Hibameghatározás az ágazatok kapcsolatának elemzésénél

SIMON FERENC:

A MAGYAR SZOCIALISTA MUNKÁSPÁRT VII. KONGRESSZUSA UTÁN

Néhány hete, 1959. december 5—én befejeződött a Magyar Szocialista Munkáspárt VII. kongresszusának tanácskozása. A határozatok, amelyeket

a kongresszuson elfogadtak, ma már ismertek az egész dolgozó nép előtt.—

Ma már a politikai, a gazdasági és a kulturális élet minden területén arról folynak a viták, hogyan lehet az adott területen minél eredménywebben hozzájárulni a határozatok maradéktalan teljesítéséhez. A statisztikai mun—

kát végzők számára is igen sok útmutatást adott a kongresszus. Megszabta tevékenységünk fő irányát, és az egyes speciális részterületekkel foglalko—- zók munkájához is segítséget adott. Éppen ezért a legközelebbi jövőben főfel- adatunk alaposan tanulmányozni a kongresszuson elhangzottakat, hogy munkánkban érvényesüljenek mindazok az elvek és módszerek, melyeket a kongresszus elfogadott.

A kongresszus óta eltelt rövid idő még nem volt elég ahhoz, hogy min- den, számunkra hasznosítható megállapítást megvimgálhassunk a statisz- tikai munkában való érVényesítés szempontjából. Már most világosan lát- juk azonban, melyek azok a legfőbb politikai kérdések, amelyekkel a kong—

resszus útmutatása alapján foglalkoznunk kell.

A kongresszus, minthogy az első ilyen jellegű tanácskozás volt az

1956. évi ellenforradalom óta, núndenekelőtt azt volt hivatva elbírálni,

hogy a párt által az elmúlt három évben követett politika helyes volt—e.

A kongresszus erre a kérdésre egyértelműen igennel válaszolt.

Ez az egyértelmű helyeslés azonban nem kritikátlanságot jelentett.

A kongresszus küldötteinek felszólalásai épp úgy, mint az elhangzott be—

számolók amellett, hogy kifejezték egyetértésüket az eddig követett poli—

tikával, arra is rámutattak, hogy milyen területeken nem értünk el meg——

felelő előrehaladást, hol jelentkeznek társadalmunkban megoldásra váró

eHentmOndások, kijavítandó hibák. Az elhangzott bírálatok azonban nem

az eddig követett politikai vonalat kifogásolták, hanem épp ellenkezőleg megerősítették azt. Hiszen a párt hároméVes munkájának talán a legjel—

lemzőbb vonása volt, hogy őszintén a nép elé tárta nemcsak az eredménye—

ket, hanem a hibákat is, nemcsak a sikereket, hanem a nehézségeket is. Az a bizalom, amivel a párt a néphez fordult minden kérdésben, fő ferrása volt eddigi sikereinknek, merta párt tagjai és a pártonkívüliek erre a hir—*

zalomra lelkes munkával, a hibák felszámolásával, a nehézségek leküzdé—

sével válaszOltak. , " ' * ' * , - * ' ' ; 4 "

DR- CSBPINSZKY: HIBAMEGHATÁROZÁS AZ AGAZATOK KAPCSOLATÁNAK ELEMZÉSENÉL ']

!. SZERKEZETI EELEPí'rEs

A) Az ágazati kapcsolatok mérlegének szerkezete

Az ágazati kapcsolatok mérlege olyan tábla, melyben a gazdasági élet minden egyes ágazatát egy sor, illetve egy oszlop képviseli. Az ágazatok sorrendje a tábla fej- és oldalrovatában azonos. Az egyes sorok és oszlopok

találkozásánál szereplő tételek azt a termékmennyiséget fejezik ki, melyet a

kérdéses sorban szereplő ágazat az oszlopban szereplő ágazatnak tovább—

feldolgozásra átadott. Vagy ami ugyanezt jelenti, azt a termékmennyiséget,

melyet a szóban forgó oszlopban levő ágazat a sorban levő ágazat termékéből

termeléshez felhasznált. Az előbbi meghatározás a tétel kibocsátás, az utóbbi ráfordítás (költség) jellegét domborítja ki.

Az előzőkben adott általános jellemzéshez a teljesség kedvéért néhány kiegészítést kell fűzni.

Az első az, hogy ágazaton mindig a termékek valamilyen agregátumát kell érteni. Elvben az agregálásnak termékek szerint kell történnie. A való- ságban ezzel szemben a helyzet sokszor az, hogy az összevonások szervezeti formák szerint —— vállalatok adatainak összeadása útján —-— történnek. A tanulmányban erre az utóbbi megoldásra nem lehettünk tekintettel. A válla- laton belül jelentkező hibaforrásokat figyelmen kívül kellett hagynunk.

Másodszor a gazdasági élet valamennyi ágazata csak akkor szerepel egyidejűleg az oszlopokban és sorokban is, ha ún. ,,zárt" modellről van szó.

,,Nyílt" modell esetén csak az ún. termelő ágazatok —- ipar, építőipar, mező—

gazdaság, közlekedés, kereskedelem egyes ágai —- vannak egymással kölcsö—

nös kapcsolatban a táblán belül. A beruházások, háztartások, szolgáltatók,

közületek a szoros értelemben vett táblán kívül a szárnyakon helyezkednek

el.

Harmadszor a tábla adatai rendszerint értékben vannak megadva.

Negyedszer a tábla a maga leíró jellegével szoros kapcsolatban áll a nemzeti jövedelemszámításokka].

A mérleg elrendezését jól szemlélteti a 8. oldalon közölt tábla.

