Д . П АР И Ш Р . К Е Р Ш Н Е Р Г . Н Е М Е Т Х
( К
М О Д Е Л Ь Н А Я З А Д А Ч А Д И Ф Ф У З И О Н Н О Г О Р А С Ш И Р Е Н И Я П Л А З М Ы П О П Е Р Е К В Е Д У Щ Е Г О М А Г Н И Т Н О Г О П О Л Я
Hungarian ^Academy of S cien ces CENTRAL
RESEARCH
INSTITUTE FOR PHYSICS
BUDAPEST
K F K I - 1 9 7 9 - 7 5
МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДИФФУЗИОННОГО РАСШИРЕНИЯ ПЛАЗМЫ ПОПЕРЕК ВЕДУЩЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Д. П а р и ш , Р . К е р ш н е р * , Г. Н е м е т х
Т е о р е т и ч е с к а я ч а с т ь
И н с т и т у т в ы ч и с л и т е л ь н о й т е х н и к и и а в т о м а т и з а ц и и в е н г е р с к о й а к а д е м и и н а у к
HU I S S N 0 3 6 8 5 3 3 0 I SBN 963 371 699 7
АННОТАЦИЯ
Даются автом одельн ы е реш ения у р а в н е н и я диффузии в с л у ч а е , к о г д а коэффи
ц и ен т диффузии проп о рц и о н ал ен п л о тн о сти в сте п е н и а > - 1 , и и м е е т с я линейный и с то ч н и к или с т о к .
KI V O NA T
A d i f f ú z i ó e g y e n l e t a u to x n o d e ll / s e l f - s i m i l a r / m e g o l d á s a i t a d ju k meg a b b a n a z e s e t b e n , h a a d i f f ú z i ó s e g y ü t t h a t ó a s ű r ű s é g v a la m e ly a > - l h a t v á n y á v a l a r á n y o s é s l i n e á r i s f o r r á s v a g y n y e lő v a n j e l e n .
ABSTRACT
S e l f s i m i l a r s o l u t i o n s o f t h e d i f f u s i o n e q u a t i o n a r e g iv e n f o r t h e c a s e when t h e c o e f f i c i e n t o f t h e d i f f u s i o n i s cx-th p o w er o f t h e d e n s i t y and t h e s o u r c e o r s i n k i s l i n e a r .
ВВЕДЕНИЕ
В л аб о р ато р н ы х у с т р о й с т в а х , созд ан н ы х д л я и з у ч е н и я физики п л а з ш и у п р а в л я е м о го т е р м о я д е р н о г о с и н т е з а , в п о сл ед н и е годы большое вним ание у д е л я е т с я нелинейным п р о ц е с с а м , происходящим в полностью ионом зи рован н ой п л а з м е . Измеренные при этом основны е х а р а к т е р и с т и к и т а к и е , к а к , н а п р и м е р , р а с п р е д ел е н и е п л о тн о с ти и тем п ературы заряж енных ч а с т и ц плазмы в п р о с т р а н с т в е и во вр ем ен и , тр у д н о с о г л а с о в а т ь с к а к о й -л и б о ч а с т н о й т е о р и е й , а единой т е о р и и , не с у щ е с т в у е т вообщ е. В р а б о т е [ 1 ] например п о к а з ы в а е т с я , что ч е р е з 30 м и лл и секун д п о сл е заж и ган и я плазмы им пульсом т о к а р а с п р е д е л е н и е п л о тн о с ти э л е к т р о н о в п с о о т в е т с т в у е т з а к о н у
n ( 0 = п (о ) ( 1 - С 2 ) , С = --- --- , гр ан и ц а а ч е р е з 40 м и лли секун д уже с о г л а с у е т с я с кривой
п ( с ) = п ( о ) ( 1 - С 2 )2 В р а б о т е [2 ] д е м о н с т р и р у е т с я , к а к р а с п р е д е л е н и е
0 m n (C ) = п(О) ( 1 - С 2 )
п о сл е н е к о т о р о го п е р е х о д н о г о режима с т а н о в и т с я стационарны м с ш = 3 /2 . Это может о з н а ч а т ь , ч т о е с л и п л о т н о с т ь п п о д ч и н я е т с я уравнению ди ф ф узи и , то коэффициент диффузии не б у д ет п осто ян н о й ве л и ч и н о й , а за в и с и т о т п , б олее т о г о , э т а з а в и с и м о с т ь и з м е н я е т с я во в р е м е н и .
