CENTRAL . 19^AüGi/RESEARCHINSTITUTE FORPHYSICSBUDAPEST

Teljes szövegt

(1)ь>. о. Т К. м. .. 7. 3. 2. K F K I-7 3 -2 4. t. Andréka Н. Gergely Т. Németi 1.. VIZSGÁLATOK AZ ALGEBRAI LOGIKA TERÜLETÉN. ehoaazaxian Sftcademy of S&mce&. -. CENTRAL . 19^ AüGi/ RESEARCH INSTITUTE FOR PHYSICS BUDAPEST.

(2) 10fl.

(3) K F K I-7 3 -2 4. VIZSGÁLATOK AZ ALGEBRAI LOGIKA TERÜLETEN A n d r e k a H*3 G e r g e l y. T . 3 Nem eti. I.*. K ö z p o n ti F i z i k a i K u ta tó I n t é z e t S z á m itó g é p F ő o s z tá ly. NIM I p a r g a z d a s á g i é s ü z e m s z e r v e z é s i S z á m o ló k ö z p o n tja. In té z e t.

(4) ABSTRACT. This paper i s concerned about th e c o n c ep t o f l o q i c : l o g i c and l a n g u a g e , l o g i c and c a l c u l u s .. and a b o u t t h e r e l a t i o n s b e t w e e n. To t h i s e nd t h e a l g e b r a i c m e th ods o f l o g i c a r e f u r t h e r e l a b o r a t e d , " C y l i n d r i c A l g e b r a s " o f H e n k i n , Monk and T a r s k i. /P u b lis h e d in 1971/ as a s t a r t i n g p o i n t .. By t h e s e m e th o d s t h e a l g e b r a i c s t r u c t u r e o f f i r s t o r d e r l o g i c w ell/. is. in v estig a ted ,. and a t t h e e nd f i r s t o r d e r l o g i c. p u r e l y a l g e b r a i c manner. One o f t h e main r e s u l t s o f f i r s t - o r d e r sem antics. restricted. It is. is. is. r ec o n str u c te d in a n a tu r a l,. shown by e x a m p l e s t h a t. the r e s u l t s. are not n e c e s s a r i l y. to fir s t-o r d e r lo g ic .. lo g ic,. langu ages/. / s y n t a x and s e m a n t i c s as. the pu rely a lg e b r a ic c o n s tr u c tio n. The main r e s u l t s o f t h e p a p e r can be u s e d i n a r t i f i c i a l tion al. u s i n g t h e book. prog ra mm in g t h e o r y e t c . /. in tellig en ce. to s y n t h e t i s e adequate. /a n d i n c o m p u ta . l o g i c a l system s. /and. fo r the d i f f e r e n t problem s.. РЕЗЮМЕ Данная р а б о т а о с в е щ а е т п он ят ие л о г и к и ,. с в я з и между л ог и к ой и языком и между ло ги к ой и и с . ч и с л е н и е м . Для э т о г о п р е д л а г а е т с я ч и с т о а л г е б р а и ч е с к и е методы, которые разв ива ют методы, р а з р а б о т а н н ы е в книге Хенкин, Монк и Тарски "Цилиндрические ал г е бры ". При помощи э т и х ме то д о в в ы яс н яе тс я а л г е б р а и ч е с к а я с т р у к т у р а / с и н т а к с и с а и с е м а н т и к и / п р е д и к а т н о г о и сч и с ле н ия первого порядка.. Це нт рал ьно е м е с т о за н и м а ет м а т е м а т и ч е с к о е п о с т р о е н и е с ем ан ти к и .. Ре зу л ь т а т ы работы дают эффективное с р е д с т в о дл я те ори и и с к у с с т в е н н о г о и н т е л л е к т а . Они п о зволяют с и н т е з и р о в а т ь ад е к в атн ую решаемой пр обл ем е л о г и к у .. В п ер во й г л а в е и в с п и с к е о п р е . д е л е н и й п р и в о д я т с я необходимые дл я понимания и зл о ж е н н о г о м а т е р и а л а п он я ти я .. KIVONAT Jelen dolgozat t is z t á z z a tokat.. a lo g ik a fogalm át és a lo g i k a - n y e l v ,. Ehhez a l o g i k a t i s z t á n. a H e n k i n , Monk, T a r s k i : fejlesztései.. a l g e b r a i v i z s g á l a t i m ó d s z e r e i vann ak k i d o l g o z v a ,. " C y lin d ric algebras" c .. A d o lg o z a t egyik. lén ye. m atem atikai f e l é p í t é s e .. A tanulmány ered m én yei a m e s t e r s é g e s k e t nyújtanak,. az e l s ő r e n d ű p r e d i k á t u m -. /s z in ta k tik á já t és szem an tik áját/.. g es eredménye a s z e m a n tik a t i s z t á n. a m e ly e k. könyvben k i d o l g o z o t t módszerek to v á b b . Ezen m ó d s z e r e k s e g í t s é g é v e l a s z e r z ő k t i s z t á z z á k. kalk ulu s a lg eb ra i s tr u k tú r á já t. lo g ik a -k a lk u lu s k ap csola. i n t e l l i g e n c i a e l m é l e t számára igen haték on y e s z k ö z ö . am elyek s e g í t s é g é v e l a megoldandó problém ákhoz a d e k v á t l o g i k á k s z i n t é z i . se e lv ég ezh ető . A tanulmány m e g é r té s é h e z. s z ü k s é g e s a l a p i s m e r e t e k az e l s ő. j e g y z é k b e n va nn ak m e g a d v a .. fejezetb en és a d e fin íc ió -.

(5) T A R T A L O M J E G Y Z É K. E lő s z ó ......................................................................................... .................................................... I l l A lk a lm a z o tt j e l ö l é s e k é s k o n v en ció k • • .............. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • « • • V I I I I*. Előzm ények .................................................. .................................. . . . . . ............... IX. 1*1. H a lm a z e lm é le ti k é rd é s e k • • • • • • • • • ............................................. ................... ..... 1. 1*2. Az a l g e b r a fogalm a». 3. 1*3. N e v e z e te s II«. - t - t i p u o u a lg e b r á k ,. s z a b a d a lg e b ra. ••••••••••. l - t i p u s u a lg e b r á k • • • • • • • • • • • • • « • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •. 9. L o g ik ai é s c i l i n d r i k u s a l g e b r a i e l ő k é s z it ő v i z s g á l a t o k • • • • • • •. 14. I I «1. A l o g ik a f o g a l m a ............................ ................................................................... • • • •. 13. 11*2. Az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s ....................................................... • • • • • • • •. 22. 1 1 .3. G ödel t e l j e s s é g i t é t e l • • • • • ............................................................................... ... 30. 11*4. R e p r e z e n t á c i ó t é t e l ............ • • • ................................... • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •. 47. 1 1 .3. A fo rm u la a lg e b rá k é s h a lm a z a lg e b rá k k a p c s o l a t a ....................................... 60. III«. Az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s a lg e b r a i v i z s g á l a t a . • • • • • • • • •. 65. 1 1 1 .1. A lg e b ra i d e f i n í c i ó k é s t é t e l e k ............................................................................ 67. 1 1 1 .2. Az <5fD. k ) lo g ik a s z e m a n tik á já n a k t i s z t á n a lg e b r a i e l ő á l l í t á s a . .. ?4. 1 1 1 .3. V á lto z ó je lm e n te s e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s .......................................... 84. I I I . 4 . A d e f i n i á l ó r e l á c i ó k sz ü k sé g e ssé g e • • • • • • • • • • • • • ................• • • • • • • • • Ю5 IV .. T ip u s f ü g g e tle n e ls ő re n d ű l o g i k a .......................................................... • • • 128. F ü g g e l é k ............................................................................................................................................ 141 A tan u lm án y b an h a s z n á l t g ó t b e tű k jeg y zé k e ....................... • • • • • • • • • ............... ... 161. I r o d a l o m j e g y z é k ............................................• • • • ............... ................. ................. ................... 162 D e f i n íc ió j e g y z é k ............ ................................................. ........................................................... f a r t a lm i k i v o n a t. ...................... .......................................... ...................................• • • • • 175.

