Parametrikus és nem parametrikus függvényközelítési eljárások

PARAMETRIKUS ÉS NEM PARAMETRIKUS FUGGVENYKOZELlTESl ELJÁRÁSOK

MOLNÁR SÁNDOR — SZIDAROVSZKY FERENC — S. YAKOWITZ

Tanulmányunkban interpolációs jellegű függvényillesztési eljárások gyakorlati összehasonlításáról számolunk be. A gyakorlati élet számos területén találkozunk az itt említett feladattípussal, ugyanis ha egy függvény értékeit bizonyos pontokban (helyeken vagy időpillanatokban) megfigyeljük, vagy megmérjük. és a függvénynek egy az alappontoktól különböző abszcisszájú értékét akarjuk megismerni, ezt legcél- szerűbben valamilyen függvény illesztésével kaphatjuk meg úgy, hogy ezen illesztett közelítő függvénynek e helyen számított értékét fogadjuk el a keresett függvény—

értéknek.

Attól függően. hogy milyen típusú függvényt illesztünk az alapadatokra, és mi- lyen kritériumok szerint választjuk ki az adott függvénycsaládból a legalkalmasabb—

nak tartottat. más és más módszerről beszélünk.

A gyakorlatban legtöbbször alkalmazott függvényillesztési eljárásokat alkalma—

san választott tesztfüggvények esetére próbáltuk ki, és a kapott konkrét eredmények alapján kísérletet teszünk arra, hogy az egyes módszerek használhatóságáról, elő—

nyeiről és hátrányairól véleményt alkossunk.

A VIZSGÁLATBA BEVONT MÓDSZEREK

Négy konkrét módszert választottunk ki és vizsgáltunk meg. Ezek rövid leírását adjuk meg a következőkben.

1. Lagrange—interpolácíó

Legyenek x1, x,, az alappontok és fi, .... f,, a hozzájuk tartozó függvényér-

tékek. Kimutatható (lásd (1). (2). (S)), hogy ha az x,- alappontok különbözőek. akkor

pontosan egy legfeljebb (n — 1)—ed fokú olyan polinom létezik, amelyre i: 1. 2. ....

n esetén p(x,-) : f , azaz amely az alappontokban az adott értékeket veszi fel. Bebi- zonyítható továbbá az is, hogy ez a p polinom felírható a

P(x) : ; ,;(x)f,' 'lll

alakban. ahol i : 1, 2, . . .. n esetén

(x—x1) . .. (x—xi_1)-(x——XH_1) . . . (x—x") (xi—x1) . . . (xi—xi—1)-(x'.—x'._H) . . . (xi—x")

[f(x) :: /l2/

462 MOLNÁR SÁNDOR — SZiDAROVSZ'KY FERENC — s. YAKOWITZ

Az I,- függvényeket Lagrange—féle alappolinomoknak nevezzük. az /'ll formulával

definiált p polinomot pedig Lagrange-féle interpolációs polinomnak hivjuk.

Legyen ezután x egy olyan [a, b] intervallum belső pontja, amely az alappon- tokat tartalmazza. legyen továbbá fn—szer differenciálható függvény, amelynek az x;

alappontokban felvett értékei jelentik az f,- értékeket. Kimutatható ekkor az is. hogy

f(n)(5)

n!

f(x)—P(x) ::

(x—x1) . . . (x—xn) IS!

ahol 5 az [a, b] intervallum belső pontja.

Ezt az összefüggést könnyen felhasználhatjuk az interpolációs polinom becslé-

sére. Legyen ugyanis

M,, : SUP lf(")(5) l W

x€[a, b]

ekkor /3/ alapján

Mn

lf(X)—P(X)l § T lX—le -- . lX—an /5[

Az /5/ formulából leolvashatjuk. hogy f(x) és p(x) eltérése nem lesz nagy akkor, ha egyrészt lfl")(x)l nem válik naggyá az [a, b] intervallumon, másrészt az x inter-

poláló ponttól nincsenek távol az alappontok.

