A felsöbb analysis' elemei. 2.

digitalisiert mit Google

Hinweis: Das Dokument enthält hinterlegte Textdaten, die eine Suche in der Datei ermöglichen. Diese Textdaten wurden mit einem automatisierten OCR-Verfahren ermittelt und weisen Fehler auf.

Bitte beachten Sie folgende Nutzungsbedingungen: Die Dateien werden Ihnen nur für persönliche, nichtkommerzielle Zwecke zur Verfügung gestellt. Nehmen Sie keine automatisierten Abfragen vor. Nennen Sie die Österreichische Nationalbibliothek in Provenienzangaben. Bei der Weiterverwendung sind Sie selbst für die Einhaltung von Rechten Dritter, z.B. Urheberrechten, verantwortlich.

Nutzungsbedingungen

Umfang: Bild 1 - 146

Zitierlink: http://data.onb.ac.at/ABO/%2BZ197918808 Barcode: +Z197918808

Signatur: 54832-C.2 Budan; Budapest 1840 Egyet. ny.

A felsöbb analysis' elemei. 2.

А’гвьзбвв

ANALYSIS’ ELEMEI.

IRTA

GYŐRY SÁNDOR, '

FÖLDMÉRÖ, ’s A’ м. т. TÁRSASÁG, RENDES TAGJA.

MÁSODIK PÜZET.

А’ MAGYAR TUDÓS TÁRSASÁG” KÖLTSÉGÉVEL.

.,.-_--__-.____________: _ .

BUDÁN,

_AJ MAGYAR KIRÁLYI EGYETEM BETŰIVEL

1840.

TUDNIVALÓK

1. A’ m. t. társaság ezen munkának csak kiadója lévén, nem kezeskedik a’ benne követett nyelvszabályokról, sem az irásmódról, sem végre akárminemü nyelvet ’s írást illető elvekről; egyedül arra kívánt a’ kéziratok’ bírálatában ügyelni, hogy az elfogadott és sajtó alá bocsátandó munka, mint egész, egy vagy más tekintetből ajánlható legyen , ’s a’ literatura’ jelen állapotjában kiadásra

méltónak tartatbassék.

2. ~N em vizsgálhatván meg a’ benyújtott kéziratokat a' társaság fejen

ként és egészben: ez, u. m. A’ felsőbb analysis’ elemei, Győry Sán

dor által, Bitnicz Lajos és Nyíry István; mint e’ végre hivatalosan megbízott rendes tagok” ajánlására adatott sajtó alá.

3. A’ társaság által kiadott kéziratok közül ez LXVIII-dik számu.

Pesten,- december 30. 1840.

D. Schedel Ferencz,

titoknok.

TARTALOM.

A’ fnlytonos vagy láncz törekekröl . . . . . ._ 125 — 165

' Möbiusujabb úizsgálatai - 5 A . "1 '. ` .- ' 'E 131 -- 144 Аьампрзаьь заешШеседЬ . ‚ .- . . . из *_ то.

Kerülqtesek Yagy fordulatosok . . '. . ‚3 . 161 —- v164|.

Tört függvényelì. Visszafutó $01'zatolî _v . . . ’ ‚ . l 1_65 __- 205

' Öszçevök égymásbol származtatásu . . .l ‚ ч ._ _177 ---- 1'88_

Az 'eŕedîe't'il Éört függvény feltal'álásá . . . l . 189 f_- 204'

A’ Babbage rendetlennek látszó sorzata 3~dik rangú

_ visszafuqó . . . 205 — —

Kitevölegesek. Siámlaggsok . . . . _ . . '206 - 264

Elemi ki'számítások . l . . . 211 — 214

Természetes számlagok ' . ‘ . ' . ' ' ’f ' u `. ' . 215 -I 218 Idomított. Közszerü számlagok . ` . i 219 —— 221 Átváltoztatâsok öszvehajló sorzatqkká . . . . 222 — 230 Más kifejtések -. ` . . “‘. . f ‘ 1 . 231 _- 235

Számlagi viszonyok’alka|mazásai . . . ' . 236 _ l245

Neper és Briggs kiszámitásainak ismertetése . _ È'Í. 245 - 255 Borda Haros és Lavernède egyenleteinek átalánosabb

megoldása . . . 256 — 264

A’ понтонов VAG-Y LÁch-TönEKEKRÖL. 125

A’ folytonos vagy láncz-törekekröl.

(De fractioníbus coutz'mn's vel опешив.)

А, sorzatok’ öszvehajlásânak îsmertelményeiröl edd-igiekben eléadott lanitmá

nyok,arra szolgáltak: hogy а’ változôk’ és ismeretlenek értékeit, поп eset ben is ha teljesen meg nem határozhatjuk, legalább közelítöleg kitudhassuk szâ mitanì; ennek véghez vitelére azonban még egy nevezetes eszköze lévén az апа—

lysîsnek az úgy nevezett folytonos vagy lâncztörelœk’ tudományában: mi elött tovább mennénk azoknak ismertetését ’s ncvezetesebb tulajdonságait szükséges

leszen elöbocsátani. Erre nézve:

F olytonosdknak neveztetnek az ollyan törekek, mellyeknek nevezöjök, egy vagy több vagy szîntc végetlen számu tagokon keresztül, valamî egész számbol és egyszersmind törekböl tétetik össze. Magában értetvén Вову e’ mel де: a’ tulajdonképen úgy nevezett törek értékéhez, valami különálló szám is járulhat. Például illyetén fol ytonos vagy láncztörekek volnânak:

а a a

:1m 5 B=1T+î R: ‘2+ 1:3

d d+e _ Íi--I-e

f _f_-i-g

_ î+..sat.

Melly kîtételeknek elöterjesztëse're, a’ нашивки a" nevezökföl elvá 1asztó kereszlvonalak helyett, az osztâs’ mâsi'k szokott jeg-yévcl ëlvén, sok ese 'tekben alkalmasabban irhatjuk.:

'VB=a:b-+-c:d; R=a:b+c:d+e:f

l Bv=Q+a:b+c:d-|-e:f-+g:11+... stb.-l

Мёд; vîiägosa'bb általlâlhatás kedviërt pedîg, a’ számitôk’ egymás után

következö tagait, rendel: ад; a2; a3 ... an-nel; d’ nevezökét: 1),; b2; bambn-el

jegyezvén, a’ fo'lytonos törekek’ általános elì'íterjesmtésa vnlami 'hozzá kapcsolt

kíîlönâîlô szâmmal egyůtt: h l` i

1.) = a0 + а, : Ь, +82 : Ь, + аз:Ъд+ a.l tbn; mellyben az:

по; 815 Bz.. . . a,l 5 Ьд; b2; Ъз. la“ jegyelxv alatt анаша mennyiséget érthetünk;

17

126 A’ ransönn ANALYSIS’ вьвмщ.

az alzbl; azzbœ; аз: b3. .. . . a,l : bn által jegyzett törekeket a’ láncz törek’ els ö, rn á sodik , ha rmadi k, . . .. . n dik tagjainak nevezhetjük; ’s a’ lâncztörek maga, (n)-nek véges vagy végetlen értékével meg szakad , vagy végetleuül to

vább folytatik. т’

Ezen kìvül lönnyen láthatô lévén , hogy: mivel akârmellyik adolt azámu tagot, az elötteui tag’ nevezöjév'el , ugyan azon közös nevezöjü lörekké lehet âltalvâltoztatni, ’s e’ munkálatot a’ többì tagokon is hatârozatlanul tovább folyta'tni; mig nem végre az egész feladott láncztörek szükségképen csupán egy tagból âlló számítôju és nevezöjü törekké válik: a’ végetlenül folytatottakra nézve pedig, itt is azon átalános törvény шаман! megkelletvén elégednünls, mi szerint bizonyos számu tagok’ meghatározott értékéböl az eggyel több számu tagok értékét mindîgfegyenlô munkálattal fellalálhatjuk, legelébb is ezen mun kâlatok’ âtalânòs meuetelét fogjuk kìfejtenî. Miuekokáért:

Jegyezzük átalánosan az an : b_-ig folylatott láncz törek’értékét (n)-nck

’ l l l M .

O-tol folyvast elöre menö erteket advan N ' -.nel leszen:

п

El s öbe n n’ szokolt számvelési munkálatok következésében azonnal ;

и =%‘2 :aos meuyböl: М„=ао; По= 1

0

Ш ° E- b1

az az: M1==M0b1+Noań N,=N0b,=b,

___-_LIQ ___ _ _ al b2 _ 80 а. Ь,

.В“”—°°+“‘°Ь‘+а"ь2—°°"'Ь‘Ь‚+а‚_ _Ь.Ь‚+а.

в = РЕ... а +ад_ш шеПуЬб1: М1=80Ь1+а13 П.=Ь.

