y , ha

G^/xq/ < 0 , a k k o r = IRn / x Q b e l s ő p o n t ! / é s K* = {0 } ;

ha й ^ / х 0 / = 0 é s G | /xq/ / 0 , a k k o r

Ki = { h £ Rn : < G ! / x 0 / , h > < 0 } ( i = l , . . . , k , l d . 2 . 1 0 ) ,

Ki = í - > i Gi / x o / ’ * i * ° ) / l d * 2 . 1 4 / ,

é s e g y e l ő r e t e k i n t s ü n k e l а G ^ /x o / = G ?/x / ~ G l e h e t ő s é g t ő l . V é g e z e t ü l a z e g y e n l ő s é g t i p u s u m e l l é k f e l t é t e l e k é r i n t ő ­ i r á n y a i : m int t u d j u k , e g y ü t t e s e n k e l l n éznün k a z i l y e n f e l ­ t é t e l e k e t , a z a z

m

a Q := Г\ Q- h a lm a z é r i n t é s i k ú p j á t k e l l m e g t a l á l n u n k

° i = k + l 1

V xq £ Qq 0 T p o n t b a n . E zt a 2 . 1 2 t é t e l b ő l k a p ju k m eg, h a f e l ­ t e s s z ü k , hogy G ? /xq / ( i = k + l , . . . , m ) l i n e á r i s a n f ü g g e t l e n e k . Az i d é z e t t t é t e l j e l ö l é s e i t a l k a l m a z v a a m o s t a n i e s e t r e Y = IR , P = { G^, i = k + 1 , . . . ,m } é s a G.?/xo / - k l i n e á r i s f ü g g e t l e n s é g e j e l e n t i a z t , h o g y P * / x 0 / s z ü r j e k c i ó . í g y t e h á t

Ké = í h G R n : < Gi / x 0 / , h > = 0 , i = k + l , . . . , m } . m Az a d j u n g á l t kúp m e g h a t á r o z á s á h o z Í r j u k K- = П К . ,

e i = k + 1 1

( h G R n : <G^/xQ/ , h > = 0} ( i = k + l , . . . , m ) , a h o l

- 27 -

é s , m in t a 2 . 1 4 t é t e l b ő l t u d j u k , к* = { \ g£ /xo / , R } .

N y i l v á n v a l ó a n ( i = k + l , . . . , m ) z á r t h a lm a z o k , é s

m *

. 0 Ki m~ d i m e n z i ó s a l t é r , i g y s z i n t é n z á r t IR - b e n , e n n é l -

i = k + 1 ki­

f o g v a a l k a l m a z h a t ó F . 9 k ö v e t k e z m é n y e , s e z z e l n y e r jü k : m

Ké = { f GRn : f = С ъ±Ц / х 0 / , R }

e n i = k + 1 1 1 0 1

Ö s s z e v e t v e e r e d m é n y e i n k e t , a D u b o v i c k i j - M i l j u t y i n - t é - t e l s z e r i n t annak s z ü k s é g e s f e l t é t e l e , h o g y F a z x QG Q 0 T

p o n tb a n minimumot é r j e n e l a z , ho g y l é t e z z e n ^ ( i = 0 , 1 , . . . ,m) nem mind n u l l a , 0 ( i = о , 1 , . . . ,k) ú g y , h.ogy

m

AqF V Xq/ + C \ G ? / x 0 / = 0 . ®

A k a p o t t e g y e n l e t j ó l i s m e r t , ? ^ -к a z ú g y n e v e z e t t L a g - r a n g e - f é l e s z o r z ó k .

V i z s g á l j u k meg a z o k a t az e s e t e k e t , a m e l y e k e t e d d i g k i ­ z á r t\xnk:

h a F ’ / x / = 0 , a k k o r = 1 ®s \ =

h a G ? /x Q/ = G Í /xq / = 0 ( i = l , . . . , k ) , a k k o r Aj_ = 1 ,

Aj = 0 ( j ф i ) ; h a G | / x Q/ - k l i n e á r i s a n ö s s z e f ü g g ő k ( i = k + 1 , . . . ,m)

a k k o r A- = 0 (j Ф i ) m J

é s A. o l y a n , ho g y C \ G? / x / = 0

1 i = k + 1 1 1 0

- 28 -

v á l a s z t á s s a l u g y a n c s a k f e n n á l l a ® e g y e n l e t , t e h á t a s z ü k ­ s é g e s f e l t é t e l n e k e z a f o r m á j a á l t a l á n o s é r v é n y ű .