При т е о р е т и ч е с к о м и ссл е д о в а н и и кон кр етн ы х ф и зи ч ески х п роб лем в к л а с с и ч е с к о й линейной м ат е м а ти ч е ск о й ф изике большую р о л ь играют м одельны е з а д а ч и . А втомодельны е реш ения нелинейных ур авн ен и й такж е м огут д а в а т ь очен ь ценную информацию о х а р а к те р н ы х о с о б е н н о с т я х и з у ч а е м о г о ф и зи ч е с к о г о про
ц е с с а . Т а к , в р а б о т е [3 ] р а с с м о т р е н а п р о с т а я м одель д л я диффузии плазмы п о п ер ек м агн и тн о го п о л я , а в р а б о т е [4 ] и с с л е д у е т с я у с т о й ч и в о с т ь авто м о дельны х решений и д о п о л н я е т с я м о д е л ь , у ч и ты вая по о ч ер ед и реком бинацию , п е р е за р я д к у и у х о д плазмы в д о л ь м а гн и т н о го п о л я . В р а б о т е [5 ]
х о т я и ф орм ально, при и зу ч ен и и р а с п р е д е л е н и я тем п ер ату ры о п и с ы в а е т с я ,
2
по су ти д е л а , т а же с а м а я м о д е л ь , к тому же в еще б о л ее общей п о с т а н о в к е . С ледует о т м е т и т ь , ч т о ссы лка на р а б о т у [ 5 ] д а е т с я т о л ь к о ради к р а т к о с т и , как на одну и з п о с л е д н и х р а б о т ц елой с е р и и . Из этой се р и и такж е я в с т в у е т больш ая ц е н н о с т ь авто м о д ел ьн ы х решений) они явл яю тся к а к бы х а р а к т е р и с т и ками или с е п а р а т р и с а м и , разделяющими р азн ы е н ап р авл ен и я протекающих в ср е д е вн у тр ен н и х п р о ц е с с о в .
Целью данной р а б о ты я в л я е т с я у то ч н е н и е и д альнейш ее и зу ч ен и е м о д ел и , данной в р а б о т а х , [ 3 ] , [4 ] с помощью р е з у л ь т а т о в и м е т о д о в , описанны х в р а б о т е [ 5 ] , а такж е с о п о с т а в л е н и е н еко то р ы х , р асчи тан н ы х на о с н о в е это й м о дел и , х а р а к т е р и с т и к с р е з у л ь т а т а м и э к с п е р и м е н т а .
1 . П о с т ан о в к а за д а ч и
Р а з в и в а я предложенную в р а б о т а х м од ел ь [ 3 ] , [4 ] в том же н а п р а в л е н и и , ч то в р а б о т е [ 5 ] , р а с см о тр и м у р а в н е н и е диффузии для ч а с т и ц i в п р и с у тс тв и и и с т о ч н и к а или с т о к а :
Э п .
= d i v [D g r a d n ± ] + F ( n ± ) ^ Предположим, ч то за в и с и м о с т ь коэф ф ициента диффузии о т п л о тн о сти и м еет вид с т е п е н н о й функции
D = DQn ° , dq = c o n s t . >0, о = c o n s t . ,
а и сто ч н и к или с т о к зад ад и м такж е в виде н е к о то р о й с т е п е н н о й функции
F = X n^, X = c o n s t . ,
гд е X б у д е т о п р е д е л я т ь приход или уход ч а с т и ц . Е сли , н ап ри м ер, в п л азм е од н о врем енно с диффузией п рои сход и т такж е и р е к о м б и н а ц и я , т о Х<0, ß = 2 ) есл и же п р ои схо д и т п р о ц есс и о н и за ц и и , т о Х>0) в с л у ч а е п е р е з а р я д к и части ц ы д а н н о го ти п а ум еньш аю тся, у < 0 , но п о к а з а т е л ь ß = l.
