Feladatok
5. osztály Megyei forduló
1. A következ® szorzásban 4számjegy olvashatatlan, helyüket jelöli.:
2·13 = 21.
Keressük meg a hiányzó számjegyeket!
2. Hány részre osztja fel a síkot két (nem feltétlenül egyforma) háromszög? Vizsgáld meg az összes esetet!
3. Hány péntek van2008-ban? Legfeljebb hány péntek lehet egy évben?
4. Tizenegy kártyára felírták 1-t®l 11-ig az egész számokat. Szét lehet-e osztani a kártyákat két csoportra úgy, hogy az egyik csoportba tartozó kártyákra írt számok összege 11-gyel legyen több, mint a másik csoportba tartozó kártyákra írt számok összege? És úgy, hogy az egyik csoportban 10-zel legyen több a számok összege, mint a másikban?
6. osztály Megyei forduló
1. Számítsuk ki az 1-t®l 100-ig terjed® pozitív egész számok számjegyeinek összegét!
2. Adjunk meg 500 egymást követ® pozitív egész számot úgy, hogy a számok leírásához összesen 2008 darab számjegyre legyen szükség!
3. Egy téglatest 3 különböz® terület¶ oldallapjának területe 12 cm2, 18 cm2 és 24 cm2. Szá-mítsuk ki a téglatest térfogatát!
4. Egy négyzetet 9 egybevágó (egyforma) kis négyzetre bontottunk. A kapott kisebb négyzetek mindegyikét színezzük ki egy-egy színnel úgy, hogy a lehet® legtöbb színt használjuk, és bármely két különböz® színhez legyen két ilyen szín¶ kis négyzet, amelyeknek egy oldala közös. Hány színnel lehet ezt a kiszínezést elvégezni?
7. osztály Megyei forduló 1. Melyek azok a tízes számrendszerben felírt háromjegy¶ számok, amelyekhez hármat adva
a kapott háromjegy¶ szám számjegyeinek összege harmadrésze az eredeti szám számjegyei összegének?
2. Hány olyan pozitív egész szám van, amely kisebb 1000-nél, és tízes számrendszerbeli felírá-sához legalább egy 9-es számjegyre van szükség?
3. Egy iskolában 3 tantárgyból, matematikából, zikából és informatikából rendeztek versenyt.
A matematika versenyen 60-an indultak, a zikán 42-en, az informatikán 24-en. Az is kide-rült, hogy két tantárgyból pontosan fele annyian indultak, mint egy tantárgyból, és három tantárgyból éppen harmad annyian, mint egy tantárgyból. Összesen hány tanuló indult va-lamelyik versenyen?
4. Mutassuk meg, hogy egy olyan derékszög¶ háromszöget, amelynek hegyesszögei 30o, és 60o, fel lehet darabolni 3, ugyancsak olyan derékszög¶ háromszögre, amelynek a hegyesszögei 30o és 60o! 5. Hány (nem feltétlenül különböz® méret¶) téglalap van ebben a
téglalapban? (Olyan téglalapokat vizsgáljunk csak, amelyeknek oldalai az eredeti nagy téglalap oldalaival párhuzamosak.)
8. osztály Megyei forduló
1. Egyszer néhány ú horgászni ment a közeli tóhoz. Egyikük 6 halat fogott, a többiek fe-jenként 13-at. Egy másik alkalommal egy másik úcsapat ment horgászni, ezúttal egyikük 5 halat fogott, a többiek fejenként 10-et. Tudjuk még, hogy mindkét alkalommal összesen ugyanannyi halat fogtak, méghozzá 100-nál többet, de 200-nál nem többet. Hányan mentek horgászni az els® alkalommal, és hányan a második alkalommal?
2. Az ABC derékszög¶ háromszög AB átfogójának melyP pontjára igaz, hogy P-nek a befo-góktól mért távolságait négyzetre emelve és összeadva a legkisebb értéket kapjuk?
