11 parameter type" expansion, * which may

(1)

A G E N E R A L I Z A T I O N O F P O I S E U I L L E A N D C O U E T T E F L O W S

§ 1. P R E L I M I N A R I E S 1.1 I n t r o d u c t i o n

T h e b e h a v i o r o f t h e P r a n d t l l i m i t [ 1 ] n e a r t h e p o i n t o f z e r o s k i n f r i c t i o n i s a c r u c i a l p i e c e o f t h e s e p a r a t i o n p r o b l e m . I t w a s m a d e r e a s o n a b l e b y G o l d s t e i n (1948) t h a t a c e r t a i n a l g e b r a i c s i n g u l a r i t y e x i s t s a t t h e p o i n t o f z e r o s k i n f r i c t i o n w h i c h w o u l d b e o f c o n s i d e r a b l e c o n s e q u e n c e i n s e p a r a t i o n t h e o r y . W e b e l i e v e t h a t t h e s i n g u l a r i t y i s o f f u n d a m e n t a l i m p o r t a n c e ; i n p a r t i c u l a r , m o r e d e f i n i t e i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g t h i s s i n g u l a r i t y i s n e c e s s a r y f o r a s o l u t i o n f o r t h e f l o w n e a r t h e s e p a r a t i o n p o i n t a n d t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e b a s i c m e c h a n i s m o f s e p a r a t i o n . T h e p r i n c i p a l p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r i s t h e r e f o r e t o c l a r i f y t h e n a t u r e o f t h e s i n g u l a r i t y a n d t o e s t a b l i s h t h e r e s u l t w i t h a s m u c h c e r t a i n t y a s p o s s i b l e .

T h e p r o b l e m w a s a p p r o a c h e d b y G o l d s t e i n o n t h e b a s i s o f a n e x p a n s i o n f o r χ • 0 h o l d i n g y / x V 4 f i x e d . T h i s , h o w e v e r , i s a n e x p a n s i o n o f t h e " c o o r d i n a t e t y p e " a n d i t s t r e a t m e n t b y p e r t u r b a t i o n m e t h o d s i s s u b j e c t t o t h e u s u a l d i f f i c u l t i e s . I n f a c t , n o v e r y g o o d m e t h o d s a r e a v a i l a b l e f o r e s t a b l i s h i n g s u c h a n e x p a n s i o n . W e s h a l l t h e r e f o r e c o n s i d e r h e r e a r e l a t e d p r o b l e m a m e n a b l e t o t r e a t m e n t b y a

1 1

p a r a m e t e r t y p e " e x p a n s i o n , * w h i c h m a y b e c a l l e d

1 1

t h e p r o b l e m o f s m a l l i n i t i a l s k i n f r i c t i o n " : A f a m i l y o f v e l o c i t y p r o f i l e s u = U ( y , a) d e p e n d i n g on a p a r a m e t e r a, i s p r e s c r i b e d a l o n g t h e i n i t i a l l i n e

( χ = 0, y > 0 ) a n d t h e u s u a l c o n d i t i o n s a r e i m p o s e d a t t h e w a l l ; a n

1 1

a d v e r s e " p r e s s u r e g r a d i e n t , θ ρ / θ χ = 1 , i s

* T h e e s s e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e n c o o r d i n a t e a n d p a r a m e t e r t y p e e x p a n s i o n s i s e x p l a i n e d b y C h a n g (1961).

(2)

F L U I D M E C H A N I C S A N D S I N G U L A R P E R T U R B A T I O N S

p r e s c r i b e d . T h e f a m i l y U ( y ; a ) i s s u c h t h a t t h e i n i t i a l s k i n f r i c t i o n , U

f

( 0 ; a ) , d e c r e a s e s t o z e r o a s a d e c r e a s e s t o z e r o . S e p a r a t i o n t h e n i n g e n e r a l o c c u r s a s h o r t

d i s t a n c e d o w n s t r e a m . U n i f o r m e x p a n s i o n s o f t h e e x a c t s o l u t i o n w h i c h i n c l u d e t h e p o i n t o f s e p a r a t i o n m a y t h e n b e o b t a i n e d f o r a \ 0.

T h e f o l l o w i n g p o i n t s o f c a u t i o n m a y b e m e n t i o n e d : F i r s t , o n l y a c e r t a i n ( b r o a d ) c a s e o f i n i t i a l p r o f i l e s w i l l b e s t u d i e d . T h e p r i n c i p a l q u e s t i o n w i l l t h e r e f o r e u l t i m a t e l y b e w h e t h e r t h e s i n g u l a r i t y i n o u r s o l u t i o n i s o f t h e s a m e n a t u r e a s t h a t i n a n

1 1

o r d i n a r y " P r a n d t l l i m i t . T h i s w i l l b e d i s c u s s e d a p o s t e r i o r i i n S e c t i o n 1. 3 b . S e c o n d , t h e p r e s e n t e x p a n s i o n i s ( c o n t r a r y t o a h i g h l y m i s l e a d i n g a p p e a r a n c e ) n o t m e r e l y a " G o l d s t e i n e x p a n s i o n " w i t h a r t i f i c i a l p a r a m e t e r , but a p p a r e n t l y a m u c h f u l l e r e x p a n s i o n . T h i s , h o w e v e r , i s n o t a p p a r e n t u n t i l t h e t h i r d t e r m ( ! ) . T h e t h i r d t e r m i s o f e s s e n t i a l i m p o r t a n c e .

1. 2 T h e E x a c t S o l u t i o n a n d G e n e r a l I n f o r m a t i o n T h e e x a c t s o l u t i o n i s d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n

^ y ^ x y " ^ x ^ y y = -

a

+ ^ y y y ί

1

·

1

) ( w h e r e a = c o n s t . > 0 ) w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

u = ν = 0 a t y ' = 0, χ > 0 ( 1 . 2 a ) a t t h e w a l l ; o n t h e i n i t i a l l i n e w e p r e s c r i b e

u = U ( y ; a ) a t χ = 0, y > 0 ( 1 . 2 b ) w h e r e Ό(γΐα ) i s a g i v e n f a m i l y o f p r o f i l e s d e p e n d i n g o n a p a r a m e t e r a ( U > 0 ) , s u c h t h a t

U = 0

1

\ a t y = 0 ( 1 . 2 c ) d U / d y = a J

F i n a l l y , t h e s i n g u l a r i t y ( o r n o s i n g u l a r i t y ) a t t h e o r i g i n m u s t b e s e l e c t e d . T h e e x a c t s o l u t i o n , φ ( x , y ; a), s h o u l d t h e n b e d e t e r m i n e d u n i q u e l y i n t h e s t r i p w h e r e u r e m a i n s n o n - n e g a t i v e ( w h i c h i s t h e r e g i o n o f i n t e r e s t h e r e .

(3)

F o r g e n e r a l i n f o r m a t i o n , w e a d d t h a t E q . ( 1 . 1) i s i n v a r i a n t u n d e r

y = 6 y , χ = δ

4

χ , φ=δ

3

ψ, ( 1 . 3 )

a n d a l s o t h e f o l l o w i n g l e s s e r i t e m s :

1. T h e v o n M i s e s t r a n s f o r m a t i o n o f E q . ( 1 . 1) i s

u u

x

= - a + u ( ^ ) ( 1 . 4 a )

Θφ = ^ / " ^ χ

w h e r e Θ

= v / u (lo 4 b ) T h e a r b i t r a r y f u n c t i o n , Θ

0

( χ ) , a r i s i n g i n t h e i n t e g r a t i o n of E q . ( 1 . 4 b ) w i t h r e s p e c t t o φ r e p r e s e n t s t h e p o s s i b l e m a p p i n g s o f t h e s o l u t i o n u = f η ( χ , φ ) o f E q . ( 1 . 4 a ) i n t o t h e p h y s i c a l p l a n e ( a n d m a y b e t h o u g h t o f a s t h e a n g l e p r e s c r i b e d a l o n g a g i v e n s t r e a m l i n e , e . g. φ = 0 ) . I t r e p r e s e n t s t h e f a c t t h a t i f φ ( x , y ) i s a s o l u t i o n of

E q . ( 1 . 1 ) t h e n φ ( x , y - h ( x ) ) , w h e r e h ( x ) i s a r b i t r a r y , i s a l s o a s o l u t i o n ( c a l l e d a d i s p l a c e d s o l u t i o n ) . I t i s o f t e n c o n v e n i e n t t o r e g a r d s o l u t i o n s of E q . ( 1 . 1 ) w h i c h a r e

11

c o n g r u e n t " u n d e r s u c h a d i s p l a c e m e n t a s e q u i v a l e n t ; t h e b a s i c i n v a r i a n t i s t h e n t h e v o n M i s e s s o l u t i o n ,

u = f n ( x , φ ) .