Természetesen arra is lehetőség van, hogy f(x) közelítő értékének kiszámításá- hoz ne az összes alappontot és függvényértéket vegyük figyelembe, hanem csak az x-hez legközelebbi néhény alappontot. Ekkor ugyanis M,, helyett valamely alacso-

nyabb rendű derivált szuprémuma lép be. és /5/ jobb oldalán szereplő tényezők

száma is jelentősen csökken oly módon. hogy csak a legkisebb tényezőket vettük fi—

gyelembe.

Minthogy vizsgálatunkban az alappontok számát is megváltoztattuk. ezzel a lehetőséggel nem éltünk, hiszen az alappontok közül kevesebb pont kiválasztása eleve kevesebb alappont kijelölésével egyenértékű.

2. Polinom—illesztés a legkisebb négyzetek módszerével

Jelölje most is n az alappontok számát. xi, . . ., x,, az alappontokat és íj, . . .. f,, ' a hozzájuk tartozó függvényértékeket. Legyen m § n —1 nem negativ egész szám, és keressük az f függvény közelítését

P(x) : CG'l—CIX'l— ' ' ' 'l'Cm xm fől

alakban. ahol a c,- (0 § i § m) együtthatók egyelőre ismeretlenek. Vezessük be f és p eltérésére a

n " m 2

2 [f(x,)—p(x,.)12: ): [rí—z c xi] /7/

í:1 íz1 ;:o

mértéket, és határozzuk meg az ismeretlen együtthatókat azon kritérium alapján,

hogy ezen mérték a lehető legkisebb legyen. Kimutatható (lásd (1), (2). (S)). hogy

e minimumkritérium a c,- együtthatókat egyértelműen határozza meg. akkor. ha az x,—

alappontok különbözők. és az ismeretlen együtthatók meghatározására a következő módszert alkalmazhatjuk.

FUGGVÉNYKÓZEUTÉSI ELJÁRÁSOK 4631

Legyen

2 C

1 x.I x1 x?" f1 0

1 X XZ . . . xm f C

X 2 2 2 , f 2 , c 1 , /8/

2 . m

1 Xn x xn f" cm

ekkor a c vektor megkapható az

(XTX)c : XTf /9/

lineáris egyenletrendszer megoldásaként. E megoldás a fenti feltétel mellett mindig létezik és egyértelmű.

Nyilvánvaló. hogy csak olyan típusú függvényeket közelíthetünk ily módon leg- feljebb m-edfokú polinomokkal. amelyek elég símák az ilyen rendű polinom-illesz—

téshez.

Az illesztendő polinom fokát tehát az f függvényről rendelkezésünkre álló to- vábbi információk alapján választjuk meg. A gyakorlati esetek nagy részében azon- ban az (x,-, f,-) értékpárokon kívül további információval nem rendelkezünk az f függ- vényről, ami gyakran eleve kétségessé teszi ennek a módszernek az alkalmazható—

ságát. Mint látni fogjuk, ezt az állításunkat konkrét numerikus eredményeink is alá—

támasztják.

Az eddigiekben említett függvényillesztési eljárások során eleve meghatároz- tuk. hogy polinom alakú függvényt választunk közelítő függvény gyanánt. Természe—

tesen polinomra visszavezethető függvényalakokat is választhatunk. ezek azonban egyszerű transzformációval, azaz újabb alappontrendszer és újabb függvényértékek felhasználásával polinom—közelítések esetére vezethetők vissza, így elvi újdonságot nem jelentenek az eredeti módszerekhez képest. Konkrét szómításainkhoz ezért min- dig polinom-illesztést választottunk. Vegyük észre, hogy mind a Langrange—féle in- terpoláció. mind a legkisebb négyzetek módszerének előbbiekben részletezett válto—

zata esetén eleve rögzítettük. hogy

p(x)z cO—j—c1x—j—---—j-cmxm /10/

alakú függvényekkel dolgozunk, ahol m értéke adott (például interpoláció esetén

n — 1), és csak a c; paraméterek megválasztása jelenti a problémát. Ezért az ilyen típusú eljárásokat parametrikus módszereknek is nevezzük. Ha a függvény tipusát valamely módszer alkalmazása során nem rögzítjük le a fentihez hasonló módon.

akkor nem parametrikus eljárásról beszélünk. A továbbiakban két nem parametrikus módszert ismertetünk.

