3. A valószűnűségszámítás alapjai
3.8. Valószínűségi változók függvényének eloszlását jellemző mennyiségek
Tekintsünk egyetlen mérést. Ezt a valószínűségelméleti bevezető alapján egy valószínűségi változó realizációjának tekinthetjük. Ebből a mérésből számoljunk ki egy minket érdeklő mennyiséget. Ez a mennyiség ugyancsak valószínűségi változó lesz. Eszerint a minket érdeklő mennyiség, egy valószínűségi változó függvénye.
Ahogy korábban láttuk, egy valószínűségi változót legteljesebb mértékben az eloszlásfüggvénye jellemez, de lehet, hogy minket csak valamely jellemzője, pl. várható értéke, vagy szórása érdekel.
A Gauss féle hibaterjedési törvény azt mondja ki, hogy amennyiben van egyξvalószínűségi változónk, ami egy ismert eloszlásból származik (ismert az sűrűségfüggvény), és adott a változó függvénye, amely monoton csökkenő vagy növekvő, de mindenképpen differenciálható, amelynek inverze: akkor az valószínűségi változó is folytonos eloszlású, amelynek a sűrűségfüggvénye:
(3.80)
A fenti tételt alkalmazzuk egy ξ standardizált normális eloszlású változózóra, amelynek sűrűségfüggvénye:
(3.81)
És határozzuk meg az függvénnyel megadható valószínűségi változó sűrűségfüggvényét!
A valószűnűségszámítás alapjai
Ennek a függvénynek az inverz függvénye a következő:
(3.82) (a négyzetgyököknek csak a pozitív értékét vesszük figyelembe a továbbiakban).
Ahinverz függvény segítségével írjuk fel a sűrűségfüggvényt, mint azyváltozó függvényét!
(3.83) Ahinverz függvény deriváltjának az abszolút értéke:
(3.84)
A két függvény szorzata adja a keresett sűrűségfüggvényt:
(3.85)
Vizsgáljuk meg, hogy hogyan alakul valamely valószínűségi vektorváltozók függvényének a várható értéke! Ehhez válasszunk egy ξ=(ξ1, ξ2, …, ξN) valószínűségi vektorváltozót, amelynek tekintsük egy lineáris függvényét (transzformáltját):
(3.86)
Ahol az ηugyancsak valószínűségi vektorváltozó. AzA mátrix a lineáris transzformációt leíró mátrix. Azη vektorváltozó várható értékének képlete:
(3.87) Aholaaξvektorváltozó elemeinek várható értékeinek vektora.
Vizsgáljuk meg, hogy hogyan alakul valamely valószínűségi vektorváltozó függvényének a kovariancia mátrixa!
Használjuk fel a kovarianciamátrix vektoros felírását!
(3.88)
Ha azAmátrix, egy olyan mátrix, amelyik a (2.5) képletben szerepelőUmátrixnak felel meg, akkor megkapjuk azξvektorváltozó kovarianciamátrixának spektrálfelbontását. Ezt az eredményünket a geofizikai inverz feladat megoldása után, a paraméterek becsült hibáinak (szórásának, kovarianciáinak és korrelációjának) a meghatározására fogjuk használni.
A valószűnűségszámítás alapjai
4. fejezet - A geofizikai inverzió általános megfogalmazása
A hétköznapi életben megszoktuk, hogy egy méréssel általában meg tudunk határozni egy minket érdeklő mennyiséget. Például a mérlegre állva megmérjük a testtömegünket, vagy egy mérőszalag segítségével az asztal szélességét.
A fizikában, a csillagászatban, a geofizikában és a távérzékelésben meg kell barátkoznunk a gondolattal, hogy a minket érdeklő mennyiségeket nem tudjuk közvetlenül megmérni!
Nézzünk néhány, a fenti állítást alátámasztó geofizikai példát! A minket érdeklő földtani környezet megismerése céljából végzett mérések lehetnek például:
• A nehézségi gyorsulás mérése a földfelszín egy területén egy szelvény mentén
• Mágneses indukció (térerősség) mérése a földfelszínen egy egyenközű rácsban
• Egyenáramú multielektródás mérés egy szelvény mentén Wenner-Schlumberger elrendezésben.
