A programcsomagot a következő feladatokon próbáltuk ki:
1./ 3x^y^z+2xy^z^ = 10 3 2 2 ~
X y+z y = о
6y^z^+4xyz+3xyz^ = 4
2./
3. /
4. /
sinx-y = 1.32 cosy-x = -0.85
x
^-2
c o s(
x2)+ 9 ч-х^-И = 0
3x^+2x2~1•5хд-2 = 0
x,-x2 о
8x^+2 ± +xix3“ (х1+х2+хз) +7 = 0
x l+ x 2- s '*'n x 3+ x 4 ’’^* ^ = 0
2x^-x2+c o s x3“ 3/2 = 0
х^х2+х4“1 = 0 5х1_х2— sin3x3—2 = О
Л
5 . / 2x^+logx2+arctgx2-x^+Xg-3.90675 = О х5
2x i x2 - 4x2+x +35.711 = О
хЗ/^х5-хЗ+х4^°9х2_^ * 785398 = О Зх^+х2 - х2+х^ -1 3.4 2 2 6 5 = Ох5
3x2-tgx^+logx^-29 = О
Az 1./ egyenletrendszer futtatásánál a következő eredményeket keptuk:
Davidenko módszere a következő kezdeti értékrendszer, eredménye te: x1=l.0350877
x2=2.4721247 x2=0.20394566
42
-Ebből a kezdeti rendszerből a Newton-módszer 10-<^ -os hibakorláttal a következő gyökrendszert találta:
x1=l.03792421 x2=2.45106599 x3=0.2C 777668
A helyettesitési értékek ebben a pontban(kerekitve):
f1=-0.7.10"9 f2=0.11.10-9 f3=-0.46.10“9
A szükséges iterációs lépések száma: 3
Ugyanabból a kezdeti értékrendszerből az első alappont választásos Stef fensen-módszerrel :
x1=l.03792421 x2=2.45106599 x3=0.20 7776686 Helyettesitési értékek:
f1=-0.186.10'8 f2=-0.17.10”9 f3=-0.46.10"9
A szükséges iterációs lépések száma: 4
A második alappont választásos Steffensen-módszerrel:
x1=l.03792421 x2=2.45106599 x3=0.20777668
Helyettesítési értékek:
f1=-0.69.10'9 f2=-0.12.10~9 f3=0.81.10-9
A szükséges iterációs lépések száma: 4 Powell-féle hibrid módszerrel:
x1=l.03792418
x2=2.45106602 x3=0.207776679 Helyettesítési értékek:
f1=-0.64.10"6 f2=-0.25.10“6 f3=-0.22.10-6
A szükséges iterációs lépések száma: 9 Kétlépéses szelő módszerrel:
x1=l.03792412 x2=2.45106629 X 3=0.207776647 Helyettesítési értékek:
f1=0.97.10-7 f2=-0.38.10-6 f3=-0.63.10"6
A szükséges iterációs lépések száma: 20 (n+l) -lépéses szelő módszerrel:
x1=l.03792422 x2=2.45106600 x3=0.20777669
44 -Helyettesítési értékek:
f1=0.49.10”6 f2=0.85.10"7 f3=0.15.10~6
A szükséges iterációs lépések száma: 14
A 2./ egyenletrendszer futtatásánál a következő eredményeket kaptuk :
A Davidenko-módszerrel kapott kezdeti értékrendszer:
x1=l. 792234 x2=-0.3440346
Ebből a kezdeti értékrendszerből Newton-módszerrel, 10”^ -os pontossággal kapott eredmények:
x1=l. 7913386 x2=-0.344221036 Helyettesítési értékek:
fj =0.29.10-10 f 2 Ю . 0
A szükséges iterációs lépések száma: 2
A folytatásos módszerrel kapott kezdeti értékrendszer:
xx =1.7948 x2=-0.34477
Steffensen 1 módszerrel kapott eredmények:
x1=l.791338 x2=-0.344221 Helyettesítési értékek:
f1=0.0
f2= -0.116.10'9
A szükséges iterációs lépések száma: 2 Steffensen 2 módszerrel kapott eredmények:
x1=l.7913386 x 2=-0.344221036 Helyettesitési értékek:
fx=0.29.10-1°
f2=0.0
A szükséges iterációs lépések száma: 2 Powell-módszerrel kapott eredmények:
x1=l.7913434 x2=-0.344199 Helyettesitési értékek:
fx=-0.23.10”4 f2=0.25.10-5
Iterációs lépések száma: 2
Kétlépéses szelő módszerrel kapott eredmények:
x1=l.7913384 x 2=-0.34422076
Helyettesitési értékek:
f1=-0.23.10"6 f2=0.27.10~6
Szükséges iterációs lépések száma: 5
(n+1) -lépéses szelő módszerrel kapott eredmények:
xx=1.7913386
45
-x 2=-0.344221036
46 -Helyettesítési értékek:
