N¶ eh¶ any szÄ orny} u becsl¶ es

A k¶et egyenl}otlens¶eg egybevet¶es¶eb}ol kÄovetkezik, hogy Xn

k=1ak6= 0, felhaszn¶al¶as¶aval kÄovetkezik a lemma. 2 A kÄovetkez}o becsl¶es az el}oz}o becsl¶es kÄozvetlen kÄovetkezm¶enye:

4.5 Lemma. Legyenek (gk)_1·k·n nemnegat¶³v, az (-;F;P) val¶osz¶³n}us¶egi mez}on ¶ertelmezett m¶erhet}o fÄuggv¶enyek. TegyÄuk fel, hogy l¶eteznek a ¶es b pozit¶³v sz¶amok, melyekre teljesÄul, hogy mindenk-raP(gk¸a)¸b. Ekkor

P

4.6 Lemma. HaH^¸jelÄoli azon1-megengedettHintegrandusokat, amelyekre

°°(H²S)^¤°°₂·¸, akkor minden¸ >0eset¶en a

©(H²M)^¤jH2 H^¸ª halmaz korl¶atosL⁰-ban.

Bizony¶³t¶as. RÄogz¶³tett¸ >0 eset¶en, aH^¸halmaz de¯n¶³ci¶oja szerint, minden H2 H^¸folyamatra°°(H²S)^¤°°

2·¸teljesÄul, ez¶ert aH²Sszemimarting¶al, a speci¶alis szemimarting¶alok karakteriz¶aci¶os t¶etele⁴⁹ miatt speci¶alis szemimar-ting¶al. EkkorH²Msztochasztikus integr¶al lok¶alis marting¶al szerinti integr¶al

¶ertelemben l¶etezik, ez¶ert de¯n¶³ci¶o szerint lok¶alis marting¶al⁵⁰, valamintH²S kanonikus dekompoz¶³ci¶ojaH²M+H²Aalak¶u⁵¹.

49Medvegyev [2007a]: Theorem 4.44.

50Medvegyev [2007a]: De¯nition 4.38.

51Medvegyev [2007a]: Theorem 4.49.

ez¶ert a¡(Kⁿ²S)^¤¢² v¶altoz¶ora alkalmazva a Markov-egyenl}otlens¶eget:

P¡

(Kⁿ²S)^¤¸n¢

=P³¡

(Kⁿ²S)^¤¢2

¸n²´

·¸² n² : LegyenN olyan, hogy han¸N, akkor maxn

¸² n²;_n¹2

o< ^®₆, ¶es de¯ni¶aljuk a

¿n meg¶all¶asi id}oket a kÄovetkez}ok¶eppen:

¿n= inf± ©

tj j(Kⁿ²M)_tj ¸n³ vagy j(Kⁿ²S)_tj ¸nª : Ekkor azLⁿ=^± _n¹2KⁿÂ[0;¿_n] integrandusra teljesÄulnek a kÄovetkez}ok:

1. Lⁿ²Mlok¶alis marting¶al, hiszen a bizony¶³t¶as elej¶en elmondottak szerint Kⁿ²M, ¶es ¶³gyLⁿ²M is lok¶alis marting¶al.

2. Han¸N, akkor P¡

(Lⁿ²M)^¤¸n¢

¸ P¡

(Kⁿ²M)^¤¸n³¢

¡P¡

(Kⁿ²S)^¤ ¸n¢

¸

¸ 8®¡¸² n² ¸7® :

Ezt a kÄovetkez}ok¶eppen l¶athatjuk be. Azokra az! kimenetelekre, melyekre (Kⁿ²M)^¤(!)¸n³

¶es

(Kⁿ²S)^¤(!)< n ; nyilv¶an (Kⁿ²M)^¤_¿

n¸n³, vagyis¡1

n²Kⁿ²M¢¤

¿_n¸n. KÄovetkez¶esk¶eppen (Lⁿ²M)^¤¸n :

Ezen kimenetelek halmaz¶anak val¶osz¶³n}us¶ege nyilv¶an nem kisebb, mint P¡

(Kⁿ²M)^¤¸n³¢

¡P¡

(Kⁿ²S)^¤¸n¢ :

3. Lⁿ ²S ugr¶asai nem kisebbek, mint ¡(n+ 1)=n². Val¶oban, a ¿n

meg¶all¶asi id}o de¯n¶³ci¶oja miatt a (Kⁿ²S)^¿n folyamat fels}o korl¶atja a [0; ¿n) intervallumonn, ¶es mivel 1-megengedett folyamatr¶ol van sz¶o, az ¶ert¶eke [0; ¿n ]-on nem kisebb, mint ¡1, ez¶ert (Kⁿ²S)^¿n = KⁿÂ[0;¿n] ²S ugr¶asai nem kisebbek, mint¡(n+ 1).

4. °°(Lⁿ²M)^¤°°₂·n+°°¢ (Lⁿ²M)_¿

n

°°

2·n+_n^6¸2. Az egyenl}otlens¶eg els}o fele abb¶ol kÄovetkezik, hogy¿n de¯n¶³ci¶oja miatt a (Kⁿ²M)^¿n =KⁿÂ[0;Tn]² M folyamat ¶ert¶eke a [0; ¿_n) intervallumon legfeljebb n³. Az egyenl}otlens¶eg m¶asodik r¶esz¶enek igazol¶as¶ahoz vegyÄuk ¯gyelembe, hogy

(¢ (Lⁿ²S))^¤·2 (Lⁿ²S)^¤ ;

¶es mivel aKⁿ2 H¸ miatt

°°(Lⁿ²S)^¤°°₂· ¸

n² ; (7)

ez¶ert az im¶ent bel¶atott 4.3 lemma alapj¶an

A 4. pont alapj¶an Lⁿ²M 2 H², ¶³gy egyenletesen integr¶alhat¶o. Minden n-re de¯ni¶aljuk a (¿n;i) meg¶all¶asi id}okb}ol ¶all¶o sorozatot a kÄovetkez}ok¶eppen:

