4. Alkalmazások 48
4.4. További illusztratív példák
A következ½o példákban az
x0(t) = 2x(t) + 3
4x2(t 1); t 0 (4.13)
skaláris di¤erenciálegyenlet négy különböz½o kezdeti függvényhez tartozó megoldá-sát fogjuk approximáljuk a módosított láncmódszerrel. Az approximáló közönséges di¤erenciálegyenlet-rendszer
y00 = 2y0+nyn; y10 = 3
4y20 ny1;
y0j = nyj 1 nyj; 2 j n;
és a kezdeti feltételek
y0(0) = (0) és yj(0) = 3 4
(jZ1)h jh
2(s)ds; 1 j n:
A módosított láncmódszer approximációs hibáját három különböz½on értékre vizs-gáltuk a[0;1]intervallumon. A numerikus eredményeket a23 34:táblázatokban ismertetjük. A hiba alatt minden esetben azx(t) y[n]0 (t) különbséget értjük.
3. Példa.
kezdetiérték-feladatot, amelynek pontos megoldása a [0;1] intervallumon az x(t) = 3
ezért eleget tesz a (2:14) feltételnek. A 23 25: táblázatokból kiolvashatjuk, hogy n értékének növelésével egyre jobb közelít½o értékeket kapunk. A numerikus eredmények alapján a konvergencia lineárisnak t½unik. A pontos megoldás és a közelít½o megoldások gra…konjait az 7: ábrán láthatjuk.
t x(t) y0[3](t) hiba
0:0000 0:00000000000000 0:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:00094583104462 0:00877064769994 7:8248e 003 0:4000 0:00319449017162 0:01132671695994 8:1322e 003 0:6000 0:00399760815082 0:01107966785078 7:0821e 003 0:8000 0:00318522289017 0:00969710036486 6:5119e 003 1:0000 0:00215916546797 0:00798872545989 5:8296e 003
23. táblázat. Approximáció n=3 esetén
t x(t) y0[10](t) hiba 0:0000 0:00000000000000 0:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:00094583104462 0:00085601086309 +8:9820e 005 0:4000 0:00319449017162 0:00225249405312 +9:4200e 004 0:6000 0:00399760815082 0:00314388492101 +8:5372e 004 0:8000 0:00318522289017 0:00317522366018 +9:9992e 006 1:0000 0:00215916546797 0:00267357584190 5:1441e 004
24. táblázat. Approximáció n=10 esetén
t x(t) y0[100](t) hiba
0:0000 0:00000000000000 0:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:00094583104462 0:00089447546655 +5:1356e 005 0:4000 0:00319449017162 0:00304336972227 +1:5112e 004 0:6000 0:00399760815082 0:00389781327768 +9:9795e 005 0:8000 0:00318522289017 0:00322968545966 4:4463e 005 1:0000 0:00215916546797 0:00224142395251 8:2258e 005
25. táblázat. Approximáció n=100 esetén
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
t
pontos megoldás közelítés n=3 esetén közelítés n=10 esetén közelítés n=100 esetén
7. ábra.
4. Példa.
Tekintsük az
x0(t) = 2x(t) + 3
4x2(t 1); (t) = 1; t2[ 1;0]
(4.15)
kezdetiérték-feladatot, amelynek pontos megoldása a [0;1] intervallumon az x(t) = 1
8e2t 3e2t+ 5 függvény. Ekkor
0(0 ) = 06= 5
4 = 2 (0) + 3 4
2( 1);
tehát re nem teljesül a(2:14) kompatibilitási feltétel. Ennek ellenére a26 28:
táblázatokból azt olvashatjuk ki, hogy az el½oz½o példához képest a konvergencia nagyságrendje nem csökken. A pontos megoldás és a közelít½o megoldások gra…kon-jait a8: ábrán láthatjuk.