Для замы кания к р а е в о й з а д а ч и будем р а с с м а т р и в а т ь о б л а с т ь G с гран и ц ей Г, причем n ^ ( M , t ) , г д е М - т о ч к а п р о с т р а н с т в а , M€G+r, а н а ч а л ь н о е у с л о ви е зад ад и м в виде | t = 0 = к Ра е в о е у с л о в и е й ^ |м е г уточним п о зж е .
Вообще г о в о р я , функцию F с л е д о в а л о бы з а д а в а т ь в ви д е суммы F = E X . п . 1 ,ß i
i 1 1
3
п о скол ьку в п л азм е одн оврем ен н о п р о и сх о д и т н е с к о л ь к о п р о ц е с с о в . Можно та к ж е в в е с т и некоторую функцию вр ем ен и , м о д ел и р у я ф ен о м ен о л о ги ч ески н екоторы е н е названны е д о сих пор п р о ц ессы , влияющие на диффузию. В н астоящ ей р а б о т е , о д н а к о , о гр ан и ч и м ся лишь р а с см о тр е н и е м по о т д е л ь н о с т и п ер ечи сл ен н ы х выше п р о ц е с с о в .
С ледуя р а б о т е [ 5 ] , попы таем ся н ай ти реш ение у р а в н е н и я ( 1 ) методом р а з д елен и я пер ем ен н ы х . Будем р а с с м а т р и в а т ь то л ь к о сикпчетричные за д а ч и с о с е вой си м м етр и ей , и п л о т н о с т ь n ^ ( r , t ) п р е д ст а в и м в ви д е
п ± ( г , б ) = g ( t ) - f . ( 0 , 5 = ^ • ( 2 )
Т огд а о т н о с и т е л ь н о функции £ ^ ( 5 ) можно н а п и с ат ь обы кновенное д и ф ф ерен ц и ал ь
ное у р а в н е н и е следую щ его в и д а : 1 d
£ d£ L
Cf d f i
i dC О g
ФФ
а
d f .
dCÍ + A_ M l +° ) 2 ,6
Ф =
• 2
_ gcp ' l+ o
О g ■±' (3 )
П о сл ед н ее у р а в н е н и е по форме с о в п а д а е т с у р авн ен и ем (1 6 ) работы [ 4 ] , р а з л и ч и е с о с т о и т то л ь к о в н е к о то р о й п р о и зв о л ь н о ст и к о н с т а н т о и ß . Коэффициенты е г о з а в и с я т кроме н еза в и с и м о й п ерем енной £ еще и от врем ени t , п р о и зв о д н а я по котором у о б о зн а ч е н а т о ч к о й . Если ж е, с л е д у я м ет о д у р а з
д е л е н и я п ерем енны х, вы б р ать функции g ( t ) и cp (t) так и м и , чтоб ы коэффициенты у р авн ен и я (3 ) не за в и с и л и от в р е м е н и , получим п р е д с т а в л е н и е , п р и вед ен н о е в р а б о т е [ 5 ] .
Диффузионный п р о ц е с с , описываемый у р авн ен и ем (3)-, б уд ем р а с с м а т р и в а т ь как м одельны й, и покаж ем , ч т о кром е с в о й с т в , п ер ечи сл ен н ы х в р а б о т а х [ 3 ] и
[ 4 ] , он о б л а д а е т еще и рядом д р у г и х . Прежде в с е г о , при о п ред ел ен н ы х у с л о в и я х э то у р а в н е н и е может о п и с а т ь п р о ц е с с с о б о с т р е н и е м , а этим можно о б ъ я с н и т ь , наприм ер, н ако п л ен и е примесных атом ов в р ай о н е оси п л а зм е н н о го ш нура, ч т о , в конце к о н ц о в , п р и в е д е т к аном альном у охлаждению ц е н т р а л ь н о й ч асти п л азм ы . Но з а д а в а я р азны е начальн ы е р а с п р е д е л е н и я п л о т н о с т и , можно такж е и с с л е д о в а т ь и за в и с и м о с т ь коэф ф ициента диффузии от п л о тн о с ти ч а с т и ц .
