V´ ag´ asi strat´ egia

LegyenP^ka kiv´alasztott r´eszprobl´ema. A v´ag´asi v´altoz´o kiv´alaszt´asa legyen a k¨ovet-kez˝o:

j = argmax

i=1,...,n

f_i(ω_i^k)−F_i^k(ω_i^k) . (3.4.1) Legyen tov´abb´a p az a v´ag´asi pont, amelyre

p= argsup

t∈[l^k_j,u^k_j]

fj(t)−F_j^k(t) . (3.4.2)

3.4.2. Konvergencia

Tekints¨uk a BB algoritmus ´altal gener´alt BB f´at. Tegy¨uk fel, hogy az algoritmus v´egtelen, teh´at l´etezik egy v´egtelen T^q sorozat, melyre T^q+1 ⊂ T^q, azaz a BB f´aban l´etezik egy, a gy¨ok´erb˝ol kiindul´o v´egtelen ´ut.

Felt´etelezz¨uk, hogy f az intervallum minden bels˝o pontj´aban deriv´alhat´o, ´es a v´egpontokban l´etezik a bal illetve a jobboldali deriv´alt.

Lemma 3.4.1 Legyen P^k egy r´eszprobl´ema, haszn´aljuk a (3.4.1) ´es (3.4.2) part´ı-cion´al´asi szab´alyokat, ´es legyen P^k1 ´es P^k2 az ezut´an kapott r´eszprobl´em´ak. Ekkor

(a) folytonos eset (b) nemfolytonos eset 3.6. ´abra. Az integr´alk¨ul¨onbs´eg folytonos ´es nemfolytonos esetekre.

teljes¨ulnek a k¨ovetkez˝ok:

Bizony´ıt´as. Tekints¨uk a 3.6a ´abr´at. Legyen T1, T2 a megfelel˝o paralelogramm´ak ter¨ulete, akkor a k¨ovetkez˝ok igazak:

p

A nemfolytonos eset hasonl´oan k¨ovetkezik, l´asd a 3.6b ´abr´at. 2

T´etel 3.4.2 limq→∞f(ω^q) −β^q = 0, azaz q → ∞ eset´en a P^q r´eszprobl´ema als´o korl´atja (β^q) tart a r´eszprobl´ema fels˝o korl´atj´ahoz (f(ω^q)).

Bizony´ıt´as. K´et f˝o esetet vizsg´alunk, amikorf folytonos T^q felett, ´es amikor nem.

1. f folytonos T^q felett

Tegy¨uk fel, hogy l´etezik az indexeknek egy olyan N1 ⊆ {1, . . . , n} r´eszhalmaza, hogy

∀q > K eset´en nem t¨ort´enik v´ag´as azN₁ indexhalmazba tartoz´o v´altoz´okon. Tov´abb´a feltehetj¨uk azt is, hogy N₁ a legb˝ovebb ilyen tulajdons´ag´u indexhalmaz. Ez´ert∃ε1 >

0, hogy ∀q > K eset´en

∀j ∈N1, fj(ω_j^q)−F_j^q(ω^q_j)≥ε1 >0.

Az {1, . . . , n} \ N1-n viszont lesz v´ag´as, teh´at a kor´abbi ´all´ıt´asunk szerint

∀j ∈ {1, . . . , n} \ N₁-re,

u^q_j

Z

l_j^q

fj −F_j^q→0, ahogy q→ ∞.

Mivel f folytonos T^q-n, ´ıgy ∀j ∈ {1, . . . , n} \ N1-re F_j^q →fj pontonk´ent.

Ez´ert ∃K1 > K, hogy q > K1 eset´en

∀j ∈ {1, . . . , n} \ N₁, t∈[l^q_j, u^q_j], fj(t)−F_j^q(t)< ε1.

Vagyis az algoritmus azN₁ halmazb´ol fog v´alasztani v´ag´asi v´altoz´ot, de ez ellentmond annak, hogyN₁-benq > K-re nem t¨ort´enik v´ag´as. ´Igy k¨ovetkezik, hogy azN₁halmaz

¨

ures. Azaz

∀j ∈ {1, . . . , n}-re,

u^q_j

Z

l^q_j

f_j−F_j^q →0, ahogy q→ ∞.

´Igy ∀j ∈ {1, . . . , n}-re F_j^q → f_j teljes¨ul pontonk´ent. A folytonos esetre az ´all´ıt´ast bel´attuk.