Jelölések:

X M —— a [,a—ik ágazat t-ik vállalatának összes kibocsátása;

X WV; —— a v-ik ágazat j—ik vállalatának felhasználása a y—ik ágazat i—ik vállalatának termeléséből;

mm —— a y—ik ágazat 'i—ik vállalatának nettó kibocsátása (az ún.

,,szárnyon" elhelyezkedő szektorokhoz jutó rész).

Feltételezések :

1. Egy vállalat mindig csak egy terméket állít elő.

2. Ágazaton termékek valamilyen elgondolás szerint való összevonását értjük.

Megjegyzés:

Az ágazatok jelölésére a mérleg általános tagjánál a y, 3; görög, a válla—

latok jelölésére az i, y' latin betűk szolgálnak. Erre az első pillanatra kompli—

káltnak tűnő jelölésre az agregálásból származó hiba meghatározásánál lesz szükség. A tárgyalás egysége kívánta meg, hogy már itt is ezt a jelölésmódot alkalmazzuk.

M a i g

;

"

"' 'n x

L'

S I W N W X I I

-

§

,

, . e I W N W X

_

§

.

! ) M M X

. w '

Há'-' .-

I

I

!

);

*PII §*

W N W X

'

"

;

"

X

— i

w

'"

X

.

"

-:a

"

"

X

-'

,.

I* W' X

? l e

.' ;*;

f a l / V N N X

;

(.

.

[

! ] : l e

!

: I I ' W X

.

"

N H

.*

lz 'l YW

.-'I

"

X

'7

I'

? X

_

,

x w

M X

._;?

N W X

,._.

U P W X

1

"

X

w a

n

'"

M Z W X

.

* I I W X

'

,!rl

-

H N K

!

"

X

*

,'

_

"

,

1 X

)

A_

[__

( d e X

l a N X

_

h í

'I

X

. "'-

!

w w

__

? A W X

—

.

_,':

X

- :

:

* W X W X , d e

.

-

_

I' MI X

.

M X

*

W

*

-

—rn'

.-

_ "

x W ' W X

__

'II

— X

:_

,,

dz

.

,

W N W W X

S W W X

.

"

; i n

.

_

I' d' X

! X

"

I X

W p r ' W X

.

.

.

§ ]

; i n

_..

_

.'

"

m ' - X m '

7 n g

- .'

'

_

I I I M X

"

,

'I

X

- '

!

,. i? n

le

—f

"

x

_

*!

X

-

' W M X

.

_!

,

"

a, n

''

, l e l e

'

I' XI

'-

fi

.311'

X

*-

"

w m

-

"? X

.

_,

)

,]:11

"

N X

,__

f'

[ A W X É

.

?

! t h

:

.

*,

! ] , l e

X

I I I X

"

z I

_

'—

, , w

r ? *

§ z s

-' :'

-

s W X

w r x

' -

—

m , X W X

' _ ' ..

a m r r y

f ' l l x

.

"

W X

it

"

x i ' —

"

' "'

' m l l x

.

I * I ' X '

-

"

;

!

! w a

z n m ' x A

"

;

.

m ' I I X

t I II

"

!

.

lz x

?* xÉ

w x n m x f

'-1

ZM II X

!..

"

'

"

;

*

m i x

I' X

'._

'

-—

_'

!

a[ fx xi

f' I- XI

_

Hz XI

_

ü f

! r

—*

,

M X

"

"

"

"

X

- ;'

"

' I X I

!

t ' l ' X

[;,,

.

W

[ ( I I I I X

.

'

I I I E I Y

: I I X

A '

'

E M I I X

:

"

-

.

:

f

! X

).

?' t! h

.

W M

;

"

' W

"

X

_

.

I

u

"

W u X

c i f

— ( I X

.

m a

! )

;

!

I I I I X

?

:

1 1

"

( á t :

_

W R w ' T T X

..

*

"

x ' X

!

. -

I X

—

*

[ H I X

_

M [ X

.-

m ' I

'lla:

!

.

'

% l e

D M X

__

X

":

214!'1

X

*'I..

"

5 7 l e

m u x x w X

1' 3

"

N n I' X

m m ,

_A

i g e n

!

?

91—91;

s m

!!

g ú , 5 7 . 4 9 1

"

!

9

?

:rrHlBAMEGH—ATAROZAS'AZ AGAZATOK KAPCSOLATANAK ELEMZÉSÉNEL ' 9

B) A technológiai koefficiensak matrixa

A technológiai koefficiensek matrixát az ágazati kapcsolatok mérlegéből

oly módon nyerjük, hogy az egyes oszlopok és sorok találkozásánál szereplő tételeket rendre osztjuk a kérdéses oszlopban szereplő ágazat összes kibocsátá—

sával:

a a

Mi V] X (b)

A- (b) index a bázisidőszak jelölésére szolgál. Ennek hangsúlyozása azért fontos, mert a hiba sokszor éppen abból ered, hogy a mérlegkészítés idő- pontjában kiszámított koefficienst a tervezés időszakára is változtatás nélkül elfogadjuk.

A matrix felépítését a 10. oldalon közölt tábla szemlélteti:

C' ) Összefüggések az ágazati kapcsolatok mérlegén belül

" "

Az ágazati kapcsolatok mérlegének és a technológiai matrixnak elozok—

ben ismertetett jelölési rendszerét követve a mérleg egyes alkotó elemei között fennálló kapcsolatok a következőképpen fejezhetők ki.

