Legyenek adott vektorai a V vektortérnek. Most nézzük meg, hogy milyen skalárok esetén lesz a
lineáris kombináció a zérusvektor. A legnyilvánvalóbb válasz erre, hogy például akkor, ha . Ha ettől különböző esetben ez nem fordulhat elő, akkor azt mondjuk, hogy az vektorok lineárisan függetlenek, vagy más szóval lineárisan független vektorrendszert alkotnak. Egyébként pedig lineárisan függő vektorokról beszélünk.
Vektorterek
Egy vektortér adott véges sok vektorát lineárisan függetleneknek mondjuk, ha azok lineáris kombinációjaként a zérusvektor csak úgy állítható elő, hogy minden együttható nulla. Egyébként a vektorokat lineárisan függőeknek mondjuk. Végtelen sok vektort tartalmazó vektorrendszerre akkor mondjuk, hogy lineárisan független, ha annak bármely véges alrendszere lineárisan független, azaz közülük bárhogyan is választunk ki véges sok vektort, azok lineárisan függetlenek lesznek.
Könnyen igazolható, hogy ha H lineárisan független vektorrendszer (azaz vektorai lineárisan függetlenek), akkor minden H-ból vektorok elhagyásával nyert nemüres vektorrendszer szintén lineárisan független.
9.3. Tétel. A V vektortér vektorai, ahol , pontosan akkor lineárisan függőek, ha közülük valamelyik felírható a többi lineáris kombinációjaként.
Bizonyítás. Valóban, ha az vektorok lineárisan függőek, akkor a
egyenlőség úgy is teljesül, hogy az együtthatók között van nullától különböző. Legyen ez mondjuk . A fenti egyenlőséget -gyel osztva, majd átrendezve kapjuk, hogy
vagyis az vektor előáll a többi lineáris kombinációjaként. Fordítva, ha például
akkor teljesül a
egyenlőség, melyben együtthatója nem nulla. Tehát az vektorok lineárisan függőek.
A tételből könnyen következik, hogy 1.
ha egy vektorrendszer tartalmazza a zérusvektort, akkor lineárisan függő;
2.
ha egy vektorrendszer két azonos vektort tartalmaz, akkor lineárisan függő;
3.
két vektor pontosan akkor lineárisan függő, ha egyik a másiknak skalárszorosa.
A tér két szabadvektora pontosan akkor lineárisan függő, ha párhuzamosak, három szabadvektor pedig pontosan akkor lineárisan függő, ha komplanárisak (azaz egy síkra illeszkednek).
Egy vektortér egy lineárisan független generátorrendszerét a vektortér bázisánaknevezzük.
Könnyen látható, hogy a bázis tulajdonképpen egy „minimális” generátorrendszer. Hamel tétele szerint minden vektortérnek van bázisa.
A V maximális lineárisan független vektorrendszerén olyan lineárisan független vektorrendszert értünk, amely bármely V -beli vektor hozzávétele után már lineárisan függő lesz.
9.4. Tétel. Legyen B a V vektortér egy vektorrendszere. Az alábbi állítások ekvivalensek:
1.
B bázisa V -nek.
2.
B maximális lineárisan független vektorrendszere V -nek.
3.
V minden eleme egyértelműen felírható B elemeinek lineáris kombinációjaként.
Bizonyítás. Mivel B bázis, így generátorrendszer is, és tetszőleges vektor előáll B-beli vektorok lineáris kombinációjaként. Ekkor a9.3. tétel értelmében Ba-val kiegészítve már lineárisan függő, tehát Bmaximális lineárisan független vektorrendszer.
Válasszunk egy tetszőleges vektort! Mivel B maximális lineárisan független vektorrendszer, léteznek olyan vektorok, hogy a
egyenlőség teljesül úgy, hogy a skalárok nem mindegyike nulla. Itt feltehető, hogy , ugyanis ellenkező esetben B-nek lineárisan függőnek kellene lennie.
Kaptuk tehát, hogy
melyből következik, hogy minden előáll B-beli vektorok lineáris kombinációjaként, azaz B generátorrendszer.
Tegyük fel, hogy az vektor kétféleképpen is előáll az különböző B-beli vektorok lineáris kombinációjaként:
és
Kivonva egymásból a kettőt, kapjuk, hogy
Mivel B lineárisan független, ez csak úgy lehet, ha
tehát az előállítás egyértelmű.
