A halandósági tábla elmélete és összeállításának módszerei

PALLÓS EMIL:

A HALANDÓSÁGI TÁBLA ELMÉLETE És ÖSSZEÁLLíTÁSÁNAK MÓDSZEREI

A népességváltozások vizsgálatának egyik legfontosabb ága a halálozá—

sok kor szerinti vizsgálata. Az ilyen természetű vizsgálatok hosszú múltra tekintenek Vissza.

A halálozások kor szerinti Vizsgálata egyik eszközének, a halandósági tábláknak készítését az életjáradékok megállapítása, az élet— és balesetbiz—

tosításokkal kapcsolatos számítások stb, tették szükségessé. Ezért eleinte csak ott és abban a korban találkozunk velük, ahol a kereskedelmi élet fej—

lett, a gyors meggazdagodás.lehetősége nagy, az államhatalom és a jog köz- pontosították.

Az első írásban is ránkmaradt halandósági tábla Ulpz'anus—tól, a híres római jogásztól származik az i. u. II. századból. Ulpianus táblája nem számí—

tásokon, hanem becsléseken alapult.

A római birodalom széthullása után és a középkorban feledésbe ment a halandósági tábla. Újból 1662—ben jelenik meg, amikor is J. Graunt lon—

doni kereskedő a halálozási lajstromok alapján állít össze egy táblázatot.

Graunt táblázata szerint a születettek közül 36 százalék hal meg 6 éves kora előtt,'a további halálozást 10 éves korcsoportonként osztotta fel.

Az első matematikai elgondoláson alapuló táblát Halley angol csillagász számította ki 1693—ban. Abban a szerencsés helyzetben volt, hogy megkapta Breslau város halálozási lajstromát 1687—1691. évek között, korévek sze—

rinti csoportositásban. Számításainál abból a feltevésből indult ki, hogy mind a lakosság száma, mind korösszetétele nagyjából változatlan marad és ennek alapján a halottak kor szerinti megoszlásából meg lehet határozni az élők korosztályait is, ami nyilvánvalóan csak abban az esetben lehetséges, ha a halottak száma a születettek számával egyenlő. Ezt —— a végered—

ményben téves ——- elgondolását alátámasztották számításainak eredményei, mert Breslau lélekszámát számításai alapján 34 OOO—nek találta, ami más forrásból vett adatokkal jól megegyezett. Ugyanezen elv alapján kiszámí—

totta a katonakorú férfiak és aszülőképes nők számát is. Hosszú ideig az ő tábláit használták és az általa alkalmazott módszert elfogadták.

Követői közül említésre méltó a holland N. Struyk, aki először külön,- böztette meg a női és férfi halandóságot; a francia A. Deparcieux, aki már három—oszlopos táblát készít és a halottak és az élők száma mellett kiszámít egy mutatót, a közép élettartamot is.

2* :

f; a

744

PALLÓS ami.

Nagy változást jelent a halandósági táblák összeállításában a születé—

sek, halálozások és házasságok nyilvántartási rendszerének egy ország egész népességére vonatkozó bevezetése. Ezt először Svédországban rendelték el 1748—ban. Addig csak kiemelt csoportok —— városok, biztosítottak, évjáradé—

kosok, katonák, szerzetesek, apácák — adatai alapján számoltak. Ettől kezdve lehetőség adódott egy ország teljes népességi adatainak felhasználá—

sára. Igy Price az 1757—1760—1763—1766—1769—1772. és 1775. évi össze—

írási adatokból számítja ki az első, Svédország teljes népességére vonatkozó halandósági táblázatot. A népszámlálás adatait [I. Milne használta fel elő—

ször, aki az 1779—1787. évek közötti halottak számát viszonyította az 1780.

éveleji és 1787. évvégi népszámlálás lélekszámainak átlagához. Egy év ha—

lálozási adataiból és egy népszámlálásból W. Farr számítja ki Anglia első tábláját, 1841—ben. Az egyévi adatok alapján kapott eredményeket ő is meg- bízhatatlanoknak tartja, ezért a második táblát már az 1838—1844 között elhaltak adataiból állítja össze.

Ettől kezdve a halandósági táblakészíte's problémája megoldottnak lát- szik és csak a módszerek finomításán dolgoztak. Különösen a kiegyenlítések módszerei fejlődtek. Legjelentősebbek az eddig felsoroltakon kívül, akik el—

méletileg is foglalkoztak a táblakészítés módsZerével: Bunjakovszkij (1865) az elhaltak számát a születettek tényleges számával hasonlította össze, Knapp (1867) a halottak számának pontos kiszámítását adta, Bortkiewícz (1890) pedig különösen a csecsemők halandóságát tanulmányozta stb.

Hazánkban először 1854—ben Fáy András készített halandósági táblát.

Korszerű, tudományosan megalapozott és matematikai pontossággal kiszá- mított halandósági táblát pedig 1906—ban készítettek. (A módszert tanulmá—

nyunkban részletesen ismertetjük.) Ezzel a módszerrel készültek az 1920—as és 1930—as évekre összeállított halandósági táblák1 is.

A felszabadulás után az 1949. évről készült, de csak előzetes tábla. A Központi Statisztikai Hivatal feladatául tűzte ki, hogy a magyar viszonyok—

nak megfelelő, minden szempontot kielégítő módszert dolgozzon ki a ma—

gyar halandósági táblák összeállítására.

Ennek a cikknek az a feladata, hogy eddigi tanulmányaink eredménye—

ként összefoglalja a halandósági táblák összeállításának leggyakrabban hasz- nált módszereit és felhasználási lehetőségeit. Nem feladata a halandósági tábla elemzése és következtetések levonása. A számszerű adatok, a közölt halandósági tábla, a grafikonok csak a könnyebb megértéshez szükséges szemléltetést szolgálják.