Legyen¿n;0 ±

= 0, valamint

¿n;i= inf± n

tjt¸¿_n;i¡1¶es ¯¯¯(Lⁿ²M)_t¡(Lⁿ²M)_¿n;i¡1¯¯¯¸1o : Ekkor mindenn¸N-re ¶erv¶enyes a kÄovetkez}o becsl¶es:

°°(Lⁿ²M)_¿ monoton nÄov}o sorozata, nyilv¶an elegend}o az egyenl}otlens¶eget i =kn-re bi-zony¶³tani. Legyen B =^± f¿n;k_n<1g, ¶es becsÄuljÄuk (Lⁿ²M)^¤ÂB^c kifejez¶es egyen-letesen integr¶alhat¶o marting¶al, ez¶ert azLⁿÂ₍

¿n;i¡1;¿n;i]²M folyamat a [0;1] intervallumon is marting¶al⁵², ¶³gy alkalmazhatjuk a Doob-egyenl}otlens¶eget⁵³:

°°¡LⁿÂ₍

¿n;i¡1;¿n;i]²M¢¤°°₂·2°°¡LⁿÂ₍

¿n;i¡1;¿n;i]²M¢

1

°°₂;

amib}ol teh¶at, felhaszn¶alva (9)-et, (8)-at, majd akn de¯n¶³ci¶oj¶at:

°°(Lⁿ²M)^¤ÂB^c Ebb}ol a Markov-egyenl}otlens¶eg felhaszn¶al¶as¶aval kapjuk, hogy

P¡

52Medvegyev [2007a]: Corollary 1.67.

53Medvegyev [2007a]: Corollary 1.53.

amib}ol: egyenletesen integr¶alhat¶o marting¶al, a meg¶all¶asi opci¶okr¶ol sz¶ol¶o t¶etelb}ol⁵⁴ kÄovetkezik, hogy

tartalmaz¶as, a (10) becsl¶es, valamint a Markov-egyenl}otlens¶eg felhaszn¶al¶as¶aval kapjuk, hogyE¡

A Cauchy{Schwarz egyenl}otlens¶eg, majd a (8) becsl¶es felhaszn¶al¶as¶aval:

E¡

f_n;i^¡ÂB_n;i¢

· kfn;ik2P(Bn;i)¹² ·2P(Bn;i)¹² : (13) V¶egÄul (12) ¶es (13) sorok egybevet¶es¶evel pedig kapjuk, hogyP(Bn;i)> ®².

Most t¶erjÄunk r¶aLⁿ²A vizsg¶alat¶ara. Felhaszn¶alva (7) sort, mindeni-re kapjuk:

54Medvegyev [2007a]: Theorem 1.86.

ugyanis egyÄutt nem teljesÄulhet.

A fenti tartalmaz¶asb¶ol ¶es aP¡

f_n;i^¡ ¸®¢

¸®²becsl¶esb}ol kÄovetkezik, hogy mindeni·kn, ¶esn¸N-re teljesÄul, hogy AzLⁿ²Anyilv¶an korl¶atos v¶altoz¶as¶u, ¶es a bizony¶³t¶as elej¶en elmondottak sze-rint megegyezikLⁿ²S folyamat kanonikus felbont¶as¶anak korl¶atos v¶altoz¶as¶u r¶esz¶evel, ez¶ert el}orejelezhet}o is. Alkalmazhatjuk teh¶at r¶a a 2.13 Hahn felbon-t¶asi t¶etelt. LegyenB₊ⁿ ¶esB_¡ⁿ olyan el}orejelezhet}o halmazokb¶ol ¶all¶o part¶³ci¶oja azIR+£- halmaznak, amelyekre teljesÄul, hogyLⁿÂB₊ⁿ²A¶es¡LⁿÂB_¡ⁿ²A folyamatok pozit¶³v ¶ert¶ekeket vesznek fel, ¶es trajekt¶ori¶ai nÄovekv}oek. JelÄoljÄuk Rⁿ-el azLⁿÂB₊ⁿ\[0;¿_n;kn] folyamatot. Ekkor azRⁿ²A folyamat kiel¶eg¶³ti az A jobb oldal pedig hasonl¶o ¶atalak¶³t¶asokkal

¡Lⁿ(ÂB₊ⁿ+ÂBⁿ_¡)Â_{(¿n;i¡1;¿n;i]}²A¢

¿_n;i ; aholLⁿÂB_¡ⁿÂ(¿_n;i¡1;¿_n;i]²A=ÂBⁿ_¡²¡

LⁿÂ(¿_n;i¡1;¿_n;i]²A¢

negat¶³v ¶ert¶ekeket felvev}o folyamat. Ezt (14) sorral egybevetve kapjuk, hogyi·kn, ¶esn¸N eset¶en: MivelRⁿ²S ugr¶asai r¶esz¶et k¶epezikLⁿ²S ugr¶asainak, ez¶ert

(¢ (Rⁿ²S))^¡·(¢ (Lⁿ²S))^¡ ·n+ 1 n² · 2

n : (16)

L¶assuk be a egyenl}otlens¶eget. Nyilv¶an teljesÄulnek a kÄovetkez}o egyenl}os¶egek:

(Rⁿ²M)_¿n;kn = (Rⁿ²M)^¿n;kn(1) = amib}ol az It^o-izometria⁵⁶ felhaszn¶al¶as¶aval,

°°¡Â_Bⁿ a fentieket egybevetve teh¶at kapjuk, hogy

°°(Rⁿ²M)_¿

55Medvegyev [2007a]: Theorem 2.85.