2 . С в о й с тв а модели 2
У становим прежде в с е г о с в я з ь с р аб отам и [ 3 ] - [ 5 ] . Д оп у сти м , ч то в начальный момент врем ени и при А=0 р а с п р е д е л е н и е f ( £ ) = f ( o ) ( 1 - 5 ) , и э т о 2 р а с п р е д е л е н и е с о х р а н я е т с я во в с е последующие моменты в р е м е н и , пока с о х р а - н а я е т с я А=0. При э т о м , ко н еч н о , п л а зм а не о с т а е т с я в п о к о е , е е гр а н и ц а и п л о тн о с ть меняю тся с о г л а с н о уравнению ( 3 ) , т . е . ишутся авто м од ел ьн ы е реш ен и я, ур авн ен и е (3 ) должно у д о в л е т в о р и т ь с я заданным р а с п р е д е л е н и е м то ж д е с т в е н н о .
4
Это у с л о в и е п р и вед ет к то м у , ч то функции g ( t ) и cp(t) должны у д о в л е т в о р и т ь следующей с и с т е м е дифф еренциальны х уравн ен и й ( п о л а г а я , к а к и в р а б о т е [ 3 ] , ч т о а = 1 ) ;
9 = 4D
2 _2 О 2
Ф
»
= 2DoI
Из э т о й систем ы у р а в н е н и й , вы раж ая, н ап ри м ер, и з в т о р о г о у р а в н е н и я д , д л я <р можно н а п и с а т ь
.. • 2
ФФ + 3 ф = 0
Это у р а в н е н и е - в полных диф ф еренциалах (ф,ф=^0) , е г о общее реш ение и м еет вид
ф = ( с 0 + c 1t ) 1 / 4 ,
г д е CQ, - п р о и звольн ы е п о с то я н н ы е. С о гл асн о этом у решению д л я функции g получим :
С1 1
9 8Do ( c0+ c1t ) 1 / 2 '
ч т о н а х о д и тс я в полном с о г л а с и и с р а б о то й [ 3 ] , о с т а е т с я т о л ь к о с о о т в е т с т в у ю щим о б р а зо м п рон о р м и р о вать g и ф.
Чтобы у с т а н о в и т ь с в я з ь модели [ 3 ] с р а б о т о й [ 5 ] , д о с т а т о ч н о полож ить Х_
D,
e - ( i + o ) 2
g 4 ' ф 1,
и п о т р е б о в а т ь , чтобы д р у г и е коэффициенты у р а в н е н и я [3 ] не м ен ял и сь в о в р е м ен и . Т о гд а с точ н остью д о нормировки получим д л я g ( t ) и ф(Ъ) т е же в ы р а
ж ен и я, ч т о и в р а б о т е [ 5 ] . Из э т о г о о б с т о я т е л ь с т в а можно с д е л а т ь важный в и в о д : т а же с а м а я п р о ц е д у р а ч и с л е н н о г о а н а л и з а , ч т о была п р о в е д е н а в с ер и и р а б о т , п р е д с т а в л е н н о й в с т а т ь е [ 5 ] , применима и к данной м о д е л и .
Переходим т е п е р ь к рассм отрен и ю некоторы х и н тересн ы х с в о й с т в м одели ( 3 ) . а . / З а в и с и м о с ть D о т п , при А=0.
Д о п у сти м ,ч то при Х=0 р а с п р е д е л е н и е , т . е . а в т о м о д е л ь н о е решение у р а в н е ния (3 ) и м еет вид
f ( ü = f ( o ) ( l - c 2 ) m
9
(4 )
с неопределенны м п о к э а а т е л е м ш, и к а к предполож или за в и с и м о с т ь коэф ф ициен
т а диффузии о т п л о тн о с ти такж е я в л я е т с я п о к а з а т е л ь н о й функцией
О по D
( 5 )
5
Попытаемся найти с о гл а с о в а н н ы е зн а ч е н и я постоян н ы х о и т , при которы х у р а в нение (3 ) п р е в р а щ а е тс я в т о ж д е с т в о . Б ез о с о б о г о ущерба можно п р и н я ть f ( o ) = l и , п о д с т а в л я я вы раж ения (4) и ( 5 ) в ( 3 ) , н а п и с а т ь , умножая у р а в н е н и е (3 ) на
( l - £ 2 ) 1 - т :
- о т j о о т - 1
- 4 т ( 1 - £ ) + 4 m (om + m -l)t (1 -£ ;
2т ф<р F2 _ 1_ • ф / , f 2-.