1. A halandósági tábla fogalma

A halandóság mértéke. A halálozási statisztikának egyik feladata a ha—

landóság változásainak minél pontosabb kimutatása és különböző szempon—

tok szerinti összehasonlítása. Ahhoz, hogy a változásokat mérhessük, szük- ségünk van a halandóság mértékére. A halandóság egyik mérőszáma az el—

halálozási valószínűse'g (jele: ax)? Ez annak a valószínűsége, hogy egy bizo—

1937 81 Dr. Szél Tivadar: Magyarország halandósági táblái. Magyar Statisztika—i Szemle. 1930. 3. sz. és . . sz.

Az 1941—es népszámlálásból dr. Bar-su Gyula készitett halandósági táblát. Nyomtatásban nem jelent g_

2 A képletekben, táblázatokban a magyar szakirodalomban bevezetett jeleket használjuk, amelyek a nemzetköziekkel általában megegyeznek. Az indexeknél az a: mindig a konévet, a t a naptári évet jelenti.

Például Dx, ! ': a ! naptári évben :: korlxm meghaltak összessége.

A HALANDOSAGI TABLA ELMELETE "a 745

nyos x korú egyén meghal, mielőtt az x—I—l-ik életkorát elérte volna, vagyis annak a valószínűsége, hogy ac éves korában hal meg. Értékét egy viszony- szám adja meg, amelyet megkapunk, ha egy adott időszak — például egy év —— alatt az ne korban meghaltak számát osztjuk az ugyanazon időszakban az x évüket elért élők számával. Jelöljük az x korban meghaltak számát Dx—szel, az :r kort elért élők számát lx-szel, akkor az x évesek elhalálozási

valószínűségét a következő képlet adja:

D

ax : x (1)

lx

A halandóságot azonban nemcsak azzal tudjuk mérni, hogy egy bizo—

nyos ac korú egyén milyen valószínűséggel hal meg egy év alatt, hanem az—

zal is, hogy milyen valószínűséggel marad életben az év végén, vagyis mí- lyen valószínűséggel éri el az m—H—ik életkort. Ez a mérőszám a továbbélési

valószínűség (jele: px). Értékét a '

l ,

px : _á'tl— (2)

x

képlet adja, ami nem más, mint az x—H éves korukat elértek száma osztva az x éves kort elértek számával. ,

Ez a két ellentétes valószínűség szoros kapcsolatban van egymással.

Ugyanis az a: korban meghaltak számát —-— a Dx—et — az lx—lx—l—I különbség megadja és így az (1) képlet a következővel helyettesíthető:

l —— lm

gx :: u (3)

lx

ami nem más, mint

gx : 1 __ lx-i—l

lx

vagyis

ex : 1 —— m (4)

Ez a valószínűségszámítás egyik tételéből is levezethető. Ugyanis annak valószínűsége, hogy két egymást kizáró esemény közül valamelyik bekövet—

kezik, egyenlő az események valószínűségeinek összegével, ami jelen eset—

ben egyenlő eggyel, vagyis a bizonyossággal. Ez máskülönben annak a nyil- vánvaló ténynek matematikai megfogalmazása, hogy egy adott időpontban életbenlevő személyek egy későbbi időpontban vagy még életben lesznek, vagy már meghaltak.

A népességstatisztika gyakorlatában a viszonyitást igen gyakran az idő—

szakközepi (évközepi) népességhez Végezzük, mert rendszerint az év eleji és év végi népesség áll rendelkezésünkre. Az így kapott mérőszámot közepes halandóságnak vagy elhalálozási gyakoriságnak nevezzük, ami nem más,

mint egy kor szerinti tisztított halálozási arányszám.

mx : lx—lxil x

(5)

Lx-l—__L2

, ,Ez az arányszám különbözik a (3) képlettel meghatározott elhalálozási 'Valószínűségtől. Közöttük egy megközelítő összefüggés van, ha feltételez—i

"zük, hogy a halálozás évközben az egyenlő korúaknál arányosan oszlik meg, ami a 10—70 éveseknél gyakorlatilag így is van. Ennek a feltételezésnek alapján írhatjuk, hogy

L 1. 1 : lx 'l— lxj—l

xx E— 2

ahonnan

mx: gzx—lm)

lx 'l— lx-t-l

Mind a számlálót, mind a nevezőt osztva lfs—SZÉL kapjuk

mx : ? (1 '— px)

1 %— Px

Tekintetbevéve a (4) képletet

% : 2 a

2 " (lx

ahonnan

2 m

gx : x 9

2 %— mx

ami megadja a két mérőszám közötti összefüggést.

A halandóság egy másik mérőszáma a várható átlagos élettartam (jele:

eg). Értjük alatta azoknak az éveknek a számát, amelyet az ac korú egyén át—

' lagban még leélhet. Ehhez meg kell állapítani, hogy az ac életkort elértek összesen még hány évet élnek le és ezt az összeget el kell osztani az a: élet- kort elértek számával.

Az 90 éves kort lx -—en érték el. Ebből az első évet le—en élték le, eny—

nyien érték meg az x—l—l—ík életévüket. Az év folyamán meghaltak átlagban egy fél évet éltek, ha feltételezzük a halálozás arányos évi elószlását. így az összes lJc egyén az első évben le %— évet élt le. A második évben

Dxl'rI

lxlrz 4— évet, a harmadik évben le %— ——————— éVet élt le és így tovább, amíg valamennyien meg nem halnak. Az 4 egyén által összesen leélt évek száma tehát —— az éves koruktól teljes kihalásukig ——

Dxn'rg

D Dw

lx-I-l % "EL %— x): l-2 "!"""""" Jr lir—B '%— JT" ' ' ' _l— lw "JT— "?

(w a legmagasabb kort jelenti).

— Átcsoportosítva az összeget kapjuk

1

lxá—lá—lxtzd'lx4—3 %— - ' ' "!" lna—FB" (Dx JrAll—(tl—l"1)x-l-2—!f' ' ' ' _l'Dw)

.A HALANDOSAGI TABLA ELMELETE * , 747

A zárójelben levő kifejezés éppen lx -szel egyenlő, mert nem jelent mást, mint az lx egyén korévenkénti teljes ,,kihalását". Eszerint az lx egyének (által leélt összes évek száma egyenlő

1 ..

lxn 'i' laci-2 %— la:—ta %- —-. —l— lw —l— —2—lx osszeggel.

