2. A tantárgy részletes tematikája: mintapéldák és feladatok 9
2.2. Racionális számok, tizedes törtek, irracionális számok, abszolút érték, gyökök, hatványok,
Számok felírása különböző alakban. Racionális számok tizedestört alakban, irracionális számok tizedestört alakban, számok pontos és közelítő értéke. Számítások gyökökkel, hatványokkal, logaritmussal. A hatvá-nyozás értelmezése racionális kitevő esetén, hatváhatvá-nyozás azonosságai, gyökvonás azonosságai, logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai, áttérés más alapú logaritmusra.
Mintapéldák
1. Adjunk meg két olyan racionális számot, amelyek a 4 113 és 5
113 közé esnek. A választ indokoljuk!
Megoldás:
Ismeretes, hogy a racionális számok felírhatók két egész szám hányadosaként.
Ötlet: két pozitív szám számtani közepe biztosan a két szám közé esik.
Az ötlet alapján megadhatjuk a következő számokat:
4
Egy másik gondolatmenet: azért nem tudunk egyszerűen beszúrni két számot a két tört közé, mert a számlálók egymást követő természetes számok. Bővítsük úgy (3-mal) a törteket, hogy a számlálók közé be
tudjunk írni két természetes számot: Végtelen sok további jó példa található.
2.Állapítsa meg, hogy a következő törtek közül melyek írhatók fel a)véges tizedestört;
b)végtelen szakaszos tizedes tört;
c)végtelen nem szakaszos tizedestört alakban 9 A véges tizedestörteket végtelen tizedestört alakban is fel lehet írni.
b)A racionális számok tizedestört alakja lehet véges és lehet végtelen szakaszos. Ezért a szokásos értelemben azok a törtek végtelen szakaszosak, amelyek nem végesek.
A véges tizedes törteket is fel lehet írni végtelen szakaszos tizedestört alakban is, például kiegészíthetjük egy ˙0szakasszal.
Minden racionális szám felírható végtelen szakaszos tizedestört alakban.
A végesek többféleképpen is. Például 9
2 = 4,5 = 4,5 ˙0 = 4,50 ˙0 = 4,4 ˙9stb.
c)A felsorolt törtek valamennyien racionális számok, amelyek nem egyenlők egyetlen irracionális számmal sem. Az irracionális számok végtelen nem szakaszos tizedestörtek.
3.Írja fel a következő tizedestörteket közönséges törtalakban!
4,125; 5,˙6; 3,0625; 4,58 ˙3; 2,1 ˙9; 123,˙12 ˙3
4.Számítsa ki a következő kifejezések pontos értékét, ne használjon számológépet!
a)lg 8 + 3 lg 50
b) 491−log72−5−log54= 49
log224= log242a többi tagon is hasonló átalakítást hajtunk végre. Az összeg:
log242 + log243 + log244 = log2424 = 1.
5. Számológép használata nélkül bizonyítsa be, hogy5√
2−7 reciproka5√ 2 + 7.
Megoldás:
Használjuk a bizonyításhoz a tört nevezőjének gyöktelenítését nevezetes szorzat alkalmazásával.
1
Egy másik lehetséges meggondolás szerint két szám egymás reciproka, ha a szorzatuk 1. Ezt ellenőrizzük:
kifejezés értéke? Válasszuk ki a helyes választ!
A) 6 B)0 C)−2√
7. Állapítsuk meg, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Indoklással!
a) Két irracionális szám összege irracionális
b) Egy racionális és egy irracionális szám összege irracionális c) Egy racionális és egy irracionális szám szorzata irracionális d) Egy racionális és egy irracionális szám hányadosa irracionális Megoldás:
b)Igaz. Indirekt bizonyítást adunk rá. Legyenpracionális szám ésqirracionális szám, az összegükr. Tegyük fel, hogyrracionális szám (az állítással ellentétben). Azr=p+qegyenlőségből fejezzük kiq-t,q=r−p, ez két racionális szám különbsége, tehát racionális. Így a kiindulási feltétellel ellentmondásra jutottunk, tehát az indirekt feltevésünk hamis. Ezzel bebizonyítottuk, hogy apracionális szám ésqirracionális szám összege irracionális.
c) Hamis. Ha a racionális szám a 0, akkor a szorzat is 0, tehát racionális szám.
Megjegyezzük, hogy más esetben valóban irracionális a szorzat. Ezt indirekt bizonyítjuk. Legyenpracionális szám és q irracionális szám, a szorzatukr. Tegyük fel, hogy r (az állítással ellentétben) racionális szám.
Azr=p·qegyenlőségből fejezzük kiq-t. Hap6= 0, akkorq= r
p; ez két nem 0 racionális szám hányadosa, tehát racionális. Így a kiindulási feltétellel ellentmondásra jutottunk, tehát az indirekt feltevésünk hamis.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy a 0-tól különbözőpracionális szám ésqirracionális szám szorzata irracionális.
d) Hamis. Ha a számlálóban lévő racionális szám a 0, akkor a hányados is 0, tehát racionális szám.
