Def: A G = (V,E) gr´af t¨ortp´aros´ıt´asa egy olyan x : E → R+
f¨uggv´eny, amire ˜x(E(v)) ≤ 1 teljes¨ul minden v ∈ V cs´ucsra.
F´elp´aros´ıt´as alattx :E → {0,12,1} t¨ortp´aros´ıt´ast ´ert¨unk.
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5
1 0,5
0.7 0,3 0,2
0,5
1 0.7
0,3
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: A G = (V,E) gr´af t¨ortp´aros´ıt´asa egy olyan x : E → R+
f¨uggv´eny, amire ˜x(E(v)) ≤ 1 teljes¨ul minden v ∈ V cs´ucsra.
F´elp´aros´ıt´as alattx :E → {0,12,1} t¨ortp´aros´ıt´ast ´ert¨unk.
Tan karakteriz´ aci´ oja
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Megf: Ha M a G stabil p´aros´ıt´asa, akkor a hozz´a tartoz´o χM ka-rakterisztikus vektor stabil f´elp´aros´ıt´as.
Megf: Ha x aG stabil t¨ortp´aros´ıt´asa, akkor
1. a t¨ort s´uly´u ´elek diszjunkt preferenciak¨or¨oket alkotnak (gyak), 2. ha pedig nincsenek t¨ort s´uly´u ´elek (azaz x(e)∈ {0,1} ∀e),
akkorx aG egy stabil p´aros´ıt´as´anak karakterisztikus vektora.
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Megf: Ha M a G stabil p´aros´ıt´asa, akkor a hozz´a tartoz´o χM ka-rakterisztikus vektor stabil f´elp´aros´ıt´as.
Megf: Ha x aG stabil t¨ortp´aros´ıt´asa, akkor
1. a t¨ort s´uly´u ´elek diszjunkt preferenciak¨or¨oket alkotnak (gyak), 2. ha pedig nincsenek t¨ort s´uly´u ´elek (azaz x(e)∈ {0,1} ∀e),
akkorx aG egy stabil p´aros´ıt´as´anak karakterisztikus vektora.
Tan t´etele: TetszG = (V,E) gr´af ´es≺v ´elpreferenci´ak eset´en 1. G-nek van stabil f´elp´aros´ıt´asa.
2. Ha x1,x2 aG stabil f´elp´aros´ıt´asai, ´esC ⊆x1−1(12) p´aratlan k¨or, akkorC ⊆x2−1(12).
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Megf: Ha M a G stabil p´aros´ıt´asa, akkor a hozz´a tartoz´o χM ka-rakterisztikus vektor stabil f´elp´aros´ıt´as.
Megf: Ha x aG stabil t¨ortp´aros´ıt´asa, akkor
1. a t¨ort s´uly´u ´elek diszjunkt preferenciak¨or¨oket alkotnak (gyak), 2. ha pedig nincsenek t¨ort s´uly´u ´elek (azaz x(e)∈ {0,1} ∀e),
akkorx aG egy stabil p´aros´ıt´as´anak karakterisztikus vektora.
Tan t´etele: TetszG = (V,E) gr´af ´es≺v ´elpreferenci´ak eset´en 1. G-nek van stabil f´elp´aros´ıt´asa.
2. Ha x1,x2 aG stabil f´elp´aros´ıt´asai, ´esC ⊆x1−1(12) p´aratlan k¨or, akkorC ⊆x2−1(12).
Tan 1. ,,biz”: Irving algoritmus´at m´odos´ıtjuk: nem ´allunk meg, ha a s´arga-sz¨urke ptn k¨or kompenst tal´alunk. Ha m´ar nem lehet rot´aci´ot elimin´alni, akkor a s´arga ´elek 1, a s´arga-sz¨urk´ek pedig 12 s´ulyt kapnak.
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Megf: Ha M a G stabil p´aros´ıt´asa, akkor a hozz´a tartoz´o χM ka-rakterisztikus vektor stabil f´elp´aros´ıt´as.
Megf: Ha x aG stabil t¨ortp´aros´ıt´asa, akkor
1. a t¨ort s´uly´u ´elek diszjunkt preferenciak¨or¨oket alkotnak (gyak), 2. ha pedig nincsenek t¨ort s´uly´u ´elek (azaz x(e)∈ {0,1} ∀e),
akkorx aG egy stabil p´aros´ıt´as´anak karakterisztikus vektora.
Tan t´etele: TetszG = (V,E) gr´af ´es≺v ´elpreferenci´ak eset´en 1. G-nek van stabil f´elp´aros´ıt´asa.
2. Ha x1,x2 aG stabil f´elp´aros´ıt´asai, ´esC ⊆x1−1(12) p´aratlan k¨or, akkorC ⊆x2−1(12).
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Megf: Ha M a G stabil p´aros´ıt´asa, akkor a hozz´a tartoz´o χM ka-rakterisztikus vektor stabil f´elp´aros´ıt´as.
Megf: Ha x aG stabil t¨ortp´aros´ıt´asa, akkor
1. a t¨ort s´uly´u ´elek diszjunkt preferenciak¨or¨oket alkotnak (gyak), 2. ha pedig nincsenek t¨ort s´uly´u ´elek (azaz x(e)∈ {0,1} ∀e),
akkorx aG egy stabil p´aros´ıt´as´anak karakterisztikus vektora.