"Ha most azt akarjuk tudni, hogy az lx —ek közül egy személy mennyit élt le átlagosan, a fenti összeget osztanunk kell l -szel. Tehát a várható átlagos élettartam:

lx-l—l _lA lx—t2 _l— lxi—3 "l" ' ' ' —l—

l

A várható átlagos élettartam mellett, igen gyakran ki szokták számí- tani a várható átlagos életkort, vagyis azt, hogy egy s: korú egyén átlagban

hány éves koráig élhet.3 (

A várható átlagos élettartamtól meg kell különböztetni a valószínű élet—

tartamot. Ez az az élettartam, amelyiket az x éves lx egyén egyenlő való- 'színűséggel éri el vagy nem éri el (meghal), vagyis amelyikre a továbbélési és elhalálozási valószínűség egyenlő. Ez akkor történik meg, amikor az lx -ek fele meghal, a fele pedig még él, mert erre az időszakra számított elhalálo—

o :

ez

zw _1_

'l— 2 (6)

x

zási valószínűség is és a továbbélési valószínűség is?. Például a 20 éves kort (elérte 91 362 férfi. Számuk évről évre csökken az elhaltakkal. Egy bizonyos idő múlva — amikor a közülük meghaltak száma éppen 45 681' —— már csak a fele lesz életben. Akkor erre az időszakra kiszámított elhalálozási való- színüség (az időszak alatt meghaltak száma osztva az időszak elejét elértek

45 681 l

91 362 ———2—-del. Ugyanezen idoszak továbbele51 valoszmu—

sége (az időszak végét elértek száma osztva az időszak elejét elértek számá- val) szintén fÉ—ÉÉL : i -el. A mellékelt 1955—ös halandósági tábla szerint

91 362 2

*a 20 éves férfiak valószínű élettartama 53 év és két hónap, valószinű élet—

koruk 73 év és 2 hónap. A halálozások változásainak vizsgálatánál leggyak—

rabban nem a valószínű élettartamot, hanem a megfelelő valószínű életkort szokták elemezni.

A halandósági tábla. A felsorolt néhány mutatószám alkalmas a halan—

fvdóság legkülönbözőbb 'vizsgálatára. Lehetőséget adnak nemek, életkorok, korcsoportok, társadalmi rétegek, vidékek stb. halálozási viszonyainak meg-:

'állapítására és összehasonlítására. Ezek közül legfontosabb a halandóság kor szerinti változásainak vizsgálata. Ennek egyik eszköze a halandósági tábla, vagy ahogy a külföldi irodalomban gyakran nevezik,. az élettábla. Ez olyan táblázatos kimutatás, amelyben egy meghatározott időszak elhalálo- zási valószinűségei korévek szerint vannak feltüntetve, így módot ad a hai landóság kor szerinti vizsgálatára, kimutatva az egyes korosztályok halandó- számával) egyenlő

! A halandósági számítás—oknál életiartamon azt értjük, hogy egy személy hány évet él le, életkoron pedig, hogy hány éves korig él. Például, ha a 20 éves férfiak várható átlagos élettartama 50 év — még ennyit élnek —, akkor a várható átlagos életkoruk 70 év, azaz 70 éves korukban halnak meg. Az újszülöt- yteknél ezt a két értéket ugyanaz a szám fejezi ki.

748 PALLÓS EMIL

ságának mérvét. Ki lehet számítani belőle, hogy egy elképzelt kezdő népes- ség —— rendszerint 100 000 fő — miként fog fokozatosan kihalni, vagyis há—

nyan érik el évenként a következő születésnapjukat, ha születésüktől kezdve, minden egyes életévükben olyan halandósági viszonyoknak volná—

nak kitéve, mint a táblázat elhalálozási valószínűségei. Ez az adatsorozat ——

0, ll, 12, l,, . . . lw(w a legmagasabb kor) —— a halandósági tábla kihalási rendje, vagy ahogy gyakran nevezik, továbbélési rendje. A tábla tartalmazza még a kezdőnépességből egyes életkorokban elhaltak sorozatát, valamint a várható átlagos élettartamot években, kiszámítva minden életkorra. Összeállítása, mutatószámainak kiszámítása különféleképpen történik, amit a rendelke—

zésre álló adatok minősége, mennyisége és az ebből következő különböző el- méleti elgondolások határoznak meg.

2. A halandósági tábla összeállításának módszerei

Elhalálozási valószínűség. Ha a halandóság mérőszámai közül bármelyi- ket ismerjük, amint láttuk, a többi abból kiszámítható. Leggyakrabban az elhalálozási valószínűséget — a (1 x—et — számítjuk ki. Amilyen egyszerű az elméleti meghatározása, éppen olyan nehéz gyakorlatban pontosan kiszámí—

tani, mert a kiszámításához szükséges adatok —- a halottak és élők száma ——

állandóan változnak. Az elméleti meghatározást úgy közelíthetjük meg leg—

jobban, ha két egymásutáni korévet elértek különbségét — ami nem más, mint az egy év alatt elhaltak száma — osztjuk az első korévet elértek szá—

mával, mert végeredményben ezekből haltak meg a halottak. Ez tulajdon—

képpen a (3) képlet. Például, ha a 4 éves kort elérte 90 538 fő és ebből az 5 éves kort 90 462 éri el, akkor a 4 évesek elhalálozási valószínűsége