t x(t) y0[3](t) hiba
0:0000 1:00000000000000 1:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:79395002877227 0:79386593751884 +8:4091e 005 0:4000 0:65583060257326 0:65412774199865 +1:7029e 003 0:6000 0:56324638244513 0:55500106212771 +8:2453e 003 0:8000 0:50118532374666 0:47877640461947 +2:2409e 002 1:0000 0:45958455202288 0:41493674751980 +4:4648e 002
26. táblázat. Approximáció n=3 esetén
t x(t) y0[10](t) hiba 0:0000 1:00000000000000 1:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:79395002877227 0:79394991470124 31:1407e 007 0:4000 0:65583060257326 0:65580253748192 +2:8065e 005 0:6000 0:56324638244513 0:56244933210758 +7:9705e 004 0:8000 0:50118532374666 0:49534181115420 +5:8435e 003 1:0000 0:45958455202288 0:43866534371052 +2:0919e 002
27. táblázat. Approximáció n=10 esetén
t x(t) y0[100](t) hiba
0:0000 1:00000000000000 1:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:79395002877227 0:79395002876873 +3:5415e 012 0:4000 0:65583060257326 0:65583060220420 +3:6907e 010 0:6000 0:56324638244513 0:56324247388207 +3:9086e 006 0:8000 0:50118532374666 0:50115903520518 +2:6289e 005 1:0000 0:45958455202288 0:45611971517048 +3:4648e 003
28. táblázat. Approximáció n=100 esetén
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
pontos megoldás közelítés n=3 esetén közelítés n=10 esetén közelítés n=100 esetén
8. ábra.
5. Példa.
kezdetiérték-feladatot, amelynek pontos megoldása a [0;1] intervallumon az x(t) = 1
ezért eleget tesz a (2:14) feltételnek. A 29 31: táblázatokból kiolvashatjuk, hogy n értékének növelésével egyre jobb közelít½o értékeket kapunk. A numerikus eredmények alapján a konvergencia lineárisnak t½unik. A pontos megoldás és a közelít½o megoldások gra…konjait a [0;1] intervallumon a 9: ábrán láthatjuk. A közelít½o megoldások alakulását a[0;10]intervallumon a10:ábra mutatja. A pontos megoldás kiszámítása hosszabb id½ointervallumban technikailag nagyon bonyolultá válik, ezért ett½ol eltekintettünk.
t x(t) y0[3](t) hiba
0:0000 1:00000000000000 1:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:90439500287723 0:92486405129135 2:0469e 002 0:4000 0:81558306025733 0:84870677700565 3:3124e 002 0:6000 0:73132463824451 0:77119808033583 3:9873e 002 0:8000 0:65011853237467 0:69332014053790 4:3202e 002 1:0000 0:57095845520229 0:61668214369775 4:5724e 002
29. táblázat. Approximáció n=3 esetén
t x(t) y0[10](t) hiba 0:0000 1:00000000000000 1:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:90439500287723 0:91057650343315 6:1815e 003 0:4000 0:81558306025733 0:82589520506213 1:0312e 002 0:6000 0:73132463824451 0:74422334803077 1:2899e 002 0:8000 0:65011853237467 0:66424004501787 1:4122e 002 1:0000 0:57095845520229 0:58575388244446 1:4795e 002
30. táblázat. Approximáció n=10 esetén
t x(t) y0[100](t) hiba
0:0000 1:00000000000000 1:00000000000000 +0:0000
0:2000 0:90439500287723 0:90501315279142 6:1815e 004 0:4000 0:81558306025733 0:81661556845455 1:0325e 003 0:6000 0:73132463824451 0:73263769830848 1:3131e 003 0:8000 0:65011853237467 0:65161330554419 1:4948e 003 1:0000 0:57095845520229 0:57253212606458 1:5737e 003
31. táblázat. Approximáció n=100 esetén
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
kezdetiérték-feladatot, amelynek pontos megoldása a [0;1] intervallumon az x(t) = 15
tehát re nem teljesül a(2:14) kompatibilitási feltétel. A32 34: táblázatokból kiolvasható, hogy n értékének növelésével jobb közelít½o értékeket kapunk. Annak ellenére, hogy a kezdeti függvényre nem teljesül a (2:14) kompatibilitási feltétel a konvergencia nagyságrendje ebben az esetben sem csökken. A pontos megoldás
és a közelít½o megoldások gra…konjait a[0;1] intervallumon a 11: ábra mutatja. A közelít½o megoldások alakulását a[0;10]intervallumon a12:ábra mutatja. A pontos megoldás kiszámítása hosszabb id½ointervallumban technikailag nagyon bonyolultá válik, ezért ett½ol eltekintettünk.
