Szélsőérték-problémák a mindennapi életben Dr. Németh József SZTE T T IK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http: //www.math.u-szegéd.hu/^nemethj

Szélsőérték-problémák a mindennapi életben

Dr. Németh József

SZTE T T IK Bolyai Intézet Analízis Tanszék

http: //www.math.u-szegéd.hu/^nemethj

1.a) A 100 m kerületű téglalap alakú ” kertek”

közül melyiknek a területe maximalis?

50 — x

x

T (x) = x(50 — x)

0) T (x ) = —x 2 + 50x másodfokú függvény. Maxi­

muma a ket zeráhely szamtani közepe.

M egöldas: x = 25 (negyzet).

00) Tudjuk: yfab < ha a, 6 > 0. És ha a = b.

így x(50 — x) < ^a?+ (52°~ a;) ^ — 252.

A maximum akkor van, ha x = 50 — x, azaz x = 25.

Megjegyzes. Ekkor fel is veszi ezt a maximum er- teket (ami most a 252).

1.b) Ugyanaz a feladat, mint az előzö, csak a teglalap egyik oldala múr adott (pl. fal),

ahhoz nem kell kerítés. (Megj.

négyzet??)

100 - 2x

T (x) = x(100 — 2x) Nézzük csak a 00) típusú megoldást:

1

T (x ) = - • 2x(100 — 2x) 2

2x(100 — 2x) < 2x + (100 — 2x) 2

2

” = ” 4* 2x = 1 0 ^ 2x => x = 25.

Tehát az oldalak: 25, ill. 50 m.

2. L eg y en a terü let a d ott: 100 m 2 tégla la p a m inim alis kerületű?

ekkor is

502.

M e ly ik

y

x

xy = 100 ^ y 100

----=> k x

200

x + 2x.

0) A ” függvénytani” megoldás most nehéz (pl. dif­

ferenciálás) .

00)

200

X + 2x

2 > 200 ^{r —}

--- 2x = V4ÖÖ = 20.

x

55 55 200

<=>

x 2x ^ x = 10 (négyzet)

Konklúzió: Ha két mennyiség összege konstans, ak­

kor a szorzat maximális, ha egyenlők; ha a szorzat konstans, akkor az osszeg minimalis, ha egyenlok.

3. E g y bú torasztalos e g y m ah agón iü ltet- v e n y ro l szerzi be a m unkajahoz szüksé­

ges alapanyagot. N a p o n ta 5 b ú to rt keszít el. A b esza llíto i e g y kon ten ernyi fút 5000 dollú rert ju tta tn a k el hozzú (fú gg etlen ú l attúl, h ogy m ennyi fa van a k on ten erb en ).

A raktarozúsi kültseg 10 d olla r egysegen- kent es naponta, ahol az egyseg az eg y b ú tor elkeszíteseh ez szükseges alapanyag m ennyisege. M e n n y i faanyagot ren d eljen e g y -e g y alkalom m al, es m ilyen gyakran k erje a kiszallítast annak erdekeb en , h ogy m in im alizaln i tu d ja a k öltsegeket? ( Igazi real-life.)

M egold as. Ha x naponként ker szállítást, akkor 5x mennyiségű alapanyagot kell rendelnie, hogy a ren­

delési ciklusban mindvegig elegendo anyaga legyen.

Az átlagosan raktarozott mennyiseg hozzavetoleg a rendelt mennyiseg fele, vagyis 5x/2. Ezert egy-egy ciklusban a szallítasi es raktarozási koltseg együtte­

sen:

egy ciklusbeli koltseg = szallítasi koltseg + raktáro- zasi koltseg;

egy ciklusbeli költség =

5000 + , ( ¥ ) • x • 10

szall. atlagosan rakt. napi

költseg rakt.

mennyisáeg

napok rakt. díj szama

A c(x) átlagos napi költséget ugy számítjuk ki, hogy a ciklusra eso koltseget elosztjuk a ciklusban lévö napok számaval, x-szel.

/ x 5000 _

c ix ) = --- b 25x, x > 0.

x Ld.: a 2. feladat otlete.