N2

=<30b1+31)b2+3032 hbz-Fa,

azaz: М2=М1Ъ2+М„а‚’; N,=:N¿b,-l--Noa2

M3 al

=a -l-a :b +а2:Ь -l-a :b =а -+- ___-__

На 0 l l 2 3 О 0 ]`)1_|_aa:l)z_l_a3:l)s

:w+__i;„_„=%+_ï@§iä_.

b,+a,b3:b2b3+a3 b,(b2b3+a3)+a,b,

=а°Ьд(Ь,Ь3+а3)—|—ада,Ь‚+ад(Ъ,Ьз+аз) _М‚Ь3+М‚а‚

Ь1(Ь‚Ьз+аз)+а,Ъ3 " mbH-Nia, az az: M3=M2 b5-l-M,a,; N,=N,b,+N¿a,

R:

A’ FoLY'roNos vAGY LÁch-Tönßxßxnön. 127

Mellyekböl a’ számvetési munkálalok’ menctele láthatô lévén, hason latossâg szerînt egyszersmind azon következést huzhatjuk: hogy à’ láncztörek’

értékét jelent'ó közönséges törekben, a’ számítôk és nevezök egymâsbôl szár mazta'makA törvénye következendö :

о. 1. 2. 5. |..1 ... в.

Шч_ ao М0Ь1+а1 М1Ь2+Мо а2 М2Ь3+ М1аз ... Мп_1Ъ„+М„_28„

N.. 1 N11-1_0 N,62+N062|N,63+N133 N„_1b„+N„_Qa

Példâul számokban legycn:

В=5+5=7+2:9+6:11+7 15=3-1-5=7-1-219+5o=62=5+5=7+121=568 15660 ___

_F24-0 _

Az eléadott egymásbol származtatásoknál fogva pedìg lenne:

=5+2940z4240=

80:5; 81:5; 32:2; 83:6; :14:7

131:7; 132:9; 113:11; b4=5 és így:

о. 1. | 2. 5. | 4.

м„_ 5 5.7+5 26.9+б.2 240.11+26.6 2796.5+240.7

N.- 1 1.7-1-0 7.9+1.2 65.11+7.6 757.5+65.7

5 26 240 2796 15660 M1

_ ___ ____ ___.. =.~ —=в

1 7 65 767 4210 N4

Mindazáltal a’ mondottak’ megmutalâsâul jelentse ¿91, a’ Ьгеп; 1921*"

b2-ön; ‚93 a’ Ьз—оп . . stb. kezdödö és l1alz'u‘ozal.lauulI lovább folytalott láncz törek’ érlékét; ’s ennél fogva:

l a bl +3

д1=ьд+д2: h2 +аздьз+841 Ьд .. . . .$1Ь. Ьоппес 191=Ь1+Ё= %4

2 2

ß2=b2+ag :133+ а4:ЬС+ а5:1)5" ° "St'b' honnét ßzzb: +-Ía§í=b2ßaßî+-ad

3 З

ßa=b3 + а.:Ъ4+ а5:Ь5 _|_ад;ьв ... Sth honnét [QJ: b3 ¿_gt_:ba 1933+ад

_{4 1}

о О l l l о о с о l n p l l ч

ß-_l= Ь._‚ _kal-ï ; (n)nek véges érlékével :I ¿Sl-_, = Ь._1 + = ё'ЦЁЩ

17"

128 A’ гвьзбвв ANALYSIS’ ELEMEI.

lévén itt is: M0=ao; М1=аоЬ1+а‚; 1\Т„=1; П‚=Ь.

p М" I

ha a’ további tagokra nézve tesszük штамм: R=-Ñ- tchat:

R=_.-.IllI-`Í=i-lïg“---*-_al a’ ß; értékét belyettezvén:

Nn ß;

Mn a„(b,(9, + 82) + a; ß: __ (an bx-l-atl [32 + aca: ___ MU?! + nina;

Nn .- blßz-{le bxßrl-az Nnezd-Nna:

következőleg a’ második tagra nézve (n)-nek==2 értéket adván:

M2 yn щ Iv1_„_a, R=NÍ=NszTNo a;

basonlag tovább folytatva, mivel a’ legközelebbiekből:

Mß°+Moaz f ,hief-i- u3 f

R: ’ ' —- es: -- л ' hel ettezessel:

N1192+N0 32 ß {33 , у

В__Ш M1(b2{93+33)+1woa2193_M2483+%5?

_-N *N1(b2ßa + 33)+ No 82193— N119; + No a3 n

2.-

’s ismét a’ harmadik tagra nézve (n)-nek = 3 értéket adván:

M3 M2b3_|_1l'1183 í3 = N2 b3 -i- N1 аз

’s hogy ezen okoskodásokat akármellyik (n_1)dik tagról, a’ következő ("Mikre végellenűl tovább folytathatní, magában látható.

R:

Különösebb figyelemre méltók azonban az ollyatén láncztörekek, mel

lyekben az egymás után következő, ’s fentebb al; a2; 33....an-el jegyzet;

számítók egységet tesznek. Származásuk ez:

Akármi töreknek mind számítója mind nevezője ugyan azon számmal

M N

osztatván, tudvalévőképen annak értéke nem változik, ’s így В =í=1 zí;

most a’ nevezőben valóságos osztás eszközöltetvén, nevezzük a’ találtató hanya dost = b1 a’ maradékot“ = N--Mb1 tegyük =_'- N1 leszen az eredeti törek” ér

M 1 1

(éke B==--__- _{N Nl:} ---M-;

_ _Nl

következőleg ugyan azon munkálatnak

J

A” FOLYTONOS VAGY LÁNCZ-TÖREKEKRŐL. 129

minden maradékoknál ismételt megújításával, a’ törek’ közös legnagyobb szor zója felkereséséhez mindenben hasonlatos bánással találni fogjuk:

н—Ё 1

_N _bl-i-1:1324.l:b3_;_1:b4....l:bn

‚ ‚ l, 3653 319

Peldaul szamokban , legyen: R=--- == 2 + ————; leszen:

1667 1667

R=2+319:1667=2+ _{——- = 2+——-_——}

5+72:319 5+1:4+31:72

l 1

= 2 +

5+1:4+1:2+10:31 5+1:4+1:2+1:3+1:10

=2+1:5+1'4+1:2+1:3+1:10.

Egyébiránt a’ most említett láncztörekekre nézve észre kell vennünk:

=2+

1.) Hogy, mivel ezekben: ад=а2=а3 = ....an = 1; ennél fogva az B=N_" törek” értékét kifejező számítók, és nevezők egymásból származtának tör

Il

vényét , I a’ fentebbi átalános lehozatok szerint következőképen lehet előterjeszteni.

Mn а„ |M„b;+ 1 M1 b2 + М„ М2Ь3+М1 ... М „_‚Ь„ + M„_2 ' N" _ l Nob1+0 N1b2+Nc N2b3+N1 ... Ып_1ьп.+ Nn_2

2.) Az egymás után következő és Mo; Ml; M2 ... Mn-el jegyzett szá mítók, valamint a’ megfelelő nevezők is folytában nagyobbodnak.

Ugyan is a’ számítókra nézve: bn-nek akármi egész szám értékével, egy séget is ide értvén; szembetünőképen: a., = М0 < М„+ 1; ’s annál inkább:

M, < Mobi-F1; hasonlag Mol)1 + 1 = M1 < M1 + Mo; ’s annál inkább:

М1 < M1 bfi-Mo. ’s így tovább.

- A.’ nevezőkre nézve: No=1; tehát b1=1-nek tétetvén N„=N1; el lenben tovább folytatva;I N.,l)1=N1 (Nini-No annál inkább N, <N1b2+N„;

Nl };)2-|-Nu .___-N2 < N24-N1 annál inkább N, < N, Ь3+1`11 ... stb.

M, MI M„N1--No M1 М, M, MiNr-PLM.)

3. _ =—— _-—_—- =—_--`

’m N1 ш N1 ’Nl N2 мы ’

M2 M3 M2N3`-N2M3 r ~

Ñ. __ í —.= T,.„.stb. esmlvel:

_{2 _3 2 3}

Mom-N,M1=M„(N°b,)_N„(M°b1+1)=-N„ = _ 1 _

М1Ы2—Ы1Ь12=М1(Ы1Ь2+Ы„)——1`Т‚(ш11Ьд+М„)=Ы„М1—Моыд=+1

M2N3_N2M3==M2(N2b3+N1)'_N2(M2b3+M1)=N1M2_-MlNF-1

130 ' A’ FELsöBB ANALYSIS’ вьвмш.