9 —— 90 462 7

(14 : 0 538 :: 6 : 0,0008394

90 538 90 538

A nehézség abban van, hogy az lx —eket, vagyis az adott naptári év a:

korú életbenlevőinek számát a népesség folytonos változása következtében közvetlenül nem lehet meghatározni, ez csak egy adott időpontban megszá—

molt népesség adataiból számítható ki. Például a legutóbbi népszámlálás megadta, hogy 1949. I. 1-én mennyi volt a 4 évesek száma. Ezek az 1944—es évjárathoz tartoznak, ebben az évben születtek.4 Ha már most ezekhez hozzá—

adjuk azoknak a számát, akik közülük az 1948. év folyamán elhaltak, vagyis azokat, akik 1944-ben születtek és 1948-ban 4—ik születésnapjuk után már mint 4 évesek haltak meg, akkor megkapjuk, hogy az 1948. naptári évben hányan töltötték be a 4 éves korukat. Ez lesz az 14. Ez a számítás csak akkor végezhető el, ha a halottaknak ez az összessége rendelkezésünkre áll. Éppen ezért a halottak anyakönyvi adatszolgáltatását, amiből a korévenkénti szá—

mukat állapítjuk meg, kettős —— születési év és korév szerinti —— csoportosi—

tásban kell összegezni. Vegyünk egy példát: az 1948. naptári évben 4 éves korukban meghaltak két évjárathoz tartoznak, mert azok, akik 1943—ban születtek és 1948—ban születésnapjuk előtt haltak meg (az 5. születésnapju—

kat már nem érték meg), még mint 4 évesek haltak meg, azok pedig, akik 1944—ben születtek, de 1948—ban szűletésnapjuk után haltak meg (a 4. szü—

letésnapjukat elérték), már mint 4 évesek haltak meg. Tehát ahhoz, hogy

4 Évjára—mak —— generációnak — nevezzük az ugyanabban a naptári évben születettek számát.

' A HALANDÓSAGI TABLA ELMÉLETE — ,, 749

pontos elhalálozási valószínűségeket számíthassunk, szükséges, hogy az élők száma születési év, a halottaké pedig születési év és korév szerinti csopor- tosításban álljon rendelkezésünkre. Magyarországon már 1940 óta ilyen ket- tős csoportosításban dolgozzák fel az anyakönyvi adatszolgáltatás anyagát.

Az egy adott időpontban élők számát a népszámlálásból, a népszámlálás közötti években pedig az évről évre kiszámított természetes szaporodásból kapjuk. Az így kapott eredményt korrigálni kell a ki— és bevándoroltakkal.5 Az elhalálozási valószínűség kiszámításához szükséges adatokat lénye—

gesen befolyásolja a megfigyelés időszakának tartama. Ha nagyon hosszú időszak — 10—20 év— adatait összegezzük a számításoknál, akkor az egyes évek esetleges rendkívüli nagy eltérései jelentékenyen módosítanák és az így kiszámított elhalálozási valószínűség nem lenne jellemző az egész meg- figyelési időszakra. (Ilyen befolyásoló tényezők lehetnek például a járvá—

nyok, háborúk stb.) De nagyon rövid időszakot sem vehetünk, mert akkor mutatónk csak ennek a rövid időszaknak kivételes halálozási viszonyait tük- rözné és az idényhullámzásokat —-— például a tavaszi, az őszi halálesetek na- gyobb száma által okozott eltéréseket -—-— mutatná. Hogy a halálozásra jól jellemző mutatót kaphassunk, vizsgálódásainkat egynéhány egymásutáni év- ben végezzük. Az 1931. évi madridi nemzetközi statisztikai kongresszus ajánlata szerint általánosításra és összehasonlításra legjobb adatokat úgy kapunk, ha számításainknál 2—5 év megfigyelési anyagát használjuk fel úgy, hogy egy népszámlálás az időszak közepére essék, mert akkor a népes—

ség vissza— és előreszámításainál jelentkező hibák lecsökkennek. Páros , számú —— 2 vagy 4 — év adatát használjuk, U a népszámlálás január 1-e

körül és páratlan — 3 vagy 5 —-—- évet, ha július l—e körül történt.

A megfigyelt személyek életkorára vonatkozólag, tekintetbe véve az emberi halálozás életkorral kapcsolatos alakulásának általános ütemét, leg- megfelelőbb az egy éves (koréves) időköz. Nem alkalmazható ez a csecse- mőknél (0 évesek), akiknek halálozási viszonyai az első hónapokban olyan gyorsan változnak, hogy ezt feltétlenül számításba kell venni. Éppen ezért ebben a korban, születésüktől kezdve naponként, majd havonként számíta—

nak elhalálozási valószínűségeket.

Demográfiai hálózat. Az élők és halottak csoportjainak könnyű és átte—

kinthető megkülönböztetése céljából használni fogjuk a Lexis—féleü grafikus ábrázolást.

A demográfiai hálózat lényegében két egymásra merőleges tengelyből áll (1. ábra). A vízszintes tengelyen mérjük az időt (időtengely), a függőlege—

sen pedig a leélt koréveket (kortengely). így minden egyes személynek meg- felel egy függőleges vonal, amelyik az időtengely egyik pontjában (születés-—

nap) kezdődik, és a halálnak megfelelő korévben végződik. Ez az életvonal.

Az 1. életvonal olyan egyén élettartamát jelképezi, aki tl évjárathoz tartozik —— tl naptári évben született — és m éves korában halt meg. A Z., 3.

5 Ha a vándorlási adatok rendelkezésünkre állanak, akkor az élők számát ennek megfelelően helyes—

bíteni kell. Ezek az adatok azonban rendszerint nem ismeretesek, vagy nagyon megbízhatatlanok. Ezért vagy a megfigyelési időszakot választjuk úgy meg, hogy a, két ellentétes irányú népucssógmnzgás egymást kiegyenlítse, vagy matematikai eljárásokkal korrigálunk. A vándorlás hatása csak akkor kompenzálódlk, ha a megfigyelt időszak szimmetrikusan helyezkedik el a népszámlálás körül, tendenciája a népszámlálás előtt és után megegyezik és minden évjáratra ugyanolyan nagyságú. A gyakorlatban ez azonban nincsen így és számításaink ereldwményeinél tekintetbe kell vennünk, hogy bizonyos hibákat mindig elkövetünk, amelyek annál jelentéktelenebbek, minél rövidebb megfigyelési időszakra számolunk. A magyar és a legtöbb európai táblánál ezt az eljárást alkalmazzák.

