A Fourier-sorfejtés
12.4. További gyakorlófeladatok végeredménnyel
Az alábbi néhány gyakorlófeladat részletes megoldását nem közöljük, csak a végeredménye-ket adjuk meg.
12.4.1.FELADAT Legyen I = [−π,π). Írjuk fel az f(x) :=x függvény Fourier-sorát és állapítsuk meg, hol állítja el˝o a sor az f függvényt.
−π π
π
VÉGEREDMÉNY Hax∈I, akkor
F S f(x) =2
∞
∑
k=1
(−1)k−1
k sin(kx).
A Fourier-sor a teljesI intervallumon konvergens. Hax∈(−π,π), akkorF S f(x) = f(x), míg hax=−π, akkorF S f(−π) =0= f(−π−)+2f(−π+)6= f(−π). 2 12.4.2.FELADAT LegyenI=
−π2,3π2
. Írjuk fel az f(x):=
x, hax∈
−π2,π2 , π−x, hax∈π
2,3π2
függvény Fourier-sorát és állapítsuk meg, hol állítja el˝o a sor az f függvényt.
−π/2 3π/2
π
VÉGEREDMÉNY Hax∈I, akkor F S f(x) = 4
π
∞
∑
k=1
(−1)k−1
(2k−1)2sin((2k−1)x) = f(x),
vagyis a Fourier-sor a teljesIintervallumon konvergens és el˝oállítja az f függvényt. 2 12.4.3.FELADAT LegyenI= [0,2). Írjuk fel az
f(x):=
1, hax∈[0,1),
−1, hax∈[1,2)
függvény Fourier-sorát és állapítsuk meg, hol állítja el˝o a sor az f függvényt.
tankonyvtar.ttk.bme.hu Lóczi Lajos, BME
0 2 1
VÉGEREDMÉNY Mostp=1. Hax∈I, akkor F S f(x) = 4
π
∞
∑
k=1
sin((2k−1)πx) (2k−1) .
A Fourier-sor az I intervallumon konvergens és ha x ∈ I, de x 6= 0 vagy x 6= 1, akkor F S f(x) = f(x). Hax=0 vagyx=1, akkorF Sf(0) =F Sf(1) =0= f(0−)+2f(0+) =
f(1−)+f(1+)
2 6= f(0) = f(1). 2
12.4.4.FELADAT LegyenI= [0,π). Írjuk fel az f(x):=cos(x)függvény Fourier-sorát és állapítsuk meg, hol állítja el˝o a sor az f függvényt.
0 π
1
VÉGEREDMÉNY Mostp= π2. Hax∈I, akkor F Sf(x) = 4
π
∞
∑
k=1
2ksin(2kx) (2k−1)(2k+1).
A Fourier-sor az I intervallumon konvergens és ha x∈(0,π), akkor F Sf(x) = f(x). Ha
x=0, akkorF S f(0) = f(0−)+2f(0+) =06= f(0). 2
12.4.5.FELADAT LegyenI= [0,2π). Írjuk fel az f(x):=
sin(x), hax∈[0,π), 0, hax∈[π,2π)
függvény Fourier-sorát és állapítsuk meg, hol állítja el˝o a sor az f függvényt.
1
130 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC
VÉGEREDMÉNY Hax∈I, akkor F S f(x) = 1
π +1
2sin(x)−2 π
∞
∑
k=1
cos(2kx)
(2k−1)(2k+1) = f(x).
A Fourier-sor azIintervallumon tehát konvergens és el˝oállítja az f függvényt. 2 12.4.6.FELADAT Legyen I= [0,π). Írjuk fel az f(x):=sin|x| függvény Fourier-sorát és állapítsuk meg, hol állítja el˝o a sor az f függvényt.
0 π
1
VÉGEREDMÉNY Hax∈I, akkor
F S f(x) = 2 π− 4
π
∞
∑
k=1
cos(2kx) 4k2−1 .
