9.3. Integrálszámítás E
9.3.4. Primitív függvény és a Newton–Leibniz-formula
9.19. Tétel. Haf ∈C[a, b], akkor ∃c∈[a, b], hogyRb
a f =f(c)·(b−a).
Bizonyítás. A Weierstrass-tétel miatt∃α, β∈[a, b], amelyre∀x∈[a, b]esetén m:=f(α)≤f(x)≤f(β) =:M.
A Bolzano-tétel szerint azf ∈ C[a, b] függvény két függvényérték, így m és M között is minden értéket, így az b−a1 ·Rb
af számot is valahol felveszi, azaz
∃c∈[a, b], amelyre
∃c∈R, hogy ∀x∈I eseténF(x)−G(x) =c.
Az integrált és a primitív függvényt kapcsolja össze a
9.21. Tétel(Newton–Leibniz-formula). Legyenf ∈R[a, b]. Tegyük fel, hogy f-nek vanF primitív függvénye. Ekkor
Z b a
f =F(b)−F(a).
Bizonyítás. Legyenτ ∈F[a, b]tetszőleges. Ekkor
F(b)−F(a) =F(x1)−F(x0) +F(x2)−F(x1) +. . .+F(xn)−F(xn−1).
A Lagrange-középértéktétel szerint∃ξi∈(xi−1, xi), hogy
F(xi)−F(xi−1) =F0(ξi)(xi−xi−1) =f(ξi)(xi−xi−1), (i= 1,2, . . . , n).
Ezzel
F(b)−F(a) =f(ξ1)(x1−x0) +f(ξ2)(x2−x1) +. . .+f(ξn)(xn−xn−1).
Mivelmi≤f(ξi)≤Mi (i= 1,2, . . . , n), ezért
m1(x1−x0) +. . .+mn(xn−xn−1)≤F(b)−F(a)≤M1(x1−x0) +. . .+ +Mn(xn−xn−1),
azaz
s(τ)≤F(b)−F(a)≤S(τ)
Mivel∀τ∈F[a, b]felosztásra igaz ez az egyenlőtlenség, azért I∗≤F(b)−F(a)≤I∗
is igaz. Azf ∈R[a, b], ígyI∗=I∗, amiből következik, hogy F(b)−F(a) =I∗=I∗=
Z b a
f.
Megjegyezzük, hogy van olyanf ∈R[a, b], amelynek nincs primitív függvénye (például az
f : [0,2]→R, f(x) :=
1, hax≤x <1 2, hax= 1 3, ha1< x≤2
vényének létezése. Ebben a kérdésben nyújt segítséget az integrálfüggvény azf függvényintegrálfüggvényéneknevezzük.
Megjegyezzük, hogy az A részben bevezetettT területfüggvény folytonosf függvény esetén éppen aφintegrálfüggvény.
9.22. Tétel. Haf ∈R[a, b], akkor φ∈C[a, b].
Bizonyítás. Legyen K >0 az |f| egy felső korlátja az [a, b] intervallumon.
Bármelys, t∈[a, b]esetén
Legyenα∈[a, b]egy tetszőlegesen rögzített pont, és legyenε >0tetszőleges.
Aδ=ε/K választás mellett bármelyx∈[a, b], |x−α|< δ esetén
|φ(x)−φ(α)| ≤K|x−α|< Kδ=ε.
Tehátφ∈C[α].
A bizonyításból látszik, hogyφegyenletesen folytonos az[a, b]intervallumon.
9.23. Tétel. Haf ∈C[a, b], akkorφ∈D(a, b), és bármelyx∈(a, b)esetén φ0(x) = f(x). Ez azt jelenti, hogy egy folytonos függvénynek van primitív függvénye, az integrálfüggvénye az egyik primitív függvény.
Bizonyítás. Legyenx∈[a, b]egy tetszőlegesen rögzített pont, és legyeny∈
∈[a, b],y6=x. Ekkor
ahol felhasználtuk az integrálközépről szóló 9.19 tételt ésc azxésy közötti szám. Mivelf folytonos, azért lim
y→xf(c) =f(x), így létezik
y→xlim
φ(x)−φ(y)
x−y =φ0(x) ésφ0(x) =f(x).
függvénysorok
Ez egy kiegészítő fejezet. A gyakorlatban felmerülő problémák (függvények közelítése, közönséges és parciális differenciálegyenletek megoldása közelítő módszerekkel) igényli a sorra kerülő fogalmakat, eredményeket. Az alábbi témaköröket tárgyaljuk :
• Függvénysorozat konvergenciahalmaza
• Pontonkénti és egyenletes konvergencia
• A határfüggvény folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága
• Függvénysor konvergenciája
• Weierstrass majoráns kritérium
• Az összegfüggvény folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága
• Hatványsor
• Cauchy-Hadamard tétel
• Az összegfüggvény differenciálhatósága, Abel tétele
149
φn : H → R(n ∈N). Az ilyen (φn)függvénysorozatról mondjuk, hogy „H halmazon értelmezett”.