f^=-0.29.10-1°
f 2=0.17.10-9
A szükséges iterációs lépések száma: 3
A 3./ egyenletrendszer futtatásánál a következő eredményeket kaptuk A folytatásos módszerrel kapott kezdeti értékrendszer:
x1=l.9997929 x2=l. 0001595 x3=3.9997984
Kétlépéses szelő módszerrel kapott eredmények:
xx=1.99999990 X2=1.0000000 8 x3=3.99999990 Helyettesítési értékek:
f ^ - 0 . 5 . 1 0 -6 f2=0.0
f3=0.68.10“7
A szükséges iterációs lépések száma: 9 Steffensen 1 módszerrel kapott eredmények:
X;L=2.00000000 X2=1.00000001 x3=4.00000001 Helyettesítési értékek:
fjsO.O
f2=-0.46.10-9 f3=-0.26.10“6
A szükséges iterációs lépések száma: 4
Steffensen 2 módszerrel kapott eredmények:
x1=2.00000000 x2=0.999999986 x3=3.99999999 Helyettesítési értékek:
fx=0.23.10-9 f2=-0.17.10"9 f3=-0.24.10"6
A szükséges iterációs lépések száma: 3 Powell-módszerrel kapott eredmények:
x1=l.99999993 x2=l.00000005 x3=3.99999993 Helyettesítési értékek:
f1=-0.32.10"6 f2=0.0
f3=0.41.10'7
A szükséges iterációs lépések száma: 7
A 4./ egyenletrendszer futtatásánál a következő eredményeket kaptuk :
A folytatásos módszerrel kapott kezdeti értékrendszer:
x^=0.76457135 x 2=0.83166963 x3=0.47838086 x4=0.36412966
48
-Steffensen 1 módszerrel kapott eredmények x l =0.704613537
x2=0.832183457 x3=0.478556432 x4=0.363701264 Helyettesítési értékek:
f1=0.2.10"9
f2=-0.35.10"9 f3=-0.29.10“ 10 f4=-0.93.10“9
A szükséges iterációs lépések szórna: 2 Steffensen 2 módszerrel kapott eredmények
x^=0.764613537 x2=0.832183458 x3=0.478556433 x4=0.363 70 1 263 Helyette,:itési értékek:
f 1=o.o
f2=-0.2.10“9 f3=0.32.10“Q f4=0.l7.10”9
A szükséges iterációs lépések száma: 2
Powell-módszerrel kapott eredmények:
x1=0 . 7646135 x2=0.83218342 x3=0.47855642 x4=0.36370132
Helyettesitési értékek:
f1=-0.66.10"8 f2=-0.63.10"7 f3=0.44.10"9 f4=-0.13.10"6
A szükséges iterációs lépések száma: 8
Kétlépéses szelő módszerrel kapott eredmények:
x1=0 . 764613421 x2=0.832182734 x3=0.478556198 x4 =0.363701913 Helyettesitési értékek:
f1=0.l8.10"7 f2=0.48.10~6 f3=-0.29.10‘io fJ=0.24.10"6
4
A szükséges iterációs lépések száma: 8
(n+l)-lépéses szelő módszerrel kapott eredmények xL=0.764613447
x2=0.832183360 x3=0.478556376 x4 =0.36370122 Helyettesitési értékek:
fx=-0.18.10~6 f2=-0.15.10-6 f3=-0.19.10-6 f4 =-0.33.10-6
- 50
-A szükséges iterációs lépések száma: 7
Az 5./ -ös egyenletrendszer futtatásánál a következő eredménye
ket kaptuk:
Adatkártyákról bevitt kezdetiérték rendszer:
x =1.5 X2=7.2 x^=0.18 x^=0.6 x5=l* 5
Ezekből a kezdetiértékeéből a kezdetiértékekből Newton-módszerrel a következő eredményeket kaptuk:
x1=l.00000343 x2=9.99998493 x3=0.577348668 x4 =0.785376753 x5=0.999962841 Helyettesitési értékek:
fL=-0.15.10~7 f2=-0.18.10~8 f3 =-0.3.10"6 f4 =0.23.10-9 f5=-0.89.10-6
A szükséges iterációs lépések száma: 39
Ugyanabból a kezdeti értékrendszerből Powell-módszerrel kapott eredmények :
xx=1.00000339 x2=9.99998565
x3=0.577349214 x4=0.785377384 x5=0.999963453 Helyettesítési értékek:
f ^ . 3 6 . 1 0 " 7 f2=0.93.10-9 f3=-0.47.10‘8 f4 =0.69.10“9 f5=-0.33.10-7
A szükséges iterációs lépések száma: 26
Adatkártyákról bevitt más kezdeti értékrendszer:
x^=0.75
x2=9.77 x3=-0.6 x.=0,56