Nyilvan

--- b 25x > 2\/5000 • 25 (konstans).

x

Igy c(x) minimalis, ha ” = ” van, azaz

--- = 25.x 200 = x 2 x = V 200 ~ 14,14.

x

Tehat 14 naponkent kell rendelnie.

3*. Antonio has $ 5.00 to spend on a lunch consisting of ham burgers ($ 1.50 each)

and French fries ($ 1.00 per order). A n - tonio’s satisfaction from eating x 1 ham- burgers and x 2 orders of French fries is measured by a function E/(x i,x2) = y / x\ X2^* H ow much of each type of food should he purchase to maximize his satisfaction (as- sume that fractional amounts of each food can be purchased)?

Megoldas.

(*) 1,5xi + x 2 = 5

,--- 5 ,---- --- 5

Vl , 5 x i x 2 < - ^

< -

y/x\X2 maximális, ha 1, 5x1 = x 2

55 55

van

Figyelembe veve a (*) egyenletet, kapjuk:

x 1 5

3 ’ x 2 5 2

azaz | hamburger és | sült krumpli az optimális adag.

M egj.: Mary, Jennifer.

4.a) A d o t t k örb e írju nk m axim ális terü letű té g la la p o t (a ” lees ett” resz legyen m in i­

m alis). (Medál)

T (x ) = 2x • 2\/r2 — x 2 = 4x\/r2 — T (x ) = x\/ r 2 — x 2.

0)

x\/ r 2 — x 2 \J x 2( r 2 2

X2) < x 2 + r 2 — x 2 2

r

2

55 ^ 2 2 2 ,v

<=> x = r — x <=> x = r

(négyzet)

00)

T 2 = x 2 (r 2 — x 2) f ( t ) = í (r 2 - í )

r2 r

t° = y ^ X = -7 = 000) Differenciálás (de T 2(x) a jobb).

4.b) A dott göm bbe írjunk maximális térfogatú hengert. (A ” leesett” hulladek minimális le­

gyen.) (Kepler (1615); Jó bor (1610); ”Barrel”

probléma; medál)

I. ”M egoldás.” : ld. elozo pelda eredmenye (ábra ugyanaz)!!!

II.

V (x) y ( x ) y (x)

= x2^tt • 2 \ J = 27rx2 V r 2 — x

= x 2\/r2 — x 2 = x 4(r 2 — x 2) 4/2 2 \

= x (r — x ).2

0) FUggvenytan (nem parabola!!!)

00) Differenciálás (V (x ))

000) Számtani-mértani közep???

V (x) = 4

2 2

r f * 2 r f * 2

*Áj *Áj

2 2 (r * 2 — x 2) Itt 3 elem összege konstans.

Kérdés (analógia):

(*)

a + b + c 3

? _____

> v7abc, a > 0, b > 0, c > 0.

A (*) bizonyítása:

Legyen a, b, c, d (> 0) először (4 elemre).

a + b + c + d 4

a+fo i c+<i 2 ^ 2 >

2 “

\íab + \/cd

2 >

> \íabcd.

Most:

a + b + c + 9ddL±c I a + b + c

— > \ abc-

"V4 3

a + b + c 3

a + b + c 3

3/4

a + b + c 3 3

> a/abc •

> a/abc

> \fabc.

a + b + c \ 1/4 3

Kell meg az ” = ” feltétele (fontos!). Tegyük fel, hogy a = b. Ekkor

a + 6 + c + c ! \/ab + \fab + c

3 3

> \fabc.

> 3 >

Tehát ” = ” csak akkor lehet, ha minden elem ugyanaz.

Vissza 4.b)-hez:

~ x2 x2

V (x) = 4 • — • — • (r 2 — x 2).