а’ kitalált értékek’ helyretételével következik:

М„_1 М n i 1

-— = —

N _, п щ Ими

minél fogva a’ két egymásutáni törekek’ értor-'slaf'anek` külzése váltogaiva állitôbol {а—

gatôvá Stb. változik; _ ezenkivül; mivel az átalános külzés’ kitételében a’ szâ mítót egység, a’ nevezöt pedig az egymásután következö ’s mindig nagyobbodô NHA; Nn-el jegyzett mennyiségek’ tevete jelenti: ehez képest a’ mondott 1161—

zésnek szükségképen mindígr fogyatkozni , vagy is a’ számbavett több több tagok’

értékének, az igazhoz mindig közelebb járulni, ’s annál-váltogatva hol kisebb

nek hol nagyobbnak kel] lenni. Мену tulajdonságukért, a’ szemlélet aláfogott

láncztörekek’ több több összeszámított tagainak értékei, közelitö törekeknek

mondatnak. `

4.) Az egymásutáni közelitö törekek, egyszersmind a’ lehetö legkisebb

szâmítôk és nevezök által adatnak, ’s azokat közös osztóval alább szállitani nem

M _

lehet. Meri: tegyük fel 1105)!Ы n 1-nek közös osztója volna (а) kellene lenni:

д -—-1

(Ц, М„_‚-—М .1‘Т„._‚):а 1:а ‚ Q

= mar pedlg

N .Nn _,:a Nn. N„_,:a Nn NIP1

vül más közös osztôja nincs.

5.) Az eléadott osztások közben bl; Ьд; b3 ... 1)п helyett a’ lcgköze lebbi nagyobbík hanyadost vévén, az után követlsezö törek tagadóvá válik. Igy a’

319 ‘1

1667 _ 6—247:319

nagyobb Ilanyadosok’ vételével a’ tagokat hol állítòkká hol tagadôkkâ tehetni,

шаманы ez esetben a’ fenlebbi megulatások helyet nem találván ‚ а’ láncztörek -nek az egységen ki

fentebbi példában lenne 3 ше11у szerint hol kisebb hol

azon jeles tulajdonságálol hogy az igaz érték az összeszámitott eggyel több, és eggyel kevesebb lagok’ értékei közé esik, megfosztatnék. ЕПепЬеп:

6) На szìnte b1; b25b3-nak sth. a’ legközelebbi nagyobbik hanyadoso kaì'; tesszük is, folyvâst és kivétel nélkiil igy tévén minden fentebbi megmutatások

ismét alkalmazhatôk lesznek; mellynél fogva a’ mondott tulajdonsággal bírÓ Еще:—

törekeknek a’ követkczö formáit találjuk:

1.)а:Ь‚+1:Ъ‚+1:Ьз+1:Ъд ... stb. és 2.) а:Ъ‚— 1 :15,- I :ba-_ 1:Ьд.. ... .. stb. vagy:

3.) a:b,+-1:-b,-l-1:---b3+1:-b4 stb.

A’ FOLYTONOS VAGY LÁNCZ-TönEKEKRőL. {31 Ez utóbbiakra nézve:

II.) Jegyezzük rövidebben az: 1 :Ьд+1:—Ьд+ 1 : -ba . . . . stb. láncz

töreket így (b„ b2, b3, bn) a’ következő egyenletek valósága azonnal szem

betűnik: .

1 1

1. b =-; Ь Ь =————- b Ь Ь Ь.

) ( 1) Ь1 ( 13 2) Ь1_ (чья), ( 17 e, 3) lll-(ba, ba) st'

'tal' Z b =--‘ Ь ... b :___-__ 1

az aza anosan (1) Ь1‚( , _ п) ь1_(ьвппьи)

nem különben megfordítva:

1 1 I.

2.b=_;b---b=-_-'b--b Ь =--_-stb.

) l (b1) l ( 2) (bl hangi) „vu. ( a, a) (bl, b2’ b3)

1 »I> ‘ 1

'tal' san:b==--- Ь— ... Ь=

a an“ ‘ (Ьд’ ‘ а” д (Ь: ... n.)

` 3.) (b, ... bn) = [Ь‚,Ь‚——(Ь3...Ь„)]

=[Ь1‚ b2, Ьз-(Ьд. .. .Ьд)]

=[Ь1, bg, b3, b4-(b5.-..bn)]

. . . . . . . . . . ¿_ ‚ее.

4.) (Ь1 ... Ь‚‚,оо) = (b, ... Ьц) -'. ‚.

5.) (b, ... Ь“ 0 ) == (b... Ь„_,)

Legyen a’ változók egymástól függése láncztörek által adva bn +1 helyett

y-ont tévén e’képen: _ d ld) _v_ ‘_Q 1

х=(ь‚‚ь‚.... ь„-, у) következik: (1. szám) ‘ а

1 Llädszölüä ШЭИ '

x: —_-————-—— honnét: * = duma (В 1

Ьд—(Ьд ... bn, у) '

(b, ... Ь, ‚ y) == b1_- ;—==Ьд— (х) az az: (2. szám.)

1

Ь ... Ь = ’ ’bb fl tat :

(‚ п,у) (ъцх)въоча oy va (b

... n

Ь ›

=

ь (Ь ›

—-- x =

1

3 , y 2 s, (b2,bb x)

1

(Ь. --- buy) = b3""(b2, bl,

(b3: b!) bla x)

1

1.32 _A’ FELsöBB ANALYSIS’ ELEMEI.

mig nem végezetre :

1

l)n == -———— mell ből:

( , (1)„_1 lbu-g ... Ь 1, X) у *

’l

(y) = Ьц — (Ьп _‚Ь„._д ... 1)„ b„ x,) = az az mivel (y) == — 6.) X = (bi, b2, b3 ... bn ,

у=(ьд, bn...” l)„_2 ... b1,x)

mellyek közül egyik egyenletnek, a’ másik mindenkor szükséges következménye.

' Mivel továbbá egyszersmind, az utóbbi két egyenlet szerint az x akármi meghatározott értékének, viszont az y-nak is csupán egy meghatározott értéke Ге—

lelhet meg: ennél fogva az х és y közötti viszonyt, ezen átalános egyenlet alá

foglalhatjuk : `

7.) A-l-Bx-l-Cy-l-ley = 0

mellyben х és y változó lévén ha y = oo; találtatik:

a’ 4-ből х=(Ъ1 ... bn) a’ 7-ből pedig C+Dx=0 ’s innét:

C

8.) Б =V «- (bx ... bn)

ellenben lévén y=0 ; találtatik:

az 5-ből х =(Ьд ... bn _1) ’s a’ 7-ből A + Bx: Of honnét:

A .

9.) Б = ’_ (bl ... Ьп._1)

Nem különben ha х = OO találtatik:

4.) és 6.) szerint y = (l)n ... bl) a, 7-ből B +Dy=0; ’S innét:

B

10.) Б- = — (b,l ... bl)

Y ellenben lévén х=0; találtatik:

5.) és 6.) szerint y = (b... . .. . bz) ’s a’ 7-ből A+ Cy==0, honnét:

11.);1-3 = — (Ьп ... b2)

I .

, I I ‚ I ч ° A l l

mmekokaert talalnl fogjuk Б-пеЪ ertekét egyszerü szorozással a’ 8.) és 11.)-böl

nem különben 9.) és 10J-1?@ egymáshoz egyenlítve:

‚1‘ FOLYTONOS VAGY LANGZ-TÖREKBKRŐL. 133 A

12.) (ь... .. ь„) (1),....b,)=(b„....b,)(b, ... jb„_,)= Б következőleg: ‚

(Ь,....Ь„) (Ь„....Ь,)—(Ьп ... Ъ1)(Ъ‚....Ь,__1)=0

és így a’ fentebbi 7-dik szám alattival azonos egyenletbe:

A B С

Б + Б- х+Б у +ху= 0 а’ kitalált értékeket helyhetvén t

a.) (1),.. ..Ь„) (bn. . . . Ьд) -—(1›„.. . .IMX-(11,. . ..b„)y'+xy=0 (l)n . . . . Ь1)(Ь1 . . . .bn_1)_(bn. . . ‚Ьд X- (bg . .. . + xy=0

szorzókra osztva , mivel:

13.)