Tan t´etele: TetszG = (V,E) gr´af ´es≺v ´elpreferenci´ak eset´en 1. G-nek van stabil f´elp´aros´ıt´asa.
2. Ha x1,x2 aG stabil f´elp´aros´ıt´asai, ´esC ⊆x1−1(12) p´aratlan k¨or, akkorC ⊆x2−1(12).
K¨ov: Legyen x a G stabil f´elp´aros´ıt´asa. G-nek pontosan akkor van stabil p´aros´ıt´asa, ha x−1(12) nem tartalmaz p´aratlan k¨ort.
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Megf: Ha M a G stabil p´aros´ıt´asa, akkor a hozz´a tartoz´o χM ka-rakterisztikus vektor stabil f´elp´aros´ıt´as.
Megf: Ha x aG stabil t¨ortp´aros´ıt´asa, akkor
1. a t¨ort s´uly´u ´elek diszjunkt preferenciak¨or¨oket alkotnak (gyak), 2. ha pedig nincsenek t¨ort s´uly´u ´elek (azaz x(e)∈ {0,1} ∀e),
akkorx aG egy stabil p´aros´ıt´as´anak karakterisztikus vektora.
Tan t´etele: TetszG = (V,E) gr´af ´es≺v ´elpreferenci´ak eset´en 1. G-nek van stabil f´elp´aros´ıt´asa.
2. Ha x1,x2 aG stabil f´elp´aros´ıt´asai, ´esC ⊆x1−1(12) p´aratlan k¨or, akkorC ⊆x2−1(12).
K¨ov: Legyen x a G stabil f´elp´aros´ıt´asa. G-nek pontosan akkor van stabil p´aros´ıt´asa, ha x−1(12) nem tartalmaz p´aratlan k¨ort.
Biz: ⇒: HaM stabil p´aros´ıt´as, akkor χM olyan stabil f´elp´aros´ıt´as, amireχ−1M (12) nem tartalmaz ptn k¨ort. Tan t´etel´enek 2. r´esze miatt x−1(12) nem tartalmaz ptn k¨ort semilyen x stabil f´elp´aros´ıt´asra.
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Megf: Ha M a G stabil p´aros´ıt´asa, akkor a hozz´a tartoz´o χM ka-rakterisztikus vektor stabil f´elp´aros´ıt´as.
Megf: Ha x aG stabil t¨ortp´aros´ıt´asa, akkor
1. a t¨ort s´uly´u ´elek diszjunkt preferenciak¨or¨oket alkotnak (gyak), 2. ha pedig nincsenek t¨ort s´uly´u ´elek (azaz x(e)∈ {0,1} ∀e),
akkorx aG egy stabil p´aros´ıt´as´anak karakterisztikus vektora.
Tan t´etele: TetszG = (V,E) gr´af ´es≺v ´elpreferenci´ak eset´en 1. G-nek van stabil f´elp´aros´ıt´asa.
2. Ha x1,x2 aG stabil f´elp´aros´ıt´asai, ´esC ⊆x1−1(12) p´aratlan k¨or, akkorC ⊆x2−1(12).
K¨ov: Legyen x a G stabil f´elp´aros´ıt´asa. G-nek pontosan akkor van stabil p´aros´ıt´asa, ha x−1(12) nem tartalmaz p´aratlan k¨ort.
Biz:
Tan karakteriz´ aci´ oja
Def: Az x :E → R+ t¨ortp´aros´ıt´as stabil, ha minden e ∈ E ´elhez van olyanv cs´ucs, amireP
{x(f) :f v e)}= 1.
Megf: Ha M a G stabil p´aros´ıt´asa, akkor a hozz´a tartoz´o χM ka-rakterisztikus vektor stabil f´elp´aros´ıt´as.
Megf: Ha x aG stabil t¨ortp´aros´ıt´asa, akkor
1. a t¨ort s´uly´u ´elek diszjunkt preferenciak¨or¨oket alkotnak (gyak), 2. ha pedig nincsenek t¨ort s´uly´u ´elek (azaz x(e)∈ {0,1} ∀e),
akkorx aG egy stabil p´aros´ıt´as´anak karakterisztikus vektora.
Tan t´etele: TetszG = (V,E) gr´af ´es≺v ´elpreferenci´ak eset´en 1. G-nek van stabil f´elp´aros´ıt´asa.
2. Ha x1,x2 aG stabil f´elp´aros´ıt´asai, ´esC ⊆x1−1(12) p´aratlan k¨or, akkorC ⊆x2−1(12).
K¨ov: Legyen x a G stabil f´elp´aros´ıt´asa. G-nek pontosan akkor van stabil p´aros´ıt´asa, ha x−1(12) nem tartalmaz p´aratlan k¨ort.
Biz: ⇐: Ha x stabil f´elp´aros´ıt´as, ´es x−1(12)-ben nincs ptn k¨or, akkor az x−1(12)-beli ps k¨or¨ok minden m´asodik ´el´en a s´ulyt 1-re, minden ,,els˝on” pedig 0-ra m´odos´ıtva egy x0 : E → {0,1} stabil f´elp´aros´ıt´ast kapunk. Ekkorx0 =χM, ´esM stabil p´aros´ıt´as.