(6) II. ELŐS ZÓ. Ez a tanulm ány az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s4'. a lg e b r a i t u l a j d o n s á g a i t. v i z s g á l j a . K í s é r l e t e t t e s z a p re d ik á tu m k a lk u lu s t i s z t á n a lg e b r a i e l ő á l l i t á s á r a , a z t a c é l t t a r t v a szem e l ő t t , hogy az a lg e b r a i k o n s tru k c ió e lé g te r m é s z e te s m aradjon ah h o z, hogy az a lg e b r a e s z k ö z e it h aték o n y an le h e s s e n **/ r á a lk a lm a z n i, v is z o n t ugyanakkor a lo g ik a i lé n y e g se t o r z u l j o n e l . A f e n t i c é l m e g v á ló é itá s á ra k ín á lk o z o tt k é t , ma már k la s s z ik u s n a k nevez h e tő i r á n y z a t : a p o lia d ik u s a lg e b r á k e lm é le te [kalm os 62]. és a c ilin d r i-. ku s a lg e b rá k e lm é le te [H enkin-M onk-Tareki 7 l l vagy ezek s z i n t é z i s é r e fő irá n y ú ló tö re k v é s e k v a la m e ly ik e , p l . [Lucas 68] • Különböző m eg fo n to láso k a la p já n a c i l i n d r i k u s a lg e b rá k e lm é le té t v á l a s z t o t t u k . E m eg fo n to láso k k ö z ö tt s z e r e p e l t az i s , hogy a c i l i n d r i k u s a lg e b rá k e lm é le té r ő l 1971-b e n m e g je le n t egy 5 °° o l d a l a s könyv, m ely az e lm é le t u n i v e r z á l i s a l g e b r a i vo n a tk o z á s a it - tu d u n k k a l - "p áratlan * * m ély ség g el d o lg o z z a k i . A tanulm ány t e l j e s e n e r r e a k ö n y v re([H en k in -M o n k -T arsk i 71] ) é p ü l , m elyet a to v á b b ia k b a n " a könyv" - k é n t id é z ü n k .. V A tan u lm án y k ö z e lité s m ó d já t nemcsak e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s ra , hanem p l . n -e d re n d ü p r e d ik á tu m k a lk u lu s ra [A ndrék a-G erg ely -N ém eti 7 3 a ] é s tö b b f a j t á j u p r e d ik á tu m k a lk u lu s ra. [ A ndréka-G ergely-N ém eti 73b] i s a lk a lm a z tu k ,. de a r ö v id s é g é rd e k é b e n e z e k re i t t nem té r ü n k k i . « / A f e n t i p ro b lém a m e g o ld á sá ra semmiképpen nem a lk a lm a s az o ly a n k ö z e líté s m ó d , m int p l . a Lindenbaum a lg e b r a v i z s g á l a t a , h is z e n ez a z á r t fo rm u lá k ra k o r l á t o z ó d ik , é s p l . a k v a n to r o k r ó l nem mond sem m it. E k ö z e lité s m ó d o t p ró b á ltu k á l t a l á n o s í t a n i n y i t o t t fo rm u lá k ra az [A n d r. 7 2 ] - b e n , ehhez re n d e z é s e k h e l y e t t e lő re n d e z é B e k e t h a s z n á ltu n k ..

(7) Ill. A tan u lm án y e l e j é n b e v e z e tjü k a l o k á l i s a n f ü g g e tle n ü l véges c i l i n d r i k u s h a lm a z a lg e b rá k o s z t á l y á t ( a to v á b b ia k b a n « 6 г ) ( m elyre a lo g ik a i t é t e l e k b iz o n y ítá s á n á l ( é s egy ré sz ü k n e k k im o n d á sá n á l) van sz ü k sé g . A könyv e z t az a l g e b r a o s z t á l y t nem d e f i n i á l j a . A lo g ik a i t é t e l e k n é l szükség van a c i l i n d r i k u s a lg e b rá k é s ahol. Lf. cír. k ö z ti azon ö s s z e f ü g g é s re , hogy SÍP Jjj = 5iP Lf }. a l o k á l i s a n v ég es c i l i n d r i k u s a lg e b rá k o s z t á l y a . E t é t e l b iz o . n y ítá s á h o z szükségünk v o l t a Gödel t e l j e s s é g i t é t e l egy á l t a l á n o s í t o t t v á l t o z a t á r a é s egy r e p r e z e n t á c i ó t é t e l r e a c i l i n d r i k u s a lg e b rá k e lm é le té b ő l . A tanulm ányban m in d k e ttő t kim ondjuk é s b i z o n y l t ju k . Az u tó b b i t é t e l t a könyv egy m egjegyzésben ( l . l l . 2 . ). k ö rv o n a la z z a , p r e c iz kim ondását é s. b i z o n y í t á s á t a m ásodik r é s z r e Í g é r i . Az ed d ig e lm o n d o tta k a t a tanulm ány I . éB I I . f e j e z e t e t a r t a l m a z z a . A tanulm ány lé n y e g e s eredm ényei a I I I . f e je z e tb e n t a l á l h a t ó k . A p re d ik á tu m k a lk u lu s a lg e b r a i v i z s g á l a t á t m e g k ö n n y íte tte az a té n y , hogy [A n d rék a-G erg ely -N ém eti 7 3 a] -b a n p r e c íz e n b i z o n y í t o t t u k , hogy a függvény j e l e s lo g ik a v is s z a v e z e th e tő a fü g g v én y j e lm en te s l o g i k á r a , s ő t , a v is s z a v e z e t é s t k o n k ré ta n meg i s a d tu k . Ennek a la p já n p o n to sa n le h e t t u d n i , hogy a fü g g v én y j e lm en tes l o g i k á r a é rv é n y e s t é t e l e k k ö z ü l m elyek é s hogyan é rv é nyesek a fü g g v é n y je le s l o g i k á r a . E z é rt a j e l e n tanulm ányban e lé g a függvény— jel.m en tes l o g ik á t v i z s g á l n i ..

(8) IV. A I I I . 2 . f e je z e t b e n a. T - t i p u s u e ls ő re n d ű fo rm u lák halm azán. é r te lm e z e tt sze m a n tik u s e k v iv a le n c iá t ( s kus a lg e b rá k v a la m ily e n d e f i n i á l ó r e l á c i ó k. (. TT ). ) e l ő á l l í t j u k m int a c i l i n d r i (. ) a l a t t szab ad kongruen. c i á j á t у fo rm á lisa n *. =. -. С ? CA. T ehát a ta u t o l ó g ik u s fo rm u la a lg e b ra az. R^. a l a t t szab ad c i l i n d r i k u s a lg e b . ra . Ezen tú lm en ő en a lo g ik a s z e rk e z e té n e k r é s z l e t e s e b b v i z s g á l a t á r a a k i é r t é k e l ő fü g g v én y t (m ely m inden fo rm u láh o z megmondja, hogy m ely i n t e r p r e tá o ió k b a n m ely k i é r t é k e l é s e k m e l l e t t ig a z ) e l ő á l l í t j u k , m int az Rt. Jjy. a lg e b ra o s z tá ly. a l a t t sza b ad s z o r z a t á t .. A p re d ik á tu m k a lk u lu s ig y k a p o tt a l g e b r a i e l ő á l l í t á s a c sa k ré s z b e n f e l e l meg a k o rá b b ia k b a n v á z o lt c é ln a k , m iv el az a l g e b r a i k o n s tr u k c ió nem e lé g te r m é s z e te s . P o n to sa b b an , az. d i f i n i á l ó r e l á c i ó k s z e r k e z e te lé g b ő lk a p o tt. aminek az az o k a , hogy a v i z s g á l t n y e lv (e z e n b e l ü l a. p rim fo rm u lák ). s z e r k e z e te l é g b ő l k a p o t t , i l l . kényelm i szem pontokat t ü k r ö z . E z é r t a I I I . 3 . f e j e z e t b e n m e g fo s z tju k az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s t a r á r a k ó d o tt f ö l ö s l e g e s s z e r k e z e t t ő l é s b e v e z e tü n k egy v á lto z ó je lm e n te s l o g i k á t , m ely t e l j e s e n e k v iv a le n s az e l ő b b i v e l . A v á lto z ó je lm e n te s lo g ik á b a n e g y s z e r ü s itő j e l ö l é s e k e t b e v e z e tv e ( a lo g ik a m e g v á lto z ta tá s a n é lk ü l) v is s z a n y e r h e tjü k a sz o k á so s e ls ő re n d ű l o g i k á k a t , p l . v á l t o z ó j e l e s , f ü g g v é n y je le s , t ö b b f a j t á j u s tb . lo g ik á t..

(9) V. E v v el a p re d ik á tu m k a lk u lu s a lg e b r a i v iz s g á la tá b a n e l j u t o t t u n k a r r a a s z i n t r e , m elyen az Í t é l e t k a l k u l u s a lg e b r a i v i z s g á l a t a á l l :. ahogyan az. Í t é l e t k a l k u l u s t a u t o l o g ik u s f o r m u la a lg e b r á ja a szab ad B o o le -a lg e b ra , úgy a. - t - t i p u s u v á lto z ó je lm e n te s p re d ik á tu m k a lk u lu s ta u to ló g ik u s fo rm u la a l. g e b r á ja a. *fc - v e i d im e n z ió k o r lá to z o tt szab ad c i l i n d r i k u s a lg e b ra * Hason. ló a n , a k i é r t é k e l ő függvény az. Jjy. a l g e b r a o s z tá ly. i - v e i dim enziókor. l á t o z o t t szab ad s z o r z a t a . Az ig y k a p o tt a lg e b r a i k o n s tru k c ió mostmár e lé g te r m é s z e te s , m ert a d im e n z ió k o rlá to z á s egy e lé g te rm é s z e te s a lg e b r a i fo g alo m , m ely k i t e r j e d t e l m é l e t t e l re n d e lk e z ik * A 111*4* f e j e z e t b e n b i z o n y í t ju k a f e l h a s z n á l t esz k ö zö k , p l* a d e f i n i á l ó r e l á c i ó k e l k e r ü l h e t e t l e n s é g é t * A lo g ik á t módosítva azonban az a lg e b r a i k o n s tr u k c ió e g y s z e r ű s íté s e to v áb b f o l y t a t h a t ó :. A. IV* f e j e z e t k i t é r egy o ly a n l o g i k á r a , m elynek k i f e j e z ő e r e j e m egegyezik az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s é v a l é s m elyre az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s b iz o n y o s é rte le m b e n v is s z a v e z e th e tő. (o ly a n é rte le m b e n , ahogy az e g y e n lő sé -. gee lo g ik a v is s z a v e z e th e tő az e g y e n lő sé g m e n te sre )* Ez a lo g ik a mostmár még eg y sz erű b b a l g e b r a i e sz k ö z ö k k e l é p í t h e t ő f e l : n in c s szü k ség sem d e f i n i á l ó r e l á c i ó k r a , sem d im e n z ió k o rlá to z á s ra *. N y i t o t t k é r d é s m arad a I I I * f e j e z e t ered m én y ein ek , p l*. =. fii. Gk, CA --ndk. k ö z v e tle n b i z o n y í t á s a a t e l j e s s é g i t é t e l f e lh a s z n á l á s a n é l k ü l . Ez te rm é sz e t e s e n a t e l j e s s é g i t é t e l egy u j b i z o n y í t á s i m ódját s z o l g á l t a t n á , s ó t ekkor t a l á n érdem esebb le n n e e z t az ö s s z e fü g g é s t kim ondani t e l j e s s é g i t é t e l k é n t * Ehhez a r e p r e z e n t á c i ó t é t e l k ö z v e tle n b i z o n y í t á s á r a len n e szükség*.