‘V x^=0.98
Ebből a kezdeti értékrendszerből Steffensen 2 módszerrel kapott eredmények :
xx=1.00000340 x2=9.99998565 x3=0.577349254 x4 =0.785377397 x5=0.999963468 Helyettesítési értékek:
f1=-0.29.10-9 f2=0.93.10"9 f3=0.58.10“ io
52
-f4=-0.23.10“9 f5=0.46.10"9
A szükséges iterációs lépések száma: 6
Kétlépéses szelő módszerrel kapott eredmények x1=l. 00000 341
x2=9.99998507 x3=0.577349316 x. =0.785377524
4
x5=0.999963524
Helyettesitési értékek:
r =-0.66.10-7 i
f2=0.4.10-6 f3=0.95.10"7 f4 =-0.23.10-9 f5=-0.23.10-6
A szüksétos iterációs lépések száma: 33 Powell-módszerrel kapott eredmények:
x 1=1.00000340 x2=9.99998567 x3=0.577349272 x4=0.785377401 x5=0.999963472 Helyettesitési értékek:
f1=0.12.10-7 f2=-0.14.10-7 f3=0.32.10-8
f4 =-0.16.10'8 f5 =0.18.10"7
A szükséges iterációs lépések száma: 23
Folytatásos módszerrel nyert kezdeti értékrendszer:
xx=0.99999266 x2=9.9999076 x3=0.57722837 x4 =0.78516793 x5=0.99981400
Steffensen 2 módszerrel kapott eredmények:
xx=1.00000340 x2=9.99998566 x3=0.577349254 x4 =0.785377397 x5 =0.999963468
Helyettesitési értékek:
f 1=o.o
f2=0.93.10"9 f3 =0.26.10"9 f4 =0.46.10-9 f5=-0.46.10-9
A szükséges iterációs lépések száma: 2
Kétlépéses szelő módszerrel kapott eredmények:
xx=1.00000336
x2=9.99998621 x3=0.577349645
54 -x4=0.785377944
x5=0.999964158
Helyettesítési értékek:
fx=0.67,10-7 f2=0.7l.l0-6 f3=0.17.10-6 f4=0.0
f5=0,53.10-6
A szükséges iterációs lépések száma: 15 Powell-módszerrel kapott eredmények:
xx=1.00000 340 x2=9.99998567 x3=0.577349264 x4=0.785377410 x5=0.999963479 Helyettesítési értékek:
fx=-0.19.10-8 f2=0.15.10-7 f3=0.73.10-8 f4 =0.0
f5=0.37.10-8
A szükséges iterációs lépések száma: 9
I R O D A L O M
[1] M.Altman: A generalization of Newton's method.
Bull.Acad.Polon.Sei.Ser.Sei.Math. Astronom.Phys. 3, 189-193. [ 1955 J
I 2 I C.G.Broyden: Recent developments in solving nonlinear algebraic system. Numerical methods for nonlinear alge
braic equations. 61-73. [1970J
[ 3 I D.Davidenko: On a new method of numerically integrating a system of nonlinear equations. Doki.Acad.Nauk. SSSR 88, 601-604. [1953 ]
I 4 I D.Davidenko: On the approximate solution of a system of nonlinear equations. Ukrain.Mat. Z. 5, 196-206. [ 1953 J [5j D.F .Davidenko: An application of the method of variation
of parameters to the construction of iterative formula of increased accuracy for numerical solutions of nonlin
ear equations. Soviet Math.Doki. 6 . 702-706. [ 1 9 6 5 J [6j K.Levenberg: A method for the solution of certain non
linear problems in least squares. Quart.Appl.Math.2.
164-168. [1944 J
[ 7 J D.Marquardt: An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters. SIAM J. Appl.Math.il. 431-441.
[ 1963 J
[8j G.H.Meyer: On solving nonlinear equations with a one-parameter operator imbedding. SIAM J. Numer.Anal.5.
739-752. [ 1967 J
[ 9J J.Ortega and W.Rheinboldt: Iterative solution of non
linear equation in several variables. Academic Press.
[ 1970 J
[10J M.J.D.Powell : A hybrid method for nonlinear equations.
Numerical methods for nonlinear algebraic equations.
87-114. [ 1970]
56
-11 J
12 I
I . J. St e f fensen: Remarks on iteration. Skand.