56Medvegyev [2007a]: Theorem 2.88/5.

amib}ol (17) egyenl}otlens¶eg m¶ar kÄovetkezik.

A kor¶abbi (8) becsl¶es ¶es (17) alapj¶an, n¸N eset¶en:

°°(Rⁿ²M)_¿

n;kn

°°²₂<4kn : (18) MivelLⁿ²M2 H², ez¶ert nyilv¶anRⁿ²M2 H², vagyisRⁿ²M egyenletesen integr¶alhat¶o marting¶al, ez¶ert alkalmazhat¶o a Doob-egyenl}otlens¶eg⁵⁷ az Rⁿ² M^¿n;kn =Rⁿ²M, [0;1]-en ¶ertelmezett marting¶alra, vagyis

°°sup

t¸0j(Rⁿ²M)_tj°°²₂·4°°(Rⁿ²M)₁°°²₂=

= 4°°(Rⁿ²M)_¿

n;kn

°°²₂<16kn: (19)

B¶ar azRⁿ²S megengedetts¶eg¶er}ol nem tudunk semmit, a fentiek seg¶³ts¶eg¶evel megmutatjuk, hogy a folyamat csak kis val¶osz¶³n}us¶eggel vesz fel kis ¶ert¶ekeket.

MivelRⁿ²Afolyamat nÄovekv}o, ez¶ert nemnegat¶³v, ¶³gy Rⁿ²S=Rⁿ²M+Rⁿ²A¸Rⁿ²M :

Ezt felhaszn¶alva, majd alkalmazva a Markov-egyenl}otlens¶eget, majd a (19) sort:

P¡ inf

t¸0

(Rⁿ²S)_t· ¡knn^¡14¢

·P¡ sup

t¸0j(Rⁿ²M)_tj ¸knn^¡14¢

·

· E¡¡

sup_t¸0j(Rⁿ²M)_tj¢2¢

k²_nn^¡12 < 16kn

k_n²n^¡12 =16pn kn

: Legyen

¾n= inf± n

tj(Rⁿ²S)_t<¡knn^¡14o : Mivel¾n(!)<1eset¶en (Rⁿ²S)_¾

n(!)· ¡knn^¡14, ez¶ert

tinf¸0f(Rⁿ²S) (!; t)g · ¡knn^¡14 ; amib}ol a fenti egyenl}otlens¶eg alapj¶an

P(¾n <1)· 16p n kn

: Most de¯ni¶aljuk a kÄovetkez}o integrandust: Vn ±

= _k¹

nRⁿÂ[0;¾_n]. Ekkor a (16) becsl¶es alapj¶an aVn²S ugr¶asai nem kisebbek mint _nk^¡2

n;ez¶ert aVn²S nem kisebb mint¡n^¡14 ¡nk²_n, vagyis

nlim!1

°°(V_n²S)^¡₁°°

1= 0: (20)

57Medvegyev [2007a]: Corollary 1.53, (1.18) sor

Teh¶at Vn olyan megengedett integrandus, melynek egyenletes als¶o korl¶atja 0-hoz tart. Az al¶abbiakban bel¶atjuk, hogy (Vn²S)₁pozit¶³v val¶osz¶³n}us¶eggel pozit¶³v.

Mivel a (15) becsl¶es, ¶es a 4.5 lemma alapj¶an P

Ekkor, mivel aVⁿ²Atrajekt¶ori¶ai nÄovekv}oek, P a m¶asodik tagot, vagyis a (Vⁿ²M)₁ v¶altoz¶ot becsÄulni. Bel¶atjuk, hogy (Vⁿ²M)₁ tart 0-hozL²-ben. AVⁿ folyamat de¯n¶³ci¶oja alapj¶an:

Tudjuk, hogyRⁿ²M2 H², ez¶ert alkalmazhat¶o az It^o-izometria⁵⁸, amib}ol

°°¡Â[0;¾_n]²(Rⁿ²M)¢ Ism¶et az It^o-izometria, valamint azRⁿ=RⁿÂ[0;¿_n;kn] felhaszn¶al¶as¶aval,

s

58Medvegyev [2007a]: Theorem 2.88.

A fentieket egybevetve a (18) seg¶³ts¶eg¶evel

tartalmaz¶as, ¶es a (21) egyenl}otlens¶eg miatt:

P¡ amib}ol a fenti konvergencia miatt, el¶eg nagyn-re:

P¡

ami ellentmond a 2.6 lemm¶anak. 2

4.7 Lemma. Legyen ¿_cⁿ= inf^± ftj j(Hⁿ²M)_tj ¸cg¶es legyen K_cⁿ=^± HⁿÂ((¿_cⁿ;1)) :

Ekkor minden" >0-hoz l¶etezik egyc0>0, hogy mindenneset¶en, tetsz}oleges (¸1;. . .; ¸n)konvex s¶ulyokra ¶es mindenc¸c0 sz¶amra

Bizony¶³t¶as. TegyÄuk fel, hogy az ¶all¶³t¶assal ellent¶etben l¶etezik egy® >0 sz¶am, hogy mindenc0eset¶en l¶eteznek a (¸1;. . .; ¸n) konvex s¶ulyok ¶es ac¸c0sz¶am, De¯ni¶aljuk a kÄovetkez}o meg¶all¶asi id}ot:

¿= infftj 9n¸1 :j(Hⁿ²S)_tj> Ng :