3. A Kríging módszer

E módszer1 arra az alapgondolatra épül, amely az f(x) függvényértékeket egy sztochasztikus függvény véletlen realizációjának tekinti.

Az eljárás nemcsak az x pontbeli függvényérték becslését adja meg, hanem e módszerrel közvetlenül megadható a becslés hibájának varianciája is. amelyet nyil—

vánvalóan a becslés ..jóságának" mértékeként is felfoghatunk.

i A Kriging módszer ismertetését lásd: dr. Szídarovszky Ferenc .,Ú] módszer kísérletek optimális terve—

zésére" cimű cikkében (Statisztikai Szemle. 1982. évi 11. sz. 1111-1116. old.).

464 MOLNÁR SÁNDOR —- SZlDAROVSZKY FERENC —— S. YAKOWlTZ

4. A magfüggvények módszere

Jelölje n a megfigyelések számát, xi, ..., x,, az alappontokat, fi, . . ., f,, pedig a hozzájuk tartozó függvényeket. Legyen k valamilyen sűrűségfüggvény. és az (ad—

sorozat pozitív elemű és O-hoz tartó. Ha x valamilyen abszcissza—érték az f függ-

vény értelmezési tartományán. akkor kereshetjük f(x) becsült értékét az

X—X íz1 an

f(X) e —— ————- ,, x_í" ""

Ekl "l

i:1 0

n

alakban is (lásd (8), (9)). ahol természetesen feltesszük. hogy a nevező nem zérus.

Vegyük észre, hogy a /11/ közelítés rokonságot mutat a Kriging módszer

f(x) % _2 A; r,-

alakú becslésével. hiszen ez esetben bevezetve a

.: ___—___ /12/

változókat nyilvánvalóan ilyen alakúvá válik a /1'1/ összefüggés is. E módszer becs- lési képlete tehát megegyezik a Kriging módszernél is alkalmazott becslési formu- lával, viszont két nagy különbséget azonnal megállapíthatunk:

a) a becslésben szereplő l,. együtthatókat közvetlenül adja meg a módszer, nem pedig alkalmas optimalizálási szabály szerint;

b) a [12/ összefüggés alapján l,. ;0, amelyből azonnal következik. hogy a /——1l1/ jobb oldala, azaz a becslési érték a legkisebb és legnagyobb f,. érték közé esik.

Ez utóbbi észrevételből az is következik. hogy ezt a módszert extrapolációra nem célszerű használnunk. mert az eredményül kapott közelítő függvényérték úgyis az ismert f függvényértékek közé ..interpolálódik".

Megjegyezzük viszont. hogy a (8) dolgozatban nemcsak a függvényközelítés hí- bájának nagyságrendjére találhatunk becslést. hanem a szerzők a közelítő függ—

vény és f magasabb rendű deriváltjai eltérésének nagyságrendjét is megbecsülték.

A MÓDSZEREK GYAKORLATI USSZEHASONLITÁSA

Az előző pontban ismertetett módszereket kipróbáltuk konkrét tesztfüggvények esetén. A függvények megválasztásánál az volt az elsőrendű alapelvünk. hogy kü—

lönböző ingadozású és különböző nagyságrendű szórási hibával terhelt függvénye—

ket is bevonjunk (: vizsgálatba.

Ennek megfelelően a következő függvényeket vizsgáltuk a [O. 1] intervallumon:

F1 — f(x) : sin x F2 —- f(x) :: sin 2x F3 —- f(x) : sin 3x

*FUGGVÉNYKÓZELlTESI ELJÁRÁSOK 465

F4 — f(x) : sin 4x F5 -— f(x) : sin 5x Fó — f(x) : 0

'l

F7—f : —————_———

(X) 11L16(x—o.5)2

0, ha X § 0.5 F8— f(x) :

1. különben

Az F1 -— F5 függvények nyilvánvalóan egyre hullámosabbak lesznek, Fő az el- vileg elképzelhető ,.legsímább" függvény, az F7 függvénynek az x : 0.5 helyen ki-

ugró maximuma van, az F8 függvény pedig szakadásos.