,1y-y (1),. . . . b__)-x(bn ... ь‚)+(ь„ . .. .1),)(b,....b„)=[xf(b,...b„)].Ly-(b„....b,) 1

и.) anx-(1),. ..b„)].[y-(b„...b,)]=(b,....b„).[(b„. ...ь,)_(ь„...ь,)1

b.)[x-(b,...b„)].[y-(b„...b,)]=(b„....p,) [(ъ„...ь„)_(ь‚....ь„„,)1 l ezenkívül: щ

X-(b,...b„)=(b,....b„,y)

1 ‚

’_ Ь..°..Ь1 =———__————— fián; 1;'

(b J

1 ... n ‚ _' bl . . . . bn

) (361% --- bn) k*

15.) y) ( ) =(1„ ... 1),) . ..b,) _ (bn ... b,)1

(y,b„...b,) _

. . . = (b„....b,) [(ь‚. . . .Ь‚_) -.(Ь,„..ь„_.)1 Mostan y helyett hmm-et helyhetvén , ’s a’ (bh... Ь„„)—(Ьд.. .Ъ„);

(b, ... Ь„)—‹ (Ь, ... Ь„_‚); (Ь‚. . . . Ь„__1)— (Ь, .-: . . . bnn) . .. .. stbf külzéseket il

' letőleg: AO)1 . . . . bn); AO); ....Ь‚,_1); А(Ьд...э. bH)-yel;á.. stb; jelölgén:

16.) a)A(b1....bn)=(b„„:;....b1)(bn....b1)A(bl...b„_,)L' ' tehát egyenkint és egymásután kifejtve: _

Ь) А (b: › bz) = (Ьз a b2 a bl) (be, b1)A (bl)

А (b1 bz ha): (b4 133 132131) (53 Ь: Ь1)А (131132)

А (Ь1Ь2Ь3Ь.%(Ь‚ b4 b3 b, b1) (b4 hab, Ьд'А (b, b, b3)

o s I Aufl!! ‘l

_ (мы, már pedig: ч ',L Y,1

' 1 1

А (b1

‚

2131- 1 : b2] -l:-= т).

з l x 2'-`

b, 1 1

-—= [1 : b2 —- 1:11,] . Б— =(Ь‚ Ь.) (Ь‚)2 ennél fogva:

= Ш: ' b? ‘Y

с)А(Ь1) =(ь‚Ь.)(ь‚2) _L y

ê(b1b2)=(b,b,b,) (bablym, - .. I „

18

134 А’ ввь'збвв ANALYSIS’ ELEMEI.

А (Ь, bg b3) = b3 bg b1) (b3 b2 1)!)2 bl)! (bl)?

А(Ь1.. (1)5...- bl) (b4 ... bl)? (bah .b1)2 (132111)? (hl).E következőleg :

d) (Ь‚...Ь„Ь„‚‚‚)—(Ь1....Ь„)__ AU); ... bn) más“ el

^{' — ‚ _ —— —— ‘ 1:}

1 1. ) (bm, ... ь‚) (bn+1 . . . ь1 Р

b) [x —(Ь‚. . ..Ь‚,)] . [у—(Ьд. .. Ьд] = (bn. . . Ьд)2 (br, . . . . Ьд)? ... (Ь‚Ь‚)?(Ь‚)°

’s ez utolsó egyenlet szerint az [х—(Ьд. ...bm . [y-(bn....b,)] tevete szükség

képen mindig állító lévén: ha х Ё (Ь‚....Ь„) azonképen kell lenni: y Ё (b„.... b.)

Továbbá: (b1. . . .ь‚) [(ь‚. . ..ь„) -- (b, . . ..Ь„_‚)1

== (Ь, . . . .„Ь„) [(bn . . . .bl) -— (bn . . . . b2)]

honnét köVetkeztetjük hogy mivel ezen egyenletben , Xn, második rész az elsőből csupán az elemek, egyszerü megfordítása által származik , az első“ rész ben kif'ejezett külzés nem változtatja értékét h a b e n n e a z e l e m e k m e g ford ítot t rendel ira tnak, ’s illetőleg (bn b1)eleme._kh elyett, a’ (Ь, ... bn) elemekk el az egyenletbe foglalt munk ál atoká t v é g e 7. z _ü k.

Minekokáért a” iG-dík szám alattihoz mindenben hasonlatos hel yettezé sekkel találni fogjuk:

18.) а) (Ь„ . . . . Ъ,)9(Ь„_д. . . . Ьд)2 . . . (Ь‚Ь1)2(Ьд)°=(Ь‚ . . . Ь")2 (b2. . . bn)?....(b„_,b„)"~'.(bn)“

b)i(b„'. ...b1).(b„_, . . . b.) ... (b2b,) (bl)=:*:(b1 . . .bn).(b,. . .Ь„) . . . .(Ь„_1Ь„)(Ь„)

vagy is; egyszersmind a’ kettős előjegyek miatt támadható kétség eloszlatására

a’ 12-dik szám szerint leszen:

(Ъ, Jun) (bn....b2) = (bn... .b,) (131.. ..Ъ„_.,)

(b2. . . .bn) (bn. . . .ba) -= (bu . . . .b,) (b2 .. . .Ь„_,) _

(Ь3.. . . bn) (bn . . . .b.) = (bn . ....Ь3) (b3. . .‘.bn_.,) ' ' ‘ (bn-2b„»-1bn) (bghs-1) s: (bn Ьп—я'ьд—п) (bn-2 bri)

(bn-ibn) (bn) = (bahn-1) (bn-1)

az egyenletek, első ’s második részéit egymássallszorozván , a’ két részben

előforduló, (Ьн . . . . h2); (bn . . . ba) . . stb. közös szorzók elhagyásával : '

ш. ) (ь, . . ..ь„) (1›,. . .ь‚)‚..., <ь„_,ъ„) (1)„)=_(b„. . ‘bg gbl. . î . LH) ... t b__2 11,.-.) (br.)

‘ _ ‘1 tegyük ezentúl: ' - 5 -' "

{hiru-u. .

(b, . . . . bn) (ь, . . .‘.ь„).. (ь,_‚ ьд (ьд =

20.)

A’ FOLYTONOS VAGY ьАыси—тбввквкнбь. ' '135

mellyből egymásutáni származtatással könnyen találni fogjuk:

_ 1 = (bl ... ы) ibi. . . .Ь„} {bl ... '

'1 (l)n_1 . . . . b1)

{bl . . . .b"_ 1} __ и); . . . . 'bn_g}_

1. (bn_2 .v. . .

¿b1 .. ..b„_,} gb.. . .. bra;

. . Y - - f- d _____ ,li

4 (ha ... bl) Г

{Ь.„..Ъ3;} _ A {131, bg} hl“.

I, ' Lil-uuu?"

(„A ё {bi ha}: lbm}. ‘Éd ,6;

és így; mind kétfelől szorozva, a’ közös szerzők? elhagyásával , mivel egyszers

` d _ = l

111111 )1

l Í

(l)n . . .b,) (Ь„_,. . .1›,) ... (Ihh!) (b1) llounct: will, i

21.) (l)1....l)„) (b2. . . .Ь„) ... (bn.1 Ь") (bn) =(l)n .. . . bl) (br. . ..Ь‚) ... (l), bl) vagy is: {bl ... l)„} = {bn ... bl} 4 következőleg az elemek, {h1 ... bn}-el jegyzett függvénye nem változtatja érté

két ha benne az elemek visszafordított rendel vétetnek, ’s ez _ulóbbi klimatol;

szerint a’ jegyek iránt is kétség nem támndliatván az állító {bl . . . .bj-nek ugyan csak állító és egyenlő gl)n bl} felel meg. Továbbá:

c' Megállapított eljegyzésünk szerint:

1 _ sbl gi). _ _b )Wi (таща (ь.... ...ь„)(ь,....ь„) ...„(ь„_,ь„)д(ь„) “MÁI. _ _IU .

y 1 1“- 2:51) ... tehát:

(1),T...1)„)(133....b„)....;„(b„_1 b“) (b„)"_ fd? ' j ‚

22.) (l), b) = {bah I l Ibn; == ih" ... bg} l ~ ‚ 'l .

“ {bl ... щ ' °{b„.„„..1„*g-„gr“d 7572- ' t '

mellyuél fogva а’А(Ь,...‚...Ь„) láncztörekct mindenkor a’ legközelebbi hanyados

formában lehet _előterjeszteni. Hasonlóképen ismét azon jegyezés következtében:

{Ь„_,. . ...big 'gbl ‚д; .Ь‚._,}

{ц ... b,}- gb, ... щ

› _» ` I ‘

es mivel: '1 ‘di п-т - ›—

23.) (Ь„. ...ь,) =

19'

136 A’ FELsöBB ANALYSIS вьвмш;

(ь

д. ...

Ь)

=———-——————

' 1 (13111 )

. . ‚52. =————————

1 (23 s )

. z.