D- о ^ D 9 1+0 к * '
О д О д
(6)
Если о т = 1 , д л я д в у х функций g и ф п о л у ч и т с я не больше д в у х условий» т о г д а 2 после соответствую щ и х выкладок можно н а п и с а т ь :
Ф g
1 о
4m (l+o)D ( V c i t ) 1 l+ o (7 )
И н тер есн о , ч то д л я э т и х решений при любых о ( и , с л е д о в а т е л ь н о , с о о т в е т с т в у ю щих га) коэффициенты у р авн ен и я (3 ) не з а в и с я т о т времени (данны е комбинации временных функций - п о с т о я н н ы е ).
Таким о бразом у р а в н е н и е (3 ) д а е т возм о ж н о сть оц ен и ть за в и с и м о с т ь коэф ф ициента диффузии о т п л о т н о с т и . Б о л ее т о г о , и зм е р я я к о н к р е т н о е р а с п р е д е л е н и е ч а с т и ц , можно с у д и ть о поведении плазмы в д а н н о й эк с п е р и м е н та л ьн о й с и т у а ц и и , с р а в н и в а я полученную зав и с и м о ст ь D (n) с выведенными при р азн ы х т е о р е т и ч е с к и х предполож ениях за в и с и м о ст я м и , к о г д а D можно п р е д с т а в и т ь в ви д е с т е п е н н о й фукнции о т п .
Д а л е е , если в ы б р ат ь функции g и ф т а к , чтобы 2
^ = c o n s t . , дф
1+ ^ = к 2 = c o n s t .
д д
т о э то с о о т в е т с т в у е т выбору их в в и д е с т е п е н н о й функции о т вр е м е н и , а именно
k l _ k 2 1
g = Ф г --- й---
Ф =
g =
12- ( 2 - ^ о ) ( к ^ + С х )
(2 ^ - о ) ( k , t + C , ) к1 2 je К2 " а
З д е с ь 2 — постоян н ы е и н т е г р и р о в а н и я , Путем со о тв етству ю щ его выбора к^ и к 2 з д е с ь можно п о л учи ть положительную или отри ц ател ьн у ю с т е п е н ь , т . е . возрастающую или убывающую функцию в р е м е н и . Если же отнош ение
к 1 / к 2< 0' т о знаки с т е п е н е й у функций g и ф п ротивополож ны е. Особый сл у ч ай будем и м е т ь , если в ы б р ат ь
6
В этом с л у ч а е получим п о к а за т е л ь н ы е функции
Ф С1е
k x ( t -
V
g с к2< ^ 0 )2 е
Таким о б р а з о м , н е к о т о р а я с в о б о д а в вы боре постоянны х к ^ , к 2 и С п о з в о л я е т с о г л а с о в а т ь м одельн ое у р а в н е н и е (3 ) с эксперим ентальны м и данными в принципи альн о р азн ы х реж им ах. Н апример, м одель может о т р а ж а т ь п р о ц е с с , к о г д а в р е м енная ч а с т ь функции п ( т . е . д ) р а с т е т с т е ч е н и ем времени к а к с т е п е н н а я ф ункция, т о г д а как гр а н и ц а плазмы ( т . е . ф ) д в и ж е т с я к о с и .