3.7. ´abra. Part´ıcion´al´as az l_j⁰-t´ol k¨ul¨onb¨oz˝o helyen.

2. f nem folytonos T^q felett

Ha az f nem folytonos T^q-n, akkor a konkavit´as miatt csak a hat´aron lehet a szakad´asi pontja. Legyen D ⊆ {1, . . . , n} a nem folytonos v´altoz´ok indexhalmaza.

Az ´altal´anoss´ag elveszt´ese n´elk¨ul feltehetj¨uk, hogy fj nem folytonos l_j⁰-ban.

Vizsg´aljuk ilyen esetben a v´ag´asok sorozat´at. K¨ul¨onb¨oztess¨uk meg azt az esetet, mikor a v´ag´as l⁰_j-ban t¨ort´enik ´es azt amikor nem.

Amikor v´ag´as l⁰_j-ban t¨ort´ent.

Ekkor k´et intervallumot kaptunk:

Az egyik intervallum, ([l_j⁰, l⁰_j]) egy pontb´ol ´all, ´ıgy az a f¨uggv´eny trivi´alisan folytonos.

A m´asik intervallumon ([l_j⁰, u^q_j]) pedig a f¨uggv´enynek megsz¨untetj¨uk a szakad´as´at azzal, hogy a

f_j⁺ =







f_j(x_j), x_j ∈(l_j⁰, u^q_j] lim_t→l⁰

j+fj(t) xj =l_j⁰ f¨uggv´enyt defini´aljuk, ´es ´ıgy az f_j⁺ folytonos lesz [l_j⁰, u^q_j]-n.

Azf_j⁺ k¨ul¨onb¨ozik azf_j -t˝ol azl_j⁰ (=l^q_j) pontban, de a minimaliz´al´as miatt ez nem okoz v´altoz´ast az optimumban. ´Igy ez az eset is visszavezethet˝o a folytonos esetre.

Tegy¨uk fel, hogy sosem v´agunk az l⁰_j pontban.

A 3.7 ´abr´an l´athat´o, hogy a v´ag´as ut´an k´et ´uj intervallumot kapunk, az egyiken [p, u^q_j]-n az fj folytonos lesz – s ´ıgy ezzel k´esz vagyunk – ´es a m´asik intervallumon

3.8. ´abra. Az f⁺ f¨uggv´eny relax´aci´oja az [l⁰_j, u^q_j] intervallumon.

azfj-nek szakad´asa van. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy ez ut´obbi intervallumok hossza tart a null´ahoz, azaz, u^q_j →l_j⁰ mialattq→ ∞.

Indirekten bizony´ıtunk. Mivel mindig bels˝o pontban v´agunk, ´ıgy azu^q_j szigor´uan mo-noton m´odon cs¨okken, teh´at ezek sorozata konvergens. Tegy¨uk fel, hogy limk→∞u^q_j = u⁺(6=l_j⁰). LegyenF⁺a relax´aci´oja az f_j⁺-nak az [l_j⁰, u^q_j] intervallumon (l´asd 3.8 ´abra).

Az F⁺ > F_j^q teljes¨ul kiv´eve azu^q_j pontot, ahol ezek egyenl˝ok. A k¨ovetkez˝o felt´etel

´all:

k¨ovetkezik. Mivel (3.4.3) minden q-ra igaz, ez´ert ez ellentmond annak az ´all´ıt´asunk-nak, hogy az integr´alk¨ul¨onbs´eg tart a null´ahoz.

El˝oz˝oekben bel´attuk azt, hogy az intervallum hossza tart a null´ahoz, vizsg´aljuk meg hogyan viselkedik ekkor a line´aris k¨ozel´ıt´es¨unk.

Legyen γj =f_j⁺(l⁰_j)−fj(l⁰_j). Mivel f_j⁺ folytonos [l_j^q, u^q_j]-n, ez´ert ∀ε >0, ∃δ, hogy

Azaz,

S−γ_j < f_j⁺(u^q_j)−f_j⁺(l_j⁰)< γ_j −S. (3.4.4) A (3.4.4) egyenl˝otlens´egb˝ol,

f_j⁺(u^q_j)> S +f_j⁺(l_j⁰)−γj =S+fj(l^q_j). (3.4.5) Mivel fj(u^q_j) = f_j⁺(u^q_j), ´ıgy ad´odik az

fj(u^q_j)−f_j⁺(l^q_j)> S

¨osszef¨ugg´es.

