Intenzitási viszonyszámok

I. Alapfogalmak

Az intenzitási viszonyszám (V) két különböző, de valamilyen szempontból kapcsolódó sokaság adatainak, vagy azonos sokaság két különböző adatának hányadosa.

𝑉 =𝐴 𝐵

Ezek az adatok általában különböző mértékegységűek. Ilyen például a népsűrűség (fő/négyzetkilométer) mérőszáma, az ellátottságot kifejező mutatók, 1000 lakosra jutó kórházi ágyak száma, 1000 lakosra jutó személygépjárművek száma. 1000 lakosra jutó születések száma, 1000 lakosra jutó ismertté vált elkövetők száma, átlagkereset, bérhányad, költségszínvonal, alapterület kihasználása, munkatermelékenység, árukészletek forgási sebessége, stb.

Az intenzitási viszonyszám lehet egyenes vagy fordított, attól függően, hogy értékének növekedése társadalmi szempontból pozitív, illetve negatív megítélésű. Például az 1 lakosra jutó orvosok száma egyenes, míg ennek reciproka az 1 orvosra jutó betegek száma fordított intenzitási viszonyszám.

Továbbá, egy intenzitási viszonyszám lehet nyers vagy tisztított a viszonyítási alapjától függően.

Például az egy nőre jutó születések száma egy nyers intenzitási viszonyszám. Nyilván a viszonyítás alapja „tisztítható”, ugyanis pontosabb képet kapunk akkor, ha a születések számát a szülőképes nők számához viszonyítjuk, azaz az egy szülőképes nőre jutó születések számát vizsgáljuk. Ekkor már tisztított intenzitási viszonyszámról beszélünk. Mivel tisztított intenzitási viszonyszámok viszonyítási alapja (nevezője) a nyers intenzitási viszonyszám viszonyításának B alapjának kitisztítása, ezért ezt b szimbólummal jelöljük. Tehát a tisztított intenzitási viszonyszámot

𝑉 =𝐴 𝑏 összefüggés alapján számíthatjuk ki.

Vizsgáljuk meg, milyen összefüggése van a nyers és a tisztított intenzitási viszonyszám között.

𝐴 𝐵⏟

𝑁𝑌𝐸𝑅𝑆

= 𝐴

⏟𝑏

𝑇𝐼𝑆𝑍𝑇Í𝑇𝑂𝑇𝑇

∙𝑏 𝐵

ahol ^𝑏_𝐵 a tisztított viszonyítási alap aránya a teljes viszonyítási alaphoz.

Példa

Egy vállalat éves tevékenységére vonatkozó adatokat az alábbi táblázatban adtuk meg.

Megnevezés 1994 1999 1999

(1994=100,00%)

Termelés (ezer db) 48000

Fizikai dolgozók száma (fő) 500 120,00

Összes munkaidő-ráfordítás (ezer

óra) 2000

1 termékre fordított idő (óra/db) 0,05

1 órára jutó termelés (db/óra) 125,00

Fizikai dolgozók részaránya (%) 84 105,00

A selejtes termékek aránya a

termelésen belül (%) 8 10

1 fizikai dolgozóra jutó selejtes termék (ezer db/fő)

1 foglalkoztatottra jutó selejtes termék (ezer db/fő)

Számítsa ki a táblázat hiányzó elemeit!

A feladat megoldásához azt kell tudni, hogy az egyes intenzitási viszonyszámokat hogyan tudjuk kiszámítani.

1 termékre fordított idő= összes munkaidő-ráfordítás/termelés 1 órára jutó termelés= termelés/összes munkaidő-ráfordítás selejtes termékek aránya= selejtes termékek száma/ termelés

1 fizikai dolgozóra jutó selejtes termékek száma =selejtes termékek száma/fizikai dolgozók száma 1 foglalkoztatottra jutó termékek száma =selejtes termékek száma/foglalkoztatottak száma = (selejtes termékek száma/fizikai dolgozók száma)*(fizikai dolgozók száma/ foglalkoztatottak száma)=

1 fizikai dolgozóra jutó termékek száma * fizikai dolgozók aránya

A hiányzó mennyiségek nagy részét a fenti képletek átrendezéséből kapjuk meg.

Egy lehetséges megoldási menet az alábbi:

1. Kiszámítjuk a fizikai dolgozók számát 1999-ben. Ez 500 *1,2 = 600 fő.

2. Az 1 termékre fordított idő és a termelés segítségével kiszámítjuk 1999-ben az összes munkaidő-ráfordítást. Ez 0,05* 48000 = 2400 óra.