t x(t) y0[3](t) hiba
0:0000 2:00000000000000 2:00000000000000 +0:0000
0:2000 2:27693991943763 2:35927476960490 8:2335e 002 0:4000 2:36367431279486 2:50577544299290 1:4210e 001 0:6000 2:32291012915365 2:52988647684783 2:0698e 001 0:8000 2:19668109350935 2:49978723105691 3:0311e 001 1:0000 2:01316325433593 2:45594203513334 4:4278e 001
32. táblázat. Approximáció n=3 esetén
t x(t) y0[10](t) hiba
0:0000 2:00000000000000 2:00000000000000 +0:0000
0:2000 2:27693991943763 2:30166606084198 2:4726e 002 0:4000 2:36367431279486 2:40506643604777 4:1392e 002 0:6000 2:32291012915365 2:37866380525766 5:5754e 002 0:8000 2:19668109350935 2:28404147730740 8:7360e 002 1:0000 2:01316325433593 2:18339918349929 1:7024e 001
33. táblázat. Approximáció n=10 esetén
t x(t) y0[100](t) hiba 0:0000 2:00000000000000 2:00000000000000 +0:0000
0:2000 2:27693991943763 2:27941251909318 2:4726e 003 0:4000 2:36367431279486 2:36780434559223 4:1300e 003 0:6000 2:32291012915365 2:32814023506233 5:2301e 003 0:8000 2:19668109350935 2:20277963295798 6:0985e 003 1:0000 2:01316325433593 2:03690638515367 2:3743e 002
34. táblázat. Approximáció n=100 esetén
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
t
pontos megoldás közelítés n=3 esetén közleítés n=10 esetén közellítés n=100 esetén
11. ábra.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
t
Közelítés n=100 esetén Közelítés n=10 esetén Közelítés n=3 esetén
12. ábra.
A. Függelék
Ebben a részben egy új stabilitási kritériumot fogunk bizonyítani a neurális hálóza-tok modellezésére használt (4:9) késleltetett di¤erenciálegyenletre. A(4:9) egyen-letet Mohamad és Gopalsamy [44] tanulmányozta az
i >0; Ii 2R; 1 i d; (A.1)
ij 0; ij; ij 2R; 1 i; j d; (A.2)
jfi(x)j ki; x2R; (A.3)
jfi(x) fi(y)j Kijx yj; x; y 2R (A.4) feltételek mellett, ahol ki; Ki; 1 i d pozitív konstansok. F½o eredményük a következ½o stabilitási kritérium.
A.1. Tétel. [44] Tegyük fel, hogy teljesülnek az (A.1) (A.4) feltételek és
i > Ki Xd
j=1
ij + ij ; 1 i d: (A.5)
Ekkor a (4:9) egyenletnek létezik egy globálisan exponenciálisan stabil egyensúlyi helyzete.
A következ½o eredményünk az A.1. Tétel általánosítása.
A.2. Tétel. Tegyük fel, hogy teljesülnek a A.1. Tétel feltételei kivéve az (A.5) feltételt, amely helyett feltesszük, hogy
( 1)jdet
és ij a Kronecker-féle delta. Ekkor a (4:9) egyenletnek létezik egy globálisan ex-ponenciálisan stabil egyensúlyi helyzete.
Az A.2. Tétel bizonyításához a 3. fejezetben említett összehasonlító elven kívül szükségünk lesz a következ½o ismert eredményre is.
A.3. Tétel. [48] Tekintsük az
x0i(t) =
lineáris késleltetett di¤erenciálegyenlet-rendszert. Tegyük fel, hogy az A = (aij) mátrix lényegében nemnegatív, a B = (bij) mártix pedig nemnegatív. Ekkor az (A.8) egyenlet triviális megoldása akkor és csak akkor globálisan exponenciálisan stabil, ha ugyanilyen az
x0 = (A+B)x (A.9)
közönséges di¤erenciálegyenet-rendszer triviális megoldása. Ez utóbbi feltétel ekvi-valens az (A.6) egyenl½otlenségrendszerrel, ahol
mij =aij +bij; 1 i; j d:
Az A.2. Tétel bizonyítása. Az adott feltételek mellett a (4:9) egyenletnek létezik egy x = (x1; :::; xn)T egyensúlyi helyzete. Mivel ez a [44]; Theorem 2.1 bizonyításával megegyezz½o módon látható be, a bizonyítástól eltekintünk. Legyen
= max
1 i;j df ijg és = ( 1; :::; d)T : [ ;0] ! Rd adott folytonos függvény.
Legyen x = x a (4:9) (4:10) kezdetiérték-feladat megoldása. Ekkor a 3.2.