• Reflexiós Szeizmikus mérés egy szelvény mentén.
Ezekben a mérésekben a közös, hogy a mérések eredményeként adatokat nyerünk. Az adataink különfélék:
nehézségi gyorsulás értékek a szelvény menti hosszúság függvényében, mágneses indukció értékek egy rács pontjain, látszólagos fajlagos ellenállás értékek a szelvény menti hosszúság és az elektródatávolság függvényében, vagy a robbantás után egy időintervallumban a geofonokon a mért kitérések hullámképe.
Általában valamilyen módon vizualizálhatjuk ezeket az adatokat, és ez valamilyen előzetes képet ad a vizsgált terület geológiai- geofizikai viszonyairól. Egy eddig még nem kutatott terület első vizsgálata során a méréseinktől azt várjuk, hogy „lepjenek meg” minket, a mérési adatokban valami „szokatlan”, nem várt jelentkezzen. Ezt úgy foglalhatjuk össze, hogy a méréseinkben a háttér értékeitől (valamilyen rendezett formában) eltérő mennyiségeket mérjünk. Ilyen jelenség lehet, hogy
• a mért nehézségi gyorsulás térjen el a háttérértékektől a szelvény pontjaiban, de lehetőleg úgy, hogy egy szakaszon nagyobb, egy szakaszon kisebb legyen
• a mágneses indukció térjen el úgy a háttérértékektől a rácson, hogy valahol egy területen a háttérnél nagyobb, annak közelében, attól (közel) északra egy kisebb, a háttérértékeknél kisebb indukcióértékekkel jellemezhető terület legyen.
• az elektromos szelvény mentén a szelvény egy szakaszán nagy ellenállások legyenek, úgy, hogy a szelvény többi részén
• szeizmikus hullámképen jól követhető, változó „mélységű” reflexió jelenjen meg.
Általában nem elégszünk meg a mért értékekből előállított vizuális termékek szemlélésével, ugyanis minket számos alkalommal nem közvetlenül a mért értékek érdekelnek, hanem azok ahatók, amelyek valamilyen fizikai jelenség segítségével létrehozták a mérési adatokat. A hatók valamilyen geológia, földtani (esetenként ember alkotta, pl.
régészeti) objektumok. A hatókat, mivel valamilyen fizikai teret befolyásolnakforrásoknak is nevezzük. Amennyiben nem teljesen ismeretlen területen mérünk, a kutatási területről meglevőelőzetes (a priori) ismereteink lehetnek a hatókról. A fenti példáknál maradva:
• Egy eltemetett vető, amelynek a két oldalán azonos mélységben levő különböző sűrűségű kőzetek különböző gravitációs teret hoznak létre
• Az egykori kráter kürtőjét kitöltő kihűlt lávatest, amelyik saját mágneses térrel rendelkezik
• Az eltemetett egykori kavicsos-homokos folyómeder, aminek a fajlagos ellenállása eltér az egykori hullámtér agyagjának fajlagos elektromos ellenállásától
• A váltakozó homokos-agyagos üledékes rétegsor felboltozódása, ami a visszavert hullámképben jelenik meg.
Ezekről a minket érdeklő hatókról van valamilyen előzetes szemléletes képünk. Láttunk vár vetőt egy hegylábi területen, kipreparálódott vulkáni tömzsöt, recens folyómedret és eróziósan feltárt gyűrt rétegsort. Közelről szemlélve látjuk ezeknek a szerkezeteknek a bonyolultságát. Távolabbról szemlélve – a részletek elhagyásával – egyszerűsíthetjük ezekről a hatókról alkotott képünket, ezt az egyszerűsített képet nevezzükmodellnek:
• A vetőt egy térképre berajzolható csapásvonalú lépcsőfüggvénnyel helyettesítjük, amelynek magassága a vető elvetési magassága, és amely fölötti és alatti térrészekre különböző (de térrészenként állandó) sűrűségű kőzeteket gondolunk.