(10) VI. Továbbá, szü k ség len n e az. IxУ a l g e b r a o s z tá ly r é s z l e t e s e b b tan u lm án y o zásá. r a . H asonlóan а I V .f e j e z e t f e l v e t i a r e p r e z e n tá lh a tó c i l i n d r i k u s a lg e b rá k v a r ie tá s á n a k h a s z n á lh a tó b b e g y e n le tr e n d s z e r r e l v a ló m eg ad ását. A könyv m eg jeg y zései a la p já n nagyvonalakban b i z o n y í t h a t ó , hogy а I V .f e j e z e tb e n b e v e z e t e t t lo g ik á r a nem d e f i n i á l h a t ó h e l y e t t e s i t é s i o p e r á to r ( v á l t o z ó j e l e k ) . Ennek p r e c iz kim ondása é s b i z o n y í t á s a még h á tr a v a n ..

(11) VII. ALKALMAZOTT JELÖLÉSEK ÉS KONVENCIÓK. A tan u lm án y t e l j e s e n a [H enkin-M onk-T arski 7 l ]. könyvre épül# A könyv. j e l ö l é s e i t é s d e f i n í c i ó i t h a s z n á lju k . E d e f in í c i ó k egy r é s z é t m enetköz ben id ézzü k # H asználunk néhány o ly a n j e l ö l é s t i s , mely a könyvben nem s z e r e p e l . A tanulm ányban h a s z n á lt ö s s z e s j e l ö l é s é s d e f i n í c i ó - f ü g g e tle n ü l a könyvben v a ló e l ő f o r d u lá s u k tó l - h á t u l , a d e f in íc ió je g y z é k b e n m e g ta lá lh a tó # A könyvre á l t a l á b a n o ld alszám m al é s d e f in íc ió - : i l l . té te lsz á m m a l h iv a t kozunk, p l . "L ásd a könyvben О .1 .Ю ., 59 o l d ." a [ H enkin-M onk-Tarski 71 3 59 o ld a lá n t a l á l h a t ó 0 . 1 . 10. - e s számú t é t e l r e u t a l . K ih a s z n á lju k , hogy m ely g ó t é s l a t i n b etű k f e l e l n e k meg egym ásnak, f é l r e é r t é s e k e l k e r ü lé s e v é g e tt a tanulm ányban h a s z n á lt g ó t b e tű k e t a tanulm ány végén k ö z ö ljü k . Az iro d a lo m je g y z é k re v a ló h iv a tk o z á s n á l p l . a [Cohn 65J j e l ö l é s P.M.Cohnnak az iro d a lo m je g y z é k b e n f e l s o r o l t munkái k ö z ü l az 1965—ben m e g je le n tre u t a l . Ha tö b b 65-b e n m e g je le n t m unkáját s o r o lju k f e l , akkor [Cohn 65a] , jcohn 65b]. , s t b . - t Í ru n k .. H árom féle szab v án y o s szö v e g b lo k k o t h a s z n á lu n k , ezek: d e f i n í c i ó , t é t e l , m eg jeg y zé s. A szöveg b lo k k o k v é g é t. О. je lz i.. H ely en k én t a sz ö v e g g e l szem ben, a b a lo ld a lo n á b r á k a t é s g r á f o s b iz o n y ítá s o k a t h e ly e z tü n k e l . R em éljü k , hogy ezek k ellem eseb b é t e s z i k a szöveg o lv a s á sát •.

(12) V III. A szövegben é s form ulákban egyeB r é s z e k e t m e g v a sta g íto ttu n k * Ezek a k ie m e lé se k j e l e n t é s s e l nem b ír n a k , k i z á r ó la g lé n y e g k ie m e lé s t, á t t e k i n t h e tő s é g e t vagy f ig y e le m f e lh ív á s t sz o lg á ln a k * A b iz o n y ítá s o k b a n a ” сьакког” j e l e t t r a n z i t í v r e l á c i ó j e l k é n t h a s z n á lju k , m ely á l l í t á s o k k ö z ö tt á l l h a t , é s pl#. ” A csakkor В Csákkor C” a k ö v etk e. ző t j e l e n t i : "A akkor é s c sa k akkor á l l fe n n , h a В f e n n á l l , é s В akkor é s csa k ak k o r á l l fe n n , ha C f e n n á l l# ” A b iz o n y ítá s o k b a n s z e r e p lő t r a n z i t í v je le k h e z ( Cóakkor é s = ) h e ly e n k é n t k i s fe lh ó c s k é k b e n o d a í r j u k , hogy m iből k ö v e tk e z n e k , p l#. A 5 b. , ..

(13) I. Előzmények. TARTALOM. I# l#. H a lm a z e lm é le ti k é rd é se k. 1*2.. A lg e b ra fo g a lm a ,. i - t i p u s u a lg e b r á k , s z a b a d a lg e b ra. *01 egy t c í o - t i p u s u s t r u k t ú r a A^. az. W. ( [ b 'O l^ I lM. & ( V e ^ l) ^ G ^'•$1 ) J 9 0. a la p h a lm a z a. A lg e b ra egy s t r u k t ú r a , h a r e l á c i ó i függvények Z d e fin ic ió ja ;. Зк Д. , А. К. és. C rK A. d e fin ic ió ja. A tan u lm án y s o rá n c sa k l - t i p u s u a lg e b r á k a t v iz s g á lu n k , t e h á t az a k i j e l e n t é s , hogy "m inden К a l g e b r a o s z t á l y r a " , a z t j e l e n t i , hogy "m inden Az. -tip u s u. Z - t i p u s u a lg e b rá k egy f e l i r á s i m ódja:. n. 1 .3 .. К a lg e b r a o s z tá ly r a " #. á< - А , ^ л , « 11<а 3. , ^ > . 1 ^ 1. N e v e z e te s Z - t i p u s u a lg e b rá k. CA , Lf , вГд , TZjx , Jjy é s. fit = SP l a. = MSP Lf. fo,. ^. d e fin ic ió ja. CA.

(14)

(15) I . l . H alm az elm é leti k é rd é se k. A d o lg o z a tb a n néhány h a lm a z e lm é le ti p ro b lém át k e l l m egkerülnünk v alam i ly e n módon* I l y e n p roblém a p é l d á u l , hogy a. -fc -tip u su s tr u k tú r á k o s z t á . l y á t , vagy a c i l i n d r i k u s a lg e b rá k o s z t á l y á t halm azként k e lle n e k e z e l n i, (te rm é s z e te s e n k o r l á t o z o t t k e r e te k k ö z ö t t ) • E z z e l a k é r d é s s e l szembeke r ü l v e [ ß e l l 69] e g y sz e rű e n k i j e l e n t i , hogy m egoldható é s to vább nem fo g l a l k o z i k v e l e , [co h n 65] p e d ig a k á t e g ó r ia e l m é l e t te n sz o k á so s m egoldást*^ v á l a s z t j a : u n . " u n i v e r z á l i s h alm azo k a t” a lk a lm a z . Mi fc o h n 65] k ö z e l í t é s m ód ját v á l a s z t o t t u k : tö re k s z ü n k a r r a , hogy am it c s in á lu n k , ö s s z e e g y e z te t h e tő le g y e n az a x io m a tik u s h a lm a z e lm é le tte l* * ^ , m elyben a v é g te le n s é g ! axióm a h e l y e t t a z t mondjuk k i , hogy m inden halm az elem e v a la m ily e n u n iv e r z á l i s h alm azn ak , a h o l:. I I .I P D e f i n ic ió : Az. Ll. halm az u n i v e r z á l i s , ha. 1 ./. X eU. 2./. Xe U —* 5bX e U. 3./. X ,Y e ^. 4./. D ö f 6 U.. □. X e L l. Í X ,Y } e U , ßj f £. Lí. ^. U f ö j f e L l. __________________________________________________________________________. Lásd [so n n er 62] , [G a b rie l 6 2 ] • **/ P l . a G ö d el-B ern ay s h a lm a z e lm é le tte l..