‘ Ь„—(ь„_‚....ь‚) Ь {ь,....ь„_2}

‘_’ gbl .. . . ь„_‚:

gb,... .b„_,}

== leszen a’ 23-dik sz. szerint:

{hln . . Ьп_1}Ьд _î 1. . ‚Ьд._2}

{Ь1 ' ' ‘ ' ьп—1} {b} """" hlx-lì l

= azert ls

1b, . . .b„_,} Ь„ _ 111,. .. . 11H; gbl ... Ь,‚}

{Ь1- . - ..Ьп} '=: {b} ... Ьг1} bn _ {Ь1- о . ..Ьп__2}

mellynél fogva lévén egymásután:

{Ь1... ..Ь5} = {b1.¢. .b‘}1)5 '_ {Ь1.. ..Ь3}

{bl...b4} --. {bl - -- Ьэ} b4 _ {131 132}

{Ь1...Ь3} = {b} b2 g b3 _ következik:

{Ь1 ... Ьд} és {b1....b3} élttékeinek egymásutáni helyettezésével:

{b} ... Ьз} :_ {bl l. . ha ì (134135— {b} 132} b5

. =811szb3(b1b5-1)---115)--{bl}(b4b5- l)

1

Mivel edi: ЪЬ2 =-————=Ь Ь —1ёз Ь} =——- =Ь

Р g {‘ 3 www» ‘ ’ “ (b.) ‘

látnìvalóképen a’ {b, ... b5}-el jegyzett függvény a’ maga elemeinek egész, ará nyos (rationalis) függvénye: ’s mivel az elöterjesztett lehozatokat akâr hány ele meken keresztül folytatllatni , ugyan azt kell állitanunk a’ határozatlan számu ele mekböl álló {bl ... Ьп} függvényröl is; ’s annak következtében akami (b1. . . .Ь„) láncztöreket közönséges törek formában lehetséges elöállítani, mellynek mind szá~

mítòja mind nevezöje a’ maga b1; 1:12 5 b3; . . „Ьц elemeinek egész, arányos fiigg

vênye. y

F entebb a’ 16. 22. és 23-dik számok szerint találtuk:

А (b1. . . . Ь„_1) = (bn. . . . Ь.) (br, . . .b,)'2 ... (Ь4Ь21зд)2 (Ь2 Ь‚)’ (Ьд1

_(Ь„....Ь‚)_ 1 __ _ 1 ~ __

""" _“¿b„_,...b1}_§11„_,....11,} gb„....b,}`"{1„...b„_.} gb,...b„}

az az A011 . . . b„_1) = (Ь, ... Ь„)г— (Ь, . . . . bwl) 1 gb. ... Ь„} gb.. .. мы} ‚

{Ь1....Ь„_1} {b,...b.1 :511, . . . . Ь„} “ {ь1....ь__‚; “вы“

25.) gbl ... Ьгд} {132 . . . .bmg ‘_ {b} . . ... bn; {131 ... Ьд_‚1} = l

A’ FOLYTONOS VAGY LÁNCZ-TÖREKEKBŐL. 137 A’ l'I-dik és Slo-dik számok, öszvehasonlításával: l

1.

'—Ь....Ь. _huub = -—

ш ( . „п [y ( „ м ¿bl ... bn}:

’s a’ baloldalon a’ szorozást valósággal végre hajtván , mivel egyszersmind:

b . . . . b Ь . . .Ь _

___-ì 2 “};(b...b,) =____{‘ " ‘Ё

{bl bn} {bl bn}

szám alatti értékével: А

27.) {Ь‚....Ь„} ху—{Ь,....Ь„_1}х—{Ь‚....Ъ„} y-I- {112....b„_,} :0.

Továbbiakra nézve , tegyük fel a’ láncztörek’ elemeit két. szakaszokra

felosztva, ’s ezen feltételnek megfelelő eljegyezéssel, a’ két változó egymástól függésének előterjesztésére adva legyen a’ következő egyenlet:

1.) а) х =(b1, b2. . „Ьш, l),n+1 b'l b's ... Ь} , у) те11уЬб1:

b) х== (bl, b2 ....b,„,bm;,-(b{ Ь,’ . b; ,y) és így tétetvén u = (Ы , ha' . . . b; , y) c) x =(Ь1‚‚ Ь2 . . . . bm, ha“ - u)

nem különben ha tesszük Ьшд— u: v

d) x~=(b„b„....b„, v)

(bi-l bn) == 22.) 23.) azonkívül 1~nek 25-ik

` Legyen ezentúl: '

(l); . ... Ьт)=а;‚(Ьш`....`Ь1)=р;1:{Ь,.;.-..Ь‚„} ==7 j

(Ь'дд . . .b'u.) :d5 (Ь’н . ...1)’1)-~ß' : {bßh I`_>,¿_b’n}__=y- ‚

’7€

2.) a) (x-a) =72

Ь) (ll-WNY —19)=7’2

-u

m leszen a’ 26-ik szám szerint! 1 ~ fn

è mellyekből mivelzwg___ ъ (SSL- Ъ) .

v helyett annak fentebbi értékét

bmúj- u-t tévén, és bm„_ p_.av_t ¿wal

„Gw .s Wmi jelelvén: És?“

úgluxeáomtwdul отл k:s SÁL. - ' . ~

i

Hasonlatosképen ha tesszük:

(bt-..-b'..)=w"; (b'..~--bn)=5';l =(hL--- -b'..)==,7” s` Ieszem

d.) (X-d') (У-дц)=7"’2

Az a) és Ъ) alatti egyenletekből pedig következvén, hogy ha v; és így az

zal együtt u; végetlennek tétetik, egy részről a) szerint. kell lenni x= a más

138 A’ FELsöBB ANALYSIS’ ßLmím.

részröl b) szerint y == ß'; nem különben a’ d) alattiból ha x a“; y = OO; ’s

viszont ha y = 19”; x=OO; ezen háromféle öszvetartozó értékek, helyretéte

lével találni fogjuk:

3-) а) :f2 =(a"--“)3; 7"=(.5"-'ä')ő; 7”*=(а—*-‘а") (ly-19")

’s ezen legközelebbi egyenletek, segedelmével:

„ „ fw , .. 7/27“ „ fr”

b-)(“ -a)‘= 7;(19-t9')'==-;-5 5“ =7т

„ W" 7'7" 77'

C-)(“ _“)=',_5 '-(9)=_35=T

7 ï

Hogy a’ alatti utolsó egyenletekben ugyan azon jegyeket kell venni, onnét kitetsző; mivel ha ellenkező jegyek vétetnének, például: ‘

II I N

и I I 7 y " ’

а _ a :__ i _I__ses ß' _ß' -_-_ ;_ kovetkeznek:

7 7’

l, l 77H .ylyll 'l

(a __a) l :_y:

7 -7

az a.) alatti egyenlet ellenére melly szerint kell lenni:

(05' — а) (tT-15") = 2'"2

Nem különben ha ellenkező jegyek vételével, tétetnék;

н ‚

П I _ 7

a ŕ a =i.„,__; es: ö = + T; hasonlag következnék:

7 7

_ и 7 l

(a"-a)a=-r_}:- 4—1—72

szintén. az a.) alatti egyenlet ellenére , melly szerint kell lenni;

(cf-a) ö = y2

Annak megmutatására továbbá, hogy mind két részről az állító jegye_

ket kell vennünk, a’ következő lehozatok szolgálhatnak. l

Az „Ba“; y; y'; у”; értékeit(137lap 1. szám)vissza helyhetvént

{br b, мамани;

ь ... 1);-1), ... Ь„=Ёщ „о. '

(' ) ( ) {b1....b„}.{b,.... душ“

i Ь’ ... ы;

l ' I .--_-_-

u)2 ... ы:

, _ Ё

Ь ... ь

, п}(22.) sz.)

gh. ... Ь„}.{Ь. ... Ь„} gbl ... Ьд} 2ь1 ... b3

' l honnét: '

i g1g.,....-b;=gb, ... ь„;.{ь‚ ... :gx-gb, ... ь;;;ь‚....:ь„;

SA’ FoLY'raNos кают LÁch-Tönsxnxnör.. '139

mivelpedig:

{Ь‚...Ь„} {Ь.з ... Ь1'} j- {b, ... b{} {Ь2 ... Ь„}

== {Ьд Ьп} {Ь2....Ъ„+‚}Ь,'—{Ь‚..'.-.Ь„} {Ь‚ Ьп}

gb;....1»„;11,'-1-gbl...'.b„;gb2 ... b„;

gb, . . . .ь„‚;ь; -- gbl. ...ь„„} gb, . . _ .b„; ь;

= b1’ = 4 továbbá:

gbr. . ..Ь„} {Ь‚ ... Ы} 4- {Ь‚ ... Ы} {Ь2 ... Ьд}

={Ьд....Ь„} { 2....Ьд’}Ь'2—{Ь‚....Ь„} {Ь1....Ь„‚‚‚}-—{Ь1 ... Ь{}{Ь„....Ь„} b2'+{bl....b„,1}{b2....b„}

={b,....b„} {b,...bl'}b2' -- {b,...h1'} {b2....b„}b,' -- {Ъ1....Ь„} {Ь2....Ь‚„‚} + {Ь,...Ь‚_„} {b2...b_}