Aktuarietidskr.16, 67-72. | 1933 J
P.Wolfe: The secant method for simultaneous nonlinear equations. Counn.ACM.2, 12-13. f 1959 J
A TANULMÁNYOK sorozatban eddig megjelentek:
Pásztor Katalin: Módszerek Boole-függvények minimális vagy nem redundáns, {A, V ,1 | vagy í N O R > vagy INAND} bázisbeli, zárójeles vagy zárójel nélküli formuláinak előállitására
Вашкеви Иштван: Расчленение м ногосвязны х промышленных процессов с помощью вычисли
тельных машины
Ádám György: A számitógépipar helyzete 1972 második felében Bányász Csilla: Indentification in the Presence of Drift Gyürki J. - Läufer J. - Grint M. - Somló J. : Optimalizáló adaptiv szerszámgépirányitási rendszerek
Szelke Erzsébet - Tóth Károly: Felhasználói Kézikönyv
/USER MANUAL/ a Folyto nos Rendszerek Szimulációjára készült ANDISIM programnyelvhez
Legendi Tamás: A CHANGE nyelv/multiprocesszor
Klafszky Emil: Geometriai programozás és néhány alkalmazása R. Narasimhan: Picture Processing Using Pax
Dibuz Ágoston - Gáspár János - Várszegi Sándor: MANU-WRAP hátlaphuzalozó. MSI-TESTER integrált áramköröket mérő, TESTOMAT-C logikai hálózatokat vizsgáló berendezések ismer
tetése
Matolcsi Tamás: Az optimum-számitás egy uj módszeréről Makroprocesszorok, programozási nyelvek. Cikkgyüjtemény az NJSzT és SzTAKI közös kiadásában.
Szerkesztette: Legendi Tamás
Jedlovszky Pál: Uj módszer bonyolult retifikáló oszlopok vegyészmérnöki számitására
Bakó András: MTA Kutatóintézeteinek bérszámfejtése számitó
géppel
Ádám György: Kelet-nyugati kapcsolatok a számítógépiparban
58
Fridrich Ilona - Uzsoky Miklós: LIDI-72 Listakezelő rend
szer a Digitális Osztályon, 1972. évi változat
Gyürki József: Adaptiv termelésprogramozó rendszer /APS/
termelő műhelyek irányítására
Pikier Gyula: MINI-Számitógépes interaktiv alkatrészprog- ramiró rendszer NC szerszámgépek automatikus programozásá
hoz
Gertler,J. - Sedlak,J.: Software for process control Vámos,T. - Vassy,Z.: Industrial Pattern Recognition Experiment-А Syntax Aided Approach
A KGST I.-15-1.: Diszkrét rendszerek automatikus terve
zése c. témában 1973. februárban rendezett szeminárium előadásai
Arató M. - Benczúr,A. - Krámli,A. - Pergel,J.: Stochastic Processes, Part I.
Benkó Sándor - Renner Gábor: Erősen telitett mágneses körök számitógépes tervezési módszere
Kovács György - Franta Lászlóné: Programcsomag elektroni
kus berendezések hátlaphuzalozásának tervezésére
Járdán R. Kálmán: Háromfázisú tirisztoros invertek állan
dósult tranziens jelenségei és belső impedanciája Gergely József: Numerikus módszerek sparse mátrixokra Somló János: Analitikus optimalizálás
Vámos Tibor: Tárgyfelismerési kísérlet nyelvi módszerekkel Móritz Péter: Vegyészmérnöki számítási módszerek fázis
egyensúlyok és kémiai egyensúlyok vizsgálatára Vámos,T. - Vassy,Z.: THE BUDAPEST ROBOT-Pragmatic intelligence -.
Nagy István: Frekvenciásos, középfrekvenciás inverter elmélete
32/1975 Singer - Borossay - Koltai: Gázhálózatok optimális irányi- tása különös tekintettel a Fővárosi Gázmüvek hálózataira 33/1975 Vámos Tibor - Vassy Zoltán: Limited and Pragmatic Robot
Intelligence
L.Mérő - Z.Vassy: A Simplified and Fastened Version of the Hueckel Operator for Finding Optimal Edges in Pictures
34/1975
Г а л л о
В . :П р о г р а м м а
дляр а с п о з н а в а н и я г е о м е т р и ч е с
ких
о б р а з о в , о с н о в а н н а я
нал и н г в и с т и ч е с к о м м е т о д е
описания и
а н а л и з а г е о м е т р и ч е с к и х
CTp v K T v pNemes László: Pattern Indentification Method for Industrial Robots by Extracting the main Features of Objects
35/1975 Garádi János - Krámli András - Ratkó István - Ruda Mihály:
Statisztikai és számitástechnikai módszerek alkalmazása kórházi morbiditás vizsgálatokban
36/1975 Renner Gábor: Elektromágneses tér számitása nagyhőmérsék- letü anyagban
37/1975 Edgardo Felipe: Specification problems of a process control display
A «-gal jelölt kivételével a sorozat kötetei megrendelhetők az Intézet könyvtáránál /Budapest, I. Úri u. 49./
757588 MTA KÉSZ Sokszorosító. T. v. : Szabó Gyula