' W. Lexis: Einleitung in die Theorie der Bevölkerungsstatistik. Strassburg. 1875.

750

és 4. egyén adatai az ábraból leolvashatók. Az 5. egyénről csak annyit tu;- dunk megállapítani, hogy a tl évjárathoz tartozik és valamikor x—lb—Z éves kora után halt meg. A különböző életkoroknak megfelelő és az időtengellyel' párhuzamos vonalat nevezzük korvonalnak.

Ha az életvonal végpontjából az időtengely pozitív irányával egy a : 1350-os szöget bezáró egyenes vonalat húzunk (az 1. ábra AB ferde egyenese), akkor ennek az időtengellyel való metszéspontja megadja a halál bekövetkezésének naptári időpontját. Ábránkon a 3. személy meghalt a t"

naptári év B napján. A demográfiai hálózat alkalmas tehát arra, hogy ha

— tudjuk egy személy születésnapját és halálának korévét, ebből meg tudjuk állapítani halálának időpontját is. Ugyanígy, ha ismeretes a halálozás idő—

pontja és tudjuk, hogy hány éves korában halt meg, akkor a hálózatból egy- szerűen leolvasható születésének napja is.

1. ábra

Ira/'egy

x'Z

?

A x X

x'! . X

X t!

tn

% :"

naptár/ír B Idő

!eVe/rma/

t!

éljára!"

Az elhalálozási valószínűség kiszámításához szükséges élők és meghal—

tak számának csoportosítását a 2. ábra mutatja. Az abcd négyzetben vannak azok a halottak -——— itt végződnek életvonalaik —— akik a tg évjárathoz tartoz- nak és ne éves korukban -—— x és x—j—l életkoruk között —— haltak még. Ezt nevezzük a halottak !. főösszességének (jele: Di). A bfcd romboid foglalja magában a halottak II. főösszességét (jele: Di), azokat, akik a tg évjárathoz tartoznak és t" naptári évben haltak meg. A halottak III. főösszessége (jele:

Di) pedig az acbd romboidban van, Ezekhez tartoznak, akik t' naptári év—

ben és az éves korukban haltak meg.

Az élők összességét a korvonalak és életvonalak metszéspontjainak száma adja meg. Az ad szakasz pontjai jelképezik azokat az egyéneket, akik a t' naptári évben 90 életkorukat elérték. Ez az élők I. főösszessége (jele: lx).

A bd átló az élők II. főösszességét képviseli (jele: LX) vagyis azokat, akik a

!? XII. 31-i időpontban x éves korukban életben voltak. Ezt a vonalat izo—

k'ron—nak is nevezik, mert egy naptári időpontban életbenlevők számát jel-—

képezi.

Az ábrából az is látható, hogy a [halottak főösszességei 2—2 ún. elemi

A; HALANDOSAGI TABLA ELMELETE " 751

összességből tevődnek össze. így a halottak I. főösszessége az abd három- szögben (akik tf naptári évben születésnapjuk után haltak meg, jele :d; t, ) és a bcd háromszögben meghaltakból (akik t" naptári évben születésnapjuk előtt haltak meg, jelerdíJ") adódik. Alkalmazva jelzéseinket:

! ._. l 2

Da: —' dm, t' **— dm, !"

2 __ 2 , !

Da; """ ágat/I Hi" dai—FIA"

3 _. 1 2

Da: — dx, t' _i- dx, t'

Látszik, hogy a D; két naptári év (t' és t"), a D; két korév (az x és cic—H ) a D; pedig a két évjárat (tl és t2) halálozási számaiból adódik.

2, ábm

lib/év

302 f

,! ; !

xn e tuli, Pb, -

J NI

§

x l

§ _;

f § t Ida"

t, át;

A demográfiai hálózatban használatos mértani elemek —— négyszögek és szakaszok — különböző összességeket jelképeznek. Ebből következik, hogy az egyenlő területek vagy szakaszok nem feltétlenül egyenlő számú összes-—

ségeket jelentenek. Például a 2. ábra abd háromszöge annak ellenére, hogy mértanilag egybevágó a bcd háromszöggel, még sem jelenti ugyanazt a mennyiséget, mert az első a tg évjárathoz tartozó a: éves korukban t' naptári évben meghaltak összességét jelképezi, a második pedig az ugyanezen kate- góriához tartozó, de a t" naptári évben meghaltak összességét, ami általában nem egyenlő, hiszen a halottak száma évről évre változik. Még szembetű—

nőbb a jelképek által képviselt mennyiségek különbsége az élők összességé—

nél. Míg az ad szakasz, amely mértanilag egyenlő a be szakasszal, jelképezi a tg évjárathoz tartozóknak azon összességét, akik elérték az az életkort, ad—

dig a be szakasz ugyanezen évjárat x—H éveseinek számát jelenti. Nyilván—

való, hogy az ad összesség nagyobb, mint a bc, mert az x évesek közül nem éri meg mind az x—H életévét, közben — egy év alatt —- többen meghalnak '

közülük. '

Az elhalálozási valószínűség kiszámításának módszerei. Aszerint, hogy az élők és halottak milyen összességeit viszonyítjuk egymáshoz, a gx kiszá-a

752 ", ' ; , ; ' L_L museum-

,_ mítására különböző módszereket ismerünk. Alább ismertetjük a leggyakrab—

ban használtakat.

1. Becker—Zeuner7 módszer. A halottak I. főösszességét viszonyítja az élők I. főösszességéhez. Úgy is említik, mint ,,generációs módszert", mert az egy évjáratba tartozó ac korukban meghaltak számát viszonyítja ugyanazon évjáratba tartozó a: kort, elért élők számához. Kiszámításához legalább két naptári év halottainak számát kell ismerni kettős csoportosításban és az első év XII. 31—i népesség számát. Felhasználva a demográfiai hálózatot és a be- vezetett jelzéseket, módszerüket a 3. ábra és a (7) képlet mutatja.