Ha valamely!-ra¿(!)<1, akkor l¶etezik egyn2IN, melyre sup_tj(Hⁿ²S)_tj>

N, ez¶ert q > N, teh¶atP(¿ <1)< ^®₄. Legyen¸= sup^± _nksup_tj(Hⁿ²S)_tjk2. Ekkor a ¸ v¶eges, hiszen minden n-re ksup_tj(Hⁿ²S)_tjk2) · kqk2, ¶es a 4.2 lemma bizony¶³t¶as¶aban l¶attuk, hogy kqk2 < 1. Mivel minden n-re a Hⁿ 1-megengedett integrandus, ¶es °°(Hⁿ²S)^¤°°₂ · ¸, ez¶ert a el}oz}o 4.6 lemma alapj¶an a©

(Hⁿ²M)^¤ª

n¸1 halmaz korl¶atos azL⁰-ban, vagyis

clim!1sup

n P¡

(Hⁿ²M)^¤¸c¢

= 0: Ebb}ol viszont af¿_cⁿ<1g µ©

(Hⁿ²M)^¤¸cª

tartalmaz¶as miatt

clim!1sup

n P(¿_cⁿ<1) = 0; (22)

ez¶ert tetsz}oleges 0< ± < ^®₄ eset¶en l¶etezik a c1 sz¶am, melyre minden c¸c1

¶es minden n2IN eset¶enP(¿_cⁿ<1)< ±². Nyilv¶an mindenn-re

°°(K_cⁿ²S)^¤°°₂·°°2 (Hⁿ²S)^¤Â_f¿_cⁿ<1g

°°

2 ;

valamint a HÄolder-egyen}otlens¶egb}ol ¶es (Hⁿ²S)^¤·qfelhaszn¶al¶as¶aval:

°°(Hⁿ²S)^¤Â_f¿_cⁿ<1g

°°

2· kqk4P(¿_cⁿ<1)¹⁴ :

Szint¶en a 4.2 lemma bizony¶³t¶asa alapj¶ankqk4<1is teljesÄul, ez¶ert a fentiek alapj¶an l¶etezik egyc2sz¶am, hogyc¸c2eset¶en minden n-re

°°(K_cⁿ²S)^¤°°₂·2kqk4P(¿_cⁿ<1)¹⁴ ·± : (23) RÄogz¶³tsÄunk egyc¸maxfc1; c2gsz¶amot. Az indirekt feltev¶es szerint l¶eteznek a (¸1;. . .; ¸n) konvex s¶ulyok, melyekre

P ÃÃ _n

X

i=1

¸iK_cⁱ²M

!¤

> ®

!

> ® ;

¶es legyen¾= inf^± ©

tj¯¯¡Pⁿ_i=1¸iK_cⁱ²M¢

t

¯¯¸®ª . LegyenK=^± ¡Pn

i=1¸iK_cⁱ¢

Â[0;minf¿;¾g]. Ekkor teljesÄul a (Ã _n

X

i=1

¸iK_cⁱ²M

!¤

> ® )

µ©

(K²M)^¤¸®ª

[ f¿ <1 g

tartalmaz¶as, hiszen ha! eleme a bal oldalnak, akkor erre a kimenetelre tel-jesÄul, hogy ¾ <1, ez¶ert ha¾ < ¿ akkor (K²M)^¤ ¸®, ha pedig ¾¸ ¿, akkor a¾ <1miatt¿ <1. Ebb}ol pedig kÄovetkezik a

P¡

(K²M)^¤ ¸®¢

> ®¡P(¿ <1)>3®

4 (24)

egyenl}otlens¶eg, m¶asr¶eszt a (K²S)^¤·Pn i=1¸i¡

K_cⁱ²S¢¤

¶es (23) egyenl}otlen-s¶egb}ol kÄovetkezik, hogy °°(K²S)^¤°°₂·± : (25) Most vizsg¶aljuk meg hogy aKmegengedett-e. AK¶esK_cⁱde¯n¶³ci¶oja alapj¶an:

(K²S)_t=³Xⁿ

ez¶ert az ut¶obbi kifejez¶es ezen kimenetelekre nulla, m¶asr¶esztt > ¿_cⁱ eset¶en min©

t; ¿; ¾; ¿_cⁱª

= min©

¿; ¾; ¿_cⁱª . Teh¶at az ut¶obbi kifejez¶es a

Xn (K²S)_t-re kapott kifejez¶es ¶es¿ meg¶all¶asi id}o de¯n¶³ci¶oja alapj¶an ¶erv¶enyes a

(K²S)_t¸

ez¶ert az egyenl}otlens¶eg ezen kimenetelekre is teljesÄul. Azt kaptuk teh¶at, hogy (K²S)_t¸ ¡(N+ 1)Ft;

aholFt = Pn

i=1¸iÂ_(¿ⁱ

c;1], egy nÄovekv}o adapt¶alt ¶es balr¶ol folytonos, ¶es ¶³gy el}orejelezhet}o folyamat. Mivelc¸c1, ez¶ertc1v¶alaszt¶asa miattP(T_cⁿ <1)<

±², ez¶ert E(F₁) · ±², amib}ol a Markov-egyenl}otlens¶eg felhaszn¶al¶as¶aval kapjuk, hogyP(F₁> ±)·±, amib}ol kÄovetkezik, hogy aº= inf^± ftjFt> ±g m¶odon de¯ni¶alt meg¶all¶asi id}ore teljesÄul, hogyP(º <1)·± < ^®₄. Legyen K⁰=KÂ[0;º]. Erre (23) becsl¶es miatt teljesÄul, hogy

°°(K⁰²S)^¤°°₂·± ;

valamint (24) becsl¶es ¶es a

©(K²M)^¤¸®ª µ©

(K⁰²M)^¤¸®ª

[ fº <1g tartalmaz¶asb¶ol kapjuk, hogy

P¡(K⁰²M)^¤ ¸®¢> 3®

4 ¡± > ® 2 :

AzFt balr¶ol folytonoss¶ag¶ab¶ol kÄovetkezik, hogyK⁰²S ¸ ¡(N+ 1)±, ez¶ert L^± =_(N^K_+1)±⁰ egy 1-megengedett folyamat. Ekkor fenti egyenl}otlens¶egek alap-j¶an egyr¶eszt