Jelölje:

Ill —— az ágazatok összes számát,'

NM —— a y—ik ágazathoz tartozó vállalatok számát, N ——— a vállalatok összes számát-.

l. Kapcsolatok vállalati (termék) szemléletben

a) Alapösszeiüggések

A vállalatok felhasználása a y-ik ágazat i—ík vállalatának termeléséből:

M N,,

szizzvl'gxmvj /1,1.,/

A y—ik ágazat i-ik vállalatának összes kibocsátása:

xmsz—tmm "92,

A v—ik ágazat j-ik vállalatának felhasználása a g—ik ágazat i-ik vállalatá—

nak termeléséből osztva a v-ik ágazat y' vállalatának termelésével (ráfordítási

koefficiens) : .

(b)

,; __ firm

Mi vj Y (b)

1,]

/1:3/

A (b) index a bázisidőszak jelölésére szolgál.

A- v—ik ágazat j—ík vállalatának felhasználása a (lt—ik ágazat i—ik vállala—

tának termeléséből:

XPlvjxaPivavj'FdPivj "A;

ahol duly] az elkövetett hiba jelölésére szolgál.

ww%?w—w!wkcí—Á'W'_w(wwN14:WMWPgwn-ob4tW'NWúltwlevcdü*!4_wamx-ígnNWUIÚ"Wu4-81'Nwan],va.—.c,vavNwul,va

Mmm!? mamam

J.:._'fff..._*.I.

w'._A;A!!",ng"'Mn'o'w'n',"Iráram,-"Him,Warp"—'u'nr19%m,"—"Hm,,'fwn'Pwn

W

NW'WD'"'W'WU'W'Wn'"(Hümm.üdw!)141173..'IIIWH'!l'Wg'"tllwv;I'WvIIIWU

...;._....

w_.__Mmm!"...'W'W'ounni"...hmv..."MD_enm"...'HMD("M"...cimuIlln'oI'm"

..m...................

W!''___'_- AWE",..._'n'dg'ngmf'táma-:.guaninilldp-—;,lzdnÉrted?)...:"leg,:rlvt,:n'n

!)

w_;'__*Nag-n!"(__._amin!"imad"...;ldtdn-4ami"(nam!"'!l'du%lld-Úulni"11111"(lt-,]u

w__'—.A'Win,"Wall,,mm,,'"Jam."Witt,"**/r,,'"§an'u'nD*'"Pu"'Pnn'f'llv

W._''._

A'W'lln'"'w'n"'W'Il,,'"Wu?*Mn,,'d'nv'"*u'up'n'nn''"Put,*l'nn't'uv

.,..6..

H':..A._'*wüv"mm,,'la/"l,,'n'—l,,"...,,,"'*ID'mai,,'llélv"*Plvital,,'la/,,

"w

'Nw'lp'*'w'ln'M"ID"*'d'ln'"Mi,,"W,,*u'lv'll'lv**el'!"*l'lv'I'ln

40th!!?!vuzs'l'nü

www.wyőpzmmV

' HI'BRMEGHATÁROZÁS AZ ÁGAZATOK KAPCSOLATANAK EIEMZÉSÉNÉL !]

,B) Összevonások

Av—ik ágazat felhasználása a g,ik ágazat termeléséből:

NL? N,,

" !.va 2 215pr] [15/

Az ágazatok összes felhasználása a H—ik ágazat termeléséből:

N ,

Á!, N—

meZXfu—SZZW MV

_ v

A ,u—ik ágazat nettó kibocsátása:

NM

__ 1( . "

* 2 "" Mi ( l 1'7!

!

A ,u-ik ágazat összes kibocsátása:

XM :: z M 47413!" /'*,8/

2. Ágazati (termékcsoportos ) szemléletben

A v—ik ágazat fajlagos felhasználása M—ik ágazat termeléséből (ráfor- dítási koefficiens):

(( (H' ,) :;r: AV..__MV___

/2,1/

A (b) index a bázisidőszak jelölésére szolgál.

A v-ik ágazat felhasználása a ll/L—ik ágazat termeléséből:

X ma

[xv [LV.XD '%dlzv 113431"

ahol (1pw, a ráfordítási koefficiens használata folytán elkövetett lliba jelölé—

séle szolgál.

Az am, és az utam között a- következő összefüggés áll fenn:

N,, N

a Mi) :: 25 "j 2" Hívj /3,lj

áll))

.AX _

ahol § — ——————

"] Xan

(b)f NP, NV NM N,, (b)

mertka _Z'ZXW"! ;:ZZGMV_; X

"]

Az alu" tehát nem más, mint az alul—vi —ek súlyozott aritmetikai átlaga.

12 .. , x— — nncsepmsmmm

D) Az egyenletrendszer felépítése

Mielőtt az előbbi összefüggések felhasználásával a gazdaSágelemzés _eél—

jaira szolgáló egyenletrendszert felírnánk, két megjegyzést kell előreboesÉ—,

tanunk. '

Az egyik az, hogy a jelenleg folyó és a jövőben lebonyolításra kerülő számítások a nyílt, statikus modellt helyezik előtérbe. Ennek figyelembe _ vételével 'a tanulmányban ismertetendő hibameghetározási módszerek is

erre a modellre vonatkoznak. , *

A másik: az egyenletrendszer feltételezi azt, hogy húzamosabb időn

át állandó jellegű technológiai'koeffieiensek léteznek. A mérlegkészítés idő-

pontjában meghatározva egy későbbi időszak termelésének előrejelzéeéhez " —'

felhasználhatók.

Mindezek előrebocsátása után ez egyenletrendszer:

a ) Vállalati (termék) szemléletben, egy Vállalatra, :

M N,,

", . __. 1 *1 ' .

XHi"AZMF'L'""Mi'"%2amvjxvj***/Milena

' ?

Metrixegyenlet formájában írva, valamennyi vállalatra:

(Em—A,) X::x—l—d '

(NJ-V) (N) (N) (N)

X::(Em—Aer—l—d) /4,1/

- (N) (MN) (N) (N);

' ahol A a vállalati (termék) részletezéeű technológiai matrix.

