3. fejezet - Valószínűségi változók
3.14. Tétel. Ha sűrűségfüggvénye , akkor
a számegyenes minden Borel-halmazára. Speciálisan, sűrűségfüggvénnyel rendelkező esetén bármely esetén.
Az következő tétel ennek következménye:
3.15. Tétel. Az abszolút folytonos eloszlások eloszlásfüggvénye folytonos. Egyetlen diszkrét eloszlásnak sincs sűrűségfüggvénye.
A diszkrét, illetve az abszolút folytonos eloszlások csupán szűk speciális családjai az összes eloszlás halmazának. Az alábbi ún. csonkított Cauchy-eloszlás sem nem diszkrét, sem nem abszolút folytonos. Legyen ( , paraméterű) Cauchy-eloszlású. Legyen , ha ( rögzített); , ha ; és
, ha . Ekkor eloszlása:
míg -ban eloszlását az sűrűségfüggvény írja le. (A fentiek alapján adjuk meg eloszlásfüggvényét!)
3.16. Tétel. akkor és csak akkor sűrűségfüggvénye valamely valószínűségi változónak, ha Borel-mérhető, nemnegatív (a Lebesgue-mérték szerint majdnem mindenütt) és
Bizonyítás. A tétel pontos bizonyítása a Lebesgue-integrál tulajdonságai alapján könnyen megadható. Az alábbiakban a Riemann-integrálra támaszkodó részleges bizonyítást közlünk.
Legyen (speciálisan) nemnegatív, Riemann-integrálható, továbbá . Ekkor az összefüggés által definiált függvény teljesíti az eloszlásfüggvények jellemző tulajdonságait. A balról folytonosság abból adódik, hogy az integrál mint a felső határ függvénye folytonos. A monoton nemcsökkenőség pedig az nemnegativitásából és az integrál intervallum szerinti additivitásából következik. Végül . Így a fenti -hez tartozó sűrűségfüggvény.
Megfordítva, legyen az -hez tartozó sűrűségfüggvény. Ekkor . Továbbá, . Tehát integrálja minden intervallumon nemnegatív. Ha most még azt is feltesszük (speciálisan), hogy folytonos, akkor a nemnegativitása azonnal adódik.
Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban szakaszonként folytonos és mindenütt nemnegatív sűrűségfüggvények fordulnak elő.
3.8. Példa. Legyen , ha és egyébként. Ekkor egy pont kivételével
folytonos, így Borel-mérhető. .
Így sűrűségfüggvény.
Az esetek többségében az eloszlásfüggvényt szakaszonként differenciálva” kapjuk meg a sűrűségfüggvényt.
3.9. Példa. Dobjunk egy pontot véletlenszerűen az egységnégyzetre! Jelölje a pont távolságát a legközelebbi
oldaltól. Ekkor eloszlásfüggvénye: , ha ; , ha ;
, ha . A sűrűségfüggvény: , ha ; , ha .
2.2. 3.2.2. A normális eloszlás
A statisztikában alapvető szerepet játszik az ún. normális eloszlás.
A valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye
alakú, ahol tetszőleges, pedig pozitív valós szám. Azt, hogy és paraméterű normális eloszlású, azaz sűrűségfüggvénye a fenti, jelöli. Ha , akkor -t standard normális eloszlásúnak nevezzük.
A fenti függvény határozatlan integrálja (azaz a megfelelő eloszlásfüggvény) nem adható meg zárt alakban.
Az, hogy tényleg sűrűségfüggvény, külön bizonyítást igényel, amit a következő fejezetben végzünk el.
az -re szimmetrikus, harang alakú görbe, mely növelésével egyre laposabbá” válik. A standard normális eloszlás szimmetrikus. Így eloszlásfüggvényére .
3.17. Tétel. Ha standard normális eloszlású, , akkor eloszlása . Megfordítva, ha , akkor standard normális eloszlású.
Bizonyítás. Legyen . Ekkor -re (ha )
Így sűrűségfüggvénye eloszlásúnak nevezzük (jele: ). eloszlásfüggvénye:
ha . Így sűrűségfüggvénye:
3. Teljesítheti-e két sűrűségfüggvény az feltételt minden esetén?
4. Legyen paraméterű exponenciális eloszlású. Legyen , ha és , ha . Számítsuk ki eloszlásfüggvényét! Mutassuk meg, hogy abszolút folytonos, és határozzuk meg a sűrűségfüggvényét!
5. Legyen egyenletes eloszlású -en. Határozzuk meg eloszlás- és sűrűségfüggvényét!
6. Legyen sűrűségfüggvénye . Lássuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül, ha minden esetén (eltekintve egy nulla Lebesgue-mértékű halmaztól)!
