Véletlent használó módszerek

El ˝ony: Gyorsabb lehet.

El ˝ony: Gyorsabb lehet.

Hátrány: Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 6

Véletlent használó módszerek

El ˝ony: Gyorsabb lehet.

Hátrány: Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

Probléma: Adott behelyettesítéssel (fekete dobozzal) egy n-változós

f ∈ Z[x₁, . . . , x_n] egész együtthatós polinom. Tudjuk, hogy deg f ≤ d. El akarjuk dönteni, hogy f azonosan nulla-e.

Véletlent használó módszerek

El ˝ony: Gyorsabb lehet.

Hátrány: Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

Probléma: Adott behelyettesítéssel (fekete dobozzal) egy n-változós

f ∈ Z[x₁, . . . , x_n] egész együtthatós polinom. Tudjuk, hogy deg f ≤ d. El akarjuk dönteni, hogy f azonosan nulla-e.

Példa: f(x₁, x₂, . . . , x_2n) = (x₁ + x₂)(x₃ + x₄)· · · (x_2n₋₁ + x_2n)

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 6

Véletlent használó módszerek

El ˝ony: Gyorsabb lehet.

Hátrány: Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

Probléma: Adott behelyettesítéssel (fekete dobozzal) egy n-változós

f ∈ Z[x₁, . . . , x_n] egész együtthatós polinom. Tudjuk, hogy deg f ≤ d. El akarjuk dönteni, hogy f azonosan nulla-e.

Példa: f(x₁, x₂, . . . , x_2n) = (x₁ + x₂)(x₃ + x₄)· · · (x_2n₋₁ + x_2n)

Véletlent használó módszerek

El ˝ony: Gyorsabb lehet.

Hátrány: Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

Probléma: Adott behelyettesítéssel (fekete dobozzal) egy n-változós

f ∈ Z[x₁, . . . , x_n] egész együtthatós polinom. Tudjuk, hogy deg f ≤ d. El akarjuk dönteni, hogy f azonosan nulla-e.

Példa: f(x₁, x₂, . . . , x_2n) = (x₁ + x₂)(x₃ + x₄)· · · (x_2n₋₁ + x_2n)

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 6

Véletlent használó módszerek

El ˝ony: Gyorsabb lehet.

Hátrány: Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

Probléma: Adott behelyettesítéssel (fekete dobozzal) egy n-változós

f ∈ Z[x₁, . . . , x_n] egész együtthatós polinom. Tudjuk, hogy deg f ≤ d. El akarjuk dönteni, hogy f azonosan nulla-e.

Példa: f(x₁, x₂, . . . , x_2n) = (x₁ + x₂)(x₃ + x₄)· · · (x_2n₋₁ + x_2n)

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 7

Tétel. [J. Schwartz lemmája] Ha deg f ≤ d, és α₁, . . . , α_n egyenletes eloszlású, egymástól független véletlen elemei az {1, . . . , N}

számhalmaznak, akkor f 6≡ 0 esetén P rob(f(α) = 0) ≤ _N^d .

Tétel. [J. Schwartz lemmája] Ha deg f ≤ d, és α₁, . . . , α_n egyenletes eloszlású, egymástól független véletlen elemei az {1, . . . , N}

számhalmaznak, akkor f 6≡ 0 esetén P rob(f(α) = 0) ≤ _N^d .

Tétel. Az {1, 2, . . . , 2d} halmazból vett véletlen n-komponens ˝u α vektor

esetén P rob(f(α) 6= 0) ≥ 1/2, ha f 6≡ 0. Ekkora halmazból választva tehát legalább 1/2 valószín ˝uséggel adódik tanú. Ha t-szer függetlenül választunk ilyen helyettesítést, akkor legalább 1 − ₂¹^t valószín ˝uséggel kapunk tanút.

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 8

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 8

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

Tétel. G-ben akkor és csak akkor van teljes párosítás ha det M 6= 0.

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

Tétel. G-ben akkor és csak akkor van teljes párosítás ha det M 6= 0.

Bizonyítás: A determináns egy tagja =⇒ ±m_1π(1)m_2π(2) · · · m_nπ(n)

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 8

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

Tétel. G-ben akkor és csak akkor van teljes párosítás ha det M 6= 0.

Bizonyítás: A determináns egy tagja =⇒ ±m_1π(1)m_2π(2) · · · m_nπ(n) Ha nem 0 =⇒ (l_i, u_π(i)) ∈ E, i = 1, . . . , n, =⇒ teljes párosítás

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

Tétel. G-ben akkor és csak akkor van teljes párosítás ha det M 6= 0.

Bizonyítás: A determináns egy tagja =⇒ ±m_1π(1)m_2π(2) · · · m_nπ(n) Ha nem 0 =⇒ (l_i, u_π(i)) ∈ E, i = 1, . . . , n, =⇒ teljes párosítás Ha tehát G-ben nincs teljes párosítás, =⇒ det M = 0.