Дадим т е п е р ь н е к о т о р о е обобщение реш ен и я, д а н н о г о в р а б о т е [4 ] д ля с л у ч а я Х=0, о = 1 . Если о - п р о и зв о л ь н а я в е л и ч и н а ^ 1 э т о т с л у ч а й можно р а с с м о т р е т ь сп ец и ал ьн о , т о , та к в этом можно у б е д и т ь с я п о д с т а н о в к о й , а в т о м о д е л ьн о е решение у р а в н е н и я (1 ) в ц и л и н д р и чески х к о о р д и н а т а х имеет вид (D =an° ) s
n ( r , t ) (8)
гд е гр а н и ц а плазмы и з м е н я е т с я по за к о н у
2 2
г = г_
Р 0 1 + 4а 1+0 п0
1 1+0
(9 ) З д е с ь в и н т е р в а л е -1 < о < 0 у р а в н е н и е (8 ) на гр а н и ц е г-юг^ с т а н о в и т с я сингулярны м . К этом у во п р о су мы еще в е р н е м с я . В есьм а лю бопытно, о д н а к о , и т о , ч т о в уравн ен и и (9 ) коэффициент при врем ени t имеет о т р и ц а т е л ь н о е
з н а ч е н и е , т . е . г . со врем енем у м ен ьш ается и з а кон еч н о е вр ем я до хо д и т д о н у л я . Иначе г о в о р я , в р е м е н н ая ч а с т ь функции п л о тн о с ти со вр ем ен ем р а с т е т , как с т е п е н н а я ф ункция, о с е в а я п л о т н о с т ь у в е л и ч и в а е т с я . Не д в а в а я с ь п ока в глубокий а н а л и з д а н н о г о п р и м ер а, отм ети м т о л ь к о , ч т о , по к р а й н е й м е р е , н а к а к о й -т о с та д и и р а з в и т и я плазмы у в е л и ч ен и е о с е в о й п л о тн о сти возможно не то л ь к о б л а г о д а р я и о н и зац и и г а з а , но такж е и в с л е д с т в и е нели н ей н ой дифф узии.
Приведенную на р и с . 10 работы [2 ] за в и с и м о с т ь ne ( o , t ) можно о б ъ я с н и т ь и т а к б . / Модель при Х^О.
Если п о т р е б о в а т ь , чтобы коэффициенты у р а в н е н и я (3 ) не содерж али вр ем я, т о при \ ? 0 прежде в с е г о н еоб х оди м о , чтобы
g ß - ( l + a ) ф2 - = c o n s t .
( а )
7
Т о гд а д в а д р у ги х коэф ф ициента
o-ß' ■1 + 1+ o-g
2 ( б )
ФФ д °
= к. 1 + д - $ дд . 1 + 0 - В 2 _
0 2 g ß
дф 1+ 0
1+0—$ •
= д 2-— 1— = к, 3 _
1+ 0 О д В ' (в)
1+ 0-$ _
о тл и ч аю тся д р у г о т д р у г а т о л ь к о множителем — g—1-. (С л е д о в а т е л ь н о , н е з а в и с и м о с т ь коэф фициентов о т времени б у д ет о б е с п е ч е н а , е с л и вы брать
2— = k . = c o n s t . ,
g ß 2
и л и , и н те гр и р у я п о с л е д н е е вы раж ение,
i l - P g = [ (1 - В ) ( k 2 t + С2 ) ] -
С о гл а с н о условию ( а ) этим о п р е д е л я е т с я и функция ф, а у р а в н е н и е (3 ) п е р е х о д и т в соо тветствую щ ее н ели н ей н ое обы кновенное ди ф ф еренциальное у р авн ен и е р а боты [ 5 ] . Э то, о д н а к о , не е д и н с т в е н н а я возм ож н ость р а з д е л е н и я переменных в исходном диффузионном у р а в н е н и и .