Például
1. (idn)[ittD(idn) =R, n∈N]
2. han∈N, akkorφn: [0,1]→R, φn(x) :=
0, hax= 0 1, ha0< x < 1n 0, ha 1n ≤x≤1 3. han∈N, akkor lásd az 10.1. ábrát
φn
1/2n 1/n 1
1
10.1. ábra
4. han∈N, akkor lásd az 10.2. ábrát 5. *(Pn
k=1sin◦(k·id))[itt isRaz egyes függvények értelmezési tartomá-nya]
Érdekes lehet az a kérdés, hogy a (φn) függvénysorozat tagjai közelednek-e valamilyen függvényhez, hannövekszik.
φn
1/2n 1/n 1
10.2. ábra
10.1. Definíció. A (φn) függvénysorozat[D(φn) =H, n∈N] konvergen-ciahalmaza
KH(φn) :={x∈H |(φn(x))számsorozat konvergens}
Az 1. példában KH(idn) = (−1,1], mert ha −1 < x < 1, akkor idn(x) =
=xn→0;hax:= 1, akkor idn(1) = 1→1, de hax >1vagyx≤ −1, akkor (idn(x))nem konvergens.
A 2. példábanKH(φn) = [0,1], hiszen φn(0) = 0→0. Ha0< x <1, akkor van olyanN, hogy N1 < x, és ekkor a(φn(x))sorozat1,1, . . . ,1,0,0,0, . . . ,0, . . . alakú, amely 0-hoz tart (ha n ≤ N, akkor φn(x) = 1, ha n > N, akkor φn(x) = 0).
A 3. és 4. példában isKH(φn) = [0,1].
Az 5.* példa kicsit nehezebb. Hax=lπ(l∈Z), akkor(Pn
k=1sin(klπ)) = (0) a számsorozat, amely 0-hoz tart. Tehát
KH
n
X
k=1
sin◦(k·id)
!
⊃ {lπ|l∈Z}.
Ha volna mégx∈R, x6=lπ (l ∈Z)a függvénysorozat konvergenciahalma-zában, akkor a(sinkx)sorozatnak 0-hoz kellene tartania. Tegyük fel, hogy
is igaz lenne, de ez nem lehet, hiszensin kx+ cos kx= 1. Tehát
Ez azért fontos példa, mert a Fourier-sorok problémaköre számos ehhez ha-sonló nehézséget vet fel.
10.2. Definíció. Legyen(φn)egyH halmazon értelmezett függvénysorozat.
Tegyük fel, hogyKH(φn)6=∅. A(φn)függvénysorozathatárfüggvényeaz azf :KH(φn)→Rfüggvény, amelyre mindenx∈KH(φn)esetén
f(x) := limφn(x).
Gyakranf := limφn jelölést is használnak.
Az 1. példában
Amikor a példákban szereplő függvénysorozatok tagjainak és a határfügg-vénynek a tulajdonságait összehasonlítjuk, érdekes különbségek mutatkoz-nak. Az 1. példában idn folytonos, differenciálható azR-en, míglimidn nem folytonos, így persze nem is differenciálható. A 2. példa φn függvényeinek egyike sem folytonos, alimφn folytonos és differenciálható is. A 3. és 4. pél-dában φn és limφn is folytonos, a φn nem differenciálható, a limφn pedig
0
tehát a függvénysorozat tagjainak integráljaiból álló sorozat határértéke nem a határfüggvény integrálja.
Az 5.* példában a függvénysorozat tagjai kellemes trigonometrikus, sima, periodikus függvények az egész R-en, míg a határfüggvény igen szegényes, éppen csak a periodikusság maradt meg. . .
A példák azt mutatják, hogy a „pontonkénti konvergencia” fogalma nem elég hatékony a függvénysorozat tagjai jó tulajdonságainak a határfüggvényre való átörökítésére. Ezen próbálunk segíteni :
10.3. Definíció. Legyen(φn)aH 6=∅halmazon értelmezett függvénysoro-zat. Tegyük fel, hogyKH(φn)6=∅, és legyenE ⊂KH(φn), E 6=∅ halmaz.