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 8

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

Tétel. G-ben akkor és csak akkor van teljes párosítás ha det M 6= 0.

Ha viszont van G-ben teljes párosítás =⇒ ∃ nem 0 kifejtési tag

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

Tétel. G-ben akkor és csak akkor van teljes párosítás ha det M 6= 0.

Ha viszont van G-ben teljes párosítás =⇒ ∃ nem 0 kifejtési tag

nem ejthetik ki egymást, mert bármely kett ˝oben van két különböz ˝o változó.

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 8

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

Tétel. G-ben akkor és csak akkor van teljes párosítás ha det M 6= 0.

Ha viszont van G-ben teljes párosítás =⇒ ∃ nem 0 kifejtési tag

nem ejthetik ki egymást, mert bármely kett ˝oben van két különböz ˝o változó.

Az el ˝oz ˝o módszerrel eldönthetjük, hogy det M = 0 igaz-e.

Alkalmazás

Randomizált módszer teljes párosítás keresésére páros gráfban.

Legyen G = (L, U;E) páros gráf, L = {l₁, . . . , l_n} és U = {u₁, . . . , u_n} M = (m_ij) n-szer n-es mátrix =⇒

m_ij =

x_ij ha (l_i, u_j) ∈ E, 0 különben.

Tétel. G-ben akkor és csak akkor van teljes párosítás ha det M 6= 0.

Ha viszont van G-ben teljes párosítás =⇒ ∃ nem 0 kifejtési tag

nem ejthetik ki egymást, mert bármely kett ˝oben van két különböz ˝o változó.

Az el ˝oz ˝o módszerrel eldönthetjük, hogy det M = 0 igaz-e.

Hasonlóan megy nem páros gráfokra is.

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 9

Prímtesztelés

Bemen ˝o adatként adott (binárisan) egy m páratlan egész; szeretnénk eldönteni, hogy m prímszám-e.

Prímtesztelés

Bemen ˝o adatként adott (binárisan) egy m páratlan egész; szeretnénk eldönteni, hogy m prímszám-e.

Fermat-teszt (m)

1. Válasszunk egy véletlen a egészet az [1, m) intervallumból.

2. Ha a^m⁻¹ ≡ 1 (mod m), akkor a válasz „m valószín ˝uleg prím”, különben a válasz „m összetett”.

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 9

Prímtesztelés

Bemen ˝o adatként adott (binárisan) egy m páratlan egész; szeretnénk eldönteni, hogy m prímszám-e.

Fermat-teszt (m)

1. Válasszunk egy véletlen a egészet az [1, m) intervallumból.

2. Ha a^m⁻¹ ≡ 1 (mod m), akkor a válasz „m valószín ˝uleg prím”, különben a válasz „m összetett”.

gyors hatványozással ez gyorsan végrehajtható

Prímtesztelés

Bemen ˝o adatként adott (binárisan) egy m páratlan egész; szeretnénk eldönteni, hogy m prímszám-e.

Fermat-teszt (m)

1. Válasszunk egy véletlen a egészet az [1, m) intervallumból.

2. Ha a^m⁻¹ ≡ 1 (mod m), akkor a válasz „m valószín ˝uleg prím”, különben a válasz „m összetett”.

gyors hatványozással ez gyorsan végrehajtható

Ha azt kapjuk, hogy „m összetett” =⇒ ez biztos igaz

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 9

Prímtesztelés

Bemen ˝o adatként adott (binárisan) egy m páratlan egész; szeretnénk eldönteni, hogy m prímszám-e.

Fermat-teszt (m)

1. Válasszunk egy véletlen a egészet az [1, m) intervallumból.

2. Ha a^m⁻¹ ≡ 1 (mod m), akkor a válasz „m valószín ˝uleg prím”, különben a válasz „m összetett”.

gyors hatványozással ez gyorsan végrehajtható

Ha azt kapjuk, hogy „m összetett” =⇒ ez biztos igaz

Pl.: m = 21 = 7 · 3 és a = 2 =⇒ a az m Fermat-tanúja, hiszen 2²⁰ ≡ 4 (mod 21).

Prímtesztelés

Bemen ˝o adatként adott (binárisan) egy m páratlan egész; szeretnénk eldönteni, hogy m prímszám-e.

Fermat-teszt (m)

1. Válasszunk egy véletlen a egészet az [1, m) intervallumból.

2. Ha a^m⁻¹ ≡ 1 (mod m), akkor a válasz „m valószín ˝uleg prím”, különben a válasz „m összetett”.

gyors hatványozással ez gyorsan végrehajtható

Ha azt kapjuk, hogy „m összetett” =⇒ ez biztos igaz

Pl.: m = 21 = 7 · 3 és a = 2 =⇒ a az m Fermat-tanúja, hiszen 2²⁰ ≡ 4 (mod 21).