A Fourier-sor azIintervallumon konvergens és el˝oállítja az f függvényt. 2 12.4.7.FELADAT LegyenI= [0,π). Írjuk fel az f(x):=sin2(x)függvény Fourier-sorát és állapítsuk meg, hol állítja el˝o a sor az f függvényt.
0 π
1
VÉGEREDMÉNY Hax∈I, akkor
F Sf(x) = 1
2−cos(2x)
2 .
A Fourier-sor azIintervallumon konvergens és el˝oállítja az f függvényt. (Vegyük észre, hogy a 12.3.19. kidolgozott feladat 2. megoldásának végén idézett Cantor-féle egyértelm˝uségi tétel miatt az itteni feladatban szerepl˝o f függvény Fourier-sorának kiszámítása a triviális sin2(x) =1−cos(2x)2 azonossággal egyenérték˝u.) 2
tankonyvtar.ttk.bme.hu Lóczi Lajos, BME
Integráltranszformációk: a Laplace-transzformáció
Matematikai feladatok (például differenciál- vagy integrálegyenletek) megoldása során gyakran fordul el˝o, hogy a problémát az eredeti környezetében nehéz megoldani, viszont egy másik „tartományba” (például az „id˝otartományból” a „frekvenciatartományba”) áttranszfor-málva már könnyebben lehet a kérdést kezelni. Az áttérést gyakran integráltranszformáció segítségével valósítjuk meg (amelyik például egy differenciálegyenletet algebrai egyenletté alakít). A transzformált feladat (példánkban tehát az algebrai egyenlet) megoldása után az integráltranszformáció inverzét alkalmazva kapjuk az eredeti feladat megoldását.
Az egyik leggyakrabban használt integráltranszformáció aFourier-transzformáció: egy f függvényFf Fourier-transzformáltját az
Ff(ω):= 1
√2π Z +∞
−∞
f(t)e−ıωtdt
improprius Riemann-integrállal értelmezzük, ha az integrál konvergens. (Atésω változóne-vek esetén megtartottuk a hagyományos bet˝uválasztást.)
Megjegyezzük, hogy a („folytonos id˝otartományból” „folytonos frekvenciatartomány-ba” képez˝o) Fourier-transzformáció kapcsolatba hozható a 12 fejezetben tárgyalt Fourier-sorfejtéssel: a Fourier-sorfejtés a megengedett 2p-periodikus függvényeket a „folytonos id˝otartományból” a „diszkrét frekvenciatartományba” képezi. A p → +∞ határesetben kapjuk anemperiodikusfüggvényeket és az ilyen függvényekre a Fourier-transzformáció al-kalmazható. (A12fejezet képleteit komplex exponenciális alakban felírva még könnyebben szemléltethet˝o a „Fourier-transzformáció a Fourier-sorfejtés határesete” kijelentés.)
Megemlítjük a transzformáció két további variánsát: a diszkrét idej˝u Fourier-transzformációt, amely „diszkrét id˝otartományból” „folytonos frekvenciatartományba” ké-pez, valamint adiszkrét Fourier-transzformációt, amely „diszkrét id˝otartományból” „diszkrét frekvenciatartományba” visz. (Ez utóbbi transzformációt a gyakorlatban sokszor az ún. gyors Fourier-transzformációval (FFT)valósítják meg.)
A klasszikus Fourier-transzformáció alkalmazási körét korlátozza, hogy a még viszonylag
132 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC
ugyanis nem konvergens). A kiutat ebb˝ol a helyzetb˝ol vagy az ún. általánosított függvények – más néven disztribúciók – bevezetése jelenti (ez komolyabb matematikai apparátust igényelne), de megkísérelhetjük módosítani magának a Fourier-transzformációnak a képletét is, úgy, hogy a transzformáció el˝onyös tulajdonságai (például a linearitás, a deriváltakra és a konvolúcióra vonatkozó azonosságok) megmaradjanak.
Ha a Fourier-transzformációt exponenciális súlyozással változtatjuk meg, akkor a Lapla-ce-transzformációhoz jutunk el. A jelen fejezetben e transzformáció legfontosabb tulajdon-ságait és tipikus alkalmazásait mutatjuk be.