(] : dí, t' 4— dí, tl, (7)

x Lx,u, XII. 31. 'i' dát, *

3. ábra

[(a/vér

.az—2 '

x'"!

E módszer az elméleti meghatározást legjobban megközelítő jó mutató— kat ad; mert a számításhoz szükséges adatokat ugyanazon korú személyek egy évig tartó megfigyeléseiből veszi. Előnye még, hogy egy—egy korév mu—

tatói függetlenek a különböző évek születési gyakoriságainak változásaitöl (ami évről évre tetemes hullámzást mutathat). Hátránya, hogy a megfigye—

lési naptári évnek nem minden halálozását —-—— például a dí, t, és dé)", stb. ——

használja fel számításaiban. így készül a legtöbb tábla.

2. R. Böckh8 módszere csak egy év adatait használja fel. Először a to- vábbélés valószínűségét számolja ki. Ez a valószínűség két különböző csoport valószínűségéből tevődik össze. Az első —-- p; — annak a valószínűsége, hogy a t' naptári évben ne életkorukat elértek milyen valószínűséggel érik el az év végét, a másik —- pg —— a t, naptári év elején 3: évesek milyen valószínűség—

' K. Becker: Zur Berechnung von Sterbetarfeln an die Bevölkerungsstaüstik zu steialende Aniordemng.

Berlin. 1874.

G. Zeuner: Abhandlungen aus der Matematischen Statistik. Leipzig. 1869.

' R. Böckh: Sterblichkeitsstatistik für den Preussischen Staat im Umfange von 1865. Berlin.

A HALANDOSAGI TABLA ELMELETE 753 gel érik el az x—i—l éves kort. Kiszámitásához a megfigyelési év halottainak kettős csoportosítására, az év elejit és év végi népesség ismeretére van szük—

ség. A demográfiai hálózaton szemléltetve, az első csoport továbbélési való- színűsége:

' Lx,t' XII. 31.

Pz — Lz, :! XII. 31. "l" dát,

a másik csoporté:

" La, t' I. 1. — dí, ,,

P, " Lm, t' I. 1.

4. ábra

Koper

***? ' 592 t' $.

I e! .).

: **.) 'a

(' ";

: - v;

xn, ' ; l,, ' e;

; l a "3;

! : '%-

x " ; ,

c I :

§ : ! t'

o l l

A keresett px továbbélési valószínűség, vagyis, hogy egy naptári évben az a: éves kort elértek milyen valószínűséggel érik el az ac-H—ik életévüket, a kettő szorzatából adódik:

px : p; - p; (8)

Ez azon a valószínűségszámítási tételen alapszik, hogy annak a valószínű—

sége, hogy több egymástól független, együtt is bekövetkezhető esemény mindegyike bekövetkezik, egyenlő az események valószínűségének szorza—

tával.

Ha a px továbbélési valószínűséget már ismerjük, akkor a gx elhalálo- zási valószínűséget a (4) összefüggés alapján egyszerű kivonással könnyen

kiszámíthatjuk.

A módszer előnye, hogy egy naptári év összes halottait számításba ve—

szi, így mutatóiban a megfigyelési év teljes halálozási viszonyai visszatük- 'röződnek.

3. A statisztikai adatfeldolgozásoknál igen gyakran egy naptári év ha- lottainak csak a kor szerinti összesítése áll rendelkezésünkre, születési év nélkül, vagyis nincsen meg a kettős csoportosítás, csak a halottak III. főösz—

754 leintés Ein _—

szessége. Ebben az esetben az előbbi módszerek közül egyik sem alkalmaz—

ható; Ilyenkor a következő képletet használjuk:

D3 ,

gx :: ___—___í—T— (9)

Lent/XII. 31. 4— 3-1);

5. ábra

302

2641

A nevező eléggé megbízhatatlan évközepi népességet jelent. Csak abban az esetben ad megközelítően jó értéket, ha a két évjárat halálozási viszo- nyai, amelyikből a halottak adódnak, nagyban megegyeznek és ha a halálo—

zás egy év folyamán meglehetősen egyenletes. Éppen ezért a gyermekkor—

ban egyáltalában nem használható.

A mutatók kiszámításánál külön problémát jelent a több évi megfigye—

lés adatainak összegezése. Az elhalálozási valószínűségek kiszámításánál ál—

talában két eljárást szoktunk követni. Az egyik, amikor minden évre külön—

külön kiszámítjuk a gx-eket és azután átlagoljuk, a másik, amikor előbb összeadjuk az évenkénti halottak és élők számát és az így kapott összegeket osztjuk egymással. Példának vegyünk 5 évi megfigyelést és a Becker—Zeu—

ner módszert (6. ábra), de lehet a Böckh módszerrel is számítani. Az első esetben

ax:í(1D*1" "t— ap; 4— 31); e 41); * 51935)

5 Ja: zlx alx silx ölx

a második esetben

1Di % SD; 4— BDí % .,Di Jr 5Di

llx _l— 2lx '*' 3Zx 'i'" Alx 4" le

A második eljárás megfelelőbb, mert inkább kiegyenlíti a születési gya—

koriságok változásainak hatását, mint az első.

ax:

A HALANDOSAGI TABLA ELMELETE 755

A modern táblázatok amelyek nem kizárólag a biztosítási díjak és év—

járadékok kiszámítása céljából készülnek, hanem fő feladatuk a halálozási viszonyok elemzése, két-három év adatain épülnek fel. A magyar viszonyok- nak, célkitűzéseknek és adatfelvételi rendszerünknek legmegfelelőbbnek

látszik a két év adatain felépülő Becker—Zeuner módszer alkalmazása.