2 . _ A _ v a r iájc i 6 s zárni tjás m int __o jót i m á l i s _ i r á n y i t á s A f e l a d a t m e g f o g a l m a z á s a :

V e z e s s ü k be eb b en a r é s z b e n a r ö v i d s é g k e d v é é r t a C : =

= c / n ^ ( t Q, t^] é s L ^ : = L/ ^ [ t o , t j ] j e l ö l é s t , é s l e g y e n X : =

= С X , m e l y n e k e l e m e i t / x , u / formában j e l ö l j ü k . S z o k á s o s e l n e v e z é s : x ( t) a f á z i s t r a j e k t ő r i a , u (t) a z i r á n y i t á s é s

x ( t ) , u ( t ) a f o l y a m a t , a t p a r a m é te r p e d i g a z i d ő . L egyen a z X - e n é r t e l m e z e t t F f u n k c i o n á l a k ö v e t k e z ő :

t .

F / x , u / : = / Ф^х/ t / , u / t / , t ) d t , t o

a h o l X X R — a d o t t f ü g g v é n y . A m e l l é k f e l t é t e l t a z a l á b b i h a lm a z o k a d já k meg:

Q. : = С X { u € 1 ^ : u / t / G M ^ V t € D 0 » t J"] } , a h o l M m e g a d o tt h a lm a z IRm- b e n .

о

Q2 : * { / x , u / : x = / x , u s t / , x / t Q/ = c q, x / t { / = c { } ,

f

K e r e s e n d ő a z F minimuma a Qj П Q2 h a lm a z o n . a h o l

- 29 -

Ha n = m = 1, f > / x , u , t / = u é s M = R , a k k o r a k l a s s z i k u s v a r i á c i ó s z á m i t á s l e g e g y s z e r ű b b f e l a d a t á t k a p j u k ; ennek m e g f e ­ l e l ő e n t e g y ü k f e l a k ö v e t k e z ő k e t :

о

a / M z á r t k o n v e x h a lm a z , M £ 0;

Ь / ХФ é s >p f o l y t o n o s a n d i f f e r e n c i á l h a t ó a z e l s ő k é t v á l t o z ó j u k ­ ban;

с / Ф é s m ér h e tő a h a rm a d ik v á l t o z ó j u k b a n .

J á r j u n k e l a z á l t a l á n o s séma s z e r i n t , s ennek m e g f e l e l ő ­ e n b o n t s u k l é p é s e k r e a f e l a d a t o t .

A f u n k c i o n á l c s ö k k e n é s i k ú p j a

А Ф- r e k i r ó t t f e l t é t e l e k m e l l e t t F d i f f e r e n c i á l h a t ó é s

*1 _

< P V x 0 , u 0 / , / E , u / > = / [ ( ф x ( x 0 / t / , u 0 / t / , t ) , x / t / ) R + < Ф и , и ) к ] d t , ®

t Q n m

a h o l az i n t e g r a n d u s m á s o d ik t a g j á b a n u g y a n a z o k az a r g u m en tu ­ mok s z e r e p e l n e k , m in t a z e l s ő b e n , s i g y a r ö v i d s é g k e d v é é r t e l h a g y t u k ő k e t ; a k é s ő b b i e k s o r á n i s a l k a l m a z z u k majd e z t a r ö v i d í t é s t . A fo r m u la b i z o n y í t á s a r o p p a n t e g y s z e r ű :

_ _ 1 1 _ _

F / x 0 + x , u Q + u / - P / x 0 , u Q/ = / [ ф ( * 0 Л / + x / t / , u Q/ t / + u / t / , t ) - t o

ф(х0 Л Ь /,и 0 Л / , ^ ] d t .