Az alappontok számának megválasztásakor is viszonylag széles skálát vizsgál- tunk:

Pi—n:6 P2-n:11 PB—n:31 P4—n:51

Az alternatívák konkrét értékének kiválasztásánál az volt a szempontunk, hogy ekvidisztáns alappontrendszer esetén viszonylag ,.kerek számú" részintervollumot

nyerjünk.

Az alappontrendszer típusának kiválasztásakor kétféle lehetőséget vizsgáltunk:

Ti —— ekvidisztáns alappontrenclszer xi :O. xn:1 választással;

72 — egyenletes eloszlású. független x,. értékek kiválasztása.

A tesztfüggvények alappontokbeli értékeit független, zérus várható értékű, nor- mális eloszlású hibákkal is terheltük. Ezt úgy értük el, hogy az f értékeket a tényle—

gesen számitott függvényértékek és a generált hibatagok összegeként definiáltuk.

A hibatagokat úgy is felfoghatjuk. mint az f(x,-) függvényértékek mérési vagy számi—

tási (kerekítési) hibáit. A hibatagok szórására is többféle lehetőséggel éltünk:

Hl —— a szórás : 0. azaz pontos függvényértékek esete:

H2 — a szórás : 0.015;

H3 -— a szórás : 0.1 ; H4 -— a szórás : 1.0.

Megjegyezzük, hogy az F1 — F5 függvények és a H4 hibatag esetében a hiba szórása megegyezik a tesztfüggvény maximumával. valamint az F6 függvény esetén is bármely hibatag vizsgálata lényegében véletlen, kis tendenciájú vagy teljesen független értékekből álló függvényt jelent. Másrészt pedig a H1 hibatag vizsgá- lata pontos függvényértékekkel dolgozik, igy az f(x) függvények struktúráját ponto-

san követik az f függvényértékek.

A gyakorlati számításokkal kapcsolatban még a következőket kell megemlite—

nünk. Véletlenül választott alappontrenclszer esetén 0 [O. 1] intervallum bizonyos részeire extrapolálunk, ekvidisztáns alappontrendszer esetén pedig mindig interpolá- cióról van szó. Mind a véletlen alappontok, mind a véletlenül előállított hibatagok esetében ügyeltünk arra. hogy különböző módszerek vizsgálatakor mindig ugyan—

azokkal a véletlen számokkal dolgozzunk. Ezzel igyekeztük elkerülni a véletlen válasz- tásból adódó esetlegességeket.

2 Statisztikai Szemle

466 MOLNÁR SÁNDOR -— SZlDAROVSZKY FERENC — S. YAKOWITZ

Paraméteres módszerek többdimenziós esetben való alkalmazásakor az alkal—

mazásra kerülő konkrét függvénytípus kiválasztása az egydimenziós esethezképest is bonyolultabb. (: függvényre vonatkozó egyéb információkon alapszik. A gyakorlati ' esetek jelentős részében egyéb információk hiányában csak ad hoc függvénytipus- választással élhetünk. amelynek esetleges volta becslési eredményeinkre is jelentős hatást gyakorol. Ezért kétdimenziós vizsgálatainkban csak a két nem parametrikus eljárást. azaz a Kriging módszert. valamint a magfüggvények módszerét hasonlitot—

tuk össze.

Ez esetben tesztfüggvényeink a következők voltak:

F9 — f(xí, xz) : sin (xixz) F10 -— f(xi, xz) : sin (2x1—l—2x2) Fil - f(xi, x2) : sin (3x1x2) F12 — f(xl, x2) : sin (4x1—l—4x2) F113 —— f(xi, x?) : sin (5x1x2) F'l4 — f(xi, x2) : O

F15— f(xi, x2) : ————————--—1M—————————

0. ha xi—l—x2 § 1 Xz) :

1, különben

F16 — f(Xi,

Valamennyi függvényt a [D. 1]X[O, 1] egységnégyzeten vizsgáltuk.

Az alappontok számának a következő eseteket tekintettük:

P5—n:16 Fó—n:25 P7—n:36 PB—n:49

ltt n értékét mindig négyzetszámnak választottuk. hogy ekvidisztáns esetben az alappontok négyzetrácsot alkothassanak.