3. Mutassuk meg, hogy van olyan háromszög, amelyre igaz, hogy mindhárom oldalának és mindhárom magasságának hosszát egész számmal lehet megadni!
4. Az ABC háromszög magasságpontja M. Tudjuk, hogy CM =AB. Mekkora a háromszög C csúcsnál fekv® szöge?
5. Egy táblára felírták 1-t®l 2008-ig a pozitív egész számokat. Egy lépésben letörölhet®k olyan számok, amelyeknek összege osztható 5-tel, és helyettük felírják az összeg ötöd részét. Véges sok ilyen lépésben elérhet®-e, hogy csak az 1 szám maradjon a táblán?
5. osztály, 1. nap Országos dönt®
1. Hány olyan háromjegy¶ szám van, amelyben a páros számjegyek száma páratlan?
2. Hány részre osztják a teret egy kocka lapjai által meghatározott síkok?
3. Hányféleképpen lehet felváltani egy 1000 Ft-ost 100, 200 és 500 Ft-osokra (nem kell mind-egyik címletet felhasználni)?
4. Egy évben legfeljebb hány olyan hónap lehet, amelyben öt vasárnap van?
5. osztály, 2. nap Országos dönt®
1. Számítsuk ki az összes tízes számrendszerbeli háromjegy¶ szám számjegyeinek összegét!
2. Hányféleképpen lehet a kocka lapjait pirosra és kékre festeni, ha két kifestést nem tekintünk különböz®nek, ha azok egymásba forgathatók?
3. Számítsuk ki a következ® összeget:
1 + 2−3−4 + 5 + 6−7−8 + 9 + 10−11−12 + 13 +· · ·+ 2006−2007−2008 + 2009. 4. Érdekes, hogy alakú keretekb®l (három 1 hosszúságú szakasz U alakban) össze lehet
állítani négyzetrácsot. Például 2×2-es négyzetrácsot így:
Mutassuk meg, hogy3×3-as és5×5-ös négyzetrácsot is össze lehet állítani ilyen keretekb®l!
6. osztály, 1. nap Országos dönt®
1. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában a szám-jegyek szorzata 5040?
2. Hány olyan négyjegy¶ szám van, amelyben a számjegyek összege páros?
3. Az ABCDtéglalap oldalain felvettük aP, Q, R, S harmadoló pontokat. Az ABCDtéglalap területének hányad része a P QRS négyszög területe?
A B
D C
P
Q R
S
4. Egy anyának és két lányának az életkora egy prímszám három különböz® hatványa. Hány éves az anya és két lánya most, ha tudjuk, hogy egy évvel ezel®tt mindhármuk életkora prímszám volt?
6. osztály, 2. nap Országos dönt®
1. Keressünk minél nagyobb olyan tízes számrendszerben felírt számot, amelyre igaz a követ-kez® tulajdonság: a két széls® számjegy kivételével minden számjegyének kétszerese kisebb, mint a vele szomszédos két számjegy összege (pl.: 743347 ilyen szám).
2. Peti azt javasolja a Nemzeti Banknak, hogy a bevont 1 és 2 forintosok helyett vezessék be a 3 forintost, mert így minden 7 Ft-nál nagyobb egész forintot ki lehetne zetni akár 3 és 5 forintosokkal is, nem kellene kerekíteni. Igaza van-e Petinek?
3. Egy kocka csúcsait pirosra és kékre festhetjük. Hány különböz® kifestés lehetséges, ha két kifestést akkor tekintünk azonosnak, ha egymásba forgathatók?
4. Hány olyan négyjegy¶ tízes számrendszerbeli szám van, amelyben van legalább két egyforma számjegy?
7. osztály, 1. nap Országos dönt®
1. Van-e prímszám a következ® alakú tízes számrendszerbeli számok között:
121,11211,1112111,111121111, . . . ?
2. AzABC háromszögbenP aBC oldal,Q aP A szakasz,R aBQszakasz, végül S aCR sza-kasz felez®pontja. Az ABC háromszög területe hányszorosa aQRS háromszög területének?