7. Legyen sűrűségfüggvénye . Lássuk be, hogy akkor és csak akkor szimmetrikus, ha szimmetrikus az tengelyre!
8. Ábrázoljuk a normális eloszlás sűrűségfüggvényét! Határozzuk meg, hogy a görbének hol van maximuma, illetve inflexiós pontja!
9. Legyen . Határozzuk meg, hogy milyen valószínűséggel esik az intervallumba esetén!
10. Lássuk be, hogy a legrövidebb olyan intervallum, melybe adott valószínűséggel esik, -re szimmetrikus!
11. Mutassuk meg, hogy az arkusz szinusz eloszlás sűrűségfüggvénye ( ).
12. Az valószínűségi változót -paraméterű Cauchy-eloszlásúnak nevezzük, ha eloszlásfüggvénye
ahol . Lássuk be, hogy ha paraméterű Cauchy-eloszlású, akkor (ahol ) -paraméterű Cauchy-eloszlású! Lássuk be, hogy sűrűségfüggvénye
Ellenőrző kérdések
1. Mi a sűrűségfüggvény definíciója?
2. Mik a sűrűségfüggvény jellemző tulajdonságai?
3. Van-e sűrűségfüggvénye a binomiális eloszlásnak?
3. 3.3. A várható érték és a szórás
3.1. 3.3.1. A várható érték definíciója
A diszkrét eloszlások esetén a várható értéket az
képlettel határoztuk meg. Ezt a képletet abszolút folytonos eloszlásokra nem lehet közvetlenül átvinni, hiszen ott . A fenti képlettel analóg formulát akkor kapunk, ha -t rövid” intervallumokon egyetlen értékkel, pl. az intervallum egyik végpontjával helyettesítjük:
A képletben a -nek olyan középértéke szerepel, amelyben minden részintervallum olyan súllyal kerül szám tásba, amilyen valószínűséggel abba esik. A fenti középértékeket egyre pontosabbnak” gondolhatjuk, ha a beosztás részintervallumainak hossza a 0-hoz tart. Így végeredményben a , illetve a Lebesgue-Stieltjes-féle integrálhoz jutunk:
A várható értékére ténylegesen a 3.6 képletbeni integrálokat használják, azonban a Lebesgue-féle integrálelmélet apparátusa nélkül is lehet értelmezni az abszolút folytonos eloszlások várható értékét. A 3.5 képlet alapján ugyanis
3.18. Definíció. Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye . Ha véges, akkor azt mondjuk, hogy -nek létezik véges várható értéke. Ekkor az
által meghatározott mennyiség létezik és véges. Az számot várható értékének nevezzük.
Megjegyezzük, hogy esetén lehet, hogy (vagy ), de az is
előfordulhat, hogy a várható értéket még ilyen tágabb értelemben sem tudnánk definiálni, hiszen -nek mind a pozitív, mind a negatív része lehet egyszerre . Így (ha mást nem mondunk), csak az
esetet vizsgáljuk.
Be lehet bizonyítani, hogy a 3.7 képlet (miként 3.4 is) 3.6 speciális esete. Az általunk kimondott tételek az általános esetre fognak vonatkozni (hacsak mást nem állítunk), a bizonyításokat azonban legfeljebb a 3.7 képlettel kiszámítható várható értékre tudjuk elvégezni. A várható érték csak a eloszlásától (de nem magától -től) függ.
3.11. Példa. Legyen egyenletes eloszlású -n. Ekkor
Tehát várható értéke éppen az intervallum középpontja.
A Cauchy-eloszlásnak nem létezik várható értéke. Ezt mutatja be az alábbi példa.
3.12. Példa. Legyen , paraméterű Cauchy-eloszlású. Ekkor
Hasonlóan, . Így határozatlan kifejezés, azaz a Cauchy-eloszlásnak
valóban nem létezik várható értéke.
3.2. 3.3.2. Momentumok
3.19. Tétel. Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye . Legyen Borel-mérhető. Ha , akkor
3.20. Definíció. Legyen . A valószínűségi változó -adik momentumának az mennyiséget nevezzük (amennyiben létezik).
A -adik momentum kiszámítása az előző állítás alapján
szerint történhet, ha sűrűségfüggvénye .
Megjegyezzük, hogy a magasabb rendű momentum végességéből következik az alacsonyabb rendű momentum
végessége. Valóban, ha , és , akkor
Az első tag mindig véges (sőt, 1-nél nem nagyobb), a második tag pedig