(N, N)

6 ) Ágazati (termékesoportos) összevonás kétféle módon lehetséges:

az) Vállalati személetet tükröző nettó kiboesátásnek megfelelően _

:: E (mm A)—1 (x * d) j4,2,'

(MHMJV) (MN) (N) (N)

ahol az E matrix a következő alakú:

(M ;N )

A ,u—ik sorában N1 % N2 —i— . . . %— N,,,..1 zérus, majd N,; egyes és ezt követően

Nah 4— ... —l— NM zérus van.

e) Ágazati (termékesoportos) szemléletnek megfelelően

x : (E ——A)—1 (x a— a) /4,3/

(M) (M:M)(M) (M)

ahol A az ágazati (termékcsoportos) részletezésű technológiai matrix.

(Jll,M )

ÉHBAMEGHATÁROZAS AZ ÁGAZATOK KAPCSOLATÁNAK ELEMZÉSÉNÉL 13

II. A HIBA NAGYSÁGÁNAK MEGHATÁROZÁSA

Az _ előzőkben röviden ismertettük az ágazati kapcsolatok mérlegének

felépítését és az ágazatok elrendezését a mérlegben. Majd a mérleg egyes alkotó elemei között fennálló összefüggések felhasználásával levezettük a gazdaságelemzés céljaira szolgáló lineáris egyenletrendszert. A hiba meg—

határozására szolgáló egyenletek kidolgozásnál ez a módszertani alap fogja

a kiindulási pontot képezni. '

A különböző forrásokból származó hibák következményeinek mérésénél fontos szerepe van az A matrix néhány tulajdonságának. Ezek a tulajdonsá- gok nagyon megkönnyítik a gyakorlat számára elfogadható terjedelmű hiba—

határok kijelölését. Ezért a hiba nagyságának meghatározásával kapcsolatos gondolatmenetek bemutatását az A matrix szerkezeti sajátosságainak vizs—

gálatával kezdjük.

Az ágazati kapcsolatok mérlegében, melyből az A matrix leszármaztatható

—— az egyes szektorok kibocsátásai és ráfordításai —— a gyakorlatban végre- hajtott számításoknál -— mint már említettük —— értékben vannak megadva.

Az egyes ágazatok összes kibocsátása és valamennyi ráfordításának együttes összege között értékbeni egyezőség áll fenn.1

Ennek figyelembevételével az A matrix (li—ik sorában és ifj—ik oszlopá—

ban helyet foglaló elem úgy definiálható, mint a iii—ik ágazatból a vj—ik ága- zatba jutó termék értéke osztva a v-ik ágazat összes kibocsátásának érté- kével. Ez az értelmezés adja az első fontos sajátosságot: az A matrix egyetlen

eleme sem lehet negatív előjelű. A technológiai koefficiensek vagy pozitív

előjelűek, vagy zérussal egyenlők. A második fontos sajátosság abból ered, hogy az A matrix egyes oszlopaiban —— így a v] oszlopban is —- a fajlagos ráfordítások az elemek. Ezeknek összege —- nyílt modell esetén -—— az egyes oszlopokban szereplő ágazatok összes, értékben, számított kibocsátásainak csak egy részét képezi. Azt a részt, amelyik az A matrixban szereplő ágaza—

toktól származik.2 így az A matrix egyes oszlopaiban a ráfordítási arányok összege vagy kisebb lesz egynél, vagy egyenlő lesz vele.

Az A matrixnak ez a két tulajdonsága lehetővé teszi, hogy az (E———A)"1 inverzet az E -l- A —l— A2 —l— A3 —l— . . . hatványsorral közelítsük, melyhez a sor mint határértékéhez konvergál.3

Ezt az összefüggést a továbbiakban több alkalommal is fel fogjuk hasz—

nálni. Itt egyelőre csak rámutatunk néhány következményére.

1 Meg kell jegyezni. hogy ez a megállapítás csak akkor állja meg a helyét, ha az egyes ágazatoknál jelent- kező akkumulációt és munkabért ráfordításként kezeljük. Ez megállapodás kérdése. Tekintettel arra. hogy a további meggondolások tarthatóságát ez a konvenció nem befolyásolja, érthetőségét viszont elősegíti. e probléma. tárgyalá—

sánál célszerü lesz fenntartani.

? Ha a vizsgálat zárt modellen alapul, akkor az A matrix minden ágazatot magában foglal. Ez esetben a ráfordítások összege meg fog egyezni a kibocsátás értékével.

3 C'. Neumann 1877—ben megjelent ,,Untetsuchungen über das Logarithmische und Newtonsche Potential" a.

munkájában kimutatta, hogy

E A A2

— ***—4" ————-i- a(;LE—Ar—l

% Az ha

'aliol A egy tetszőleges kvadratikus matrix és 1. egy bármilyen szám, mely abszolút értékében nagyobb, mint a leg- nagyobb modnlus az A matrix karakterisztikus gyökei között. Ha mármost az A matrix valamennyi karakterisz- tikus gyökének kisebb a modnlusa, mint 1, akkor A-át 1-nek választva. a fenti egyenlet a következőképpen írható fel:

Ei—Aá—AB-tA3i...a(E—A)—l

14 ', — - es. esemssznr .az—Ima

Az első az, hogy az inverz egyes elemeinek előjele is vagy pozitív lesz vagy zérus. Az E egységmatrix egyes elemei ugyanis vagy eggyel, vagy zérus- sal egyenlők. Az A matrix egyes elemei —— amint az már a fentiekben kitűnt

—— vagy pozitív előjelűek, vagy zérussal egyenlők. Az A matrix hatványai

pedig —— kvadratikus matrixok hatványozásáról van szó —- vagy pozitív előjelűek, vagy egyenlők zérussal.