Az ismertetett három módszer a halandósági táblák összeállításának alapvető módszere és valamelyik eljárás ezekkel, vagy ezek különböző vál- tozatai alapján készül. A különbségek csak abból adódnak, hogy a szükséges adatokat hány megfigyelési naptári év adataiból összegezik és hogy tekin—

tetbe veszik az esetleges vándorlásokat is.

6. ábra

Kopár

xH

/// W///////

; Wzábz

1Lx zl'x Irta: 51275

t, tz tg, t,, tó.

Alább felsorolunk; képletszerűen, néhány külföldi országban használa—

tos módszert:

Olaszországban az 1930—1932—es táblánál gx :

:Dz,30l—D2H81%D232

lx, 30 4—1x,31 % lx, 32— 2 (La, 32. mi. 31. "" Lm, sold—*;— (vx.81_l—sz32—l'vxv33)

(v jelenti a vándorlást). f.Jx ?

Finnországban az 1921—1930-as táblánál

Dán-l' 'tDí,so

ilmzo 'l— lx,21 "l" ... "l'lxás) tá—kJ

Svédországban az*1911——§1920-as táblánál

D; u—i— —§—D3,20

IOMx 11— zold23 u— 20

(Mx, 11-20 jelenti az 1911—1920 között se éves kort elértek középértékét.)

'A Szovjetunióban az 1926—1927—es táblánál

ax :: 1 "" e—mz gx:

gx :

756 ; , 131;st emu.

(mx a közepes halandóságot jelenti; e a természetes logaritmus alapja, értéke 2,71828 . . .)

Az Ukrán SZSZK—ban az 1925—1926—os táblánál

1 ,

?(Dígzs '*— Dima)

gx ::

1 1

1;x ***—_2—(Dx,26 '!— Dx-tl—ZG) '*'—2—"03025

(LX jelenti az 1926. XII. 17-én végrehajtott népszámlálás megfelelö korú népességét.)

Csehszlovákiában az 1929—1932—es táblánál

Dia 4- _. . . 4—Dg,32

1

lx, 29 _l— - - - 'l— lx, 32 —l— ?(Lz, 28. XII. 31. *— Lac, 32. xn. 31.)

%c:

7 . ábra

Kopár *

x4—2 ?

x'5'1 vag/év, ,v

:: , Az: * : *

x% W

x—7

Végezetül közöljük dr. Raffmann Jákó9 módszerét, amelyet az első ma—

gyar halandósági táblánál használt. Raffmann az 1900—es népszámlálás és az 1900—1901. évi halálozási adatok —— a III. főösszesség —— alapján számolt. A közepes elhalálozási valószínűséget számította ki (5. képlet). A mi jelzésünk—

kel a 7. ábra mutatja:

__ 0395; 4— DS

' Lásd—: Magyar Statisztikai Közlemények. 11. kötet. Budapest, 1906.

A HALANDÓSAGI TABLA ELMELETE * * 757

Az zx l _; értékét _ az 1900—1901. évben azxá— % éves kort elérők

számát —— bizonyos matematikai elgondolások alapján, a népszámlálás há—

rom egymásutáni korévének számából, hozzáadva a két év meghaltjainak felét, számította ki.

1 1 1 , ,

lx Jr é.: —2—- an %" Lx "f- ? Lie—1 *!" ?(D2,1900 "i' Di, 1901)

3. A halandósági tábla mutatóinak kiszámítása

Elhalálozási valószínűség (gx). Kiszámítása valamelyik, az előbbi feje- zetben tárgyalt módszerrel történik. Rendszerint százalékban számítják ki.

Ábrázolva igen jellegzetes U alakú görbét mutat (8. ábra). Minimumát 10 év körül éri el. A 20 év körüli kis kiemelkedés —— helyi maximum —, amit a tbc—nek erre a korra gyakorolt nagy hatásával magyaráznak, az egészség—

ügyi preventív intézkedések következtében eltűnőben van.

8. ábra. Az elhalálozási valószínűség korszeríntl változása az 1955. évi halandósági tábla alapján (férfi)

9,

%o 66.15

— 0 1'o zo 30 no 50 60 W

Kihalász' rend (I,). Az elhalálozási valószínűségek kiszámítása után legfontosabb feladat a kihalási (továbbélési) rendnek az elkészítése. Könys nyen, sorozatos szorzási és kivonási műveletekkel számítjuk ki, A tábla alapjául vett kezdő népességet (lo) megszorozzuk a 0 évesek elhalálozási valószínűségével, így megkapjuk, hogy közülük hányan halnának meg egy év alatt. A kapott összeget kivonva a kezdőnépességből, megkapjuk az egy- éves kort elértek számát. Ezt tovább szorozzuk az egyévesek elhalálozási valószinűségével, ami megadja az egyéves korban elhaltak számát, ezt ki—

3 Statisztikai Szemle

; 758 , pALLos EMI—a;

Vonva az egyéves kort elértek számából, megkapjuk a kétéves kort elértek számát. így folytatva, minden egyes korévet elértek számát korévüknek megfelelő elhalálozási valószínűséggel szorozva meg, végül az egész elkép—

zelt népesség ,,kihal". Ez a számítási mód abból a matematikai levezetésből adódik, hogy a (3) képlet értelmében

laci-1 :lx— lx'gx

Ha most x-nek O, 1, 2, 3 . . . w korév értékeket adunk (w a legmagasabb;

kor), akkor rendre megkapjuk

l1::l()'—lo'!lo zzáli "cl1'91 333Z3—lz'92

9. ábra. Kihaldsí rend az 1955. évi halandósági tábla alapján (férfiak)

WWW/ ///

A

900004

80 000-

90 000— , B

60 000—

_ medián 50 009

LoO OOO-

30 000*

20 000-

10 000—

o 40 20 30 40 So éoetv—y'o" a'o 50 100 év

A legmagasabb korhatárt 100 évnek szokták venni, annak ellenére, hogy itt még nem végződik be a kihalási rend. Az ilyen magas korban azon——

ban már olyan kevés ember él, hogy itt már nem beszélhetünk valószínűsé—

gekről, tömegjelenségekről, hanem egyéni, szervezeti sajátosságokról, ami——

nek kutatásai nem tartoznak az összehasonlító statisztika feladatai közé.