(16) - 2 -. A to v á b b ia k b a n m in d ig f e l t e s s z ü k , hogy v a la m ily e n t e t s z ő l e g e s , de r ö g z í t e t t LL. u n i v e r z á l i s halmazorr b e l ü l dolgozunk* Ha a z t m ondjuk, hogy. ez a z t j e l e n t i , hogy. A€ L l. } h a a z t m ondjuk, hogy. A h alm az,. A o s z t á l y , akkor. A £=. i l • Ezek a l ó l c sa k az a la p fo g a lm a k d e f i n í c i ó i ( s t r u k t ú r a , a lg e b r a , d i r e k t s z o r z a t , s t b . ) k ép eznek k i v é t e l t , h is z e n épp az a c é lu n k , hogy ezek é rte lm e z v e leg y en e k o ly a n h alm azo k ra i s , m elyek nem elem ei. L L -nak* Azonban. a c i l i n d r i k u s a lg e b rá k o s z tá ly á n p é ld á u l már a c i l i n d r i k u s a lg e b r á k " v a l ó d i ” o s z tá ly a és. il. m e ts z e té t é r t j ü k , f á z a z. il. azo n elem ein ek e g y ü t t e s é t , me. ly e k re b iz o n y o s f e l t é t e l e k t e l j e s ü l n e k . ) T eh át a halm az fogalom " r e l a t i v i z á láB a" a l ó l c s a k az 1 . 2 . f e j e z e t k i v é t e l . Ha a z t m ondjuk, hogy m inden А-h o z v an o ly a n B, m ely re t i , hogy m inden. A £ LL. -h o z v an o ly a n. В€ Ц. p (a , b ) ,. f m ely re. ez a z t j e l e n . p (a , b ) .. Ennek m e g fe le lő e n a b iz o n y ítá s o k b a n m in d ig k i k e l l e n e t é r n i e r r e a f e l t é t e l r e i s . Ez azonban c sö k k e n te n é az á t t e k i n t h e t ő s é g e t , é s e l t e r e l n é a lé n y e g r ő l a f ig y e lm e t. E z é r t e z t a k é r d é s t a d o lg o z a t s o rá n e g y á l t a l á n nem e m l i tj ü k , sem a b iz o n y ítá s o k b a n , sem m ásu tt} e h e l y e t t a fü g g e lé k b e n azokhoz a b iz o n y í tá s o k h o z , a h o l sz ü k sé g e sn e k l á t s z i k , k ö z ö ljü k a m e g fe le lő k i e g é s z í t é s e k e t az u n i v e r z á l i s h a lm a z ra v o n a tk o z ó a n ..

(17) - 3 -. 1*2* A lg e b ra fo g a lm a ,. e - t i p u s u a lg e b r á k , sza b ad alg eb ra *. Az a lg e b r á k a t é s s t r u k t ú r á k a t e g y sé g esen k e z e ljü k ( n e v e z e te s e m a lg e b r a egy s t r u k t ú r a , h a r e l á c i ó i fü g g v é n y e k )•. T íp u sn ak o ly a n fü g g v é n y t nevezünk, m elynek é r t é k k é s z l e t e p o z i t í v eg ész szám okból á l l .. V alam ely. { €. tip u s u s tru k tú ra. é r te lm e z é s i ta rto m á n y a. I ü l. ( (O i ). egy o ly a n függvény, melynek. , é s m ely függvény. I. elem eih ez r e l á c i ó . k a t r e n d e l , é s a n u llá h o z egy o ly a n h a lm a z t, m elyen ezek a r e l á c i ó k é r t e l mezve vannak}*^. a r e l á c i ó k argum entumszáraát a. úgy hogy. —. 4%. ^. У. i. függvény e lő r e r ö g z í t i ,. • ( ez a d e f i n í c i ó [E n d e rto n 7 2 ] - b ő i szárm azik. 0. Á lta lá b a n s t r u k t ú r á k a t g ó t b e tű k k e l j e l ö l ü n k , é s a n u l l a h e ly e n f e l v e t t é r té k ü k e t (a la p h a lm a z u k a t) a m e g fe le lő l a t i n n a g y b e tű v e l, p l . A '- * « .. ,. B 4 A. , A .. Most a s tr u k tu r a f o g a lo m m eg szo k o tt h a s z n á la tá h o z c é ls z e r ű k i k ö t n i , hogy. O f I. hogy. Do. <СсО; + , *. .E nnek e l k e r ü l é s é r e. <a= i um. cÖ L - t úgy i s d e f i n i á l h a t t u k v o ln a ,. • Az á l t a l u n k a d o tt d e f i n í c i ó s z é p sé g e , hogy p l .. egy a lg e b r a (h a + é s. • függvények Cü-n); m ert a könyv j e l ö l é s v. r e n d s z e r e s z e r i n t egy s o r o z a to t azonosnak te k in tü n k egy v a la m ily e n re n d s z á mon é r t e l m e z e t t fü g v é n n y e l..

(18) - 4 -. Most rö g z ítü n k egy o ly a n t í p u s t , m elynek k ö z p o n ti s z e re p e l e s z az egész tanulm ányban:. i á C<Al3>ia lz>,<3ilz>l<=i^>uljeu,} A f e n t i t í p u s t á l t a l á b a n a lg e b r á k r a fo g ju k v o n a t k o z t a t n i . M ivel a lg e b r á k a t s p e c i á l i s s tr u k tú r á k k é n t k e z e lü n k , egy kétargum entum ú m űvelet három argumentumu r e l á c i ó , t e h á t t í p u s a három . M ivel a le g k is e b b é r t é k , am it t í p u s f e l v e h e t : egy,. nullaargum entum u m ű v eletek i s e lő f o r d u lh a tn á k . A. n u lla a rlu m e n t unni m ű v e le te k e t k o n s tn aso k n ak , i l l e t v e m e g k ü lö n b ö z te te tt elem nek t e k i n t j ü k , t e h á t p l .. A tan u lm án y s o rá n c sa k je lö lé s e k n é l, p l.. egy elem e az. £ - t i p u s u в z ó a lg e b rá k n a k .. 6 - t i p u s u a lg e b r á k r ó l b e s z é lü n k . E z é rt a lg e b r a i - n á l nem j e l ö l j ü k a t í p u s t , az m indig. t. • Ily e n •. k i k ö t é s t s t r u k t ú r á k r a nem te s z ü n k , azok t í p u s a t e t s z ő l e g e s l e h e t é s á l ta lá b a n. Az. b -v e i je lö ljü k .. £ - t i p u s u a lg e b r á k k ö z p o n ti s z e re p e m ia tt é s a k önyvvel v a ló j e l ö l é s . b e l i ö sszh an g é rd e k é b e n a k ö v etk ező j e l ö l é s e k e t v e z e tjü k be. l -tip u s u. a lg e b r á k r a : A j e l ö l é s e k m egadása s o rá n le g y e n CÜL. egy. - ^ - t ip u s u a l g e b r a .. m egadható a k ö v etk ez ő form ában i s :. Á lta lá b a n , h a egy i l y e n a la k ú n a k t e k i n t h e t ő j e l ö l é s s e l t a lá lk o z u n k , a z t a m e g fe le lő. í - t i p u s u a lg e b r a m egnevezésének t e k i n t j ü k *. P l.. \.

(19) - 5 -. Az. Ôb. a l g e b r a k o n k ré t m ű v e le te ire le g tö b b s z ö r a következő j e l ö lé s e k k e l. fogunk h iv a tk o z n i ( e ls ő s o r b a n m ert .a könyv á lla n d ó a n e z e k e t h a s z n á l j a ) .. <an. d. •. m. d. d. _№. d. í •ÖL... •. —. c4 n > A A 4. A. C;Áj. S3. 4. d4. E s z e rin t ja ). (<«). , Ci. >. «C V. < A .V .. L e v e z e te tt m ű v e le te k re i s k i t e r j e s z t j ü k e z t a je lö lé s m ó d o t, é s b á r p l.. , h a s z n á lju k az. v ^ Dd. <1. V. V. j e l ö l é s t , és. =. h a s o n ló sz e lle m b e n №). d A. d. d. d. §. <at. Oi. О. * 4. d { 0. a h o l az u tó b b i k é t j e l ö l é s t c sa k ak k o r h a s z n á lju k , h a a B o o le - e g y e n le te k e t, é s elekor a k ö v etk ező é rte le m b e n : <•. •. i = x Anx. I. es. f i-,1. te lje s iti.

(20) - 6 -. E j e l ö l é s e k h a s z n á la tá v a l k a p c s o la tb a n m egjegyezzük, hogy - a könyvvel összhangban - h a a z t m ondjuk, hogy. d^*X. ~. o l^ # Ct X. “. L^ % - b a n ,. (V x e A) d^*X — d^« C*X. ak k o r e z t úgy é r t j ü k , hogy. * I|A X. é rv é n y e s ( t e l j e s ü l ). “^ Л З ^ Х. , v a g y is ú g y , hogy az. e g y e n le t é rv é n y e s az. • a. a lg e b r á b a n .. Az u tó b b i s z ig o r ú l o g i k a i é rte le m b e n i s egy o ly a n fo rm u la , m e ly rő l mondhat ju k , hogy é rv é n y e s. <1. -b a n. (a z X - e t te r m é s z e te s e n v á l t o z ó j e l n e k t e . k in tv e ).. Az. в 1 / - t i p u s u a lg e b r á k v i z s g á l a t á r a b e v e z e tjü k a. az. ( 't - t i p u s u ). m e n z ió k tó l fü g g . (. a. a lg e b r a m inden e le m é rő l megmondja, hogy m ely d i . x. d •. / . I t. . *. WO c; *. , h. ) l. .. A tö b b i j e l ö l é s h e z h a s o n ló a n i t t i s e lh a g y h a tju k az e g y s z e rű e n. Az. 'í. А. X. fü g g v é n y t, m ely. 199 o ld a lo n lev ő 1 . 6 . 1 . d e f i n í c i ó t id é z z ü k )*. aW. Ä. AW ) ü. (•a). in d e x e t, é s. - e t Í r h a tu n k .. típ u s h o z k a p c so ló d ó a n m eg jegyezzük, hogy a b b ó l a c é lb ó l hogy a m eta-. n y e lv i é s a tá r g y n y e lv i l o g i k a i j e l e k e t meg le h e s s e n k ü lö n b ö z te tn i, a m e ta n y e lv b e n a k ö v etk ez ő j e l e k e t h a s z n á lju k : & c)~ H a s z n á lju k még a m etan y elv b en a. ( (Зх) ===^ ‘. , és. x = y. ,. ^. ^. V, ( V x ) je le k e t i s .. ..