= b' b2' — 1 ={Ь1' Ьд'} ì azonképen:

' {b1 ... b„} {Ь2 ... b3’} -- {Ь‚. ....Ьз'} {b2 ... b„}

= {Ь‚....Ь„} {b2....b2'}b3' -- {Ь‚„..Ь„}{Ь2....Ь,’}—{Ьд ... Ы} {Ъ‚....Ь‚_}Ь3' +{Ь‚.„.Ь‚’} {Ь2....Ь,‚}

={Ь1....Ь„} {b2....b3'}b3’-{b1...h2'} {Ь2....Ь„} b3' —-— {Ь‚...Ь„} {Ь2...‚Ь,'} + {Ь‚....Ь‚'} {Ь‚...Ь„}

== {b' Ы} ha' _ {bf} = {Ы b2' ba'ì

’s tovább folytatva:

g1,l ... 11„;g1)2 ... b;;_gb, ... Ы} {Ь‚ ... ь„;

:1gb ‚‚‚‚‚ 1),;g1,2....b¿;1„'-gb...b„;gbz....b;;--g1>,....b3';gb,...b„; b.'+gb, ... b;;gb„...b„;

= gb ... b; g1);....b3’; ы — {ь‚....ьз’} {br-.11.3 51'- gb....b„; gbz....b,'; + gb...b;; gb,...b„;

= gb; ъ; ы; 1);- gb; 1);; = gb: b; ъ; ы:

mellyeknek következésében akarhány tagokon keresztül lévén mindenkort {Ь ... Ьп} ib2 .. . .Ь„’}— {Ь ... Ьп’} {1)2 . ... bn; ={b,'. . ., b„'}

nyilván van, llogy az egyenlet mind két felén az állitó jegyekel, kell öszve venni.

A’ с.) alatti egyenletekben elsöben 15”; ß' ; 5/‘5'7"; y; értékeinek helyeltezésével gb, ... 1),; ‘f

\ nem kl'ilönben д értékét. ÍS hclyettezvénî + _ . l l {bp . .-'Ьд‚}

5. „—Ь„ ... Ь‚— Ьд....Ьп

Ш ( ) ( ) ;ь„...ь.;. {Ь„_.д.ы

és mivel:

{Ь ... Ь„-‚} ‚ {ы ... ы; "

=— ° Ь ....Ь’ =—-—-_- '

(bril-bi) ‘ Яма-мины .1.::"‚.°) ‚::;‘3Ь,’4;:.`. Д};

4.) ь‚;.. . .ь‚)_ (bg. ...Ь‚’) '__-_

„в...

140 A’ гвьзбвв ANALYSIS’ ELEMEI.

6.) {h1....b„} {b{....b,;} bn“ - {bl ... bu'}={b,...b„_l} {b,'...b„'} + {b,...b„§ {b¿'....b„'}

vagy mivel: {b1. . . .bn} bn“ -- {bl . .. . hrl} ={Ь1 . . . . bnn), 7.) {b1....b„„}{b{....b„'}={1....l)„'}+{b1....b„}{b;....b„'ä

C.) Az előadott tételek alkalmazása végett:

Legyen a’ feladott láncztörek négy szakaszokra felosztva , ”s ezenl felvé

. telnek megfelelő eljegyezéssel:

x=(bl....bn;b„„; b1'....b,','; bçm; b': ... hx; b'.;„;b'.".... by; y)

’s tétessék: ‚

x' =(b1' ... Ьп’; bg“ ; Ь’; ... у) ' x"=(b'; ... bgg; Ь:;„; Ь';‘ ... у)

х”==(Ь;"...Ь:’; у) x = (b1 ... bn; bm — х')

‚а = (b; ... b; ; b'm- x") x"=(1)'.' ---- bx; bm- x'”)

:(b'y . . .. И; у)

’s tegyük rövidebben : (131.. ..bn) = a;(b„....b,)=p;1:{b,. ...Ь„} :y

(b' ... bí.) = 055031. - - - bí) = {9,5 1: lb1'- -- Jin} = Y'

(b'; ... bg) =a" ;(b',;. :ß'5 1_: {137. . . . bg} =7"

(1):,” U _ .bg») = a'"; (b;;'...b',") = 15‘”: 1 : {b'g'.... bg} = 7'”

ennél fogva a’ 26-dik szám szerint (137 lap) 1.) (х _- a ›‹Ь„„ -x' -ß> = f '

) (bird-X" —р‘) = 7,2 ь- a" ) (haul - x'" - 19") = 7":

__ ос" — a'") (y -ő"') =7'"'

« u. mell _yekböl :

ч

+ y'

х :zza ,

bmi-ß -x

'I

‘I ...d _p__-...L_

. _’ I w „I' .

bud-18, _X

"2

" _..a" 4

bíín "- lg” _ xm

lll г

за" =‹› + III „

’s végezetre az x'; x" ; x'" értékeinek egymásutáni helyettezésével:

A’ FOLYTONOS VAGY LÁNCZ-TÖBEKBKRŐL. 141

2-) X=a'H'21[b„+1- ß -- ß'] '- 7,2: Íb'„+1-ß'--¢¿' -7/'2 г [Hm - ß" -- am]

_7/'12 z у— ß,"

mellyek szerint a’ feladott láncztöreket, annyi számu tagokbol állóvá lehet által vál toztatni , a’ hány szakaszra az elemek felosztattak.

Még ezt is azonban kiszámítás végett alkalmasabb formára következőké pen vehetiük. Legyen:

x-a=z; x'- a’ =z'; x"-a" =

leszen az elébbiekből(1401ap. 1. sz.) 3-) z (bnn-'ß _aI-_Ü = 7в

z, <5n+1_ß`-a"_ Z") = 7,2 (b:„-a'-a'"-z'" = у“

z," 7,112

. Mivel pedig (139 lap 5--dik szám) szerint:

п m m m

Z ;x _a :Z

,__ , , __ {b,....b'„}

Ьпд—б' _a -bn+1_(bn.n-.b1) (b1 ... Ьд)—ч ————-——_"{ь1'.пьп} {Ъ,1....Б°}

, , ‚ ‚ , ‚ ‚‚ {Ь'1 ... Ы}

ь '_ “a, :bn-y.- n'a-cb] _ Ь, о... д =

b“ ß’ ‘ (Ь a ) ( ‘ b) {b',...b'„} w', ... ы;

gb", ... ы;

Ы, — ' _ "`=b'.'I+ -- b;....b" -- b'" ....Ь': =

‘ ß a ’ ( 1) ( ' ) {н'1 ... bz} {b"'1 ... их}

és (135 lap 22-dik szám) szerint:

„ gbr' ... 53-1}

,_ _- _ by ,,,,, ' -—_, _ _____.

3 ß у ( ‘ ) y {br ... 5;;

honnét ezen értékeknek, ’s nem különben y; y' 5 7"; 7'" értékeinek helyet

tezésével; els őben:

{bl ... ь;} 1

4. ) z {___-____ r = ___.. jbl. ... ы {ы .. .. ы; Zl {ь, ... by í ' {b;...b;} Lgb;....b'„} {br ....bjj} 2„1 _ "щ... ... by 1

„ ' {bf-„ubi? 1

z „ п m l» _z :_T-_I_

Lib, ...b.} {ь‚ ... b.; {bl ... by

'n '- l," u «...b:_1}] l

z y- l" M = и т

L {bl ...b.} {ы ...ь.;2

annak utánna: tétetvén rövidítésük

{b,. . ..b_}z=v; {Ьд’ ... b'.}z'==v'; {Ь.”... .. b'.}z"=v"; {b{"....b';'}z"'=v"'

19

142 A’ FELsöBB ANALYSIS ELEMEI.

5.)v [{b,....b’„} -- {Ь‚....Ь„} v'] ={b,' ... Ы}

‚т’ [{Ь,’ ... b’.',}--{b,' ... b'„}v"] = {bf' ... Ы}

v" {b,"....bf,'}-{ "....b'ß v'"]={b1"’ ... 53}

v"’[{b1"’....b'.'.'}y--{ {"....bf,'}] = 1 végezetre lévén:

Ь + v __‘{b2 ... Ь„}+ v

x=“+z“(b*"" ") {ь1 ... ь; {ьг ...,ь„; {ы ... ь„;

szorzókra osztva leszen:

1 .