Lemma szerint minden1 i d ést 0esetén
Legyen
yi(t) =jxi(t) xij; t ; 1 i d:
Ekkor(A.10)felírható a d+ alakban. Az (A.11) egyenl½otlenségrendszer a (3:7) egyenl½otlenség speciális esete, ha
Mivel az A = (aij) mátrix lényegében nemnegatív, B = (bij) pedig nemnegatív, ezért az(A.12)funkcionálra teljesül a (QM)feltétel. A 3.5. Tétel szerint
0 y(t) z (t); t ; (A.15) kezdeti függvényhez tartozó megoldása. Ha teljesül az(A.4)feltétel, akkor az A.3.
Tétel szerint az
z0 = (A+B)z (A.18)
egyenlet, és ezért az (A.16) késleltetett egyenlet triviális megoldása is globálisan exponenciálisan stabil. Tehát létezik L > 0 és > 0 konstans úgy, hogy minden t 0 ra
z (t) Lk ke t; (A.19)
ahol k k a C beli szuprémum-normát jelöli. Mivel (A.19) független az Rd n választott normától, választhatjuk a parciális rendezésre nézve monoton`1 nor-mát is. Ekkor az (A.15) és (A.19) egyenl½otlenségekb½ol kapjuk, hogy mindent 0 ra
x (t) x =ky(t)k z (t) Lk ke t=Lk x ke t:
Az utolsó egyenl½otlenség azt mutatja, hogy x globálisan exponenciálisan stabil egyensúlyi helyzete a (4:9) egyenletnek.
A.1. Megjegyzés. Az (A.5) feltételb½ol következik, hogy az (A.7) tel de…niált M = (mij) mátrixnak az `1 normából származtatott Lozinszkij-mértéke negatív (lásd 1. táblázat). Mivel
s M M <0;
ezért az (A.5) feltétel mellett az M mátrix stabil, azaz minden sajátértékének a valós része negatív. Ugyanakkor ismert [6], hogy az (A.6) feltétel szükséges és elegend½o feltétele az M mátrix stabilitásának. Tehát az (A.6) feltétel általánosabb az (A.5) feltételnél.
A következ½o példában megmutatjuk, hogy az A.2. Tétel valódi általánosítása az A.1. Tételnek, azaz léteznek olyan i; ij; ij konstansok, amelyek eleget tesznek az(A.6) feltételnek, ugyanakkor (A.5) nem teljesül. Legyen
d= 2;
K1 =K2 = 1;
1 = 2 = 1;
11 = 12 = 22 = 0; 21= 1;
11 = 12= 21= 22= 0:
Ekkor
M = 1 0
1 1
! : Mivel
1 = 2 =K2(j 21j+j 22j+j 21j+j 22j) = 1;
ezért az(A:5) feltétel nem teljesül. Ugyanakkor
m11= 1 >0 és detM = 1 >0;
tehát az(A:6) feltétel teljesül.
B. Függelék
Az alábbiakban felsoroljuk az approximációs tételeink bizonyításában szerepl½o fontosabb konstansokat és jelentésüket.
A 2.1. Tétel bizonyításában szerepl½o konstansok:
: az id½obeli késleltetés nagysága L:az f függvény Lipschitz-konstansa K : ag függvény Lipschitz-konstansa
H :azx ésx0 függvények közös Lipschitz-konstansa a [ ; T] intervallumon S1 = maxfkg0(v)k jv 2x([ ; T])g
S2 = maxfkx0(t)k jt2[ ; T]g
K : a g0 függvény Lipschitz-konstansa az x([ ; T)) Rd halmazon M = max KH
2;
2
2 H(S1+S2K )
= max e (A)tjt2[ ; T]
= 3M
T e (L+K)T C =
A 2.2. Tétel bizonyításában szerepl½o konstansok:
: az id½obeli késleltetés nagysága L:az f függvény Lipschitz-konstansa K : ag függvény Lipschitz-konstansa
(A) : azA2Rd d mátrix Lozinszkij-mértéke
H :azxésx0 függvények közös Lipschitz-konstansa a[ ;1)intervallumon S~1 = supfkg0(v)k jv 2x([ ;1))g
S~2 = supfkx0(t)k jt2[ ;1)g
K~ : ag0 függvény Lipschitz-konstansa az x([ ;1)) Rd halmazon M = max KH
2;
2
2 H S~1 + ~S2K~
C = 3M
(A) 1 L+K (A)
1
Összegzés
Tézisek
Az értekezés legfontosabb eredményeit a következ½o tézisekben foglaljuk össze.