2 2

így

2 2

r f * 2 r f * 2

*Áj *Áj

X__ __ _ | _ ■ £_ _ _ _ _ I r p

2 ^' 2 ^' x

(r 2—x 2) <

2 2

2 x 2 3 3

r2 3 3

Tehát a szorzat akkor maximális, ha ^{55 55} van, azaz

2

x 2

2 r2 2 3 2

t ( 2 \ / t ( 2

2

r 2 x 2

- r3

(tehát -£=

3 > ^2 )

kicsit ” ducibb” a megoldas, mert

5. M ily e n m éretű legyen az 1 d m 3 térfo g a tú hen ger alakú k o n zervd o b o z, h ogy a legke­

vesebb anyag legyen szükseges elkeszíte- sehez?

x 2nm = 1 =>* m 1 x 2 n F (x) = 2x2 n + 2xn • m = 2x2 n + 2xn 1

x 2 n

2 2

2x27rH—

x

55 55 1

Jani bácsi

2x2 1

7T = — <^> X =

x n

2x 2 1

~7Tj= 5 m = — , --- V^T (^/ (27r)2) _17T

2

n

Tehát a henger átmérője = magasságával (egyenlő­

oldalú henger). (Gomba)

3 többváltozós problém a

6.a) M ilyen méretű légyen a téglatest formá­

jú ra csomagolt fözűmargarin ahhoz, hogy minimalis csomagoloanyag legyen szükse- ges? (Legyen 1 dm3 a terfogat.)

F ( x ,y ,z)

Ig y a g (x ,y )

xyz = 1 2xy + 2yz + 2xz = 2xy + (2y + 2x)z =

/ N 1 2 2

2xy + (2y + 2 x )— = 2xy H---- b

xy x y

2xy+ - + - függvény minimuma kell.

2 2 3 ^{/ —}

2xy H--- 1— > 3 v 8 = 6 x y

Nyilván minimális az összeg, ha ” = ” van, azaz 2xy = - = - => x = y, 2.x2 = - => x = 1. Tehát x = 1, y = 1, z = 1, azaz kocka alakú az optimaiis.

6.b) K észítsü n k tég la test alakú d íszd o b o zt úgy, h ogy az ” a la p la p ja ” 1000 F t/ d m 2,

” fe d o la p ja ” 5000 F t/ d m 2, a tö b b i lap 2000 F t/ d m 2 k o ltséggel készüljon. M i­

lyen m éret eseten lesz a m inim alis a kolt- seg (le g y e n a té rfo g a ta 8 d m 3).

xyz = 8

Fk (x ,y ,z) = xy • 1 + xy • 5 + 2yz • 2 + 2xz • 2 =

= 6xy + 4yz + 4xz = 6xy + (4x + 4y )z.

így

/ x / x 8 32

gk(x ,y ) = 6xy + (4x + 4y) — = 6xy H---

xy x

De Qxy + ^ ^ > 3^6 • 322.

x y

A minimum akkor van, ha ” = ” , azaz 32 32 6xy = — = — .

x y

Tehát x = y és 6x3 = 32, x =

1,7471. Tehat x « 1, 7471, y « 1, 7471, z

+ 32 y

3 / 16

3

2, 62

lesz az optimális méret (négyzet alapú; magassága nagyobb, mint az alap éle).

6.c) A posta belföldi forgalomban csak olyan küldeményeket vesz fel, amelyek hosszá­

nak es kormeretenek osszege < 2m. M i­

lyen meretü legyen egy teglatest alakü csomag, amely a legnagyobb terfogatü?

x + 2y + 2z — 2

V (x , y, z ) — xyz — xy 2 — x — 2 y 2

- 1

V (X, y) = xy(2 - x - 2y) = - ■ x2y(2 - x - 2y) < 3

< - ( ~

~ 2 V3 3

55 ^ x — 2y x —

y — z —

2 3 1 3

1 3

2 — x — 2y

7.a) E g y 12 dm oldalú n ég y ze t alakú kartonpa­

p írb ó l a sarkoknúl k ira jz o lt n ég y ze te k ki- vagasa útún a szélek felh ajtasaval d o b o zt készítúnk. M ily e n oldalhosszúsagú negy- zetek et kell kivúgni ahhoz, h ogy a kapott d o b o z te rfo g a ta m axim úlis legyen ?

V (x ) = (12 - 2x)(12 - 2x) ■ x =

= - - 4 a ;( 1 2 - 2 x ) ( 1 2 - 2 a ;) <

< 1 f 4 x + ( 1 2 - 2 x ) + ( 1 2 - 2 x ) \ 3 ^ 1 3

“ 4 V 3 / “ 4 ’

” = ” ^ 12 — 2x = 4x ^ x = 2.

Tehát 2 dm oldalú négyzeteket kell kivágni. (M á r unalmas, de nézzük á következőt.)