Azt mondjuk, hogy a (φn) függvénysorozat egyenletesen konvergens az Ehalmazon, ha bármelyε >0hibakorláthoz van olyanN ∈Nküszöbindex, hogy∀n > N esetén és bármelyx∈Ehelyen
|φn(x)−(limφn)(x)|< ε.
Jelölje ezt a ténytφn ,→E limφn.
Ez azt jelenti, hogy a küszöbindex függetlenx-től, ezért nevezzük egyenletes konvergenciának.
Az 1. példában a(−1,1] halmazon nem egyenletes az (idn) konvergenciája.
Még a(−1,1) halmazon sem ! Ha δ >0, akkor azE := [−1 +δ,1−δ] inter-vallumon már
idn ,→E0.
A 2., 3. és 4. példában is a[0,1]intervallumon nem egyenletes a konvergencia, deδ >0esetén
φn,→[δ,1] 0 már igaz.
Az 5.* példában ugyan azE:=KH(Pn
k=1sin◦(k·id))halmazon egyenletes a konvergencia, de ezzel nem sokra megyünk. . .
Milyen következményei vannak egy függvénysorozat egyenletes konvergenci-ájának ? Rend lesz a példákban tapasztalható kuszaságban.
φn folytonosan differenciálható az I intervallumon (φn ∈ C1(I), n ∈ N) és φ0n ,→I g. Ekkor a (φn) függvénysorozat is egyenletesen konvergál az I intervallumon egy f : I → R függvényhez (φn ,→I f), és f ∈ D(I), sőt f0(x) =g(x) = limφ0n(x)minden x∈I esetén.
A tétel állítása röviden :
(limφn)0= limφ0n, azaz a lim és a deriválás sorrendje felcserélhető.
10.3. Tétel. Legyen φn ∈ R[a, b], (n ∈ N). Tegyük fel, hogy φn ,→[a,b] f. Ekkorf ∈R[a, b], éslimRb
a φn=Rb af.
A tétel röviden azt állítja, hogy egyenletes konvergencia esetén lim azaz a lim és az integrálás sorrendje felcserélhető.
10.1.2. Függvénysorok
A függvénysorozatra kiépített fogalmak értelemszerű módosítással függvény-sorra is átvihetők.
10.4. Definíció. Legyen (φn) a H 6= ∅ halmazon értelmezett függvényso-rozat. Legyen Sn :=φ1+φ2+. . .+φn (n∈ N)az n-edik részletösszeg. A (φn)függvénysorozatból képezettfüggvénysoron az(Sn)függvénysorozatot értjük, azazPφn := (Sn).
Sn(x) :=x+x2+. . .+xn = xxx−1−1, hax6= 1 n, hax= 1.
Ezért limSn(x) = 1−xx , ha x ∈ (−1,1); ha x ∈ R\(−1,1), akkor (Sn(x)) divergens. TehátKHPidn= (−1,1), és(P∞
n=1idn)(x) = 1−xx .
10.7. Definíció. Legyen(φn)olyan függvénysorozat, amelyreKHPφn6=∅.
Legyen E ⊂ KHPφn. Azt mondjuk, hogy Pφn egyenletesen konver-gensazE halmazon, ha az(Sn)részletösszegek sorozata egyenletesen kon-vergens azE halmazon.
Jelben :P
φn,→E P∞ n=1φn.
Egy hasznos elégséges feltétel függvénysor egyenletes konvergenciájára : 10.4. Tétel(Weierstrass majoráns kritériuma). Legyen(φn)aH 6=∅ halma-zon értelmezett olyan függvénysorozat, amelyhez van olyan(an)⊂R+ pozitív számsorozat, hogy mindenx∈H esetén|φn(x)| ≤an, (n∈N), és mégP
A függvénysor részletösszeg-sorozatára tett egyenletes konvergencia feltételek következtében igazak a vázlatosan megfogalmazott tételek :
• Haφn∈C[a, b], ésP
(Az összegzés és a deriválás felcserélhető.)
• Haφn∈R[a, b], ésPφn,→[a,b]P∞
(A függvénysort tagonként lehet integrálni.)
cn(id−a)n
függvénysorthatványsornak nevezzük, melynek együttható-sorozata a(cn), és a hatványsor „középpontja” aza∈R.
