Terepszerkezeti formák jellemzése irányszög szerinti Fourier-sorokkal

Az előző módszerekben meghatározott mennyiségek helyett az r sugarú kör mentén a ponthoz képest meghatározott magasságkülönbségekre egy másodfokú Fourier-sort is felírhatunk az irányszög (δ) függvényében, és ennek paramétereiből is megpróbálhatjuk eldönteni a pont jellegét. A sor paramétereiből ugyanis minden az előző módszerekben a pont besorolásához használt jellemző kiolvasható.

Egyf(x)függvényt a következő módon közelíthetünk egyN-ed fokú Fourier-sorral:

f(x)∼s_N(x) = a₀ ahol az összesen2N+ 1daraba_i-vel ésb_i-vel jelölt együtthatók értékeit a következő módon számíthatjuk:

Ezek a közelítések a felhasznált trigonometriai függvények jellegéből adódóan egy 2π periódusú függvényre vagy valamilyen más függvénynek egy ilyen hosszúságú sza-kaszára alkalmazhatóak.

A fenti közelítő elvet alkalmazhatjuk a vizsgált ponttólrtávolságban található, egy-mástólδirányszögük alapján megkülönböztethető pontoknak a vizsgált ponthoz viszo-nyított magasságkülönbségére is. A Fourier-sor együtthatói ekkor a következő módon számíthatóak egyx, ykoordinátákkal megadható pontrsugarú környezetére:

a_i = ¹_π´_360°

0° (h(x+rsinδ, y+rcosδ)−h(x, y))cos(iδ)dδ b_i = ¹_π´_360°

0° (h(x+rsinδ, y+rcosδ)−h(x, y))sin(iδ)dδ

(6.2.3) A h(x, y) a kétváltozós függvénynek tekintett terepfelszín. A 2π, vagyis 360 fok hosszúságú periódus az irányszögből értelemszerűen adódik. A gyakorlatban az integ-rálás helyettM számú pontban számított értékek összegzését végezzük. Az együtthatók számítása így a következő összefüggésekkel történik:

a_i = _M² PM−1

A fentiek alkalmazása során szükséges ah(x, y)ismerete, ami az esetünkben azt je-lenti, hogy a rendelkezésre álló domborzatmodell alapján tetszőleges vízszintes pozíci-óban meg kell tudnunk állapítani a magasságot. Mivel ezek a pozíciók a vizsgált pont körül egy kör mentén helyezkednek el, csak nagyon ritkán esnek a domborzatmodell támpontjaira, így valamilyen interpolációt is alkalmaznunk kell.

Aza₀együttható értéke azt fejezi ki, hogy a pont mennyivel van átlagosan magasab-ban vagy alacsonyabmagasab-ban azrsugarú környezeténél. Az a₁ ésb₁ együtthatók értékeiből a felület dőlésére lehet következtetni. Ha aza₂ ésb₂együtthatók értékei jelentősek, ak-kor abból arra következtethetünk, hogy a pont egy nyeregpont vagy (ha közbena₁ésb₁ értékek is jelentősek) egy idomvonalon található. (6.2.1. ábra)

Az r sugár értéke különféle lehet, ami különböző aiés biértékeket eredményezhet, amelyek így r függvényében értelmezhetőek. Lehetőségünk van az a_i és ab_iértékeket tetszőleges számú és értékűrmellett kiszámítani, majd az eredményekre egyN-ed fokú polinomot illeszteni, ami azy=c₀+c₁x+c₂x²+· · ·+c_Nx^N módonN+1adattal adható meg. EgyM-ed fokú Fourier-sor paramétereinek N-ed fokú polinommal való kifejezé-se így összekifejezé-sen (2M + 1) (N + 1) adatot jelet. Ezek az adatok megadják a domborzat közelítő leírását egy pont környezetében.

A vizsgálatot fordítva is el lehet végezni. Egy pontból kiindulva különféle irányokban egy-egy N-ed fokú polinommal írjuk le a felület függőleges metszeteit, majd ezeknek a polinomoknak a paramétereire írunk fel Fourier-sorokat a metszet irányszögének függ-vényében. Ennek a megoldásnak az a hátránya, hogy a polinomok az r = 0esetben az irányszög függvényében különböző értékeket vehetnek fel, így a felület nem lesz folyto-nos, ezért részletesebben nem is foglalkoztam ezzel a módszerrel.