2. T h e i n i t i a l p r o f i l e , u = U ( y ; a), d e t e r m i n e s c o m p l e t e l y t h e T a y l o r e x p a n s i o n o f φ w i t h r e s p e c t t o x , e x c e p t f o r a n a r b i t r a r y d i s p l a c e m e n t o f φ ( t h i s i s c l e a r b y i n s p e c t i o n f r o m E q . ( 1 . 4 a ) ) . H o w e v e r , i n g e n e r a l t h e s o l u t i o n i s n o t e q u a l t o t h e s u m o f i t s T a y l o r e x p a n s i o n n e a r t h e i n i t i a l l i n e b e c a u s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e i n d e p e n d e n t l y p r e s c r i b e d ; a q u a s i - a n a l y t i c s i n g u l a r i t y m u s t t h e n a r i s e a t t h e i n i t i a l l i n e , a n d an a l g e b r a i c s i n g u l a r i t y a t t h e o r i g i n . I n t h e s p e c i a l c a s e w h e r e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d b y t h e T a y l o r s e r i e s d e t e r m i n e d b y t h e p r o f i l e , t h e p r o f i l e a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s a i d t o b e

1 1

c o m p a t i b l e " a n d t h e w e l l k n o w n c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s h o l d . T h e s e c o n d i t i o n s r e p r e s e n t f u n d a m e n t a l l y n o t t h e r e g u l a r i t y o f φ a t y = 0 but

t h e f a c t t h a t t h e l i n e u = 0 c o i n c i d e s w i t h a l i n e φ = c o n s t a n t [ 2] ( t h i s i s t h e i n v a r i a n t s i g n i f i c a n c e ) . I f t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d t o o r d e r η a t a p o i n t , t h e n

(4)

t h e t w o l i n e s m a k e n

th

o r d e r c o n t a c t a t t h e p o i n t i n q u e s t i o n .

F o r t h e r e c o r d , w e b r i e f l y n o t e a n u m e r i c a l w a y o f p r o d u c i n g t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s : R e p e a t e d d i f f e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o y a n d u s e of c o n t i n u i t y e q u a t i o n

g i v e s t h e s e q u e n c e o f e q u a t i o n s

u u

x

+ ω ν = ωι - a

\ ι ω

χ

+ 0 + ω ^ ν = ω

π ω 2

1 χ

+ ω ω

χ "

ω

1

π

χ

+ ω

2

ν

~

ω

3

α ω

2 χ

+ 2 ω ω

ΐ χ

+ 0

"

2 ω

2

u

x

+ ω

3

ν = ω

4 e t c .

w h e r e ω = U y , ω^ = U y y , a n d ω

η

^{^ = t o}

+ n

y . T h e s e e q u a t i o n s m a y b e a r r a n g e d i n a t a b l e

U ω

ω

1 ω

2

^ω

3

^α>4 ^{e t c .}

u u

x

^{- ω ν} ^{=ω^ - a}

ω

1 χ ι ι ω

χ

ω π

χ - ω ^ ν = ω

2

W2x UUJ

1X

^{ω ω}

χ

^ωχΐΐχ ^{- ω}

2

^ν ^{= ω}

3 ω

3 χ

u u

2 x ω ω

1χ ω

1

ω

χ ω

2

^u

x

^{- ω}

3

^ν ^{= ω 4}

w h e r e i n e a c h b o x t h e t e r m s on t h e l e f t a r e t h e s a m e i n c o l u m n s a n d t h o s e on t h e r i g h t i n d i a g o n a l s . T h e c o e f f i c i e n t s f o r m a c o r r e s p o n d i n g t a b l e

( n e x t p a g e )

(5)

U ω

ω

1 ω

2

^ω

3

1 -1

ω

1 χ 1 0 -1

ω

2 χ 1 1 -1 -1

ω

3 χ 1 2 0 -2 -1

w h e r e a l l r o w s s t a r t w i t h 1 a n d e n d w i t h -1 a n d t h e n u m b e r s a r e t h e s u m s o f t h e b o x e s

1 1

o n e up" a n d " o n e up a n d o n e t o t h e l e f t " · L e t ν = u = u

x

^{= u}

xx

= . . . = 0 a t y = 0;

a s h o r t s t u d y o f t h e t a b l e s t h e n g i v e s t h e c o m p a t i b i l i t y x x c o n d i t i o n s , n a m e l y

ωχ = a

= 0

= 9 a / 4 ω 6 +

ω ( 1 . 5 )

10

= ο

= 1 8 a /

U 9 + 2

6 ( ^ i ) •!.(£)]

+ 2 7 » / ω Γ ι ο , + 2 0 (

Μ

6 " 3 ) + 27 ( ^ " 3 ) 1

s a t i s f i e d b y t h e ω

η

a t t h e w a l l ; h e r e , e v e r y t h i r d c o e f f i c i e n t ,

ω

3 »

ω

6 »

ω

9 » ^

s

a r b i t r a r y w h i l e t h e r e s t a r e d e t e r m i n e d . T h e s e c o n d i t i o n s , h o w e v e r , w i l l n o t b e of m a i n i m p o r t a n c e i n o u r d i s c u s s i o n .

(6)

1» 3 T h e C h o i c e o f t h e F u n c t i o n U ( y ; a)

T h e h e u r i s t i c r e a s o n s f o r t h e c h o i c e o f U a r e r o u g h l y t h e f o l l o w i n g .

1. 3a T h e r e c t a n g l e s . T h e r e g i o n s s t u d i e d w i l l b e t h e s m a l l " r e c t a n g u l a r " n e i g h b o r h o o d s o f t h e p o i n t at t h e o r i g i n , g i v e n b y

y = δ ( α ) y ; χ = δ' (<*)χ ( 1 . 6 ) w h e r e δ » δ ' a r e p o s i t i v e f u n c t i o n s o f a t e n d i n g t o z e r o a s a } 0. T h e c h o i c e o f δ' i s d e t e r m i n e d b y t h e r e q u i r e  m e n t t h a t t h e l e a d i n g t e r m b e g o v e r n e d b y t h e f u l l E q . (1. 1).

W e m u s t t h e n t a k e δ' = δ

4

( 1 . 7 ) ( c f . E q . ( 1 . 3 ) ) . T h e f u n c t i o n i s t o b e a r b i t r a r y , i . e .

w e s h a l l s t u d y t h e l i m i t s o f ψ ( w h e r e ~φ = φ/b^) f o r s u c h n a r r o w r e c t a n g l e s o f d i f f e r e n t o r d e r s o f m a g n i t u d e .

δ ' = δ

4

F i g . 1

T h e b o u n d a r y a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s o n χ = 0, y > 0 a n d y = 0, χ > 0 d e t e r m i n e s o l u t i o n s o f E q . ( 1 . 1) u n i q u e l y ( s a v e f o r t h e s i n g u l a r i t i e s a t t h e o r i g i n ) a n d h e n c e w e e x p e c t t h a t t h e e x p a n s i o n s f o r φ f o r e a c h r e c t a n g l e w i l l b e c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e s i n g u l a r i t y at t h e o r i g i n a n d a c o r r e s p o n d i n g e x p a n s i o n o f U ( y ; a). S i n c e e x p a n s i o n s f o r t h e r e c t a n g l e s a r e " s e l f - d e t e r m i n a t e " i n t h i s s e n s e , i t w i l l b e s u f f i c i e n t t o c o n s i d e r t h e r e c t a n g l e c o n t a i n i n g

(7)

s e p a r a t i o n ( t h e e x p a n s i o n m a y t h e n a l w a y s b e m a t c h e d t o t h a t f o r t h e " s t r i p " y f i x e d , χ = δ χ ) · H e n c e , f o r e x a m p l e , t h e p o l y n o m i a l i n i t i a l p r o f i l e s a r e " r e p r e s e n t a t i v e " .

1. 3b T h e o r d i n a r y P r a n d t l l i m i t . A s m e n t i o n e d , w e s t r e s s t h e f a c t t h a t t h e e x p a n s i o n i n a i s n o t m e r e l y a

" G o l d s t e i n e x p a n s i o n " w i t h a n a r t i f i c i a l p a r a m e t e r but a f u l l e r e x p a n s i o n w h i c h m a y b e r e g a r d e d a s ( n e a r l y ) t h e

" e x a c t s o l u t i o n " f o r f i x e d a ; t h e b e h a v i o r n e a r s e p a r a t i o n i s t h e n t o b e d e t e r m i n e d f r o m t h i s " e x p l i c i t " s o l u t i o n . T h e b e h a v i o r n e a r s e p a r a t i o n f o r f i x e d a s h o u l d t h e n b e e s s e n t i a l l y i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f t h e i n i t i a l p r o f i l e .