°°°¡L^±²S¢¤°

°°2 · 1 N+ 1 ; vagyis minden± < ®=4 eset¶en¡

L^±²M¢¤

2 H_N+1¹ , m¶asr¶eszt P

µ¡

L^±²M¢¤

¸ ®

(N+ 1)±

¶

>® 2 ;

vagyis azf(L^±²M)^¤g±<^®₄ halmaz nem korl¶atosL⁰-ban, ami ellentmond a 4.6

lemm¶anak. 2

4.8 Lemma. Az el}oz}o lemm¶aban haszn¶alt jelÄol¶eseket alkalmazva, minden

" >0-hoz l¶etezik egyc0>0, hogy minden c¸c0 sz¶amra tetsz}olegesjhj ·1 el}orejelezhet}o folyamatra ¶es tetsz}oleges(¸1;. . .; ¸n)konvex s¶ulyokra

P³³³ h

Xn i=1

¸iK_cⁱ´

²M´¤

>p

"´

<5" : Speci¶alisan, ha c¸c0, akkor

°° Xn

i=1

¸iK_cⁱ²M°°

S <6p

" :

Bizony¶³t¶as. RÄogz¶³tsÄunk egy " > 0 sz¶amot, ¶es c0 legyen olyan, hogy tel-jesÄuljÄon r¶a, hogy minden neset¶en, tetsz}oleges (¸1;. . .; ¸n) konvex s¶ulyokra

¶es minden c¸c0 sz¶amra P³³Xⁿ

i=1

¸iK_cⁱ²M´¤

> "´

< " :

Az el}oz}o lemma ¶ertelm¶eben ilyenc0l¶etezik. Az el}oz}o lemma bizony¶³t¶as¶anak (22) ¶es (23) sorait ¯gyelembe v¶eve, a c0-t v¶alasszuk meg ¶ugy, hogy minden c¸c0sz¶amra a

sup

n

°°(K_cⁿ²S)^¤°°₂· "

6

egyenl}otlens¶eg is teljesÄuljÄon. Tov¶abb¶a (¢ (K_cⁿ²S))^¤·2 (K_cⁿ²S)^¤, ez¶ert az el}oz}o lemma bizony¶³t¶as¶anak (23) sor¶at felhaszn¶alva°°(¢ (K_cⁿ²S))^¤°°₂ ·2±,

ekkor teh¶at alkalmazhat¶o a 4.3 lemma, miszerint aK_cⁿ²S speci¶alis szemi-marting¶al, ¶es ¶³gy 2.12 t¶etel szerint, haMazSkanonikus felbont¶as¶anak lok¶alis marting¶al r¶esze, akkorK_cⁿ²Skanonikus felbont¶as¶anak lok¶alis marting¶al r¶esze

¶eppen K_cⁿ²M. Ekkor viszont a 4.3 lemma alapj¶an mindenn-re tetsz}oleges

¾meg¶all¶asi id}ore ¶esc > c0-ra:

k(¢ (K_cⁿ²M))_¾k2·" :

VegyÄunk egy tetsz}oleges 1-n¶el nem nagyobb abszol¶ut ¶ert¶ek}u el}orejelezhet}o folyamatot, egyc¸c0sz¶amot ¶es a (¸1;. . .; ¸n) konvex s¶ulyokat, ¶es de¯ni¶aljuk amit a fenti becsl¶essel egybevetve

°°

²M lok¶alis marting¶alra teljesÄul,

hogy °°°sup Ebb}ol viszont a Burkholder-egyenl}otlens¶egb}ol⁵⁹kÄovetkezik, hogy

E³³³Xⁿ ez¶ert aH² marting¶alok karakteriz¶aci¶os t¶etele⁶⁰ alapj¶an¡Pn

i=1¸iK_cⁱÂ_[0;¾]¢

59Medvegyev [2007a], Theorem 4.68.

60Medvegyev [2007a], Proposition 2.84.

Ebb}ol pedig a Markov-egyenl}otlens¶eg alapj¶an

m¶asr¶eszt a¾meg¶all¶asi id}o de¯n¶³ci¶oja miattP(¾ <1)< ", ez¶ert P³³³ T¶erjÄunk r¶a a m¶asodik ¶all¶³t¶asra. JelÄoljÄuk a n¡¡

hPn

i=1¸iK_cⁱ¢

²M¢¤

>p"o halmaztA-val. Feltehet}o, hogy"egyn¶el kisebb, ez¶ert minden fenti tulajdon-s¶ag¶uh-ra

4.4 A szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban konvergens soroza-tok meghat¶ aroz¶ asa

Most m¶ar r¶at¶erhetÄunk a szemimarting¶al topol¶ogi¶aban konvergens sorozatok meghat¶aroz¶as¶ara.

4.9 Lemma. L¶etezik olyan Lⁿ 2 conv©

H^k; k¸nª

sorozat, amelyre az (Lⁿ²M)konverg¶al a szemimarting¶al topol¶ogi¶aban.