Az exponenciális súlyozás hatását az alábbi ábrán szemléltethetjük (v.ö. a következ˝o rész 13.1.4.definíciójával). Nyilvánvaló, hogy azR0+∞1dt integrál értéke+∞, viszont egyszer˝uen belátható, hogy tetsz˝oleges, rögzített pozitívσ >0 szám esetén az exponenciálisan súlyozott R+∞
0 1·e−σtdt integrál már véges (és értéke egyébként 1
σ).
1
1
A Laplace-transzformáció haszna többek között abban rejlik, hogy ez a transzformáció is lineáris, a konvolúciót szorzatba képezi (gondoljunk csak a szabályozás-, m˝uszer-, híradás- és méréstechnikában használt átviteli függvényre), és állandó együtthatós kö-zönséges differenciálegyenleteket (vagy bizonyos típusú integrodifferenciál-egyenleteket) komplex változós algebrai egyenletekké alakít: az „id˝otartományból” itt is a „komplex (kör)frekvenciatartományba” jutunk.
Megjegyezzük, hogy a valóságban közvetlenül nem létezik komplex frekvenciatartomány, ez csak matematikai absztrakció, amely azonban a tárgyalást nagymértékben megkönnyíti.
A m˝uszaki gyakorlatban az id˝otartományból a komplex frekvenciatartományba való áttérés f˝o oka az, hogy (pl. Bode-diagramon) képszer˝uen bemutassák a rendszerek vagy átviteli tagok amplitúdó- és fázisátvitelének frekvenciafüggését. Ez a szemlélet (melyet gyakran I/O-szemléletnek is neveznek) a szabályozások stabilitásának tervezésénél komoly m˝uszaki segítséget jelent. Fontos tudni, hogy a hálózatok számításánál a villamosmérnökök és a mechatronikai mérnökök el˝oszeretettel alkalmazzák az impedancia-módszert olyan rend-szerekre, melyeknek matematikai modellje állandó együtthatós lineáris vagy linearizálható rendszer.
A Laplace-transzformáció képleteit és a megfelel˝o inverz transzformációkat (ha azok léteznek) táblázatok tartalmazzák, amelyekre mi is hivatkozni fogunk. Az interneten fellelhet˝o számos táblázat közül lásd például a
http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
vagy a
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
tankonyvtar.ttk.bme.hu Lóczi Lajos, BME
oldalakat. Az egyszer˝uség kedvéért a következ˝o rész végén mi is közlünk egy minimális Laplace-transzformációs táblázatot.
E bevezet˝o rész lezárásaként megjegyezzük, hogy a Laplace- és Fourier-transzformáción kívül az alkalmazások – például a jel- és képfeldolgozás – számos más integráltranszformá-ciót is életre hívtak. Ezek nagy része a Fourier- vagy Laplace-transzformáció variánsának tekinthet˝o (ahogyan szoros kapcsolat van maga a Laplace- és a Fourier-transzformáció között is). Ide sorolható például a kétoldali Laplace-, véges Laplace-, Laplace–Carson-, az egyoldali , törtrend˝u , véges , koszinusz- vagy a Fourier-szinusz-transzformáció, a wavelet-, a Walsh–Hadamard-, a Gábor-, a Mellin-, a Hankel-transzformáció, a Radon-, Abel-, illetve a Hilbert-, a Hartley- vagy a Stieltjes-transzformáció.
A felsorolt transzformációk közül többnek definiálható az inverze, illetve a diszkrét, a gyors vagy többváltozós megfelel˝oje is. A Laplace-transzformáció diszkrét megfelel˝oje például az (egyoldali vagy kétoldali)Z-transzformáció.
Megemlítjük, hogy ahttp://math.uni-pannon.hu/∼hartung/okt/ma6116a/oldalon to-vábbi elméleti ismertetéseket és számos kidolgozott feladatot találunk többek között a Fourier-sorok, a Fourier-transzformáció, a Laplace-transzformáció és a Z-transzformáció témaköréb˝ol.