Ha a racionális szám nem 0, akkor racionális és irracionális szám hányadosa valóban irracionális, függetlenül attól, hogy melyik a számláló, melyik a nevező. Az előzőekhez hasonló módszerrel bizonyítható.
8.Igazoljuk, hogy egy végtelen sok elemű számtani sorozat elemei között nem lehet pontosan két irracionális szám.
Megoldás:
Tegyük fel, hogy a sorozatban pontosan két irracionális szám van, legyenek ezek azak és azan,n > k. A feltétel szerint a sorozat többi tagja racionális. A racionális tagok közül két szomszédos esetén a nagyobb sorszámú tagból kivonva a kisebb sorszámú tagot, a különbségd6= 0differencia is racionális.
an+1=an+d:ez egy irracionális és egy racionális szám összege, tehát irracionális, vagyis találtunk újabb irracionális számot a sorozat elemei között, amely különbözik az an-től és az ak-tól. (A gondolatmenet hasonlóképpen folytatható, így végtelen sok irracionális szám is lehetne a sorozat tagjai között). Beláttuk, hogy nem lehet pontosan két irracionális szám a sorozat tagjai között.
9. Oldjuk meg a racionális számok halmazán a következő egyenletet:
√
Vegyük észre, hogy az összes négyzetgyökös kifejezést át tudjuk alakítani √
3 egész számú többszörösére:
Ezeket felhasználva az egyenlet:3√
3x−4x+ 2√
3y−3y= 4√ 3−5.
Rendezzük úgy az egyenletet, hogy a megfelelő tagokból emeljük ki a√ 3-at:
√3(3x+ 2y−4) = 4x+ 3y−5.
Ha az egyenletnek van gyöke a racionális számok halmazán, akkor a jobb oldalon biztosan racionális szám áll. A bal oldal csak úgy lehet egyenlő egy racionális számmal, ha a √
3 szorzója 0, és akkor a jobb oldal is 0.
Tehát felírhatunk egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert, amelyet például a behelyettesítéses mód-szerrel megoldhatunk.
Érdemes az egyenlőtlenségsorozatot részenként vizsgálni. 0-ra és 1-re mindenütt egyenlőséget kapunk, a (−1)-rex=x3 ésx4=x2, ezek tehát nem megoldások.
x4 > x2 minden olyan számra, amelynek abszolút értéke 1-nél nagyobb. Tehát ha x4 < x2, akkor csak
|x|<1lehet. Ellenőrizni kell a többi egyenlőtlenséget is!
Vizsgáljuk ezen az intervallumon, vagyis ahol −1 < x <1, az x < x3 egyenlőtlenséget. Ha 0 < x < 1, akkor x > x3, tehát ez az intervallum nem felel meg. Az intervallum másik fele a−1 < x <0, erre már teljesül, hogyx < x3.
Sőt, ezen az intervallumon igaz az az egyenlőtlenség is, amelyet eddig nem néztünk: x3 < x4, hiszen a bal oldal negatív, a jobb oldal pozitív. A fentiek alapján a válasz: az egyenlőtlenségsorozat igaz a(−1; 0) intervallumban.
Érdemes grafikont is készíteni!
Egy kicsit más gondolatmenettel: x6= 0, hiszen 0-ra nem teljesülnek az egyenlőtlenségek. Eszerintx2>0.
Osszunk a pozitívx2-tel:
1
x< x < x2<1
Csak úgy lehet egy szám és annak reciproka is kisebb 1-nél, ha negatív:x <0. Mivel azonbanx2<1, így
−1< x <1. Tehát−1< x <0. Ellenőrizhető, hogy ezekre mindegyik egyenlőtlenség teljesül.
Feladatok
1. Állapítsuk meg, hogy az alábbi számok racionálisak vagy irracionálisak!
a)
a) Jelöljük a kérdéses számotx-szel, és határozzuk meg az x2-et.
x2 = 4 + 2√
b) Jelöljük a kérdéses számoty-nal, és határozzuk meg azy2-et.
y2= 14 + 6√
a)Észrevehetjük, hogy a gyökök alatt teljes négyzet van:
b)Észrevehetjük, hogy a gyökök alatt teljes négyzet van:
14 + 6√
3 tört értéke? Melyik a helyes válasz?
A) 1 B)√
3 C) 1
√3 D) 3 Megoldás:D)
3.Legyendegy valós szám. Válasszuk ki a négy lehetőség közül azt, amelyik kifejezi az eltérést a3dés a
−5számok között!
A) 3d−5 B)3d+ 5 C)|3d+ 5|
D) Az eltérést nem lehet kifejezni, mertdnem ismert.
Megoldás:C)
4.Számológép használata nélkül rakja növekvő sorrendbe a következő számokat:
x= 5√