A 10. a) ábra a klasszikus halandósági tábla kétállapotú modelljét mutatja (mate-matikai szempontból a halált állapotnak tekintjük), a 10. b) ábra háromállapotú, a 10.
c) pedig egy házassági állapotok szerinti, többállapotú modellt mutat (a „többállapo-tú” a kettőnél többet jelenti). Az állapotok száma tetszőleges lehet azzal a megkötés-sel, hogy azoknak jól definiáltnak és diszjunktnak kell lenniük, azaz egyszerre csak egy állapotban lehet tartózkodni. Az irányított élek az átmenetek lehetőségét jelzik.
Minden élre az életkoronkénti átmeneti valószínűségek sorozata van írva: valamely kiinduló állapotból (dobozból) az adott korú személy a pillanatnyi korának megfelelő valószínűséggel léphet át a nyíl mentén egy másik állapotba. Feltesszük továbbá, hogy átlépés csak születésnapon lehetséges. A körélek a helyben maradás szintén korfüggő valószínűségeivel vannak címkézve: az x korhoz tartozó helyben maradási és kilépési valószínűségek összege 1.
10. ábra. Halandósági tábla modellek – egy kivétellel
a) Klasszikus (kétállapotú) halandósági tábla b) Egészségi állapot szerinti (három állapotú) halandósági tábla
1– qx 1– q – q 1ebx ex – q – q bex bx
c) Családi állapot szerinti (többállapotú) d) Sullivan-módszer szerinti egészségesen halandósági tábla várható élettartam
(hibrid, nem többállapotú modell)
Tegyünk a 10. ábrák közül az első három valamelyik dobozába egy újszülöttet születésnapja pillanatában (x = 0), és évente a születésnapján sorsoljunk egy átlépést (vagy maradást) a pillanatnyi állapotából a kiinduló élekre írt, a korához tartozó va-lószínűségek szerint. Folytassuk eme véletlen bolyongást addig, amíg a halál állapo-tába kerül. (A valószínűségek alkalmas megadásával ez véges időn, például 110 éven belül bekövetkezik.). Ha ezt a bolyongást elég sokszor megismételjük, akkor az egyes állapotokban bolyongásonként eltöltött összidők átlaga (egy bolyongás során többször előfordulhat ugyanaz az állapot) tekinthető egy tetszőleges populációbeli újszülött adott állapotban eltöltött várható élettartama becslésének, ha az élekre írt
Egészséges Beteg
x 1x
Egészséges Beteg
Élő
Hajadon/
nőtlen Házas
Özvegy Elvált
qx
valószínűségek magának a populációnak a jellemzői, például ha egy naptári éves időszak mortalitási rátáiból lennének kalkulálva. Világos, hogy az ismétlések számá-nak növelésével a becslés pontossága is nő. Az iménti Monte-Carlo típusú módszer elméleti ismeretek nélkül, számítógéppel elvégezhető. (Valójában a sorsolás is kikü-szöbölhető, ha megengedjük a tört létszámokat, és az adott állapotban tartózkodók – az aktuális ütemben – a kimenő éleken a rájuk írt valószínűségek arányában lépnének át a szomszédos állapotokba.) Mindazonáltal a többállapotú halandósági tábla mód-szertana az átmeneti valószínűségek ismeretében ezeket a várható tartamokat zárt alakban is képes előállítani. Ez az elmélet azonban (de már maga az említett szimu-láció is) egyaránt bizonyos feltételezésekkel él.
A többállapotú modellek közös feltételezése, hogy a vizsgált népesség egyedei-nek állapotváltozása egymástól páronként független események, a kohorszok pedig homogének, azaz egyedeik állapotváltozásának valószínűsége azonos. E valószínű-ség egy adott pillanatban és állapotban nem függ sem az állapotok korábbi betöltésé-től, sem az aktuális állapotban már eltelt időtől: ez az ún. Markov-tulajdonság, ezzel az előbbiek szerinti véletlen mozgás egy Markov-folyamat. Nyilván alapvető kérdés, hogy adott vizsgálatnál e feltételezéseket mennyire támasztják alá a tapasztalatok.
Például családi állapotok vizsgálatakor a házasságból eltelt idő vagy a korábbi házas-ságok száma erősen befolyásolja a válás és az újraházasodás valószínűségét. Min-denesetre a klasszikus, kétállapotú halandósági táblák elmélete már kezdettől fogva él az iménti összes feltételezéssel. Ezen belül is, a tábla legalapvetőbb oszlopa, q(x), az x éves egyed egy éven belüli meghalásának valószínűsége, mely generálja a többi oszlopot (utolsóként a várható élettartamot), csak x-től függ, az egyed korábbi élet-eseményeitől nem. Csupán az a feltétel teljesül, hogy az x-edik születésnapján élt.
Azaz a klasszikus halandósági táblák valóban Markov-folyamatot vizsgálnak.
A többállapotú modellek gyakorlati alkalmazásának legfőbb gátja az átmeneti va-lószínűségek alapjául szolgáló átmeneti ráták „beszerzési” költségei. Például több egészségi állapot esetén a közöttük megvalósult átlépések (incidenciák) korspecifikus arányára lenne szükség a vizsgált népességben egy adott időszakban (mindkét irányban!), miközben jó esetben csak az állapotok prevalenciái ismerete-sek. A klasszikus halandósági tábláknál ez a probléma nem jelentkezik: az incidenciák, a korspecifikus halálozási számok általában rendelkezésre állnak. Ez a nehézség az alapvető oka annak, hogy az Eurostat által végül elfogadott, és a struktu-rális indikátorok közé besorolt kombinált mutató, az „egészségesen várható élettar-tam” nem a többállapotú modell alapján lett kiszámítva, hanem a Sullivan-módszer néven ismertté vált „hibrid” számítás szerint. Ez utóbbi ráadásul egyszerűen elvé-gezhető, ellentétben a többállapotú modellel, bár utóbbiról időközben kiderült, hogy egy mátrixalgebrai formalizmus bevezetésével kiszámítása már nem bonyolult és számítógépre is könnyen programozható.
A Sullivan-módszert jellemző 10. d) ábrán, amint az a további leírásból követke-zik, az egészséges és a beteg állapot egy közös dobozban helyezkedik el, közöttük egy mozgó válaszfallal, mely a prevalencia-értékeknek megfelelően, évente elmoz-dul, általában „balra”, amennyiben az életkor növekedtével az egészségesek aránya csökken. A módszer tehát nem elégíti ki a többállapotú modell kritériumait. Annak teljesüléséhez az egészséges és beteg állapotnak két különálló dobozt kellene alkot-nia, közöttük két, ellentétesen irányított éllel, azaz, ha rendelkezésre állnának az egészséges és beteg állapot közötti átmenet kor- és nemfüggő valószínűségei, melye-ket a megfelelő átlépési esetszámokból képzett rátákból lehet előállítani.