Bizony¶³t¶as. Az el}oz}o lemma szerint minden n-hez l¶etezik olyan cn sz¶am, hogy tetsz}oleges (¸1;. . .; ¸m) konvex s¶ulyokra

1. A¿_c^k_n meg¶all¶asi id}o de¯n¶³ci¶oja miatt

Mivel aHⁿ²Sspeci¶alis szemimarting¶al, ez¶ert aHⁿ²S kanonikus felbont¶asa Hⁿ²S=Hⁿ²M+Hⁿ²A : amit Äosszevetve a fenti egyenl}otlens¶eggel, kapjuk, hogy

°°H^k¡£

¢Hilbert-terek kÄuls}o Hilbert-Äosszeg¶et, amely maga is Hilbert-t¶er⁶¹. Tudjuk, hogy tetsz}oleges (Xi) 2 G sorozat norm¶ajaqP

sorozat korl¶atos G-ben a G norm¶aja szerint. Mivel egy Hilbert-t¶erben minden korl¶atos sorozatnak van gyeng¶en konvergens r¶eszsorzata⁶², ez¶ert az ¶altal¶anoss¶ag megszor¶³t¶asa n¶elkÄul feltehet}o, hogy az¡

X^k¢

sorozat aG szorzatban gyeng¶en konverg¶al valamelyX-hez. Mazur t¶etele alapj¶an l¶etezik⁶³ olyan Y^k 2 conv©

X^k; X^k+1;. . .ª

sorozat, amelyik a G szorzat norm¶aj¶aban konvergens. Ez¶ert az¡

Y^k¢

koordin¶at¶aiH²-ben konverg¶alnak, vagyis minden keset¶en l¶eteznek a¸^k₀,¸^k₁, . . .,¸^k_Nk konvex s¶ulyok, hogy az sorozat mindenneset¶en konverg¶alH²-ben.

3. L¶assuk be, hogy ha L^k =^± PNk

j=0¸^k_jH^k+j, akkor az ¡

L^k²M¢

sorozat Cauchy-sorozat a szemimarting¶al topol¶ogia szerint. Legyen adott egy" >0

¶es legyen 1=N < ". Ekkor tetsz}olegesk; l indexekre

°°L^k²M¡L^l²M°°

61Krist¶of [1997]: 221. oldal.

62Tallos [1999]: 8.15 T¶etel.

63Rudin [1991]: 3.13 Theorem.

A cN de¯n¶³ci¶oja ¶es (26) miatt az ut¶obbi k¶et tag mindegyike kisebb, mint

". M¶asr¶eszt, felhaszn¶alva, hogy a sztochasztikus integr¶alok a null¶aban nulla

¶ert¶eket vesznek fel,

Ez utols¶o kifejez¶es az It^o-izometri¶aval sup

mindenn-re, ¶³gyN-re is konverg¶al a H²-ben, ez¶ert el¶eg nagy k-ra

¶esl-re az°°Y_N^k¡Y_N^l°°

S is kisebb, mint". Ezzel a lemm¶at bel¶attuk. 2 4.10 Lemma. Az el}oz}o lemm¶aban de¯ni¶alt¡

L^k¢

sorozatra teljesÄul, hogy az

¡L^k²A¢

sorozat konvergens a szemimarting¶al topol¶ogi¶aban.

Bizony¶³t¶as. A szemimarting¶al topol¶ogi¶at jellemz}o 2.15 t¶etel miatt elegend}o megmutatni, hogy mindent-re a sztochasztikus konvergenci¶aban

(K²((L^k¡L^m)²A))t!0 egyenletesen ajKj ·1 folyamatokon.

1. A

¯¯K²((L^k¡L^m)²A)¯¯ · Var(K²((L^k¡L^m)²A)) = jKj ²Var((L^k¡L^m)²A) · Var((L^k¡L^m)²A)

egyenl}otlens¶egek miatt elegend}o bel¶atni, hogy Var¡¡

L^k¡L^m¢

²A¢

(1)!0 sztochasztikusan, amintk; m! 1. TegyÄuk fel, hogy ez nem teljesÄul, vagyis l¶eteznek az (ik; jk) nÄovekv}o, eg¶esz ¶ert¶ek}u sorozatok ¶es egy® >0 sz¶am, hogy

P¡

Var((L^ik¡L^jk)²A) (1)> ®¢

> ® :

A korl¶atos v¶altoz¶as¶u folyamatok Hahn-felbont¶asa alapj¶an l¶etezik egy h^k, f+1;¡1g-beli ¶ert¶ekeket felvev}o el}orejelezhet}o folyamat, amelyre

Var¡

(L^ik¡L^jk)²A¢

=h^k²¡

(L^ik¡L^jk)²A¢ : De¯ni¶aljuk azR^k integrandust a kÄovetkez}ok¶eppen:

R^k =^± L^jk+1 Ah^k konstrukci¶oja miatt az

(R^k¡L^ik)²A=1

ugyanis a rel¶aci¶onak vagy azik-val, vagy ajk-val v¶egtelen sokszor teljesÄulni kell, ¶³gy, ha szÄuks¶eges, azik ¶es ajk indexeket felcser¶eljÄuk.

2. L¶assuk be, hogy¡

(R^k¡L^ik)²M¢¤

sztochasztikusan 0-hoz tart. TegyÄuk fel, hogy az ¶all¶³t¶asunkkal ellent¶etben valamely¯-ra v¶egtelen sokkindexre

P¡¡

Az indirekt feltev¶es miatt P(¾ <1) > ¯, ez¶ert l¶etezik egy s sz¶am, hogy P(¾ < s)> ¯=2. Ekkor, felhaszn¶alva a (27) els}o sor¶at, azt kapjuk, hogy egy

¯=2-n¶el nagyobb val¶osz¶³n}us¶eg}u halmazon v¶egtelen sokk-ra

¯ · ¯¯¡(R^k¡L^ik)²M¢ Ez azonban ellentmond¶as, hiszen a

K=^± 1

2Â([0; ¾])(h^k¡1)

el}orejelezhet}o folyamatra jKj ·1, ¶es el}oz}o lemm¶ank alapj¶an (L^ik¡L^jk)² M!0 a szemimarting¶al topol¶ogi¶aban, ez¶ert a 2.15 t¶etel alapj¶an a sztochasz-tikus konvergenci¶aban

¡K(L^ik¡L^jk)²M¢

(s)!0: Nyilv¶an hasonl¶o ¶all¶³t¶as teljesÄul¡

(R^k¡L^jk)²M¢¤

-ra is.