• A kihűlt lávatestet egy függőleges, téglalap alapú hasábbal helyettesítjük, amelynek állandó mágnesezettsége van
• A folyómedret az elektromos szelvény vonalára merőleges irányba végtelen, a szelvény hossza és mélysége irányában rögzített méretű derékszögű hasábnak gondoljuk, amelynek fajlagos ellenállása eltér annak a féltérnek az ellenállásától, amely magába foglalja
• A szeizmikus szelvény nyomvonalára merőleges csapású, közel haranggörbe alakú felboltozódás, antiklinális forma
A modell, tehát valamilyen formában egyszerűsített képe a valóságnak. Az egyszerűsítés lehetgeometriaijellegű, vagyis olyan geometriai forma, ami matematikailag jól kezelhető:
• Az eltemetett vető vonalát egyenesnek gondoljuk, az eltemetett kőzettestek felszínét vízszintesnek és a vetősíkot függőlegesnek
• A vulkáni tömzs egy függőlegesen álló négyzetes hasáb
• A folyómeder a szelvényre merőleges irányban végtelen, a szelvény irányában és függőlegesen lefele véges kiterjedésű hasáb.
• A réteg teteje egy másodfokú függvénnyel leírható felület.
Alkalmazhatunk anyagi jellegű egyszerűsítéseket is: eltekintünk azinhomegenitásoktól, a sűrűség, a mágnesezettség, a fajlagos ellenállás és a szeizmikus sebességek helyfüggésétől, helyettük térrészenkénthomogénanyagi jellemzőket tételezünk fel. Nem vesszük figyelembe az elektromos ellenállás és a szeizmikus sebességek irányfüggését, így a közegmodellünkizotróp. (Bizonyos geofizikai feladatokban az anyagi jellemzők irányfüggőek, pl. vékony homok és agyagrétegek váltakozás esetén az egész rétegösszletre számolt fajlagos elektromos ellenállás függőleges irányban más, mint vízszintes irányban. Ilyen rétegösszletekre a rugalmas paraméterek és így a szeizmikus sebességek is irányfüggőek lehetnek. Az ilyen kőzettulajdonságotanizotrópiának nevezzük.)
A modellünkkel szemben elvárás, hogy segítségével meg tudjuk jósolni, a méréseink eredményeit. Például:
• Ki tudjuk számolni egy adott csapásvonalon érintkező, különböző sűrűségű lemezek gravitációs hatását a felszín bármelyik pontjában (Azokban a pontokban is, ahol a gravitációs méréseink történtek.)
• Ki tudjuk számolni a földi mágneses tér és egy mágnesezett hasáb együttes terét (A tér bármely pontjában, akár ott is ahol a mágneses méréseink történtek)
• Ki tudjuk számolni egy a szelvényre merőleges irányban végtelen, a szelvény mentén és függőlegesen véges kiterjedésű, érintkező hasábokból álló, hasábonként adott fajlagos ellenállású féltér felszínén, a szelvény különböző pontjain elhelyezett áram és mérőelektródák esetén a látszólagos fajlagos ellenállásokat.
• A sugárkövetés módszerével meg tudjuk adni, hogy egy ismert geometriájú reflektáló felületről visszaverődve, adott szeizmikus sebességtér esetén mikor érkezik be egy adott geofonhoz a szeizmikus forrásból származó jel.
A geofizikai inverzió általános megfogalmazása
A fenti példákban, a mérési eredmények „jóslását” lehetővé tevő számolást direkt feladatnak nevezzük.
(Megkülönböztetendő a később tárgyalt inverz feladattól.) A direkt feladat további nevei: elméleti (theoretikus) mennyiségek, szintetikus adatok (mivel mi számoltuk ki), modell tér (mivel a modell hozza létre, vagy befolyásolja a fizikai teret) illetve elméleti válaszfüggvény.