H o w e v e r , w e s h a l l e x p l i c i t l y t r e a t h e r e o n l y a c e r t a i n c l a s s o f p r o f i l e s a n d h e n c e t h e q u e s t i o n w i l l a l w a y s a r i s e w h e t h e r t h e p r o f i l e s a r e " r e p r e s e n t a t i v e " . T h i s s h o u l d b e d e c i s i v e l y s e t t l e d b y c o m p u t a t i o n . A p r i o r i , h o w e v e r , t h e f o l l o w i n g m a y b e s a i d . T h e p r o f i l e s a r e s e l e c t e d f o r a n i c e , " f u l l " e x p a n s i o n i n a . A s w a s j u s t s h o w n , e x p a n d e d ( o r e v e n p o l y n o m i a l ) p r o f i l e s a r e " r e p r e s e n t a t i v e " . T h e s i t u a t i o n e x i s t i n g i n a n o r d i n a r y P r a n d t l l i m i t m a y ,

h o w e v e r , b e d e s c r i b e d f o r c o m p a r i s o n :

L e t a = f η ( x ) a n d l e t t h e f a m i l y o f p r o f i l e s XJ(y;a) b e t h e s a m e a s t h e f a m i l y u = f ( y , x ) i n a g i v e n P r a n d t l l i m i t n e a r s e p a r a t i o n [ 3] . F o r f i x e d a , U t h e n h a s a n e x p a n s i o n of t h e f o r m

U ( y ; o r ) = a y + I a y

2

+ ^ a

n

( o < ) y

n

/ n ! ( 1 . 8 a ) 4

w h e r e t h e a

n

( n > 4 ) d e p e n d o n a a n d a i s a c o n s t a n t d e f i n e d i n E q . ( 1 . 1). A s s e p a r a t i o n i s a p p r o a c h e d , h o w e v e r , t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s , E q . ( 1 . 5 ) , " b l o w u p "

s i n c e ω I 0 ; i n p a r t i c u l a r t h e a

n

a r e e i t h e r a l l z e r o ( n > 4 ) o r t e n d t o oo a s a t e n d s t o z e r o . H e n c e U ( y ; ot ) m u s t h a v e s o m e s o r t of n o n u n i f ο r m i t y a t y = 0. T h e s i t u a t i o n c o u l d b e m o r e p r e c i s e l y d e s c r i b e d b y t h e s t a t e m e n t t h a t i f XJ{y;a) h a s a n " o u t e r e x p a n s i o n " [ 4 ] , i . e . f o r y f i x e d , ûf t 0 o f t h e f o r m

U - U

G

( y ) + ^ ( o - J U ^ y ) + . . .

a n d i f th e U

n

a r e r e g u l a r a t y = 0 , t h e n t h i s e x p a n s i o n c a n n o t b e u n i f o r m t o a l l o r d e r s ; i t m u s t h a v e a " b o u n d a r y l a y e r " o f s o m e s u i t a b l e s m a l l " a m p l i t u d e " . T h e t r a n s -

(8)

FLUID M E C H A N I C S A N D S I N G U L A R PERTURBATIONS

f o r m a t i o n E q . ( 1 . 3 ) w i t h 6 = & , h o w e v e r , s e n d s E q . ( 1 . 8 a ) i n t o

1 2 V" η

ϋ(γ,α) = y +

?

a y + 2 ^rJ / η ! ( 1 . 8 b ) A

and the a

n

a r e n o w g i v e n b y a

n

^{( a ) =}^I

n

^{^}

2

"

n

( n > 4) ( 1 . 8 c ) But the s k i n f r i c t i o n i s n o w b y d e f i n i t i o n u n i t y a n d h e n c e the d i f f i c u l t y w i t h s m a l l ω d i s a p p e a r s . T h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s m a y n o w b e s a t i s f i e d i n s e v e r a l o b v i o u s w a y s :

C a s e 1: â"

n

i n d e p e n d e n t o f a . T h i s c l e a r l y c o r r e s p o n d s t o

l i m U = f ( y ) ( 1 . 9 ) y f i x e d

a • 0

w h e r e f i s a " n o n - t r i v i a l " f u n c t i o n o f a .

C a s e 2 : a"

n

s m a l l ( n > 4 ) . T h i s c o r r e s p o n d s t o 1

2

Û = y + j a y + o ( l ) ( 1 . 10a ) w h e r e th e t e r m o ( l ) t e n d s t o z e r o u n i f o r m l y i n 0 < ^ y < _ C ( f o r a n y C n o m a t t e r h o w l a r g e ) . H e r e , th e c o e f f i c i e n t o f y m u s t o f c o u r s e b e o n e b y d e f i n i t i o n an d tha t o f y

2

i s f i x e d b y t h e p r e s s u r e ; ^ " 3 = 0 ( c f . E q . ( 1 . 5 ) ) ; â" 4 i s t h e n the f i r s t t e r m w h i c h c a n b e m a d e s m a l l . A s h o r t s t u d y o f the t a b l e s an d E q . ( 1 . 5 ) t h e n r e v e a l s tha t th e h i g h e r - o r d e r â"

n

!

s t h e n f o l l o w v e r y n i c e l y b e c o m i n g s m a l l e r an d s m a l l e r i n p o w e r s o f a* 4 . A s w i l l b e c l e a r l a t e r , t h i s r e p r e s e n t s a c e r t a i n c l a s s o f f l o w s w h i c h m a y b e c a l l e d

" p e r t u r b e d C o u e t t e - P o i s e u i l l e f l o w s " , h e n c e t h e r e i s n o d i f f i c u l t y w h a t e v e r w i t h th e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s . T h e e s s e n t i a l c o n d i t i o n f o r E q . ( 1 . 10a ) i s tha t "a ^ b e s m a l l , i . e . , e q u i v a l e n t l y , tha t

o r d a

4

( c O < o r d a '

2

( 1 . 1 0 b ) N o t e t h a t a

4

m a y t h e n b e o f o r d e r o n e ( a l s o n o t e a

4

⁼^{ω ω}

χ

^{) .}

(9)

T h i s c a s e i s p a r t i c u l a r l y a p p e a l i n g s i n c e i t s e e m s t o b e d i s t i n c t l y the s i m p l e s t c a s e i n w h i c h t h e d i f f i c u l t i e s w i t h c o m p a t i b i l i t y d i s a p p e a r a n d w h i c h a p p e a r s t o b e c o n s i s t e n t i n l i g h t of the l i m i t e d i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e . T h i s i n d e e d s e e m s t o b e the b a s i s of G o l d s t e i n

1

s

e s t i m a t i o n of t h e b e h a v i o r o f the o r d i n a r y P r a n d t l l i m i t . ( G o l d s t e i n

1

s e s t i m a t i o n p r o c e e d s e s s e n t i a l l y a l o n g t h e s e l i n e s ; f o r a r g u m e n t s c o n c e r n i n g " c o n s i s t e n c y " of t h i s c a s e , cf. G o l d s t e i n , o p . c i t . ) N o t e t h a t U ( y ; a) i s t h e n r e g u l a r t o that o r d e r a n d t h e " n o n - u n i f o r m i t y " w o u l d b e of a h i g h e r o r d e r .

It i s a l s o not s h o w n i m p o s s i b l e t h a t :

C a s e 3: a

n

s m a l l (n > m > 4 ) . T h i s i n t e r m e d i a t e c a s e m i g h t , h o w e v e r , b e p r e c l u d e d b y a s t u d y o f the t a b l e s , s i n c e i f s o m e of t h e "â"

n

a r e not z e r o , t h e n o t h e r s m i g h t h a v e t o f o l l o w s u i t f o r l a r g e η .

C a s e 4 : a

n

l a r g e . T h i s c o r r e s p o n d s t o l a r g e "ψ

9

w h e r e ψ = ψ/δ·^.

C a s e 5: S u b l a y e r . I n p r i n c i p l e i t m a y b e p o s s i b l e (but n o t r e a s o n a b l e ) t h a t t h e r e i s a n o n - u n i f o r m i t y a t y = 0.

1. 3c T h e c h o i c e o f U . T h e e x p a n s i o n p r o c e d u r e s f o r lp , u s i n g i n i t i a l p r o f i l e s U(y;a) w h i c h w o u l d b e " r e p r e 

s e n t a t i v e " o f t h e p o s s i b l e c a s e s 1 t o 5 w o u l d d i f f e r f r o m c a s e t o c a s e . A s a l r e a d y s t a t e d , t h i s d o e s n o t n e c e s s a r i l y i m p l y t h a t t h e b e h a v i o r n e a r s e p a r a t i o n p o i n t f o r ca f i x e d w o u l d b e d i f f e r e n t i n t h e s e c a s e s , but o n l y t h a t t h e

e x p a n s i o n i n a w o u l d b e d i f f e r e n t i n e a c h c a s e . T h e p r o  f i l e s s e l e c t e d w i l l , h o w e v e r , b e " r e p r e s e n t a t i v e " o f C a s e 2 .

T h e f u n c t i o n U ( y ; a) w i l l b e p r e s c r i b e d a s _ χ 2 4

U = y + j a y + Έ

4

(α)γ / 4 ( 8 = a) (1.11a) w h e r e â"^ i s s m a l l . T h e e s s e n t i a l f a c t h e r e i s t h a t

U = y + 1/2 a y

2

+ o ( l ) i n t h e r e c t a n g l e δ = <* a n d t h a t t h e t h r e e t e r m s o f E q . ( 1 . 11a) d o m i n a t e U i n t h e s o m e w h a t l a r g e r r e c t a n g l e i n w h i c h s e p a r a t i o n t a k e s p l a c e . T h e s m a l l t h i r d t e r m i s n e c e s s a r y f o r s e p a r a t i o n , s i n c e t h e f i r s t t w o t e r m s p r o d u c e m e r e l y a c e r t a i n " s h e a r f l o w "

i n d e p e n d e n t o f χ ( c a l l e d h e r e C o u e t t e - P o i s e u i l l e F l o w ) . I f

(10)

€

( < * ) a

4

( 1 . l i b )

w h e r e i s a c o n s t a n t , a n d e ( # ) t e n d s t o z e r o a s a • 0, s e p a r a t i o n t a k e s p l a c e i n t h e r e c t a n g l e δ = tf/c ; t h e r e , E q . ( 1 . 11a) h a s t h e f o r m

U = j a y

2

+ € y + e

2

a 4 y

4

/ 4 ! ( 1 . 1 1 c ) w h i c h s h a l l b e c a l l e d t h e s t a n d a r d f o r m o f E q . ( 1 . 11).