(21) - 7 -. A £SA^.a.da l^ e b r ^ je l ö l é s é b e n i s k i fo g ju k h a s z n á ln i a z t , hogy k iz á r ó la g £ - t i p u s u a lg e b rá k k a l d o lg o zu n k : Legyen. X egy t e t s z ő l e g e s halmaz* az X halmazzal generált te lje se n szabad. Z -tipusu. algebrát jelö li*. a la p h a lm a z á t ( te h á t 'ír (0) - t ) Tt* - v e i j e l ö l j ü k . * / A d e f i n í c i ó Л л X m e g ta lá lh a tó a 13o o ld a lo n : 0 . 4 . 19. a { < + ; 3 > 3 - t ó i e l t é r ő ( te h á t p l . 3r. Z). t í p u s o k r a p e d ig o*4*2o* A k ö n y v b e li d e f i n í c i ó t ó l an n y ib an té rü n k e l , hogy n álu n k. X t e t s z ő l e g e s halm az l e h e t , nemcsak rendszám * E z z e l je lö lé s r e n d s z e . rü n k nem l e t t á l t a l á n o s a b b , h is z e n. ?r. E z t a fo g a lm a t más s z e rz ő k (p l* Cohn). X. =. ít. IXI. s z ó a lg e b rá n ak n e v e z ik , rö v id s é g e m ia tt. mi i s e z t a m egnevezést fo g ju k h a s z n á ln i*. *xK cxK. а. К. a lg e b ra o s z tá ly. X - e l g e n e r á l t s z a b a d a lg e b r á ja , é s. a h o z z á ta r to z ó k o n g r u e n c ia r e lá c ió úgy, hogy. AV. öXk. ■. A d e f i n í c i ó t ld* 13o*o* o4*19«. */. A t e l j e s e n sz a b a d a l g e b r a d e f i n í c i ó j a :. A m ű v e le te k "ff* m azza. -e n : Sfr (V) ) К УI °^Р ] X X ^ V a le g k is e b b o ly a n h alm az, m ely z á r t e z e k re a m ű v e le te k re é s t a r t a l . X - e t * На. Г. 3+ (r) = r e Ti- . X. A. nullaargum enturau m űvelet (a z a z k o n s ta n s ). n ev e, akkor.

(22) - 8 -. A. ^. h a lm a z e lm é le ti j e l é r te lm e z é s é t a lg e b r á k r a. (é s á lta lá b a n s tru k tú . r á k r a ) v á l t o z a t l a n u l á tv e s s z ü k a k ö n y v b ő l, a v v a l a k ü lö n b s é g g e l, hogy a. ^. j e l e t m ó d o sítju k a b b ó l a c é l b ó l , hogy e l t é r j e n a h a lm a z e lm é le ti m e g fe le lő jé tő l: ha. és. < 12 4. két. ^. t. - t i p u s u s t r u k t ú r a , akkor. (VreC bâ). ..

(23) - 9 -•. i. 1 . 3 . N ev e zetes. - t i p u s u a lg e b r á k .. A k ö v etk ez ő k b en a k ő n k b ő l id é z z ü k néhány n e v e z e te s. (£ - t i p u s u ) a lg e b r a -. o s z tá ly d e f in íc ió já t:. A c i l i n d r i k u s a lg e b r á k o s z t á l y á t CA-val j e l ö l j ü k é s - v e r i e t á s k é n t e g y e n le tr e n d s z e r s e g í t s é g é v e l d e f i n i á l j u k , ( a könyv 1 . 1 . 1 . d e f i n í c i ó j a sz e r i n t , 1 6 2 .o l d a l .) :. -a és. (ÔL € CA). c ilin d r ik u s a lg e b ra ' L 'j , Ki € CO - rq. (со). B o o le -a lg e b ra * ^ , az az. a*/. X-y e. W. x-(yfz). c./. X - 4 3• X. y x -. x*y +. (. q x. azaz. (C2). X 4. (с з ). q ( x - q y ) - q x - Ci 4. (C4). q c x. = qc-x. fe). du. *. (сб). l +. =. • i «. <01. x-z. О II. о. (Cl). Ж. b a m inden. i g a z , hogy:. M. (c7). у. "— > —>. ^. x + C|X. ä. -. '. <4%. = {о, л,-.} \ •a. CA. c^ x ). ° U. x ) * q (c (ij— x ). X; 21€A.

(24) Io. 13 Л M M egjegyzés* E m lék eztetü n k a r r a , hogy n á lu n k а a. • és. + ,1 ,0. j e l e k o sak r ö v i d í t é s e i b iz o n y o s ,. — j e l e k k e l f e l í r h a t ó sémáknak« \. A könyv а (СО). f e l t é t e l t n y o lc e g y e n l e t t e l a d j a meg* Annak b i z o n y í t á s a , hogy. az á l t a l u n k m egadott három e g y e n le t v a ló b a n d e f i n i á l j a a B o o le -a lg e b rá k varr i e t á s á t , m e g ta lá lh a tó az CAndróket-M*Pajzs-Németi 73Ü cikkben# (E z z e l a h á ro m e g y e n le te s d e f i n í c i ó v a l még nem t a l á l k o z t u n k az irodalom ban#) Ugyanrezen c ik k m ásodik f e lé b e n t a l á l h a t ó némi e l v i in d o k lá s a r r a , hogy m ié rt t é r t ü n k e l a k ö n y v tő l a. + ,1 é s 0 j e l e k te k in te té b e n #. □ D e f i n iá lt u k t e h á t a CA v a r i e t á s t , é s m iv e l c sa k az GO d im en zió s CA v a r i e t á s - . r a van sz ü k sé g ü n k , a k ö n y v tő l e l t é r ő e n C A ^. h e l y e t t e g y sz e rű e n. CA-t Íru n k #. H asonlóan fogunk e l j á r n i a tö b b i d e f i n í c i ó n á l i s , p l . h a lm a z a lg e b rá n z ió s ( c i l i n d r i k u s ) h a lm a z a lg e b rá t é r tü n k ,. Lf. a z t j e l e n t i , hogy. A l o k á l i s a n v ég e s c i l i n d r i k u s a lg e b r á k o s z t á l y á t. Lf. { ‘•öt€ CA '• (VxeA). (Л и. stb *. j e l ö l i ( a könyv 1#11#1.. d e f i n í c i ó j a s z e r i n t , 231 o l d a l . ) t. Lf =. L f^. GO -dim en. со }.

(25) - 11 -. Legyen. A. egy t e t s z ő l e g e s h alm az. Az. A -h o z t a r t o z ó t e l j e s ( c i l i n d r i k u s ). h a lm a z a lg e b ra (a könyv 1 . 1 . 5 . d e f i n í c i ó j a s z e r i n t , 166 o l d a l . ) :. •CA á < S b % n ^ “4 * V a h o l:. /AX. \ (A)X. W A^ X. i. Q X = { ó* A vagy töm örebben r W Д. (3 êX) ( Vjeco4{iJ) 6- = 6-1 *. *. i. и. , Ц X * { ó€ A : G x*X ) 6 4 X G {ijXД } p\M) w d г ыа > D-; X “ I 6е A : 5; = 6; J Az. (A) in d e x e t á l t a l á b a n e lh a g y ju k , a h o l ez nem okozhat f é l r e é r t é s t }. te h á t p l .. D -; 4. - t Íru n k. O 4. h e ly e tt.. A h a lm a z a lg e b rá k o s z t á l y a :. *<fCob = 5) { ° С д • A tetszőleges kalmcjz } A l o k á l i s a n f ü g g e tl e n ü l v ég es h a lm a z a lg c b rá k :. Xxr. = { ‘öí. e Xx П LJ-' : (V a M M ó e a ^ G z e a X V ^ a b ^ ) ;. Meg je g y e z z ü k , hogy nem d e f i n i á l j a .. d jj" ^. 3Ecbfl. Lj* • Az. cLsX. a l g e b r a o s z t á l y t a könyv.