Д ругая е с т е т с т в е н н а я возм ож н о сть - п ред п олож и ть, ч т о к а к о е - т о р а с п р е д е л е н и е f ( £ ) с о х р а н я е т с я з а в с е врем я с у щ е ств о в ан и я диф ф узионного п р о ц е с с а , и н а й т и , как при э то м будут м е н я т ь с я временные функции g и ф . Т а к , наприм ер, д о п у с т и м , ч то в у равн ен и и (3 )
f ( О = п0 ( я 2- е 2 )
(10)
т . е . с о х р а н я е т с я н е к о то р о е п а р а б о л и ч е с к о е р а с п р е д е л е н и е п л о тн о сти ч а с т и ц , а 6 - ч и с л о , о п р е д ел я е м о е п озж е. Т о гд а и з у р а в н е н и я (3 ) получим
- 4őD0 n£ ( И2 - К 2 ) + 4őD0 n ° [ б ( о + 1 ) - 1 ] С2—2 б 2 2 С2 (Л2- ? 2 / ^ + g
Q l 2 _ _ 2 - 6 о + ( $ - 1 ) б * 2 _ _ 2 - 6 о
* >"5 О gO +1-ß - “ я ( « 2- { 2 ) - О
( 1 1 ' )
8
Если предполож ить б о = 1 , то кром е с л а г а е м о г о с коэффициентом А в с е о с т а л ь ные сл агаем ы е со д ер ж ат т о л ь к о нулевую и вторую с т е п е н ь £ , и , е с л и А=0, т о д л я g и ф получим д в а дифференциальных уравн ен и я*
-4őD_nа _ дф_
0 0 а+1
g
= О,
4 6D „» + 4 í 2D0 n ° - И ^ Я д - О ,
g g
(1 2)
П оскольку 6=—, в т о р о е и з э ти х у р а в н е н и й , помножив на о , л е г к о п р е д с т а в и т ь в ви д е
d / - о 2 Ч ... о 1+0
a t ( g ф > = 4Do no — ' (1 2' )
с л е д о в а т е л ь н о
— = А + 4D(_n'? t , А = c o n s t ,
о О О о
g
Если и с п о л ь з о в а т ь и п е р в о е у р а в н е н и е , то д л я g и ф л е г к о получим выражения g =
[ A + ( l + o ) t ]
—j —, ф = B ^ [ A + ( l+ o ) t 1+0
1
11+0
гд е А, В и B^ - п остоян н ы е и н т е г р и р о в а н и я , которы е л е г к о о п р е д е л и т ь т а к , чтобы полученные функции со вп ал и с данными в у р а в н е н и я х (8 ) и ( 9 ) .
З д е с ь правые ч а с т и у равн ен и й ( б ) и (в ) не имеют см ы сла, но их левы е ч а с т и , с о г л а с н о ( 1 2 ) , равны постоян н ой в е л и ч и н е . Отметим, о д н а к о , ч т о в п р о с тр а н с тв ен н о м р а с п р е д е л е н и и в м есто единицы ф и гу р и р у ет в е л и ч и н а ц , 2 о т к о то р о й не з а в и с и т ход временных функций, п о с к о л ьк у э т а ве л и ч и н а не в х о д и т в у р авн ен и я ( 1 2 ) . С л е д о в а т е л ь н о , с и н г у л я р н о с т ь выражения (8 )п р и о т ри ц ательн ы х о можно у с т р а н и т ь .
У равнение ( 1 1 ') при бо=1 и м еет вид
4 _ 0 , о2 г 2 ч . 4 0 Г2 2 ф ф г 2 ,
“ 0 °0П0 (* ) + ~ 2 V o * " 0 — С +
о g
+ » " о “' 1 - s f i q i g
- 0 1 + 6 (8 - 1 ) ■ 2 9 ,
' ' -(« - t ) -
I
*
( 1 1 )
С о х р ан ять полином вт о р о й с т е п е н и в это м у р авн ен и и можно двум я сп о соб ам и : 0 = 1 , и 0+0=1. Если 6=1» т о получим си стем у
4 _ D_n_ +0 2 2 А 2 - - 0 0 0
g ° 4 _ D„n„ + —^ D_n0 4 гч
о 0 0 2 0 1
о 0 0+ 1
g g
= о . (1 3 ) Сложив эти д в а у р а в н е н и я , получим т о т же р е з у л ь т а т , ч т о и при сложении у р а в н е н и й ( 1 2 ) , т . е .
ФФ 2 ^ о
о о D0 n0 '
g ( 1 3 ' )
о д н а к о , вм есто ( 1 2 ') т е п е р ь п о л у ч а е т с я л и н ей н о е диф ф ерен ц и альн ое ур авн ен и е
d , - о 2ч . ■ о 1+0 . / —о 2ч d t (g ф ) = 4Do no — - Ха (g )
( 1 3 " )
Т е п е р ь и н те гр и р о в а н и е д а е т выражение
Ф _ - l o t g a = 0
C+4D, О 1+0 Г
опо — J
е A o t,. d t= е_ X a t [ c + 4 D„ n
L 0 0 АО2 a 1+a Xot
e
]•
г д е С- п р о и зв о л ь н ая п о с т о я н н а я . И сп ользуя ( 1 3 ' ) , можно п олучи ть
( 1 4 )
2 т,2
Ф = К „. о 1+0 Aot
C+4DOnO ~ 2Л О е
1+0
,
(1 5 )„о At
g = К е
« « W f f
1 1+0
( 1 6 )
1 0
Отметим, ч т о выражение ( 1 3 ') о з н а ч а е т , ч то л е в а я ч а с т ь у с л о в и я (б ) о п я т ь - п о с т я о н н а я в е л и ч и н а , о д н а к о , у р а в н е н и е (1 4 ) п о к а з ы в а е т , ч т о у с л о в и е (а ) не в ы п о л н я е т с я . П ервое у р а в н е н и е системы (1 3 ) п о к а зы в а е т ком би нированное и з ( а ) и (в ) у с л о в и е , при котором с о х р а н я е т с я за д а н н о е п р о с т р а н с т в е н н о е р а с п р е д е л е н и е .