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 10

Tétel. Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1 ≤ a < m és a^m⁻¹ 6≡ 1

(mod m)), melyre lnko(a, m) = 1, akkor az [1, m) intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Tétel. Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1 ≤ a < m és a^m⁻¹ 6≡ 1

(mod m)), melyre lnko(a, m) = 1, akkor az [1, m) intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Bizonyítás: Legyen a tanú =⇒ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) és c₁, c₂, . . . , c_s nem tanúk =⇒ c^m_i ⁻¹ ≡ 1 (mod m)

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 10

Tétel. Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1 ≤ a < m és a^m⁻¹ 6≡ 1

(mod m)), melyre lnko(a, m) = 1, akkor az [1, m) intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Bizonyítás: Legyen a tanú =⇒ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) és c₁, c₂, . . . , c_s nem tanúk =⇒ c^m_i ⁻¹ ≡ 1 (mod m)

Feltehetjük, hogy a, c_i relatív prímek m-hez.

Tétel. Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1 ≤ a < m és a^m⁻¹ 6≡ 1

(mod m)), melyre lnko(a, m) = 1, akkor az [1, m) intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Bizonyítás: Legyen a tanú =⇒ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) és c₁, c₂, . . . , c_s nem tanúk =⇒ c^m_i ⁻¹ ≡ 1 (mod m)

Feltehetjük, hogy a, c_i relatív prímek m-hez.

=⇒ (ac_i)^m⁻¹ ≡ a^m⁻¹c^m_i ⁻¹ ≡ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) =⇒ ac_i tanú

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 10

Tétel. Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1 ≤ a < m és a^m⁻¹ 6≡ 1

(mod m)), melyre lnko(a, m) = 1, akkor az [1, m) intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Bizonyítás: Legyen a tanú =⇒ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) és c₁, c₂, . . . , c_s nem tanúk =⇒ c^m_i ⁻¹ ≡ 1 (mod m)

Feltehetjük, hogy a, c_i relatív prímek m-hez.

=⇒ (ac_i)^m⁻¹ ≡ a^m⁻¹c^m_i ⁻¹ ≡ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) =⇒ ac_i tanú

ac_i mind különböz ˝oek lesznek =⇒ legalább annyi tanú, mint nem tanú

√

Tétel. Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1 ≤ a < m és a^m⁻¹ 6≡ 1

(mod m)), melyre lnko(a, m) = 1, akkor az [1, m) intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Bizonyítás: Legyen a tanú =⇒ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) és c₁, c₂, . . . , c_s nem tanúk =⇒ c^m_i ⁻¹ ≡ 1 (mod m)

Feltehetjük, hogy a, c_i relatív prímek m-hez.

=⇒ (ac_i)^m⁻¹ ≡ a^m⁻¹c^m_i ⁻¹ ≡ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) =⇒ ac_i tanú

ac_i mind különböz ˝oek lesznek =⇒ legalább annyi tanú, mint nem tanú

√

Vannak olyan számok, amiknek nincs tanújuk =⇒ Carmichael-számok

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 10

Tétel. Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1 ≤ a < m és a^m⁻¹ 6≡ 1

(mod m)), melyre lnko(a, m) = 1, akkor az [1, m) intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Bizonyítás: Legyen a tanú =⇒ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) és c₁, c₂, . . . , c_s nem tanúk =⇒ c^m_i ⁻¹ ≡ 1 (mod m)

Feltehetjük, hogy a, c_i relatív prímek m-hez.

=⇒ (ac_i)^m⁻¹ ≡ a^m⁻¹c^m_i ⁻¹ ≡ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) =⇒ ac_i tanú

ac_i mind különböz ˝oek lesznek =⇒ legalább annyi tanú, mint nem tanú

√

Vannak olyan számok, amiknek nincs tanújuk =⇒ Carmichael-számok Pl. 561 = 3 · 11 · 17

Tétel. Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1 ≤ a < m és a^m⁻¹ 6≡ 1

(mod m)), melyre lnko(a, m) = 1, akkor az [1, m) intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Bizonyítás: Legyen a tanú =⇒ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) és c₁, c₂, . . . , c_s nem tanúk =⇒ c^m_i ⁻¹ ≡ 1 (mod m)

Feltehetjük, hogy a, c_i relatív prímek m-hez.

=⇒ (ac_i)^m⁻¹ ≡ a^m⁻¹c^m_i ⁻¹ ≡ a^m⁻¹ 6≡ 1 (mod m) =⇒ ac_i tanú

ac_i mind különböz ˝oek lesznek =⇒ legalább annyi tanú, mint nem tanú

√

Vannak olyan számok, amiknek nincs tanújuk =⇒ Carmichael-számok Pl. 561 = 3 · 11 · 17

Alford, Granville, Pomerance, 1992 =⇒ végtelen sok ilyen szám van

ALGORITMUSELMÉLET 18. EL ˝OADÁS 11

In document Algoritmuselmélet 18. el ˝oadás (Pldal 24-58)