A kihalási rend grafikus ábrázolásának jellegzetes képét —— az 1955. évi magyar halandósági tábla alapján ——-— a 9. ábra mutatja. A görbe meredek-—

ségét a különböző táblák halandósági viszonyai határozzák meg.

Várható átlagos élettartam (eg). Kiszámítása a (6) képlet alapján a kiha—

lási rendből történik. A szükséges összegeket a kihalási rend megfelelő érté—

A HALANDÓSAGI TABLA ELMÉLETE 759

keinek összegezéséből kapjuk. (A szemléltetésképpen mellékelt 1955—ös ha—_

landósági táblánál az 5. oszlop értékei.)

Az összes korévre kiszámított értékek közül legfontosabb a 0 évesek várható átlagos élettartama (eg). Mértanilag az eg azt jelenti, hogy keressük azt az eg életkort (9. ábra), amelyiknél az ONA eg téglalap területe egyenlő a továbbélési görbe (NC) alatti területével. Ez az átlagos élettartam fogal- mából következik, mert ha mindegyik újszülött eg évet élne, akkor összesen annyit élnének, mint amennyit a kihalási (továbbélési) rend szerint éltek volna le. Innen következik, hogy az NABN terület egyenlő a BCeOOB terü-

lettel.

A halandósági tábla kihalási rendjét úgy is elképzelhetjük, mint egy olyan népességet, amelynek kor szerinti összetétele megegyezik a halandó—

sági tábla korösszetételével. Ha a születések számát —_—— gyakoriságát —— a ha—

landósági tábla kezdőnépességével —— ami esetünkben 100 000 —— egyenlőnek vesszük, akkor ebből a népességből évente éppen 100 OOO—en fognak a tábla szerinti kormegoszlásban meghalni, vagyis az így elképzelt népesség száma és korösszetétele állandó marad. Az ilyen népességet stacionér népességnek nevezzük. A stacionér népesség össznépessége tehát 100 000 - 63 lesz. Ezek szerint a halandósági tábla elhalálozási gyakorisága (a halottak száma osztva áZ 0"ssznépess'eggel) I—W—L100 000 . eg __ eg ' Ebből a megállapításból egy nagyon fontos következtetéshez jutunk, ti. az újszülöttek várható átlagos élettar—

. l

táma azt is jelenti, hogy az elképzelt népességnek egy év alatt F—ad része

0

hal meg. Ezt a mutatót nem befolyásolja a népesség kor szerinti megoszlása, így kiküszöböli éppen azokat a tényezőket, amelyek a korösszetétel külön—

bözősége következtében minden mutatószámban jelentkeznek és az elemzé- seknél standardizálással szokták ellensúlyozni. Könnyen kezelhető, egyszerű mutató, összehasonlításra legmegfelelőbb, mert az egész népesség halálozási

viszonyait egy számmal jellemzi.

Valószínű életkor. A 0 évesekre értelmezve azt a kort jelenti, amelyet a kezdőnépesség fele megér. A kihalási rend medián értéke (9. ábrán az M életkor). Gyakran használják összehasonlításra. Vigyázni kell azonban a kö—

vetkeztetések levonásánál, mert nem jellemzője az egész halandóságnak. Az utána következő életkorok halálozási viszonyaira semmit sem mond. Például az 1955—ös halandósági tábla szerint a férfiak valószínű életkora 72 év. Bár—

milyen is legyen a további életkorban az elhalálozás üteme, erre az értékre nincsen befolyással.

N ormál életkor. A kihalási rend kiszámításakor megkaptuk az elhaltak korévenkénti számát is (DX), mert az lxgx: Dx—szel, így az ott használt kép—

letek így is felírhatók:

Dozlo—z1 01 _zl—zz 02 : 12 _ 13

Dw—l lkv—1 lw

Dwzlw

33!

Összeadvala jobb— és baloldalt, kapjuk:

Doá—Dlá—Dg-l— ...—l—Dw_1—l—Dw:lo

vagyis a halottak összege egyenlő a kezdőnépességgel. Ez nyilvánvaló is, mert a halandósági tábla az egész kezdőnépesség kihalásáról ad számot.

A halandósági tábla halottainak grafikonját a 10. ábra mutatja. Elte—

kintv'e a csecsemőkortól, a görbe maximumát a 75 év körül éri el. Ezt a kort, amelyikben a legtöbben halnak el, normál kornak nevezzük.

Bővebben W. Lewis") foglalkozott vele, behatóan elemezte és matematis kailag is kiszámította.

10. ábra, A meghaltak száma az 1955, évi halandósági tábla alapján (férfiak)

5000

2000

1000

a ne 50 40 50 de vov'ea'o de 100

W. Lexisnél a normál életkor a 70—75 év között van és lassú eltolódást lehet észlelni a 80 év felé. A normál életkor messzebbmenő következtetésre nem alkalmas, csak arra ad felvilágosítást, hogy melyik korban halnak el a legtöbben. Részletesebb értékelését S. Szulc adja ,,Az emberi élet meghosz—

szabbitásának kérdése a demográfia megvilágításában" c. tanulmányában.

(Megjelent a ,,Przeglad Statystyczny" 1955. 2. sz.)

Alább közöljük az 1955—ös magyar halandósági tábla mutatóit és a ki—

számításuknál használt képleteket.

Mutató ' Férfi ' ' Nő

0 évesek várható átlagos élettartama (23) 64,74 68,60

0 évesek valószinű életkora (M) '72 75

Normál kor (N) 76 79

Halandósági tábla elhalálozási gyakori-

sága. (JJ—) 0,015446 0,01455s

eo

"' W. Lexz's: Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellschaft. Freiburg, 1807.