Az i n t e g r a n d u s Ф d i f f e r e n c i á l h a t ó s á g a k ö v e t k e z t é b e n f e l í r h a t ó m i n t ® i n t e g r a n d u s á n a k é s e g y о ( | x / t / | + i u / t / | ) t a g n a k ö s z - s z e g e , a h o l I I az e u k l i d e s z i norm át j e l ö l i mind Rn - b e n , m ind Rm- b e n . E b b ő l a 2 . 2 d e f i n í c i ó t f i g y e l e m b e v é v e s z i n t e a z o n n a l

- 30 -

a d ó d i k a k i v á n t e r e d m é n y . í g y 2 . 1 0 t é t e l b ő l t u d j u k a c s ö k k e ­ n é s i k ú p o t , s e n n e k m e g f e l e l ő e n 2 . 1 4 s z e r i n t , ha К 0 / 0

С о

Ko* ! = C = ( - V ’ / * 0 * UO/ ! A Qj halm az l e h e t s é g e s i r á n y a i

J e l ö l j e Qj a Q d e f i n í c i ó j á b a n s z e r e p l ő h a l m a z t , a z a z

A A °

Qj = С X Qj. Qj z a r t k o n v e x h a lm a z - b e n é s Qj / 0 /М t u - l a j d o n s á g a i m i a t t / , i g y Q z á r t k o n v ex h a lm a z X -b en é s oQ =

о

С X Qj / 0 .

í g y a l e h e t s é g e s i r á n y o k k ú p j a a z / x Q, u Q/ p o n t b a n Kj : = Kj =

A A /\

= С X Kj a l a k ú , a h o l Kj a Q} l e h e t s é g e s i r á n y a i n a k k ú p ja a z u Q p o n t b a n . Ezek s z e r i n t

K* = {0 } XK*.

E g y e l ő r e e l h a l a s z t j u k K* m e g h a t á r o z á s á t ; a k é s ő b b i e k b e n v i s s z a t é r ü n k r á , s m e g l á t j u k , h o g y egy k i s s é m ó d o s í t o t t f e l a ­ d a t t a l h e l y e t t e s í t h e t j ü k .

A Q2 halm az é r i n t ő i r á n y a i

V e z e s s ü k be a P: X - Y , Y : = С X Rn l e k e p e z e s t ú g y ,

h o g y P / x , u / ;= I x / • / - c 0 - / ( x / t / , u / t / , t ) d t ; x / t j / - C j j . о

- 31

A f e l a d a t m e g f o g a lm a z á s á b a n s z e r e p l ő d i f f e r e n c i á l e g y e n ­ l e t e t i n t e g r á l e g y e n l e t t é á t i r v a r ö g t ö n l á t s z i k , hogy

Q2 = { / x , u / : P / x , u / = 0 } .

A P l e k é p e z é s a p - r e t e t t k i k ö t é s m i a t t f o l y t o n o s a n d i f f e r e n c i á l h a t ó é s

P V x 0 , u 0 / / X , « / =

= ( x / . / - i [ < f x (x0 / t / , u 0 / t / , t ) , x / t / >

t o

E r r ő l t e l j e s e n h a s o n l ó a n l e h e t m e g g y ő z ő d n i, m in t a z t a z 1 / p o n t b a n t e t t ü k . Ahhoz, h o g y a 2 . 1 2 t é t e l t a l k a l m a z h a s s u k , a z t k e l l tu d n u n k , P * / x , u Q/ m i l y e n f e l t é t e l e k m e l l e t t s z ü r - j e k c i ó . Ha a z , a k k o r a t é t e l s z e r i n t az / x , ü / é r i n t ő i r á n y o k , P ’ / x 0 , u 0 / f e n t i a l a k j á b ó l j ó l l á t h a t ó a n , k i e l é g í t i k az ú g y ­ n e v e z e t t v a r i á c i ó s d i f f e r e n c i á l e g y e n l e t e t :

• '

* ■ * + f u / x o >uo t / l

[.

x / t 0 / = 0 s e z e n f e l ü l még

x / t j / = 0 2 . 2

i s t e l j e s ü l .

J e l ö l j e D a z t a h a lm a z t IRn - b e n , a m e l y e t a v a r i á c i ó s d i f f e r e n c i á l e g y e n l e t m e g o l d á s a i a t j p á r á m é t é r é r t é k n é l e l é r ­ n e k a z ö s s z e s l e h e t s é g e s i r á n y i t á s m e l l e t t , a z a z

V

D : = { x / t j / : x / . / k i e l é g i t i ( 2 . 1 ) - t , u G L ^ }

- 32 -

p , / x 0 ’u0 / a k k o r r á k é p e z é s , h a D = Ед / " t e l j e s i r á n y í t h a ­ t ó s á g " f e l t é t e l e / . Ennek i g a z o l á s á h o z v e g y ü n k e g y t e t s z ő l e g e s ( a / . / , b ) £ Y e l e m e t ; e k k o r

9

z / . / := a / . / + / <px ( x 0 / t // , u o / ' t / , r ) z / r / dü £ C , t o

é s a t e l j e s e n i r á n y í t h a t ó s á g m i a t t У/ t / = f x ( x o / t / , u 0 / t / , t ) y / t / y / 0 / = 0 ,

y / t , / = b - z / t , / ;

e z u t á n , ha X := y + z , e g y s z e r ű b e h e l y e t t e s í t é s s e l l á t h a t ó , h o g y

P / x Q, u o / / x , ü / = ( a / . / , b ) .