3. Legyen (±k) egy pozit¶³v sz¶amokb¶ol ¶all¶o null¶ahoz konverg¶al¶o sorozat.

Az ¶altal¶anoss¶ag megszor¶³t¶asa n¶elkÄul feltehet}o, hogy mindenk-ra

P¡¡(R^k¡L^ik)²M¢¤> ±_k vagy¡(R^k¡L^jk)²M¢¤> ±_k¢< ±_k: (29) Legyen ¿k = inf± ft j (R^k²M)t < max((L^ik²M)t;(L^jk ²M)t)¡±kg. A f¿k<1ghalmazon l¶etezik t, amelyre

(R^k²M)t<max((L^ik²M)t;(L^jk²M)t)¡±k ;

vagyis vagy (R^k²M)t<(L^ik²M)t¡±k, vagy (R^k²M)t<(L^jk²M)t¡±k

teljesÄul. Azaz, vagy ((R^k¡L^ik)²M)t<¡±k, vagy ((R^k¡L^jk)²M)t<¡±k, amib}ol vagy ((R^k¡L^ik)²M)^¤ > ±k, vagy ((R^k¡L^jk)²M)^¤ > ±k. Ebb}ol viszont a (29) sor miattP(¿k <1)< ±k.

4. Legyen Re^k =^± R^kÂ([0; ¿k]). L¶assuk be, hogy az Re^k integrandus (1 +±k)-megengedett. El}oszÄor tegyÄuk fel, hogyt < ¿k. Az (R^k¡L^ik)²A¶es az (R^k¡L^jk)²Afolyamatok nÄovekv}oek ¶es a 0-ban 0 ¶ert¶eket vesznek fel, ¶³gy mindk¶et folyamat nem negat¶³v, ez¶ert

(Re^k²S)t = (R^k²S)t= (R^k²A)t+ (R^k²M)t¸

¸ maxf(L^ik²A)t;(L^jk²A)tg+ (R^k²M)t: A¿k de¯n¶³ci¶oja miatt

(R^k²M)t¸maxf(L^ik²M)t;(L^jk²M)tg ¡±k:

Ezt a fenti egyenl}otlens¶eggel Äosszevetve, kihaszn¶alva, hogy azL^ik ¶es azL^jk 1-megengedett:

(Re^k²S)t¸maxf(L^ik²A)t;(L^jk²A)tg+ maxf(L^ik²M)t;(L^jk²M)tg ¡±k ¸

¸maxf(L^ik²S)t;(L^jk²S)tg ¡±k¸ ¡1¡±k :

M¶asodszor tegyÄuk fel, hogyt=¿_k. AzR^k konstrukci¶oja miatt a ¢(R^k ²S) vagy a ¢(L^ik²S), vagy a ¢(L^jk²S) ugr¶assal egyezik meg. Az ¶altal¶anoss¶ag megszor¶³t¶asa n¶elkÄul feltehet}o, hogy (¢(R^k²S))¿_k = (¢(L^ik²S))¿_k. Elemi sz¶amol¶assal

(Re^k²S)(¿k) = (Re^k²S)(¿k¡) + ¢(Re^k²S)(¿k)¸

¸maxf(L^ik²S);(L^jk²S)g(¿k¡)¡±k+ (¢(L^ik²S))(¿k)¸

¸(L^ik²S)(¿k¡)¡±k+ (¢(L^ik²S))(¿k) =

= (L^ik²S)(¿k)¡±k¸ ¡1¡±k :

VagyisRe^k val¶oban (1 +±k)-megengedett, ¶³gy azRe^k=(1 +±k) folyamat 1-meg-engedett.

5. BecsÄuljÄuk az (Re^k=(1 +±k)²S)₁v¶altoz¶o (L^ik²S)₁-t}ol val¶o elt¶er¶es¶et.

Ehhez tekintsÄuk a kÄovetkez}o felbont¶ast:

³ eR^k

1 +±k ²S¡L^ik²S´

1= 1 1 +±k

((Re^k¡L^ik)²S)₁¡ ±_k 1 +±k

(L^ik²S)₁=

= 1

1 +±_k

³((Re^k¡L^ik)²A)₁+ ((Re^k¡L^ik)²M)₁´

¡ ±k

1 +±_k(L^ik²S)₁: Az utols¶o tag nyilv¶an null¶ahoz tart. Figyelembe v¶eve a P(¿k<1) < ±k

egyenl}otlens¶eget ¶es a (28) sort, az els}o tagra, el¶eg nagyk-ra P³

((Re^k¡L^ik)²A)₁> ® 2

´> ® 4 :

Tov¶abb¶a tudjuk, hogy az (R^k¡L^ik)²Anemnegat¶³v ¶ert¶ek}u, amib}ol kÄovetkezik, hogy

lim inf

k!1 ((Re^k¡L^ik)²A)₁¸0: (30) Ha ugyanis egy pozit¶³v°m¶ert¶ek}u halmazon a hat¶ar¶ert¶ek negat¶³v lenne, akkor el¶eg nagyk-ra aP(¿k <1)< ±k < ° miatt ellentmond¶ast kapn¶ank, hiszen csak egy legfeljebb±k val¶osz¶³n}us¶eg}u halmazon teljesÄulhet, hogy a hat¶ar¶ert¶ek negat¶³v. V¶egezetÄul becsÄuljÄuk meg a m¶asodik tagot. Trivi¶alisan af¿k =1g halmazon R^k =Re^k. Mik¶ent l¶attuk, az ((R^k¡L^ik)²M)^¤ sztochasztikusan tart 0-hoz, kÄovetkez¶esk¶eppen aP(¿k <1)< ±k!0 miatt