Ahhoz, hogy a direkt feladatot ki tudjuk számolni (vagyis olyan mennyiségeket kapjunk, amiket össze tudunk hasonlítani a méréseink eredményeivel) ismernünk kell a direkt feladatparamétereit. Paramétereknek nevezzük a modell jellemzőit, amik szerepelnek a direkt feladat egyenleteiben. (A paraméterek további nevei: ismeretlenek, együtthatók, a ható jellemzői.) A példánknál maradva:
• A vető két oldalán levő kőzettestek sűrűsége, és a két kőzettest felszín alatti mélysége.
• Az álló négyzetes hasáb magassága, alaplapjának oldalhossza, a fedlapjának a felszín alatti mélysége és a mágnesezettsége.
• A beágyazó kőzet fajlagos ellenállása, a téglaalap alakú szelvényre merőlegesen végtelen hasáb szelvény menti szélessége és magassága, valamint a hasáb középvonalának szelvény menti koordinátája és mélysége.
• A reflektáló felületet másodfokú függvénnyel közelítő felület egyenletében szereplő együtthatók és a felülettől a felszínig tartó térrész szeizmikus sebességtere.
A direkt feladatnak tehát a paraméterek (és a mérési pontok koordinátái) a változói, és visszaadott értékei azok a fizikai mennyiségek, amelyek a mérési eredményekkel közvetlenül összehasonlíthatók.
Általában a méréseink száma nagyobb, mint a direkt feladatban szereplő paraméterek száma. Tételezzük fel, hogy valamilyen forrásból tudjuk a paramétereink „jó” értékeit, és ezeket az értékeket behelyettesítve a direkt feladatba, a mérések helyén megkapjuk a direkt feladat segítségével az elméleti tér értékeinket. Ezek az értékek általában eltérnek a mért értékektől. Ezeket az eltéréseket összefoglalóanhibáknak nevezzük.
A hibák természetével kapcsolatban többféle feltételezéssel élünk, ezeket a „A valószűnűségszámítás alapjai” c.
fejezetben részletesen tárgyaljuk.
Vizsgáljuk meg, hogy hogyan tudnánk a méréseinkből a direkt feladatban szereplő paramétereket maghatározni!
Nagyon elegáns lenne, ha az egyes direkt feladatokban szereplő matematikai egyenleteket meg tudnánk fordítani (invertálni), majd ezeket az egyenleteket a mérési mennyiségekre alkalmaznánk és megkapnánk a paramétereket.
Ezt bizonyos esetekben meg is tudjuk tenni. Erre épül alineáris inverzióelmélete, amit a „Lineáris inverzió” c.
fejezetben tárgyalunk.
Sajnos a megoldás – a valódi geofizikai problémák esetén – nem ilyen egyszerű, ezért a matematikai statisztika eszközkészletéhez kell visszanyúlnunk („A valószűnűségszámítás alapjai” c. fejezet).
A matematikai statisztika problémafelvetése szerint valamilyen eloszlású statisztikai sokaságból származó valószínűségi változóból mintát veszünk, és ennek a mintának a segítségével becsüljük meg a statisztikai sokaság valamely jellemző paraméterét.
Ennek során a direkt feladatban szereplő modellparamétereket valószínűségi változóknak tekintjük. A direkt feladat megoldást a valószínűségi változók egy függvényének, a mérési eredményeket, pedig ennek a függő valószínűségi változó realizációjának, vagyis ebből a statisztikai sokaságból vett mintának tekintjük.
Eszerint a geofizikai inverzió, vagyis a modell paraméterek meghatározása a mérési adatokból, statisztikai értelemben véve becslésnek tekinthető. Emiatt az inverzióval szemben ugyanazokat a feltételeket támaszthatjuk, mint a statisztikai becslésekkel kapcsolatban: a torzítatlanságot és a hatásosságot.