3. Igazoljuk, hogy a 3 pozitív egész kitev®j¶ hatványainak tízes számrendszerbeli alakjában az utolsó el®tti számjegy mindig páros (31 = 03, és32 = 09).
4. Az els® tíz pozitív egész szám összegében: az1 + 2 + 3 + 4 +· · ·+ 9 + 10összegben bármelyik szám el®jelét +-ról −-ra változtathatjuk. Elérhet®-e így, hogy az új összeg értéke 20 legyen?
5. Hány olyan négyjegy¶ tízes számrendszerbeli szám van, amelynek számjegyei pontosan két-féle, 0-tól különböz® számjegyb®l állnak?
7. osztály, 2. nap Országos dönt®
1. András és Bea testvérek. András arra a kérdésre, hogy hány évesek, így válaszolt. Ha a húgom, Bea annyi id®s lesz, mint én vagyok most, akkor együtt 25 évesek leszünk. Most én háromszor olyan id®s vagyok, mint a húgom volt akkor, amikor én olyan id®s voltam, mint a húgom most. Hány éves most Andris és Bea?
2. Egy tízes számrendszerben felírt számról azt mondjuk, hogy szerencsés, ha a számjegyeit két olyan csoportra bonthatjuk, amelyben a számjegyek összege egyenl®. Például 11,22,99,123 szerencsés számok. Melyik az a legkisebb szerencsés szám, amelyre igaz, hogy a nála eggyel nagyobb szám is szerencsés?
3. Jelöljön A egy 2008 jegyb®l álló, 9-cel osztható számot. Legyen B az A számjegyeinek összege,C a B számjegyeinek összege, végülDaC számjegyeinek összege. Határozzuk meg D értékét!
4. Az ABCD négyzet AC átlóján lév® P pontra igaz, hogy AP =AB. A BC oldalon lév® Q pontra igaz, hogy P Qmer®leges AC-re. Igazoljuk, hogy aP C, P Q, BQszakaszok egyenl®k!
8. osztály, 1. nap Országos dönt®
1. Igazoljuk, hogy ha két pozitív egész szám összege 2310, akkor a két szám szorzata nem osztható 2310-zel!
2. Azt mondjuk, hogy a 8, 9 szomszédos számokból álló számpár érdekes, mert 8 = 23, 9 = 32, azaz mindkét szám prímtényez®i legalább második hatványon szerepelnek. Keress még legalább egy ilyen érdekes számpárt!
3. Az ABCD négyzet oldalának hossza 1. Az AB oldalon felveszünk egy P pontot, az AD-n pedig egy Qpontot úgy, hogy azAP Q háromszög kerülete 2 egység legyen. Igazoljuk, hogy P CQ^= 45o!
4. Egy sorozat els® két tagja: a1 = 2, a2 = 3 és minden további tag a két szomszédjának szorzatánál eggyel kisebb. Számítsuk ki a sorozat els® 560 tagjának összegét!
5. Egy egész oldalhosszúságú négyzetet feldaraboltunk 100 (nem feltétlenül egybevágó) négy-zetre. Ezek közül 99-nek a területe 1 területegység. Mennyi lehet a századik négyzet területe?
Megvalósítható-e a kapott eredmény?
8. osztály, 2. nap Országos dönt®
1. Melyek azok a p pozitív prímszámok, amelyekre igaz, hogy 4p−1 négyzetszám?
2. Számítsuk ki egy háromszög és a súlyvonalaiból szerkesztett háromszög területének arányát!
3. Ábrázoljuk a következ® függvényt a [−2; 4] intervallumon:
f(x) =
|x−1| − |x−3|
.
4. A derékszög¶ háromszögbe írt kör átfogóra illeszked® érintési pontja két részre osztja az átfogót. Igazoljuk, hogy e két szakasz hosszának szorzata a háromszög területével egyenl®!