A második az, hogy a zérusok száma az A matrix magasabb hatványai—

nál csökken. Ez annak következménye, hogy az A matrix rendszerint irre- dueibilis (indeeomposabilis). Ennek a jelenségnek a következő közgazdasági

interpretáció adható. Az A matrix ,ai—ik sorában és vj-ik oszlopában szereplő zérus azt jelenti, hogy a pri-ik vállalat nem adott át terméket közvetlenül

a vj—nek. Az A2 matrix (l,—ik sorában és v -ik oszlopában szereplő zérus már

azt is kifejezi, hogy a két vállalat között közvetett kapcsolat sem létezik.

A [i,-ik vállalat egyetlen olyan vállalatnak sem adott át terméket, mely Ifj-VBI közvetlen kapcsolatban állt. Végül a ti,-ik sorban és a vj—ik oszlopban a zérus állandóvá válása —— az A matrix bármelyik hatványánál —— azt fogja mutatni, hogy a két vállalat teljesen és tökéletesen független egymástól. Az egyik vállalat kibocsátásának egyetlen egysége sem talál utat, még közvetítőkön, továbbfeldolgozókon keresztül sem a másikhoz. Kivételt képeznek ebből a szempontból természetesen a technológiai matrixban nem szereplő ún.

autonóm ágazatok. Ezek közvetítésével állhat fenn kapcsolat két vállalat között.

A harmadik következmény az első kettő folyománya. Ha az A matrix egyes elemei alá vannak értékelve, akkor alá lesznek értékelve általában az inverz egyes elemei is. Néhány elemének értéke a zérusok elhelyezkedése miatt nem változik. Túlértékelés azonban az inverz egyetlen eleménél sem fordulhat elő. Hasonló a helyzet túlértékelés esetén is. Az inverz néhány eleme túl lesz értékelve, másokat a zérusok elhelyezkedésétől függően nem érint a túlértékelés. Aláértékelés esete azonban az inverz egyetlen eleménél sem lehetséges. A különböző hibaforrásokból származó hibák nagyságának meghatározását célzó módszerek —— a fentiek hasznosításával -— a következők—

ben foglalhatók össze.

A) A pontatlan alapadatoknak tulajdonítható hiba

Az ágazati kapcsolatok mérlegének készítésénél ez egyike a leggyakrabban előforduló hibáknak. Abból ered, hogy az esetek túlnyomó többségében az egyes szektorok ráfordításai nem határOzhatók meg szabatosan. Ennek rend—

szerint több oka is van. Egyes esetekben az adatgyűjtés hiányossága, máskor a fogalmak tisztázatlansága idézhet elő pontatlanságot. Előfordulhat, hogy a statisztikai adatgyűjtés már eleve sem irányult kifejezetten valamilyen

ráfordítás nagyságának számbavételére. Az csak közvetve mintegy ,,mellék—

termékkén " adódott. Ezenkivül számos olyan ráfordítási tétel van, mely természetéből kifolyólag nem osztható fel az ágazatokra közvetlenül és egyér—

telműen, hanem csak ,,arányosítás" útján—.

A ráfordítás nagyságát és így a technológiai koefficienst tehát csak igen

ritkán tudjuk szabatosan megállapítani., Szerencsére azonban mikor a táblát-

készltiük, arról már rendszerint kellő, biztonsággal tudunk nyilatkozni, hogy

a ráfordítás nagysága milyen határokon belül mozoghat. (Meg tudjuk például

HIBAMEGHATÁROZAS AZ ÁGAZATOK KAPCSOLATÁNAK ELEMZÉSÉNÉL 15

mondani, ha van egy (),125 értékű ráfordítási koefficiensünk, hogy annak értéke legfeljebb 0,11 és O,l4 között helyezkedhet el.) Ez azután már módot nyújt arra, hogy az inverz egyes elemeinél fellépő hiba korlátait kijelöljük.

A hibaképlet a következőképpen vezethető le.

Jelölések:

A —— a hibakorlát abszolút értékben,

K —— a szabatosan meghatározott ráfordítási koefficiensek matrixa, A —— a ráfordítási koefficiensek tényleges matrixa, melynek egyes elemei

a megadott határokon belül helyezkednek el, (IE—K)"1 és (IS—A)"1 —— a megfelelő inverzek,

D ———— az X és az A matrixok különbsége,

H __ a megfelelő inverzek különbsége [(E—Krl —— (E—A)"1], az el—

követett hiba,

K —— az (El—A)—1 inverz és a D matrix szorzata [D(E—A)*"1].

Mármost

H :: (E-w'K) 1w—(Ew—A)1 :: (Ew-A—D) L_(EmAy-l :

elm—Deen 1](E———A))" I—eMA) !:(Eu—Ay—wa—xwf—(E—A) 1

Ha most az (E——K)*1 matrix egyes oszlopainak abszolút összege kisebb, mint egy, akkor

(Em—K)—1::E—i—K—l—K24—K3—ÁL

és így

Hitük—A)1(E—FK—%—K2—i—K3%-—-)—w_(E——A) lági—"A)*(Ií—l—I*í**—%-I€3—%...) Ebből az összefüggésből, valamint abból a tényből, hogy (IB—A)"1 inverz

valamennyi eleme pozitív, következik, hogy H abszolút értékben akkor lesz a legnagyobb, mikor D minden egyes eleme helyébe a maximális hibakorlatot írjuk.