Állapodjunk meg, hogy a továbbiakban a := 0 az egyszerűbb fogalmazás kedvéért.
10.5. Tétel (Cauchy–Hadamard-tétel). LegyenP
cnidn hatványsor.
1o Ha (pn
|cn|)korlátos, éslim suppn
|cn| 6= 0, akkor legyen
R:= 1
lim suppn
|cn| (Ra hatványsor konvergenciasugara).
Ekkor
(−R, R)⊂KHX
cnidn⊂[−R, R].
2o Ha (pn
|cn|)felülről nem korlátos, akkor
KHX
cnidn={0}.
3o Ha lim suppn
|cn|= 0, akkor
KHX
cnidn=R.
Látható, hogy egy hatványsor konvergenciahalmaza mindig intervallum (a 2o esetben elfajult intervallum), de ez az intervallum lehet az 1o esetben (−R, R),(−R, R],[−R, R),[−R, R]valamelyike. A hatványsorok konvergen-ciahalmazát összevetve az 5.* példában szereplő Psin◦(k·id)függvénysor konvergenciahalmazával, szembeötlő a különbség.
10.6. Tétel. Legyen Pcnidn hatványsor, amelyre (pn
|cn|) felülről korlá-tos. Ekkor az f : KHPcnidn → R, f(x) := P∞
n=0cnxn összegfüggvény azintKHPcnidn nyílt intervallumon folytonos is és differenciálható is ; sőt bármelyx∈intKHPcnidn esetén
f0(x) =
∞
X
n=1
ncnxn−1.
maza volt. Ezért ennek a hatványsornak az összegfüggvénye is
Ez a gondolatmenet folytatható : f(k)(x) =
10.7. Tétel (Abel). Legyen Pcnidn hatványsor, amelynek konvergenciasu-garaR >0.Tegyük fel, hogy még P
cnRn is konvergens. Ekkor az f ∈C[R], azazlimx→Rf(x) =P∞
n=0cnRn.
10.2. Feladatok
1. Vizsgáljuk meg a következő hatványsorok konvergenciahalmazát : Xidn, X1
1 + 2x+ 3x +. . .+nx +. . .=
és egyszerűen igazolható állításokat vesszük sorra. Legyenn > N tetszőleges. Ekkor
Az aláhúzottak szerintlimRb
aφn =Rb a f.
x∈I esetén.
Bizonyítás. A Newton–Leibniz-tétel miatt bármelyn∈Nésx∈Iesetén φn(x)−φn(x0) =
x
Z
x0
φ0n.
Mivel φ0n egyenletesen konvergál a g függvényhez az [x0, x] intervallumon, azért
lim
x
Z
x0
φ0n=
x
Z
x0
g, de ezzel együtt létezik a
lim(φn(x)−φn(x0)) = limφn(x)−limφn(x0) határérték is. Legyenf(x) = limφn(x). Tehát
f(x)−f(x0) =
x
Z
x0
g (x∈I, x6=x0).
Agfolytonos függvény, hiszen a folytonosφ0nfüggvényekből álló egyenletesen konvergens függvénysorozat határfüggvénye. Ígygintegrálfüggvénye differen-ciálható, azaz f differenciálható, és f0(x) = g(x) = limφ0n(x)minden x∈I esetén.
10.3.2. Függvénysorok
10.11. Tétel(Weierstrass majoráns kritérium). Legyen(φn)függvénysorozat és(an)⊂R+ számsorozat, melyekre
|φn(x)| ≤an (n∈N, x∈H)
ésPan konvergens. EkkorPφn egyenletesen konvergens aH halmazon.
Bizonyítás. Legyenε >0ésx∈H tetszőleges. MivelPankonvergens, ezért
∃N, hogy∀n, m > N, n > mesetén
|φm+1(x)|+|φm+2(x)|+. . .+|φn(x)| ≤am+1+am+2+. . .+an< ε.
A Cauchy–Hadamard-tételnek is csak azt az esetét igazoljuk, amelyben : 10.12. Tétel. Legyen (pn
cnxn abszolút konvergens,
• 2o ∀x∈R, |x|> R esetén aPcnxn divergens.
Legfeljebb véges sok olyan tagja van a sorozatnak, amely a sorozat limesz szuperiorjánál nagyobb számnál nagyobb, ezért∃N, hogy∀n > N esetén
pn
|cn|< 1 r.
Szorozzuk ezt az egyenlőséget|x|-kel, és emeljükn-edik hatványra. Ekkor
|cn| · |x|n<