6.x=---_--[b2 ... b„}+v

) gb. ... b3 î 1

niellyböl a’ v; v'; у”; v"' értékeinek egymásutáni helyettezésével;

» __ {Ь:...Б..: .‚ „

7.){ь1...ь„} x_{b2...1,„}+ мимы} _ {Ь1....Ь„}{Ь1 ...ь„;

Ь '....b'n b1"'...b','.'

ib:...b';§-{-l-H_}

{b1"----bï}-m--r,r-,„-

gbl ....b„;y--;b, ..,b„_,}

A’- Möbius által ген; ezen ujabb szerńléletek fìgyelemre méltóbbaknak látszottak, mint sem hogy azokat elmellözhetöknek tarthattuk volna (l. Supple ment zu G. S. Klügels Wörterbuch v.J. A. Grunert.) M ellyeknek felvilágositására

a’ föbb tételekben 7 legyen P é l d á ul:

1_) lg-î)=x= 1: 2 -- 1: 3 -- 1 :4-1:5---1:ykelllenni(132lap 6dikszâm)szerint:

r

. 52

y=1:5-1:4--1:3---1~:2--1:--

honnét: у=1:5—5:1=00а2 а2:

52

x=--=1:2-1:3-'l:4-115(1311211) 4-ik szám) ₈₅

ellenben ha:

52 . .

x=§r-=~1:2--1:3-1:4--1:yleszen vlszont: .

l) .

52 у=1:4-—1:3—-1:2—1:—

‘ v85

honnét у=5 és hasonlag:

52

x_-.;--_=f1_:2-1zîì-1-4--1:5 Ед .

. в

A’ FOLYTONOS VAGY LÁNCZ-TÖREKBKRŐL. 143

А V

2.) Ugyanezen példában lévén %5: x: 1: 2- 1:3 _1: 4— 1 : y leszen:

52 52 --'ll

x-- (Ь1....Ь„)=———[1:2 -- 1:3- 1:4]=- -- honnét:

85 85 18

X

“936%

1"°°

b) 935' >b

(10100» n,

b) ha l

SOnag.

-5

_y-(bn...b1)=--[1:4--1:3-1:2]:5 1-8- azaz:

90 5 ', ,

у= Е; (Ьп _____ b1)=-1-§ es у) (bn ... b1); vegezetre:

(134 lap 17-ik szám)

Legyen х

73

= (bl ... b5) menyben:

111:3; b2--f-5; b3=-_-1; 114:-4; b5:--7; Mivel :_

{bl ... hs} = {Ь5.., „bg (135 lap 2l -ik szám) leszen:

x=1;3-1:5-1;1-1:4-(1=7)=(b5)

:1 :_3-1t5 —— 1:1—(7:27)=(Ъ4Ь5) v

= 1 :3_1: 5 _(27:20) = (b3b4b5) :l: 3-(20 : 73)=(Ь2Ь3Ь4Ъ5)

=.(73 ;199)= (b1b2 Ь3Ь4Ь5) mellyekből:

1 73 _2O -27 --7 -1 ¹

=—-———. .——.—=—- 1341а 20.1l 'm

{b1...b5} 199 73 20 27 1 199( р lsza)

A’ visszás rendel leirt elemekből pedig:

1:7—1:41—1:1—1:5—(1:з)=(ь.) 1:7--1 ;4-1:1-(3:14):(b2b1) 1:7-1:4-(14:11):(b3b2b1) 1:7-(11130): (b4b3b2b1)

(30: 199): (Ь5Ъ.Ь3Ь‚ bl) ’s viszont;

1 30 -11 -14 -3 --1 ,

. ——==——— tehat'

{bä ... ь‚; 199 ao u 14 3 199 {bl ... Ь5}= {Ь5 ... lap SZám).

19*

144 A” FENSőBB ANALYSIS ELEMEI.

4.) Legyen x=1:2-1:2-1:2---1:2`-1:2_--1:2.... stb. melly

kitételt ha két két elemekből álló szakaszokra felosztva gondoljuk : k

'I 7 2

leszen: a=a'=:a"=a"' ... ’stb.:ß=ß'=ß"=ß' stb,=ä_ -

b3=b'3=b'l3=bm3 . . . . ’Stb = 2

I Í _1

y =y':y' =7"....'stb.== -3-

ьз_.‚9_„:=нз—р*—ш=ь'ъ—р'—и'".... ’5|:Ь.=

Ulm

következőleg (131 lap 2-ik szám) szerint:

31...’stb.

mellynél fogva a’ láncztörek első tagján megállapodva;

I 5

x=.2_+ l". =’1:2--1:2--1:2--1:2---1:2=--

3 6 6

egy taggal tovább folytatva pedig:

2 1 : 9 2 2

x=" I __ :9 = 3 ` ï; '- __

Z

х=1:2—1:2—1-:2—1:2—1:2—1:2—1:2—1:2 =

- _* —= - ’s hasonlag:

3 9 9

«aloo

Legyen még:

x: 1 : 2-1 : 3—1 : 4—1 : 5—1: 6—1: 7— 1:8—1:9—1:10—1:11—1:12—1:13

vagy is felvett eljegyzésünk szerint:

х=(2‚ 3, 4, ... 13)

. mellyet, két két elemekből álló szakaszokra felosztva gondolván, leszen:

1:2 _1:3 :3 :5 :a :1:3 _1:2 :2 :5 :ß;-l:5 :y

1:5 _1:6 :6 :29 =œ';1:6 ---1:5 :5:29 :ß' ;--1:29 :7' 1:8 _1:9 :9:71 =a";1:9 -128 :8 :71 :ß";---~1:71 :7"

1:11—1:12=12:131=а”‘;1:12—1:11=11:131=р"’;—1:131=7”’

ezeken kívül 113:4;b'3=7;b3":20;b§"=13;mellyekböl:

3 1 :25

x: 5 _523 15841

+

145 12970+ 1:5041

2059 85609 1: 17161

_1..

9301 1714

131

A’ FoLY'roNos vAGY LÁch-TönßxßxnöL. 145

III. Álalánosabb szemléletek :

Azon meghatározás következtében, mi szerint folytonos, чаду láncz-tö reknek azon töreket neveztük; me lly n ek nevezöj e, еду vagy több, vagy szinte vélgetlen számú tagokon keresztül, vala mi egész szám bol és egyszersmind törekböl tétetik öszve: ’s ehez képçst âtalá nds formának felvettük: (125. 1ар).'

R=Q-l-a1zb1+a2 :bri-aa: b3+a¢zb4 . . .. ’5th,

mivel pedig ennél fogva a1; a2; а3;. _.; ’stb és b1; b2; b3.... ’Stb nem csak egy séget, ’s nem csak egész számokat jelenlhetnek; söt már а’ legközelebbi példában is Ollyatén formáju láncz-törekre akadtunk mellyben mind az (а) mind a’ (Ь) él' tékei lörl; számokban adattak : szükséges leszen a’ láncztörekck’ tulajdonsâgairól szélesebben szòlani , ’s a’ miket még ez helyen felhozandóknak vélünk, követke zökbe foglaljuk :

А. Munkâlatok :

1.) Akarmi láncztöreket adott számmal szorozhatunk, ha annak számitó

ját, vagy ha hozzá, valamì külön vált mennyiség tartozik , ezen mennyiséget is , az adott számmal szorozzuk. Ugyan is , legycn a’ feladolt láncztörek átalánosan :

В=О+ад:Ъ1+а2:Ь‚+а3: b3-I--a4:b4. . .. ’sth és az adott szorzô = n 5 tévén:

ß,=b1+a2:b2+a3zb3-i-a4zh4,. ...’slb. leszeu:

в _Q+a-‘=Qß‘ '5 ьеьаь: п = ”Од “a'=11Q+”-a‘

+

р! [el ßl ß]

’s ßr-nek elébbi értékét visszahelyhetvén:

nB`=nQ-§--n-al a2 тазу Ьа Q=0 ; egyszerüleg: n1ì=El a2

Ь1+— a I Ь. +—

Ь2 Ь:

b3. . .. ’stb. b3_ __

2.) Eloszthatjuk , ha a’ láncztörekhez tartozó külön mennyiséget , ’s egy

szersmind a’ láncztörek’ nevezöjének elsö részét (Ьд-ес nem különben a’ hozzájá..

x-uló törek’ számítòját (а,)—бг, az adotl: számmal szorozzuk. Ugyan is, legyen is

mét a’ feladott láncztörek általáuosan:

R=Q-+-a1zbl+a2zb2+a3 :b3-F... . ’stb.

’s az adott Osztô (n) tévén:

[91 =bl-l--a2zb2+a31b3-i- a4:b4-i-. . .. . ’5th, leszen:

Е=9—&—-$1-‚‚ ’s mìvel: ß,=b1+a,:b,+a3:ba+. .. ’sth-

n n nßl

/

146 A’ FELSőBB ANALYSIS’ ELEMEI.

tehát az l-ső szám szerint:

nß1=11b1+nag:»b2+ аз: b3+ ... ”Stb.