(26) 12 -. A r e p r e z e n tá lh a tó c i l i n d r i k u s a lg e b rá k v a r i e t á s a : ( a könyvben 1*1*13*, 171 o l d a l. vagy 16 - 18 o ld a l* ) :. (Rí, i HSP Xx M egjegyezzük, hogy a. (Ял. le te s d e fin íc ió v a l i s. ( a 171 o ld a lo n a 3 * b e k e z d é s), m ely le h e tő v é t e s z i ,. hogy. a l g e b r a o s z t á l y m egadható egy r e n d k ív ü l szem lé. v i z s g á l a t a k o r e rő s e n tám aszk o d ju n k g e o m e tria i i n t u í c i ó r a *. A k ö v etk ező k b en id ézü n k néhány a la p v e tő ö s s z e f ü g g é s t a könyvből az e d d ig i d é z e t t a lg e b r a o s z tá ly o k r a v o n atk o zó a n :. (R&= SP. (azaz. (HISP %x = SP Xx ). (básd. a könyv 1 .1 .1 3 . d e f i n í c i ó j a , 1 7 2 .o l d a l v ag y [l'fonk 6 l \ j E zt az ö s s z e f ü g g é s t a könyv b i z o n y í t á s n é lk ü l k ö z l i , a b i z o n y í t á s a m ásodik ré s z b e n fo g m e g je le n n i* ( az o ly a n ö s s z e f ü g g é s e k e t, m elyek b i z o n y í t á s a c s a k a m ásodik ré s z b e n fo g meg j e l e n n i , c sa k m eg jeg yzésekben h a s z n á ltu k f e l , b iz o n y ítá s o k b a n nem*). (Ял ^ Cf\ M in d a z o n á lta l a (Rß v a r i e t á s r a i s is m e r e te s d e f i n i á l ó e g y e n le tr e n d s z e r ugyan ú g y , m int. (co) - (07) a CA v a r i e t á s r a * Egy i l y e n e g y e n le tr e n d s z e r meg fo g je . le n n i a könyv m ásodik ré sz é b e n * E z t az e g y e n le tr e n d s z e r t azonban m in d e z id e ig nem s i k e r ü l t o ly a n e g y s z e rű é s á t t e k i n t h e t ő form ában m egadni, m int p l * ( c o ) - ( c 7 (liásd a könyvben az 1*1 *13* d e f i n í c i ó t ( l 72 o l d a l ) é s 17 - 18 o ld a l* ).

(27) - 13 -. Xx. s. CA. Ez a könyv 1 . 1 . 6 . t é t e l e .. SU. =. IHISP. Lf. A könyv 2 .6 .5 3 * a l a t t k ö z l i b i z o n y ítá s n é l k ü l , b iz o n y ítá s a m e g ta lá lh a tó {^H enkin-Tarski 6 lJ - b e n .. A j e l e n munkában b i z o n y í t a n i f o g ju k , hogy. SÍP Lj" =. SÍP. сСхГ. ..

(28) - ДА II. L o g ik ai é s c i l i n d r i k u s a lg e b r a i e ló k é s z itő v iz s g á la to k. TARTALOM. 1 1 .1 .. A lo g ik a fo g alm a. 1 1 .2 .. Az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s. I I . 3*. Gödel t e l j e s s é g i t é t e l. I I . 4«. R e p re z e n tá c ió té te l. I I . 5». A fo rm u la a lg e b rá k é s h a lm a z a lg e b rá k k a p c s o la ta.

(29) 15 -. I I . 1. A lo g ik a fogalm a. TARTALOM. >. I I I . I D : L ogika az. sztalgebra a z. 1ь. & ( З Т .м Н ^ к ^ мт & (vx * m ) eA í H<. I I I .IM: M ilyen m eggondolások a l a p j á n v á l a s z t o t t u k e z t a lo g ik a - f o g a lm a t• P é ld a a r r a , hogy. I I I . 2D:. < ^. (VX^M). k, > egyenértékű <. ^ °к ,е Но. •a. nem h e l y e t t e s í t h e t ő. k ,* f. -. ekvivalenb < ^ >|. & (] rekurzív g ^ X k f k / g , & b2-.

(30) 16 -. 11*1* A lo g ik a fogalm a. A követk ező k b en - a p r e d ik á tu m k a lk u lu s tó l f ü g g e tle n ü l - a lo g ik a fo g a lm á ra adunk egy á l t a l á n o s d e f i n í c i ó t , d e f i n i á l j u k to v á b b á , hogy m ikor nevezünk k é t lo g ik á t eg y e n é rté k ű n e k é s m ikor e k v iv a le n sn e k *. 1Н Л Р. D e f in íc ió :. L ogika az. ь/ 2 ./. f. ^ / t У. p á r , ha. egy (nem f e l t é t l e n ü l. T a r to z ik az. <. E --tip u s u ) s z ó a lg e b ra p árh o z egy. o s z t á l y (m elynek e le m e it az a d o tt lo g ik a ig a z s á g é r té k e in e k n e v e z z ü k ), é s egy M. o s z t á l y (m elynek e le m e it a lo g ik a i n t e r p r e t á c i ó i n a k vagy mo d e l l j e i n e k nevezzük). úgy hogy. R9. k,. =. M T. és. (VXеM) у ^ 6 Ho f. □. ,.

(31) - 17 -. Az. F. h alm azt a logika n y e lv é n e k , e le m e it form uláknak nevezzük,. к». az i n t e r p r e tá ló f ü g g y é n y é s. ít. j. k°. a sz e m a n tik u s a l g e b r a . a sz e m a n tik u s e k v i v a l e n c ia . ö s s z e s f a k t o r a l g e b r á j á v a l e g y ü tt k é p e z i a fo rm u la a lg e b rá k h a lm a z á t, о a t a u t o l o g ik u s fo rm u la a lg e b ra «. Az ig a z e á g é r té k e k je lle m z ik a fo rm u lák é s az i n t e r p r e t á c i ó k k ö z ti k a p c so la to t , ván, a A k. W f)x. a. T" o s z t á l y. <f. fo rm u la ig a z s á g é r té k e az. X i n t e r p r e t á c i ó b a n . (N y il. k o m p le x itá s á tó l e rő s e n fü g g a lo g ik a ’’k i f e j e z ő é r e je"*). fü g g v én y m inden fo rm u lá r ó l megmondja, hogy hogyan v is z o n y u l az egyes. i n t e r p r e t á c i ó k h o z , a z az a. kGp). függvény az egyes in te r p r e tá c ió k h o z hozzá. r e n d e l i a z t az i g a z s á g é r t é k e t , m elyet a (j). f e lv e s z bennük.. ШЛИ M egjegyzés:. F en t a l o g i k á t c s a k r ö v id e n d e f i n i á l t u k , in d o k lá s n é lk ü l, most ö s s z e f o g la l n án k , hogy m ily e n m eggondolások a la p já n v á l a s z t o t t u k e z t a lo g ik a —fo g a lm a t• (E zek a m eggondolások b iz o n y o s m é rté k ig k ap cso ló d n ak a m e ste rsé g e s i n t e l l i g e n c ia é s az a d e k v á t n y e lv e k e lm é le te k u ta tá s á n a k p ro b lém áih o z, lá s d p l . [H ayes 7 l ] ) ..

(32) 18 -. Abból in d u lu n k k i , hogy. И. azon i n t e r p r e t á c i ó k. o s z t á l y a , m e ly e k rő l b e s z é ln i s z e r e tn é n k .. T. (azo n je le n sé g k ö rö k ). azon ig a z s á g é rté k e k n e k. «. os z t á l y a , m elyeken k e r e s z t ü l s z e re tn é n k b e s z é ln i. И. e le m e irő l*. m e g v á la s z tá s a k o r d ö n tjü k e l , hogy m ily e n " á r n y a l t sag g ar* ak arunk b e s z é ln i M. e le m e ir ő l.. Az ig y k ö r v o n a la z o tt f e l a d a t v é g r e h a jtá s á h o z v á l a s z t j u k e s z k ö z ü l az n y e lv e t é s а. к/. F. i n t e r p r e t á l ó f ü g g v é n y t . P o n to sa b b an , a f e l a d a t o t M é s. m e g v á la s z tá s a k o r még nem s p e c i f i k á l t u k t e l j e s e n , ehhez még k iv á la s z tu n k egy. I/ M-tr\ — I. h a lm a z t, m ely mostmár v é g le g e s e n r ö g z í t i a n y e lv k i f e j e -. z ő e r e jé t* a z t k ív á n ju k , hogy fo rm u la. F- b ő i ,. azaz. te le z z ü k f e l , hogy. Ь. К. t F F= К. t á g le h e tő s é g e in k v annak:. m inden elem éhez t a r t o z z o n le g a lá b b egy le g y e n . Az e g y s z e rű s é g é rd e k é b e n té< • E k e r e te k k ö z ö tt tü k rö z i. F -b e n. F. m e g v á la s z tá s á ra. a fe le s le g e t,. elem ei szin o n im ah alm azo k .. Ö s s z e f o g la lv a , az. M-n e k 7. és. <f,k> К. p á r r a úgy t e k i n t ü n k , m int e s z k ö z r e , m ely. k e re te k k ö z ö tti v iz s g á la tá r a s z o lg á l.. T a lá n érdem es i t t még k i c s i t to v á b b v in n i az e lő z ő m eggondolásokat *. Az ig a z s á g é r té k e k k ö z t i k a p c s o la to k r ö g z í t é s é v e l s t r u k t ú r á t r ö g z ítü n k. T -n,. é s m iv el. ez a s t r u k t ú r a v i s s z a v e t i t h e t ő. m en tén . Ahhoz, hogy az ig a z s á g a.