T h u s f i n a l l y w e c a n d r o p t h e b a r s a n d s e t t l e d o w n t o t h e s t u d y o f t h e f o l l o w i n g e x a c t s o l u t i o n o f t h e b o u n d a r y - l a y e r e q u a t i o n s , φ ( x , y ; € ) :

^ y ^ x y " < M y y a + φ y y y u = v = 0 a t y = 0, χ > 0 u = U ( y ; € ) a t χ = 0, y > 0 U ( y ; € ) = y a y

2

+ € y + €

2

a

4

^y

4

/ 4 ,

( 1 . 12a) ( 1 . 12b) ( 1 . 1 2 c )

a^ = c o n s t a n t ( 1 . 12d) S i n g u l a r i t i e s a t χ = y = 0 t o b e

p r e s c r i b e d ( 1 . 1 2 e )

* I f o r d à~4 < o r d ( i . e . i f o r d a 4 < o r d #

2

, cf. E q . (1. 8 c ) ) , i t w o u l d b e s e n s e l e s s t o a s s u m e t h a t " t h e t h r e e t e r m s of E q . ( 1 . 11a) d o m i n a t e U i n the r e c t a n g l e i n w h i c h s e p a r a t i o n t a k e s p l a c e " , s i n c e δ w o u l d t h e n b e o f o r d e r o n e o r g r e a t e r . T h i s , h o w e v e r , l e a v e s p l e n t y o f r o o m ( c f . E q . ( 1 . 10b) e t . s e q . ) ; f u r t h e r m o r e , t h e " s m a l l t h i r d t e r m " p r o d u c i n g s e p a r a t i o n c o u l d e q u a l l y w e l l b e t a k e n a s Έηγ^/ΐ\ o r e v e n a s € (a) f ( y ) w i t h o u t e s s e n t i a l l y a l t e r i n g t h e f o r t h c o m i n g t h e o r y .

(11)

§ 2 . T H E E X P A N S I O N F O R S M A L L *

2. 1 T h e L i m i t , U n i f o r m i t y , E q u a t i o n s a n d C o n d i t i o n s I n t h e r e c t a n g l e δ = 1 i t i s c l e a r t h a t ψ t e n d s t o a l i m i t \JJQ ( X , y ) . ψ

0

i s t h e n a s o l u t i o n o f t h e f u l l e q u a t i o n

^ O y ^ o x y - ^ O x ^ O y y

=

"

a +

^0 y y y (

2

·

l a

) W e " s a y " t h a t t h e l i m i t i s u n i f o r m a t t h e w a l l a n d a t t h e i n i t i a l l i n e ; u

0

^{a n d v}

0

m u s t t h e n s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s u

0

^{= j a y}

2

a t χ = 0, y > 0 ( 2 . l b ) u

0

^{= v}

0

= 0 a t y = 0, χ > 0 ( 2 . l e ) F i n a l l y , t h e s i n g u l a r i t y a t t h e o r i g i n i s c h o s e n a s n o n e ( t o o r d e r o n e ) a n d i t t h e n f o l l o w s t h a t

1 7

i . e . t h e l i m i t i s t h e s o - c a l l e d C o u e t t e - P o i s e u i l l e F l o w ( w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f x ) .

U n i f o r m i t y . A s w i l l b e e v e n t u a l l y o b v i o u s , t h e l i m i t E q . ( 2 . 2 ) i s a c t u a l l y u n i f o r m a n d t h e e n t i r e e x p a n s i o n i s i n f a c t a n o r d i n a r y p e r t u r b a t i o n p r o b l e m ; h o w e v e r , t h e u n i f o r m i t y o f t h e e x p a n s i o n i s p e r h a p s n o t a s o b v i o u s a p r i o r i a s m a y b e d e s i r e d . F i r s t , i t m a y b e n o t e d t h a t f o r s m a l l y t h e p e r t u r b a t i o n i s l a r g e r t h a n t h e l e a d i n g t e r m ( n o t e u

0

i s o f o r d e r y

2

w h i l e i s o f o r d e r y ) - - w h i c h , p r i m a f a c i e , m a y g i v e r i s e t o s o m e c o n c e r n . S e c o n d , s i n g u l a r i t i e s a t t h e o r i g i n w i l l c e r t a i n l y a r i s e i n t h e h i g h e r - o r d e r t e r m s ( s i n c e t h e i n i t i a l p r o f i l e U ( y ; a) i s c o m p a t i b l e o n l y t o a f i n i t e o r d e r ) ; t h e s e s i n g u l a r i t i e s

c l e a r l y l e a d t o n o n - u n i f o r m i t y o f t h e e x p a n s i o n a t t h e o r i g i n . T h e f i r s t o f t h e s e q u e s t i o n s (€ <{ u

0

f o r s m a l l y ) , i s a c a s e o f w h a t m a y b e c a l l e d " n o n - p r o p o r t i o n a l " u n i f o r m i t y , i . e . t h e c o n d i t i o n

u - u

0

—* 0 u n i f o r m l y i s s a t i s f i e d b y t h e l i m i t u

0

, but t h e c o n d i t i o n

u

~

u

o 0 u n i f o r m l y

(12)

FLUID M E C H A N I C S A N D S I N G U L A R P E R T U R B A T I O N S

( " p r o p o r t i o n a l " u n i f o r m i t y ) i s n o t s a t i s f i e d n e a r t h e z e r o of u

0

. " N o n - p r o p o r t i o n a l " u n i f o r m i t y i n s o m e c a s e s i s a w a r n i n g o f n o n - u n i f o r m i t i e s i n h i g h e r - o r d e r t e r m s ( e . g.

φ u n d e r t h e E u l e r l i m i t i n h i g h - R e t h e o r y , o r , f o r t h a t m a t t e r , e x a m p l e s c l o s e r t o t h e p r e s e n t c a s e a r e p r o v i d e d b y t h e s o - c a l l e d " s u b l a y e r p h e n o m e n a " i n t h e s h o c k w a v e - b o u n d a r y l a y e r i n t e r a c t i o n p r o b l e m s ) ; h o w e v e r , i n g e n e r a l i t n e e d n o t b e o f a n y s i g n i f i c a n c e ( c o m p a r e e . g. f l o w s n e a r

s t a g n a t i o n p o i n t s , e t c . ) . T h e s i g n i f i c a n c e o f n o n - p r o p o r t i o n a l u n i f o r m i t y d e p e n d s o n w h e t h e r t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s r e m a i n s u f f i c i e n t l y f u l l i n t h e r e g i o n o f s u c h a n a n o m a l y . I n t h e p r e s e n t c a s e , t h e " n o n - p r o p o r t i o n a l "

u n i f o r m i t y i s h a r m l e s s a s w i l l b e e v i d e n t f r o m t h e h i g h e r - o r d e r t e r m s .

A s t o t h e s e c o n d q u e s t i o n , w e h a v e n o t y e t c h o s e n t h e s i n g u l a r i t y a t χ = y = 0 i n t h e f u l l s o l u t i o n . T h e i n i t i a l p r o f i l e s , E q . ( 1 . 1 2 d ) , a r e c o m p a t i b l e o n l y t o f i n i t e o r d e r , h e n c e s i n g u l a r i t i e s w i l l n e c e s s a r i l y o c c u r i n h i g h e r - o r d e r t e r m s . T h e s e s i n g u l a r i t i e s w i l l t h e n l e a d t o n o n - u n i f o r m i t i e s o f t h e e x p a n s i o n f o r x , y f i x e d a t t h e o r i g i n . T o s i m p l i f y m a t t e r s , w e s h a l l t h e r e f o r e e x c l u d e t h e o r i g i n b y a c i r c l e o f r a d i u s ρ ( € ) w h e r e ρ • 0 a s s l o w l y a s

n e c e s s a r y f o r a l l p u r p o s e s . T h e e x p a n s i o n i s t h e n c e r t a i n l y u n i f o r m o u t s i d e t h e c i r c l e r = ρ ( c ) a n d t h e s i n g u l a r i t i e s m a y b e c h o s e n i n t h e e x p a n s i o n i n s t e a d of t h e f u l l s o l u t i o n .