Aza_iésb_iparaméterek előállításának egyik kézenfekvő módja a (6.2.4) egyenletben

6.2.1. ábra. Különféle terepszerkezeti formákhoz tartozó pontok környezetének vizsgálata a hozzájuk tartozó másodfokú Fourier-sor segítségével. A kék vonal a terepfelszínnek a pont környezetében vett metszetét mutatja 10 fokos mintavételezési sűrűséggel. A piros vonal az ugyanezekre az adatokra illesztett másodfokú Fourier-sor képe. A diagramok alatt a Fourier sor paraméterei is megtalálhatóak. A zárójelben az|a₀|, ap

a²₁ +b²₁illetve ap

a²₂+b²₂ értékek vannak.

bemutatott numerikus integrálok számítása, amihez a terepfelszín magasságát (a képle-tekbenh(x, y)-al jelölve) a vizsgált pont köré rajzot kör menténM darab pontban kell meghatározni valamilyen interpolációs módszerrel, majd ezeket az értékeket (pontosab-ban a vizsgált pont magasságával képzett különbségeiket) szorozni kell az irányszög meg-határozott trigonometriai függvényével, és az így kapott szorzatok összegét kell számíta-ni. A magasságok meghatározását végezhetjük olyan interpolációs módszerrel, amelyik egy pont magasságát a környező rácspontok súlyozott átlagaként adja meg, mint például a (⁇) összefüggéssel leírható bilineáris interpoláció.

Ah(x, y)függvény kiszámítandó értékeit ezzel a rácspontok magasságainak lineáris kombinációjára vezethetjük vissza, amelyeket azután az irányszög megfelelő, a kérdéses pontra nézve konstans értékű trigonometriai függvényével is szorozhatunk, majd össze-gezhetünk is. A végeredmények a 6.2.2. ábrán bemutatottakhoz hasonló konvolúciós szűrők lesznek a (rácstávolsághoz viszonyított) sugártól és az interpolációs módszertől függően. Ezekkel a konvolúciós szűrőkkel már a legtöbb térinformatikai szoftverben le-hetőségünk van arra, hogy aza_iésb_iparamétereket egy vizsgált domborzatmodell min-den rácspontjára vonatkozóan gyorsan és egyszerűen ki tudjuk számítani.

Minden paraméterhez másik konvolúciós szűrő tartozik. Az eredményként kapott raszteres állomány a kérdéses paraméter területi változását fogja ábrázolni. Ha a para-méterekre támaszkodva akarunk további jellemzőket levezetni, akkor aritmetikai műve-leteket kell végeznünk a konvolúciós szűrővel kapott állományok között.

Az a₀, a₁, b₁, a₂ és b₂ adatokból és egy újonnan bevezetett e érdességi tényezőből

Az e értéke méterben (vagy más a magasság mérésére használt mértékegységben) értendő. Mivel a felületmodellből levezetetta_i ésb_i paraméterek mértékegysége szintén hasonló, aP_i paraméterek dimenzió nélküli számok lesznek. AP₀értéke0és1, a többi fent bevezetett paraméter értéke pedig−1és1között változik.

Minél nagyobb a P₀értéke (minél inkább közelít 1-hez) a terep a vizsgált pont kör-nyezetében annál inkább síknak tekinthető; aP₁ értéke pedig a lejtős területeken nagy.

A P2 abszolút értéke az idomvonalak mentén lesz jelentős; a gerincvonalak mentén a

−1-hez, a völgyvonalak mentén pedig az1-hez közelít. AP₃ értéke a terepfelszín lokális magassági szélsőértékeinek közelében lesz jelentős; ha aza₀ < 0akkor ezeken a helye-ken csúcsok, ha pedig a₀ > 0, akkor pedig teknők vannak. A P₄ értéke a nyeregpontok környezetében lesz magas.

6.2.2. ábra. Aza₀,a₁,b₁,a₂ ésb₂paraméterekhez (ebben a sorrendben) tartozó konvolú-ciós szűrőkr= 2,5τ és bilineáris interpoláció esetén.

Bár a 6.2.5-ben nem így lett jelölve, de aP_iértékek tulajdonképpen függvények, érté-kük függ a terepponttól (a vizsgált pozíció vízszintes koordinátáitól és a domborzatmo-delltől) és a konvolúciós szűrő előállításakor alkalmazott sugártól (mindezek függvényei aza_iésb_i értékek), valamint a kifejezések számításához bevezetetteértéktől.

6.3. Terepszerkezeti formák elkülönítése fuzzy