Az egyenletet _— néhány további meggondolás után —— felhasználhatjuk arra, hogy az A technológiai matrix inverzének —— (E—A)'1—nek —— barmelyik

'eleménél —— így a Mk'ik sorban és vs—ik oszlopban állónál is — az elkövetett hiba abszolút nagyságára vonatkozóan, ha némi feltételezések árán is, de

nyilatkozni tudjunk. * '

A gondolatmenet a következő:

1. Tegyük fel, hogy a D matrix valamennyi eleme A—val egyenlő. Ez a legkedvezőtlenebb eset feltételezését jelenti, amikor az A technológiai

matrix valamennyi koefficiense hibás, és a hibahatárok kijelölésénél a leg-

nagyobb hiba lehetséges határai a mérvadók. A valóságban a helyzet ezzel

Szemben rendszerint az, hogy a technológiai koefficiensek túlnyomó többsége igen szoros határokon belül megadható és csak néhány koefficiens értékének meghatározásánál lép fel nagyobbfokú bizonytalansag. '

16 . , ., " .s; ,a _: nnicsapmszxi mm

01) Akkor a

' ' , K— a(zA) !

matrixszorzat oak-ik sorában és Bug—ik oszlopában helyet foglaló eleménok [*

értéke egyenlő:

A(E—A);lpS—§—A(E—A)1;lps—f—-;-'-%—£K(E%A);;lps4— 4—A(E——A)(Lisp*

' _.1

% ME MMNMps

vagyis

MNy

_AZZ'(E——— A)M

Hasonlóképpen képezve a matrixszorzat többi elemét, a matrix:^{M N,, M Nu} !! "p- _*

A (a Art A "(a—Art A (la—Ay! AZZ(E"5)4 , —

ZZ ful; %% I—LI : %; Pipa P— f MlMNM

u NP. M NM M Ny, %%

A (E.—AH A (F.—md AZZ(E—A)—1 (E—A)—'

%; mi. §; m n a - * Nős (a ? ' NIMNM

M "(A . M NFL . M NM

A (E— A)—_. ...A ** *(E—Ar—t ...A gaz—arr .,.AZZm— aki

22 (1—1! 1 %% MI II; % *; Flps WMNM

M NP

vagy ha AZZVE— A) mBs helyébe legs-t irunk, a. K matrix:

k1,...k11,...kps...kM

701l ...k11,...kps...kM

()) A K2 oak-ik soraban és 5, oszlopában található elemének értéke egyenlő: _, '

kll k]! "Pif/'I! [CII—%" "I—FIOII [CII—*** T'kps 10] T" ")!"kM 161

HIBAMEGHATÁROZÁS AZ ÁGAZATOK KAPCSOLATÁNAK ELEMZÉSÉNÉL 17

A kiemeléseket elvégezve, a, K2 matrix:

MN" x, MNU ' MN" , MN".

(Égre,!) 1011... (2210?!) kul... (Egg!) k,,s (ggkvth

(%%kvj) kh... (%%k,,j) kH (%%kw) k,,s (%%/c,,j) kM

M N,,

vagyis (221043

v 9'

c) Hasonló módon kimutatható, hogy

M N,, a

K. : (; Eh,.) K

1) 7' ]

M N,, n—l xn —— (ZZkv.n) K

2. A KL'matrixszorzat hatványai között fennálló összefüggés alapján

MN" MNV z MNv :

Kj—KZ—l-Ks—kxi—i—...:[l—l—ZZ'kvj-§—(ZZIcvj)—i—(22kvj)4—.H]K

v ;" 1! y' 'v :i

A szögletes zárójelben levő kifejezés azonban —— minthogy itt egy kon—

M N,, .

vergens mértani sor összegéről van szó —— hazzkvj ( 1, akkor egyenlő

v 7'

1

-K-val

M N,,

'— 2 2 kv;

v i

3. Vagyis Visszatérve a

: (E —— A)—1 (K —1— K2 4- K3 —§— . . .) összefüggésre azt a 2. pont alatti

2 Statisztikai Szemle

18 ' nn. csspmszgr Annan

eredmény felhasználásával a következőképpen írhatjuk fel:

1—1 : (E __ A) 4 %— K

b_gzkpj

A H matrixnak minden egyes eleme az inverz megfelelő eleménél a hiba, ,

maximális határait adja meg. így a oak—ik sor és a [38—ik oszlop találkozásánál

található értéke az inverz ugyanazon a helyen álló elemének maximáhshlbájaty

M N,,

EZENE A) * %

max hakpsl: — %:

l—Zkaj

M Ny, 'I, ?

ahonnan a AZ 2051— A.) Ip * laps felhasználásával

F'! 8

M N,,

[223 ** ll??? A" l

: ak") Mps ;

M N,,

l—ZZW

va-

M N,, M N"

A[ZZ(E—— A)1 ][ZZ(E—A)—1 ]

__ ak v] . 'Mi ps adja.

M Ny, M N,,

l—Azzxzw— A) 1

Mi "]

Az eredmények gyakorlati alkalmazási lehetőségeit az alábbi példa szemlélteti.

Induljunk ki abból —— az egyszerűség kedvéért —, hogy valamely gaz-

daság mindössze három —— A, B és 0 —— ágazatból áll. A közöttük fennálló

közvetlen kapcsolatot a következő adatok mutatják. Az A ágazat B-nek 400, O-nek 240 termékegységet adott át, valamilyen értékegységben (forintban) kifejezve. Saját termelésének folytatásához megtartott lOO—at.

Az autonóm ágazatoknak -—-— fogyasztásra, felhalmozásra —— 60 jutott. A B ágazat A—nak és O—nek 200—200—at juttatott. Visszatartott saját termékből történő ráfordításként 800-at. Nettó kibocsátása 400 volt. A 0 ágazat A—nak 400—at, B-nek ZOO—at bocsátott rendelkezésére. 400-at saját maga használt fel, és termeléséből 200 volt .az autonómágazatok fogyasztása.