Az alappontrendszer típusának kiválasztásakor most is két különböző esetet te- kintettünk:

T3—ekvidísztáns esetben az alappontrendszert a (fu t).) pontoknak választottuk. ahol

5—1 _ 1—1 __

tí:VrT—1 (i:1,-.-,Vn)9 tíz,/;í—ll (j:1,__.,l/n);

T4—véletlen alappontrendszert úgy állítottunk elő. hogy a pontok két koordinátáját egy—

mástól független, [O, 1] intervallumon egyenletes eloszlású véletlen számokkal kaptuk.

A függvényértékeket terhelő hibákként most is független. O várható értékű, nor- mális eloszlású változókat. ezek szórására kétdimenziós esetben is 0 Hl — H4 alter-

natívákat választottuk.

Az egyes módszerek konkrét reolizálásával kapcsolatban a következőket kell még megjegyeznünk.

A legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásakor az m : 5 választással él- tünk. Ennek az az egyszerű magyarázata. hogy minél magasabb közös fokszámot akartunk választani, de mivel n : 6 volt a legkevesebb alappontszám, 5—nél na—

gyobb m értéket már nem választhattunk.

FUGGVENYKUZEUTÉSI ELJÁRÁSOK 467

A Kriging módszernél szférikus variogramot választottunk, mert előzetes számí—

tásaink során ez tűnt legcélszerűbbnek. Megjegyezzük, hogy a nemzetközi statiszti- kai irodalom is ezt (: variogramtípust tartja általában a legmegfelelőbbnek.

A magfüggvények módszerénél a k sűrűségfüggvényt a standard normólis sűrű—

ségfüggvénynek választottuk. Az (On) sorozat elemeinek megválasztása azon krité—

rium alapján történt, hogy a becslési hiba szórását ezáltal minimalizáljuk. Az a,, po—

raméterek elvileg kifejezhetők konkrét képlet formájában. de alakjuk bonyolultsága miatt ezt itt nem részletezzük.

AZ EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE

Mielőtt a konkrét eredményeket ismertetnénk, röviden megemlítjük az egyes futtatási eredmények jóságának. pontosságának mérési módját.

Az egydimenziós esetben az

S.:

I

, ;, (ifri, 2. 8).

a kétdimenziós esetben pedig az

3í,:1 313—1

s,. : (sip sí?) :: [ —9—4--, MET—) (ij, iz : l. 2, 3)

alappontokat választottuk mérési helyeknek. Minden mérési helyen kiszámítottuk az f függvény értékét és a választott módszer alkalmazásával nyert közelítő függvény—

értéket is. Az ezek különbsége négyzetének átlagából vont négyzetgyököt, azaz a szórásjellegű mennyiséget választottuk az illető függvényközelítő eljárás pontossá—

gának mérésére.

Tekintsük először az egydimenziós esetet és azon belül is elsőnek az interpolá—

ció módszerét. Ekvidisztáns alappontrendszer. kevés alappont és kis hibatag esetén az eljárás igen jó tulajdonságot mutat. Ez abból látszik, hogy n : 6, illetve n : 11 és 0.5-nél nem nagyobb szórású hibatag esetén a közelítés jóságát mutató szórás mindig a hibatag szórásánál kisebbnek. 0,05 hibatagszórásnál pedig legalább egy nagyságrenddel kisebbnek adódik. Nagyobb pontszám esetén teljesen pontos (az—

az 0 szórású hibatagok mellett) függvényértékek figyelembevétele mellett is igen jó eredményt ad, viszont már 0,05 szórású hibatagok esetén is igen pontatlan ered- ményt kapunk. Például az F1 függvény 0,05 hibatagszórás és n : 31 esetén a kö- zelítés pontosságát jellemző mutató értéke közel 80. Véletlen alappontok esetén még kedvezőtlenebb képet kapunk. Például ugyanannál a függvénynél n : 6 és 0,05 hi- baszórásnál 180 feletti mutatóértéket kaptunk. Az interpoláció módszerének kedve- zőtlen volta ez esetekben természetesnek tűnik. hiszen viszonylag közeli alappontok esetén még viszonylagosan kis hibatagszórások mellett is — a hibatagok független—

sége miatt — eléggé hullámzó függvényt kapunk. amelynek interpolációval való kö- vetése (M,, magas értéke miatt) általában csak igen pontatlanul történhet.