Feltéve, hogy V minden eleme egyértelműen előáll B-beli vektorok lineáris kombinációjaként, kapjuk, hogy B generátorrendszer. Nyilván a zérusvektor is csak egyféleképpen áll elő B elemeinek lineáris kombinációjaként, ez nem lehet más, mint a csupa nulla együtthatókkal vett lineáris kombináció, ezért B lineárisan független. Tehát B bázis.
Példa: Könnyen látható, hogy a vektortérben az
vektorok bázist alkotnak, melyet a vektortér természetes bázisának nevezünk. Továbbá, a polinomok vektorterének egy bázisa
Vektorterek
Ismert, hogy végesen generált vektortérben minden bázis egyenlő számosságú. Egy végesen generált V vektortér bázisainak közös számosságát a vektortér dimenziójának nevezzük. Jele: . Mint azt az előbb
láthattuk, .
Ha egy vektortér nem végesen generált, akkor azt mondjuk, hogy a vektortér dimenziója végtelen. Például .
Mi a továbbiakban csak végesen generált vektorterekkel foglalkozunk.
Megjegyezzük, hogy ha a V vektortér dimenziója n, akkor belátható, hogy minden nelemű lineárisan független vektorrendszer bázist alkot V -ben, és minden n-nél kisebb elemszámú lineárisan független vektorrendszer bázissá egészíthető ki további vektorok hozzávételével.
Legyen a V vektortér egy bázisa. Most szükségünk lesz arra a feltevésre, hogy a bázisvektorok sorrendje rögzített, ezért az n darab bázisvektort egy rendezett elem n-es komponenseinek tekintjük, és a bázist ennek megfelelően -nel jelöljük. Ha , akkor azon skalárokat, melyekre
, az a vektor bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
Ha aza vektort az előre rögzített bázisban koordinátáival adjuk meg, akkor azt írjuk, hogy . Ez a jelölés első ránézésre megtévesztő lehet, mert ez így olyan, mintha a egy -beli vektor lenne. Könnyen látszik azonban, hogyha az x és y vektorok koordinátái az adott bázisra vonatkozóan
rendre és , akkor az vektor koordinátái ugyanebben a bázisban
, továbbá tetszőleges skalár esetén a vektor koordinátái pedig lesznek. Következésképpen, koordinátákkal adott vektorokkal „ugyanúgy” kell a vektortér alapműveleteit elvégezni, mint a elemeivel, ezért nyugodtan kezelhetjük a koordinátákat elemeiként.
Ezt a koncepciót a Lineáris leképezések című fejezetben tovább pontosítjuk.
Definíció szerint vektorainak a tér természetes bázisára vonatkozó koordinátái pontosan a vektor komponensei lesznek.
Most megmutatjuk, hogy az vektortérben az és vektorok bázist alkotnak, és felírjuk a vektor koordinátáit az bázisban. Lévén , ahhoz, hogy az
vektorok bázist alkotnak, elég belátni, hogy lineárisan függetlenek, vagyis azt kell megmutatni, hogy a
egyenlőség csak a esetben teljesülhet. Az egyenlőség bal oldalán lévő kifejezés
amely nyilván csak úgy lehet egyenlő a vektorral, ha
és
Ez egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer, melynek megoldása történhet például úgy, hogy az első egyenletből -t kifejezzük: , majd ezt a második egyenletbe helyettesítjük:
ahonnan , azaz adódik. Ekkor , tehát az vektorok lineárisan függetlenek, és így egy bázisát alkotják az vektortérnek. Ahhoz, hogy kiszámoljuk a vektor koordinátáit az bázisban, a
egyenlet megoldására van szükség, melynek bal oldala megegyezik az imént megoldott(9.1) egyenlet bal oldalával. Ugyanazt az eljárást alkalmazva a
egyenletrendszerhez jutunk, melynek és megoldására az olvasó valamely általa ismert módszerrel bizonyára könnyen rábukkan. A b vektor új koordinátái tehát 5/4 és 11/4, melyet úgy jelölünk, hogy . A bázisvektorok sorrendjének fontosságának hangsúlyozása céljából megemlítjük, hogy a b vektor koordinátai az bázisban nyilván lennének.
Láthatjuk, hogy a lineáris egyenletrendszerek megoldása a feladat megoldásának fontos eszköze. Ha magasabb dimenzióban számolunk, kettőnél több ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszerek megoldására lesz szükség. Többek között emiatt szenteljük a következő fejezetet a lineáris egyenletrendszerek elméletének áttekintésére.