E q u a t i o n s a n d c o n d i t i o n s . W e c o n s i d e r a l i m i t - p r o c e s s e x p a n s i o n c o r r e s p o n d i n g t o E q . ( 2 . 2 ) , o f t h e f o r m

φ ~ψ

0

^(χ,

Υ

^{) + y «}

n

^{( € ) 0}

n

^{( x}

f

y ) ( 2 . 3 )

w h e r e t h e 6

n

a r e ( i n p r i n c i p l e ) t o b e d e t e r m i n e d . €^ w i l l , h o w e v e r , b e c l e a r l y € ( n o f o r c i n g t e r m ) . A s s u m i n g a l s o

( w h i c h s e e m s s u f f i c i e n t ) , t h e e q u a t i o n s f o r t h e φ

η

^{a r e}

U

o

2

( ^ f O

= i / /

n y y y - f

n

( * > D ( 2 . 5 a ) w h e r e n - 1

i =1

(13)

T h e c o n d i t i o n s a t t h e i n i t i a l l i n e a r e

= y ( 2 . 6 a ) u

2

^{= a}

4

^y

4

/ 4 ! ( 2 . 6 b )

u

n

= 0 (n > 3 ) ( 2 . 6 c )

a n d t h e c o n d i t i o n s at t h e w a l l a r e ( b y u n i f o r m i t y )

u

n

^{= v}

n

= 0 ( 2 . 7 )

F i n a l l y

S i n g u l a r i t i e s a t o r i g i n t o b e p r e s c r i b e d ( 2 . 8 ) T h i s c o m p l e t e s t h e s e t o f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a n d c o n d i t i o n s .

2. 2 T h e E i g e n s o l u t i o n s

T h e h o m o g e n e o u s p a r t o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e φ

η

( η > 1) a d m i t s e i g e n s o l u t i o n s o f t h e f o r m

ψ' = F ( x ) y

2

( 2 . 9 a ) w h e r e F i s a n a r b i t r a r y f u n c t i o n e x c e p t f o r t h e c o n d i t i o n

F ( 0 ) = 0 ( 2 . 9 b ) S u c h h o r r i b l e e i g e n s o l u t i o n s r e p r e s e n t n o t a m a t h e m a t i c a l i n c o m p l e t e n e s s o f t h e c o n d i t i o n s n e a r s i n g u l a r p o i n t s ( a s

e. g. i n t h e f l a t p l a t e a n d F i l o n e x p a n s i o n s , s l e n d e r b o d y t h e o r y , e t c . ) , but a d e p e n d e n c e o n t e r m s o f h i g h e r o r d e r w h i c h c o r r e s p o n d s t o a c e r t a i n t y p e of p h y s i c a l i n s t a b i l i t y [ 5 ] . T h e p h y s i c a l i n s t a b i l i t y - i n t e r p r e t a t i o n i s n e c e s s a r y t o r e n d e r t h e f o l l o w i n g m a t h e m a t i c a l h y p o t h e s e s c o n v i n c i n g H o w e v e r , w e d o n o t w i s h t o o b s c u r e t h e p e r t u r b a t i o n a l s t r u c t u r e o f t h e p r o b l e m a n d h e n c e t h e p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n w i l l b e g i v e n s e p a r a t e l y .

T h e p e r t u r b a t i o n a l s t r u c t u r e o f t h e p r o b l e m i s o f t h e f o l l o w i n g n a t u r e : I f

Κ = K

V

+

^ n e (n > D (

2

·

1 0

)

(14)

w h e r e ψ

η

^ i s a s o l u t i o n o f E q . ( 2 . 5 ) s a t i s f y i n g a l l t h e g o v e r n i n g c o n d i t i o n s ( c f . E q s . ( 2 . 6 ) ( 2 . 7 ) ( 2 . 8 ) ) , t h e n \p m u s t b e s o m e e i g e n s o l u t i o n o f t h e f o r m E q . ( 2 . 9 ) , w h i c h

Oe

i s t o b e d e t e r m i n e d . G i v e n a n a r b i t r a r y f o r c i n g f u n c t i o n f

n

+ l , h o w e v e r , t h e r e e x i s t s n o ^ ( n + l ) p > 1· e . t h e r e e x i s t s n o s o l u t i o n o f E q . ( 2 . 5 ) w h i c h c o u l d s a t i s f y a l l t h e c o n d i t i o n s . I t i s , h o w e v e r , a l w a y s p o s s i b l e t o s e l e c t t h e e i g e n s o l u t i o n i n φ

η

s o t h a t t h e r e e x i s t s a ^ ( n + l ) p · T h e e i g e n s o l u t i o n ip

ne

^{o f ψ}

η

i s d e t e r m i n e d u n i q u e l y b y t h i s c o r r e s p o n d e n c e .

I f t h e b o u n d a r y o r i n i t i a l c o n d i t i o n s o r t h e f o r c i n g t e r m f o r φ

η

a r e a l t e r e d ( a p h y s i c a l p e r t u r b a t i o n o f t h e

s y s t e m ) t h e e f f e c t s w i l l b e o f a l a r g e r ( i . e . l o w e r ) o r d e r

6

n-1 ( i n s t a b i l i t y ) . N o t e t h a t t h e i n s t a b i l i t y e x t e n d s o n l y t o a n o r d e r h i g h e r b y o n e € , o r , m o r e p r e c i s e l y , t h a t φ

η

i s i n d e p e n d e n t o f ψη+2 s i n c e t h e e i g e n s o l u t i o n o f ψη+1 h a s n o e f f e c t o n φ

η

^.

2. 3 T h e S h i f t - I n t e r p r e t a t i o n

a n d M e t h o d of D e t e r m i n a t i o n o f t h e E i g e n s o l u t i o n s A s p e c i a l t e c h n i q u e w i l l b e u s e d f o r d e t e r m i n a t i o n o f t h e e i g e n s o l u t i o n s . I f t h e s o l u t i o n E q . ( 2 . 2 ) i s d i s p l a c e d ( s e e S e c t i o n 1. 2, E q . ( 1 . 4 ) e t s e q . ) b y t h e a m o u n t

h = 6 g ( x ) ( 2 . 11a)

t h e n t h e d i s p l a c e d s o l u t i o n , i . e . ψ(χ, y - h ; e ) = a ( y - h )

3

/ 3 ! ( 2 . 1 1 b ) s t i l l s a t i s f i e s a l l c o n d i t i o n s t o o r d e r € ( b e c a u s e of t h e

d o u b l e z e r o o f u

0

a t t h e w a l l ) . T h e e x p a n s i o n o f t h e d i s p l a c e d s o l u t i o n i s

* < * . y - h ; < ) = .

*

+ 2

φ - - *

3

( 2 . 1 1 c ) w h e r e t h e f i r s t t e r m o n t h e r i g h t h a n d s i d e i s g i v e n b y

E q . ( 2 . 2 ) a n d t h e s e c o n d t e r m - a g ( x ) y

2

/ 2 i s t h e n a n e i g e n s o l u t i o n o f t h e t y p e d i s c u s s e d ( c f . E q . ( 2 . 9 ) ) . C o n v e r s e l y a n y e i g e n s o l u t i o n o f t h e f o r m E q . ( 2 . 9 ) m a y b e w r i t t e n a s ip

e

= F ( x ) d/dy ψ

0

w h e r e ψ

0

i s t h e s o l u t i o n E q . ( 2 . 2 ) a n d

(15)

t h i s i m p l i e s t h a t a p h y s i c a l s h i f t o f t h e b o u n d a r y l a y e r i s a c t u a l l y p r e s e n t . T h i s s u g g e s t s t h a t t h e e f f e c t s o f t h e e i g e n s o l u t i o n s m a y b e f o u n d b y d i s p l a c i n g t h e f u l l b o u n d a r y - l a y e r s o l u t i o n , a s f o l l o w s :

A s s u m e t h a t S

n

_ ^ h a s b e e n d e t e r m i n e d a n d a p a r t i c u  l a r s o l u t i o n ip

n

p h a s b e e n f o u n d ( c f . E q . ( 2 . 2 ) ) . W e t h e n c o n s t r u c t a s o l u t i o n 0 ( n + l ) p w h i c h s a t i s f i e s t h e f o r c i n g t e r m c o r r e s p o n d i n g t o Φηρ

a n <

^ a l l t h e c o n d i t i o n s e x c e p t t h e c o n d i t i o n u

n +

^ = 0 a t t h e w a l l ( c f . E q . ( 2 . 7 ) ) . I n o t h e r w o r d s , a " s l i p - f l o w " i s a l l o w e d a t t h e w a l l i n

^ (

n

_ l _ ] \ p . N o w c o n s i d e r ( i n p r i n c i p l e ) a n e x a c t s o l u t i o n o f t h e f u l l e q u a t i o n s , 0 s ( n ) » s u c h t h a t

0 e (n) =

S

n - 1 + *

n

t f h p +

€ n + 1

^ ( n + l ) p + o ( €

n + 1

) ( 2 . 1 2 ) 0 s ( n ) *

s t n n e t e n

s o l u t i o n t o o r d e r η w i t h s l i p - f l o w i n ^ (

η

^{+ ΐ ) ρ ·}

I f t h i s s o l u t i o n i s d i s p l a c e d b y a n a m o u n t h = €

n

g

n

( x ) t h e n t h e d i s p l a c e d s o l u t i o n , 0 ( n ) [ w h e r e ^ (

n

^{) (}

x

> y î

€

) = 0 s ( n ) (

x

» Y "

n

î

€

) ] » o b v i o u s l y ha s th e e x p a n s i o n 0(1) = 0 o +

€

( 0 1 p - ê l

u

o ) + *

2

( 0 2 p " ê l

u

l p

+

g i

2

w

0

/ 2 ! ) + o ( €

3

) (n = 1 ) ( 2 . 13a ) 0 ( n ) =

S

n - 1

+ € l l

( 0 n p " S n

u

o )

+

^ ( n + l) p * * n* l > + ° < «

n + 1

>

(n > 1 ) ( 2 . 13b )

w h e r e Q φ d φ

Λ

^du.