7.b*) Ugyanaz a feladat, mint előbb, csak a ki­

induló kartonpapír merete: 2 m x 1 m.

V (x) = (1 — 2x)(2 — 2x)x = 2(1 — x)(1 — 2x)x =

= ^ 3 x (l — x ) ( l — 2x) < ^ •

” = ” ^ 3x = 1 — x = 1 — 2 x .

' - - - V - - - '

soha

Igy nem oldhato meg! Tanulság!!! (nem eri el a jobb oldali konstanst) (Hoppa!)

M ás megoldás!

V (x) = 2x(1 — 3x + 2x²) = 2 (2x³ — 3x² + x)

"--- V--- '

g ( x )

Kerdes: g (x ) maximuma (harm adfoká). (Helyi maximum!!!) Hogy néz ki? (Gyökök: 0; 1.)

Feladat

f (x) = 2x3 — 3x2 + x 0 < x < 1 2

maximumát meghatarozni. (Differenciálassal megy, de mi elemibb megoldast valasztunk.)

Mivel

f { x ) = 2 (a;3 - ^ x 2 + | ) eleg a

g (x ) = x 3 3 2 - x 2 +

2

x 2 maximumat megkeresni.

a) h (t) = pt — t3, ha p > 0. (Redei!)

yk

h (t) = t(p — t2) h2 (t) = t2 (p — t2 ) 2

= 4 - t 2 - P— 2

t2 'v'

t2 (P — t2 )(P P — t2

’ 2 összegük konstans.

t2 ) =

55 55

2

< $ t2 = 312 Tehát maximális, ha

t =1 V 3'

Nyilván — y ^ -n á l pedig minimum van.

b) h(t) = t3 — pt, p > 0. Az előző tükörkepe tengelyre.

Itt a maximum — y^|-nál van.

t

p ^

az x

rt » - rf*^ ^ I ^ rf* - ~f~ I vy y (y ^ ^ I ^ ^ ^ ^ I ^

y =

1 \ 3 3 t

+

)

= t3 + 3íz - + 3 í— H---^l2 1

t + ^

1 1

2 4 8

2 t + \

+ 2 ^—

- t 23 2 3 3 ----1 — 77 T

2 2 8

t 1 3 t

H--- h - = t 3 - -

2 4 4

ymax • t

1

1 2

ymax • x 1 2

1

12

1

Tehát x = ^ ^ 0, 211 a levágandó négyze­

tek oldala.

Tanulság: harmadfokúval mar nehezebb. (ld. Re- dei)

8. Egy olajkát a parttál 5 km-re a tengerben működik. A parton a hozzá legközelebbi A ponttol egy 8 km-re fekvű B pontban levo finomítoba kell szallítani az olajat. A víz alatti csűvezetek ára 100.000 Ft/km, a föld alattie 75.000 Ft/km. M ilyen utat

építsenek ki, hogy a költség minimális le­

gyen?

\

\

5 \

\

J

A

x

\

X

8

8 — x

B

/ (x ) = 100 • \Jx2 + 25 + 75(8 - x ) I. M egoldás: csak differenciálással?

f i x ) = 100 • , x - 75 = 0 <^>

V ^ Vx2 + 25 100a; = 75 \J x 2 + 25

x = 15

~ 5,67 km.

II. M egoldás. (XVI. sz.; négyzettábla; K alm ár L .)

(u + v ) 2 — (u — v ) 2 = 4uv {u + v ) 2 = (u — v) 2 + 4m;; 'U :

4u

u + 1 2

1 2

4u u

4u + 1

/ (x) = 100 V %2 + 25 — 7 bx minimuma kell

' 1

x = 5 u —

4u V x 2 + 25 = 25 + 25 u 1 2

4u 5 • ^a /1 + u 1 2

4u 5- u + 1

4u Igy

/ (x ) = g(u) = 100 • 5 • ( u + 1 4u

75-5 u 1

125u +

4u 875 1

4 u— (szorzat konstans)

9Z

•rcq 19 ‘S ~ ^{h t} 91

L A f Z — f i

l/^Z

I _{L A}

z

LA

g : (x )/ min Z

LA

01 L/^9

n <^=

n f