((Re^k¡L^ik)²M)^¤¡!^P 0:

Az ¶altal¶anoss¶ag megszor¶³t¶asa n¶elkÄul feltehet}o, hogy ez a konvergencia majd-nem mindenhol ¶ertelemben is teljesÄul, ez¶ert

((Re^k¡L^ik)²M)₁^m.m.¡!0: (31) 6. A 2.2 kompakts¶agi lemma alapj¶an l¶etezik a

V^k2convfRe^k¡L^ik;Re^k+1¡L^ik+1;. . .g

sorozat, hogy a (V^k²S)₁^m.m.¡! g, ¶es (30) valamint (31) miattg¸0: Felhasz-n¶alva (29) sort, el¶eg nagyk-ra:

P³

((Re^k¡L^ik)²S)₁>® 2 ¡±k

´¸P³

((Re^k¡L^ik)²A)₁> ® 2

´¡

¡P³

((Re^k¡L^ik)²M)₁<¡±_k´

> ®

4¡±_k> ® 8 :

(32)

Ism¶et (30) ¶es (31) sorokb¶ol kÄovetkezik, hogy lim inf

k!1((Re^k¡L^ik)²S)₁¸0;

amib}ol

lim sup

k!1

(((Re^k¡L^ik)²S)₁)^¡·0; vagyis

klim!1(((Re^k¡L^ik)²S)₁)^¡= 0:

Jegorov t¶etele miatt alkalmasC2 FhalmazonÂC(V^k²S)₁tart egyenletesen ÂCg-hez aChalmazon, aholP(-nC)< ₁₆^®. Ekkor a 2.2 kompakts¶agi lemm¶at aÂC((Re^k¡L^ik)²S)₁sorozatra alkalmazva aV^k-ban szerepl}o s¶ulyok nyilv¶an most is megfelel}oek lesznek, ¶es az egyenletes konvergencia miatt a lemm¶aban a-¶ert¶ek¶et tetsz}olegesen kicsire v¶alaszthatjuk, ez¶ert (32) sort is ¯gyelembe v¶eve kapjuk, hogyP(g >0)>0. Ekkor viszont, mivel (L^ik²S)₁^m.m.¡! f0, ¶es mivel az _1+±¹

k-sorozattal val¶o szorz¶as nem v¶altoztatja meg a hat¶ar¶ert¶eket, ez¶ert a fenti s¶ulyok egy¶uttal egy olyan

U^k 2convn eR^k 1 +±k

; Re^k+1 1 +±k+1

;. . .o 1-megengedett integrandust adnak, melyre a

k!1lim(U^k²S)₁=g+f0¸f0

is teljesÄul, ¶es az egyenl}otlens¶eg egy pozit¶³v m¶ert¶ek}u halmazon pozit¶³v, ami

ellentmond azf0maximalit¶as¶anak. 2

Irodalom

1. Ansel, J. P.{Stricker, C. [1994]: Converture des actifs contingents et prix maximum.Annales de l'Institut Henri Poincare { Probabilit¶es et Statistiques, vol. 30.

2. Dunford, N.{Schwartz, J. T. [1958]:Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience Publishers, New York.

3. Delbaen, F.{Shachermayer, W. [1994]: A General Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing, Mathematische Annalen, vol. 300, pp. 463{520, Springer, Berlin.

4. Delbaen, F.-Shachermayer, W.: [2006]:The Mathematics of Arbitrage, Sprin-ger-Verlag, Berlin.

5. ¶Emery, H. [1979]: Une topologie sur l'espace dessemimartingales. In Del-lacherie et al. (eds.) S¶eminaire de Probabilit¶es XIII, Springer Lecture Notes in Mathematics 721, pp. 260{280.

6. Krist¶of J. [1997]:Az anal¶³zis elemei III, ELTE, Budapest.

7. Krist¶of J.:Az anal¶³zis elemei IV,lel}ohely: http://www.cs.elte.hu/~krja.

8. Medvegyev, P. [2002]:Val¶osz¶³n}us¶egsz¶am¶³t¶as, Aula, Budapest.

9. Medvegyev, P. [2002]: A p¶enzÄugyi eszkÄozÄok ¶araz¶as¶anak alapt¶etele diszkr¶et idej}u modellekben.KÄozgazdas¶agi Szemle, XLIX, 2002, 574{597.

10. Medvegyev, P. [2004]:Sztochasztikus anal¶³zis, Budapest, Typotex.

11. Medvegyev, P. [2006]: A Dalang-Morton-Willinger t¶etel,Szigma, vol. 37, 1-2, pp. 73{85.

12. Medvegyev, P. [2007a]:Stochastic Integration Theory, Oxford University Press.

13. Medvegyev, P. [2007b]:Technical results for no-arbitrage theorems in contin-uous time, K¶ezirat.

14. M¶emin, J. [1980]: Espace de semimartingales et changement de probabilit¶e, Z. W. Verw. Geb, 1980, 52, pp. 9{39.

15. Rudin, W. [1991]:Functional Analysis, McGraw-Hill, New York.

16. Tallos P. [1999]:Dinamikai rendszerek alapjai, Aula, Budapest.

THE FUNDAMENTAL THEOREM OF ASSET PRICING FOR LOCALLY BOUNDED SEMIMARTINGALES

The Delbaen and Schachermayer's theorem is one of the deepest results of mathe-matical ¯nance. In this article we tried to rethink and slightly simplify the original proof of the theorem to make understandable for nonspecialists who are familiar with general theory of stochastic processes. We give a detailed proof of the theorem and we give new proofs for some of the used statements.

In document A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele, lokálisan korlátos szemimartingál árfolyamok esetén (The fundamental theorem of asset pricing for locally bounded semimartingales) (Pldal 28-48)