0 1 0 / Ο Ι Ο Ν

u

o

=

"87" '

u

i

=

~ W '

Ω

°

=

" ΘΓ

( 2

·

1 ) 3 c

H e n c e t h e e i g e n s o l u t i o n i s

^ne = - i

n

⁽

x

>

u

o <

a 1 n l

> <

2

-

1 4

>

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g n e w ^ / ^

n +

^ p i s t h e n g i v e n b y

(16)

^ 2 p = ^ 2 p " S l (

x

)

u

l

p +

g i

2

(

x

) "

0

/ 2 (n = l ) ( 2 . 1 5 a )

^ ( n + l ) p

=

* ( n + l ) p "

g

n

( x

>

u

l <

n > 1

> <

2

'

1 5 b

>

T h u s t h e s h i f t p r o c e d u r e m a y b e u s e d t o e s t a b l i s h t h e c o r r e s p o n d e n c e E q s , ( 2 . 14) - · * ( 2 · 1 5 ) , d e p e n d i n g o n t h e a r b i t r a r y f u n c t i o n g

n

⁽

x

) » w h i c h c o u l d o f c o u r s e a l s o h a v e b e e n c o m p u t e d b y s t r a i g h t f o r w a r d but m o r e c u m b e r s o m e m e a n s .

I f t h e " s l i p - f l o w " c o r r e s p o n d i n g t o 0 |

n

+ ] _ j p i s

[ * ( n + l ) p ]⁼

^n+lW (

²

-

^{l 6 a}

)

a t y = 0

t h e n t h e " s l i p - f l o w " i n t h e d i s p l a c e d s o l u t i o n i s g i v e n b y

u

2 p w

=

^ 2 " 8 l " i p w

+

i i

2 a

/

2

<

n = 1

) <

2

'

1 6 b

>

U

( n + l ) p

W

= ^ n + 1 " § η

w

l

w

^<

n > 1

> (

2

·

l 6 c

>

( c f . E q . ( 2 . 15) w h e r e t h e s u b s c r i p t w d e n o t e s ' e v a l u a t e d a t t h e w a l l

1

, a n d ω ^ = 8 u ^ / 8 y . T h e " d i s p l a c e m e n t " g

n

^{( x )}

m a y t h e r e f o r e b e a d j u s t e d s o t h a t t h e " s l i p - f l o w " , u j

n +

^{n ,}

v a n i s h e s i n 0 (

η

+ ΐ ) ρ · F o r t h i s , i t i s n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t t h a t

f

§ 1 2

( x ) - g ^ x ) ^ + #

2

( x ) = 0 ( 2 . 1 7 )

i f η = 1 , o r t h a t g n (

x

> " i w = ^ η + ΐ (

χ

) ( 2 - 1 8 ) i f n > l . T h e r e m a i n i n g c o n d i t i o n a t t h e w a l l ( i . e . φ = 0

a t y = 0 ) i s s t i l l o b v i o u s l y s a t i s f i e d a f t e r t h e s h i f t ( E q s . ( 2 . 1 4 ) , ( 2 · 1 5 ) ) . H o w e v e r , i n o r d e r t o l e a v e t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s u n c h a n g e d , i t i s n e c e s s a r y a l s o t h a t g

n

( x ) v a n i s h e s a t t h e i n i t i a l l i n e , i . e .

g

n

( 0 ) = 0 ( a l l n ) ( 2 . 1 9 )

T h i s i m p l i e s t h a t t h e p a r t i c u l a r i n t e g r a l s Ψ(

η

^+1)τ>

r

s u c h t h a t U* ( x ) v a n i s h e s a t x = 0 . A l l t h e c o n d i l

m u s t b e

^

n

( x ) v a n i s h e s a t x = 0 . A l l t h e conditions a r e t h e n s a t i s f i e d a n d t h e e i g e n s o l u t i o n φ

η&

a n d t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n 0 ( n + l ) p b a v e b e e n f o u n d .

(17)

T h e e n t i r e s c h e m e i n p r i n c i p l e o f c o u r s e h a s t h e n a t u r e o f a m a t h e m a t i c a l h y p o t h e s i s . " T h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s ψ

η

ρ w i l l b e v e r i f i e d t o t h e o r d e r t o w h i c h t h e e x p a n s i o n w i l l b e c a r r i e d out e x p l i c i t l y , a n d t h e c o r r e c t n e s s o f t h e p r o c e d u r e i s t h e n e s s e n t i a l l y o b v i o u s . A s i g n i f i c a n t a n d s o m e w h a t s u r p r i s i n g a s s e r t i o n , h o w e v e r , i s a s t a t e m e n t m a d e e a r l i e r t h a t " f o r a n a r b i t r a r y f o r c i n g f u n c t i o n f

n

+ i , t h e s o l u t i o n ^ ( n + l ) p d o e s n o t e x i s t " ( c f . E q . ( 2 . 10) e t s e q . ) . T h i s w i l l b e h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s t h e " h y p o t h e s i s of n o n - e x i s t e n c e " . A p a r t i a l d i r e c t v e r i f i c a t i o n o f t h e n o n - e x i s t e n c e h y p o t h e s i s w i l l b e g i v e n l a t e r . F i n a l l y , t h e " s e n s e " o f t h e e n t i r e s c h e m e i s c l e a r f r o m t h e s t a b i l i t y i n t e r p r e t a t i o n ( s e e S e c t i o n 2. 5 d ) .

2. 4 u ^ p a n d u-^ : T h e S e p a r a t i o n P h e n o m e n o n A p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r u-^ i s s i m p l y

u

lp

^{= y , φ}

1ρ

^{= y}

2

/ 2 ( 2 . 2 0 ) a n d a c o r r e s p o n d i n g p a r t i c u l a r s o l u t i o n ^ i s t h e n g i v e n

by

4

u

2 p

= a

4

( 4! " a )

/ 5 x (2. 21a)

*zv •

s ( £

^{- Ψ )}

T h e " s l i p - f l o w " c o r r e s p o n d i n g t o Φ^-ρ

9 e

*

U

2

( x ) = - a

4

x / a ( 2 . 21b)

i s , h o w e v e r , d i f f e r e n t f r o m z e r o a n d h e n c e i t i s n e c e s s a r y t o a d j u s t t h e e i g e n s o l u t i o n φγ o f φγ ( o r , e q u i v a l e n t l y , t o d i s p l a c e t h e b o u n d a r y l a y e r ) i n a c c o r d a n c e w i t h E q s . ( 2 . 17) a n d ( 2 . 1 9 ) . E q s . ( 2 . 17) a n d ( 2 . 19) g i v e

g

l

^{= 7} ( 1 - ^ 1 + 2 a

4

x ' ) ( 2 . 2 2 )

i f a

4

i s n e g a t i v e ( a s i t s h a l l b e a s s u m e d ; f o r d i s c u s s i o n o f t h e s i g n o f a

4

s e e S e c t i o n 2. 5 c ) . H e n c e i f φγ

&

i s c h o s e n a s

φ

1θ

= - ( 1 - n / i + 2 a

4

^{x ) y}

2

fl ( 2 . 2 3 )

(18)

( c f . E q . ( 2 . 1 2 ) ) t h e n t h e " s l i p - f l o w " c a n b e m a d e t o v a n i s h i n

^ 2 p » w h i c h t h e n b e c o m e s s i m p l y Φ

Ζρ

^{= a}

4

^y

5

/ 5 ! ( 2 . 2 4 ) (cf. E q . ( 2 . 1 5 a ) ) .

F o r n e g a t i v e a

4

t h e s k i n f r i c t i o n ( i . e . € ) d r o p s t o z e r o ( s e p a r a t i o n ) at t h e p o i n t w i t h x - c o o r d i n a t e .

x

s = -jt

4

(2

·

²⁵⁾

N o t e t h a t f l o w - f i e l d b e c o m e s s i n g u l a r a l o n g the l i n e x = x

g

^.

T h i s s i n g u l a r i t y r e p r e s e n t s s i m p l y the d i s p l a c e m e n t o f the s o l u t i o n

φ

0

+ * % = τϊ

a

y

3

+ |

6

y

2

<

2

·

2 6

) w h i c h i t s e l f i s p e r f e c t l y r e g u l a r t o t h e o r d e r c o n s i d e r e d ,

b y the a m o u n t g-^(x) g i v e n b y E q . ( 2 . 22) w h i c h h a s an a l g e b r a i c c u s p at x = x

g

^.