3. Kiszámítjuk 1999-ben az 1 órára jutó termelést. Ez 48000 / 2400 = 20 db/óra.

4. Kiszámítjuk 1999-ben az 1 fizikai dolgozóra jutó termelést. Ez 48000 / 600 = 80 ezer db/fő.

5. Kiszámítjuk 1999-ben az 1 foglalkoztatottra jutó termelést. Ez egy nyers intenzitási viszonyszám. A tisztított párja az 1 fizikai dolgozóra jutó termelés. 80 *0,84 = 67,2 ezer db/fő.

6. Kiszámítjuk az 1 órára jutó termelést 1994-ben. Ez 20 /1,25 = 16 db/óra.

7. Kiszámítjuk a termelést 1994-ben. Ez 16 * 2000 = 32000 ezer db.

8. Kiszámítjuk 1994-ben az 1 termékre fordított időt. Ez 2000/32000=0,0625 óra/db.

9. Kiszámítjuk a fizikai dolgozók részarányát 1994-ben. Ez 84/1,05=80%

10. Kiszámítjuk a selejtes termékek arányának változását: 10/8=1,25 11. Kiszámítjuk 1994-ben a selejtes termékek számát: 32000*0,08=2560 12. Kiszámítjuk 1999-ben a selejtes termékek számát: 48000*0,1=4800

13. Kiszámítjuk 1994-ben az 1 fizikai dolgozóra jutó selejtes termelést. Ez 2560 / 500 = 5,12 ezer db/fő.

db/fő.

15. Kiszámítjuk 1994-ben az 1 alkalmazottra jutó selejtes termelést. Ez 5,12 *0,8 = 4,096 ezer db/fő.

16. Kiszámítjuk 1999-ben az 1 alkalmazottra jutó selejtes termelést. Ez 8,0 *0,84 = 6,72 ezer db/fő.

17. Kiszámítjuk az 1994=100,00% oszlop hiányzó adatait az 1999-es és az 1994-es adatok hányadosaként.

Ekkor az alábbi táblázathoz jutunk.

Megnevezés 1994 1999 1999

(1994=100,00%)

Termelés (ezer db) 32000 48000 150,00

Fizikai dolgozók száma (fő) 500 600 120,00

Összes munkaidő-ráfordítás (ezer

óra) 2000 2400 120,00

1 termékre fordított idő (óra/db) 0,625 0,05 80,00

1 órára jutó termelés (db/óra) 16 20 125,00

Fizikai dolgozók részaránya (%) 80 84 105,00

A selejtes termékek aránya a

termelésen belül (%) 8 10 125,00

1 fizikai dolgozóra jutó selejtes

termék (ezer db/fő) 5,12 8 156,25

1 foglalkoztatottra jutó selejtes

termék (ezer db/fő) 4,096 6,72 164,06

II. Intenzitási viszonyszámok részekre bontott sokaság esetén

Ha egy sokaságot egy változó alapján részsokaságokra, részcsoportokra bontunk, akkor az intenzitási viszonyszámot kiszámíthatjuk minden egyes csoportra a

𝑉_𝑗=𝐴_𝑗 𝐵_𝑗

összefüggés alapján, ahol a j alsó index arra a részcsoportra utal, melyből számítjuk az intenzitási viszonyszámot, melyet ekkor részviszonyszámnak is nevezünk. Az egész sokaság vonatkozásában számított intenzitási viszonyszámot összetett intenzitási viszonyszámnak nevezzük és 𝑉̅

szimbólummal jelöljük, mely a részviszonyszámok súlyozott átlagaként számítható. Az alkalmazandó képlet kiválasztása azon múlik, milyen adatok adottak.























 





 k

1

j j

j k

1 j

j k

1 j

j k

1 j

j j k

1 j

j k

1 j

j

V A A B

V B B

A V

Példa

Három vállalkozásnál a foglalkoztatottakra vonatkozó adatokat az alábbi táblázat tartalmazza.

Foglalkozás

„A” Vállalkozás „B” Vállalkozás „C” Vállalkozás Termelés

(ezer db)

Dolgozók száma (fő)

1 főre jutó termelés (ezer db)

Dolgozók száma (fő)

Termelés (ezer db)

1 főre jutó termelés (ezer db)

Szellemi 80 10 7 15 16 4

Fizikai 90 12 9 17 20 5

Számítsa ki az 1 főre jutó termelést mindhárom vállalkozás esetében!

Mivel az 1 főre jutó termelés = 𝑉 =𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙é𝑠 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑙𝑔𝑜𝑧ó𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎 =^𝐴

𝐵 , ezért gyakorlatilag intenzitási viszonyszámokat kellene kiszámolnunk. Ha az egy főre jutó termelést kiszámolnánk a fizikai és a szellemi alkalmazottakra, akkor gyakorlatilag a részviszonyszámokról, míg ha ezt az összes alkalmazott vonatkozásában számítjuk, akkor összetett intenzitási viszonyszámról beszélünk.