A megoldandó feladat az, hogy meg kell határozni az inverz egyes ele—

meinél fellépő maximális hiba nagyságát, abban az esetben, ha az előbb közölt kibocsátásra, illetve ráfordításra vonatkozó adatok nem pontosak.

Csak annyit tudunk róluk, hogy nagyságuk egy logikailag megállapítható határt nem lép túl. (Például tudjuk, hogy az A ágazat C—nek nem pontosan 240-et adott át, de ugyanakkor közgazdasági logikai meggondolások alapján az is nyilvánvaló, hogy az átadott termékmennyiség értéke 300-nál több semmi—

esetre sem lehet.) ,

HIBAMEGHATÁROZÁS AZ ÁGAZATOK KAPCSOLATANAK ELEMZÉSÉNÉL 19

A feladat megoldásához első lépésben célszerű a; báró ágaZatből álló gazdaságban az ágazati kapcsolatok mérlegét, a A matrixo és a, (E—A)*1

inverzmatrixot felírni.

.]. Ágazat/o' kapcsolatok mérlege

Felhasználó

ágazat Netto

A B C kibocsá- összesen

Kibocsátó tás

ágazat

A 100 400 240 ; 60 300

B 200 800 200 , 400 1 600

C 400 200 400 200 1200

N 660 3600

2. A technológiai koefficiensek matríxa

h ha O

1 1 1

A — __ _

s 4 5

1 1 1

B ___ ____ _.

4 2 6

1 1 1

o ___. __w __

2 s —- 3

3. Az (Ea—A)—1 mat/ria:

A B 0

A 600" 368 272 1240

297 257 %? 297

B 480 928 376 1784 7237 E 237 297 a 540 450 720 1710

297 577 % 297 1620 1746 1368 4734

297 297 297 297

Második lépésben meg kell vizsgálnunk, hogy a képletünk milyen mérvű

pontatlanság felvételét engedi meg egyáltalán az A matrixnál. Erre azért

van szükség, mert képletünk levezetésénél bizonyos feltételezéseket vezettünk

be az A matrixnál felmerülő pontatlanságok nagyságára vonatkozóan.

Az első feltétel azt írta elő, hogy a K matrix egyes oszlopainál ez ele-

mek értékének összege egynél kisebb legyen:

MN",

NAZ'ZGE—A)*1 (1

H 5 H! 3

2*

20 ! , DR. CSEPINSZKY —ANDOB

Példánkban kiválasztva azt az oszlopot, melynél az elemek értékének összege a legnagyobb ez azt jelenti, hogy -

3 A 368 928$450 1

- — —— —— (

297'* 297 297 ahonnan

11

A( —— 0056 194N'

A második feltétel azt követelte meg, hogy az inverz elemei értékének

összege szorozva a hibahatárokkal egynél kisebb legyen

M NM M * N"

AZZ'Z zaz—AH ( 1

y, i v ;" Mt 9]

Példánkban ennek akkor teszünk eleget, ha

(600 480 540 368 928 450 272 376 720) (

297 4— 297 _i— 297 _i— 297 _l— 297 _l— 297 4— 297 _I— 297 4— 297

ahonnan _

A ( 33 526

Minthogy a figyelembevehető hiba nagyságára az első feltétel szigorúbb

11 33

" , II _— — ( ___—___ _ , ' ,

kovetelmenyt 11' 910 194 526 a keplet akkor hasznalhato, ha

11

A ( ***—194. (A képlet levezetésében szereplő konvergencia feltételek ugyanis csak ebben az esetben teljesülnek.)

Harmadik lépésben rátérhetünk az A matrix egyes elemeinél fellépő különböző nagyságú pontatlanságokból adódó hiba maximumának közvetlen kiszámítására az inverz elemeínél.

A számítások menetét és az eredményeket a 21. oldalon közölt táblában, ' valamint az ahhoz tartozó lábjegyzetben ismertetjük.

A közölt hibameghatározási módszerrel kapcsolatban ismételten és nagy

nyomatékkal hangsúlyozni kívánjuk, hogy a képlet az inverz egyes elemeinél

fellépő hibák lehetséges maximális nagyságát adja. A képlet kidolgozásánál

ugyanis annak feltételezéséből voltunk kénytelenek kiindulni, hogy az A

matrix egyes elemeinél mutatkozó pontatlanságok mind azonos előjelűek.

Ezzel már eleve kizártuk annak lehetőségét, hogy a pontatlanságok egymás hatását leronthassák.

A valóságban a helyzet ezzel szemben az, hogy a hibák rendszerint nem azonos előjelűek. A ténylegesen elkövetett hiba így rendszerint kisebb, mint

a képlet alapján meghatározható eltérés.

Ezt a megállapítást a következő logikai megfontolásokkal támasztjuk alá.

A tanulmány elején közölt ágazati kapcsolatok mérlegének felépítéséből következik, hogy a ,ui-ik vállalat termelésének teljes elosztása a következő formában írható fel:

X/U'ízXH—i .11;kXM112%- %XM'iMNM %x"!