A fenti modellekkel kapcsolatban összefoglalhatjuk, hogy modellnek nevezzük azt az elvi vagy anyagi objektumot, amelyik visszatükrözve a geofizikai kutatás tárgyát és módszereit, képes azt úgy helyettesíteni, hogy vizsgálata új információt nyújtson az objektumról.A modellek megalkotása és használata során az alábbi típusú egyszerűsítéseket alkalmazzuk:
1. Reális források ideális forrásokkal történő felcserélése
A geofizikai inverzió általános megfogalmazása
2. Számításba nem vett ismeretlen források hatása 3. Természeti törvények nem teljes és pontos ismerete 4. A számítások során (tudatosan) megengedett közelítések
A geofizikai inverzió általános megfogalmazása
5. fejezet - A geofizikai inverzió statisztikai megközelítése
Az előző fejezetben bevezettük a modell fogalmát. Megállapítottuk, hogy egy modellhez mindig kapcsolni tudunk egy direkt feladatot. A direkt feladat alkalmas arra, hogy segítségével a „megjósoljuk” a mérési eredményeinket.
Ebben a fejezetben megvizsgáljuk azt, hogy hogyan kell felépíteni a matematikai statisztikai alapelveinek a figyelembevételével az inverz feladatot megoldó algoritmusainkat.
A fejezet első részében bemutatjuk, hogy a valószínűségelmélet segítségével hogyan fogalmazhatjuk meg a geofizikai inverz feladatot.
A fejezet második részében bemutatjuk az inverz feladat megoldási menetét.
A harmadik részben a „kritériumfüggvény” lehetséges alakjait vizsgáljuk.
A negyedik részben a paraméterek becsléséhez használt minimumkereső eljárásokat mutatjuk be.
A fejezet utolsó részében mutatjuk be becsült paraméterek statisztikai elemzését szolgáló algoritmusokat, ami az eredmények minőségellenőrzését szolgálja.
5.1. A geofizikai inverz feladat megfogalmazása
A valószínűségelmélet diszkrét és folytonos változókra felírt összefüggéseiből kiindulva a három modell típust különböztetünk meg. Ezeket, mivel a mérési anyagból kiindulva von le következtetést a geológiai-geofizikai valóságra, a mérési anyaginterpretációjának nevezzük.
Az első típus a tisztaminőségi interpretáció(diszkrét eset). Ekkor a mérések segítségével valamilyen diszkrét értéket akarunk az adott mérési adatrendszerhez hozzárendelni. Erre példa az osztályozás: Egy műholdkép egyetlen képpontjáról el akarjuk dönteni, hogy az növényzetet, csupasz talajt vagy vizet ábrázol.
A második típus a tisztamennyiségi interpretáció(folytonos eset): a geológia-geofizikai modellt definiáljuk, ebből következik a direkt feladat, és a méréseink segítségével csak a modellben szereplő paraméterek becsült értékeire vagyunk kíváncsiak. Példa erre a gravitációs kutatási példa, amelyben csak a vető elvetésének nagyságát és térképi nyomvonalát akarjuk meghatározni.
A harmadik típusba azösszetett (mennyiségi-minőségi) interpretációtartozik. A méréseinkre többféle modell is illeszkedik, többféle modell alapján is el tudnánk végezni a mennyiségi interpretációt. A kitűzött cél, hogy miután elvégeztük a szóba jöhető modellekre a mennyiségi interpretációt (meghatároztuk a paramétereket) megpróbáljuk eldönteni, hogy melyik modell a legvalószínűbb. Erre példa lehet a vulkáni kürtő kitöltését vizsgáló mágneses kutatás: a kürtőt kitöltő vulkáni test geometriai modellje lehet az általunk eddig használt négyzetes hasáb, de lehet álló henger vagy csonka-kúp. A különböző modellekhez így más paraméterek tartoznak, és modellenként más és más lehet a paraméterek száma is. Összefoglalva tehát ez esetben az interpretáció azt jelenti, hogy a méréseket feldolgozom a különböző modellekkel, és a feldolgozási eredmények alapján döntöm el, hogy melyik modellt fogadom el a valóság megfelelő reprezentációjának.