Mivelu^q_j →l⁰_j, ´ıgy∀S ∈]0, γ_j[-re,∀M >0-ra,∃K₂, hogy∀q > K₂, eset´enu^q_j−l_j^q< _M^S. Teh´at, haq > max(K1, K2), akkor

fj(u^q_j)−fj(l_j^q)

u^q_j −l_j^q > M. (3.4.6)

teljes¨ul.

All´ıtjuk a k¨ovetkez˝ot:´ ∃q hogy az algoritmus l_j⁰-ban fog v´agni.

Azaz max_t∈[l⁰

j,u^q_j]

fj(t)−F_j^q(t) az l_j⁰ pontban veszi fel az ´ert´eket. Legyen G = f_j⁺(l_j⁰)−F_j^q ´es A = sup_t∈(l⁰

j,u^q_j]f^′(t). ∃q melyre ^fj(u

q j)−fj(l⁰_j)

u^q_j−l⁰_j > A. Legyen F_j^q(xj) = Cxj+Bj,∆>0 ´es ∆≤u^q_j −l⁰_j.

fj(l⁰_j + ∆)−F_j^q(l⁰_j + ∆) < fj(l_j⁰) +A∆−Cj∆−Cjl_j⁰−Bj

=f_j(l_j⁰)−F_j^q(l_j⁰) + (A−C)∆

< G.

Hiszen kor´abban l´attuk a (3.4.6) egyenletben, hogy a C tetsz˝olegesen nagy lehet.

Ezzel t´etel¨unket bel´attuk. 2

T´etel 3.4.3 ∀q-ra T^q tartalmazza a glob´alis optimumhelyet.

Bizony´ıt´as. Ha a glob´alis minimum ¯x ∈ D/ ^q = A ∩ T^q, akkor f(ω^q) > f(¯x), ´ıgy

∃q, hogy F^q(ω^q) el´eg k¨ozel vanf(ω^q)-hoz, azazF^q(ω^q)> f(¯x), ´es ´ıgy nagyobb, mint b´armelyik legkisebbL als´o korl´at. Ez ellentmond annak a felt´etelnek, hogy mindig a legkisebb als´o korl´attal rendelkez˝o r´eszprobl´em´at v´alasztjuk. 2

A m´odszer v´egess´ege itt nem garant´alt, viszont hivatkozva a [89]-ban v´azolt par-t´ıcion´al´asi szab´alyra, ezen v´ag´asi strat´egia is kib˝ov´ıthet˝o ´ugy, hogy a v´egess´eg ga-rant´alhat´o legyen.

3.4.3. Az eredm´ eny r¨ ovid ¨ osszefoglal´ asa

A 3.4 fejezet az 1b t´ezispontban megfogalmazott eredm´enyeket tartalmazza.

Kidolgoztam egy ´uj sz´etv´alaszt´asi strat´egi´at, amely a c´elf¨uggv´eny ´es a relax´aci´os f¨uggv´eny integr´alk¨ul¨onbs´eg´et minimaliz´alja, ez´altal a relax´aci´o ´eless´eg´et maxim´alisra n¨oveli. Bizony´ıtottam a m´odszer helyess´eg´et.

3.5. Egy el´ egs´ eges optimalit´ asi krit´ erium szepar´ a-bilis konk´ av minimaliz´ al´ asi feladatra

Az eddigi sz´etv´alaszt´asi elj´ar´asok a lehets´eges megold´asok halmaz´anak part´ıcion´a-l´asakor a c´elf¨uggv´eny ´es annak line´aris relax´aci´oja alapj´an hat´arozt´ak meg a meg-felel˝o v´ag´asi pontot. A relax´alt line´aris programoz´asi feladat vizsg´alat´aval egy olyan strat´egia lett kidolgozva, amely a part´ıcion´al´askor a konvex poli´eder ´es a c´elf¨uggv´eny viszony´at figyelembe v´eve v´egzi a tov´abbi part´ıcion´al´ast. A megfogalmazott al-goritmus helyess´eg´et igazoljuk. Az elemz´esekhez sz¨uks´eg¨unk lesz az LP feladatok vizsg´alata sor´an haszn´alatos n´eh´any jel¨ol´esre.

In document Globális optimalizálási algoritmusok PNS feladatok megoldására (Pldal 52-58)