(33) - 19 -. F. é r té k e k a d n i,. F. - b e l i k ö v e té s é r e m e g fe le lő s z i n t a k t i k a i d e f i n i c i ó t tu d ju n k s z i n t a k t i k a i s z e rk e z e té n e k ö sszhangban k e l l le n n ie e z z e l a. F. v i s s z a v e t i t e t t s t r u k t ú r á v a l* (E zen túlm enően. s z e r k e z e te. más d o lg o k a t,. p l* kén y elm i é s t ö r t é n e t i szem pontokat i s tü k rö z h e t* ) E m ia tt r ö g z i t j ü k , hogy fü g g v én y. r. egy s z ő a lg e b r a le g y e n , m e ly rő l. Ь. homomorf. M -rI -be*. Legyen most. • Ha az e lm é le t s z e r k e s z t é s é t az e lő ző e k sze. r i n t v é g e z tü k , ak k o r dX. ré s z s tru k tú rá ja. T. -riek ( i l l e t v e az elő ző ek b en. r a j t a é rte lm e z e tt s tru k tú rá n a k ). E z e n k ív ü l. dX. r é s z d i r e k t - s z o r z a t a az egyes. ig a z S á g é rt é k a lg e b rá k n a k E s z e rin t. (T. in te r p r e tá c ió k h o z t a r t o z ó. r é s z s t r u k t ú r á i n a k ) , az. dX s z e r k e z e té t az eg y es. b ő l n y e r tü k . Ennek m e g fe le lő e n t ö b b e t , m int ami az eg y es. X. X. E z t r ö g z i t i az u t o l s ó k i k ö t é s :. ^. X. E. Л. d%. algebráknak*. in te r p r e tá c ió k h o z t a r t o z ó s z e rk e z e te k s z e r k e z e te sem tü k rö z h e t lé n y e g e se n. -e k h e z t a r t o z ó s z e rk e z e te k b ő l k ö v e tk e z ik .. t 6 Но ^. • E r r e a k i k ö t é s r e szük. sé g v a n , h is z e n az e lm é le t f e l é p í t é s é n e k f e n t i g o n d o la tm e n e té t nem fo rm a li z á l t u k , é s ig y nem r ö g z í t h e t t ü k a d e f in íc ió b a n *. A z t, hogy a f e n t i k i k ö t é s nem h e l y e t t e s í t h e t ő t r á l j a a k ö v etk ez ő p é ld a :. k e. H ói-. - e l, illu s z -.

(34) 20 -. Példa* T e k in tsü k az ahol ^. <. 'f , b >. az e ls ő re n d ű. p á rt,. t - t i p u s u fo rm u lák h alm aza, m int sz ó a lg e b ra *. (p o n to sa b b d e f i n i c i ó később k ö v e tk e z ik * ). M — { K. ^01,0 У 1 “Ö í, eg y -t - típ u s ú str u k íu r a ; 6 e<UA 1 T. =. { t,. 1} , ha. ‘ÖL h. c p [ó ]. ) egyébként. L á t s z i k , hogy (te h á t. b. Ь ^. Ho. K é rd é s, hogy. ^. az e ls ő re n d ű lo g ik a sz o k á so s sz e m a n tik u s e k v i v a l e n c i á j a ),. Ь У. lo g ik a - e ?. Ehhez a z t k e l l e ld ö n te n ü n k , hogy. w. ь e. 40 f. ig a z -e .. A k ö v etk ező k é t ö s s z e fü g g é s b ő l t i s z t á n l á t s z i k , hogy nem:. i.l. Ж. -n á k. il. u ltra s z ü rő je. ^. ^. (3 * flU )(U e F / .t f ic l& f •'b / ^ 6 > b^ E z t a t é t e l t LAndr*72j - b a n m ondtuk k i é s b i z o n y í t o t t u k , az iro d a lo m ban m áshol még nem t a l á l k o z t u n k v e le * ( l á s d Гапс1г *72; T35] ). 2 ./. Van o ly a n u l t r a s z ü r ő j e. HL. ( l á s d [Andr* 72; Т 3 1 Т 4 1 к ]). ” n a^f m ely nem k o n g r u e n c ia o s z tá ly jf" -e n ,.

(35) - 21. E z z e l a p é ld a t e l j e s : az. < ^. Ь>. p á r nem lo g ik a , annak e l l e n é r e , hogy. b e Ho ^ , M egjegyezzük, hogy a. < я / > >. p á r már lo g ik a *. M egjegyezzük még, hogy az i t t b e v e z e t e t t lo g ik a fo g a lo m nemcsak a j e l e n tan u lm án y b an e lő f o r d u ló l o g i k a f a j t á k a t f e d i , hanem e z e k tő l o ly a n t á v o l á l l ó k a t i s , m in t p l* a B o o le -é r té k ü m o d e lle lm é le th e z t a r t o z ó re n d sz e r* (b á sd [ z e its c h .7 3 .H e f t 3 ] ). A lo g ik a fogalm ához k a p c so ló d ó a n még k é t d e f i n í c i ó t s z e re tn é n k b e v e z e tn i*. 1 И .2 Р D e f i n íc ió : Két l o g i k a e g y e n é rté k ű t h a sz e m a n tik u s a lg e b r á ju k m egegyezik, azaz. < f A,egyenértékű. <===í>. =. К. Két l o g i k a e k v i v a l e n s , h a e g y e n é rté k ű e k , é s n y e lv e ik k ö z ö tt m egadhatók f o r d í t á s i s z a b á ly o k s z i n t a k t i k a i e s z k ö z ö k k e l, azaz van o ly a n r e k u r z iv éB. &. szö v eg fü g g v én y , hogy e's. □. K=. •.

(36) - 22. I I . 2. Az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s. TARTALOM. M < Vfc>, к * ^ 9 a h o l % az eg ész d o lg o z a t fo ly a m á ra r ö g z í t e t t 60- n é r t e l m e z e t t k ö lc s ö . Az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s 'O'. n ö sen e g y é rte lm ű függvény £ = JJ ( Tfp -L e n a s z o k á so s e g y s z e r ü s i t é s e k e t h a s z n á lju k *. kN e Horni f4'! a. ). ;” (k г ц п”У“ГЧ ) -' <~ r {б«“А= >. '1 w*N. " b - tip u s u s t r u k t ú r á k o s z t á l y a. V. II2*1M: Homomorf fü g g v é n y ek et szab ad g e n e r á to r r e n d s z e r e n adunk meg*. ■ÖL (= i p C il ^ И 2 ЛТ:. (p ^. 6«. (k N ) ° ( V № N ,ó ) (. у. <=*. ^ L \ = y Í 6]. ). e Со 3tp. I I 2 .2 T : Az. I I 2 .3 T :. -. “A. in d e x e t á l t a l á b a n e lh a g y ju k .. CA. II2 .2 M : Az i t .k a ik * a B o o le - a lg .k s e g í t s é g é v e l f e l é p í t h e t ő a v v a l a n a ló g módon, ahogyan a c i l i n d r i k u s a l g . k s e g í t s é g é v e l f e l é p í t e t t ü k a p r e d .k a l k .t *.

(37) - 23 -. 11*2. Az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s«. A k ö v etk ez ő k b en az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s szo k á so s v á l t o z a t á t ve z e tj ü k be az e lő z ő lo g ik afo g alo m n ak m eg felelő en «. Az e g é sz d o lg o z a t s o rá n. V* egy. СО - n é r te lm e z e t t k ö lc sö n ö se n eg y értelm ű. fü g g v é n y .. V álto zó h a lm az k én t. V'. R ö g z ítsü n k v a la m ily e n. A. "t ^. СО. típ u s t.. " t - t i p u s u p rim fo rm u lák halmaza*. M t. ö. A4. ö. (A z a z , h a p l .. <. - t h a s z n á lju k .. r, <. -. Most a t. (pi.. 1. Г. 5. egy. e. П -v á lto z ó s r e l á c i ó j e l , i l l .. í. - t i p u s u fo rm u lá k halm aza. <л,. f b > akkor. < 3. ,< г , < ^ г . . , — Z ^ j>o»>,. X egy e ls ő re n d ű fo rm u la .).

(38) -. 24. F o rm ulákra a n e k ik m e g fe le lő sz ö v e g g e l h iv a tk o z u n k ! A. ^. a. a f e n t i fo rm u la neve*. 20. A szo k á so s e g y s z e r ű s í t e t t Írásm ó d o k at i s a lk a lm a z z u k , p l* i n f i x j e l ö l é s t 3 ^ •''Üj'.... M t. Л =zo. -v e i je lö ljü k a. Legyen. N. D e f i n iá lj u k а fü g g é s e k k e l!. ,N /. . 6 H óm ( Jkp , ^ f P. У. - T к e 1. m inden. P. ). fü g g v é n y t a k ö v etk ez ő ö s s z e -. ^ » eS. . ej ' l 6 u> - rci \. к Ц ...Ч ц ) M ivel. t - t i p u s u s t r u k t ú r á k o s z tá ly á t*. — к. s z i n t é n a f e n t i fo rm u la neve*. d. =. < { б^А :. szab ad o n g e n e r á l j a. 3V. ^• a e N. - t , ez a d e f i n í c i ó jó. %. П 2Л М M egjegyzést. I l y e n s z e lle m ű d e f i n í c i ó k a t g y a k ra n fogunk a lk a lm a z n i, é s m iv el a d e f i n í c i ó jó s á g á t a f e n t i v e l a n a ló g módon k e l l e n e m inden e s e tb e n i n d o k o ln i, e z e k e t az in d o k o lá s o k a t e lh a g y ju k *. □. ________________________________________________________________________________________•. A könyvből id é z z ü k , hogy egy fü g g v é n y t j e l ö l , a h o l. jx ^xeH = j"x. v a la m ily e n. ^. 1. }. X - t ő i függő k i f e j e z é s *. , a z az.

(39) 25 -. Az e ls ő re n d ű p re d ik á tu m k a lk u lu s sz o k á so s v á l t o z a t á t mi a z o n o s ítju k az <C. к. R ö g z ítjü k a. ^. Is. lo g ik á v a l.. j e l h a s z n á la tá t* d. ^ (= ^ [6 1. Mi. 6 e к * (ip )^. A sz e m a n tik u s e k v i v a l e n c iá r a ö n á lló j e l e t v e z e tü n k he*. HN á (kN)° Most p é ld a k é p p e n b iz o n y ltu n k egy t é t e l t , m ely a z t m u ta tja , hogy a f e n t b e v e z e te tt. fogalom e g y b e e sik a sz o k á so sa n d e f i n i á l t t a l *. II2 .Í T T é te l*. f =n T. *4. ( V ^ N 'b ). B iz o n y itá s s N, %. ip s N ^. □. c ik k o r. kN («p) = kN f y ). «sakkor ( V ^ f e N ) к (’f ^. ,N. к.