Если 3=1, то в в о д я вм есто п н ово е р а с п р е д е л е н и е e'^t n ^ , и сх о д н о е диф
ф узионное у р а в н е н и е и н т е г р и р у е т с я и прямым с п о с о б о м , п р и вод я и с х о д н о е у р а в нение к случаю Д=0. Так или и н а ч е , реш ение и м еет ви д :
о 1
2
" ■ (*2 - № '
1 -4 1+а п0
Ао 2 г 0 2
/ A öt\
( 1 - е )
1+ 0 (1 7)
Если 3+ о= 1, то реш ения д л я врем енны х функций имеют следующий в и д : 2
2 _ =
gо + 4Do no О 1 + 0
Ха
[ A + 4Do n 0О 1 + 0
о
1+ 0
t ]
4 * 2DQn0 2 (2 0 + 1 )
О 1+Ö A+4D0 no l+ o
о
г д е А и CQ - постоянны е и н т е г р и р о в а н и я . В идно, ч то в э то м с л у ч а е решение за в и с и т о т Í .
ЛИТЕРАТУРА
[1 ] F u j is a w a e t a l . : The J . F . T . - 2 Tokamak E x p e r im e n t. P r o c e e d i n g s o f t h e F i f t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e on P la sm a P h y s i c s an d C o n t r o l l e d N u c le a r F u s i o n R e s e a r c h i n T o kyo, 1 1 -1 5 Novem ber 1 9 7 4 , V o l . l . p . 3 .
/ 1AEA-CN-33 / A l- 1 / V ie n n a , 1975
[2 ] А .Б . Б ер л и зо в и д р . : Р е зу л ь т а т ы первых э к сп ер и м ен то в н а у с т а н о в к е Т о к а м а к -Ю . Атомная э н е р г и я , т . 4 3 , в . 2 , а в г у с т 1977 , с т р . . 9 0 -9 9 [3 ] В.Ф . А л екси н , Н.А . Хижняк: С б. "Физика плазмы и проблемы у п р а в л я е м о го
т е р м о я д е р н о го с и н т е з а " , с т р . 3 3 2 - 3 3 6 , и з д . АН УССР, К и е в , 1 9 6 3 .
[4 ] Н.А . Хижняк: Диффузионное расш ирение п л а зм е н н о го с г у с т к а в ведущем п ро
дольном м агнитном п о л е , Ж .Т .Ф ., т . Х , в . 8 / 1 9 7 0 / , с т р . 1 6 2 5 -1 6 3 1 .
[5 ] С .П . Курдюмов, Г .Г . М алинецкий, Ю.А. Повеш енко, Ю.П. П опов, А .А . С ам арский:
В заи м о д ей стви е тепловы х с т р у к т у р . Перпринт № 77 з а 1978 г . И н сти ту та при
кл ад н ой м атем ати ки АН СССР.
K i a d ja a K ö z p o n ti F i z i k a i K u ta tó I n t é z e t F e l e l ő s k i a d ó : S z e g ő K á ro ly
S zakm ai l e k t o r : K ard o n B é la N y e lv i l e k t o r : V a n d lik J á n o s n é
P é ld á n y s z á m : 310 T ö rz s s z á m : 7 9 -8 4 8 K é s z ü l t a KFKI s o k s z o r o s í t ó üzem ében B u d a p e s t, 1 9 7 9 . novem ber hó