HIBAMEGHATÁROZÁS AZ ÁGAZATOK KAPCSOLATÁNAK ELEMZÉSÉNÉL 21

Az inverz egyes elemeinek hibája három szektorból álló ágazati kapcsolatok mérlege esetén*

A az A technológiai matrix egyes 1

elemeinél fellépő hibák határa. 0,06 0,05 0,03 0,01 0,005 0,001 0,0005

Legnagyobb lehetséges értéke 11/180

A 2

M N M N

.a v ,—

l—AZ' Z(E—A)"1 l,.) 0,25 0,58 0,0l2 0,005 0,001 0,0005

g, i 1) J' [L, L']

'Amaxlh2,2](abszolút értékben) 52,97a 8,83 2,05 o,42 O,]S o,035 o,01s

A max lhz'gl az inverz második sora ! és oszlopa találkozásánál helyet,-

foglaló elemének százalékában 1695,6 282,7 65,6 13,4 5,8 1,1 O,6 A max [hakpsl az inverz sor, illetve 5

oszlop összegeiből képzett átlag

esetén 42,66 7,11 l,65 0,34 0,14 0,028 0,014

A max [hakps] az inverz sor, illetve 5 oszlop összegeiből átlagként ké-

pezve az inverz átlagos elemének

százalékában

2408,7 401,5 93,2 19,2

7,9 l,6 0,S

" Az inverz egyes elemelnél a legtágabb hlbahatárok —— a képletből következik — ott lesznek, ahol a. sor és az Oszlop összege a legnagyobb. Példánknál ez a hely a második sor és a második oszlop találkozásánál van.

Célszerű először ezen a helyen kiszámítani a hibahatárokat.

1 Az A technológiai koefficiensek matrixa 4 52,97 —297

a) 1122 elemének százalékában 12%, W : 16,956

b) elemek átlagának %-ában 22%. 928

2 0,06

; 1,5

5 47343 _

4734 l,5 —— :: 42536

1 —— 0,06 2972 ' 9

297

' 1784-1746 ' 42,66-2940-3

1,6——-—-— a 52,97 ———————————— : 24,087

2972 3600

Ebben az. összefüggésben az X ",, meghatározása. úgy is felfogható, mint egy két lépésben végrehajtott becslés. Az első lépés a. [l,—ik vállalat összes kibocsátásának megállapítása. A második ennek feloeztása, az egyes

vállalatok között azW v] arányokban.

Vagyis

XM 11 :: OCH! [1 XP!

XlLi Iz : alat 1: XMi

_ X

XM "; am v] W

X

XWMNM —aM1MNM M

22 DR. csepmszm ANNE-

A technológiai koefficienseket pedig ezekből oly módon nyerjük, hogy a felhasználó vállalatok összes kibocsátásaiVal rendre végigosztunk. Azaz

a __XWVJ__ amvaM:

,, _ ___—___.

Mi ) X,] X,]

Ezzel sikerült az A matrix egyes elemeit két összetevőre bontanunk.

Az egyik a két vállalat összeskibocsátásának hányadosa. A masik aza hányad—

rész, mely ,a, vállalat termeléséből vj—hez jutott—.4

Ez teszi lehetővé az alábbi következtetések levonását.

X

Először: nem lehetséges az, hogy valamennyi XM alakú hányadosnál

1)

ugyanolyan előjelű hiba lépjen ,,fel. Az A matrixban ugyanis minden egyes ,

XI1 an1

hányadosnak a reciproka is szerepel. Feltételezve, hogy például az

XII1

X11

arány

túl van értékelve; ez szükségképpen azt jelenti, hogy az

kell értékelve lennie.

Masodszor: ha valamennyi ágazat összes kibocsátásai mind ugyanolyan

arányú és előjelű hibaval rendelkeznek, akkor a hányadosnal nem fog hiba

jelentkezni. Ahhoz, hogy a hányadosnal hiba mutatkozzék elengedhetetlen

feltétel, hogy a hibaszázalékok az egyes ágazatok összes kibocsátásainal

eltérjenek egymástól.

Harmadszor: —— ami az amo, aranyokat illeti -— rá kell mutatni arra, hogy az mm,,,,j—k soronként vagy oszloponként összegezve egyet adnak ered ményül. Ez azt jelenti, hogy zárt "modell esetén bármelyik an,,p, —nél megjelenő hibának megfelel egy ellentétes előjelű —— a statisztikai nyelvhasználatból jól ismert— ún. ,,kontrahiba". Nyilt modell esetén pedig akkor tartalmazhat valamennyi a ,,u ugyanolyan előjelű és nagyságú hibat, haaz egyes ágazatok összes kibocsatasának igen nagy vagy igen kicsi része jut az ún. autonóm ágazatokhoz.

aranynak alá.

B) Az agregálásbbl származó hibai

Az ágazati kapcsolatok mérlege a gazdasági életben fennál—ló összefüg—

gésekről sokkal részletesebb és sokoldalúbbtájékoztatást nyújt, mint a szin—

tetikus mérlegek (például a nemzeti jövedelem mérlege). Az összevonás mérve azonban még ennél a megoldásnálIS jelentős. Még igen nagy táblázatoknál

is egy- egy ágazatban számos tételt kell összevonnunk.

Ez azzal a következménnyel jár, hogy az anyagból nyerhető információk egy része elvész, és az eredményeket bizonyos mértékig torzítja. Ez az

"információ elvesztés" fog ható fel —— természetesen atvitt értelemben —— az agregálásból származó hibanak.

6 Meg kell jegyezni. hogy ez előzőkben vázolt gondolatmenet burkoltan magában foglalja azt a feltevést, hogy az ágazat! kapcsolatok mérlegének összeállításánál prioritást biztosítunk az ágazatok összes kibocsátásai szabo—

toe meghatútozóeónnk. A valóúgbon ez rendszerint nincs így. A nori-end ebben a formában tehát kategórikusan nem volna előírható. Számos esetben az ágazatok összes kibocsátása éppen a rész-felhasználások összegezéeének eredménye- ként adódik A továbbiak szempontjából azonban nem le maga e sorrend lenyegen. Ezt a szemléletmódot pusztán azért válazztottnk, mert így könnyebb rámutatnl, hogy mennyire nélkülöz minden logikát annak feltételezése, hogy A-nok egyes elemei mind ugyanazzal az előjellel pontatlanok.