It m a y a l s o b e n o t e d that, as s t a t e d b y G o l d s t e i n , the n o - s l i p c o n d i t i o n c a n n o t b e s a t i s f i e d d o w n s t r e a m of t h e

s e p a r a t i o n p o i n t , χ = x

g

, ( e x c e p t b y a c o m p l e x d i s p l a c e m e n t ) . 2. 5 R e m a r k s on the P r e c e d i n g M a t e r i a l

2. 5a T h e a n a l y t i c a l n a t u r e of the s i n g u l a r i t y : t h e

" s l i p - f l o w " s o l u t i o n and the e x p a n s i o n f o r s m a l l y . T h e d o u b t s p r e v i o u s l y e x p r e s s e d c o n c e r n i n g t h e u n i f o r m i t y of the e x p a n s i o n E q . ( 2 . 3 ) f o r s m a l l y ( c f . S e c t i o n 2. 1) a r e now r e m o v e d : I n the f i r s t p l a c e , s i n c e t h e φ

η

a r e r e g u l a r at t h e w a l l , i t i s c l e a r s i m p l y f r o m the o r d e r s of m a g n i t u d e that no n o n - u n i f o r m i t i e s w i l l a r i s e f r o m the c o n t r i b u t i o n s of the h i g h e r - o r d e r t e r m s of the e x p a n s i o n ( E q . 2. 3 ) ) ; i n t h e s e c o n d p l a c e , i t i s n o w c l e a r f r o m E q . ( 2 . 5) t h a t t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e φ

η

r e m a i n f u l l f o r s m a l l y . H o w e v e r , i n d i s c u s s i n g t h e s i n g u l a r i t y at χ = x

s

t w o s p e c i a l i d e a s a r e i n v o l v e d : F i r s t , t h e s i n g u l a r i t y at χ = x

s

i n t h e o r i g i n a l s o l u t i o n m a y b e r e m o v e d b y a s h i f t ( t h e " s l i p - f l o w "

s o l u t i o n ) . S e c o n d , as m e n t i o n e d i n S e c t i o n 2. 1, E q . ( 2 . 3 ) i s u n i f o r m but not " p r o p o r t i o n a l l y " u n i f o r m n e a r t h e z e r o of u

0

, and h e n c e the d e t a i l s of u a r e not s h o w n c o r r e c t l y b y E q . ( 2 . 3 ) ( t e r m b y t e r m ) i n t h e r e g i o n w h e r e u i s s m a l l .

(19)

A s p e c i a l e x p a n s i o n i s t h e n n e c e s s a r y t o e x h i b i t t h e d e t a i l s ( e x p a n s i o n f o r s m a l l y ) .

( i ) T h e " s l i p - f l o w " s o l u t i o n . A s a l r e a d y m e n t i o n e d , t h e a n a l y t i c a l d i f f e r e n c e b e t w e e n s o l u t i o n s r e l a t e d b y a d i s p l a c e m e n t i s e s s e n t i a l l y t r i v i a l ( s e e S e c t i o n 1. 2, i t e m s 1 a n d 2 ) ; w e a r e i n t e r e s t e d e s s e n t i a l l y i n t h e v o n M i s e s " i n v a r i a n t " , i . e . t h e f u n c t i o n u = f n ( x , φ) , w h i c h c o n t a i n s t h e s i g n i f i c a n t

a n a l y t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e s o l u t i o n . H o w e v e r , s i n c e t h e v o n M i s e s c o o r d i n a t e s a r e s o m e w h a t a w k w a r d , a ( c e r t a i n ) a r b i t r a r y r e p r e s e n t a t i o n o f s u c h a n i n v a r i a n t i n t h e p h y s i c a l p l a n e m a y b e u s e d ( t h e o r i g i n a l s o l u t i o n , φ , a n d i t s r e p r e s e n t a t i o n , φ

3

, a r e t h e n o f c o u r s e r e l a t e d b y a s h i f t ) . B y t h e " s l i p - f l o w " s o l u t i o n w e s h a l l i n g e n e r a l u n d e r s t a n d a n a r b i t r a r i l y s e l e c t e d ( b u t c e r t a i n ) r e p r e s e n t a t i o n φς o f t h e g i v e n s o l u t i o n φ ( w h i c h i s t h e n c a l l e d t h e " n o - s l i p " s o l u t i o n ) s u c h t h a t t h e s i n g u l a r i t i e s w h i c h a r e m e r e l y due t o a s h i f t a r e r e m o v e d . I n p a r t i c u l a r , a s t h e " s l i p - f l o w " r e p r e s e n t a t i o n o f t h e e x a c t s o l u t i o n φ u n d e r s t u d y , w e m a y c h o o s e a f u n c t i o n φ

3

g i v e n t o t h e o r d e r €^ b y

0

S

^{= 0o +}

€

0 l

p

^{+ «}

2

0 2 p

+

<

2

-

2 7 a

>

u

s =

u

o +

€ u

i

p

^{+ *}

2 u

2 p

+

<

2

'

2 ) 7 b

w h e r e φ

0

, φγ a n d φ^ a r e g i v e n b y E q s . ( 2 . 2 ) , ( 2 . 2 0 ) a n d ( 2 . 2 1 a ) . A s a l r e a d y n o t e d ( c f . e n d , S e c t i o n 2 . 4 ) , t h e s i n g u l a r i t y a t x = x

s

i s t h e n r e m o v e d .

( i i ) E x p a n s i o n f o r s m a l l y . W e s h a l l n o w e x a m i n e t h e " s l i p - f l o w " s o l u t i o n φ

3

. A s a l r e a d y m e n t i o n e d ( c f . S e c t i o n 2. 1, " U n i f o r m i t y " e t s e q . ) , t h e e x p a n s i o n ( E q . ( 2 . 2 7 ) ) i s u n i f o r m i n t h e s e n s e

— ^ 2 . ~- 0 u n i f o r m l y i n t h e s t r i p

0 < Χ < x

s

, c-^ < y < C£

w h e r e c ^ , c

z

a r e a r b i t r a r y c o n s t a n t s (ογ < 0 < C 2 ) , but i s n o t " p r o p o r t i o n a l l y " u n i f o r m n e a r t h e z e r o o f u

0

. H e n c e t h e d e t a i l s o f u

s

a r e n o t c o r r e c t l y s h o w n w h e r e u

g

i s s m a l l . W e t h e r e f o r e c o n s i d e r t h e e x p a n s i o n

^ s ~ (

x

> y )

+ €

^ 1 (

χ

> y )

+

· · · (

2

·

2 8 a

)

(20)

u

s ~~

u

o (

x

> y )

+ €

u ^ ( x , y ) + . . . ( 2 . 2 8 b ) w h e r e lp

s

^{= ψ}

3

^{/^ , û}

s

⁼^{U g / e}

2

, y = y /ζ d t h e v a r i a b l e s

a n

χ a n d y a r e f i x e d . I n t h e r e g i o n o f t h e v a r i a b l e s χ a n d y ( i . e . i n t h e " s u b l a y e r " w h e r e t h e p e r t u r b a t i o n s a r e c o m p a r a b l e t o u

0

^{) u}

0

= l / 2 a y

2

i s o f t h e o r d e r 6

2

a n d € u , ( u , = y ) a n d

€

2

uy a r e a l s o o f o r d e r €

2

. H e n c e , t h e f i r s t t h r e e t e r m s o f E q . ( Z . 2 7 b ) a r e n e e d e d t o f i n d t h e l e a d i n g t e r m o f E q . ( 2 . 2 8 b ) , w h i c h i s t h e n g i v e n b y

— — 1 _ ? _ a

u 4

o (

x

» y ) = 2

a

y + y

~ ~

x

(

2

· 2 9 ) T h e l e a d i n g t e r m , u

0

, o f e x p a n s i o n E q . ( 2 . 2 8 b ) t h e n s h o w s t h a t i n t h e " s l i p - f l o w " s o l u t i o n u

s

t h e l i n e u

g

= 0 , w h i c h i s g i v e n b y t h e p a r a b o l a

_ ι 2 2 a

4

^χ

( y

+

r ) = —τ (

χ

a

^<s

t u r n s b a c k a t x = x

s

( c f . F i g . 3 )

(

y

+

ΐ >

=

7 #

( x +

2 t ^

]

·

( 2 , 3 0 )

T h e L i n e u

g

= 0 i n t h e " S l i p - F l o w " S o l u t i o n . F i g . 3

(21)

N o t e t h a t t o t h e o r d e r €^ t h e " s l i p - f l o w " s o l u t i o n i s i t s e l f p e r f e c t l y r e g u l a r ; t h e s i n g u l a r i t y at χ = x

s

i n t h e

" n o - s l i p " s o l u t i o n i s c a u s e d b y t h e s h i f t n e c e s s a r y t o b r i n g t h e u p p e r b r a n c h o f t h e p a r a b o l a i n t o c o i n c i d e n c e w i t h t h e s t r a i g h t l i n e y = 0 . A t t h e " c r i t i c a l " p o i n t , x = x

s

^,

y = - l / a , u

g

h a s a z e r o of t h e f o r m û

0

= \ a ( y

+

^{i - )}

2

- ^ ( x + g i - ) ( 2 . 3 1 ) T o t h e r i g h t o f th e " c r i t i c a l " p o i n t , t h e m i n i m u m v a l u e o f u

1

t h e n i n c r e a s e s l i n e a r l y w i t h x , an d h e n c e t h e n o - s l i p c o n d i t i o n c a n n o t b e s a t i s f i e d .

N o t e a l s o t h a t t h r e e t e r m s o f t h e e x p a n s i o n E q . ( 2 . 2 7 ) a r e n e c e s s a r y t o o b t a i n th e l e a d i n g t e r m i n t h e i n t e r e s t i n g r e g i o n y = 0 ( e ) . T o o b t a i n a c o r r e s p o n d i n g l i m i t f o r φ o r v , w h e r e v = v

!