1. tézis A skaláris késleltetett di¤erenciálegyenletekre ismert módosított láncmód-szert kiterjesztettem általánosabb késleltetett di¤erenciálegyenlet-rendszerek-re, bizonyítottam a módszer konvergenciáját a késleltetett egyenlet elegend½oen sima kezdeti függvényekhez tartozó megoldásaira, és becslést adtam az app-roximáció nagyságrendjére is.
1.1. Elegend½o feltételt adtam arra, hogy a módosított láncmódszer konver-gens legyen bármely véges intervallumon a késleltetett egyenlet ele-gend½oen sima kezdeti függvényekhez tartozó megoldásaira és egyúttal becslést adtam az approximáció nagyságrendjére is (lásd 2.1. Tétel).
1.2. Explicit elegend½o feltételeket adtam arra, hogy a módosított láncmód-szer konvergens legyen a teljes [0;1) intervallumon elegend½oen sima kezdeti függvényekhez tartozó megoldások esetén, és becslést adtam az approximáció nagyságrendjére is (lásd 2.2. Tétel).
2. tézis A fenti eredményeim felhasználásával bebizonyítottam, hogy a módosított láncmódszer konvergens a késleltetett egyenlet bármely folytonos kezdeti függvényhez tartozó megoldása esetén is. Approximációs tételeinket külön-böz½o modellegyenletekre is alkalmaztam.
2.1. Elegend½o feltételt adtam arra, hogy a módosított láncmódszer konver-gens legyen bármely véges intervallumon a késleltetett egyenlet tet-sz½oleges folytonos kezdeti függvényhez tartozó megoldására (lásd 3.1.
Tétel).
2.2. Explicit elegend½o feltételeket adtam arra, hogy a módosított láncmód-szer konvergens legyen a teljes[0;1)intervallumon a késleltetett egyen-let tetsz½oleges folytonos kezdeti függvényhez tartozó megoldására (lásd 3.2. Tétel).
2.3. Approximációs tételeimet egy farmakokinetikai modellegyenletre, egy tengeri halpopuláció modellegyenletére és a neurális hálózatok elméletéb½ol származó modellegyenletre is alkalmaztam.
3. tézis Új elegend½o feltételeket adtam a késleltetett egyenlet megoldásainak globális exponenciális stabilitására.
3.1. Elegend½o feltételt adtam arra, hogy a késleltetett egyenlet minden megol-dása globálisan exponenciálisan stabil legyen (lásd 3.4. Tétel).
3.2. Elegend½o feltételt adtam arra, hogy a késleltetett egyenletnek legyen egy globálisan exponenciálisan stabil egyensúlyi helyzete (lásd 3.10. és A.2. Tétel).
Publikációk hivatkozásokkal
(P1) Krasznai, B., Gy½ori, I. and Pituk, M., "The modi…ed chain method for a class of delay di¤erential equations arising in neural networks.", Mathematical and Computer Modelling 51:5-6 (2010), 452-460. (Impakt faktor = 1.103)
1. Demidenko, G. V., "Systems of di¤erential equations of higher dimension and delay equations.", Siberian Mathematical Journal, 53:6 (2012), 1021-1028.
(P2) Krasznai, B., Gy½ori, I. and Pituk, M., "Positive decreasing solutions of higher-order nonlinear di¤erence equations.", Advances in Di¤erence Equa-tions, Article ID: 973432 (2010). (Impakt faktor = 0.892)
2. Diblík, J., Hlaviµcková I., "Asymptotic upper and lower estimates of a class of positive solutions of a discrete linear equation with a single delay.", Abstract and Applied Analysis., Article ID: 764351 (2012).
3. Peics, H., "Positive solutions of second-order linear di¤erence equation with variable delays.", Advances in Di¤erence Equations, Article ID: 82 (2013).
(P3) Krasznai, B., "Stability criteria for delay di¤erential equations. Recent Ad-vances in Delay Di¤erential and Di¤erence Equations.", Springer Proceed-ings in Mathematics and Statistics 94, Springer, New York, (2014), 161-171.