Tekintsük ezután a legkisebb négyzetek módszerét, amely ekvidisztáns alappont- rendszer és kevés alappont esetén lényegében a Kriging módszerrel azonos pontosságot mutat: a pontosságot mérő mutató majdnem mindig a híbatag szórá—

sán kissé belül van. Véletlen alappontok és sok ekvidisztáns alappont esetén viszont

igen jó eredményt kapunk. E módszer kitűnően kiegyenlíti a független hibákból

adódó véletlen ingadozásokat, míg az interpoláció és a Kriging módszer esetében ez nincs így. E két utóbbi módszernél az alappontok helyén a közelítés a hibával

29;

458 MOLNÁR SÁNDOR —- SZlDAROVSZKY FERENC -— S. YAKOWITZ

terhelt függvényértéket adja vissza. így természetes. hogy az alappontok környezeté—

ben a hibákat nem tudják kiegyenlíteni. Néhány esetben a véletlen alappontok vá—

lasztásánál igen kedvezőtlen eredmény adódott. Ennek nyilván az az oka. hogy vé—

letlen alappontok esetén ezek közeliek is lehetnek. mely esetben kollinearitás lép—

het fel. tehát a megoldást szolgáltató lineáris egyenletrendszer instabillá válik. A

legkisebb négyzetek eredményeiből azonnal leolvashatjuk. hogy viszonylag kevés

esettől eltekintve ez a legjobb módszer, viszont széles körű és főleg többdimenziós esetekben való alkalmazhatóságát a függvénytípus kiválasztásának esetleges ne- hézségei miatt csak fokozott körültekintéssel ajánljuk.

A két nem parametrikus módszer vizsgálata az egy- és kétdimenziós esetben igen hasonló eredményekre vezetett, így e módszereket mindkét dimenzióban együtt

tárgyaljuk. ;

A két módszer eredményeit megvizsgálva azonnal megállapíthatjuk. hogy általá- ban igen kis minta és alacsony értékű hibatag esetén jobb a Kriging módszer. Vi- szonylag nagyobb hibatag (0.1 vagy ennél nagyobb szórás) esetén viszont szinte ki—

vétel nélkül a magfüggvények módszerének alkalmazása jobb. Ez a tulajdonság :!

Kriging módszer már említett, az alappontokban pontosan interpoláló jellegéből adódik A magfüggvények módszere több esetben — különösen véletlen. azaz sza- bálytalan alappontok esetén és nagy hibatag mellett — lényegesen jobb eredményt adott minta legkisebb négyzetek módszere.

A vizsgálat számszerű eredményei alapján az alábbiakat állapíthatjuk meg:

7. szabálytalan és esetleg egymáshoz közeli alappontokból álló alappontrendszer esetén a parametrikus módszerek alkalmazása kétséges;

2. viszonylag pontos függvényértékek esetén a Kriging módszert, pontatlanabb függvény- értékek esetén pedig a mogfüggvények módszerét célszerű alkalmaznunk;

3. ha a függvényről egyéb információk alapján tudjuk. hogy viszonylag alacsonyabb fokú polinomokkal jól közelíthető, akkor szabályos alappontrendszer és pontosabb függvény- értékek esetén az interpolációt, pontatlanabb függvényértékek esetén pedig a legkisebb négy- zetek módszerét javasoljuk (vagyis viszonylag sok alappont esetén az interpolációt csak igen pontos függvényértékek és szabályosan viselkedő, polinommal jól közelíthető függvények ese- tén javasoljuk);

4. nagyobb hibával terhelt függvényértékek esetén az interpolációt és a Kriging mód- szerét nem javasoljuk.