A ^ , s t i l l a n o t h e r t e r m , φ$

9

^{o f}

E q . ( 2 . 2 7 ) i s n e c e s s a r y . F i n a l l y , i t s h o u l d b e r e m a r k e d t h a t w h i l e t h e " s l i p - f l o w " s o l u t i o n i s r e g u l a r t o t h e o r d e r

€^

9

i t c a n n o t b e r e g u l a r at t h e " c r i t i c a l " p o i n t t o h i g h e r o r d e r s , i . e . a s i n g u l a r i t y m u s t a c t u a l l y e x i s t i n t h e v o n M i s e s

" i n v a r i a n t " . T h i s i s c l e a r f r o m t h e f a c t t h a t a s i n g u l a r i t y i s m a d e n e c e s s a r y b y t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s , a n d t h e l a t t e r a r e e s s e n t i a l l y i n d e p e n d e n t o f t h e s h i f t ( c f . S e c t i o n 1. 2, i t e m 2 ) . T h i s w i l l b e c a l l e d t h e " e s s e n t i a l " s i n g u l a r i t y at

s e p a r a t i o n . T h e " e s s e n t i a l " s i n g u l a r i t y s h o u l d t h e n b e g i v e n b y t h e n e x t t e r m , φ^ , o f t h e m a i n e x p a n s i o n .

2. 5b T h e G r e e n ' s f u n c t i o n a n d t h e n o n - e x i s t e n c e h y p o t h e s i s . T h e n o n - e x i s t e n c e h y p o t h e s i s ( c f . S e c t i o n 2. 3 ) c a n n o t b e p r o v e d h e r e ; h o w e v e r , a r e s t r i c t e d d e m o n s t r a t i o n c a n b e g i v e n .

A s s u m e t h a t a p a r t i c u l a r s o l u t i o n o f E q . ( 2 . 5) h a s b e e n c o n s t r u c t e d b y s u p e r p o s i t i o n o f t h e a p p r o p r i a t e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n s f o r t h e i n f i n i t e d o m a i n w h i c h r e m o v e t h e f o r c i n g t e r m a n d t h e i n i t i a l c o n d i t i o n E q . ( 2 . 6 ) . T h e c o n d i t i o n s a t t h e w a l l ( c f . E q . ( 2 . 7 ) ) a r e t h e n i n g e n e r a l v i o l a t e d . O n e o f t h e m , h o w e v e r , s a y t h e c o n d i t i o n f o r u , m a y b e r e m o v e d

(22)

b y m e a n s o f a s u i t a b l e G r e e n ' s f u n c t i o n .

5 , ί

A c o m p l e m e n t a r y s o l u t i o n m u s t t h e n b e a d d e d w h i c h s a t i s f i e s t h e p r e s c r i b e d v a l u e s f o r φ a t y = 0 a n d a l s o t h e h o m o g e n e o u s c o n d i t i o n s u = 0 ( x = 0 ) a n d u = 0 ( y = 0 ) a t t h e w a l l a n d a t t h e i n i t i a l l i n e . T h e e x i s t e n c e o f a s o l u t i o n Φ

ηΌ

i s t h e r e f o r e t a n t a m o u n t t o t h e e x i s t e n c e o f a G r e e n ' s f u n c t i o n , G , s u c h t h a t t h e c o n d i t i o n s

G ( x , 0; ξ ) = H ( x -

ξ)

( 2 . 3 2 a )

a n d

^ = 0 a t y = 0 ( 2 . 3 2 b ) a t t h e w a l l a r e b o t h s a t i s f i e d . I t i s a l s o n e c e s s a r y t o r e q u i r e

A G r e e n ' s f u n c t i o n f o r u i s g i v e n b y

w h e r e

G ( x , y ; ξ ) = - 7 j ~ F ( x , y ;

ξ )

F = a "

l / 4

( χ - ξ )

ΐ 4 /

ΐ(η) ( ξ < x )

= 0 ( ξ > χ )

a y 1/4

η

= - . 1 / 4 2 ( χ - ξ )

ί ( Ί ) \ η ^ " ( Z t - î J Î t e - ^ d t - e ^

4

/

2

] / C

and

C - 2 f , 2

e

^{- «}

4

/

2

d .

" 0

A b o v e , G i s a s o l u t i o n of t h e h o m o g e n e o u s p a r t of E q . ( 2 . 5) ( i . e. a c t s a s a s t r e a m f u n c t i o n ) . F s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n

l i m = H ( x - ξ )

a t t h e w a l l , w h e r e H i s t h e H e a v i s i d e f u n c t i o n .

(23)

t h a t a l o n g t h e ' s i n g u l a r

1

c h a r a c t e r i s t i c l i n e χ = ξ G b e c o n t i n u o u s f o r y F 0 , i . e .

l i m G = l i m G ( y ί 0 ) ( 2 . 3 2 c )

χ I ξ χ • ξ

i n o r d e r t h a t t h e E q . ( 2 . 5 ) b e s a t i s f i e d b y t h e s u p e r p o s i t i o n i n t e g r a l .

T h e e q u a t i o n a n d c o n d i t i o n s f o r G a r e i n v a r i a n t u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n

χ = a

4

x , y = a y , G = G ( 2 . 3 3 ) T h e p o s s i b l e s o l u t i o n s m a y t h e n b e d i v i d e d i n t o t w o c l a s s e s

( i ) G i s o f t h e s i m i l a r i t y f o r m ( i i ) G i s n o t o f t h e s i m i l a r i t y f o r m

T h e c l a s s ( i i ) w o u l d o f c o u r s e b e e l i m i n a t e d b y t h e a s s u m p t i o n o f u n i q u e n e s s . H o w e v e r , h e r e , w e c h o o s e n o t t o m a k e t h i s a s s u m p t i o n s i n c e t h e u n i q u e n e s s o f G i n v o l v e s a n e s s e n t i a l d i f f i c u l t y . * W e s h a l l t h e r e f o r e s i m p l y s h o w t h a t i f t h e s o l u t i o n i s o f t h e s i m i l a r i t y f o r m t h e n i t d o e s n o t e x i s t .

F r o m ( i ) , E q s . ( 2 . 3 3 ) , ( 2 . 3 2 ) a n d ( 2 . 5 ) , i t f o l l o w s t h a t t h e s i m i l a r i t y s o l u t i o n s f o r G ( p u t t i n g ξ = 0 ) a r e g i v e n b y

G = f ( 0 ) , Θ = y / x

1

/

4

( x > 0 )

( 2 . 3 4 )

= 0 ( x < 0 )

- f

Θ4

ΊΘ < î r >

= m f

<

2

-

3 5

>

I n t h e f i r s t p l a c e , G i s not u n i q u e b e c a u s e o f t h e e i g e n s o l u t i o n s . H o w e v e r , w h i l e t h i s d i f f i c u l t y i s t r i v i a l , a n e s s e n t i a l d i f f i c u l t y i s p r e s e n t at l e a s t t o t h e f o l l o w i n g e x t e n t : I f ψ

η

ρ e x i s t s t h e n t h e m a i n s o l u t i o n , φ , i s a l r e a d y n o n - u n i q u e s i n c e a s o l u t i o n c a n b e o b t a i n e d b y t h e s h i f t p r o c e d u r e a n d a n o t h e r ( c l e a r l y d i s t i n c t ) b y t h e G r e e n ' s f u n c t i o n m e t h o d .

(24)

f ( 0 ) = 1 f ( 0 ) = 0 f(oo) = 0

( 2 . 3 6 a ) ( 2 . 3 6 b ) ( 2 . 3 6 c ) w h e r e t h e c o n d i t i o n s E q s . ( 2 . 3 6 a ) , ( 2 . 3 6 b ) a n d ( 2 . 3 6 c ) c o r r e s p o n d r e s p e c t i v e l y t o ( 2 . 3 2 a ) , ( 2 . 3 2 b ) a n d ( 2 . 3 2 c ) . T h r e e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s o l u t i o n s of E q . ( 2 . 3 5 ) a r e

= 1

f

2

^{( 0 )}

f

3

^{( 0 )}

w h e i

a =

2

y

J

^oo

a / 3 2 - a t

4

( 2 . 3 7 a ) ( 2 . 3 7 b )

4 cet J ( t ) ] dt ( 2 . 3 7 c )

• oo . 4

e dt

J ( « ) = Γ

J z

a n d t h e c o n d i t i o n s t h e r e b y s a t i s f i e d a r e

w h e r e

J

^oo ^-at'- ⁴^ort ,7 ( t ) ] dt

( 2 . 3 7 d )

( 2 . 3 7 e )

f ( 0 ) f ' ( 0 ) f" ( 0 ) f(oo)

f

l 1 0 0 - 1

f

2 0 0 1

f

3 A -1 4a 7 ( 0 )

( 2 . 3 7 f )

( 2 . 3 7 g )

C o m p a r i n g t h e t a b l e o f c o n d i t i o n s w i t h E q s . ( 2 . 3 6 a ) , ( 2 . 3 6 b ) a n d ( 2 . 3 6 c ) i t i s c l e a r t h a t i s t h e o n l y s o l u t i o n w h i c h