Е =‚9 + ï na, Vagy ha Q=O; egyszerüleg : - = il- na2 y

В

n n nb1+l-)-- as n n1--l--h--+ië

i 2 2 b3 . n Sth»

3.) A’ láncztörek’ valamellyik (ab-r)-el jegyzett tagának sz'ámítója és ne

vezője , nem különben az után következő tag’ számitója (ат) ugyan azon szám- - mal szoroztatván vagy Osztatván , az által a’ törek, értéke nem változik. Ugyan is legyen:

11:31:b1-Pag:b2-i-a3zb3-4-a4:b.,I ... ’sth ’s tétessék:

ß,=br +ar+1 : b,“ + ar+2 : l)r+2 . ... . ’stb. leszen:

R=alzb1+a2;b2-l-a3:b3... . . .fi-arq?,

‚ _ a, na..

s mlvel : - = ——

ßr DÉL

R=a1:b1+a2:b2+a3 zb3. -l-a,_1:b,_1-|-na,:nß,

tehát a’ ßr értékét vissza állítván l-ső szám szerint:

R=31:b1+a2:b2+a3:b3.... a,_1:br_1-1-na,:nb,.+na,._,:b„_1... ‚эф,

’S e’ tételnél fogva:

а.) На а’ megnevezett (щ; br; ат) három egymás után következő men nyiségek ugyan azon számmal oszthatók, a’ láncztörek a’ maga értékének válto zása nélkül, kisebb SLámokra vétethetik. Például legyen:

Ц=°1 : 3+62 8+4 : 9-+-3 : 7 leszen egyszersmind: R=1z3+32 4+2z 9+3z 7

b.) A’ számítóban ’s nevezőben előfordulható törekeket kiléptethetjük.

Például legyen mint (144 lapon) találtatott

2 1:9 2 1

R=_-+- --1:9 leszen: R=-+- —-1

3 % ——--—1 9 з __ -1:9

ï; 35

у z

13 /3

2 1 + ..„ ' f

R_3__|_ E _â l Bem kulomben (144 lap) legyen meg:

2 .

3 1 :25 +__

5 -523 11841

145 12970 1 : 5041

2059 85609 1:17161

+

9301 1714 . 131

A’ FoLY'roNos чтет LÁch-TÖREKEKRÖL. 147

3 1

= ..._ _1.. _____

5 _25.523 252841

145 12970 12 5041

2059 85609 1:17161

9301 1714

és igy a’ 3.)-dik szám alatti munkálat’ mindenben hasonlatos ismétlésével:

НА 3 145

5 5552-5-1- 25.145.2059

s41.12970-|- 20508419301

5041.85609 +9301.5041.131

171611714

с.) Az elöjegyeket (-1)-el szorozván ellenkez5k1‘e változtathatjuk:

РёЩёц! legyen :

а а

В = ао+ l a2 leszen egyszersmind: R= a0 — -1 а,

y _b1 _1_ _' 1_ ‘_

Ь, v 2

Nem különben legyen:

a1 _al

R = an -+ 112 leszen : В = а0 512

_b1 _1_ a3 b1 + _ аз

"'_'Ь2 '_1- Ь2 +—

_ba Ьз

4.) На a’ láncztörek' értékét, valamì más adott törek’ értékével szapo rítani пану fogyasztani akarjuk, legyen:

R=a1zb1+agzbg+aaz bfi-aub». .’stb. ’s kerestessék:

Р

н‚=б+а1:ь1+а2:ь2+аз:ьз+. n.. .

’sth tévén :

191=Ь1+а2:Ь2—!—а3 : Ь3:+ад:Ъд. ’Stb találni fogiuk:

R'=-+;-l ; шеПу után S-et ismeretlennek vévén fel, tegyük:

Р l _

‚ Р al Р | l .. .. l ~ l l l ..

R :_+-_: «; honnet kozonseges algebral munkalatok utan kon

Q д: Q+S

ml'lm'k s _sz

n en a 1 : =—————

y @QA-Pm

és mivel Pß1=Pbl+Pazzb2+a3 :bri-514:1». ’sth innét S-nek és Pßl-nek értékeit helyettezvén, végezetre:

A’ FELSŐBB ANALYSIS’ ELEMEI.

Q+Pb +P’

^{__- a}

a’ 1 b2 4-й,- . ...’stb.

₃

törekeket ki iktathatjuk következő módon:

5.) A’ tagadó jeggyel illetett

а а

K Legyen: R=É+ a_2 аз ’s tegyük: [93=b3+ ’

b2 __g- a. b5 .... stl),

a h4 . ,Stb '

l

_eszen:

н ' a’

_{=: —— а, =}

a*

_{_ a2 _ =—}

a’

_а?

b +- a Ь +——— Ь +

В ь2—1 ‘ Ь,—1 + 1-as ‘ ь,—1 +‚дз_аз

3 ß?, ß3

al al

= 3,2 1 = a,

1 Ь2—1+—79—— ’ b2-1-1-1 Y a

.__a- 1 + “’ _.

égen-'33 (зайди

következőleg ßa-nek értékét vissza állítván:

R: — ‚ а2 1 . . egy taggal több az eredeti töreknélfs benne -1

132-1 + I+ a3 a. fordul elő.

Ьз—аз ’stb.

1.

6.) Viszont az ollyatén láncztöreket mellyben Т fordul elő ‚ egy taggal

kevesebb. ugyan azon értékü láncztörekké lehet változtatni. Ugyan is, legyen ismét:

al 3:

В=_—

b.+-”-

а ’ste ük:

gy ß’

=Ь +-

‘ ьд+3

a

‚ v

b,+- аз Ь5.... stb. leszen:

’+B-+8“

а ь.... 'stb.

l a,

ß2=1b2+-- аз -— 193 _' “i

1- +"‘ ßa+aa з '

3

R a;

=_. a: 2:1-

al a

2 =—

a]. a

2

__а1

__.

- 1 Ь+—- Ь+ а Ь+

b1+b2+- аз д ß, 1 ' b,-+-1---‘l ' b,+1_.._3 a,

(93 ‘M+S’

₄

А’ FoLYToNos vAcY LÁNCz-Tònßxmcnör.. ¹ 149

7.) Az adott láncztöreket kevesebb tagokra igy lellel; venni. Legyen:

и ‚ а

В = _l Hz ’s tétessék: R:-l а? Nem különlwn:

b1 _+'- *-` ад, bl + —

’ ьз +...51Ь. ’

аз Í ‚ 36 аз

= Ь "— а :b5 _' a = b + — а,

(в? œ ha “i 315 ßs bg + 'l as {за s b9 + _n all

bà + _ by + _ 10 "- ,

5 ßg b“ .. Stb

valòságos osztás eszközöltetvén leszen:

а ì a 1—а а l _ 4blblaß

= l n2 = _l ___-___L.; esmlvel: b1b,ß2=b1b1b2+ ———л- a1 i

b.; + _'- Ь] b1 ng + bibi/92 b3 "— d3

182 131+" ‚

ß».

н ь "‘ l' ' " 1 l'uafk a* “am l

me ' en: --- a va osa os Osztassa ta а 1 : = —— ____-

j Ь4-*——З g b4 asb4+b4b4ßs

5

. .. Ь4Ь4ав

нет kUlOIlbeIlI b4 l). ßf, _» b4 b4 b5 + Ь _ a7

_{. _ l 6 __}

а шенуьеп llasonlag;

_s

вид; мимы ‚И, -› - 1_ s ¿Ln ;.':

.w' .la --'-a- f , , ‚ ‚ ‚ “1 ш fw,

î as =-l me 6_8 lgy a’ talalt ertekek’ helyrq .l ‚в: б‘

b1 by Hab? +_b1 b1 да . f -.‘- fÃ! ` ‚И

в . ‚

" ‘m’ »d . А ` к

’ ' l karmeddi fol tatva: 'Y . _ ' .

l i'. leteleve a l g у _un W ‘uut’ , :un l F ___.ÍL a! а, “Мазь-ю! 0b'111:101}1'9d.\ì€1«1"s‘_Ãúàwßn

b1 bibluß u e'. ffl, Lf" . Hf

ад a5

_ 45.45.155@

b _ --Ñl l Ьдьдаб

з b4 asb4+blb4b5 ‘_’ + 4 -aaai

„ш «nl

_{.‚_. ‚ =:—-—_ à.} ..4..-.--`

_Uw; NIL; : Ц “Ре b? asb7+b7bßs

I* ' ”пи ' " az auz/:îA-«lw'f/AY.' I“

д"! " ` `

0

31

=— -—а la:

àgb|+blblb2+ blblß-`x

--—а. 35

ь + ————-—

*lle-‘3_5 а 5Ьд+Ь0Ь4Ь5 + ьдьвао l _

Ь. *_*

b6b1+af *a1 as

bf ‚ ад Ь7+Ь7

\