A geofizikai kutatás elengedhetetlen része a vizsgált objektumról előzetesen – a priori – rendelkezésre álló valamennyi ismeret összegyűjtése. Ez nem csak a vizsgált területre, a modell-objektumra, a környezetében levő hatókra, hanem az alkalmazott módszerre a hatók és a mérési eredmények közötti kapcsolatra is vonatkozik. Ezeket aza prioriinformációkat a legteljesebb mértékben figyelembe kell venni a sikeres kiértékelés érdekében. Ezeknek az ismereteknek az elhagyása esetén – szélsőséges esetben – nem tudunk a méréseinkből semmilyen következtetést levonni. Az előzetes feltételezések tehát nemcsak térben, de gondolati szinten is lehatárolják a vizsgálatainkat. Ez utóbbit akísérleti anyag matematikai modelljének tekintjük.
A kísérleti anyag additív modellje
Vizsgáljuk a Földfelszín egy darabját, – olyat, amelyet geológiailag (pl. fúrásokkal) elfogadhatóan ismerünk – valamilyen felszíni geofizikai mérési módszerrel. Megalkotva a terület geológia-geofizikai modelljét, jóslásokat tehetünk a mérési értékekre a direkt feladat segítségével. A mért értékeink – szinte biztosan –eltérnek majd ezektől az elméletileg meghatározott értékektől. Ezt az eltérésthibának tekintjük. Az eltérés oka lehet – ahogy az előző fejezet végén láttuk – a nem modellezett hatók hatása, a hatók egyszerűsítése, a pontatlanul ismert vagy megadott direkt feladat. Ezeket a hibaforrásokat együttesenmodellhibának nevezzük. A mérőműszer pontatlansága, vagy egyéb a mérés során fellépő zavaró tényezőket összefoglalvamérési hibának nevezzük. Előfordulhatnak olyan hibák is, amelyek (általában) ritkán fordulnak elő, és hatásuk nagyon megváltoztatja a mérési eredményt. Ezeket durva hibáknak nevezzük. (Nevezhetjük baklövésnek, az angol nyelvű szakirodalombanblundervagyoutlier.) Ilyen hibák lehetnek például a műszer rossz leolvasásából, a jegyzőkönyvben hibásan felírt adatból, vagy a mérési tartomány túllépéséből eredő hibák. Ezek a hibák, mivel ritkán fordulnak elő, általában nem kezelhetők a statisztika segítségével. A durva hibákat általában az inverzió első lépésében, sokszor manuálisan vagy félig automatizált módon, de el kell távolítani az adatrendszerből, ezeket a méréseket ki kell hagyni a további feldolgozásból.
A mérési mennyiségeket eszerint – meghagyva az általános kezelés lehetőségét – az alábbi formában írhatjuk:
(5.1)
(a vastagon szedett betűk itt is a vektorokat jelölik). Azuvektor jelöli a kísérleti anyagot, vagyis a méréseket, ennek elemei az egyes mérések.
Azfvektorba vannak összefoglalva adirekt feladatmegoldásai, vagyis minden mérési adathoz van egy elméleti megoldásunk. Ahogy korábban említettük, ez mennyiségi interpretációnál a paraméterek függvénye. Ennek alakját úgy választják meg, hogy ne legyen túlságosan bonyolult (lehetőleg kevés paramétertől függjön) de a reális objektumnak lehetőleg minden – a mérési eredményeket befolyásoló – tulajdonságát vegye figyelembe.
Aznvektor ahibavektor, ami a mért és az ideális tér eltérését jellemzi a megfigyelési pontokban. Ezt a továbbiakban véletlen komponensnek (összetevőnek) nevezzük.
Azuvektor, vagyis a méréseink véletlen jellegét az adja, hogy elkerülhetetlenül léteznek mérési hibák. A felírt egyenlőségben vizsgáljuk meg az ismert és ismeretlen mennyiségek számát! Mivel a mérést elvégeztük, azuvektor elemei ismertek, ezek együttesenNdarab mérés. Azfvektort, vagyis a direkt feladat (Ndarab,u-val megegyező darabszámú) elemét általában néhány (Sdarab)paramétersegítségével ki tudjuk számolni. A paraméterekSszáma általában kisebbN-nél. Ha aznelemeire semmilyen előzetes ismeretünk nincs, akkor a feladat alulhatározott, mert összességében több ismeretlenünk van (N+S), mint mérési eredményünk (N).