Befejezésül le kívánjuk szögezni: a közelítő módszerek megválasztására nem ajánlható általános eljárás. Az alkalmazandó módszer kiválasztásakor minden eset- ben a megoldandó feladat speciális tulajdonságait kell mérlegelnünk, és a konkrét feladatok természetéből adódó tulajdonságok alapján kell a legmegfelelőbbnek tű-

nő módszert kiválasztanunk.

lRODALOM

(1) Szídaravszky Ferenc: Bevezetés a numerikus módszerekbe, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Buda- pest. 1974 389 old

(2) Szídarovszky Ferenc: Számítástechnika. Kertészeti Egyetem. Budapest. 1978. 277 old. (Kézirat) (3) Szidarovszky Ferenc -— Yakowitz, S.: Principles and procedures in numerical analysis. Plenum Press New York. 1978. 331 old

(A) Delhomme, I. P.: Kriging in the hydrosciences. Advances ín Water Resources. 1978. évi 5. sz. 251—

266. old.

(5) Matheron, G.: The intrinsic random functions and their applications. Advances in Applied Proba—

bílily.1973 évi 5. sz 439— 468. old

(ó) Gambolatí, G. — Volpí, G.: Groundwater contour mapping in Venice by stochastic interpolators.1.

Theory. Water Resources Research. 1979. évi 2. sz. 281—290 old.

(7) !oumel, A, G. — Huigbregts, Ch. I.: Mining geostatistics. Academic Press. New York —— London.

1978. 600 old.

(B) Schuster, E. - Vakowítz, S.: Contributions to the theory of nonparametric regression, with appli- cation to system identification The Annals of $iatístíc.1979 évi 1 sz. 139—149. old.

(9) Watson, G. 5: Smooth regression analysis Sonkhya. Ser. A. 1964. évi 26. sz 359—372. old.

FUGGVÉNYKÓZELITÉSI ELJÁRÁSOK 469

PE3lOME

B CBoeM ouepxe aatophi nonaepraror nccnersai-imo HGCTO npnMeHneMbie " nna pe—

Luei-mn crarucmuecxnx npoőneM cnocoöbl CoeAHMTeanle cpunxumi HHrepnonnuuoHi—ioro xapakrepa, B TOM tmcne Merop. nHTepnonnui—m Harper-ima, coeAHeHue nonuHOMos Meroaom HaHMeHblLUHX xaagparoa, mefon Kpnrunra " Me'ronu (pynxunü napa. Cpepm an cneAyeT ocoőo ocraHamecn MeTer ouemm Kpurm-iroacuoro xapaKTepa, Korophiü a one ouei-um Benn—mu cpyHKuuu " cpeAan Bem—Huu anHHMBeT BO BHHMHHMe ace M3MepeHHble Benw-m- Hbl, TO ecn, ucnonb3ye'r ace anpopmaum—i. Tam—mt oőpaaoM OH ucnonbayer He TOanO senn—

HMHbl oueHuaaeMoü anyukam, Ha " MSBeCTHbie senanbi scex tpyHKuuü, Haxonnmnxcn c Heü B CToxacruueCKoü cansu. Mcxonn ua yueTa őonbmero Konuuecraa nncpopMaui—iü men—ema—

muecng nyTeM Momno YCTaHOBHTb, ufo xapakrepnsyiomnü norpewnocrb ouemcn KBEA- par paccenm—m nennercn cymecrseuuo őnaronpun'meü, ueM B cnyuae omenbuoú OLLeHKM nemnoro omeanoro napamerpa.

l'locne nonasa anMeHeHMH coeannmenbnbix mynxuni c noMOlLLbl-O cneuuanbno nonoő—

pam-lux TeCTOBle cpyHKuMú aBTOpb! ouer—maaror omeanme MeTOAbI Ha ocnosai—mn KOHerT- Hle peaynbraroe.

SUMMARY

The authors deal in their study with the methods of function fitting of interpolation character which often present themselves in solving statistical problems. The method of Lag- range interpolation, the fitting of polynoms with the least sauares method. the Kriging meth—

od and the methods of core functions are dealt with in the study. Of the above-mention—

ed techniaues the Kriging estimation deserves particular attention as it takes into account all observation values, thus using all information needed for estimating the values of tunc- tions and averages. In doing so it uses not only the values of the functions to be estimated but also the known values of all functions being in stochastic relation with them. As a result of the use of more information it is easy to see. from a mathematical point of view, that the

variance characteristics of the estimation error is much more favourable than in the case of separate estimation of the individual parameters.

Having applied the methods of function fitting, the authors evaluate the individual methods on the basis of factuol results by means of appropriate test—functions.