(ISBN: 978-3-319-08250-9)
Nemzetközi konferencia el½oadások
(E1) Krasznai, B.: The modi…ed chain method for a class of delay di¤erential equations arising in neural networks. Workshop of the Committee on Math-ematical Analysis and Application of the Hungarian Academy of Sciences, Széchenyi István University, Gy½or, May 22, 2009.
(E2) Krasznai, B.: Approximation of delay di¤erential equations by the modi…ed chain method., Workshop on Delay Di¤erential and Di¤erence Equations, Veszprém, July 17-18, 2014.
Hivatkozások
[1] Altrichter, M., Horváth, G., Pataki, B., Strausz, G., Takács, G., & Valyon, J., "Neurális hálózatok." Panem, Budapest (2006).
[2] Banks, H. T., "Delay systems in biological models: Approximation tech-niques." Nonlinear Systems and Applications (1977), 21-38.
[3] Banks, H. T., and Kappel, F., "Spline approximations for functional di¤eren-tial equations." Journal of Di¤erendi¤eren-tial Equations 34:3 (1979), 496-522.
[4] Bellman, R. E. and Cooke, K. L., "Di¤erential - Di¤erence Equations." Aca-demic Press, New York (1963).
[5] Berezansky, L., Idels, L. and Kipnis, M., "Mathematical model of marine protected areas." IMA Journal of Applied Mathematics 76 (2011), 312-325.
[6] Berman, A., and Plemmons, R. J., "Nonnegative Matrices in the Mathemat-ical Sciences." Academic Press, New York (1979)
[7] Bogár, L., "Aneszteziológia és intenzív terápia." Medicina Könyvkiadó, Bu-dapest (2009).
[8] Cao, J., and Zhou, D., "Stability analysis of delayed cellular neural networks."
Neural Networks 11:9 (1998), 1601-1605.
[9] Chellaboina, V. S., et al., "Direct adaptive control of nonnegative and com-partmental dynamical systems with time delay." Biology and Control Theory:
Current Challenges, Springer, Berlin (2007), 291-316.
[10] Christou, C. N., Idels, L., "Bioeconomical Ricker’s model of marine protected areas." Electronic Journal of Di¤erential Equations 2012:76 (2012), 1-11.
[11] Chua, L. O., and Yang, L., "Cellular neural networks: Applications." IEEE Transactions on Circuits and Systems 35:10 (1988), 1273-1290.
[12] Coppel, W. A., "Stability and Asymptotic Behavior of Di¤erential Equa-tions." Heath, Boston (1965).
[13] Demidenko, G. V., "Systems of di¤erential equations of higher dimension and delay equations." Siberian Mathematical Journal 53:6 (2012), 1021-1028.
[14] Diekmann, O., van Gils, S. A., Verduyn Lunel, S. M., Walther, H.-O., "Delay Equations. Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis." Springer, New York (1995)
[15] Driver, R. D., "Ordinary and Delay Di¤erential Equations." Springer, New York (1977)
[16] Erneux, T., "Applied Delay Di¤erential Equations." Springer, New York (2009).
[17] Frasson, M. V. S., and Verduyn Lunel, S. M., "Large time behaviour of linear functional di¤erential equations." Integral Equations and Operator Theory 47:1 (2003), 91-121.
[18] Gedeon, T., and Hines, G., "Upper semicontinuity of Morse sets of a dis-cretization of a delay-di¤erential equation." Journal of Di¤erential Equations 151:1 (1999), 36-78.
[19] Gedeon, T., and Hines, G., "Upper semicontinuity of Morse sets of a dis-cretization of a delay-di¤erential equation: An improvement." Journal of Dif-ferential Equations 179:2 (2002), 369-383.
[20] Glass, P. S., et al., "Accuracy of pharmacokinetic model-driven infusion of propofol." Anesthesiology 71:3A (1989), A277.
[21] Gopalsamy, K., "Stability and Oscillations in Delay Di¤erential Equations of Population Dynamics". Springer, New York (2013).
[22] Gy½ori, I., "Delay di¤erential and integro-di¤erential equations in biological compartment models." Systems Science 8:2-3 (1982), 167-187.
[23] Gy½ori, I., "Connections between compartmental systems with pipes and integro-di¤erential equations." Mathematical Modelling 7:9 (1986), 1215-1238.
[24] Gy½ori, I., "Two approximation techniques for functional di¤erential equa-tions." Computers & Mathematics with Applications 16:3 (1988), 195-214.
[25] Gy½ori, I., "Interconnection between ordinary and delay di¤erential equtions."