(40) 26 -. II2*2T T étel* SN 6. 00. B iz o n y ítá s :. N. к 6 Ho $rr. %. □ < Jt'p , к. Az. У. lo g ik a sz e m a n tik u s a l g e b r á j á t. - e l je lö ljü k ,. azaz. JXN = kN" & N. ~ M. p l.. g y a k o ri e l ő f o r d u lá s a m ia tt az. S. i^. ,. к. i. kMt. in d e x e t á l t a l á b a n e lh a g y ju k ,. ,. ít. ='. ; 6 -tb .. I I 2 .3 T T é te l*. \/_* CA t//_ N B iz o n y ítá s * M ivel. lN К. homomorf fü g g v é n y , a z é r t. - m ely ie o m o rf. ?Vp /. -n e l. -. ^ jtp. ,N К. -n e k. . . , s z e r i n t i kepe. ré s ia lg e b rá ja a. c ilin d rik u s. ^/ “ N a lg e b r á k direkt S z o rz a tá n a k ( L6 i € N lé v é n z á r t az. □. I ( S ( fP. s z e r i n t ) * í g y , m iv e l. o p e r á c ió k r a ,. 3-k, /. i s elem e. CA. v a rie tá s. CA -nak*.

(41) - 27 -. CA wtóta5. l< e Horn (3t. (V^N) сСд ® CA. Pot ). ? \3 fe N. A. Р CA = CA it. P Z e CA € leN. A. P. S CA =. <0teN. zа Л. Pfc. k"*»„ "€ 'CA Í St. = Sr. I CA = CA. k. З^р /,МчО 6. Ábra. II2 . 3T. Â. be2. ?. ^. °.

(42) - 28. Ez a t é t e l m e g ta lá lh a tó a könyvben ( l . 1 • l o ) , de e g é sz e n más b i z o n y ítá s s a l*. II2.2M M egjegyzés:. I d á ig a p re d ik á tu m k a lk u lu s f e l é p i t ő s é b e n a c i l i n d r i k u s a lg e b r á k a t a n a ló g módon h a s z n á ltu k a v v a l, ahogyan az Í t é l e t k a l k u l u s f e l é p í t é s é b e n a B o o lea lg e b r á k a t sz o k á s h a s z n á ln i (на V az Í t é l e t k a l k u l u s s z e m a n tik á já t a. az i t é l e t v á l t o z ó k h alm aza , ak k o r sz o k á s ^ 2)0 /.. halm azon é r t e l m e z e t t B o o le-. a lg e b r a s e g í t s é g é v e l m egadni. ) 1. Legyen te h á t. V - v e l g e n e rá lt. { ^ 4 ,3 ^ , ^ 2 , 2 ^ }. t i p u s u s z a b a d a lg e b ra , */ V - v á lto z ó h a lm a z u Í t é l e t k a l k u l u s n y e lv e .. Legyen. 4 6 Hóm. V. cl. \ m^ fe. E < 2 , D , x > ) , <igy hogy ha. fe 2. azaz. akkor. & *. */ REm éljük, nem z a v a ró , hogy a r ö v id s é g é rd e k é b e n az а. П. j e l h e l y e t t p e d ig. 2 -t. Л. je l h e ly e tt. h a sz n á lu n k e n n é l az Í t é l e t k a l k u l u s n á l .. 1 -t,.

(43) - 29. Ism ét b e v e z e th e tjü k a k ö v etk ező j e l ö l é s t : j-. 1=. ip. 0. 6. L (tp ) /. <S>>. L á th a tó a n , a most d e f i n i á l t. lo g ik a a szo k á so s Í t é l e t. k a lk u lu s *. Ö s s z e fo g la lv a : M indenegyes. г V,. т *=. i n t e r p r e t á c i ó h o z h o zz áren d e lü n k egy kételem ű. B o o le -h a lm a z a lg c b rá t * a p re d ik á tu m k a lk u lu s n á l p e d ig minden. tÖLe M^. i n t e r p r e t á c i ó h o z h o z z á re n d e lü n k egy c i l i n d r i k u s h a lm a z a lg e b rá t* H asonlóan, a d i r e k t s z o r z a tk é p z é s i t t c ió k h a lm a z a ), o t t p e d ig. 2. M. s z e r i n t t ö r t é n i k ( h is z e n ez az in te r p r e tá r s z e r i n t . Ennek m e g fe le lő e n a fo rm u la a lg e b rá k. i t t B o o le -a lg e b r á k , o t t c i l i n d r i k u s a lg e b r á k .. □.

(44) - 30 -. I I . 3. Gödel t e l j e s s é g i t é t e l. TARTALOM. I I 3 * í Ds. D ítaiprÉrrujnTbcir^ó A*ban. II3 .1 L !. Boole-rendezés. ( VE)eA) ( B ^ÍD <<=я*> óup В e D ). Г D ultraszúroje ^ц~пак ( 3 D) 4 D szuprémumfcaí'tó A- ban ta D э а. Л. -. Д е 5 Ь Н ) lAl^rOű. -—. c i 6 H4 { a n f H } . И З . 2Ds. If ^ у <f. iV ^ l) í (f-b e n. к ( т |^. ö s s z e s sza b ad e lő f o r d u lá s á n k i c s e r é l j ü k. " l^ -re .. II3 .1 T ! eg yenlő n é ,c e n te s lo g ik á b a n ^ / e T*Y ^. Boole-rendezés. \. 6 % e 6. 1 % .. í. <. [. ". &. u .. 4Up ílffti/tj)'}6“ ] /. A t é t e l b i z o n y í t á s a s o rá n h a s z n á lt leminákí. íipAyeÜD I I 3 .2 L :. D. ultra Szűrője % - r i a k. l = » 1 1<p e(JD * *. D szupremumtortó l{ fl^ )'.í64íl-46(0,ip£FJ-bcn ) II3.3L -.. ----------------. II. -------------------. II3 .1 T K : E g y e n lő sé g e s lo g ik á b a n. **■. f ,y e UD у. ÍU D. [Э -у е Д О *-* Qy) tpfo-AjteUD. (3W)((p eUD. к (у ^ ). s ^ -n e k még a z t i s k i k e l l f e j e z n i e , hogy. cOl__ u n i v e r z á l i s k o n g ru e n c ia . II3.1M :. Néhány sz in o n im a .. II3.2M !. A ^. II3 .3 M ;. A t é t e l h a s z n á l a t a k a lk u lu s o k t e l j e s s é g é n e k e l l e n ő r z é s é r e .. r e l á c i ó egy m á s f a jta e l ő á l l í t á s á t i s s z o l g á l t a t j a a t é t e l ..

(45) - 31 -. I I . 3*. Gödel t e l j e s s é g i t é t e l .. Ebben a f e je z e t b e n b e b iz o n y ítju k a t e l j e s s é g i t é t e l egy á í t n l á n o s i t o t t v á l t o z a t á t i t e t s z ő l e g e s k a lk u lu s t e l j e s s é g é r e adunk egy szü k ség es és e lé g s é g e s , t i e z t á n a lg e b r a i f e l t é t e l t .. E zt a z é r t te s s z ü k , m ert a k éső b b iek . ben a t e l j e s s é g i t é t e l r e ebben a form ában le s z sz ü k ség ü n k .* ^ E t t ő l fü g g e t l e n ü l a t e l j e s s é g i t é t e l most b iz o n y íta n d ó v á l t o z a t a b e l e i l l i k a tanulm ány b a , h is z e n annak c é l j a lo g ik a i ö ssz e fü g g é se k t i s z t á n a lg e b r a i m egfogalm azá s a é s b i z o n y í t á s a . M egfogalmazzuk még a t é t e l néhány s z in o n im á já t, melyek a l g e b r a i j e l e n t é s e t a l á n s z e m lé le te s e b b .. */ A ’’r e p r e z e n tá c i ó t é t e l ” b i z o n y í t á s á n á l ..

(46) A t é t e l b iz o n y ítá s a a T a rs k i lemmán a l a p s z i k , m ely a B o o le -a lg e b rá k elmé le té h e z t a r to z ik *. 113Л Р D e f in íc ió :. Legyen. ^. B o o le -re n d e z é s s t r u k t ú r a ,. D ennek egy u l t r a s z ü r ő j e , é s Sb H. A. Azt m ondjuk, hogy D. ftfcupréműmtartó Д -ban, ha*. ( V Б e A) ( B ^ D. ^. w pB ^D ). □ II3 .1 L Tarski- lemma:. На. <(. H,. <н >. egy B o o le -re n d e z é s s t r u k t ú r a ,. Д m eg szám lálh ató inf H í a GH,. ré sz e. H -п а к , es. «н akkor v an egy. D. 3Ű. szuprém urotartó. (А -b a n ) u l t r a s z ü r ő je. M egjegyzés: Ennek a t é t e l n e k eg y , a sz o k á so s (pl* eg y szerű b b b i z o n y í t á s á t k ö z ö ljü k a fü g g elék b en *. □. Гве11 6 9 I. H,. X -n a k .. -b e n t a l á l h a t ó ) - m l.