Mivel a modellünk a valóság egyszerűsítéséből adódott, ezért a modell alkalmazásával tudatosan kizártunk bizonyos nem véletlen jellegű hatásokat is. Ezeknek a nem véletlen jellegű hatások – terek – figyelembe vételével a mérések modellje
(5.2)
Alakú lesz, aholavektor jelöli a terek nem véletlen jellegű eltérését. Egy ilyen modell esetén a méréseinkkel azonos számú ismeretlenünk lesz azavektorban és – hasonlóan az előző esethez – a feladat alulhatározott lesz.
Emiatt az egyik lehetőség, hogy azanem véletlen komponens elemeit valamilyen egyszerű függvénnyel közelítjük – ekkor tulajdonképpen a direkt feladatot bonyolítjuk el. A másik lehetőség, hogy aznvéletlen komponenst bővítjük ki, úgy, hogy tartalmazza az nem véletlen komponens hatását is, például a modellhibákat. Ez, ahogy később látni fogjuk, torzíthatja a meghatározott paramétereinket.
Ez utóbbi esetbenfvektorthasznos jelnek, aza+nelemeit összevonva tartalmazó újnvektortzajnak nevezzük.
Írjuk fel a méréseink „hasznos jel + zaj” szerinti felbontásával adódó modelljét!
(5.3) A geofizikai inverzió statisztikai megközelítése
A mérési adatok ilyen modelljétadditívmodellnek nevezzük.
Általában a mérési anyagban a méréseinket csoportosítani tudjuk. Az adataink átláthatóbb kezelése érdekében képezzünk összesen 2K+1csoportot, és a csoportjainkat számozzuk meg: a k index –K-tól +K-ig fusson. A csoportosítást úgy végezzük el, hogy két mérési adat, amit különbözőkindexű csoportból vettünk statisztikailag független legyen. Ugyanakkor az ugyanazon kindexű csoportból származó mérések korrelációs kapcsolatban legyenek egymással. Ak-adik csoportba tartozó méréseket számozzuk be aziindexszel, amelynek értéke ak-tól függő–Ik-tól+Ik-ig fusson, ígyiösszesen2Ik+1különböző értéket vehet fel. Ez a felírást Wiener (1949) alkalmazta, aki az információ átvitel kapcsán, időben változó, egymástól független drótvégeken mérhető, egyenletesen mintavételezett elektromos jeleket vizsgált. Itt a nagyszámú drótvégek közül kiválasztott egyetlen drótvég környezetében levő drótvégeket jelöljük akindexszel (így ak= 0 a kiválasztott drótvég), aziindex pedig egy kiválasztott pillanat (i= 0) előtti és utáni időpillanatokban mérhető feszültségek indexe. A felírást megtartását az indokolja, hogy a mérések ilyen csoportosításával alkalmazhatjuk a matematikai modellt több mérési módszerrel végzett méréscsoport együttes, vagy különböző körülmények között (eltérő időpontokban, más pontosságú műszerrel) végzett mérések kiértékelésére. A következőkben bemutatott esetekben általában megtehetjük, hogy egyetlen méréscsoportot alakítunk ki a méréseinkből, ekkork= 0. Az ettől eltérő eseteket külön jelöljük.
Vizsgáljuk meg az egyes modell típusainkra, hogy az additív modell milyen konkrét alakoknak felel meg!
Minőségi interpretációesetén azt keressük, hogy a mérési anyag azNdarab lehetséges modell közül melyiket valószínűsíti leginkább. Ekkor:
(5.4)
A ν=1,2,…,N index az fνkvektor jelölésében a modell-objektum lehetséges állapotától függő funkcionális összefüggést jelöli. Az inverz feladat megfogalmazása ezen állapotok közötti választás optimális eljárásának a
A ν=1,2,…,N index az fνkvektor jelölésében a modell-objektum lehetséges állapotától függő funkcionális összefüggést jelöli. Az inverz feladat megfogalmazása ezen állapotok közötti választás optimális eljárásának a