Modern Optimal Control, in: Lecture Notes in Pure and Applied Mathemat-ics, Marcel Dekker, New York (1989), 131-141.
[26] Gy½ori, I., and Eller., J., "Compartmental systems with pipes." Mathematical Biosciences 53:3 (1981), 223-247.
[27] Gy½ori, I., and Ladas, G. E., "Oscillation Theory of Delay Di¤erential Equa-tions with ApplicaEqua-tions". Oxford University Press, New York (1991).
[28] Gy½ori, I., and Turi, J., "Uniform approximation of a nonlinear delay equation on in…nite intervals." Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 17:1 (1991), 21-29.
[29] Haddad, W. M., and Chellaboina, V., "Stability theory for nonnegative and compartmental dynamical dystems with time delay.", System and Control Letters 51 (2004), 355-361
[30] Haddad, W. M., Chellaboina, V., and Hui, Q., "Nonnegative and Compart-mental Dynamical Systems." Princeton University Press, Prinston (2010).
[31] Hale, J. K., "Functional Di¤erential Equations." Springer, Berlin (1971).
[32] Hale, J. K., and Verduyn-Lunel, S. M., "Introduction to Functional Fi¤eren-tial Equations." Springer, New York (2013).
[33] Idels, L., and Kipnis, M., "Stability criteria for a nonlinear nonautonomous system with delays." Applied Mathematical Modelling 33:5 (2009), 2293-2297.
[34] Janushevski, P. T. "Control of Object with Delays." (in Russian) Nauka, Moscow (1978).
[35] Kanyár, B., Eller, J., and Gy½ori, I., "Parameter estimation of the radiocardio-gram using compartmental models with pipes", in "Mathematical and Com-putational Methods in Physiology", Adv. Physiol. Sci: Vol. 34, Akadémiai Kiadó, Budapest (1981), 229-238.
[36] Kelley, W. G., and Peterson, A. C., "The Theory of Di¤erential Equations:
Classical and Qualitative." Springer, New York (2010).
[37] Koch, G., et al., "Multi-response model for rheumatoid arthritis based on delay di¤erential equations in collagen-induced arthritic mice treated with an anti-GM-CSF antibody." Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynam-ics 39:1 (2012), 55-65.
[38] Koch, G., "Modeling of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics with Ap-plication to Cancer and Arthritis." PhD Thesis, Universitat Kostanz, Ger-many (2012).
[39] Kolmanovskii, V., and Myshkis, A., "Applied Theory of Functional Di¤eren-tial Equations". Springer, New York (1992).
[40] Krasznai, B., "Stability criteria for delay di¤erential equations. Recent Ad-vances in Delay Di¤erential and Di¤erence Equations.", Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 94, Springer, New York, (2014), 161-171.
[41] Krasznai, B., Gy½ori, I. and Pituk, M., "The modi…ed chain method for a class of delay di¤erential equations arising in neural networks.", Mathematical and Computer Modelling 51:5-6 (2010), 452-460.
[42] Krasznai, B., Gy½ori, I. and Pituk, M., "Positive decreasing solutions of higher-order nonlinear di¤erence equations.", Advances in Di¤erence Equations, Ar-ticle ID: 973432, (2010).
[43] Kuang, Y., "Delay Di¤erential Equations: with Applications in Population Dynamics". Academic Press, San Diego (1993).
[44] Mohamad, S., and Gopalsamy, K., "Exponential stability of continuous-time and discrete-time cellular neural networks with delays." Applied Mathematics and Computation 135:1 (2003), 17-38.
[45] Ohta, Y., "Qualitative analysis of nonlinear quasi-monotone dynamical sys-tems described by functional-di¤erential equations." IEEE Transactions on Circuits and Systems, 28:2 (1981), 138-144.
[46] OGYI-T- 7577/01, OGYI-T- 7578/01-02 sz. Forgalombahozatali engedély felújítása
[47] Smith, H., "Monotone semi‡ows generated by functional di¤erential equa-tions." Journal of Di¤erential Equations 66:3 (1987), 420-442.
[48] Smith, H., "An Introduction to Delay Di¤erential Equations with Applica-tions to the Life Sciences". Springer, New York (2010).
[49] Repin, Y. M., "On the approximate replacement of systems with lag by or-dinary dynamical systems." Journal of Applied Mathematics and Mechanics 29:2 (1965), 254-264.