Tegyünk e g y k i s k i t é r ő t , a m e ly h a s z n o s l e s z a k é s ő b b i e k ­ ben« E l é g s é g e s f e l t é t e l t t a l á l u n k a r r a , h o g y a v a r i á c i ó s d i f ­ f e r e n c i á l e g y e n l e t t e l j e s e n i r á n y í t h a t ó l e g y e n .

3.1 Állitás; h a V y /t/-re, amely a

Y = - f x ( V t / »u o / t / ’ t) y C2 - 3)

d i f f e r e n c i á l e g y e n l e t nem n u l l a m e g o l d á s a , p ; ( x o / t / , u o / t / , t ) y / t / * о

t e l j e s ü l , akkor a z ( 1 . 1 ) r e n d s z e r t e l j e s e n i r á n y í t h a t ó . 3 u £ L o o é s у £ C

+ f u ï ï >

- 33 -

B i z o n y í t á s : ^x ( x 0 / t / , u Q/ t / , t ) = : A / t / ,

Tegyük f e l , h o g y az á l l i t á s nem i g a z , v a g y i s D / Rn . M i v e l D l i n e á r i s a l t é r / a d i f f e r e n c i á l e g y e n l e t l i n e a r i t á s á b ő l / , i g y

3 0 / a G Rn **

< a , x / t , / > R = 0 (V x /1 j/ é d ) .

L eg y en у / t / a z (2 .3 ) r e n d s z e r m e g o ld á s a y / t j / = a f e l ­ t é t e l l e l . M i v e l a / 0 , у / t / ф 0 . Ekkor ( ? . l ; V x / 1 / m e g o l d á s á r a

o = J < л (гА / + a* / t / ^ / t / , 5 E / t / > ^ d t =

= - / <B* / t / - v | r / t / , ï ï / t / > R d t , uo

a m in t a r r ó l p a r c i á l i s i n t e g r á l á s s a l könnyű m e g g y ő z ő d n i . L é v én a j o b b o l d a l o n ï ï ^ L ^ t e t s z ő l e g e s , ez a z t j e l e n t i , B * / t / y / t / =

=

(v

meg k e l l k e r e s n i az (2.3) d i f f e r e n c i á l e g y e n l e t - r e n d s z e r Y / t / m e g o l d á s - a l a p r e n d s z e r é t , a z u t á n k é p e z n i a B ^ / t / Y / t / m á t r i x o t , s ha e n n ek a z o s z l o p a i l i n e á r i s a n f ü g g e t l e n e k , a k k o r a r e n d ­ s z e r t e l j e s e n i r á n y í t h a t ó .

E zek u t á n v i s s z a t é r h e t ü n k e r e d e t i f e l a d a t u n k f o l y t a t á ­ s á r a .

- 34 -

Az a d j u n g á l t kú p m e g t a l á l á s á h o z Í r j u k a z é r i n t é s i k ú p o t

= K2 0 K3 a l a k b a , a h o l K2 e l e m e i ( 2 . Ï ) - n e k t e s z n e k e l e g e t , K3 e l e m e i p e d i g ( 2 . 2 ) - n e k . Mind K2 , mind l i n e á r i s a l t é r X - b e n , i g y a 2 . 1 3 á l l í t á s s z e r i n t a h o z z á j u k t a r t o z ó a d j u n - g á l t kúpok a m e g f e l e l ő a n n u l l á t o r o k . = К X L oo a l a k ú , a h o l К := { x £ C : x / t j / = 0 ) . Ennek m e g f e l e l ő e n = K*X(0} é s K* = Rn , mert G -b e n a z egy p o n t o n e l t ű n ő f ü g g v é n y e k a l t e r é ­ n e k a n n u l l á t o r a a k é r d é s e s p o n t r a k o n c e n t r á l t m é r té k e k / f ű n k -

c i o n á l o k / h a lm a z a , a z a z , ha x £ K e s f £ K , akkor

< f , x > = < a , x / t j / > R ( a 6 R n)