Mivel a kérdésben ez utóbbi szerepel, ezért mindhárom vállalkozás esetében a 𝑉̅ összetett intenzitási viszonyszámot kell kiszámítani.

A feladat megoldásához nézzük meg, hogy az egyes oszlopokban milyen mennyiségek szerepelnek.

Foglalkozás „A” Vállalkozás „B” Vállalkozás „C” Vállalkozás

Aj Bj Vj Bj Aj Vj

Szellemi 80 10 7 15 16 4

Fizikai 90 12 9 17 20 5

Az „A” vállalkozás esetén az

1 főre jutó termelés = 7,73

22 170 12 10

90 80 B A V k

1 j

j k

1 j

j



 

 









 ezer db

A „B” vállalkozás esetén

1 főre jutó termelés = 8,06

32 258 17

15

17 9 15 7 B

V B

V _k

1 j

j k

1 j

j j



 





 











 ezer db

Ebben az esetben súlyozott számtani átlagot alkalmaztunk.

1 főre jutó termelés = 4,5 5 20 4 16

20 16 V A A V k

1

j j

j k

1 j

j





 









 ezer db

Ebben az esetben súlyozott harmonikus átlagot alkalmaztunk.

Példa

Egy áruházra vonatkozó adatokat az alábbi táblázatban adtuk meg.

Osztály Alapterület (m²)

Forgalom megoszlása (%)

Forgalom (ezer Ft)

1 m²-re jutó forgalom (ezer Ft/m²)

1 alkalmazottra jutó forgalom

(ezer Ft/fő)

A 150 40 1500

B 70 6300

C 400 100 5000

D 180 70 3150

Összesen 800 100,0 89

A) Számítsa ki a táblázat hiányzó elemeit!

Intenzitási viszonyszámok esetén az összesen sorba az összetett intenzitási viszonyszámot kell beírni!

Ekkor

1 m²-re jutó forgalom= forgalom/terület

forgalom megoszlása= adott osztály forgalma/összes forgalom 1 alkalmazottra jutó forgalom=forgalom/alkalmazottak száma A megoldás lépései:

1. A osztály forgalma=40*150=6000 2. C osztály forgalma=400*100=40000 3. D osztály forgalma=180*70=12600 4. Összes forgalom=89*800=71200

5. B osztály forgalma=71200-(6000+40000+12600)=12600 6. Forgalom megoszlása A osztály: 6000/71200=0,084 -> 8,4%

7. Forgalom megoszlása B osztály: 12600/71200=0,177 -> 17,7%

8. Forgalom megoszlása C osztály: 40000/71200=0,562 -> 56,2%

9. Forgalom megoszlása D osztály: 12600/71200= 0,177 -> 17,7%

10. B osztály 1 m²-re jutó forgalma= 12600/70=180

11. Ki kell számítanunk az 1 alkalmazottra jutó forgalmat az egész áruházra vonatkozóan. Ez ebben az esetben az összetett intenzitási viszonyszám, míg az osztályok 1 alkalmazottra jutó forgalmai a részviszonyszámok.

1 𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑟𝑎 𝑗𝑢𝑡ó 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚 = 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚

𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎=

= 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚

𝐴𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎+ 𝐵𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎+ 𝐶𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎+ 𝐷𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎

=

= 𝐴_{𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚}+ 𝐵_{𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚}+ 𝐶_{𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚}+ 𝐷_{𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚}

𝐴𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎+ 𝐵𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎+ 𝐶𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎+ 𝐷𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎

=

= 71200

6000

1500+12600 6300 +

40000

5000 +12600 3150

= 3956 𝑒𝐹𝑡/𝑓ő

Ekkor az alábbi táblázathoz jutunk.

Osztály Alapterület (m²)

Forgalom (ezer Ft)

Forgalom megoszlása

(%)

1 m²-re jutó forgalom (ezer Ft/m²)

1 alkalmazottra jutó forgalom

(ezer Ft/fő)

A 150 6000 40 1500

B 70 12600 6300

C 400 40000 100 5000

D 180 12600 70 3150

Összesen 800 71200 100,0 89

B) Számítsuk ki az áruház 1 eladóra jutó forgalmát, ha tudjuk, hogy az alkalmazottak 80 százaléka eladó!

𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚 𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎

⏟

1 𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑟𝑎 𝑗𝑢𝑡ó 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚 (𝑁𝑌𝐸𝑅𝑆)

= 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚

𝑒𝑙𝑎𝑑ó𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎

⏟

1 𝑒𝑙𝑎𝑑ó𝑟𝑎 𝑗𝑢𝑡ó 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚 (𝑇𝐼𝑆𝑍𝑇Í𝑇𝑂𝑇𝑇)

∙ 𝑒𝑙𝑎𝑑ó𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑘𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑜𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎

3956 = 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚

𝑒𝑙𝑎𝑑ó𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎∙ 0,8 1 𝑒𝑙𝑎𝑑ó𝑟𝑎 𝑗𝑢𝑡ó 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑎𝑙𝑜𝑚 =3956

0,8

Gyakorta merül fel az a probléma, hogy meg kell határoznunk az intenzitási viszonyszám időbeli változását különféle változások alapján. Például hogyan határozhatjuk meg a termelékenység (db/óra) változását, ha csak a termelés és a ráfordított idő változását ismerjük. Vagy hogyan határozhatjuk meg az 1 háziorvosra jutó betegek számának változását, az 1 orvosra jutó betegek számának változása ismeretében.

Először vizsgáljuk meg, az intenzitási viszonyszámok relatív változását, azaz a V2 és V1 időszakok viszonyszámát hasonlítsuk össze hányados-képzéssel.

𝑟𝑒𝑙(𝑉) =𝑉₂ 𝑉₁=

𝐴₂ 𝐵₂ 𝐴₁ 𝐵₁

=𝐴₂ 𝐴₁÷𝐵₂

𝐵₁ =𝑟𝑒𝑙 (𝐴) 𝑟𝑒𝑙 (𝐵)

Tehát az intenzitási viszonyszám relatív változása megkapható a viszonyítás alapjának relatív változása és a viszonyítás tárgyának relatív változása hányadosaként.

Hasonlóképpen igazolható,

𝑟𝑒𝑙 (𝐴

𝐵) = 𝑟𝑒𝑙 (𝐴

𝑏) ∙ 𝑟𝑒𝑙 (𝑏 𝐵)

azaz a nyers intenzitási viszonyszám relatív változása megkapható a tisztított intenzitási viszonyszám relatív változása és a tisztított rétegek aránya változásának szorzataként.

Tekintsük erre egy korábbi példa adatait!

Példa

Egy vállalat éves tevékenységére vonatkozó adatokat az alábbi táblázatban adtuk meg.

Megnevezés 1994 1999 1999

(1994=100,00%)

Termelés (ezer db) 32000 48000 150,00

Fizikai dolgozók száma (fő) 500 600 120,00

Összes munkaidő-ráfordítás (ezer

óra) 2000 2400 120,00

1 termékre fordított idő (óra/db) 0,625 0,05 80,00

1 órára jutó termelés (db/óra) 16 20 125,00

Fizikai dolgozók részaránya (%) 80 84 105,00

A selejtes termékek aránya a

termelésen belül (%) 8 10 125,00

1 fizikai dolgozóra jutó selejtes

termék (ezer db/fő) 5,12 8 156,25

1 foglalkoztatottra jutó selejtes

termék (ezer db/fő) 4,096 6,72 164,06

Az utolsó oszlopban szereplő néhány változást másképpen is kiszámíthattuk volna.

𝑟𝑒𝑙(𝑉) =𝑟𝑒𝑙(𝐴) 𝑟𝑒𝑙(𝐵)

1 𝑡𝑒𝑟𝑚é𝑘𝑟𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑑í𝑡𝑜𝑡𝑡 𝑖𝑑ő 𝑣á𝑙𝑡𝑜𝑧á𝑠𝑎 =ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑛𝑘𝑎𝑖𝑑ő − 𝑟á𝑓𝑜𝑑í𝑡á𝑠 𝑣á𝑙𝑡𝑜𝑧á𝑠𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙é𝑠 𝑣á𝑙𝑡𝑜𝑧á𝑠 =

=1,2

1,5= 0,8 → 80%

𝑟𝑒𝑙 (𝐴

𝐵) = 𝑟𝑒𝑙 (𝐴

𝑏) ∙ 𝑟𝑒𝑙 (𝑏 𝐵)

1 𝑑𝑜𝑙𝑔𝑜𝑧ó𝑟𝑎 𝑗𝑢𝑡ó 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑗𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙é𝑠 𝑣á𝑙𝑡𝑜𝑧á𝑠𝑎 =

1 𝑓𝑖𝑧𝑖𝑘𝑎𝑖 𝑑𝑜𝑙𝑔𝑜𝑧ó𝑟𝑎 𝑗𝑢𝑡ó 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑗𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙é𝑠 𝑣á𝑙𝑡𝑜𝑧á𝑠𝑎 ∙ 𝑓𝑖𝑧𝑖𝑘𝑎𝑖 𝑑𝑜𝑙𝑔𝑜𝑧ó𝑘 𝑎𝑟á𝑛𝑦á𝑛𝑎𝑘 𝑣á𝑙𝑡𝑜𝑧á𝑠𝑎

= 1,5625 ∙ 1,05 = 1,6406 → 164,06%