£

Az e d d ig e l m o n d o t t a k b ó l k ö v e t k e z ő e n v é g e s d i m e n z i ó s , t o v á b b á l é v é n K* gyenge* z á r t / I d . F . 5 « / , K* + K* cX* gyenge*

z á r t / z á r t a l t é r é s v é g e s d i m e n z i ó s a l t é r ö s s z e g e m in d ig z á r t / . Ezek s z e r i n t F .9 * a l a p j á n

* * *

= K2 + K y

A minimum s z ü k s é g e s f e l t é t e l é n e k v i z s g á l a t a

A D u b o v i c k i j - M i l j u t y i n - t é t e l s z e r i n t annak s z ü k s é g e s f e l t é t e l e , hogy a z F f u n k c i o n á l a Q, П Q? h a lm a z o n minimumot

* ✓ * /

é r j e n e l az / x Q, u o / pon tban a z , h o g y l é t e z z e n f ^ K ^ ( i =

= 0 , 1 , 2 , 3 ) nem m in d n u l l a f u n k c i o n á l ú g y , h o g y f Q + f j + f 2 + + f ^ = 0 . E bből e g y e l ő r e a z o n b a n még nem s o k l á t s z i k . A l k a l ­ m azzuk az e l ő z ő e g y e n l e t e t o l y a n / x , u / e l e m r e , m ely b en u t e t ­

s z ő l e g e s , X p e d i g a v a r i á c i ó s e g y e n l e t h o z z á t a r t o z ó m e g o l d á ­ s a ; v a g y i s , r ö v i d e n , / x , ü / £ K 2 . Ekkor < f 2 , / x , ü / > = 0 , s i g y - A 0 / í < фх ( х о / 1 / , и 0 / 1 / , 1 ) , x / t / > R + < фи ,й > R ] d t

*0 П m > 2 . 4

+ < f j , ü > + < a , x / t , / > R = 0 ,

- 35 -

A **

a h o l , e m l é k e z t e t ü n k , f f £LK j ez LV*, még nem i s m e r t .

A l a k í t s u k á t e z t a k i f e j e z é s t ; e h h e z u j m e n n y i s é g e t v e ­ z e t ü n k b e , am ely s z o r o s k a p c s o l a t b a n van a t e l j e s e n i r á n y í t ­ h a t ó s á g g a l / l d . 3 . 1 á l l i t á s / . L eg y en y / t / a

Ÿ = - f x ( x o / t / ’uo / t / ’ t) Y + > o'1>x № d i f f e r e n c i á l e g y e n l e t m e g o ld á s a a

y / t , / = a

f e l t é t e l l e l . F e j e z z ü k k i (Á) - b ó l Ф - t é s h e l y e t t e s í t s ü k (2.4) - b e ; p a r c i á l i s i n t e g r á l á s s a l , r ö v i d s z á m o l á s u t á n n y e r j ü k :

t j

< f , , ï ï > = i < -

f

t o m

A

Most már c s a k f j - r ó l k e l l e n e v a la m i k ö z e l e b b i t t u d n u n k . A zt h a s z n á l j u k k i , ho g y f j £ [ t Q , t ] <= L * ^ , am int e z l á t ­ s z i k a b b ó l , h ogy i n t e g r á l a l a k b a n r e p r e z e n t á l h a t ó . S a j n o s meg­

l e h e t ő s e n h o s s z a d a l m a s u t ó n j u t h a t u n k e r e d m é n y r e , s e z é r t k ö z - b e v e t ő l e g k ü lö n e g y s é g k é n t a d j u k meg:

3 . 2 Lemma: Q := { u Ê L ^ (t) , T c F : u / t / e M c t ^ Vt £ T } . Ha a z € L ^ m/^CT) a Q halm az u Q p o n t j á b a n t á m a s z t ó s i k o t m egha­

t á r o z ó f u n k c i o n á l , a z a z < z , u - u > = 0 ( V u £ Q ) , akk or z / t / az M h alm az u Q/ t / p o n t j á b a n t á m a s z t ó s i k v e k t o r a V t £ T , á z a zo

< z / t / , u - uQ/ t / > R à 0 Vu ÊM é s ^ t £ T .